（应用数学专业论文）无穷维hamilton算子谱的对称性.pdf

原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。除本文已经注明引用的内容外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也 不包含为获得内鐾直太堂及其他教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同 志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：兰隧 日期：五鲤乙f 2 、z ! 在学期间研究成果使用承诺书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：内蒙古大学有权将 学位论文的全部内容或部分保留并向国家有关机构、部门送交学位论文的复印件和磁盘，允 许编入有关数据库进行检索，也可以采用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编学位论文。 为保护学院和导师的知识产权，作者在学期间取得的研究成果属于内蒙古大学。作者今后 使用涉及在学期间主要研究内容或研究成果，须征得内蒙古大学就读期间导师的同意；若用 于发表论文，版权单位必须署名为内蒙古大学方可投稿或公开发表 学位论文作者签名： 日期： 指导教师签名：甲写越的 日期：至竺竺z ：! 至：厂一蜃丛钐一 善王手鬈 内蒙古大学硕士学位论文中文摘要 无穷维h a m i l t o n 算子谱的对称性幸 学生：苤整重 导师：匦撞塑佥塾撞( 蠖2 专业： 廛用麴堂 摘要 无穷维h a m i l t o n 算子的谱分析为基于h a m i l t o n 体系下的分离变量法提 供了强有力的理论依据，在应用力学等领域起重要作用本文研究无穷维 h a m i l t o n 算子谱的对称性分别从谱关于虚轴对称和关于实轴对称进行研 究：对于对角无穷维h a m i l t o n 算子，利用其内部项刻画了点谱关于虚轴的对 称性；对于任意的无穷维h a m i l t o n 算子日，借助于日的谱与日2 的谱的关系 给出了何的点谱，剩余谱，连续谱关于实轴对称的充分必要条件；同时给出 几个例子以说明定理的有效性 关键词：无穷维h a m i l t o n 算子，点谱，剩余谱，连续谱，预解集，对称性 中图分类号：0 1 7 5 3 a m s ( 2 0 0 0 ) 主题分类号：4 7 a 1 0 ，4 7 8 9 9 国家自然科学基金( 1 0 5 6 2 0 0 2 ) 和内蒙古自治区自然科学基金( 2 0 0 5 0 8 0 1 0 1 0 3 ) 资助项目 l 内蒙古大学硕士学位论文 英文摘要 s y d 瓜，】e t r yo ft h es p e c t r i ，mo f d 晒d 姐t ed i m 咂n s i o n a lh a m i i j o n i a no p e r a t o r s z h uy a n x i a a d v i s o r ：p r o f e s s o ra l a t a n c a n g , p h d ( d e p a r t m e n to fm a t h e m a t i c s ，c o l l e g eo fs c i e n c e a n dt e c h n o l o g y , i n n e rm o n g o l i au n i v e r s i t y ) a b s t r a c t t h es p e c t r a la n a l y s i so fi n f i n i t ed i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a no p e r a t o r si st h et h e o r e t i c f o u n d a t i o n o ft h em e t h o do fs e p a r a t i o no fv a r i a b l e sb a s e do nh a m i l t o n i a ns y s t e m s ，a n dp l a y sa i m p o r t a n tr o l e i na p p l i e dm e c h a n i c sa n dr e l a t e df i e l d s t h ep r e s e n tt h e s i sc o n s i d e r st h e s y m m e t r yo ft h es p e c m u no fi n f i n i t ed i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a no p e r a t o r s w es t u d yt h e s y m m e t r yw i t hr e s p e c tt ot h ei m a g i n a r ya x i sa n dt h es y m m e t r yw i t hr e s p e c tt ot h er e a la x i s ， r e s p e c t i v e l y f o rt h ed i a g o n a li n f i n i t ed i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a l lo p e r a t o r s ，t h ec h a r a c t e f i z a t i o n o ft h es y m m e t r yo ft h ep o i n ts p e c t r u mw i t hr e s p e c tt ot h ei m a g i n a r ya x i si so b t a i n e db yu s i n g t h es p e c t r u mo fi t sd i a g o n a le l e m e n t s ；a n df o rg e n e r a li n f i n i t ed i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a r l o p e r a t o r s 且an e c e s s a r ya n ds u m c i e n tc o n d i t i o ni sg i v e nt h a tt h es p e c t r u m ，p o i n ts p e c t r u m ， r e s i d u a ls p e c t r u ma n dc o n t i n u o u ss p e c t r u mi ss y m m e t r i cw i t hr e s p e c tt ot h et e a la x i s r e s p e c t i v e l y t oi l l u s t r a t et h er e s u l t so ft h et h e s i s ，s e v e r a le x a m p l e sa r ep r e s e n t e d k e y w o r d s ：i n f i n i t ed i m e n s i o n a lh a m i l t o n i a no p e r a t o r , p o i n ts p e c t r u m ，r e s i d u a l s p e c t r u m ，c o n t i n u o u ss p e c t r u m ，r e s o l v e n ts e t ，s y m m e t r y c l cn u m b e r ：0 1 7 5 3 a m s ( 2 0 0 0 ) ：4 7 a 1 0 ，4 7 8 9 9 2 第一章绪论 1 1无穷维h a m i l t o n 算子的研究进展 h a m i l t o n 系统是经典力学的基础，是用来描述无耗散的物理过程与物理现象的一种 力学系统h a m i l t o n 系统的产生和发展经历了三个阶段：( 1 ) 经典h a m i i t o n 系统经典 h a m i l t o n 系统最初是为了研究几何光学而建立的，是一个偶数维的系统( 2 ) 广义 h a m i l t o n 系统广义h a m i l t o n 系统是由p a u l i ( 1 9 5 3 ) 和m a r t i n ( 1 9 5 9 ) 分别独立发现的 广义h a m i i t o n 系统可由广义p o i s s o n 括号定义，这是为解决相空间为奇数维而产生的( 3 ) 无穷维h a m i l t o n 系统在1 9 7 8 年左右，无穷维h a m i l t o n 系统的概念正式形成【】1 ，引进 无穷维h a m i i t o n 系统的目的是用类似于经典h a m i i t o n 系统的方法解决连续介质力学的 问题，诸如流体力学、弹性力学等无穷维h a m i l t o n 系统主要研究连续介质的稳定问题、 动力问题、弹性理论、复合材料力学、断裂力学问题等从上世纪末，诸如v i n o g r a d o v 2 1 ， o l v e r 1 1 ，a z i z o vty a 3 1 ，钟万勰【4 - 1 4 1 ，张鸿庆【1 2 1 5 , 1 6 1 ，郑宇【1 7 】等国内外很多学者都研究 过无穷维h a m ii t o n 系统 1 1 将无穷维h a m i i t o n 算子与分离变量法相结合，拓广了s t u r n - l i o u v i l l e 问题按 特征函数系展开的解法，解决了许多力学问题【1 3 ，1 4 1 现就二阶椭圆型方程边值问题简要 介绍这种分离变量法思想，考虑 口窘+ 6 塑+ c 粤一e a x a ya y 删， ( 1 1 1 ) 口一十d 一+ c 一 “= u 1 1 1 1 l 渤2 2 、7 这里系数a , b ，c ，e 皆为常数，且满足b 2 4 a c 0 ；自变量所在区域为条形域 ( x ，y ) o x 乃；0 1 其中x 为长度方向；边界条件为 u ( x ，o ) = u ( x ，1 ) = 0 ，( 1 1 2 ) u ( o ，y ) = u o ( y ) ，u ( h ，y ) = 0 ( 1 1 3 ) 易知，b = 0 时仍可用经典的分离变量法求解，但6 0 时显然已经脱离s t u r m l i o u v i l l e 方 绪论 法的范畴利用变分原理可将上述方程导向h a m i i t o n 体系： 令 则 剐= h = ba 2 a 砂 ( c 一石b z 万a z p ba 2 a 砂 ( c 一刁b 2 万a 2 一p u = h u ， 1 口 ba 2 口砂 1 口 b a 2 口砂 其中u = 甜，v 】。，h 是无穷维h a m i i t o n 算子应用分离变量法可以得到边值问题( 1 1 1 ) 一 ( 1 1 3 ) 的形式解 。 u = x 心) e ( 少) ，_ 明 1 1 ，1 2 ，1 5 ，1 6 研究了无穷维h a m i i t o n 算子特征函数系的完备性，2 0 0 5 年， 1 8 在 e 层空间讨论了可由传统分离变量的方程导出的无穷维h a m i l t o n 算子何特征函数系的 定理i i i 无穷维h a m i l t o n 算子h 的特征函数系在e e 中( 柯西主值意义下) 完 备，即对任意u = ； 鬈e ，u 关于特征函数系 以= 薄，卜虬如虮 的辛f o u r i e r 级数展开的柯西主值收敛而其本身在置e 中并不完备，其中 r 0 1 - 1 何。l _ c x ，一1 芸 p c x ，昙 。j + 4 内蒙古大学硕士学位论文 2 0 0 7 年， 1 9 就一类无穷维h a m ii t o n 算子的特征函数系分别在a b e l 意义、算术平均意 义、广义a b e l 意义、o 平均、g a u s s w e i r s t r a s s 平均意义下的完备性进行了讨论 为更好地应用无穷维h a m i l t o n 系统解决弹性力学乃至应用力学中出现的实际问题， 需要研究无穷维h a m i i t o n 算子国内外许多研究人员都从不同的角度讨论过无穷维 h a m il t o n 算子2 0 0 2 年，a z i z o vty a 3 1 在不定度规空间中讨论了非负无穷维h a m i l t o n 算子的有界性，其主要结果是：若非负无穷维h a m i l t o n 算子的定义域包含某个给定的不 定度规空间的一个极大正子空间，则无穷维h a m i l t o n 算子有界；k u r i n a l 2 0 1 研究了非负无 穷维h a m i i t o n 算子 = l 参一三。l ：。) 。o 。- - , x x ， 当彳或s 和w 具有有界逆时，珂具有有界逆；我们研究小组也研究了缺项算子矩阵的补 问题，采用空间分解的方法，讨论了缺项算子 h = 琴一三。 ，日= 三一二+ ，日= 三； ，日= 三习 可分别补为可逆的无穷维h a m i l t o n 算子的充分必要条件，更详细的内容参1 2 1 , 2 2 值得一提的是，自2 0 0 1 年，我们对无穷维h a m i l t o n 算子的谱进行了比较系统的研 究得到了无穷维h a m i i t o n 算子剩余谱为空集的充分必要条件，一类无穷维h a m ii t o n 算子连续谱为空集的充分必要条件等，并在不同的函数空间中给出了连续谱为空集、剩 余谱为非空集的例子相关结果如下： 定理1 1 2 1 2 3 1 设x 是h ii b e r t 空间，曰：d ( h ) cx x xxx 是无穷维 h a m i l t o n 算子，则q ( h ) = 巾的充分必要条件是仃p ) 是空集或盯p ) 关于虚轴对称 在 2 3 中，还给出了剩余谱盯，) 非空的例子： 例i i 3 2 3 设a ：z 2 一，2 的线性算子，对任意的x z 2 ，x = ( x i ，x 2 ，x 3 ，x 4 9 9 x n ，) 易知 令 a x = ( x l + 2 x 2 ，x l ，x 2 ，x 3 ，) a x = ( x l + x 2 ，2 x 1 + x 3 , x 4 ，x 5 ) 绪论 h = 罟一三 则h 为无穷维h a m i l t o n 算子，其剩余谱仃，) 是非空集除此以外， 2 4 在函数空间 三2 l 2 中构造了剩余谱非空的无穷维h a m i l t o n 算子 此外， 2 5 从c 。半群的角度考察了无穷维h a m i l t o n 算子，得到了一类无穷维 h a m i l t o n 算子生成c o 半群的一个充分条件，这给出了求解无穷维h a m i l t o n 系统的直接 方法 对于有限维h a m i l t o n 算子，其谱结构十分简明，如实h a m i l t o n 矩阵的谱正负成对出 现，而复h a m i l t o n 算子的谱关于虚轴对称特征值的这种性质称为h a m i l t o n 特征值对称， 或称谱的h a m i l t o n 结构，在解决某些特征值问题的数值方法中有重要应用，见 2 6 】及其 所引文献另一方面，h a m i l t o n 矩阵的谱型较为简单，只有特征值，这就不涉及剩余谱 和连续谱等的对称问题虽然，无穷维h a m i l t o n 算子方面已有很多结果，但一直未见关 于谱的对称性方面的描述，本文考虑了这个问题 6 内蒙古大学硕士学位论文 1 2 本文的主要结果 本文首先对无穷维h a m i l t o n 系统，特别是无穷维h a m i l t o n 算子已有的结果进行了较 详细的分析；随后研究了无穷维h a m i l t o n 算子谱的对称性的一些问题，其主要结果如下： 对于对角无穷维h a m i l t o n 算子 耻 吾一三。 利用对角元的谱关系，完整地刻画了无穷维h a m i l t o n 算子点谱在何时关于虚轴对称，得 到了点谱关于虚轴对称的几个等价条件，最后用例子说明了结果的正确性( 第二章) 在第二章的基础上，利用无穷维h a m i l t o n 算子关于虚轴对称的结果，从无穷维 h a m i l t o n 算子h 与其平方算子h 2 谱的关系出发，探讨了无穷维h a m i l t o n 算子谱关于实 轴的对称性，并从正反两个方面给出了具体算例( 第三章) 第二章无穷维h a m i l t o n 算子谱关于虚轴的对称性 我们知道，实h a m i l t o n 矩阵的谱正负成对出现；复h a m i l t o n 矩阵的谱关于虚轴对称 等特征值的这种性质称为h a m i l t o n 特征值对称，或称谱的h a m i l t o n 结构，在解决某些 特征值问题的数值方法中有重要应用相对于h a m i l t o n 矩阵，无穷维h a m i l t o n 算子还可 以出现剩余谱、连续谱等的一些非特征值谱，其谱结构较为复杂本章利用对角无穷维 h a m i l t o n 算子日的内部项a 和彳+ 的点谱，剩余谱刻画了无穷维h a m i l t o n 算子的点谱关 于虚轴的对称性，初步研究了无穷维h a m i l t o n 算子的谱结构 2 1 预备知识 定义2 1 1 设x 为h i l b e r t 空间，日：d ( h ) cx x x 寸x xx 是一个线性算子，如果 日满足c 册) = j h ，其中j = 二a 则称发展方程c 组) = 协为线性h a m t - t 。n 正则系统( 无穷维h a m i l t o n 系统) ，并称h 为线性h a m i l t o n 算子 于是，无穷维h a m i l t o n 算子可表为稠定闭算子矩阵 何= 罢三。 ，。c 日，c x x 寸x x ， 其中a 是x 中的稠定闭算子，b 、c 均为自共轭算子 定义2 1 2 设x 是b a n a c h 空间，a ：d ( a ) c x 专x 是闭线性算子，称集合 p ( 彳) = 2 cl ( 爿一见，) 一1 存在且r ( 彳一五，) = x j 为a 的预解集，p ( 彳) 中的五称为a 的正则值；称集合c r ( a ) = c p ( 彳) 为a 的谱集a 的谱 集仃( 彳) 可分成以下三部分： 一一 堕鍪壹奎兰堡主兰垡笙壅 一一一一一 - _ _ _ _ _ _ _ _ - - h _ _ _ _ _ _ _ _ - _ - _ - - _ _ _ _ _ 一一 仃( 么) = ( 彳) u 匆( 彳) u 叹( 么) 其中，称集合 ( 彳) = 力c i 么一名j 7 6 是- - 一的) 为彳的点谱；称集合 仃，( 4 ) ： 旯cl ( a 一允，) 一1 存在但葡万j 丽彳 为a 的剩余谱；称集合 o a a ) = f 五c l ( a 一兄，) 一1 存在，r ( a - 2 i ) = x 但r ( 彳一2 1 ) x 为彳的连续谱。这里，表示单位算子、r ( 么) 表示线性算子4 的值域、d ( 彳) 表示线性算子 么的定义域 引理2 1 3 设x 为h i l b e r t 空间，a 是x 中的稠定闭线性算子，则 ( i ) 若力盯| 口( 4 ) ，则万( 彳+ ) uc r r ( 么) ； ( i i ) 若a o - a a ) ，则才o p ( ) ； ( i i i ) , t o - a a ) 瓦o a a ) 证明参阅文 2 3 】 注释注意一个数集m 称为是关于虚轴对称的，如果五m 蕴含一a m ；类似地， 称m 关于实轴对称，如果五m 蕴含才m 特别地，我们约定空集既关于虚轴对称， 又关于实轴对称 2 2 对角无穷维h a m i l t o n 算子点谱关于虚轴的对称性 刿 的剩余谱为空集的充要条件已熟知，田( 凰) = 当且仅当点谱关于虚轴对称，因此只 一 9 4 0 = 子 算 nm甜h 维穷无虑 考节本 无穷维h a m i l t o n 算子谱关于虚轴的对称性 需考察何时点谱关于虚轴对称事实上，无穷维h a m i l t o n 算子点谱关于虚轴对称的这种 关系，本质上来源于4 和一a + 这种对应关系注意到q ( ) = 仃p ( 4 ) u ( 一a ) ，首先关 心的一个问题是吒( 彳) 与o p ( - a + ) 何时关于虚轴对称先给出一个引理 引理2 2 1 ( 彳) 与仃p ( 一a + ) 关于虚轴对称当且仅当q ( 彳) = o - a a ) = 证明假设q ( 彳) = q ( 一a ) = 则由引理2 1 。3 ，对任意旯仃。( 彳) ，有 万( 么) uq ( 彳) 。由o - , ( a ) = 知五o - , ( a ) ，从而_ - 盯。( - a ) 类似可知，当 旯o p ( 一a ) 时，兄o p ( 彳) 于是，( 4 ) 与仃p ( - 彳) 关于虚轴对称 反之，假设( 彳) 与o p ( - a ) 关于虚轴对称，显然若二者均为空集结论成立若不为 空集，对任意a ( 么) 均有一万盯p ( 一a + ) ，即才_ + ) ，因此万盛q ( 么) ，这表明 盯口( a ) n o - ，( 彳+ ) = xo a a ) c 仃p ( 爿) ，于是仃，( 彳) = 另一方面，对任意五盯。( 一a + ) 均有一万仃p ( 彳) ，即一2 , o - p ( 一a ) ，因此五诬仃，( 一彳) ，这表明o - p ( 一4 ) n o a - a ) ：又 而c ( 一彳+ ) ，于是o r ( 一彳) = ，即c r r ( 彳) = 证毕 因仃p ( 吼) = 似) u 巧p ( 一4 ) ，于是由引理2 2 1 有 定理2 2 2 若盯，( 么) = 仃，似+ ) = ，则仃。( 风) 关于虚轴对称 若啄( 彳+ ) ，则q ( a ) c ( a ) 非空记m = q ( a ) 仃。( 一a + ) ，另记 鸩= q ( a ) 仃，( 彳) ，显然， ( 凰) 2 ( 彳) u 盯p ( 一a ) = mu m 2u 盯p ( - a + ) 当彳m 时，一x e o , ( - a 。) ，因此一万萑( 一爿) ，这表明一面n ( 一a ) = ，即m l 中 的点关于虚轴的对称点均不在( _ 彳) 中设一万鸩( cc r p ( 彳) ) ，则彳( - 彳) u q ( 一彳+ ) 若名q ( 一a ) ，则一z o a a ) ，这与一万m ：矛盾，因此名仃。( 一a ) ，这又与五m 。矛 盾，于是- a 一盛m 2 ，这表明m 。中的点关于虚轴的对称点也不在m ，中 对任意名鸩，由鸩的定义知五咋) ，且五g o - a a + ) ，这样便有一万盯。卜彳+ ) 1 0 内蒙古大学硕士学位论文 又若q ( 4 ) = ，则当旯o r p ( - a 。) 时，- 2 o r j 口( a ) ，由于旯仨q ( 一a + ) ，即一允诺o - a a ) ，则 一万m ：，于是，m ：和盯。( 一a + ) 关于虚轴对称由此得到如下定理： 定理2 2 3 若q ( 4 ) = 巾，q ( 么) ，则仃p ( 风) 关于虚轴对称的充分必要条件为 m 。关于虚轴对称 当仃，( 么) 时，记坞= 而仃p ( 4 ) ，m 4 = ( 一a ) 而，则有 仃p ( h 0 ) = ( 么) u ( 一a + ) = 盯p ( 彳) u 托u 鸩 定理2 2 4 差：o - a a ) = ，仃，( 彳) ，则仃p ( 风) 关于虚轴对称的充分必要条件为 肘，关于虚轴对称 证明当五坞时，- 3 一 q ( 么) ，因此一万go p ( 彳) ，即m 3 中的点关于虚轴的对称点 均不在o p ( 彳) 中设- z e m a c o ( 一a + ”，则2 c o p ( 4 ) u q ( 爿) 若旯q ( 彳) ，则 一2 一e o - a - a ) ，这与一万m 4 矛盾，因此五仃。( 4 ) ，这又与旯坞矛盾，于是一万萑心，这 表明坞中的点关于虚轴的对称点也不在心中 对任意五m 4 ，由m 4 的定义见( 一爿) ，且旯叠c r r ( 一4 ) ，这样便有一旯( 彳) 另一方面，当 te o - p ( 彳) 时，瓦( 彳+ ) uq ( 彳) ，又盯，( 彳) = ，则瓦盯p ( 彳+ ) ，即 一一ze a ( 一a ) 由于允诺q ( 彳) ，即一万叠虿r 丽，因此一万鸩，于是，m 。和仃p ( 么) 关于 虚轴对称 综上，仃。( 凰) 关于虚轴对称当且仅当m ，关于虚轴对称证毕 若q ( 么) ，q ( 4 ) ，令m 5 = o , ( - a ) bc r , ( a ) ，则 a ( g o ) = 仃p ( 么) u ( 一a ) = m lu m 2 u m 3u 心u 坞 定理2 , 2 5 若仃，+ ) ，o - a a ) ，则o p ( 凰) 关于虚轴对称当且仅当m 。和m ，均 关于虚轴对称，且m s = 证明由前面讨论易知，当五m 。时，才甓仃。( 一a ) u 鸩，而注意到 无穷维h a m i l t o n 算子谱关于虚轴的对称性 ( 坞u 心u 忆) c 盯p ( 一彳+ ) ，因此一五薯m 2u 坞u 心u 心，即 一m 厂、( 鸩u 弘u 忆u 鸩) = ， 同理一m 3n ( m lum 2u m 4um 5 ) = 函 当五鸩( cc r p ( 彳) ) 时，一旯( 一彳) ，由此断言一名托若不然，则一名c r r ( 一么) ， 因此五o - a a ) ，这与五m 2 ( c 仃。( 么) ) 矛盾当五m 。时，由定理2 2 4 的证明知 一万( 彳) ，由m 4 的定义名口p ( 一a ) ，从而一万叠z 石万，因此一万m ：，于是m ：与 m 。关于虚轴对称 由m 5 n ( 鸩u m 4 ) = o 且m ：与m 。关于虚轴对称，便有一鸭r 、( 鸩u 心) = ，又据 第一段的证明知一心厂、( mu 鸩) = 巾，于是一m ，n ( m 】um ：u m ，um 。) = 妒另一方 面，若力m 5 ，则一旯c r , ( - a ) ，显然一旯仨仃。( 一a + ) ，从而一五萑q ( 一彳) nq ( 彳) ( = m 5 ) ， 即膨，不含任何自身关于虚轴对称的分支 综上，d r 口( 风) 关于虚轴对称当且仅当m 。和m ，均关于虚轴对称，且m ，= o 注意到c r ，( a ) = 和q ( 爿) = 分别蕴含m = 和m 3 = ，且均有m 5 = ，则定理 2 2 2 2 2 5 可归纳为 定理2 2 6 ( 凰) 关于虚轴对称当且仅当m 。和m 3 均关于虚轴对称，且鸠= 2 3算例 为说明前面结果的合理性，给出几个具体的例子 例2 3 1 设x 是h i l b e r t 空间，i 为单位算子，考虑无穷维h a m i l t o n 算子 日= 由于( ，) = 1 ) ，q ( ，) = ，因此由定理2 2 2 知( 日) 关于虚轴对称 1 2 内蒙古大学硕士学位论文 例2 3 2 设a ：z 2 _ ，2 的线性算子，对任意的x 1 2 , 石= ( 五，而，j c 3 ，x 4 ，毛，) ， a x = ( 一x t x 2 ，2 x l x 3 ，一x ，一x 5 ，) ， 易知 a * x = ( 一x l - 2 x 2 ，一x 1 ，一x 2 ，) ， 则无穷维h a m ii t o n 算子 日= 吾一三。 满足定理2 2 3 的条件，由于集合m 。不关于虚轴对称，i 因1 t j 5 0 - p ( h ) 不关于虚轴对称 事实上，直接计算得仃p ( 4 ) = 1 ，- 2 u ；t c ：h 1 ) ，o p ( - a + ) = 2 ) ，咋( 彳) = ， g ( - a ) = - 1 u a e c ：2 l 1 ，此时，m i = q ( 彳) 、( 一) = o - a a ) ，显然集合m 。不关 于虚轴对称 例2 3 3 设a ：，2 寸，2 的线性算子，对任意的xe1 2 , x = ( 五，恐，黾，x 4 ，_ ，) ， a x = ( - 2 x 2 ，2 x l ，x l 一觑2 ，x 3 ，z 4 ，) 则 a x = ( 2 x 2 + x 3 ，2 x 1 一x 3 ，x 4 ，x 5 ，) 易知无穷维h a m i l t o n 算子 日= k 0a 一 i 满足定理2 2 4 的所有条件，由于集合m 。关于虚轴对称，因此p ( 日) 关于虚轴对称 事实上，直接计算得 o p ( 么) = 2 f ) ，o p ( - a ) = 2 小j 力c ：h 1 ， c r r ( 4 ) = 五c ：h 1 ，o r ( 一a + ) = ，此时m 3 = 瓦葡盯p ( 彳) = 五c ：h 关于虚轴对称，但m ，不关于虚轴对称 事实上， 直接计算仃p ( 之j ) = - 2 ) ， 仃，( 一2 1 ) = 痧， 盯p ( 4 ) = 2 ) ，且 o r ( 彳) = - 1 u 2 c - 1 2 1 因为- i ( 何) ，但 1 8 内蒙古大学硕士学位论文 一1 仨p ( 日) ，显然p ( ) 兄c 恤2p ( h 2 ) 注释由引理3 1 1 ，集合p ( h ) ，仃) ，仃( h ) 吼) 都分别关于虚轴对称，如果它们 中的每一个还是关于实轴对称的，则上述定理可描述为： 推论3 1 6 设h 是无穷维h a m i l t o n 算子，如果日2 是稠定闭算子，那么集合 p ( 日) ，仃) 盯( 日) ，盯。) 由形如 五，一无，万，一瓦) 的元素构成的充分必要条件分别是 p ( ) = 缸c l 牙p ( h 2 ) j ，仃( ) = p c p 2 o - ( h 2 ) j ， 盯p ，( ) = 以c 肛2 盯( 2 ) 和c r c ( 日) = p c 肛2 o c ( h 2 ) 。 3 2 定理的应用 在区域 ( x ，y ) 1 0 z 向，0 y 1 ) 上考虑条形板弯曲方程 。睁割2 删， 边界条件为 及 ( 3 。2 1 ) 吣，o ) 钏( 蹦) 一0 ，等o ) _ 雾( 础瑚， ( 3 2 2 ) ( 加c v 国( 0 ，y ) ，c o ( h ，y ) ，c a 。a ) 、0 ，y ) ，a 刍c o 、h ，j ，) 分别为给定函数 ( 3 2 3 ) o x钟 如【6 】所述，令 曰= 警胪。( 窘+ 苗妙m = 一。( 窘+ 等) ， 则可将( 3 2 1 ) 导向无穷维h a m i l t o n 系统 1 9 无穷维h a m i l t o n 算子谱关于实轴的对称性 且相应的无穷维h a m i l t o n 算子为 0 a 2 砂2 o 0 h = 0 d 2 妙2 loo 0 0 一一1 d o0 o一1 l0 oo ooo o01 0 0 0 ( 3 2 4 ) 对于算子( 3 2 4 ) ，引入状态空间w = r o ，1 】r o ，1 】r 【0 ，l 】f 0 ，1 】，由边界条件( 3 2 2 ) 和( 3 2 3 ) 得 f d ( h ) = 【至1三f：j：i?箸竺磊。m，。(，1e c o ( 0 ) ) = 。 c 3 2 5 ， 三翟嬲篡。，卜0 2 卸 我们断言：对于由方程( 3 2 1 ) 及边界条件( 3 2 2 ) 和( 3 2 3 ) 确定的条形板弯曲方程导出的无 穷维h a m i l t o n 算子日，其谱仅由特征值构成，且关于实轴对称 事实上，易知无穷维h a m i l t o n 算子日的平方算子 其中 日2 ： 一d 2 。00一1 d y 2 d 。一矿d 2 五1 。 0o 0o 2 0 一d 2 彳0 m y 2 。一矿d 2 ( 3 2 6 ) 缈秒 g m 铲一妒 西口g 砌 三d r 一伊 d 尘酽 内蒙古大学硕士学位论文 d ( h 2 ) = 彩 秒 g m帆篇舞三嬲嚣；裟篙嵩 由( 3 2 。6 ) 7 茸i ( 3 2 7 ) ，直接计算得 o - ( h 2 ) = ( 日2 ) = 力c i 旯= 七2 万2 ，k = 1 ，2 ，3 ； 另一方面，可以证明 仃( 日) = 仃p ( 日) = a c = 七7 ，k = l ，2 ，3 ) 显然 ( 日) = p c 1 名a ( h 2 ) j ， 而且仃( h ) 关于实轴对称这与本文结论相吻合 。一。一 2 1 内蒙古大学硕士学位论文 总结与展望 本文讨论了无穷维h a m i l t o n 算子谱的对称性，从不同角度得出谱在一定 条件下关于虚轴和实轴对称不同于以往的研究方法，这种结果的得出有利 于进一步研究和探讨该算子的点谱、连续谱、剩余谱的内在联系，例如计算 出点谱就可知道剩余谱的情况，因此可以利用点谱刻画剩余谱；并且可以一 目了然地看出无穷维h a m i l t o n 算子的谱结构，对于发展无穷维h a m i l t o n 系 统的数值方法有一定意义但这方面还有许多要做的工作，如是否可以通过 l 无穷维h a m i l t o n 算子h 与其平方根算子i 或通过无穷维h a m i l t o n 算子日与 日”的谱的关系研究日的谱的结构；反之，是否可以利用无穷维h a m i l t o n 算 子日的谱研究日“的谱，因为圩一是高阶微分算子矩阵，有时较日复杂 以上是本文工作的小结，文中定有不少不妥之处，敬请各位专家学者批 评指正，谢谢! 内蒙古大学硕士学位论文 参考文献 1 o l v e rej a p p l i c a t i o n so fl i eg r o u p st od i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( g t m 。v o l10 7 ) n e wy o r k ： s p r i n g e r - v e r l a g ，19 8 6 2 v i n o g r a d o va m h a m ii t o ns t r u c t u r ei nf i e l dt h e o r y m a t h ，d o k l ，1 9 7 8 ，1 9 ：7 9 0 7 9 4 3 3a z i z o vty ，d i j k s m aa ，o f i d n e v aj vo nt h eb o u n d e d n e s so fh a m i l t o n i a no p e r a t o r s a m e r m a t h s o e ，2 0 0 2 ，1 3l ( 2 ) ：5 6 3 5 7 6 4 姚伟岸，钟万勰著辛弹性力学高等教育出版社，2 0 0 2 5 钟万勰哈密顿方程本征解的完备性大连理工大学学报，1 9 9 5 6 钟万勰。分离变量法与哈密尔顿体系计算结构力学及其应用，1 9 9 1 ，8 ( 3 ) ：2 2 9 2 3 9 7 钟万勰条形域平面弹性问题与哈密尔顿体系大连理工大学学报，1 9 9 1 ，31 ( 4 ) ：3 7 3 3 8 4 8 欧阳华江，钟万勰，杨琦，邓子辰二阶椭圆型方程的广义解析解大连理工大学学报，1 9 9 3 ， 3 3 ( 3 ) ：2 7 6 2 8 2 9 钟万勰弹性力学求解新体系大连：大连理工大学出版社，1 9 9 5 ：6 6 - 7 4 1 0 钟万勰发展型哈密顿核积分方程大连理工大学学报2 0 0 3 ，4 3 ( 1 ) ：卜1 1 1 1 钟万勰椭圆型方程哈密顿本征解的完备性大连理工大学学报，2 0 0 4 ，4 4 ( 1 ) ：卜6 1 2 张鸿庆，阿拉坦仓，钟万勰h a m i l t o n 体系与辛正交系的完备性应用数学和力学，1 9 9 7 ，1 8 ( 3 ) ： 2 1 7 2 2 1 1 3 马坚伟，徐新生，杨慧珠等基于哈密顿体系求解空间粘性流体问题工程力学，2 0 0 2 ，1 9 ( 3 ) ：1 - 9 1 4 s u iyf z h o n gwx e i g e n v a l u ep r o b l e mo fal a r g es c a l ei n d e f i n i t eg y r o s c o p i cd y n a m i cs y s t e m a p p l m a t hm e c h ，2 0 0 6 ，2 7 ( 1 ) ：1 5 - 2 2 1 5 张鸿庆，阿拉坦仓无穷维h a m i l t o n 算子的特征函数系北京理工大学学报，1 9 9 6 ，1 6 ：4 1 - 4 5 1 6 张鸿庆，阿拉坦仓辛正交系的完备性问题大连理工大学学报，1 9 9 5 ，3 5 ( 6 ) ：7 5 7 5 8 1 7 郑宇，张鸿庆固体力学中h a m i l t o n 正则表示力学学报，1 9 9 6 ，2 8 ( 1 ) ：l1 9 - 1 2 5 1 8 阿茹娜一类无穷维h a m i l t o n 算子特征函数的完备性硕士论文呼和浩特：内蒙古大学数 学系，2 0 0 5 1 9 苏木亚基于h a m i l t o n 算子特征函数系展开的敛散性硕士论文呼和浩特：内蒙古大学数学 系，2 0 0 7 2 0 ga k u r i n a 1 n v e r t i b i l i t yo fn o r m e g a t i v eh a m i l t o n i a no p e r a t o r si nah i i b e r ts p a c e d i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s 2 0 01 ，37 ( 6 ) ：8 8 0 8 8 2 无穷维h a m i l t o n 算子谱关于实轴的对称性 2 1 侯国林，阿拉坦仓一类缺项无穷维h a m i i t o n 算子的可逆补