（应用数学专业论文）纯的有向三元系的大集及超大集的构造.pdf

摘要 设x 是一个v 元集， 3 x 上的一个可迁三元组( z ，y ，z ) 是由 有序对( 茁，可) ，( y ，z ) 与( z ，2 ) 构成的，这里x ，y ，。是x 中的相异元。x 上的一个有向三元系是一个对子( x ，b ) ，其中廖由x 的若干可迁三 元组( 称为区组) 构成，使得x 的每个f 由不同元素组成的) 有序对恰 出现在8 的一个区组中，记为d t s ( v ) 纯的d 丁s ( u ) ，记为p d t s ( v ) ， 满足条件： “若( z ，y ，z ) b ，则( z ，y ，z ) 岳b ”而p d t s ( v ) 的大集通 常记为l p d t s ( v ) ，p d t s ( v ) 的超大集通常记为o l p d t s ( v ) 在田子 红的博士论文中已经给出v 为偶数时l p d t s ( v ) 的存在性本文中 我们将继续讨论l p d t s ( v ) 和o l p d t s ( v ) ，给出一些递归构造，并得 到了一些新的结果 关键词：有向三元系，大集，纯的 河北师范大学硕士论文 ab s t r a c t l e txb ea 一s e t ，v23 at r a n s i t i v et r i p l e ( 。，y ，。) o i lxi sas e to f t h r e eo r d e r e dp a i r s ( z ，g ) ，( y ，z ) a n d ( ，z ) o fx ad i r e c t e dt r i p l es y s t e m o fo r d e rv ，d e n o t e db yd t s ( v ) ，i sap a i r ( x ，日) ，w h e r exi sav - s e ta n d 3 i sac o l l e c t i o no ft r a n s i t i v et r i p l e so nxs u c ht h a te v e r yo r d e r e dp a i ro fx b e l o n g st oe x a c t l yo n et r i p l eo f8 ad t s ( v 1i s c a l l e dp u r ea n dd e n o t e d b yp d t s ( v ) i f ( z ，y ，z ) 尽i m p l i e s ( z ，y ，z ) 隹廖al a r g es e t o fd i s j o i n t p d t s ( v ) i sd e n o t e db yl p d t s ( v ) a no v e r l a r g es e to fd i s j o i n tp d t s ( v ) i s d e n o t e db yo l p d t s ( v ) i ti sg i v e ni nt i a n sd o c t o r a lt h e s i st h a tt h e r ee x i s t s a nl p d t s ( v ) f o re v e no r d e r s i nt h i sp a p e r ，w ee s t a b l i s hs o m er e e u r s i v e c o n s t r u c t i o n sf o rl p d t s ( v ) a n do l p d t s ( v ) ，s ow eo b t a i ns o m ef l l r t h e r r e s u l t s ， k e y w o r d s ：d i r e c t e dt r i p l es y s t e m ，l a r g es e t ，p u r e 河北师范大学硕士论文 1 引言 设x 是一个口元集，秽3 ，x 上的一个可迁三元组( z ，y ，2 ) 是由有 序对0 ，y ) ，( y ，名) 与( $ ，名) 构成的，这里z ，y ，z 是x 中的相异元x 上 的一个有向三元系是一个对子( x ，艿) ，其中b 由x 的若干可迁三元组 ( 称为区组) 构成，使得x 的每个( 由不同元素组成的) 有序对恰出现 在嚣的一个区组中，记为d t s ( v ) 易知1 8 l = v ( v 一1 ) 3 一个d t s ( v ) 称为是纯的，记为p d t s ( v ) ，是指如果( z ，y ，名) b 则( z ，y ，z ) 隹8 一个t ，阶有向三元系大集，简记为l d t s ( v ) ，是一个三元系簇 ( x ， 群) ：1 i t ，一2 ，r = 1 ，2 ，3 ) ，其中x 是口元集，每个僻，辫) 是一个 d t s ( v ) ，诸辫恰是x 上全部可迁三元组的分拆而l p d t s ( v ) 表示 一个l d t s ( v ) ，其每个小集d t s ( v ) 都是一个p d t s ( v ) 一个口阶有向三元系超大集，简记为o l d t s ( v ) ，是一个三元系 簇 ( y ) ，以) ：y vr = 1 ，2 ，3 ) ，其中y 是t ，+ 1 元集，每个 ( y 、 耖) ，心) 是一个d t s ( v ) ，而诸以恰是y 上全部可迁三元组的分 拆而o l p d t s ( v ) 表示一个o l d t s ( v ) ，其每个小集d t s ( v ) 都是纯 的 已经知道： 引理i i ( 【1 ，2 】) ( 1 ) p d t s ( v ) 存在的充分必要条件是 三0 ，1 ( m o d3 ) ，并 且t ，4 ( 2 ) l d t s ( v ) 存在的充分必要条件是口三0 ，1 ( m o d3 ) ，并且u 3 在1 9 9 7 年，为构作“广义s t e i n e r 系”一等价于最大常重码的一 类新的设计，k e v i np h e l p s 及c a r o ly i n 在【3 】3 中提出了一个新的公 开问题，即寻找两两不交的纯的m e n d e l s o h n 三元系大集及超大集 f e b e n n e t t ，康庆德，张寒涛和雷建国已经给出了一些初始结果( 见 【4 ，5 1 ) 现在，我们研究与此类似的问题一两两不交的纯的有向三元系 1 河北师范大学硕士论文 大集及超大集在田子红的博士论文中已经给出： 定理1 2 ( 6 】) 当u 三0 ，4 ( m o d6 ) ，并且t ，4 时存在l p d t s ( v ) 在这篇文章中，我们将继续讨论l p d t s ( v ) 及o l p d t s ( v ) 的存在 性问题我们给出了l p d t s ( v ) 与o l p d t s ( v ) 的一些递归构造，并 得到了进一步的一些结果 2 河北师范大学硕士论文 2 直接构造 本节，我们首先用直接构造的方法给出一些小阶数的l p d t s ( v ) 和o l p d ：r s ( v ) 其中大部分设计是由循环群产生的 例1 l p d t s ( 7 ) = ( o ，h u 磊，壤) ：z 磊，r = 1 ，2 ，3 ) ，这里 并且磁= 懿+ z ，z 磊，r = 1 ，2 ，3 ，其中口和6 是固定的 例2 l p d t s ( 1 3 ) = ( 磊u o ，6 ，c ，田，磁) ：z 磊，r = 1 ，2 ，3 u ( 磊u o ，b ，c ，田，珥) ：i = 0 ，1 ，r = 1 ，2 ，3 ) ，这里 凰j ：547 7d5 1d77o181n o78 876 618d1666d 3b6653235562 2677b226n a323n0 073 3744l3 b3114bb4880bdb00 口d5doab5 c5b67cc7006c6044o6c6n 口4cc4d d3c 3d8 8c32c8 8d2 2d44022011c25c1 105 508845 跺：47557dd71 n1718878o687 86116d6d6 63b536 35262572627b6 口22o303 口307 743 341 1b361448bb800dbod0do55n6 bc5cb770c6c004664o oc6c 口44dc3cd d83c3882c28dd42 240 012c21 15c510 085584 碌：754d57 71d17 口o818o7768186 6d1d6b b63365 523256 672b27o2b32oo03730 437 13431 b461 8b40b8b0dd0o n5d65o 56c7c60c7c06460o646nc4cndc4 cd3 83d38cc82d28 42d024 120 21cc15051 85o458 3 、，、，、j、j、，、， o 1 o 1 o 4 o 2 o 4 1 2 3 4 3 2 0 3 ，l，tl ， ， ， 句”d ， ， ， ， ， 6 2 6 1 0 3 3 1 2 3 2 4 ，l，l，l，l，t ， ， ， ， 回曲动动 阢b m 加参b办m“承m仉 ，l，l 妨动动u q 1 o 6 1 o n 西肌m m 办仉 ，t，l，l，l，l，l ， ， ， ， ， ， d d 曲 m甄m出孙纵 出加籼m 加b ，l，l，l，l，l，l动” 3 4 2 0 4 2 o 0 o 4 n o ，t，l，l，t，l，l ， ， ， ， ， 叻功 m如办阢m承 1 2 4 1 4 1 ，l，l，l 瑶 瑶 瑶 河北师范大学硕士论文 4 磁= 塌+ z ，z 历，r = 1 ，2 ，3 而 “：360 026 284 c01 d87 口cd 霹：603 2b0 842 01c 7d8 d 口c 棚：036 602 428 1c0 87d cdo 一4 ：o05 248 8o3 10b 78d ndc 栅：05n 824 38 口 6l0 8d7 cnd 053 670 462 12c 76d 6dc 530 067 624 c12 6d7 cbd 3o5 70b 24b 2c1 d76 dcb 51o 852 368 621 d67 6cd 口51 528 683 21b 67d d6c 口5o 407 6b4 c23 d65 04a 7l4 416 34c 54d o48 83 口a37 72o6o2 206 173 3b 16 3557b 275 582 n6115 口8511 b88b6638 c4556c c6778c0c88d0 d43 32d d2110dobc6od 0 口5n04 48n n83 37oo72 26o062 740147731b1335b7b5527258 466 641 1o65 口118581b b68386 23c4c35c4 6c57c6 8c7 c8008d 5d64d53d4d32 21d d10bco 口d6 50o4o08o43n87o32o7 口26 620 07447131713b563 657752 825 b4616461o o15518681686863 3c2 c3445cc5667cc7880cd08 65d d5443d2d3 1d20d1cobd6n 1588c131cc53 75c c0720cc42 2577o23o7713417704 40n o84 c8664c1466o12o6602 063 350 32bb4354b b65766 b878b00d8 56d d4534dd2312d d01 bo c obd 815c18 1c33c55c77c00c2 42c 725 27o o73371 174047o404o8 86cc64461 16oo62260306503 b323b44b5656676 7b808b d80 d565d4 4d3 23dd12 01doc66d 口 河北师范大学硕士论文 搿：5n0 1o558118cc31 482285572o2773o o388366c84c6614 0b11b22b3436b54 d78 7d66d545d d34 dcocd6 53cc7507cc202c4 137741470 0o484 口 o1662o026630 035 566 6b787bb0880d 3d2 2d1 1d0cb 口do i , b 例3 o l p d t s ( 4 ) = ( 磊 z ) ，磁) ：茹磊，r = l ，2 ，3 ) ，这里 瑞= ( 1 23 ) ，( 314 ) ，( 241 ) ，( 432 ) ) ； 瑶= ( 2 13 ) ，( 431 ) ，( 124 ) ，( 342 ) ； 魂= ( 312 ) ，( 134 ) ，( 421 ) ，( 243 ) ) 而且毽= 瑞+ z ，z 磊，r = 1 ，2 ，3 例4 d l 尸刃s ( 6 ) = ( 历如) ，毽) ：$ 历，r = 1 ，2 ，3 ) ，这里 瑶= ( 152 ) ( 235 ) ( 432 ) ( 264 ) ( 621 ) ( 514 ) ( 536 ) ( 341 ) ( 465 ) ( 1 63 ) ) ； 瑶= ( 1 23 ) ( 256 ) ( 532 ) ( 316 ) ( 651 ) ( 634 ) ( 154 ) ( 462 ) ( 4 35 ) ( 241 ) ； 魂= ( 134 ) ( 6 24 ) ( 312 ) ( 215 ) ( 542 ) ( 236 ) ( 453 ) ( 516 ) ( 461 ) ( 635 ) ) 并且磁= 弼+ 石，茁历，r = 1 ，2 ，3 例5 o l p d t s ( 7 ) = ( 磊p ) ，毽) ：z 磊，r = 1 ，2 ，3 ，其中 雠= ( 2 56 ) ，( 461 ) ，( 716 ) ，( 231 ) ，( 172 ) ，( 513 ) ，( 154 ) ， ( 473 ) ，( 375 ) ，( 452 ) ，( 657 ) ，( 364 ) ，( 274 ) ，( 632 ) ； 瑞= ( 5 62 ) ，( 614 ) ，( 167 ) ，( 312 ) ，( 721 ) ，( 135 ) ，( 541 ) ， ( 734 ) ，( 537 ) ，( 245 ) ，( 765 ) ，( 436 ) ，( 427 ) ，( 263 ) ； 瑶= ( 6 25 ) ，( 146 ) ，( 671 ) ，( 123 ) ，( 217 ) ，( 351 ) ，( 415 ) ， ( 347 ) ，( 753 ) ，( 524 ) ，( 576 ) ，( 643 ) ，( 742 ) ，( 326 ) 并且毽= 塌+ z ，z 汤，r = 1 ，2 ，3 例6 o l p d t s ( 9 ) = ( 历o z ) ，院) ：$ z l o ，r = 1 ，2 ，3 ) ，其中 魂：241 547 845 673 374 652 238872 356698276942 816483 496 614 789132319 518 259917 7l5953 5 河北师范大学硕士论文 437 681 592 265 834 179 382 649 57l 728 146 395 t 3 3 0 ：124 475 584 367743 526 823 287 635 869762 429168348 964 461 978321193851925 791157 539 并且磁= 懿+ z ，茁z t o ，r = 1 ，2 ，3 例7 o l p d t s ( i o ) = ( 磊l z ) ，磁) ：z 历l ，r = 1 ，2 ，3 ) ，其中 召 n ：719045570609 810406078013 902320 842627916518259231152954614 417 563 893348724 736987439 268 375 865 203 741 658 召n ：971 504057 096108640780301290032 284 276169 85l592123215 495461l74 635938 483 472 367 879394682753586 并且磁= 研o + z + 1 ，z 历1 ，r = 1 ，2 ，3 例8 o l p d t s ( 1 3 ) = ( 历4 z ) ，院) ：z z 1 4 ，r = 1 ，2 ，3 ，其中 8 x ：241 b146 1b47b8168b76d898dd49 9466 5979 51g2b3674d718517d62 389 64a56397ggl9 913 a3 1d37d15 6g7g5b3b5 32g1da73a 7262 3da c6 8342b88 5 2e43a272a98ga4255a4 4c8 gb2a585cdbdcadb b9a 瑶：124 694 938 c76 483 84c 4b1 596 4a6 5b g b82 29b 1b6 957 635 b53 285 58a b47 2lg 7g9 g32 3e4 gd5 68 1 36b 9g1 da1 7a2 dcb 78 口 d74 1 39 a73 92a bag d86 187 3 1a 267 c a8 4b9 8d9 751 37d d23 542 49d 62d 1 5d 6a g a45 6 6 4 5 3 9 8 7 2 1 8 7 1 5 2 3 4 6 9 4 6 3 5 8 1 7 9 2 2 3 7 1 6 9 4 5 8 瑶 9 6 7 2 4 3 o 1 5 0 9 6 3 4 2 1 5 8 7 1 3 o 2 4 8 5 9 4 2 8 6 1 9 o 3 7 1 5 3 8 2 7 o 9 6 0 5 7 6 8 4 9 1 2 5 1 4 0 9 3 7 6 8 o 2 9 5 6 8 4 7 3 7 8 6 9 2 5 1 4 3 碥 河北师范大学硕士论文 睬：4i2 14bb6i7b4 4699 65579c21 893a643 5 6c97 76gb g5 53b2g3 34882b528 43d c84b29 8a5d5a 168b7886d d98 9d4 6b3d7487l 1752d6 19g391la37d3 5d1 a1d3a76723d2d6a 27aa92a8g25445a cbd dba9ab 并且磁= 塌+ z ，z z 1 4 ，r = 1 ，2 ，3 ，这里a = 1 0 ，b = 1 1 ，c = 1 2 ，并且 d = 1 3 7 河北师范大学硕士论文 3 递归构造及结论 一个s ( t ，k ，钉) ，勘，ten ，k 1 ，2 ，t 一1 ) ，是一个对子( x ，召) ，其 中x 为t ，元集，b 为x 的一些子集( 简称区组) 构成的集合，使得 x 上每个扣子集恰出现在b 的一个区组中，且对任意区组b b ，均 有i b i k 当k = 七) 时，通常记s ( t ， 后 ，t ，) 为s ( t ，k ， ) 下面我们 主要应用t = 3 时的设计，即s ( 3 ，k ，钉) 引理3 1 对一个s ( 3 ，k ，u ) ，如果存在一个o l p d t s ( k 一1 ) ，其中k k ， 则存在一个o l p d t s ( v 一1 ) 证明设s ( a ，k ，v ) = ( x ，q ) ，其中i x l = t ，对每个区组b q ，已知存 在o l p d t s ( i b l - 1 ) = ( 趴 z ) ，以( b ) ) ：z b ，r = 1 ，2 ，3 ) 定义 以= u 以( b ) ，。x ，r = 1 ，2 ，3 ， 尘b n 则 扛) ，以) ：z x ，r = 1 ，2 ，3 ) 为所求的一个o l p d t s ( v 一1 ) 口 定理3 2 当秽= 铲，p ，9 n ，1 3 n ，2 5 ”及2 5 4 n ，其中n 为任意的正整数，存 左o l p d t s ( v ) 证明已经知道存在s ( 3 ，5 ，2 6 ) ，参见文【7 】应用【8 】8 中的递归构造 “s ( 3 ，q + 1 ，甜+ 1 ) 一s ( 3 ，q + 1 ，q v + 1 ) ”， 这里q 是素数幂对n 0 ，我们可以证明s ( 3 ，4 + 1 ，4 ”2 5 + 1 ) 存在又由 上一节中例3 ，o l p d t s ( 4 ) 存在，从而由引理3 1 得知o l p d t s ( 4 n 2 5 ) 存在 进一步，s ( 3 ，q + 1 ，q n + 1 ) 对任意素数幂q 是存在的( 参见文 8 d 特别当q = 4 ，7 ，9 ，1 3 及5 2 时，s ( 3 ，口+ 1 ，q “+ 1 ) 存在由上一节例3 ， 5 ，6 ，8 ，可知o l p d t s ( q ) 对q 4 ，7 ，9 ，1 3 ，5 2 存在应用上面的递归 及引理，可得结论 口 8 河北师范大学硕士论文 钉元集x 上的一些可迁三元组称作是几乎平行类，如果它们对于 某个z x 恰构成x p ) 的一个分拆若一个d t s ( v ) 的区组集可分 拆为若干个几乎平行类，则称它是几乎可分解的一个o l p d t 。q ( v ) 称作是r e l a t i o n a l 的，若o l p d t s ( v ) = z ) ，磁) ：z x ，r = 1 ，2 ，3 ) ， 其中x 是u + 1 元集，对某个y x ，或( r = 1 ，2 ，3 ) 是几乎可分解的， 其几乎平行类记为弼( z ) ( 为x ，名) 的分拆，其中名x 可) ，即不 含z 的几乎平行类) ，且对每个r 1 ，2 ，3 ) 都有 ( u ，口，w ) 弼( z ) 毒( y ，t 正，u ) ，( 甜，y ，伽) ，( “，叫，y ) 毽 不难发现，上节例3 给出的o l p d t s ( 4 ) 既是”r e l a t i o n a l ”的实际 上，每个弼是几乎可分解的，其每个区组就是一个几乎平行类例 如( 4 ，3 ，2 ) 麟，贝l j ( 0 ，4 ，3 ) ，( 3 ，0 ，2 ) ，( 4 ，2 ，0 ) 层 礼元集x 上的一个他阶拉丁方是指一个竹n 阶方阵，其诸行( 列) 为x 的一个排列如果佗阶拉丁方中不同行不同列的佗个位置上的 元全不相同，则称这些位置组成该拉丁方的一个截态一个n 阶拉 丁方若可分拆为佗个截态，则称此拉丁方有截态分解两个n 阶拉 丁方l = ( ) 与l i = ( b i j ) 不相交是指对于拉丁方的任意位置( i ，j ) 都 有幻简便起见，记竹个两两不相交的n 阶拉丁方集为l l s ( n ) ， 称为竹阶拉丁方的大集所谓一个m - l l s ( n ) 指的是满足下述条件的 l l s ( n ) = 皿：1si 他) ：它的每个拉丁方取( 1 i n ) 中均可取出 m 个截态d ，田，毋( 1 i n ) ，而对每个歹，讲，趁，积恰可拼成 一个拉丁方( 1 j m ) ，并且这m 个拉丁方l 1 ，l 2 ，是两两不 交的 引理3 3 9 1当钉三1 ，5 ( m o d6 ) 时，存在m l l s ( v ) ，这里1 m t ， 引理3 4 对n 兰1 ，3 ( m o d6 ) ，如果存在1 - l l s ( n ) ，o l p d t s ( n ) 及r e l a - t i o n a lo l p d t s ( m ) ，则存在一个o l p d t s ( n m ) 9 河北师范大学硕士- - i c z 文 1 0 构造设1 - l l s ( n ) = 皿：z 磊) ，磊= o ，1 ，n 一1 ) 对每个拉 丁方功，存在一个截态西使得u 西也是一个拉丁方令r e l a t i o n a l o l p d t s ( m ) = ( ( z m u o 。) ) 扛) ，毽) ：。z m u 。o ，= 1 ，2 ，3 ，其中 瓯，r = 1 ，2 ，3 是几乎可分解的，它的几乎平行类为( z ) ，z 磊，r = 1 ，2 ，3 ( 即不合元素z ) 取r = ( 扛) 磊) u 。 一个o l p d t s ( n ) = ( 趴 ( z ，z ) ) ，f ) u ( 矾 o o ) ，瓯( z ) ) ：l 磊，r = 1 ，2 ，3 设( 磊，o ) 为一个 拟群，对任意的i 磊都满足i o = 0 再设y = ( z 名x 磊) u 。) ，现在 y 上构造一个可迁三元系q ；( r = 1 ，2 ，3 ) 如下： q ：( 。z m ，l z k ，r = 1 ，2 ，3 ) ： ( 1 ) 1 ( 2 ) ( o 。，( “，i ) ，( 锄，j ) ) ，( ( 秽，歹) ，o o ，( 仞，忌) ) ，( ( “，i ) ，( w ，后) ，o o ) ， 其中( ，口，w ) z 毪( z ) ，( i ，j ，惫) d l ， ( 3 ) ( ( u ，i ) ，( 副，歹) ，( w ，庇) ) ，其中( u ， ，叫) 舀毛( 正) ，( i ，j ，k ) d l d t ， ( 4 ) ( ( t 正， ) ，( 钉，歹) ，( t u ，后) ) ，其中( u ，口，w ) 召：，( i ，j ，k ) d l ， ，w z 赢 设厶= g c d ( n ，i 0 1 ) ，& = 嚣，并且0 p 8 一1 ，0 口t i 一1 ，i 磊 f ， 对让z m 茹) ，定义： ( 5 ) 对q ：1 i ( ，i ) ，( 让，p ( i o o 、4 - 口) ，( “，( p + 1 ) ( i 0 1 ) + 口) ) p 0 ，偶数 8 为奇数 ( ( u ，q ) ，( $ ，t ) ，( 让，i o l + 口) ) i ( ( ，p ( i 0 1 ) + 口) ，( u ，p + 1 ) ( i 0 1 ) + 口) ， ， ) ) p 奇数 汹偶数黹搿二，2 7 龆巷翟酬；篆 对噶1 i ( 0 ，i ) ，( u ，( p + 1 ) ( i 0 1 ) + q ) ，( u ，( p + 2 ) ( i 0 1 ) + 口) ) p 0 ，偶数 s 为奇数 ( ( u ，i o l + q ) ，( 。，i ) ，( “，2 ( i 0 1 ) + 口) ) i ( ( 让，( p + 1 ) ( i 0 1 ) + g ) ，( ，( p + 2 ) ( i 0 1 ) + 口) ， ，i ) ) p 奇数 & 为偶数 菠：未举翟二名? i 之苍翟( + 窃；麓 河北师范大学硕士论文 对q ：1 f ( ( 茹， ) ，( u ，( i 0 1 ) + g ) ，( u ，2 ( i 0 1 ) + 口) ) 毛为奇数 ( ( “，p ( i 0 1 ) + 口) ，( 茁，i ) ，( ，( p + 1 ) ( i 0 1 ) + 口) ) ，2 p 8 i 一1 l ( ( t ，口) ，( “，( i 0 1 ) + g ) ，( z ，i ) ) 8 为偶数( ，p ( i 0 1 ) + g ) ， ，i ) ，( ，( p + 1 ) ( i 0 1 ) + g ) ) p = 1 ，2 ，3 ) ： ( 1 1 。技瓯( 。) ( 2 ) ( ( 让，i ) ，( u ，j ) ，( w ，七) ) ，其中( ，口，叫) 瓯，( i ，歹，k ) u d t c 4 n 则 ( y 耖) ，q ；) ：y k r = 1 ，2 ，3 ) 是一个o l p d t s ( n m ) 证明( 1 ) 诸哦j 是一个p d t s ( n m ) ，其中z 磊，l 磊，r = 1 ，2 ，3 首先( ( 磊磊) u o o ) ) ( 。，z ) ) 中任一有序对p 均包含在区组集q ：，l 中 ( i ) p = ( o o ，( $ ，1 ) ) ，( ( z ，i ) ，o 。) ，( ( z ，i ) ，( z ，j ) ) ，其中i j 磊 m 由于 q 是集合( $ ) 磊) u o o ) ( z ，z ) ) 上的一个d t s ( n ) ，故p 含在，l 中 ( i i ) p = ( o o ，( u ，i ) ) ，其中 z ) 由于瓯( z ) 是磊上的几乎可分 解的d t s ( m ) ，故对于u z 赢，存在口，w z 击，使得( u ，t ，叫) 召毛( z ) ，或 ，让，u ) 鼹( z ) ，或( ，w ，u ) 瓯( z ) 若( “，口，砌) 坟。( z ) ，则对于i 磊， 存在j ，k 磊使得( i ，五七) d t ，故p 含在( 2 ) 的区组( o o ，( ，i ) ，( 钉，j ) ) 中；若( 伽，让，钉) 鼹( z ) ，则对于i 磊，存在j 7 ，k 7 磊使得，i ，七) d t ， 故p 含在( 2 ) 的区组( o 。，( 伽，j ) ，( u ，i ) ) 中；若( u ，叫，“) 瓯( z ) ，则对 于i 磊，存在j ，k 磊使得( j ”，i ) d l ，故p 含在( 2 ) 的区组 ( ，) ，。o ，( ，i ) ) 中 ( i i i ) p = ( ( u ，i ) ，。o ) ，其中“ z ) 同( i i ) 可证得p 亦包含在( 2 ) 的区组中 ( i v ) p = ( ( z ，i ) ，( 让，s ) ) ，( ( t 正，s ) ，( z ，i ) ) ，其中“z m z ) ，8 z k ，i 1 1 河北师范大学硕士论文 磊 味对于s 磊，存在p ，q 磊使得s = p ( i oz ) + g 则p 含在( 5 ) 的区组中 ( v ) 尸= ( ( ，t ) ，( 让，歹) ) ，其中u z 击扛) 在( 磊，o ) 中存在k 磊，使 得k o f = j i ，故p 含在( 5 ) 的区组中 ( v i ) 尸= ( ( 乱，i ) ，( u ，j ) ) ，其中u t ，z 赢p 对于t t ，存在 z mu o o ) ，使得( 钍，t ，w ) 磁或( 珏，硼，口) 磁或( w ，u ) 磁， 当叫= o o 时，若( ，u ，) 磁，则存在w z k 使得( “，w ，t ，) 召k ( z ) ， 而对于i ，歹存在k 使得( i ，惫，j ) d t 或d f d r ，故p 含在( 2 ) 的区 组( ( 让，i ) ，( u ，歹) ，o o ) 或( 4 ) 的区组( ( “，i ) ，( ，七) ，( ，歹) ) 中；若( u ，o o ，口) 磁，则存在伽”磊使得( w ”，u ，钉) 瓯( z ) ，而对于i ，歹存在k 使得 ( k ，l ，j ) d l 或d l d t ，故p 含在( 2 ) 的区组( ( u ，t ) ，o o ，( 口，歹) ) 或( 4 ) 的 区组( ( 叫”，后) ，( 札，i ) ，( ，j ) ) 中；若( o o ，u ， ) 磁，则存在伽磊使得 ( u ，口，叫) 玩。( 。) ，而对于i ，j 存在k ”使得( i ，j ，k ”) d t 或d 八西，故 p 含在( 2 ) 的区组( o o ，( u ， ) ，( 钉，j ) ) 或( 4 ) 的区组( ( ，i ) ，( 钉，歹) ，( 叫，) ) 中 当w o o 时，若( ，u ，w ) 磁，则对于i ，j 存在k 使得( i ，歹，k ) d l ， 故p 含在( 3 ) 的区组( ( 牡，i ) ，( 口，歹) ，( t ，七) ) 中；( w ，“，t ，) 磁，则对于i ，歹 存在k 使得( k ，i ，j ) d l ，故p 含在( 3 ) 的区组( ( 伽，) ，( u ， ) ，( t ，j ) ) 中； 若( 钍，w ，口) 毽，则对于i ，j 存在k ”使得( i ，歹) d l ，故p 含在( 3 ) 的区组( ( 让，i ) ，( w ，k ”) ，( ，j ) ) 中 其次说明q ：1 具有纯的性质由于( 趴 ( 茹，z ) ，吃f ) 是一个p d t s ( n ) ， 可知( 1 ) g 1 部分是纯的又由”r e l a t i o n a l ”o l p d t s ( m ) 的存在性 知瓯( z ) 及毽为纯的，因此对于( i ，五k ) d l ，或( ，歹，k ) d t ，可知 ( 2 ) ，( 3 ) ，( 4 ) 部分区组是纯的对于( 5 ) ，若区组( ( z ，i ) ，( u ，s ) ，( 缸，8 + l o t ) ) 与( ( “，占+ i 0 1 ) ，( u ，8 ) ，( 茹，i ) ) ( 或区组( ( t 正，s ) ，( z ，i ) ，( 让，s + i o t ) ) 与( ( u ，8 + i 0 1 ) ，( z ，i ) ，( 让，s ) ) ) 同时出现，则必有( s + i 0 1 ) + i o l = 8 ，这样导致2 ( i 0 1 ) = 0 1 2 河北师范大学硕士论文 而n 是奇数，所以i o l = 0 但是由( 磊，0 ) 是幂零拟群，矛盾所以( 5 ) 中区组是纯的 ( 2 ) q 毛是一个p d t s ( n m ) 首先磊上的任一有序对p 均在q 乙中出现 ( i ) p = ( ( 让，i ) ，( 乱，歹) ) ，其中i j 磊，t z 。因为c 譬( u ) 是 u 磊 上的d t s ( n ) ，故p 含在( 1 ) 的区组中 ( i i ) p = ( ( 乱，i ) ，( 口，歹) ) ，其中u 口磊易知p 含在( 2 ) 的区组中 对于纯的性质，由于o l p d t s ( n ) 存在知，( 茹) 是纯的，所以 u 瓯( z ) 是纯的又民是纯的，对( i ，j ，k ) u 西，显然第二部分 区组亦是纯的( 3 ) 诸三元系q ：1 ，q k ， z m ，z 厶，r = 1 ，2 ，3 ) 是两 两不交 首先噶，l 与q k 是不相交的，且对于不同的z 与z ，q ：，l 与q 钆， 亦不相交下面我们只需证明对于z f ，q ：。l 与q ： l ，不相交从构 造可知每个q ：1 含有四类可迁三元组：五= ( o o ，( “，f ) ，( 秽，歹) ) ，含o 。 的；t 2 = ( ( z ，i ) ，( u ，s ) ，( “，s + ioz ) ) ，第一坐标有两个相同的；死= ( ( 茹，i ) ，( 茁，歹) ，( 2 ，七) ) ，第一坐标三个全相同的；t 4 = ( ( u ，i ) ，( u ，歹) ，( w ，忌) ) ， 第一坐标全不同的因为截态西与d f ，亦均是拉丁方u 函的截态，故 乃在噬，l 与铌中不相交；其次，对于相同的( z ，i ) 及( 札，s ) ，若z z 7 ， 则有ioz i o f ， 从而t 2 在构造中不相交；再次，因为q fnq ，p = ， 故乃在q 翕与q ：。p 中也不相交；最后，由毋与d ：的不交性而断言 正在其中亦是不相交的 口 定理3 5 对t ， 4 p ，4 1 3 “，4 2 5 “) ，n 0 ，存在o l p d t s ( v ) 证明由定理3 2 ，对q p ，1 3 ”，2 5 “) 存在o l p d t s ( q ) ，又由于口罩 1 ( r o o d6 ) 时由引理3 3 ，存在1 - l l s ( q ) 另一方面，存在r e l a t i o n a l o l p d t s ( 4 ) ，从而结论成立 口 1 3 河北9 币范大学硕士论文 1 4 引理3 6 对奇数u ，如果存在o l p d t s ( u 一1 ) 及o l p d t s ( v 一1 ) ，则存 在一个o l p d t s ( u v 一1 ) 构造设o l p d t s ( v 一1 ) = ( 磊 t ) ，a ) ：i 磊，r = 1 ，2 ，3 ) 对任 意i 磊，在集合0 况上构造一个o l p d t s ( u 一1 ) = ( ( 口 况) ( i ，歹) ) ，鼠j ) ：j 玩，= 1 ，2 ，3 ) 设( 磊，0 ) 为一个拟群，满足i o i = 0 ， i 玩o l = ( 0 ，1 ，珏一1 ) 为磊上的一个置换现在我们在集合磊么 上构造3 u v 个可迁三元系如0 磊，j 磊，r = 1 ，2 ，3 ) 如下： 如： ( 1 ) 磁， ( 2 ) ( ( z ，z ) ，( y ，m ) ，( z ，( f d m ) ) ) ，其中( 。，y ，名) a ，1 ，m 磊， ( 3 ) 设“= g c d ( u ，k o j ) ，既= 嚣，k 磊 歹) ，0s p s 一1 ，0 q t k 一1 当r = 1 ， i ( ( i ，七) ，( z ，p ( 后o j ) + 口) ，( z ，+ 1 ) ( 七。歹) + 口) ) p 0 ，偶数 钆是奇数 ( ( z ，g ) ，( i ，七) ，( z ，k o j + g ) ) l ( 扛，p ( k o j ) + g ) ， ，( p + 1 ) ( k o j ) + g ) ，( i ，七) ) p 奇数 娃偶数麓p ( k o j 从) + z ，2 # j 渤! 舅? 渊p p 孚萋 当r = 2 ： i ( ( i ，七) ， ，( p + 1 ) ( k o j ) - - i - 口) ， ，( p + 2 ) ( k o j ) + g ) ) p 0 ，偶数 s 是奇数 ( ( z ，k o j + 口) ，( i ，后) ，( z ，2 ( k o j ) + g ) ) i ( ，p + 1 ) ( k o j ) + q ) ， ，p + 2 ) ( k o j ) + 口) ，( i ，后) ) p 奇数 嵌偶数麓p ( k o j ) 4 - 2 # j 渤竽舅? 蒯p p 裹萋 当r = 3 ： f ( ( i ，后) ， ，( k o j ) + 口) ，p ，2 ( k o j ) + g ) ) 乳是奇数 ( ( z ，p ( k o j ) + 口) ，( i ，七) ，( $ ，+ 1 ) ( k o j ) - i - 口) ) ，2 p 8 一1 【( ( z ，q ) ，( z ，( k o j ) + g ) ，( i ，七) ) s k 是偶数( ( z ，p ( k o j ) + q ，( i ，七) ，( x ，0 + 1 ) ( 七叮) + g ) ) 则 ( ( 磊i 磊) ( i ，j ) ) ，如) ：i 磊，j 磊，r = 1 ，2 ，3 ) 构成了一个 河北师范大学硕士论文 o l p d t s ( u v 一1 1 证明类似与引理3 4 有些类似，此处略 口 定理3 7 存在o l p d t s ( v ) ，其中t ， 7 1 1 “r i ( 4 。q ”+ 1 ) 一1 ) ，q 4 ，7 ，1 3 ，2 5 ，8 o ，1 ) ，z ，m ，t 0 ，n 1 证明由第二节例4 ，7 ，o l p d t s ( 6 ) ，o l p d t s ( i o ) 存在这样，根据定 理3 2 ，3 5 和引理3 6 ，结论成立 口 一个i - o l p d t s ( m + z ) ，指的是x 上的o l p d t s ( m + z ) 包含有 y ( cx ) 上的一个o l p d t s ( i ) ，这里i x i = m + z + 1 ，i yj z + 1 ，即 若o l p d t s ( m + z ) = ( x z ) ，鸽) ：x x ，j = 1 ，2 ，3 ) ，o l p d t s ( i ) = ( y 订，彰) ：y y , j = 1 ，2 ，3 ) ，则对于任意的y y 有b ；c 群 引理3 8 存在一个拟群满足条件：( 1 ) i o = 0 对任意i ； ( 2 ) io j jo i 对任意i j 证明设( 磊，o ) 是一个拟群，其中io ( “+ j ) m o du ) = j ，对i ，j 磊 不难验证此拟群满足引理中的