（应用数学专业论文）copula理论及其在相关性分析中的应用.pdf

山东大学硕士学位论文 中文摘要 本文主要研究了c o p u l a 理论及其在相关性分析中的应用在深入研究c 叩u l a 理 论的基础上，首先对两种最常见的c o p u l a 函数进行比较研究；然后构建了基于 c o p u l a 理论的沪深股市相关性模型，并通过参数估计求出了相应的联合概率分布； 最后研究了c o p u l a 模型在信用衍生品定价中的应用论文的主要工作和创新点如下： 1 许多学者用g 孤s s i 锄c o p u l a 建模，但是它无法捕捉到尾部变化，而且尾部 相关系数不存在本文采用c o p u l a 度量中国股市的相关性，用二步估计方法估计未 知参数，并计算出了沪深股市在c o p u l a 模型下的尾部相关性指标，克服了g a u s s i 锄 c o p u l a 对相关性建模的不足，最后通过对沪深股市的实证分析并结合m o n t ec 盯l o 模拟比较说明t c o p u l a 优于g a u s s i a nc o p u i a 2 相关性分析是多变量金融分析中的一个中心问题，由c o p u l a 函数决定的相 关结构打破了线性相关的界限，反映了非线性的变化论文以沪深股市l o 种指数为 例，对沪深股市进行基于c o p u i a 方法的相关性分析，给出多元相关结构的参数估计； 并由得出的相关结构求出了多元联合分布函数 3 近年来，信用衍生品( c d o ) 市场发展迅速，信用衍生品也从面向单一信用 风险转为面向组合信用风险资产违约的相关性越高，同时发生违约的可能性就越 大，这将导致信用资产组合出现大范围的损失资产问的违约相关性因此成为信用 产品组合定价的核心本文利用c o p u l a 理论对信用衍牛品( c d 0 ) 市场的资产池中 资产间的违约相关性进行了研究，并求出来信用资产池中资产问的违约联合概率 分布 关键词：c o p u i a 函数；相关性分析；参数估计；信用衍生品；联合概率分布 生奎奎兰! ! 主兰! 兰笙兰 a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，c o p u l at l l e o r y 锄d 协印p i i c a l i o n si nc o r r e l a t i o n 锄a l y s i sa s t u d i e di n t e n s i v e ly b a do nt h et h o r o u g l ls t i l d yo nc 叩u l am c o 哪t w ok i n d so ft h e m o s tc o m m o nc o p u l af h n c t i o na r ec o m p a 刚a tf i r s t ，锄dt h e nt h ec o r r e l a t i o nm o d e l - n s h a n g h a i 锄ds h e n z l l e ns t o c km 刊( e t s ，b a s e do ng d p u l at i l 睇i sp u tf o n v a r d ，t i l e c o r r e s p 彻d i n gj o i n tg e n o t y p ed i s t r i b u t i o ni so b t a i n e d 伽r o u 曲p a m m e t e fe s t i m a t i o n ，t h e 印p l i c 砒i o no fm ec o p u l am o d e lt oc r e d i td e r i v a t i v e si ss t u d i e d “e n t i l a l l y n l em a i n p r o d u c t i 锄di n n o v a t i o no f t h e d i s s e r t a t i o na r el i s t e da sf o l l o w s ： 1 1 1 1 eg a u s s i 锄c 叩u l ai su s e dt 0m o d e ld e p e n d e n c eb ys o m es c h o l a r s ，b u ti tc 锄n o t h a v et h et a i ld e p e n d e i l c e s ot - c o p u l ai su s e dt om e a s u r et h ed e p e n d e n c e 粕dt i l e “l c o e 仃i c i e n t sa r ec a l c u l a t e d ，c o v e r i n gt h cs h o 呦g eo fg a u s s i 锄c o p u i 扎t i l 锄，w ef i n d t h et - c 叩u l ai sm o r es u i t a b l et h a i lt 1 1 eg a u s s i 绷c o p u l ab ye m p i r i c a l 锄a l y s i si n s h a l l 曲a i 锄ds h e n z h e ns t o c k m a r k e t sa n dm o n t ec a r l os i m u l a t i o n 2 c o r r e l a t i o na n a l y s i si sac e n t r a lp m b l e mo fm u i t i v a r i a b l ef i n a n c i a l 粕a l y s i s i n t h j sp a p e r ，c o r r c l a t i o na n a l y s i so fc h i n a ss t o c km a r k e t b a s e do nc o p u i am e m o dw 器 d e s c r i b e db yl0s p e c i e sc h i n e s t o c ki n d e x 嬲ac a s t u d y ，p m p o s e sp a r 锄e t e r e s t i m a t i o no fm u l t i p l ec o r r e l a t i o ns t m c t i i r e w 髂p r e n t e d c o r r e l a t i o ns t m c t u r e 嬲s o c i a t e dw i t hc o p u l a 如n c t i o nb r e a kt h el i n e a 面= ya m b i t ，n e c tt h ev a r i a t i o n so ft h e n l i n e a rc h 肌g c n 蚰，t h em u l t i p l ej o n tp r o b a b i l 时d i 嘶b u t i o n 如n c t i o nw a sg i v e n b yt h ec o r l a t i s 仃u c t u r e 3 r e c e m l y ，c r e d i td e r i v a t i v c s ( c d o ) m a r k e th a sb n 瑚【p i d l yd e v e l o p e d ，c r e d i t d e r i v a t i v e st u m e df 椭o r i e n t i n gs i n g l ec r e d i tr i s kt oo r i e n t i n gc r e d “r i s kp o r t f o l i o d e f a u l tc o r r c l a t i o nw a sh i g l l e rt h ep o s s i b i l 时o f a s s e t sd e f a u l ts i m u l t a i l e i t yi sb i g g e ll t w i l l l e a di o s sw i t he x t c n s i v e n e s so fc r e d i tp o r t f o l i om e 舔u r e m e n t a n ds o d e f a u i t c o 丌弓l a t i o nb e t 、v e e na s s e t sh a sb e c o m et h ec o r eo f 州c i n go nc 删i t 嬲s e 协p o r t f o i i o t h i sp a p e rh a ss t u d i e dd e f a u l tc o n 弓i a t i o nb e 铆n 船s e t si n 勰s e t sp o o lo fc r e d i t d e r i v a t i v 髂( c d o ) b yu s i n gc o p u l at h e o 阱t h 锄，m ed e f a u l tj o - n tp r o b a b i l i t y d i s i b u t i o n 如n c t i o no f c r e d i td e r i v a t i v e si n 嬲s e t sp o o lw a s g i v e l l k e yw o r d s ：c o p u l af u n c t i o n ； c o r r e l a t i o na n a l y s i s ； p a r a m e t e re s t i m a t i o n ； c r e d i td e r i v a t i v e s ； j o i n tp r o b a m l i t yd i s t r i b u t i o n 2 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研 究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明 的法律责任由本人承担。 论文作者签名：拯堑煎 日 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学 校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论 文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分 内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段 保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：盔丝呈& 导师签名：日期：。 ! ! ! ：! ： 山东大学硕士学位论文 为可靠 另外，在大多数的应用中，为了便于计算，都事先假设联合分布服从多元正 态分布或多元t - 分布，但这种假设在很多情况下是不成立的然而在许多金融问题 如期权定价、投资组合的v a r 计算等中，又需要知道联合分布的密度函数，因此 人们试图寻找一个能更好描述某些金融现象的实用分布由于运用c o p u l a 理论可 以构造灵活的多元分布，因此可以说c o p u l a 理论的提出和应用为弥补传统多元统 计假设的不足与缺陷提供了一条有效的途径 1 2 c 叩u i a 理论的产生和发展现状 c o p u l a 理论的出现和应用不仅将风险分析和多变量时间序列分析推向了一个 新阶段，也在金融风险度量方法中有了新的突破它与现行的金融风险测度相比至 少有两大突破，可测度非椭圆分布形分布即有极端事件函数分布的风险，可准确 的描述多变量分布的相关性 信用违约相关具有某种非正态分布的相关特征，这使得我们不能希望用仅仅 基于多元正态假设的组合理论来分析包含有信用违约风险的组合，因此我们需要 构造一种能够涵盖各种类型关联结构的、能用随机表示、混合和隐蔽变量来构造 有非常好的相关特性的并强调取决于其应用背景的多元模型 利用连接函数来概括在一个多元分布中的相关性，( 该多元分布) 有独立的一 元边际分布，每一种联合分布都可以写成某种形式的连接函数这就是所谓的 s k l 一1 1 定理对连接函数的深入的讨论可以见n e i s e n 【2 】【1 9 9 9 】 1 9 5 9 年，s k l a r 指出可以将一个联合分布分解为它的k 个边缘分布和一个 c o p u l a 函数，其中c o p u l a 函数描述变量间的相关结构1 9 9 9 年，n e l s 朋提出了 c o p u l a 理论在金融上的应用，并做了较好的总结此后c o p u l a 理论在统计上得到 广泛应用并开始应用于金融领域把c o p u l a 引入到金融上以来，许多学者已经取 得了较好的成果b o u y ee 系统介绍了c o p u l a 理论在金融中的一些应用1 3 】c l a u d i o r o m a n o 对意大利股市收益率进行了c o p u l a 分析f 4 】，e m b t e c h t s 等人用c o p u l a 进 行了风险分析1 5 j ，r 0 b e r t o 对c o p u l a ，特别是对a r c h i m e d e 锄c o p u l a 做了较好的 总结吲b e a 仃i z 再次用c o p u l a 函数度量了金融风险，并比较了几种不同的c 叩u l a 【7 1 当查查兰堡圭兰! 塞鎏主 引理2 1 2 “，以) 7 是连续随机变量向量，c o p u i a 函数为c 如果 q ，分别是墨，以的严格增函数，则( q ( 五) ，( 以) ) 7 的c o p u l a 函数 也为c 证明：设互，目分别是五，以的分布函数，g l ，q 分别是 ( 五) ，吒( 以) 的分布函数令阮，以) 7 的分布函数为c ， ( q ( 五) ，( 以) ) 的分布函数为q 因为，是严格增的，且 q = p k ) s 0 = ，k 1 纠= 最k 1 酬，所以 q ( g l ( _ ) ，瓯“) ) = p h ( 墨) 毛，( 以) s 矗 = p 五町h ) ，以簖1 ( ) = c ( 鼻( 口i 1 ( 五) ) ，e ( c 巧1 ( ) ) ) = c ( g j ( 一) ，q ( ) ) 又因为伍l ，x 。) 7 是连续随机变量，所以q = c 引理2 1 2 说明对随机变量做任意单调增变换，c o p u l a 函数不变下面介绍由 c 0 。，“：，甜。) 导出的相关性指标【2 7 】，【2 叭，它们都是单调不变的相关性度量，比常 用的相关系数更加合乎人们的要求 定义2 1 1 ( k e n d a l l f ) ：( x ，y ) 7 ，( 牙，乃7 是独立同分布的向量则k e n d a l l 的f 可以定义为 r ( 彳，j ，) = p ( x 一_ ) ( r 一乃 o ) 一p ( x 一_ ) ( y 两 o ， q = 2 p ( x i j ( ，r 一- ) o 卜l ； 尸 ( 工一- ) ( 】，一乃 o = 尸 r j ，r 两+ ， y y 、= p t x x ，y y 、 = 旺：p 瞄 乃= f c 胛c 0 ，衄0 ，v ) p 扛 j ，r 哥l 【j = 儿：p 砖z ，b 】，) 韶( f ( 工) ，g ( y ) ) = 肌 l 一，( 石) 一g ( ，) + c ( ，( x ) ，g ( j ，) ) d c ( f ( x ) ，g ( y ) ) = 肌胛 1 - 一v + c ( 州) p ( 州) 又因为c 是【，( o ，1 ) 上向量( u ，矿) 7 的联合分布函数， e 移) = e ( 矿) = ， 则 ，p j ，y ， = 一三一三+ 旺朋：c g ，v o ，v ) = ：c 。，v 如。，v ) 7 山东大学硕士学位论文 叫咻愈( 咖a ( 训呛击唧b 】 二维情形下，令叫t ) = 甜。，o g ：) = ”：， 有： m ；加壶篙， 嘲 怫钍p 一 x 叫 其中= 厂1 ( ) ，工= “，而) 7 ，p 是一个对称矩阵，主对角线元素为1 式( 2 3 2 ) 即为二维g a u s s i 柚c o p u l a 的密度函数 ( 2 ) 多元t - c o p u l a 函数( m u l t i v 撕a t es t l l d 锄t sc o p u l a m v t ) n e l n ( 1 9 9 8 ) 给出了多元t - c o p u l a 函数的定义，多元t o p u l a 分布函数和密度 函数的表达式分别为： c ( 一l p 1 ) 的分布函数为 c l ，h 。= 芒l ! ： 2 7 r ( 1 一p 2 ) “2 因为标准多元f 分布的密度函数为： ，( 善) ： 怫 其中，x = ( 五，屯，吒) 7 唧 一等并 竿掀 玳，= 掣， 由式( 2 3 1 ) ，有 山东大学硕士学位论文 分指数的收益作为边缘分布分别服从自由度为2 ，6 的，分布的p p 图及其无趋势 分布图可以看出边缘分布近似服从不同自由度的f 分布这时，自由度为2 的f 分 布一阶矩，二阶矩不存在，所以线性相关系数不能度量两者之间的相关性，因此 用多元正态分布，多元f 分布来描述联合分布很不合理这里用c o p u l a 函数进行研 究，此时连接函数的p 已经不再是线性相关系数 ( 注：在p p 图中，当数据服从所假设的分布时，各数据对应的点在图中右斜 对角位置近于直线分布，在无趋势p p 图中呈离散分布) o k 图3 1 1 上证指数的收益服从 自由度为2 的f 分布的p p 图 翮j d e l t t pp h s h e h o 自删9 l 由t t p f p h 哪 。， ； t 图3 1 2 卜证指数的收益服从自由 度为2 的f 分布的无趋势分布图 啦州d 洲t t 瞰时洲日 v 图3 1 3 成分指数的收益服从 图3 1 4 成分指数的收益服从自由 自由度为6 的f 分布的p p 图度为6 的f 分布的无趋势分布图 图3 1 1 至图3 1 4 表明用自由度为2 ，6 的，分布来刻画上证综合指数与深圳 成分指数的边缘分布是较为合理的 根据边缘分布的结果，做概率积分变换，可以得到如下概率积分变换后的散 点图，如图3 1 5 所示： 1 6 当奎盔主罂圭兰竺兰苎 股票名称均值标准差偏度峰度 农林指数 0 9 _ 9 6 6 5 1 61 6 6 9 8 8 7 6 2 31 7 02 9 3 0 采掘指数 0 2 0 8 7 2 7 51 6 2 6 5 4 3 7 8 05 9 23 6 6 3 制造指数一0 4 8 0 3 5 9 61 4 0 8 6 3 5 5 7 85 7 64 3 8 6 食品指数0 2 6 2 4 5 3 71 2 5 3 1 2 3 1 4 97 0 65 0 9 9 纺织指数一0 8 3 6 8 2 3 02 3 8 5 2 6 4 2 6 l1 1 3 1 82 3 5 2 9 0 木材指数 一1 4 1 6 引3 22 6 5 4 4 6 1 6 0 22 1 61 4 7 2 造纸指数 0 5 4 4 6 5 7 41 4 9 6 9 2 6 7 5 34 0 93 9 4 8 石化指数 0 3 5 2 3 6 3 51 4 8 0 5 5 3 2 1 33 6 83 3 8 4 电子指数0 8 2 8 4 8 5 l1 8 2 9 0 5 2 8 9 65 1 82 9 2 8 金属指数 一0 1 6 7 3 4 2 81 4 5 6 7 4 7 9 “5 9 43 8 5 9 表4 1 1 十种小同产业指数对数收益率 通过表4 1 可以看出十种产业数据具有一定的偏度与峰度，在峰度大于3 的情形 下，不能用正态分布来刻画边缘分布，所以用多元正态分布来描述联合分布并不 合理为描述这l o 个产业指数的相关性，可以用简单的线性相关系数来描述两两产 业间的相关性如表4 1 2 所示： l23456789 lo 4 1 5 0 9 0 4 o 8 3 3o 4 4 7o 0 3 l0 5 4 50 8 8 60 5 8 2 08402o 4 9 2 o 4 8 00 2 3 3o 0 6 l0 2 4 5 0 4 8 20 1 9 1 0469 30 9 2 60 4 8 50 0 0 60 5 9 40 9 7 lo 6 3 l o96140 4 2 3o 0 1 80 5 8 6o 8 8 90 5 9 4 o87751- o 0 2 3o 2 3 3o 4 6 70 2 2 20 4 6 8 6l0 0 5 50 0 0 0o 1 1 00 0 1 5 7l0 5 7 40 8 3 90 5 5 2 8l0 5 9 1o 9 2 9 9lo 5 5 7 l ol 表4 1 2 各指数问线性相关系数 2 l 山东大学硕士学位论文 4 2 1 边缘分布函数的建模 以前我们常常用多元正态分布，多 元t 分布等来近似描述多元分布函数 但实际上这种描述往往与实际相差很 多c o p u l a 函数的引入，使得我们可以 自由选择边缘分布函数，通过合适的相 关结构来完成对多元分布函数的建模 表4 2 1 是农林指数( v 1 ) 收益率服从 正态分布，采掘指数( v 2 ) 收益率服从 l o g i s t i c 分布，制造指数( v 3 ) 收益率 服从l a p l a c e 分布，食品指数( v 4 ) 收 益率服从l o g i s t i c 分布，纺织指数( v 5 ) 收益率收益率服从t ( 2 ) 分布，木材指数 ( v 6 ) 收益牢服从l a p l a c e 分布，造纸 指数( v 7 ) 收益率服从t ( 4 ) 分布，石化 指数( v 8 ) 收益率服从l a p l a c e 分布， 电了指数( v 9 ) 收益率服从l o g i s t i c 分 股票名称 参数l 参数2 农林指数 0 0 9 9 71 6 7 0 0 采掘指数 o 0 2 0 90 8 9 6 8 制造指数 0 0 4 8 0o 9 9 6 l 食品指数 加0 2 6 2o 6 9 0 9 纺织指数 2 0 0 0 0 术材指数 o 1 4 1 71 8 7 7 0 造纸指数 4 0 0 0 0 石化指数 一o 0 3 5 21 0 4 7 0 电子指数 - o 0 8 2 81 0 0 8 4 金属指数6 0 0 0 0 布，金属指数( v l o ) 收益率服从“6 ) 分布的参数估计结果 表( 4 2 1 ) 各指数的参数估计 为检验参数估计的结果，作l o 种不同产业股指服从各自分布的p p 图，如下 图4 2 1 所示，结果表明以下各分布较好的拟和了边缘分布 ( v 1 )( v 2 ) 山东大学硕士学位论文 同的因素影响，它们之间产生了违约相关性，所以对于信用衍生品的定价来说， 资产之间的违约相关性对刻画信用资产组合的违约风险显得更加重要然而，资 产违约的相关性越高，同时发生违约的可能性就越大，这将导致信用资产组合出 现大范围的损失因此，资产间的违约相关性就成为信用组合资产池违约的最乇 要的因素于是，我们也将资产间的违约相关性称为信用产品组合定价的核心 5 3 求解资产的联合概率分布 当c d o 的资产池中资产数量较少时，刻画违约分布较为容易例如：两个 资产4 、口的情形，存在彳b 同时违约、仅一违约、仅b 违约、4 b 均不违约四种 事件资产池如果出现违约，则应是前面三种事件发生的联合概率，用符号表示 即： 胁+ m n b ( 5 1 ) 但当基础资产数量较多的时候，如资产池中有个资产时，存在2 ”种联合违 约事件，刻画其违约分布变得相当困难，合理计算其联合违约概率也变得极其复 杂，需要用新的方法来解决这一问题 5 3 1 用二项分布法求解 当基础资产数量较多的时候，我们先从最简爿单的情况入手，假设信用组合 的资产池由个独立的同质资产组成这些资产具有相同的面值、违约概率( p ) ， 回收率( ，) ，并且完全独立那么，整个资产池中有珂个资产违约造成的违约损失率 为： 焖= 掣 ( 5 - 2 ) 而资产违约服从二项分布，疗个资产违约的概率为： = c ：p ”( 1 一p ) ”一( 5 3 ) 整个资产池的违约概率分布得以刻画 但显然，基础资产违约存在相关性，并不完全独立，因此( 5 ) 式假设并不成 山东大学硕士学位论文 丹曲 群旧：。f 璀1【l 一砰j 相应地，资产能够在时间后继续存续的概率为：驴一中瞵s 3 3 求解资产池的整体违约概率分布( 5 5 ) 我们进一步假设资产池中的单个资产均是同质的，而资产回报率与整个市场的相关性a 均为p ，违约阀值q 均为c 那么在违约共同因予为肼的情况下，所 有单个资产违约的条件概率均为：烈“c i 卸膨j 侉7 ， (57)式显示资产违约的条件概率等于个别违约因子zl的条件概率，而zi是相互独 立的，加之资产具有同质性，那么整个资产池资产违约个数则服从简单的二项式 分布也就是说，一个资产违约给整个资产池造成的违约损失率和概率分别为： 工(功：墨导；( 5 8 ) p(三=三(栉)i膨)=c品p(xcim)”(1一p(xclm)“一”( 5 。9 ) 显然，对应每一个吖(可假定为宏观经济状况)都会有一种违约概率要将 上式转化为非条件分布，我们只需要对上式的肘进行积分(即所有的经济状况之下) 就可以了 础叫砌和 叫群叶一叶剥卜p 姗 (510)式在计算时具有较好的可操作行，只须知道相关系数和违约阈值即 可关系数可从资产回报与市场回报的统计数据中获得，但如何确定特定资产的 山东大学硕士学位论文 违约阈值呢? 不难从前面的定义看出，如果z ，服从t - 分布，资产回报五也将服从 t - 分布如果迸一步确认( o ，r ) 时期内单个资产的违约率为，则可求得： c = 西一( p ) ( 5 1 1 ) 其中，中1 ( ) 为正态分布的反函数 而( 0 ，丁) 时期内单个资产的违约率，可由信用风险定价的简化d u c e d f 0 咖) 模型【4 3 1 获得，如下 p = ，( 丁) = 1 一p 一“( 5 - 1 2 ) 五是利用c d s 等信用产品的信用利差( s p r e a d ) 及违约回收率( r c c o v e r y ) 近似估 算的。如下： 旯z _ 婴! 生( 5 1 3 ) i 一，c o v p w 5 4 结果分析 c o p u l a 作为一种崭新的相关结构，近年来在国际上受到越来越多的重视，特 别是对多维金融数据建模有较好的结果本文利用c o p u l a 函数对信用组合资产池 的整体违约相关性进行了研究，并求出了信用组合资产池的整体违约的概率分布 需要注意的是，在求解的过程中，假设资产池中资产具有同质