（概率论与数理统计专业论文）风险相依的大索赔离散风险模型的破产概率.pdf

浙江大学硕士学位论文中文摘要 中文摘要 本文是在攻读硕士学位期间完成的，全文共分四部分，通过对风险理论中的 热点问题，即大额索赔风险模型的破产概率估计，以及近年来倍受关注和重视的 重要工具连接函数c o p u l a s 的学习探讨，得到了一些新的结论。 第一章为绪论部分。介绍了风险理论的研究内容和发展概况、本文的讨论对 象两类大额索赔的离散风险模型的破产概率估计、本文的研究背景以及研究目 的，即对经典风险理论中风险独立的假设作出改进，讨论风险具有某种相依结构 时的破产概率估计。此外还简单介绍了重尾分布、次指数分布等相关知识。 第二章介绍描述相依性的工具c o p u l a s 。主要介绍c o p u l a s 的概念、基本性 质、s k l a r 定理以及几类重要的c o p u l a s 。 第三章讨论常利率下一类大额索赔离散风险模型的破产概率估计。首先在 t a n g ，q ( 2 0 0 4 ) 的基础之上提出了保险公司年净损失相依、且相依结构由某种 c o p u l a s 函数c ( u ，：，u 。) 决定的风险模型。当净损失的分布函数属于吼族、并 c ( u 。“：，m ，) 是f g mc o p u l a s 时，利用概率极限理论中尾概率的估计方法给 出了有限时间破产概率和终极破产概率的简洁近似公式，并与砌怄，q ( 2 0 0 4 ) 的 结果进行了比较。 第四章讨论随机利率下一类大额索赔离散风险模型的破产概率估计。在提出 随机利率下净损失的相依结构由某c o p u l a s 函数c ( u ，“：，u 。) 决定的离散风险模 型之后，利用g o o v a e r t s ，m j ( 2 0 0 5 ) 中的方法得到了当净损失的分布函数属于豫 族、c ( q ，“：，) 是船材c o p u l a s ，并且随机利率满足某个特定条件时这个风 险相依的大额索赔风险模型的破产概率估计，并与g o o v a e r t s , m j ( 2 0 0 5 ) 的结 果进行了比较。 关键词： 破产概率，次指数分布，连接函数，尾概率 浙江大学硕士学位论文 a b s t r a c t a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o nc o n s i s t so f f o u rc h a p t e r s ，w h i c hi sc o m p l e t e dd u r i n gm ym a s t e r d e g r e eo fs c i e n c e c h a p t e ro n ei s ap r e f a c e i tg i v e sa l li n t r o d u c t i o nt ot h ed e v e l o p m e n ta n d s i g n i f i c a n c eo fr i s kt h e o r ya sw e l la st h er a i np r o b a b i l i t y i ta l s oi n t r o d u c e st h e b a c k g r o u n da n dt h em a i ni d e a so ft h i sd i s s e r t a t i o n i na d d i t i o n ，s o m ek n o w l e d g e a b o u th e a v yt a i l si sp r e s e n t e da tt h ee n d c h a p t e rt w om a i n l yi n t r o d u c e st h ec o n c e p ta n db a s i cp r o p e r t yo fak i n do f f u n c t i o n - - - 一c o p u l a sw h i c hi s u s e dt od e s c r i b et h ed e p e n d e n c es t r u c t u r eo fr a n d o m v a r i a b l e s i na d d i t i o n ，t h es k l a r st h e o r e ma n ds e v e r a lu s e f u lc o p u l a sa r ea l s o i n t r o d u c e d c h a p t e rt h r e ei n v e s t i g a t e st h er u i np r o b a b i l i t yo fad i s c r e t et i m er i s km o d e l u n d e rc o n s t a n ti n t e r e s tr a t ew i t hh e a v yt a i l s b a s e do nt h em o d e li nt a n g ，9 ( 2 0 0 4 ) ， w ep r o p o s ea ni m p r o v e dr i s km o d e li nw h i c ht h er i s k so ft h ei n s u r a n c ec o m p a n y o b e ys o m ek i n do fd e p e n d e n c es t r u c t u r ei nt e r m so fc o p u l a s u n d e r t h ea s s u m p t i o n t h a tt h en e tl o s so ft h ei n s u r a n c ec o m p a n yw i t h i no n ey e a ri s s u b e x p o n e n t i a l l y d i s t r i b u t e d ，s o m es i m p l ea s y m p t o t i cr e l a t i o n s f o rt h ef m i t ea n di n f i n i t er u i n p r o b a b i l i t yo fo u rm o d e la r ed e r i v e da n dc o m p a r e dt oe x i s t i n gr e s u l t s i nc h a p t e rf o u r , w ef u r t h e rd i s c u s st h er u i np r o b a b i l i t yo fad i s c r e t et i m er i s k m o d e lu n d e rr a n d o mi n t e r e s tr a t ew i t hh e a v yt a i l s w ea l s op r o p o s eag e n e r a l i z e d m o d e li nw h i c ht h ed e p e n d e n c es t r u c t u r eo fd s k s i sd e t e r m i n e db yac e r t a i n c o p u l a sf u n c t i o n u n d e rt h ea s s u m p t i o n t h a tt h en e tl o s sw i t h i no n ey e a ri s s u b - e x p o n e n t i a l l yd i s t r i b u t e da n d t h a tt h er a n d o mi n t e r e s ts a t i s f ys o m ec o n d i t i o n ，w e a l s og i v es o m ep r e c i s ea s y m p t o t i cr e l a t i o n so ft h ef i n i t et i m er u i np r o b a b i l i t yo ft h e a b o v em o d e l k e y w o r d s ：r u i np r u b a b i l i t y , s u b e x p o n e n t i a l i t y , c o p u l a s ，t a i lp r o b a b i l i t y 浙江大学硕士学位论文第一章研究背景及重尾分布族介绍 第一章研究背景及重尾分布族介绍 1 1 引言 风险理论是对保险业所面临的各种风险进行定量分析的理论。它是保险公司 进行保险产品的合理定价、责任准备金的合理计提、再保险的适当安排、偿付能 力的有效管理、资产负债管理和保险公司破产的准备预警等工作的理论基础。因 此，风险理论是精算科学中一门重要的学科。 破产理论则是风险理论中的重要组成部分和热点。在我国保险公司的运作 中，保费是主要收入来源，理赔是主要风险因素，为了保障保险公司的正常运作， 公司必须充分考虑所面临的风险。破产理论主要针对保险公司如何估计所面临的 风险，讨论在较长时间内保险公司发生盈余或破产的概率。破产概率作为衡量保 险公司稳健性的重要指标，是风险管理的一个有用工具。破产概率高意味着保险 公司不稳定，这时保险人必须采取提高保费、进行再保以转移风险、或者设法吸 收一些额外的资本金等措施。因此，准确的计算或估计保险公司的破产概率是十 分重要的课题。 近年来，在国内外有众多的研究文献讨论破产概率的计算和估计问题。这些 文章讨论的风险模型往往可以分为两种情形：小额索赔和大额索赔。对前者讨论 较多的是连续时间经典风险模型即复合泊松模型，通过鞅理论、更新理论中的方 法和技巧得到破产概率的一些精确表达式和上下界表达式，例如著名的 c r a m e r - l u n d b e r g 不等式。对于风险发生分散、风险较高的情形，大额索赔较为 适用，它用尾部较重的分布来描述风险，利用概率极限理论、大偏差等方法得到 破产概率的精确的尾等价形式。 经典风险理论的研究通常假定保险公司的风险，即年损失额x 。之间是相互 独立的，甚至是独立同分布的，这主要是为了数学处理上的方便。然而，在实际 经济生活中，我们经常能够碰到的是个体风险间具有某种相依结构的情形。例如： 地震、台风、海啸等自然灾害往往会同时对某个地区居民的生命和财产产生普遍 灾难性的影响、一起简单的交通意外事故也不仅仅导致一个人的损失在很多 情形下，个体风险由于受到某个共同因素的影响而表现出特定的相依性。因此对 具有相依结构的风险进行研究具有很实际的意义。 浙江大学硕士学位论文 第一章研究背景及重尾分布族介绍 本文主要讨论常利率和随机利率下风险相依的离散风险模型破产概率的估 计，包括有限时间内的破产概率和终极破产概率。由于破产往往是由大额索赔导 致的( 参见e m b r e c h t s e t a l ( 1 9 9 7 ) ) ，即大额索赔在保险业中具有很重要的实际意 义，如同许多经典的文章一样，本文讨论大额索赔的风险模型，即假设纯支出服 从重尾分布。当一个随机变量x 没有任何的有限指数矩( 矩母函数不存在) 时， 称x 或其分布函数f ( x ) 服从重尾分布。同时，为了衡量风险之间的相依关系对 所讨论模型破产概率的影响，我们使用连接函数( c o p u l a s ) 这一工具来描述相 依结构。 本文的内容安排如下： 第一章介绍文章的研究背景、研究目的、主要内容、以及重尾分布族； 第二章介绍c o p u l a s 的概念、性质以及几类重要的c o p u l a s 函数； 第三章对经典的常利率情形下的大额离散风险模型进行改进，假设盖。之间 的相依结构由某种c o p u l a s 函数决定，得到这种推广的常利率风险模烈的有限时 间破产概率和终极破产概率的简洁尾等价形式； 第四章对经典的随机利率情形下的大额离散风险模型进行改进，假设j 。之 间的相依结构由某种c o p u l a s 函数决定，得到这种推广的随机利率风险模型的有 限时间破产概率的简洁尾等价形式。 9i z 夏尾竹仲联 本文中所有的极限关系都是针对x m 而言，除非特别说明。 对两个正函数a ( ，6 ( x ) ，若：l i m s u p 簧舅1 ，则记a ( x ) 叫6 ( x ) ； l i m n f 器 l ，则勘( 咖) 。 宅i ：l i ms u p ；争- 且l i n l i i l f 器扎则记m ) 6 棠口1 ，1r 莆屋翁右1 痒1 一个。y 菌：官冉钉钋布甬斯f ( x 、( 满足i r n 0 浙江大学硕士学位论文 第一章研究背景及重尾分布族介绍 v x ( 一o 。，c o ) ) 是重尾的，若v t 0 ， e e “： 记f “( x ) 表示，( 的 重卷积，一类重要的重尾分布一次指数分布，记作s ， 其定义如下： 定义1 2 2 ( s 族) 定义在 o ，m ) 上的分布函数f ( 曲若对任意或某个月2 l i 。2 盟：。， f ( 功 则称，( 服从次指数分布，记为f ( x ) s 。 由定义1 , 2 2 易知：一列f i dr v jx 。，其公共分布f ( x ) s ，则： p ( 善以) “p ( m 。a x x ) 更一般的，定义在( ，。) 上的分布函数f ，记f + ( x ) = f ( x ) i ( 。) ，若 ，+ ( x ) e s ，则也称f ( 曲s ，其中，。表示a 的示性函数。 定义1 2 3 ( l 族) 定义在 0 , o r 3 ) 上的分布函数f ) 若对钞 0 ， l i m f ( x - y _ ) ：1 ， f ( x ) 则称f ( x ) 服从工族分布，记为f ( 曲工。 定义1 2 4 ( d 族) 定义在 o ，) 上的分布函数f ( 若对v o y l ， 1 i m 掣：0 ，沙1 ， f f 则称f ( x ) 服从m 一。族分布，记为f ( 曲e 吼一。 由e m b r e c h t s ( 1 9 9 7 ) 可知贸c s c l ，锨c d ，l t 7 d c s ，d 旺s ，s 旺d 。 定义1 2 6 ( e r v 族) 定义在【o ，o 。) 上的分布函数f ( 曲若对v y 1 ，0 口 口 o o ， y 气哟r 筹_ 1 ， 帐锄t 霉筹“ r t i 则称f ( x ) 服从4 族分布，记为f ( x ) a 。 由t a n g ，q ( 2 0 0 4 ) 知倪叫c a ，0 口 。o 且s n 巩一。c a 。 有关重尾分布的详细介绍参见b i n g h a m e t a l ( 1 9 8 7 ) ，e m b r e c h t s ( 1 9 9 7 ) 。 1 3 模型及研究背景 记【，。表示某保险公司第”年末的盈余，则盈余过程由下面的递归方程表示： u o = x ， u 。= u ( 1 + r ) 一x 。，n = 1 , 2 ( 1 3 i ) 其中，x o 表示初始资本( 即准备金) ，r 0 表示正的常利率，( x 。，”1 ) 表示 公司第”年的纯支出( 总索赔支出与总保费收入之差) ，并且构成一列实值f 谢 浙江大学硕士学位论文第一章研究背景及重尾分布族介绍 r m s 。设j 0 与r v x 具有相同的分布函数( c d f ) f 0 ) = p ( x x ) ，记i ( x ) = 一f ( x ) ，那么此风险过程的有限时间破产概率和终极破产概率定义为 y r ( x ；h ) 2 p ( j 墨曼u m 0 1 u o2 x ) y ，( x ) = 尸( 罂恕u 。 o l u 。2 x ) ，x ，o ( 1 3 2 ) 由递归方程( 1 3 1 ) 容易得到，对x ，r 0 u 。= x ( 1 + ，) ”- z x 女( 1 + ，) ”一，m = 1 2 则破产概率可以用盈余的折现值表示如下： y ，( x ；功= p ( m j n o o + r ) 一u m x ) ( x ) = p ( 嚣恕( 1 + r ) 一u m n 1 3 3 ( a ) 当r = 0 时，( l3 1 ) 对应离散时间的印w pa n d e r s e n 模。在这种模 型中，由安全负荷条件，一般要求e x = - , u 0 时，t a n g ，q ( 2 0 0 4 ) 给出了破产概率的几个渐近表达式 当f ( x ) a 时， ( x ) 一万( ( 1 + r ) x ) 当f ( x ) 倪叫，0 o t o o 时， ( 1 3 5 ) 浙江大学硕士学位论文 第一章研究背景及重尾分布族介绍 吣卜雨b 确 ( 1 3 6 ) 当f ) s n 孵一。时， ( x ) i ( ( 1 + r ) x ) ( 1 3 7 ) 其次我们简介随机利率情形下一类大额离散风险模型的研究背景。n y r h i n e n ( 1 9 9 9 ) ，t a n g & t s i t s i a s h v i l i ( 2 0 0 3 ，2 0 0 4 ) 考察了随机经济环境下的离散时间风险 模型，假设保险公司将盈余投资于某种风险资本，从而产生一个随机利率( 可能 为负) 。记u 。表示某保险公司第年末的盈余，则盈余过程由下面的递归方程表 示： u o2 x ， u = 虬一。( 1 + 砖) 一以，n = 1 , 2 ( 1 3 8 ) 其中x ， ，n 1 ) 的含义同( 1 3 1 ) ， r ，”1 ) 表示第”年的随机利率( 可能 为负) ，构成一列实值i dr v s ，见( - 1 ，。) ，并且 z 。，h 1 ) 与 r 。，”1 ) 相互 独立。 则有限时间内的破产概率和终极破产概率分别为： ( 郴) 2 p ( 瑟恕 o l u 0 2 x ) ， y ( z ) 。! 骢妒( x ；”) = p ( 嚣袅：乩 0 1 u o2 x ) - ( 1 3 - 9 ) 由递归方程( 1 3 8 ) 容易得到： u o = x ， u 。= x 兀( 1 + q ) - z x i 兀( 1 + r ) ， = l ，2 则破产概率可以用盈余的折现值表示如下： 吣”) ( 。m 。i n 。i 苗- l ( 1 + o i u o 2 x ) ， ( m 。a ：x 。荟x , 珥( 1 + 足) _ b xi 砜“) 浙江大学硕士学位论文第一章研究背景及重尾分砟族介绍 一o n i n 。百r - l ( 1 + x l 砜= x ) ( c ) g o o v a e r t s ，m j e t a 1 ( 2 0 0 5 ) 得到在( 1 3 8 ) 中，当f ( z ) 吼一。，0 - 0 时，c 口( l ，“2 ，u 。) 是p q d 的； 当0 0 时，c 口( “l ，甜2 ，u ，) ：是n q d 的；c o ( “l ，“2 ，u 。) = n ”( “l ，“2 ，u 。) 。 其它c o p u l a s 函数如n o r m a lc o p u l a s ，“疗一m i k h a i l h a qc o p u l a s 等等可参 阅n e l s e n ( 19 9 9 ) 。 在经典离散风险模型的基础上，有不少文献对独立风险的假设做出改进，例 如有学者研究了净损失为n a 序列情形下的破产概率估计问题，但净损失为为p a 序列的情形比较难处理。本文旨在讨论一类净损失相依时的大额离散风险模型的 破产概率估计，并且利用上面介绍的c o p u l a s 函数来描述挣损失之间的相依结构， 利用重尾分布的性质和概率极限理论得到与风险独立时相类似的结果。 浙江大学硕士学位论文第三章常利率下一类太额索赔离散风险模型的破产概率1 1 第三章常利率下一类大额索赔离散风险模型的破产概率 3 1 主要结果 本章仍讨论风险模型( 1 3 1 ) ，但 x 。，”1 ) 是相依的，其相依结构由某种 c o p u l a s 函数c ( u l ，“2 ，“。) 决定。 本章的主要结果如下： 定理3 1 1 在风险模型( 1 3 1 ) 中，若f ( x ) 吼。0 功p ( 以+ ( 1 + r ) 。 x ) 一善np ( x j ( 1 + r ) 一i x ) i ( z ) 砉( 1 + ，) 一d = i ( x ) 糟( 3 1 1 )i = ii = i、1 ，o ， 1 ( i i ) ”( x ) p ( 扎+ ( 1 + r ) “ x ) - p ( 以+ ( 1 + r ) 。 x ) 厅 ) 善( 1 ) - “。 雨高女1 1、1l ， ( 3 1 2 ) 注3 1 1t a n g ，q ( 2 0 0 4 ) 推论3 1 得到风险模型( 1 3 1 ) 在 肖。，1 l 1 ) 独立 情形下破产概率的近似结果：若f ( x ) 吼。0 1 ) 均是同分布的非负随机变量列，且两列之间相互独立。则 塑垩幽主兰垡丝茎苎三主堂型兰i = 耋查堡塞堕曼墼垦堕堡型塑壁主坚兰 ! ! 工。= z 。一e ，h 1 ，由下面的引理3 2 2 知，若设z 。的分布函数为g ( x ) ，则： f ( x ) g ( 工) e 三营j p ( 墨 工) _ 尸( z l x ) 所以定理3 1 j 1 ( i ) 和( i i ) 中的，( 贸一。改为g 0 ) 9 一。时结论也成立。 注3 1 3 在连续时间的风险模型中索赔额 z 。，k = l 2 ) 构成一列同分布的 非负r v j ， z l ，k = 1 2 ) 的发生时刻用 t ，k = 1 2 ) 表示。且 瓦，t = 1 2 一) 与 z 。，k = 1 , 2 ，) 独立。那么到时刻t 0 为止累计总索赔额为： z ( r ) = z 。钟 设保费率和利率分别是两个正常数c 和占，初始盈余x 0 ，则总的盈余过程 可以由下面的随机方程描述： u ( ，) = r e 8 + c f p 即方一f p 鲫州z ( d y ) ，t o ( 3 1 3 ) 参见s u n d t t e u g e l ( 1 9 9 5 ，1 9 9 7 ) 。 如果记x 。为公司第1 年的净损失，则 彳。= 。e 础_ 1 z ( 咖) 一cr - 。e 舭州咖 2 妻。z i e a ( * - r ) 机脚，一cf e 旁咖 ( 3 i 4 ) 记，；e 5 - 1 ，则过程u 。= u ( n ) ，n = 0 , 1 ，满足递归方程( 1 3 1 ) 。所以( l3 2 ) 中定义的破产概率给出了连续时间风险模型( 3 1 3 ) 的破产概率的一个较低界。 参见k a l a s h n i k o v & n o r b e r g ( 2 0 0 2 1 。 注3 1 4 ( 1 3 1 ) 中j 0 是在第年末计算的。若z 。在第h 年年初计算 则( 1 3 1 ) 应写为： u o = x ， u = ( 1 + ，) ( u 1 一以) ，月= 1 , 2 一 类似于定理3 1 _ l ，( 3 1 5 ) 的破产概率可近似表达为 ( 3 1 5 ) 浙江大学硕士学位论文第三章常利率下一类大额索赔离散风险模型的破产概率 v r ( ) p ( x 。( 1 + r ) 啡- 1 ) x ) ：窆i ( x ( 1 + r ) “) ( 3 1 6 ) k = l t i 3 2 相关引理 引理3 2 1f ( x ) 是( ，。o ) 上的分布函数，若f ( x ) 吼。0 a 兰。，则对任 意0 p o ，f 。) 吼一a ，o 口 电则( 1 3 3 ) 中定义的燃善x t ( 1 + ，) 。是 o ，o 。) 上合理定义的，v 。 证明：注意到： o s 溅善硼+ r ) 4 蔓z 。x k + ( 1 + ，) 浙江太学硕士学位论文第三章常利率下一类大额索赔离散风险模型的破产概率1 4 而由( 3 2 2 ) 式可以推出： e ( x + ) 4 ，v o 卢 m i n z ，1 ) 所以 e ( x k + ( 1 + r ) “) ，e ( y i + ( 1 + r ) _ ) 卢 k = lk = l 即善以+ ( 1 + r ) 一“。收敛，。m a 。x 。西墨( 1 + ，) 。是 o ，) 上合理定义的，v 。 下面的引理参见d a v s & r e s n i c k ( 1 9 9 们引理2 1 。 引理3 2 4 对于非负的r v 列 置，1 s i h ) ( 不一定独立或同分布) 和分布 函数f ( x ) e 贸一。，0 口 x ) 。 lira苛f2 善。 ( 曲智 下面的引理参见q i h e t a n g ( 2 0 0 4 ) 引理4 5 。 引理3 2 5 设f = e + e ，( 曲、f 2 ( 曲是( 一。o ，。) 上的两个分布函数。如 果巧o ) s ，且i 2 ( x ) x ) 卜万( 1 + r ) 一 首先证明( 3 3 1 ) ， 由于 p ( x k + ( 1 + ，) 一 x ) = 尸( 疋i + x ( 1 + r ) l x k o ) + p ( 爿i + x ( 1 + r ) ，x k x ( 1 + ，) 吐) = f ( x ( 1 + ，) ) i ( z ) ( 1 + r ) 一矗，( x 。) ， 又 p ( x k + ( 1 + r ) 一 工，五+ ( 1 + r ) 一 x ) = p ( x i + x o + ，) ，x t 0 ，x t + 工( 1 + ，) ，耳0 ) + p ( x + x ( 1 + r ) ，x o ，x i + x ( 1 + ，) 7 ，爿j x ( 1 + r ) ，x k x ( 1 + r ) ，x ，0 ) + p ( x i + x ( 1 + r ) + ，x i x ( 1 + r ) 。，x ， x ( 1 + r ) ，x i x ( t + ，) ) ， 而x i ，x ，之间的c o p u l a s 函数为： c ( u 女，甜，) = “u 1 + o u i “f ( 1 一“i ) ( 1 一“) ， 所以， ( 3 3 1 ) ( 3 3 2 ) 浙江大学硕士学位论文 第三章常利率下一类大额索赔离散风险模型的破产概率 1 6 则有， f ( x ) f ( x ) ：! 二! ! 互三兰2 = ! ! 墨三苎! ! ! 茎兰兰! 墨! 三量2 ， ) ：! 二! ( 墨2 二! ! 兰! ! ! 生2 1 坠立竺! 兰! ! ! 苎! ! ( 生! 墨! 兰2 f o ) 一f(xk)f(x1)(1+of(xk)f(xt) ，( x ) ! 盥：堕塑：兰羔堕必专o ，o 一。) f f x l 即p ( x k + ( 1 + r ) 一 x , x t * ( 1 + r ) 一 x ) = d ( 万( x ) ) ， _ 。) 由引理3 2 4 可得， p ( 窆五+ ( 1 + r ) 。 x ) 。( x ) 窆( 1 + r ) 一， 即( 3 3 i ) 成立。 下面证明( 3 3 2 ) ，对任意集合ic 1 , 2 ，”) ，记r 为其元素个数。引入下 面两个事件集 则有 q ，( ，) = x k 0 ，v k i ) ，n 2 ( ，) = x i 墨0 ，v k g i ) p ( 以( 1 + r ) 4 x ) = p ( 五( 1 + r ) “ x ，n ；( i ) n f l 2 ( 聊 ( 3 3 3 ) ，c l 2 ” k = l 对充分大的工 0 ，引入事件集： q 3 ( ；上) = - l x ，n l u ) c 、n 2 ( ) ) p ( ( 1 + r ) 五n l ( d n q 2 ( 1 ) n n 3 ( ；三) ) = 户( x ( 1 + r ) 。 x ，q l ( ，) n n 3 ( ；工) ) = p ( ( + f i ( 1 + r ) “ x ，n t ( i ) n n3 ( 眦) ) = p ( 以( 1 + r ) 一 x z x k ( 1 + r ) - k , q 。( ，) n g ( ；工) ) l e i t - p ( z x a l + o 一 x + o r ) 三in i ( ) n n 3 ( ，；上) ) 尸( q 1 ( d n n 3 ( ，；) ) k c l p ( n 1 ( j ) n n 3 ( ，；) ) 由引理3 2 4 得到： p ( x k ( 1 + r ) “ x + o t ) llq l ( ，) n q 3 ( ，；上) ) e 一( 1 + r ) “户( k x + ( ”一t ) l l 互 o ) ， i “ 而 所以 ，o ) 吼一。，0 。) p ( 五 x i 五 0 ) = 鬟等 p ( x k ( 1 + r ) “ x ，q i ( o n n 2 ( d ) 卜黑驴圹弧( 1 ) c 、f 1 3 功 ( 3 3 4 ) 将( 3 3 4 ) 代入( 3 3 3 ) 可以得到 h p ( 以( 1 + r ) 。 j ) 浙江大学硕士学位论文第三章常利率下一类大额索赔离散风险模型的破产概率 1 8 _竺翼(1+r)一一p(q。(-9nq。(眦)v( o ) ，。靠m 智、 一 “ f ( x ) ( 1 + ，) 一时p ( q 。( d n q ，( ，；三) ) 由 z 。，n 1 ) 同分布，当t 固定时， p ( n l ( ，) n q 3 ( ，；) ) = p ( x l o ，r 0 , - l x r + l 0 ，一工 e 0 ) 记事件 一三 0 , - l 0 ，a ) + p ( x 2 o ，x 3 0 ，z r 0 ，一) + + p ( x n 2 o ，x n 0 ，x r 0 ，a ) + p ( 工r lso ，x r o ，a ) + p ( x r o ，爿) ( 3 3 7 ) p ( 马一l o ，蜀 o ，一) ) = p ( x j l 蔓0 ，a ) 一尸( 矗一1 0 ，坼o ，a ) ， p ( 蜀一2 0 ，墨一。 0 ，冯 0 ，a ) = p ( 西一2 墨o ，蜀一l 0 ，a ) 一p ( 西一2 0 ，西1 0 ，曷s o ，a ) = 尸( x r 一2 o ，彳) 一p ( y r 一2 0 ，x r l o ，a ) 一( p ( j r 一2 o ，x r o ，a ) 一尸( x r 一2s0 ，x nso ，ts 0 ，爿) ) p ( x r 一2 0 ，x 卜l o ，石r 0 ，a ) + p ( x o ，z r o ，a ) + p ( j r 0 ，4 ) = p ( x r 2 o ，一) + p ( x r l 0 ，a ) + p ( r r o ，a ) 一( p ( x r 2so ，x r _ 1 兰o ，一p ( x r l 蔓o ，x r 0 ，a ) 一p ( x r 0 ，j j r 一2 0 ，a ) + p ( x r 一2 墨o ，z r - l o ，y r 0 ，a ) ， 由归纳法得到： 浙江大学硕士学位论文第三章常利率下一类大额索赔离散风险模型的破产概率1 9 p ( 1 o ，r r o , - l x r + lso ，一l i ；l 卜i ( x ) ( 1 + r ) 一“【_ ( o ) 7 f ( o ) ”。+ ( g ) ，0 e l ，2 ， ) k e l ：i ( x ) n ( 1 + ，) 一“ _ ( o ) 7 f ( 0 ) ”一r + ，( g ) 】 t q l u c 1 2 ，n & k e l ：- p ( ，) n ( 1 + ，) 一窆c ：i ( o ) 7 f ( o ) ”4 i = i f = o ：i o ) 窆( 1 + r ) 一“( i ( 0 ) + f ( o ” k = l 浙江大学硕士学位论文第三章常利率下一类大额索赔离散风险模型的破产概率 = i ( 1 + ，) k = l 即( 3 3 2 ) 得证，综合( 3 3 1 ) 和( 3 3 2 ) 两式可以得到定理( i ) 的结论。 定理3 1 1 ( i i ) 的证明： 同样需要证明两对近似不等式： ”( x ) x ) 先考虑( 3 3 9 ) ， 。m a 。x 。善x t ( 1 + 圹“m 。a ：x 。善x t ( 1 + 咿磊勺+ ，) ， 小m a x 面乏2 x , ( 1 + ，) “， 最= 墨+ ( 1 + ，) 4 p ( e x ) 蔓，( 妻( 1 + r ) 一t 互+ 主( 1 + ，) 一( 1 + r ) 功 = n + lk = n + l s p ( x k + 0 + r ) = p ( x k ( 1 + r ) 池1 - x ) ， ” o k - n + l i = h + l 由引理3 2 1 ，对充分大的x 0 对于v 0 x ) 又由定理3 1 1 ( i ) 的结论， 姒 加p ( m a x 。荟x k ( 1 + r ) 。 x ) i ( x ) 窆( 1 + r ) 一i ( 功妻( 1 + r ) 一m 删一 m (