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中山大学博士学位论文中文摘要 曲率流下s o l i t o n 的几何性质与分类 专业：基础数学 博士生：张珠洪 导师：朱熹平教授 摘要 在微分几何中，怎样在一定的曲率条件下去了解给定流形的拓扑是一个重 要的问题。在1 9 8 2 年，h a m i l t o n 引进一个重要的工具：r i c c i 流。近年来，r i c c i 流理论在微分几何的发展中发挥了重要的作用。 在这篇文章中，我们首先考虑的是梯度r i c c is o l i t o n 的完备性问题。众所周 知，自相似解是奇性解的重要模型。而另一方面，对于梯度r i c c is o l i t o n 的理解 也将很好的帮助我们去理解r i c c i 流的奇点。我们的第一个结果就是证明了梯 度r i c c is o l i t o n 的完备性。这个结果意味着自相似解和梯度r i c c is o l i t o n 的等价 性。 在本文的第二部分，我们主要考虑h a m i l t o n i v e y 拼挤估计在高维流形上 的推广。在r i c c i 流理论中，一个核心的课题就是理解奇点的结构。而我们知 道，3 维流形上成立的h a m i l t o n i v e y 拼挤估计在奇点的分类中发挥了重要的作 用。因此，一个重要的问题是怎么将h a m i l t o n 和i v e y 的工作推广到高维情形。 但是，k o i s o 造出的一个例子告诉我们，并不是在所有高维流形上都能成立这 个拼挤估计的。尽管如此，我们的第二个结果证明了个具有有界曲率的流形 上，如果其r i c c i 流的解总是局部共形平坦的，那么h a m i l t o n i v e y 拼挤估计成 立。 在本文的最后部分，我们给出了局部共形平坦的收缩梯度s o l i t o n 的完全 分类。在p o i n c a r 叠猜想和t h u r s t o n 几何化猜测的证明中，关于3 维的收缩梯度 第1 页 中山大学博士学位论文中文摘要 s o l i t o n 的分类定理是非常重要的。近年来，许多的工作都是集中于理解局部共 形平坦的收缩梯度s o l i t o n 。在这些工作的基础上，通过我们得到的一个重要的 局部形式的h a m i l t o n i v e y 型拼挤估计，我们给出了一个完全分类定理：任何局 部共形平坦的完备的收缩梯度s o l i t o n 只能是舻，驴- 1 r ，伊，或者是它们 的有限的商空间。 关键词：r i c c i 流，自相似解，梯度r i c c is o l i t o n ，h a m i l t o n i v e y 拼挤估 计，局部共形平坦 第1 i 页 中山大学博士学位论文英文摘要 t h e g e o m e t r i cp r o p e r t i e sa n dc l a s s i f i c a t i o no ft h es o l i t o n su n d e r t h ec u r v a t u r ef l o w m a j o r ：p u r em a t h e m a t i c s n a m e ：z h u h o n gz b a n g s u p e r v i s o r ：p r o f e s s o rx i p i n gz h u a b s t r a c t i nd i f f e r e n t i a lg e o m e t r y , h o wt ok n o wt h et o p o l o g yo ft h eg i v e nm a n i f o l du n d e r s o m ec u r v a t u r ec o n d i t i o n si sa ni m p o r t a n tp r o b l e m i n19 8 2 ，h a m i l t o ni n t r o d u c e da p o w e r f u lt o o l ：t h er i c c if l o w r e c e n t l y , t h er i c c if l o wt h e o r yp l a y sac r u c i a lr o l ei nt h e d e v e l o p m e n to fd i f f e r e n t i a lg e o m e t r y i nt h i sp a p e r , w ef i r s tc o n s i d e rt h ec o m p l e t e n e s so ft h eg r a d i e n tr i c c is o l i t o n s i t i sw e l l k n o w nt h a tt h es e l f - s i m i l a rs o l u t i o n sm o d e lt h es o l u t i o n sn e a rt h es i n g u l a r i t i e s o nt h eo t h e rh a n d ，t h es t u d yo ft h eg r a d i e n tr i c ds o l i t o n sw i l lh e l pu st ok n o wt h e s i n g u l a r i t i e so ft h er i c c if l o w o u rf i r s tm a i nr e s u l ti st oo b t a i nt h ec o m p l e t e n e s so ft h e g r a d i e n tr i c c is o l i t o n s t h i sr e s u l ti m p l i e st h ee q u i v a l e n c eo ft h es e w s i m i l a rs o l u t i o n a n dt h eg r a d i e n tr i c c is o l i t o n i nt h es e c o n dp a r to ft h i sp a p e r , w ec o n s i d e rt h eg e n e r a l i z a t i o no ft h eh a m i l t o n - i v e yp i n c h i n ge s t i m a t eo nh i g h e rd i m e n s i o n a lm a n i f o l d s o n ek e ys u b j e c to ft h er i c c i f l o wi st ou n d e r s t a n dt h es t r u c t u r eo ft h es i n g u l a r i t i e s a n dw ek n o wt h a tt h eh a m i l t o n i v e yp i n c h i n ge s t i m a t eo n3d i m e n s i o n a lm a n i f o l d sp l a y sac r u c i a lr o l ei nt h ec l a s s i f i c a t i o no fs i n g u l a r i t i e s s o ，a no p e nq u e s t i o ni sh o wt og e n e r a l i z eh a m i l t o na n d i v e y s w o r kt oh i g h e rd i m e n s i o n a lc a s e b u t , t h ee x a m p l eg i v e nb yk o i s ot e l l su st h a tt h i s p i n c h i n ge s t i m a t ew i l lb en o tt r u ef o re v e r yh i g h e rd i m e n s i o n a lm a n i f o l d h o w e v e r , 第u i 页 中山大学博士学位论文 英文摘要 o u rs e c o n dr e s u l ts h o w st h a tt h eh a m i l t o n i v e yp i n c h i n ge s t i m a t ew i l lb et r u e ，i ft h e s o l u t i o no ft h er i c c if l o ww i t hb o u n d e dc u r v a t u r ei sa l w a y sl o c a l l yc o n f o r m a l l yf l a t 。 t h el a s tp a r to ft h i sp a p e ri st og i v ea c o m p l e t ec l a s s i f i c a t i o no ft h eg r a d i e n ts h r i n k - i n gs o l i t o n sw h i c ha r el o c a l l yc o n f o r m a l l yf l a l t h ec l a s s i f i c a t i o no f3d i m e n s i o n a l g r a d i e n ts h r i n k i n gs o l i t o n si sv e r yi m p o r t a n ti nt h ep r o o fo ft h ep o i n c a r 百c o n j e c t u r e a n dt h u r s t o n sg e o m e t r i z a t i o nc o n j e c t u r e r e c e n t l y , m a n yw o r kf o c u so nt h es t u d yo f t h eg r a d i e n ts h r i n k i n gs o l i t o nw i t hv a n i s h i n gw e y lt e n s o r b a s e do nt h e s ew o r k ，a f t e r p r o v i n gal o c a lv e r s i o no ft h eh a m i l t o n - i v e yt y p ep i n c h i n ge s t i m a t e ，w eg i v eac o m - p l e t ec l a s s i f i c a t i o na sf o l l o w s ：a n yc o m p l e t eg r a d i e n ts h r i n k i n gs o l i t o nw h i c h i sl o c a l l y c o n f o r m a l l yf i a tm u s tb et h ef i n i t eq u o f i e n t so f 舻，伊一1 ro r 伊 k e yw o r d s ：r i c c if l o w ，s e l f - s i m i l a rs o l u t i o n ，g r a d i e n tr i c c is o l i t o n ，h a m i l t o n - i v e yp i n c h i n ge s t i m a t e ，l o c a l l yc o n f o r m a l l yf i a t 第页 论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工 作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的作品成果对本文的研究作出重要贡献的个人和集体， 均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：地球睡 日期： 劲加年6 月6 日 学位论文使用授权声明 本人完全了解中山大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留 学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版，有权将学 位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆、院系资料室被 查阅，有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索，可以采用复印、缩印或 其他方法保存学位论文 学位敝储虢强壮聊虢 日期：枷，o 年占月日日 期：五6 日 中山大学博士学位论文第一章综述 第一章综述 1 1 在几何中，流形的曲率和流形本身的拓扑之间的互相制约关系一直是一个 中心的话题。同时，由于曲率是一个局部定义的几何量，而拓扑则是一个描述 流形的整体性质的概念，所以讨论流形的曲率与拓扑的关系也是体现着局部与 整体之间互相影响的关系。 因此在微分几何中，一个重要的问题就是，对一个预先给定的黎曼流形 ( m 雪) ，怎样通过曲率这一度量的二阶导数的几何量来了解该流形的拓扑。在 众多因此而产生的工具中，曲率流就是其中一种很有威力的工具。简单地说， 这种方法就是通过某一种方式去光滑地形变度量多，从而达到对度量这一几何 量进行“正则化的目的。我们期望最后得到一个熟悉的标准几何结构，譬如 球面伊、欧式空间舻或双曲空间日n 等，从而知道了初始流形的拓扑。 在过去几十年中，曲率流得到了很好的发展。在解决各种问题的同时， 也出现了不同的曲率流，包括：r i c c i 流，平均曲率流，y a m a b e 流等等。本 文主要讨论数学家h a m i l t o n 为解决p o i n c a r 百猜想和t h u r s t o n 几何化猜测而 于1 9 8 2 年引入的r i c c i 流。通过对r i c c i 流的研究和运用，人们解决了许多 几何、拓扑及流形的复结构问题，也发现了许多新的几何现象( 具体可参 考【3 _ 6 ，9 ，1 1 ，1 3 ，1 4 ，2 1 - 2 3 ，2 8 ，2 9 ，3 4 ，3 8 ，3 9 等等) 。这些重要的结果极大的鼓舞 着人们，也推动着微分几何的繁荣发展。 由于r i c c i 流是一个关于度量的非线性的退化的二阶抛物型方程组，随着时 间的演化，解的结构也在发生变化，一般情形下会产生奇点，流形的拓扑也可 能同时发生改变。但是通过对抛物型方程组的奇点进行完整的分析，我们仍可 以得到原始流形的很多的拓扑信息，因此奇点分析在r i c c i 流理论中占据着非常 重要的地位。 在方程的奇点分析中，一个基本的观点是通过伸缩变化及应用单调性公 式，我们得到自相似解，这个自相似解体现了奇点附近的大量信息。这种做法 第1 页 中山大学博士学位论文第一章综述 已成功地运用在许多数学领域中，譬如极小曲面理论，调和映射理论，y a n g m i l l s 联络，s c h r & t i n g e r 方程，等等。而在r i c c i 流中，这种自相似解的对应物 就是a n c i e n t 解。而在在一定程度上，r i c c is o l i t o n 提供的就是a n c i e n t 解在负无 穷时刻的几何模型。因此，关于r i c c is o l i t o n 的理解和分类，是奇点分析的重要 课题之一。 本文主要专注于理解梯度r i c c is o l i t o n 的几何性质并对其进行分类。具体地 说，我们研究了如下三个问题： ( 1 ) r i c c i 流的自相似解和梯度r i c c is o l i t o n 的等价性问题； ( 2 ) r i e c i 流下，h a m i l t o n i v e y 拼挤估计在高维流形的推广； ( 3 ) 局部共形平坦的收缩梯度s o l i t o n 的完全分类结果。 在这一章中，我们将阐述这些问题的背景、现状、研究方法以及我们的主 要结果。 1 2 设( m 雪) 是一紧致的佗维完备黎曼流形。为了解流形的拓扑，尤其是低维 流形的拓扑，1 9 8 2 年，h a m i l t o n 【2 1 提出了一个很有用的工具：r i c c i 流 ( 1 1 ) 这是一个关于度量的非线性的退化的二阶抛物型方程组。一般来说，r i c c i 流 这个热方程组形式上是非常复杂的，其解的存在性及唯一性等性质不是可以简 单得到的。尽管如此，如果初始度量是e i n s t e i n ，也就是说，存在常数a ，使得 r i c c i 曲率满足 j b ( z ) = a 锄( z ) 那么我们可以看到这样的初始度量，有一个r i c c i 流的解，使得这个解在任意时 刻仍然是e i n s t e i n 度量，而且，随着时间演化，其度量只是在伸缩变换。事实 第2 页 兄 卜 2 b 刊 锄 一 = 助 船 象 物 中山大学博士学位论文 第一章综述 上，设以该度量为初始值的r i c c i 流方程的解满足： g j ( x ，t ) = p 2 ( 亡) 锄( z ) 由r i c c i 张量的定义，我们知道 所以r i c c i 流方程可变为： j b ( z ，t ) = j b ( z ) = a 锄( z ) 型丝趔：一2a劬(z)，ot j 叼， 从而对应于一个常微分方程： 此方程的解为： p 2 ( t ) = 1 2 a t 更一般的，在方程理论中，我们有一个重要的概念：自相似解，它是这样 的一个特殊解：随着时间的演化，它在等距地形变，并伴随着进行伸缩变换。 具体的，我们给出r i c c i 流的自相似解的定义( 可参照【1 5 第二章) 。 定义1 1 给定一个黎曼流形( m ，夕( 亡) ，x ) ，其中夕( t ) 为区间( a ，6 ) ( 弓0 ) 上的 r i c c i 流的解，x 为流形上一个光滑向量场。我们称( m ，夕( 亡) ，x ) 是r i c c i 流的 自相似解，是指如果存在伸缩函数盯( ) 使得 g ( t ) = 盯( 亡) 饼( 9 ( o ) ) 成立，其中微分同胚慨是由x 生成的更进一步，如果向量场x 是某个光滑 函数f 的梯度向量场，则称( m ，夕( t ) ，f ) 为梯度自相似解。 第3 页 入一p 一 = 和面 中山大学博士学位论文 第一章综述 另一方面，对于一个一般的紧致黎曼流形，h a m i l t o n 在文章【2 1 中证明了 方程( 1 1 ) 存在唯一的解吼j ( ) ，t 【0 ，t ) ，其中t 盎+ o o 或者t + o o 并且当 t 叶t 时，曲率l r m i 无界。我们称此解g , a t ) ，t 【0 ，r ) ，为方程( 1 - 1 ) 的最大 解。如果t + o 。并且当t t 时，曲率l r m l 无界，我们称这个解g l j ( t ) 在 t | t 时产生奇点，且称t 为奇点时间。 事实上，在r i c c i 流的作用下，数量曲率有这样的演化方程： 爰r = 冗+ 2 r i c l 2 从这个演化方程中，我们知道数量曲率的极小值是在上升的。这也在一定程度 上说明了，流形的曲率很有可能在有限时间内会趋于正无穷，也就是说，方程 ( 1 - 1 ) 的解产生奇点。 当流形产生奇点时，其拓扑可能也产生了变化。因此，为了解初始流形的 拓扑，我们必须清楚完整地掌握奇点的信息。在h a m i l t o n 的文章【2 7 中，他将 紧流形在r i c c i 流下产生的奇点分为两大类，并称之为发生第一类奇点，如果 s u p ( t 一) k ( t ) 0 时我们说它是收缩的， 而当入= 0 时，我们说它是稳定的，当入 一c 对于一个稳定的( 或者收缩的) s o l i t o n ，我们期望其数量曲率是有下界 的。首先，由于流形不一定是紧致的，我们采用截断函数的做法。对于任意大 的正常数a ，我们考虑函数仳( z ) = 妒( 业a r ) r ( z ) ，其中截断函数妒是一个固定的n 非负递减函数。这里常数a 起的的作用就是控制我们截断的范围。由于函数妒 是截断函数，我们知道锃是有最小值的。在最小值点上，其梯度为0 ，两且让 是非负的。通过仔细计算最小值点上的乱，我们发现必须估计距离函数的拉 普拉斯! 为证明流形上能成立重要的k n o n c o l l a p s e d 性质，p e r e l m a n 【3 8 证明了 关于距离函数的一个抛物化的拉普拉斯比较定理。借助于这种想法，我们证明 了梯度r i c c is o l i t o n 上距离函数也成立了一个拉普拉斯比较定理。利用这个比 较定理，通过仔细的计算，我们证明了半径为；a 翔的球上，数量曲率有下界 r 一岳。由常数a 的任意性，我们就证明了数量曲率的非负性。而且，我们 发现当s o l i t o n 是膨胀的时候，通过类似的证明过程，我们仍然可以得到数量曲 率的下界估计。 有了数量曲率的下界估计后，通过仔细观察梯度r i c c is o l i t o n 的方程及其 衍生的一些等式，我们证明了势能函数的梯度场v ，沿着测地线至多线性增长 的。因此，梯度场是可积的。从而我们完成了定理的证明。 1 3 给定一个紧致的他维完备黎曼流形( m ，参) 。在一般情形下，我们知道其 r i c c i 流的解会在有限时间内产生奇点。因此，为了解初始流形的拓扑，我们必 须清楚的知道奇点处的结构。 一方面，在黎曼几何中，有许多工作是考虑一串紧致黎曼流形的收敛问 题的( 具体可参考【1 8 1 ，【4 0 】，【1 9 等等) 。而在r i c c i 流理论中，h a m i l t o n 第7 页 中山大学博士学位论文第一章综述 【2 6 给出了重要的紧性定理。另一方面，通过引进r e d u c e dd i s t a n c e 和r e d u c e d v o l u m e ，p e r e l m a n 【3 8 】证明了h a m i l t o n 【2 7 1 猜测的l i t t l el o o pl e m m a 。结合这 两方面重要工作，我们在r i c c i 流的奇点处向上爆破解后，这串解可以收敛到一 个光滑极限：a n c i e n t 解! 从而，为了解奇点的结构，人们对a n c i e n t 解进行详细的分析，期望能完全 理解其几何信息和拓扑结构，或者更进一步地，可以完全分类a n c i e n t 解。 事实上，由p e r e l m a n 的n ol o c a lc o l l a p s i n gt h e o r e mi ，我们知道这样的 a n c i e n t 解是k n o n c o l l a p s e d 。而如果我们考虑的是2 维流形，那么我们已经可以 很清楚的知道流形的拓扑了。具体的说，h a m i l t o n 【2 7 给出了2 维a n c i e n t 解的 完全分类：对于非平坦的2 维流形，如果它具有k n o n c o l l a p s e d 性质的r i c c i 流 的a n c i e n t 解，那么这个流形只能是标准球面s 2 或标准的实投影空间r p 2 。 尽管如此，当流形的维数大于等于3 的时候，至今为止我们还不能像2 维 的情形一样完全分类a n c i e n t 解。但是，通过h a m i l t o n 发展的张量形式的极值原 理，人们不仅证明了一些曲率( 如实流形上的曲率算子【2 2 】，复流形上的全纯 双截曲率 2 ，3 4 ，4 4 等等) 的非负性在r i c c i 流下是保持的，还得到了许多几何 量的重要估计。这些估计很好的帮助人们去了解a n c i e n t 解的几何和拓扑性质。 一个经典的结果是，h a m i l t o n 【2 1 1 考虑了3 维的单连通紧致黎曼流形，如 果其r i c c i 曲率是正的，他运用极值原理证明了在r i c c i 流的作用下，r i c c i 曲率 的正性不仅会保持，而且还会满足拼挤估计： 勘一吾i e r + g 这个估计告诉我们，r i c c i 流的奇点爆破后得到的a n c i e n t 解是标准的球面伊， 从而初始流形微分同胚到伊。 而对于具有正迷向曲率( i s o t r o p yc u r v a t u r e ) 的4 维紧致黎曼流 形，h a m i l t o n 2 8 证明了曲率算子的特征值会成立一些重要的估计，这些估 计保证了奇点爆破后得到的a n c i e n t 解具有非负曲率算子，从而我们可以得到奇 点的结构( 具体可参考【1 3 ，2 8 】) ，进而完全分类这类流形。 可以看出，在具有一定曲率的流形中，通过了解其关键几何量的变化，我 们可以理解甚至分类a n c i e n t 解，从而知道了初始流形的拓扑。但是，对于一 些曲率更一般的流形，要了解流形上关键几何量的变化是非常困难的。尽管如 第8 页 中山大学博士学位论文第一章综述 此，我们还是期望获得一些几何估计，进而为我们了解a n c i e n t 解的结构提供帮 助。 其中，一个重要的估计是l i y a u h a m i l t o n 估计。在【3 3 1 中，l i y a u 发展了 具有非负r i c c i 曲率的黎曼流形上热方程的正解的梯度估计，这就是著名的 l i y a u 估计。利用这个估计，通过道路积分，我们就可以得到这种解的h a r n a c k 不等式。h a m i l t o n 在【2 3 1 中将这种想法推广到r i c c i 流这一特殊的热方程中， 得到了具有正曲率的曲面上r i c c i 流的解的数量曲率的有一个类似的估计。之 后，对于任意维数的黎曼流形，h a m i l t o n 在【2 4 1 考虑了矩阵情形的l i y a u 估 计，得到了具有非负曲率算子的黎曼流形上r i c c i 流的解也有一个矩阵情形的估 计：l i y a u h a m i l t o n 估计。特别地，如果这个r i c c i 流的解是a n c i e n t 解，我们 有 力目 菩+ 2 v 口r k + 2 k k 0 ， 【， 其中k 是任意的l 形式。令k = 0 ，我们就知道流形上任意一点的数量曲率 r ( x ，t ) 是单调上升的。这个单调性在3 维流形的奇点分析中是非常重要的。 另一个重要的估计分别由h a m i l t o n 【2 7 1 和i v e y 【3 0 1 独立证明的，这个在3 维流形的几何及拓扑中非常重要的估计被称为h a m i l t o n - i v e y 拼挤估计： r ( - v ) 1 0 9 ( - v ) + l o g ( 1 + t ) 一3 】 粗略地说，在3 维紧流形中，如果一个r i c c i 流的解出现奇性，那么，当时问趋 向奇性时刻的时候，跟最大的正截面曲率相比较，负得最厉害的截面曲率将变 得越来越小。也就是说，任何3 维紧流形上的度量在r i c c i 流演化下爆破得到的 a n c i e n t 解将具有非负曲率算子( 也就是具有非负截面曲率，这两个非负性在3 维流形中是一样的) 。因此，在3 维流形的奇点分析中，我们要考虑的a n c i e n t 解是a n c i e n tk 解，也就是说，它具有任何尺度的k n o n c o l l a p s c d 性质，而且其 曲率算子有界非负。这个曲率算子的非负性，在p e r e l m a n 3 9 1 证明的奇点结构 定理发挥了重要的作用。 相对于对任意维数都成立的l i y a u h a m i l t o n 估计，h a m i l t o n i v e y 拼挤估计 只是在3 维流形中成立。那么，一个自然的问题是，这个估计能否推广到高维 流形呢? 或者有没其他形式的估计，使得任意高维紧流形爆破得到的a n c i e n t 解 第9 页 中山大学博士学位论文第一章综述 将具有非负曲率算子呢? 答案是否定的。事实上，在文章【3 2 中，k o i s o 构造了一个紧致无边流形 上的k 8 h l e r - r i c c is o l i t o n ，通常称之为k o i s os o l i t o n 。正如上一节所描述的r i c c i s o l i t o n 一样，随着时间的演化，这个流形上的度量只是在等距形变的基础上加 以整体伸缩变化。所以，其各个截面曲率之间的比值是保持不变的! 既然h a m i l t o n i v e y 拼挤估计在一般的高维紧流形上是不成立的，那么，我 们转而寻求在什么流形上会成立这个如此重要的估计。在2 0 0 4 年，a n g e n e n t 和 k n o p f 【1 】在旋转对称解中给出的一些有用的估计，其中就包括一个曲率的拼挤 估计引理9 。l 。这个引理的作用跟h a m i l t o n i v e y 拼挤估计是极为类似的，它也 说明了在r i c c i 流下，最负的截面曲率跟最正的截面曲率相比是越来越小的。注 意到不管是任意的3 维流形还是具有旋转对称度量的高维流形，其度量的w e y l 张量都是为零! 因此，在维数大于等于4 的流形上，我们考虑了总是具有零 w e y l 张量的r i c c i 流的解，也就是时时都是局部共形平坦的r i c c i 流的解，得到 了高维流形的h a m i l t o n - i v e y 拼挤估计。这也是本文第三章的主要目的。 定理1 4任意给定一个具有有界曲率的n 维完备黎曼流形。如果其上存在一 个r i c c i 流的解，使得对任意t 0 时刻的度量都是局部共形平坦的。假设在 t = 0 时刻曲率算子在任意点上的最小特征值都有下界- 1 。那么，在任意 时刻t 0 ，曲率算子的最小特征值在任意点上都有下述的估计： r - - ) 【l 。g ( 一) + l o g ( 1 + 亡) 一兰鱼主尘】， 其中，只要求在这一点上有 0 的e i n s t e i n 流形，而至今为止人们对4 维以上的 e i n s t e i n 流形的认识还是非常有限的。所以，人们关注的是更具体的某些类型的 第1 2 页 中山大学博士学位论文第一章综述 收缩梯度s o l i t o n 的完全分类，而且这种分类已经很好的帮助人们去解决几何拓 扑问题了。 为了推广p e r e l m a n 得到的具有正曲率的3 维收缩梯度s o l i t o n 的流形紧致性 结果，n i w a l l a c h 3 6 考虑了具有非负曲率算子的4 维收缩梯度s o l i t o n ，他们证 明了如果这个s o l i t o n 具有正的迷向曲率，曲率张量至多线性增长，而且还满足 一个弱的迷向曲率拼挤条件，那么这个s o l i t o n 只能是s 3 r 或酽的有限商空 间。后来n a b e r 【3 5 改进了这个结果，他证明了具有有界正曲率算子的4 维收缩 梯度s o l i t o n 都是紧致的。 而对于任意维数的缩梯度s o l i t o n ，顾会玲和朱熹平在文章( 【2 0 ，命题 4 1 ) 中给出了维数扎4 的收缩梯度s o l i t o n 的一个分类，指出了任何非平凡 的收缩梯度s o l i t o n ，如果度量是旋转对称的，并且是k n o n c o u a p s e d ，假设其 曲率还是有界非负的，那么它肯定是伊xr 或铲+ 1 的有限商空间。同一时 期，k o t s c h w a r 3 1 给出了一个更好的分类结果，他证明了任何完备的旋转对称 的收缩梯度s o l i t o n ( 没有任何曲率限制) ，只能是舻+ l 、眇xr 或伊+ 1 的有 限商空间。注意到任何3 维流形上的黎曼度量都自动具有零w e y l 张量，而且任 何旋转对称的度量也都是具有零w e y l 张量的。因此，在考虑了更一般的局部共 形平坦( 也就是具有零w e y l 张量) 的情形下，n i w a l l a c h 【3 7 】证明了这样的结 果： 定理1 6 设( m ，夕，) 是一个维数不小于4 的完备的收缩梯度s o l i t o n 假设这 个s o l i t o n 是局部共形平坦的，其r i c c i 曲率非负，并且存在常数o ，使得 觚e a ( r ( z ) + ， 其中r ( x ) 是对某固定点的距离函数那么，它的万有覆盖空间只能是 舻、s n 一1xr 或 这个结果后来被p e t e r s o n 和w y l i e 所改进，在他们的文章( 【4 l 】，定理1 2 ) 中，对曲率的要求只是厶i r i c l 2 e s d v o l o o 。另外，对于n i w a l l a c h 的分类 定理，c a o w a n g 在文章【1 0 l q ，用了一种新的方法，给出了一个新的证明。 注意到，3 维完备收缩梯度s o l i t o n 可以不需要任何曲率限制而得到完全 分类，其关键点就在于陈兵龙的局部化的h a m i l t o n i v e y 型拼挤估计( 【8 】， 第1 3 页 中山大学博士学位论文第一章综述 命题2 2 ) 。在本文的第三章中，我们已经证明了一些高维流形上会成立这 个h a m i l t o n i v e y 拼挤估计。那么，是否有一些高维流形会成立这种局部化的 h a m i l t o n - i v e y 型拼挤估计呢? 答案是肯定的! 在本文第四章中，我们主要就是要证明在局部共形平坦的 收缩梯度s o l i t o n ( 没任何曲率要求) 上，成立一个局部化的h a m i l t o n i v e y 型拼 挤估计。在这个基础上，我们就可以得到一个这样的完全分类定理( 没任何曲 率假设) ： 定理1 7任何完备的收缩梯度s o l i t o n ( 维数4 ) ，如果还是局部共形平坦 的，那么，它只能是即、铲_ 1 r 或酽的有限商空间。 我们期望一个局部共形平坦的收缩梯度s o l i t o n 上具有特殊的几何信息，其 曲率满足一些估计。由定理1 3 ，我们可以赋予这个s o l i t o n 一个r i c c i 流的解。 注意到我们所考虑的s o l i t o n 很可能是非紧的，曲率可能无界，这样，我们就不 能使用定理1 4 。因此，我们想要证明一个局部化的曲率估计。对于任意大的正 常数a ，任意的非负整数m ，我们定义两个张量如下： 口卢：= 卢+ m 收卢，p a 口：= q a f ，型a r o 、帆卢， 其中截断函数妒是非负递减的。显然“( 亡) ：2 翼协陋+ m 】妒( z ，亡) 作为张量只芦 在整个流形上的最小特征值在每个固定的时刻是有下界的。我们想知道u ( t 1 在 r i c c i 流的演化下会怎么变化。仔细计算这个函数的微分，我们发现需要估计一 个含多个变量的形式上很复杂的多项式函数。通过一系列复杂的计算，我们证 明了这个多项式函数是有下界的。再经过一些估计，我们在某个程度上证明了 去u 赤舻 面u 而再面铲 事实上，在证明过程中，我们需要对非负整数仇用数学归纳法来得到上述 微分不等式。通过积分这个微分不等式，我们得到在一个开集上， 脚m 嘶n 争，一务 第1 4 页 中山大学博士学位论文 第一章综述 由a 的任意性，我们可以看出在r i c c i 流的演化下，r ( x ，t ) + m y 在一个邻域内 的下界在变好。现在我们考虑的是一个收缩梯度s o l i t o n ，其上r i c c i 流的解可以 看成是从负无穷时刻解过来的。因此，在零时刻看来，r ( x ，t ) + m 0 ，从而 s o l i t o n 的任意一点上曲率算子非负。在这个基础上，经过一番计算，我们就知 道我们所考虑的s o l i t o n 是满足定理1 6 的曲率假设的，应用结论，我们就得到 了局部共形平坦的收缩梯度s o l i t o n 的完全分类。 本文分四章。在第一章中，我们将从完备黎曼流形上的曲率流的研究的历 史角度出发，阐述本文研究课题的背景、方法及意义。在这一章，我们也罗列 了我们的主要结果。 在第二章中，我们将验证r i c c i 流下的梯度自相似解和梯度r i c c s o l i t o n 是等价的。本章的部分结果可参见文章：o nt h ec o m p l e t e n e s so fg r a d i e n tr i c c i s o l i t o n s ，该文章已经发表在p r o c e e d i n g so ft h ea m e r i c a nm a t h e m a t i c a ls o c i e t y 。 在第三章中，我们将推广h a m i l t o n i v e y 拼挤估计到高维流形上。 在第四章中，我们给出一个局部形式的h a m i l t o n i v e y 型拼挤估计，然后完 全分类局部共性平坦的收缩梯度s o l i t o n 。本章的部分结果可参见文章：g r a d i e n t s h r i n k i n gs o l i t o n sw i t hv a n i s h i n gw e y lt e n s o r ，该文章已经发表在p a c i f i cj o u r n a l o fm a t h e m a t i c s 。 第1 5 页 中山大学博士学位论文第二章梯度r i c c is o l i t o n 的梯度场的完备性 第二章梯度r i c c is o l i t o n 的梯度场的完备 性 本章主要讨论梯度r i c c is o l i t o n 的几何性质，最后得到了其梯度场的完备 性，从而证明了梯度r i c c is o l i t o n 和自相似解是完全等价的。 给定流形m 上一个r i c c i 流的解夕( t ) ，我们知道，如果这个解是自相似 解，那么这一串单参数的度量只是在等距变换的基础上加以伸缩变化。事实 上，我们有一种更一般的解：b r e a t h e r 。一个r i c c i 流的解9 ( ) 被称为b r e a t h e r ， 是指存在两个时刻t 1 t 2 和一个正常数口，使得a g ( t 1 ) 和g ( t 2 ) 是等距的。对 应于正常数o l = 1 ，o t 1 的情形，我们分别称这个b r e a t h e r 是稳定的，收 缩的和膨胀的。简单的说，b r e a t h e r 是一种有着类似“周期性的解。显然，自 相似解肯定是b r e a t h e r 。 如果一个b r e a t h e r 是在紧流形m 上的，那么我们对这种解是有着深刻的认 识的。事实上，当这个b r e a t h e r 是稳定的( 或膨胀的) ，通过p e r e l m a n 【3 8 】引 进的泛函 厂( ，f ) ：= ( r + l v ，1 2 ) e d ， j m 我们知道在任意一个固定的时刻都只能是稳定的( 或膨胀的) 梯度r i c c i s o l i t o n 。而如果这个b r e a t h e r 是收缩的，利用p e r e l m a n 【3 8 】引进的另一个泛函 w ( g t j ，7 ) ：= 【7 - ( r + l v ，1 2 ) + ，一扎】( 4 7 r 丁) 一号e 一，d 嵋， jm 我们知道在任意一个固定的时刻都只能是收缩的梯度r i c c is o l i t o n 。从而，紧流 形上的“周期性”解b r e a t h e r 都是梯度r i c c is o l i t o n 。利用我们这一章的结论， 我们就知道紧流形上b r e a t h e r 和自相似解是完全一样的。 接着我们来考察自相似解和梯度r i c c is o l i t o n 的关系。设( m ，夕( ) ，) 是一 个完备的梯度自相似解，那么( m ，夕( o ) ，f ) 肯定是一个完备的梯度r i c c is o l i t o n 。 反之，如果( 旭夕，) 是一个完备的梯度r i c c is o l i t o n ，那么是否一定存在一个 第1 6 页 中山大学博士学位论文第二章梯度r i c c is o l i t o n 的梯度场的完备性 完备的梯度自相似解( m ，夕( t ) ，) ，使得g ( 0 ) = 夕呢? 如果这个梯度r i c c is o l i t o n 的梯度场是完备的，也就是说可以积出一族微分同胚，那么，上述问题的答案 就是肯定的。定理1 3 告诉我们，一个完备的梯度r i c c is o l i t o n 本身蕴含着梯度 场的完备性，从而，完备的梯度自相似解和完备的梯度r i c c is o l i t o n 是等价的。 为了证明定理1 3 ，我们首先需要计算梯度r i c c is o l i t o n 上距离函数的拉普 拉斯。在第一节中，我们推导了梯度r i c c is o l i t o n 上的一些几何性质，并且得到 了一个抛物化的距离函数的的拉普拉斯比较定理。在第二节中，通过运用第一 节中得到的估计，我们证明了梯度场的完备性，从而完成定理1 3 的证明。 2 1 梯度r i