（应用数学专业论文）泛函微分方程的线性化全局吸引性及临界振动性.pdf

摘要 本文研究了三类广义的生态数学模型 2 ( t ) + 1 + z ( ) 】【l + c z ( t ) i f ( t ，z ( - ) ) = 0 7 ( t ) + 1 + 0 ) 】 1 一c z ( ) 】f ( ，。( ) ) = 0 和 z 7 ( ) + 1 + z ( t ) f ( t ，( 1 + a z ( ) ) z ( ) ) = 0 整体解的存在性及全局吸引性，通过其线性化方程的吸引性条件，给出了上 述三类方程3 2 一全局吸引性结果；通过建立时滞微分方程与常微分方程振 动等价陛，研究了一阶时滞微分方程 z 心) + p ( t ) z ( r ( t ) ) = 0 ， t o ， 在临界状态下的振动性和非振动性，n 阶具“积分小”系数中立型时滞微分 方程 z ( ) 一p ( t ) z ( t r ) ( “+ q ( t ) x ( t 一口) = 0 ，t t o 和一阶具正负系数中立型时滞微分方程 陋( ) 一冗( t ) z ( t r ) 】7 + p ( t ) z ( t r ) 一q ( t ) z o 一口) = 0 ，t t o 解的振动性和非振动性，获得了一系列新结果，其中许多结果在一定意义下 是最好的 关键词时滞微分方程，线性化，全局吸引，振动，临界状态 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w eg i v et h ed e t a i l e da n a l y s i s o ft h eg l o b a le x i s t e n c ea n dg l o b a la t - t r a c t i v i t yo fs o l u t i o n so ft h r e ef u n c t i o n a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw h i c hc o n t a i nm a n y e c o l o g i c a lm o d e l s z ( t ) + 【1 + z ( t ) 1 + e z ( t ) f ( t ，z ( - ) ) = 0 ， 。7 ( t ) + 1 + 。( t ) 】 1 一c ( t ) f ( t ，z ( ) ) = 0 a n d z 7 ( ) + 1 + z ( t ) 】f ( ，( 1 + a 。( ) ) z ( ) ) = 0 ， a n dt h e3 2 - g l o b a la t t r a c t i v i t yr e s u l t sa x eo b t a i n e db ym e a n so ft h ec o n d i t i o n so fa t t r a c t i v i t yo ft h el i n e a r i z ee q u a t i o n so ft h ea b o v e ；b ye s t a b f i s h i n gt h ee q u i v a l e n c ef o r o s c i l l a t i o no fd e l a ya n do r d i n a r yd i f f e r e n i a le q u a t i o n s ，w ei n v e s t i g a t et h eo s c i l l a t o r y b e h a v i o ro ft h ef o l l o w i n gf i r s to r d e rd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n z 讹) + p ( t ) 。( r ( ) ) = 0 ，t t o i nt h ec r i t i c a ls t a t e n - t hn e u t r a ld e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t h “i n t e g r a l l ys m a l l c o e 伍c i e n t s 【2 ( t ) 一p ( ) 2 ( t r ) 恤) + q ( t ) z ( 一口) = 0 ，t t o a n dt h ef i r s to r d e rn e u t r a ld e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t hp o s i t i v ea n dn e g a t i v ec o e f 丘c i e n t s 【( t ) 一r ( t ) z o r ) 】7 + p ( t ) z ( t f ) 一q ( t ) z ( t a ) = 0 ，t t o w eo b t a i nm a n yn e wr e s u l t so no s c i l l a t i o na n dn o n o s c i l l a t i o no fs o l u t i o n sf o rt h ea b o v e e q u a t i o n s o ft h e m ，m a n yr e s u l t sa r e “b e s tp o s s i b l e i ns o m e s e n s e k e yw o r d s ：d e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，l i n e a r i z e ，g l o b a la t t r a c t i v i t y , o s c i l l a t i o n ， c r i t i c a ls t a t e 2 第一章前言 泛函微分方程的振动及稳定性理论作为泛函微分方程定性理论的一部分，在最近3 0 年 中有了迅速的发展，国际文献中这一领域的论文已有成千篇，1 9 7 7 年以来连续出版了有关 泛函微分方程振动及稳定性理论的专著8 本 1 - 8 j 广泛的应用背景是促使这一理论迅速发展 的基础众所周知，生物模型中出现大量时滞微分方程【9 l ，其中最著名的就是h u t c h i n s o n 于1 9 4 8 年建立的描述单个种群增长的时滞l o g i s t i c 方程 删= 州z ) ( i 一竿! ) ， ( 1 j ) 其中延滞r 包含着对种群增长的各种影响，如孵化周期，怀孕时间，食物更新的时间等，生 态学家根据生物意义预期方程( i1 ) 具有小的正初始值的解，当0 e 文( 4 】进一步证明；当c s ； 时，方程( 12 ) 的每个解都趋于零工业方面，电磁开关触头的振动可归结为研究二阶时滞 微分方程 。”( f ) + a x ( t ) + b z ( t ) + c z ( t r ) = 0f 1 3 ) 的解的振动性【1 1 从s t u r m ( 1 9 3 6 ) 研究热传导方程时提出二阶线性常微分方程 z ”( t ) + a ( t ) x ( t ) = 0( 1 4 ) 的振动问题以来，常微分方程的振动理论已有很久的历史，s t u r m 的比较定理，s t u r m 零 点分离定理已写入大学教课书s w a n s o n 1 2 】总结了线性常微分方程振动理论的经典结果， 也见文献f 1 3 ，文献 14 j 中介绍了某些非线性微分方程的振动性研究结果，也见文献 15 泛 函微分方程振动理论区别于上述微分方程的振动理论。如前面提到的，它的重点是揭示微分 方程中的偏差变元的出现引起的解的振动性或非振动性一个简单的例子是一阶线性常微 分方程 u i t ) + p ( 砷“) = 0 ，p c ( r ，r )( i5 j 的一切解都是定号的，而一阶时滞微分方程 印) + ，o 一；) = o ( 1 6 ) 1 具有振动解f = s i n t 这个振动性完全是由滞量”2 引起的事实上，在满足初值问题解的 存在和唯一性的条件下一阶常微分方程y = ，( ，g ) ，( f ( t ，0 ) 三0 ) 没有振动解正因为这 样，一阶泛函微分方程解的振动性质的研究构成泛函微分方程振动理论中最吸引人的篇章 之一，见综述文章 1 8 】和文献 2 ，6 】_ 同样，对于一阶常微分方程( 1 5 ) ，当p ( t ) 0 时，其所有解都是稳定的，但对一阶时滞 微分方程 ( ) + p ( t ) u ( t r ) = 0 ，( 17 ) 其解可能稳定。也可能不稳定，这主要由系数州f ) 及时滞r 决定确定包括( 17 ) 在内的一 阶时滞微分方程稳定性区域是泛函微分方程稳定性理论中最重要的工作 在振动理论中我们假定讨论的解( ) 在半轴，* ) 上存在且对每个t 弓，有s n p b f t ) l t l 0 ，即非平凡解 称一个非平凡解( t ) 是振动的。若它在t t o 的零点集合是无界的，否则称它是非振动 的；称一个方程是振动的，如果它的每个解都是振动的；称一个方程是非振动如果它存在 一个非振动解一个非振动解或者最终为正或最终为负，从这个定义中看到解的振动和非振 动性质是无穷远点邻域中的性质因而在振动理论文献中常常不明显涉及到初始资料 以下仅就与本文直接相关的几个方面的研究现状作一简要概述 一l o g i s t i c 型生态数学模型的全局吸引性 1 8 3 6 年，v e r h u l s t 提出了下述著名单种群增长的l o g i s t i c 微分方程模型 、，( f ) = r n ( t ) ( 1 一( f ) ) ，( 2 1 ) 其中r 0 利用分离变量法容易求得( 2 1 ) 的解( ( o ) = n o ) ( f ) = 面币等庐 显然l i m h 。n ( t ) = l ，即( 21 ) 的正平衡点n ( t ) = l 是全局稳定 考虑到“历史”对种群的增长率的影响。1 9 4 8 年。h u t c h i n s o n 提出了下述时滞l o g i s t i c 方程- - h u t c h i n s o n 方程 n ( t ) = r n ( t ) 1 一0 一r ) 】( 2 2 ) 其中r ，r 0 与( 2 2 ) 相应的初值条件为 f 。( 口) = ( o ) ，0 【一r ，0 ， i 妒g ( ho 】，【0 ，) ) ， o ( 2 3 ) 2 1 9 5 5 年，w r i g h t 4 5 1 证明了。如果 ： ”7s j ， 则( 22 ) 与( 23 ) 每个解。vc t ) 趋向于i 对于非自治h u t c h i n s o n 方程 n ，( f ) = r ( t ) ( c ) 1 一n ( t r ) 】， 其中r c ( o ，) ，( o ，o o ) ) ，r 0 ，人们一直在寻找与( 24 ) 类似的条件 5 4 进展，直到1 9 9 3 年，k u a n g e 还提出猜想：如果 r ( t ) r j 3 ，c o ， 则( 2 5 ) 与( 2 3 ) 的每个解也趋向1 ： 1 9 9 5 年，c h e n 等人解决了上述猜想实际上，他们证明了。如果 ( 2 4 ) ( 2 5 ) 但均没有实质性 4 6 ) r ( z ) r ! i o ，t 0 ， ( 27 ) 且 r ( s ) d s = 。， ( 2 8 ) 则( 2 5 ) 与( 2 3 ) 的每个解趋向于1 同年，s o 和y u 4 7 l 将( 27 ) 改进为 一，r ( s ) 出；， 。充分大( 29 ) 由l o g i s t i c 方程( 2 1 ) 容易看到，n ( t ) 的生长率总是固定在( t ) = 0 5 时，达到最大值 1 9 5 2 年，t h o m p s o n ”1 观察到如下事实，各种微生物，植物和动物都是在0 5 v ( # ) 0 ，0 c 0 0 ( c l ，并证明了，如果1 2 8 ) 成立且存在0 0 1 9 8 8 年，g o p a l s a m y ，k u l e n o v i c 和l a d a s 5 2 】将( 2i 4 ) 改进为下述时滞。喷物有限”种群 模型 州= 州南蒜名， ( 2 嘲 其中r ，f ，c o ；并证明了，如果 r t f f ” 0 ( 利用一个简单的变量代换可以将 5 3 ，e q ( u 化为( 2 1 7 ) 形式) ，并证明了，如果 ：”尚出= m ， 仁 厶丽百“。呱 。叫 且 r ( s ) d s s1 + c o ，t2 一 ( 2 1 9 ) 这里c o = i n f c ( t ) ：t 0 ) ，则( 2 1 7 ) 与( 2 3 ) 每个解趋向1 1 9 9 0 年，g o p a l s a m y 和l a d a s s 提出了下述反映“a l l e ee f f e c t ”的时潍l o t k a - v o l t e r r a 型 单种群增长模型一平方l o g i s t i c 方程 n p ) = 0 ) 0 一b n ( t f ) 一c n 2 0 一r ) 】，t 0 ，( 2 2 0 ) 4 其中a ，c ( o ，。) ，b ( 一。o ，。) ，r 【0 。o ) ，并证明了t 如果 r ( 2 c + 6 ) + c 2 ( e 【2 e n + b ) 一n r 一1 ) 1 e ( 2 c n + b ) 7 1 ， ( 2 2 0 则( 22 0 ) 与( 23 ) 的每个解趋于这里是方程( 2 2 0 ) 唯一正平衡点 可= 去( - b + f - - + 一4 a c ) 若令z ( f ) = v ( t ) 一l ，则( 25 ) 化为 。，( f ) + r ( f ) 1 + 。( f ) 。( f r ) = 0 ，t o ； ( 22 2 ) 若令z t ) = 黼，则【2 1 1 ) 化为 。印) + 鲁 1 + 州) 】【1 + c z ( f ) 】邛一) = o ，独 ( 2 2 3 ) 州州t ) 【1 刊明 i - c o x ( f ) 再丽看籍墨而而= 。，t 独 ( 2 艘) 若令。( ) = 寺( f ) 一l ，则( 22 0 ) 化为 其中 i t ( t ) = r 1 + z 0 ) 1 + x z ( t r ) r ( t r ) = 0 ，t 0 ， ( 2 2 5 ) r = ( 2 c ) v + 6 ) ，a = c 一, v ( 2 c n + 6 显然，方程( 2 2 2 ) ，( 2 2 3 ) ，( 2 2 4 ) 和( 2 2 5 ) 的均有零解( t ) 三0 ，其线性化方程具有同一形式 z 7 ( f ) + 口0 ) 。( t r ) = 0 ，t 0 其中8 ( z ) 分别为r ( t ) ，r ( t ) ( 1 一c ) ，r ( t ) ( 1 + c ( t ) ) ，r 方程( 22 6 ) 零解的稳定性已被广泛研究，其中最好的结果是$ 1 ：如果 则( 2 2 6 ) 的零解一致稳定；如果 且 ，。( s ) 幽s i 3 ，f r 厂。( 。) d s ：。 d 0 心肌a ；， 0 ( 2 2 6 ) ( 22 7 ) ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) 则( 22 6 ) 的零解渐近稳定 文f 4 7 7 中结果表明t 线性化方程( 22 6 ) 的吸引性( 渐近性) 可以决定原非线性方程的全 局吸引性，并且( 22 2 ) 中非线性部分对其零解的全局吸引性起到补偿作用即对于非线性方 程( 2 2 2 ) ，( 2 2 9 ) 申的“ 1 ， ( 3 4 ) 叶，r ( t 】 则方程( 3 1 ) 振动 1 9 7 3 年，s h r e v e i l9 】也独立地证明了上述结论 1 9 8 2 年，k o p l a t a d z e 和c h a n t u r i j a 2 0 】证明了，如果 r t 1 1 强缈厶9 ( 8 ) 4 8 ， ( 35 ) 魁方程( 3 1 ) 振动；如果 厶p ( s ) 如冬， 充分尢 ( 3 6 ) 6 则方程( 31 ) 存在最餐正解- 1 9 8 8 年。e r b e 和z h a n g 2 1 】证明了。如果r ( f ) 单调不减。且 。皇1 慨黔t 妪， 皇l i ms u p j i l t t ) p ( s ) d s i - 譬， ( 3 7 ) 则方程( 3 1 1 振动， 1 9 9 1 年，简超将上述条件( 3 8 ) 改进为 ns 且 卜南l ( 3 8 ) 一ez i o i 同年，k w o n g 2 3 】证明了与( 38 ) 互不包含的下述振动准则t as 且 岩掣 ( 3 。) 一e ，l oj 这里，( 卅是下述超越方程 ，( o ) = e 。f ( c o( 3l o ) 的小根 1 9 9 3 年，庾建设和王志成 0 4 1 进一步改进了条件( 38 ) ，即 n 至且a 1 一j 1 ( 1 一n 一订瓣) ( 3 1 1 ) 沿着不同途径，1 9 9 5 年，l i 2 5 】证明了t 如果存在t t o 使得 ( 小胁，t 2t ， (312)j t p ( s ) 如， 2 ，( 3 t c 目 f 砟，m ，小胁一) 一t 出= m ， 限 则方程( 3 2 ) 振动。 1 9 9 6 年，l i ( 2 q 进一步证明了t 如果r ”v ( s ) d s 0 ，t t ，且 f 邢n ( e 厂如冲) 出一 强 则方程( 3 2 ) 振动 1 9 9 8 年。l i 2 1 证明了与( 3 1 4 ) 相独立的另一振动准则t 如果r ( t ) 单调不减，且存在正 整数女使得 r ，1i s l , 一1 1 l i 。m + 。i n j ( ( 。) p ( s 1 ) j c ( p ( s 2 ) 上( ，。) p ( s ) “。s 1 1 ， ( 3 1 5 ) 则方程( 3 1 ) 搌动 1 9 9 9 年，j a r o s 和s t a v r o u l a k i s 9 5 】同时改进了( 39 ) 和( 31 1 ) ，即 ns 且 等笋一：1 ( 1 - c r - 丽) 本文第三章系统地论述了方程( 3l ) 在i 瞄界状态 1 哩鎏l 9 ( 5 ) 如2 下解的振动性。利用一些新的方法和技巧获得了一系列新的更有意义的结果 ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) 四奇数阶中立型时滞微分方程 在1 9 8 0 年，保加利亚数学家ba i n o v 第一次发表了中立型泛函微分方程解的振动性论文 ( 2 踟，此后，这个课题得到了迅速的发展，美国、日本、苏联、南斯拉夫、加拿大、澳大利亚、 保加利亚及我国的学者都纷纷做了许多十分重要的贡献 考虑奇数阶中立型线性时滞微分方程 陆o ) 一p ( t ) z ( t r ) 】_ + q ( t ) z ( t 一口) = 0 ，t t o ， ( 4 1 ) 其中n21 为奇数， p c ( p o ，。) ，r ) 口c ( t o ，。) ，r + ) ，r ，口，( 0 ，。) ， 和一阶具正负系数中立型线性时滞微分方程 陆( f ) 一冗( ) 。( t r ) 】+ p ( t ) x ( t r ) 一q ( t ) x ( t 一州= o ，t t o ， ( 42 ) 其中r ，p ，q c ( 口o ，。) ，r + ) ，r ，f ( 0 ，o 。) ，旷( 0 ，) 如果n = i ，则方程( 4 1 ) 退化为 d ( t ) 一尸( ) z ( t r ) + q ( t ) x ( t 一= o ，t t o ( 4 3 ) 1 9 8 6 年，g r a m m a t i k o p o u l o s ，g r o v e 和l a d a s c 2 9 】证明了，如果p ( f ) 三p i ，q ( t ) 是正 肌铜躯甄且 南l i m i n ，小州。 t ， 南上一，删如 i ， ( 44 j 则方程( 43 ) 振动 同年，l a d a s 和s f i c a s 3 。】又证明了，如果尸( t ) 兰1 ，且 7q ( s ) d s = ，( 45 ) 则方程( 4 3 ) 振动 t 9 8 7 年g r o v e ，k u l e n o v i c 和l a d a s 3 1 1 证明了，如果 0 p ( t ) sl ，t t o 0 - ， 则方程( 4 3 ) 振动 1 9 9 0 年，c h u a n x i ，l a d a s ，z h a n g 和z h a o a 2 】发现 3 1 的证明是错的 件下重新证明上述结果 同年，王志成和庾建设【捌证明了下述一般性结论t 如果 ( i ) 0 p ( t ) si ，q ( t ) 0 ，且l i m i n f t - + 。丘。q ( s ) g s o ； ( i i ) 存在正的连续函效g ( 0 ，使得 t i 。m + 。i n r ，：。z ，( s ) a s 。； ( 4 6 ) ( 47 ) ( 4 8 ) 并在更一般的条 4 9 ) ( 4 1 0 ) ( i i i ) 存在t t o + m a x 7 - ，口 ，使得 揖i n 。f 等等唧( a t h a s ) + 器唧( a 。耶，如) l f 4 儿) 则方程( 43 ) 振动；如果 ( i ) p ( t ) 三1 ，r f ，q ( ) 0 ，q ( s ) d s = ， j f o z i m i n r 厂。意如 。 f 4 1 2 ( 4 1 3 ) ( i i ) 存在正的连续函数日( t ) ，使 j ! - t t + r - a h ( s ) 幽 。，- i m i n l i m i n f r 可窨丽】 。； ( t - a ) 5 ) 幽 0 ，1 l 币i 鞠i 刈；( 4 1 4 ) ( i i i ) 存在t 2 0 + r ，使 。! ；，。 j i j ：i j ；! ；：；! ；：；j ：y j i 巧te x 。( 一+ 7 日( s ，a s ) + 丽等丽e x p ( a f + - a h 幽) t 悻嘲 9 则方程( 4 3 ) 振动 对于高阶( n 1 ) 中立型方程( 4 1 ) ，相应的结果很少 1 9 9 4 年，张炳根和庾建设d 4 , 6 证明了，如果 ( i ) p ( o 三p 【0 ，1 ) ，s ”2 q ( s ) d s = o 。； ( 4 t 1 6 ) rr | ，- t 一41 ( i i ) l i ms u p | ( f 一0 - - i q ( s ) d s + p ( f s ) ”一1 口( s ) d s i ( n 1 ) ! ( 1 一p ) ，( 4 1 7 ) c 1 j t 口 j c 一口一r j 或 l l m 。+ s 。u 。 ：，c s + 口一，“一1 口c s ，d s + ，：二：r ( s + 口+ r - 1 ) n - l q ( s ) d s c n 一1 ，! ( 1 - 。p ) 。， 则方程( 4 1 ) 振动 1 9 9 1 年之前，研究方程( 4 1 ) 振动性的所有文献都要求发散条件 q ( s ) d s = 。( 41 9 ) 1 9 9 1 年，庾建设【3 5 】发现z 当( 4 1 9 ) 不成立，即在 fq ( s ) d s o ，t t 且1 妊密一，日( s ) 如 o ； ( 4 2 2 ) 汹) 鸭，b ，( a ，耶胁) + r ( t - r ) e x p ( af - r h ( s ) d s ) + 仁。一小x ，( a ，鲫，如) a s f - ； 。， 1 0 则方程( 42 ) 振动 上述结果包含和改进了几乎所有相关的结果1 9 9 4 年，庾建设和燕居让 4 3 1 还证明了， 如果 r ( f ) + q ( s ) d s 三l ， ( 42 4 ) j 一r + 4 ，o 。，。 t h ( t ) ；4 ( s ) d s d t = ， ( 4 2 5 ) j t o jc 则方程( 4 2 ) 振动 1 9 9 6 年。张炳根 删在条件【4 2 1 ) 下给出了( 4 2 ) 存在最终正解的一个充分条件，该条 件与( 42 3 ) 对应 本文第四章44 ，5 45 两节主要研究方程( 42 ) 的振动性和非振动性分别在( 42 1 ) ，( 4 2 4 ) 以及 r ( t ) + q ( s ) d s 1( 42 6 ) j t r + 口 下给出方程( 4 2 ) 振动及非振动h i l l e 型准则，所获结果在某种意义下是最好的 1 1 第二章l o g i s t i c 型生态数学模型的全局吸引性 2 1 基本不等式 本节主要给出一些有趣的代数不等式，它们在后面几节中有重要的应用 引理2 1 1 设c ( 0 ，1 ) ，则对任意的” 0 ，1 ，恒有 ( 1 - v ) l n 半2 一( i - e ) ”+ 丁1 - - c 岍下1 - - c 2 一( 1 1 ) 证令，( ”) = ( 1 一”) i n f i 一( i c ) e “j i n c 直接计算得t ( o ) = 0 ，( o ) = 一( 1 一c ) ，”( 0 ) = l c ，f m ( 0 ) = l c 2 ， ，( 4 b ，= 器嵩群 其中g ( ) = 4 一c ( 1 一u ) 一4 c ( 1 一c ) ( 1 一u ) e 。一( 1 一c ) 2 4 + c ( 1 一u ) e 2 “下证 i ( u ) 20 ，0 s 1 ( 1 2 ) 因9 ( 0 ) = 2 c + 2 c 2 一c 3 o ，f ( 1 ) = 4 1 1 一( 1 一c ) 2 e 2 。 0 如果g ( 口) 在( 0 ，1 ) 上无驻点。 则( 1 2 ) 式自然成立以下假设g ( ) 在( o ，1 ) 上存在驻点。设如( o 1 ) 是g ( ) 的任一驻点 ( g 如o ) = 0 ) ，若记d = c ( 1 v o ) ，z = ( 1 一c ) e c “，则有 9 ( w 。) = 一4 ( t + 2 a ) z 2 4 ( 1 一n ) z 一1 = 0 ， 因此 ( 7 + 2 a ) z 2 4 0 一口) z 一1 = 0 ， 解此元二次方程褥 。= 2 ( 1 - a ) + 禹、t l - 手6 a + 里4 a 2 ， 于是 g ( v o ) = 4 一d 一4 a z 一( 4 + a ) 2 =136+48a+loa2+4a3两-4历(4+f4a+a2),lt哑-6a+4a2( 7 + 2 a ) 2 2168+24a+sa2+2a3-7(4+4a+a2) f 7 + 2 a ) 2 = 4 ( 2 0 - 再2 a 瓦- - a r 2 + a s ) o( 7 + 2 d ) 2 7。 综合上述讨论，推知( 1 2 ) 式成立。从而，( 4 ( ”) 0 ，于是由t a y l o r 中值定理即知引理2 1 1 的结论成立，证毕 引理2 1 2 设c ( o ，1 ) ，则对任意的u 0 ，。) ，恒有 ( - 川l n 型等坚 ( 1 _ c ) u + 等u 2 一半u 3 证下面分两种情况分别讨论t 情况1 0 “5 皆此时可类似引理21 1 证明( 13 ) 成立 情况2 警 u ! ：型! = 生 一 l + c ( i + “) 一( i c ) u 字“下1 - - c 2 扩 = 等 0 3 6 - c - 下l + c u + 半矿 u + 导宁 暑( o 。s 一。+ ；) u + 等 o 上式表明( 13 ) 式成立综合情况1 和2 ，推知引理2 1 2 结论成立证毕 引理2 13 假设c ( 0 ，1 】，则v 。【0 ，1 ) 恒有 ”n 坠坚引) v ( ，一半”一字”。) ( 1 s ) 证令 m 卜击( t 一下l + c ”一字u 2 ) ， ，( u ) = ( 1 + c ) e ( i - e v 2 ) 一c e 一( 1 + 。) 6 容易看到 e 州1 2 ) si + c u ， 坝归南h 川v + c v 2 + 字u 3 】 害， ，= t 生与型生型：l ， 1 4 ( 1 8 ) 上式连同( 1 7 ) 一起推得( 18 ) 也成立从( 1 8 ) 易得 ( 1 + c ) e i 1 - c v 2 ) 一1 c e 一1 + 。“( ” 上式表明( 1 6 ) 成立 证毕 引理2 1 4 假设c ( 0 ，1 】，则vu 0 恒有 证令 ( 1 9 ) ( + u ) n 坐竖竽生 ( 1 + c ) “( t + 字u 一字u 2 ) ( 1 1 0 ) m ，= 击( - + 半u 一字u 2 ) ，( “) = ( 1 + c ) e 。“( 1 + 。“2 ) 一c e ( 1 + 。冲1 ( u ) = ( 1 + c ) d ( “) 一c ? j ( 1 + c u 2 ) 时期m ，：赤l + ( 1 川 丁i - - c 。 9 5 此时 因此 综合上述两种情况得 ”( u ) = 庐”( u ) + ( 币7 ( “) ) 2 】e 4 一 o e 。“墨l + u ，o us9 5 m ，= 南( - + ；一竿“2 ) 击( 1 + l 21 6 ) g l + u 。 一 e 。( “) 0 1 5 e 口( “) 0 于是，由( 1u ) 。 a c u ) e ( u s 可l + i e u 【1 + n ) = 1 + c u 将上式代入f 1 3 2 ) 即得 ，7 ( “) 0 ，u 0 因，( o ) = 1 ，所以，( “) l ，h 20 ，此即 ( 1 十c ) e 。“( 1 + 。“1 2 ) 一c e ( 1 + 。) 4 ( “】芝1 ，u2 0 上式表明( 1 1 0 ) 成立，证毕 引理2 1 5 假设c ( 0 ，1 】，v ( 0 1 ) ，卿v 。20 ( 1 1 3 ) 、 4 u 1 一q p 一 3 u 1j23、， 一 矿 一 s ；一弱 + 一 u u 2 2 + + l i ， u “ ，r ，r 2 2 + + l l + + ) ) 驴 萨 一 一 童 ( 一 ( 生m + 删一0 一 o 等 证令6 = ( 1 + c ) e 一“( 1 - e v 3 ) 一l ，( 。) = i n 址l + ! c e - 。= 由计算得 f ( o ) = 一c v ( 1 一c v 2 ) 州= 彘一晶 ，( 。) = 【 ，( 0 ) = 熹p 1 一心 ( e ”。+ 6 ) 2( e ”+ c ) 2 v 2 e u z 因b c ，所以，( ) 0 ，z 0 利用t a y l o r 公式并注意到，( 1 一。，2 ) l + 。，。0 ，则有 ，( 。) 1 ( o ) + ，( 0 ) z = ( - 一詈) + 尚p 们 ( ，一詈) + 最z ， 上式表明( 1 1 3 ) 成立证毕 引理2 1 6 假设c ( 。，l 】，则对。 一 l 则。一芈半时型箐塑扎坐生掣1 。 l 一避型。+ 型掣扎婴i 掣。 bl od u 8 l f l + 1 4 c 2 + c 4 1 。 6 4 0 证明较鬟，限于篇幅，在此从略，参见( 】 引理2 19 不等式组 u 4 0 fi n 圭苦( 1 一c ) 0 一号= p 3 ) 【一i n 且1 - c y ( 1 一c ) ( 。+ 长2 2 2 ) 在区域“r ，f ) ：z 0 ，0sy 一l ，定义函数g ( 。) 如下； g 一小叫妒( 兰) 则容易验证c ( x ) 满足下述条件t ( i ) g ( 。) c 3 “o ，l c ) ，( 0 ，1 c ) ) ； ( i i ) g ( z ) 在( 0 ，1 c ) 上严格单调递减； ( i i i ) g ( z ) 在( 0 ，1 c ) 上有唯一不动点i = 1 ，且g 7 ( 1 ) = 一l ； ( i v ) g ( z ) 在( 0 ，1 c ) 上的s c h w a r z i a n 导数 删= 搿一；( 锱) 。 = 一南卜。2 ( 1 1 8 ) ( 11 9 ) 且妒( 一1 ) = 卜叫4 纵高) 2 ) 根据 9 0 ，p 1 7 0 】及 9 1 ( 也见 9 2 。定理1 8 1 ) 中的结论，差分方程 f l2 0 。n + i = g ( ) ，n = 0 ，l ，2 ，0 。 c 一1 f 1 2 1 ) 的正平衡点苫= 1 是其所有正解的全局吸引子再令a = ，p = 嚣，则由( 1 1 9 ) 得 c o , ) s s1 s j s g ( a ) 根据f 9 2 ，引理1 6 3 知， = p = i ，从而= = 0 ，证毕 1 8 堂剐，一， 一 引理2 i1 0不等式组 fi n 毒；( 1 + c ) ( y 一2 ) l i n 圭诗兰( 1 + c ) ( 。+ 与5 。2 ) 在区域 ( z ) ：0s ，0sy 1 ) 内只有唯一解= = 0 证令妒( ) = 。+ ( i c ) 一6 ，则妒( z ) 在 - 1 ，。) 上严格单调递增 下t g 一 - ( 1 + c ) 妒( 高) _ 则容易验证g ( 。) 满足下述条件t ( i )g ( z ) c 3 ( ( 0 ，o o ) ，( 0 ，。) ) ； ( i i )g ( r ) 在( 0 ，。o ) 上严格单调递减； ( i i i )a ( x ) 在( 0 ，o 。) 上有唯一不动点z = 1 ，且g ，( 1 ) = 一1 ； ( i v )g ( 。) 在( o ，) 上的s c h w a r z i a n 导数 s g = 搿一；( 搿) 2 = 一南 3 ( 1 + 妒 ( 1 2 2 ) 定义函数g ( z ) 如 卜扣叫( 是) r ) 根据 9 0 ，p 1 7 0 】及 9 1 ( 也见 9 2 ，定理l8 1 】) 中的结论，差分方程 o n + 1 = g ( 。) ， n = 0 ，l ，2 ( 1 2 3 ) ( 12 4 ) 的正平衡点i = l 是其所有正解的全局吸引子再令a = l z + - 。u ，p = 老，则由( 1 2 2 ) 得 g 似) sa s i p s g ( a ) 根据 9 2 ，引理1 6 3 知，a = p = 1 ，从而。= y = 0 ，证毕 类似于引理2 1 9 和2 1 1 0 可以证得 引理2 ，1 1 1 假设0sa s l 则不等式组 i n ( 1 1 ：瓣1 淼a y ) y ：鬻：蒜 。s ， i 一一。) s ( + l 二斧( 1 + a y ) 2 f 2 、 在区域d = “。，) ：0 s 。 0 ，存在_ = _ ( ! ) 0 ，使得如果 i n f ，) ，妒( s ) e ，就有 f ( t t 妒) 三_ r ( t ) 及f ( f ，一妒) 一_ r ( t ) ，t 0 ( 24 ) 如果还满足 z 7