（计算机软件与理论专业论文）小波变换在图像去噪及边缘检测中的应用研究.pdf

摘要 随着网络及计算机在人们生活中的日益普及，图像、音频等多种形式的多媒体 文件极大地丰富了人们的生活。同时人们对于图像的画质要求也在不断提高，于是 图像处理就提到了研究的日程上来。 本文首先详细地介绍了近年来小波分析的发展及其在图像处理方面的应用情 况，然后系统地描述了目前常用的图像去噪及边缘检测的各种算法，并对其中的一 些算法进行了程序实现，分析了各算法的基理、特性以及存在的不足。 本文选用小波分析这一新兴的数学工具，在对小波理论和图像去噪及边缘检测 两方面算法的研究基础上，提出了一种新的基于小波包变换和自适应阈值的图像去 嗓算法哥p t & a t 算法，得到了令人满意的去嗓效果：同时还进一步以此为基础， 又给出了以图像的小波包分解系数为对象，进行图像边缘检测的算法。本算法避免 了单纯采用小波基对图像分解使得高频部分信息遗漏丢失的不足，并且提出了新的 阈值公式进行阈值计算，使得对带嗓图像有更好的去嗓效果，同时还提高了去嗓图 像的信噪比。 最后，本文通过仿真实验，验证了本文提出的图像去噪及边缘检测算法的高效 性。 关键词：小波变换；小波包变换；阈值；边缘检测；去噪 a b s t r a c t w i t hi n t e r n e ta n dc o m p u t e ra r eu s e dm o r ea n dm o r et o d a y ，t h em u l t i m e d i a j u s t1 i k ea u d i o ，v i d e oe t c e n r i c h e sh u m a n s1 i f eal o t m e a n w h i l e ，t h e r e q u i r e m e n to fi m a g eq u a l i t yi sr a i s i n gd a yb yd a y t h e r e f o r e ，i ti sn e c e s s a r y t 0d os o m er e s e a r c ho ni m a g ep r o c e s s i n g f i r s ta n df o r e m o s t ，t h i sp a p e rg i v e sd e t a i l e di n t r o d u c t i o no fw a v e l e t a n a l y s i sd e v e l o p m e n ti nr e c e n ty e a r sa n di t sa p p l i c a t i o ni ni m a g ep r o c e s s i n g ， t h e nl i s t sk i n d so fp r e s e n tc o n v e n t i o n a li m a g ed e n o i s i n ga n de d g ed e t e c t i o n a l g o r i t h m s m o r e o v e r ，s o m ea l g o r i t h m sa r ec a r r i e do u tb yp r o g r a m sa n dt h e e x p e r i m e n tr e s u l t sa r ea n a l y z e d ，t h ec h a r a c t e r i s t i c so ft h e s ea l g o r i t h m sa r e g i v e n ，t o o t h i sp a p e rc h o o s e sw a v e l e ta n a l y s i sa sab r a n d n e wt o o lt op r o p o s ean e w i m a g ed e n o i s i n ga l g o r i t h m w h i c hi sc a l l e dw 嘣ta l g o r i t h mb a s e do nw a v e l e t p a c k e tt r a n s f o r ma n dl e v e ld e p e n d e n ta d a p t i v et h r e s h o l d f u r t h e r m o r e ，i t p r o p o s e s a na l g o r i t h mf o ri m a g ee d g ed e t e c t i o nb a s e do nt h ew a v e l e t c o e f f i c i e n t so b t a i n e df r o mw a v e l e tp a c k e tt r a n s f o r m s u c he d g ed e t e c t i o n a l g o r i t h mc a r lk e e ph i g hf r e q u e n c yp a r t sw h i l et h ea l g o r it h m sb a s e do np u r e w a v e l e tt r a n s f o r mc a nn o t i te v e ng i v e san e wm e t h o df o rc a l c u l a t i n gt h e t h r e s h o l ds ot h a tt h ed e n o i s e di m a g eh a sh i g h e rs i g n a l t o n o i s er a t i o a tl a s t ，t h ea l g o r i t h m sf o ri m a g ed e n o i s i n ga n de d g ed e t e c t i o np r o p o s e d i nt h i sp a p e ra r et e s t e db ye x p e r i m e n ta n da r ep r o v e dt ob ee f f i c i e n ti ni m a g e d e n o i s i n ga n de d g ed e t e c t i o n k e yw o r d ：w a v e l e tt r a n s f o r m ( w d ，w a v e l e tp a c k e tt r a n s f o r m ( w p d t h r e s h o l d ， e d g ed e t e c t i o n ，d e n o i s i n g 第一章绪论 第一章绪论 小波分析是近2 0 年来发展起来的新兴学科，是当前数学领域中一个迅猛发展的 薪方向。它既具有丰富的数学理论意义，又具有广泛的工程应用价值，从数值分析 角度看，它是f o u r i e r 分析的一个突破性进展，给许多相关学科的研究领域带来了新 的思想，为工程应用领域提供了一种新的更有效的分析工具【i 】。利用小波基对信号 ( 或图像) 进行一种新的正交展开，并且又能同时显示出时、频域的局部特征，因 此现在已经广泛用于信号或图像的处理当中。可以想象，随着小波分析理论的日益 成熟和完善，它的应用将会更加有效、更加深入、更加广泛 本章主要给出小波分析的发展历史以及小波分析在图像处理中的应用简介。 1 1 小波分析发展历史简介 小波分析这一思想来源于伸缩和平移的概念。小波分析是由y m e y e r 、s m a l l a t 及d a u b e c h i e s 等奠定基础并迅速发展起来的【2 】【3 】。1 9 1 0 年，b a a r 提出了最早的小波 规范正交基，但当是并没有给出小波这一名称。1 9 8 1 年，m o r l e t 研究了6 a b o r 变换 方法，对f o u r i e r 变换和加窗变换的特点及函数构造做了创造性的研究，首次提出 了“小波分析”的概念，并建立了m o r l e t 小波。1 9 8 6 年m e y e r 创造性的构造出了 具有一定衰减性的光滑函数，1 9 8 7 年m a l l a t 巧妙的将计算机视觉领域内的多尺度 分析的思想引入到小波分析中的小波函数构造及信号按小波变换及重构，并将该方 法有效的应用于图像的分解与重构。l e m a r i e 和b a t t l e 继m e y e r 之后也分别独立地 给出了具有指数衰减的小波函数。1 9 8 7 年，m a l l a t 利用多分辨分析的概念，统一了 这之前的各种具体小波的构造，并提出了现今广泛应用的i a l l a t 快速小波分解和重 构算法。1 9 8 8 年d a u b e c h i e s 构造了具有紧支集的正交小波基。c o i f m a n ，m e y e r 等 人在1 9 8 9 年引入了小波包的概念。基于样条函数的单正交小波基由崔锦泰和王建忠 在1 9 9 0 年构造出来。1 9 9 2 年a c o h e n ，i d a u b e c h i e s 等人构造出了紧支撑双正 交小波基。同一时期，有关小波变换与滤波器组之间的关系也得到了深入研究。小 波分析的理论基础基本建立起来。小波理论及其应用仍然处在发展中，其未来将在 非线性多尺度方法、非规则集上的小波构造以及非平稳、非均匀、时变信号处理等 方面进行更深入的研究。 1 2 小波分析在图像处理中的应用 小波分析理论作为新的时频分析工具，在信号分析和处理中得到了很好的应用， 它在信号处理、模式识别、图像分析、数据压缩、语音识别与合成等等许多方面都 取得了很有意义的研究成果。平面图像- p a 看成是二维信号，因此，小波分析很自 青岛大学硕士学位论文 然地应用到了图像处理领域，如在图像的压缩编码、图像去噪、图像增强以及图像 融合等方面都很好的应用川【5 】【6 】川【8 】 9 l f l o l 。这一部分将对小波分析在图像处理中的应 用作以简单介绍。 1 2 1 小波分析在图像去噪中的应用 i 虱像在采集、传输等过程中，经常受到一些外部环境的影响，从而产生噪声使 得图像发生降质，图像去噪的目的就是从所得到的降质图像中去除噪声还原原始图 像。图像降噪是图像预处理中一项应用比较广泛的技术，其作用是为了提高图像的 信噪比突出图像的期望特征。图像降噪方法有时域和频域两种方法。频率域方法主 要是根据图像像素噪声频率范围，选取适当的频域带通滤波器进行滤波处理，比如 采用f o u r i e r 变换( 快速算法f f t ) 分析或小波变换( 快速算法m a l l a t 算法) 分析。空间 域方法主要采用各种平滑函数对图像进行卷积处理，以达到去除噪声的目的，如邻 域平均、中值( m e d i a n ) 滤波等都属于这一类方法。还有建立在统计基础上的l e e 滤波、 k u a n 滤波等。但是归根到底都是利用噪声和信号在频域上分布的不同进行的：信号主 要分布在低频区域，而噪声主要分布在高频区域，但同时图像的细节也分布在高频 区域。所以，图像降噪的一个两难问题就是如何在降低图像噪声和保留图像细节上 保持平衡，传统的低通滤波方法将图像的高频部分滤除，虽然能够达到降低噪声的 效果，但破坏了图像细节。如何构造一种既能够降低图像噪声，又能够保持图像细 节的降噪方法成为此项研究的主题。在小波变换这种有力工具出现之后，这一目标 已经成为可能。 基于小波变换去噪方法的主要思想就是利用小波分析的多尺度特性，首先对含 有噪声的图像进行小波变换，然后对得到的小波系数迸行阈值化处理，得到新的小 波系数，对其进行反变换，这样，我们就得到了去噪之后的图像，从而实现了图像 的恢复。目前，已经发展了许多小波变换与传统图像去噪方法相结合的新的图像去 噪算法，它们吸收二者的优点。从而提高了图像的去噪效果，得到了较好的应用。 1 2 2 小波分析在图像分割中的应用 图像分割在图像处理和计算机视觉中占有非常重要的地位，也是其最基本的问 题之一。小波分析在图像分割中的应用主要是利用小波变换检测出图像的边缘点， 再按一定的策略连接成轮廓，从而实现了图像的分割。所以其主要步骤就是检测图 像的边缘点，我们知道，边缘是图像中灰度级的不连续点，具有奇异性， 基于小波变换的边缘检测实际上就是利用小波变换系数模的局部极大值来检测 这种奇异性：m a l l a t 等人首次提出了利用小波变换进行边缘检测，并证明了当小波变 换的基函数是高斯偏导时，其零交叉边缘检测就是著名的m a r t h i l d r e t h 边缘检测， 而局部极大值的边缘检测对应着c a n n y 边缘检测【u j i l 2 j i l 3 j 。 2 第一章绪论 1 2 3 小波分析在图像增强中的应用 图像增强技术就是利用一些技术手段有选择她突出图像中人们感兴趣的特征或 者抑制( 掩盖) 图像中某些不需要的特征，改善后的图像比原始图像更加满足某些特 殊分析的需要，但在一般情况下，它不是原始图像的逼近。图像增强的处理方法主 要分两类：空( 时) 域法( s p a t i a lp r o c e s s i n g ) 和频域法( f r e q u e n c yp r o c e s s i n g ) 。小 波分析在图像增强方法中属于频域法，它充分利用小波分析的空( 时) 一频局部化特 性，更加有效的提高了图像的增强质量 1 2 4 小波分析在图像压缩编码中的应用 “ 基于小波分析的图像压缩编码主要过程是首先对图像进行小波分解，通过分解 得到了一系列的子图像，从而使得图像中各个像素之间的相关性减弱，也就是使得 变换后的数据尽可能的集中在少量的系数上，然后再对变换后的数据进行量化编码， 从而使得图像的数据量得到压缩。目前，静止图像压缩编码国际标准j p e g 2 0 0 0 就是 基于小波变换的这种思想得到的一种压缩方法。 总之，小波分析在图像处理中应用的主要思想就是首先将图像信号进行小波变 换，从而可以得到不同尺度下的一系列小波系数，在对这些小波系数进行分析，针 对不同目的和需要，用传统的图像处理方法或者更符合小波分析的新方法对小波系 数进行处理，最后再对处理后的小波系数进行小波逆变换，我们就得到了所需要的 目标图像，这种基于小波分析方法的图像处理过程可以用图1 1 表示【1 4 】： 图1 1 小波变换用于图像处理的基本j 臣想流程 1 3 本文所做的主要工作 本文在绪论中首先对小波分析理论和应用的发展历史作了简单描述，简要介绍 了小波分析在诸如图像去噪( 恢复) 、图像分割、图像增强及图像压缩编码等一些基 本的图像处理中的应用，然后对小波分析在图像处理中的应用思想作了归纳和总结。 第二章介绍小波变换的基本理论、多分辨率分析以及经典的m a l l a t 算法。 第三章介绍常用的图像去噪方法以及边缘检测算法。描述并分析若干经典的算 法，分析其处理图像的原理及其特性，给出程序实现结果。指出了这些方法存在的 3 青岛大学硕士学位论文 不足。同时简要介绍了数学形态学方法、神经网络方法、模糊数学方法等新的图像 边缘检测方法。 第四章介绍了基于小波变换的图像去噪和边缘检测方法。分析了基于小波变换 的图像边缘检测的理论、算法，对基于小波变换的图像边缘检测方法做了程序实现。 第五章结合小波分析理论提出了一种图像去噪新方法：w p t & a t ( d , 波包变换与 自适应阙值去噪算法。w a v e l e t p a c k e t t r a n s f o f i ra n d a d a p t i v e t h r e s h o l d a l g o r i t h m ) 并在 此基础上提出了一种图像边缘检测新方法。w p t & a t 方法克服了小波变换仅针对图 像低频部分多次分解从而损失图像高频部分信息的缺点，同时采用基于分解层次的 自适应阈值对小波包系数进行处理，提高了去噪后图像的信噪比( s n r ， s i g n a l - t o - n o i s er a t i o ) 。最后给出了用本文提出的新方法对图像进行边缘检测的结果。 第六章为总结及展望，总结了整篇论文，并对未来的研究提出了一些设想。 4 第二章小波变换基本理论 第二章小波变换基本理论 2 1 小波变换理论 小波变换是一种信号的时间频率分析方法，它具有多分辨分析( m u l t i r e s o l u t i o n a n a l y s i s ) 的特点，而且在时域和频域都具有表征信号局部特征的能力，是 一种窗口大小固定不变但其形状可改变，时间窗和频率窗都可以改变的时频局部化 分析方法。根据高频和低频使时间频率变窄或变宽，即在低频部分具有较高的 频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率 分辨率，很适合于探测正常信号中夹带的瞬态反常现象并展示其成分，所以被誉为 分析信号的显微镜。原则上讲，传统上使用傅立叶分析的地方，都可以用小波分析 取代。小波分析优于傅立时变换的地方是，它在时域和频域同时具有良好的局部化 性质。 2 1 1 小波变换的定义 定义2 1 1 1 设妒( f ) 是一平方可积的函数，也即矿r ( r ) ，若其傅立叶变换 满足条件 衅破 o ，6 五 2 - ( 2 ) 称妒。( r ) 为依赖于参数a ，b 的小波基函数。 青岛大学硕士学位论文 由于尺度因子a ，平移因子b 是取连续变化的值，因此称矿。( f ) 为连续小波基函 数。它们是由同一母函数v ( t ) 经伸缩和平移后得到的一组函数系列。 由于小波基函数在时间、频率域都具有有限或近似有限的定义域，显然，经过 伸缩平移后的函数在时、频域仍是局部性的。小波基函数的窗口随尺度因子的不同 而伸缩，当a 逐渐增大，基函数儿。( f ) 的时间窗口出逐渐变大，而其对应的频域窗口 相应减小中心频率逐渐变低a 相反当a 逐渐减小时，基函数o ( f ) 的时间窗口a t 逐渐减小，而其频域窗n a c o 相应增大，中心频率逐渐升高。 2 1 2 连续小波变换 定义2 1 - 2 1 对于任意的函数( ，) r 僻) 在小波基下进行展开，称这种展开为函数 f ( t ) 的连续小波变换( c o n t i n u o u sw a v e l e tt r a n s f o r m , 简记为c w t ) ，其表达式为 w i ( a , b ) = = | 口r ，2 ，( f 抄二笋矽 2 - ( 3 ) 其逆变换为 ，( ，) = 毒+ l - = ；t w ( a , b ) v 申d a d b 2 删 设妒( f ) 为一基小波，通过a 伸缩，b 平移后，再归一化，得到通常意义下的小 波变换： 所( 吼6 ) ：广，( f ) j ( t ) d t 口严亡f f t ) 妒仁鱼) 出吁( 吼6 ) 2j 。，( f ) j 。严妒单出 2 r 5 ) 连续小波变换的系数有很大的冗余量。在连续变化的尺度a 和时间b 下，小波 基函数。( f ) 具有很大的相关性，因而信号的小波变换系数( 口 6 ) 的信息量是冗 余的。一般地，人们希望不丢失原始信号的前提下尽量减小小波变换系数的冗余度。 基于此，引入了离散小波变换。 2 1 3 离散小波变换 小波变换离散化的最通常的方法是将尺度按幂级数进行离散化，而时间在同一 尺度上进行均匀离散，不同尺度其离散间隔也成幂级数关系。一般取尺度为2 的幂级 6 第二章小波变换基本理论 数2 “( 其中，m 为整数) ，m = 0 时，b 的时间间隔为t s ，则在尺度为2 m 时间隔可取为 2 ”t s ，此时，虬j ( f ) 可表示为： 击二号吗= 告告劭呻m 埘胙z 2-(6)-it 了尹i 一2 了尹嗲 7 呻一( o 朋力z 为简化，往往把时间轴用t s 归一化，从而上式变为 一2 方缈嗲卜功 2 - ( 7 ) 定义2 1 3 i 任意函数f ( t ) 的离散小波变换( d w t ) 为 野帆却= 上，( ，) ，( o d t 2 - ( 8 ) d w t 与c w t 不同，在尺度位移相平面上，它对应一些离散的点。因此称其 为离散小波变换。 2 2 多分辨率分析理论 2 2 i 多分辨分析的定义 多分辨率分析嗍【1 6 】【1 7 瑚( m u l t i - r e s o l u t i o na n a l y s i s ，m r a ) ，又称为多尺度分析 是建立在函数空间概念上的理论，但其思想的形成来源于工程。其创建者s m a l l a t 是在研究图像处理问题时建立这套理论的。当时人们研究图像的一种很普便的方法 是将图像在不同尺度下分解，并将其结果进行比较，以取得有用的信息。m e y e r 正 交小波基的提出，使得m a l l a i 想到用正交小波基的多尺度特性将图像展开，以得到 图像不同尺度间的“信息增量”。这种想法导致了多分辨率分析理论的建立。m r a 不仅为正交小波基的构造提供了一种简单的方法，而且为正交小波变换的快速算法 提供的理论依据。其思想又同多采样滤波器组不谋而合，使我们又可以将小波变换 同数字滤波器的理论结合起来。 如果我们把尺度理解为照相机镜头的话，当尺度由大到小变化时，就相当于将 照相机镜头由远及近的接近目标。在大尺度空间里，相当于从远处观察目标，只能 看到目标大致的概貌；在小尺度空间里，相当于从近处观察目标，可观测到目标的 细节部分。因此，随着尺度由大到小的变化，在各尺度上可以由粗糙到精细地观察 目标。这就是多尺度( 多分辨率) 的思想。我们可引出多分辨分析的定义，多分辨分 析是指满足下述性质的一系列闭子空间k ，z 【l 】： 7 青岛大学硕士学位论文 空间r ( r ) 中的一系列闭子空间 ) ，_ ，z ，如果满足以下五个条件，则称 ( 巧 肛：为r ( r ) 的一个多分辨分析( m r a ) ； ( 1 ) 单调性：一巧一 ( 2 ) 平移不变性：若”( e 巧营u ( x 一七) 巧。 ( 3 ) 二进制伸缩相关性：若 ( 力巧u ( 2 x ) 巧+ l ，u ( 2 砷 ( 4 ) 逼近性：耍可= r ( 五) ，2 巧2 o ： ( 5 ) r i e s z 基的存在性：存在g ，使 g ( x - k ) ) k z 是v o 的r i e s z 基。 当j 固定在同一子空间中时，可由一个基函数尹( x ) 通过平移得到该子空间的基 妇o t ) 懈) 。又可推出则满足双尺度方程： 尹( x 1 2 ) 2 乏6 ( ) 2 - i ( 9 )w zyj 设( 巧 j c z 为l 2 ( r ) 的一个m r a ， 妒o 一0 帷z ) 为v 0 的规范正交基，则对任意 j z ，竹i = 2 巧妒( 2 x 一后) ) j , k e z 为v j 的一个规范正交基，即： 巧= s p 6 m 2 2 妒( 2 x 一_ j ) ) j ，k e z 2 - 0 0 ) 图2 - 2 给出了尺度空间的包含关系。 图2 - 2 尺度空间的包含关系 2 2 2r ( r ) 的正交分解9 1 2 0 可以通过正交补的方法，从 巧 止：构造出l 2 ( r ) 的正交子空间序列 冉z ，使 l 2 ( r ) 得到正交分解： 8 第二章小波变换基本理论 并满足条件： p ( 且) 2 昱 2 - ( 1 1 ) 巧o - - r , “ 2 - ( 1 2 ) 称为，中巧的正交补。 w 3 坤即为小波子空间序列。 竹j = ( 2 肌矿( 2 。工一七) 构成的规范正交基。 各子空间之间的关系为： w i 螬i 巧。研= 巧“ 上矿k ( k _ ，) = s p a n 2 2 伊( 2 x 一 = s p a n 22 y ( 2 x 一七) r r = s p a n 2 2 吵( 2 0 x 一七) ) 2 2 3 小波函数的构造1 2 1 j 尺度函数烈力满足双尺度方程： 烈x ，2 ) = j ( 后) 妒。一| ) 2 ( 1 3 ) l l l ( 七) = ( 击妒。，2 ) ，尹。一七) = 击妒 ，2 ) 伊 一 2 - ( 1 4 ) 令传递函数g ) 为： g ) = 去 ( 枷嘶 2 - ( 1 5 ) 二k e z 则有： 庐( 鸳) = m 。( f ) 庐( 亭) 2 - ( 1 6 ) 传递函数( 约以2 为周期，为低通滤波器。h ( k ) 为滤波器的脉冲响应。传递 9 青岛大学硕士学位论文 函数历。( 毋满足以下两个条件： l m ，( 0 1 2 + i 埘一g + 石) 1 2 1 ， m ，( o ) = 1 2 ( 1 7 ) 根据圪。0 矿，= v o ，考虑中的任意函数，( 力，因为v o 中有规范正交基 矿 一七) ) 。：，所以有： f ( x ) f f i c ( k ) q o ( x 一七) ，于o ) = f ( 善墩功2 - ( 1 8 ) k e z 其中f ( x ) = y c ( k ) e 。衅。 t z 现在要在中找出与t 。正交的那部分函数来构成矾。，即要从f ( 国) 烈国) 中找出 与f ( 鸳) ( 0 庐僧) 正交的函数，记为开( 0 庐g ) “r 停) 。可证明( 善) 与g ) 满 足以下条件： 瓦g ) + 埘，( f + 万) 瓦偕+ 石) = o 2 ( 1 9 ) 可以找出此方程的一个特定解( f ) = e 。5 瓦g + ，) 或m o ( 0 = p 。瓦皓) 。 存在 c ，( z ) 的平移函数系 9 ( x 一七) ) 。构成的规范正交基，y 成为正交小波 函数，由它的二进伸缩函数系缈，。t = s 27 门妒( 2 x 一七) ) 构成的小波子空间 的规范正交基：e = s p a n 2 m 9 ( 2 7 x 一) 。从而有r ( r ) = 删玎 2 卅9 ( 2 x - k ) 。 小波函数妒的时域形式： 取，l o 皓) = p 蟮瓦( f + ，r ) 时， 有 矿( d = e 卅2 唾+ 石) 庐唾) ， = ( _ 1 ) “v r 2 h , # ( 2 x + n + 1 ) 。 n e z 2 2 4 正交小波包与正交分解i 趋i 尽管小波分析是信号处理的强有力的工具，但其对于渐变信号却不如傅立叶分 析或窗口傅立叶分析有效。而实际中的信号往往是既含有渐变部分也有突变部分， 因此c o l f m a n ( 1 9 9 2 ) 等人提出了利用小波包( w a v e l e tp a c k e t ) 构造正交基库 小波包库( 1 i b r a r yo fw a v e l e tp a c k e t ) ，从而可以方便地挑选最合适的小波基。 引入记号 1 0 第二章小波变换基本理论 榴器 z 删 毋( x ) = 妒 、 及 b o ( z ) = 姗= a 矿 a 。) = 香。) = 吾莓吼z i = i 1 吼z k = 三莩( - 1 ) 正“， 2 - ( 2 。 一 n 其中，q 。= ( 一1 ) 尹+ l ，( 七z ) ，序列妇i 表征相应正交小波七z 定义2 2 4 1 用下面函数： 岛，= a 幺( 2 x 一 岛，+ ，：k 吼纰妁 2 - ( 2 2 ) 所定义的以，n = 2 1 或2 + l ，= 0 , 1 ，称作为关于正交尺度函数口= 妒的“小波包”。 而函数族 玩 是正交小波b = 妒的一种推广。为了便于给出最的傅立叶变换 反( ) ，将n 用二进制表示为 刀= 6 j 2 1 ，qe ( o ，1 ) = 1 定理2 2 4 1 设n 为非负整数，它的二进制表示如式2 - ( 2 3 ) 给出，则小波包吃的 傅立叶变换为 反国) = n p q ( e - t e a t x k ) ，z r k = l 其中风 ) ，a ( 国) 由式2 - ( 2 1 ) 给出。 以下定理给出小波包的相关性质，证明从略。 定理2 2 4 2 设函数族碱) 是由正交尺度函数妒( x ) 生成的小波包，则对任意的 一z ，有 = t j ，j , k z 2 - ( 2 5 ) 定理2 2 4 3 设函数 眈) 由正交尺度函数p ( 砷生成的小波包，则有 1 1 青岛大学硕士学位论文 = 0 ，_ ，k e z ；l e z 2 - ( 2 6 ) 定义2 2 4 2 若函数族 2 肌见( 2 7 工一七) k e z + ；，k e z 是由标准正交的尺度函数 p 0 ) 导出，则称其为由e c x ) 导出的小波库。 在信号分析中，j 表示尺度，k 为位移，n 为振荡参数，故已( 2 ，f l | ) 表示尺度 为j ，中心在2 - j k ，而振荡次数为n 的小波函数。当j 固定时 2 7 2 见( 2 x k ) n e z + ；_ ，膏z ) 构成r ( r ) 的正交小波基，而n _ o 则构成r ( r ) 的一 现设空间q ：是由族 2 m o a 2 x j 】 ) 陆z ) 所成，则 巧= q ；，嘭= q f ，- ，z q j 上q f ，且q 纩= q ；o q ? 2 - ( 2 7 ) 且很多情况下，被分析函数，是未知的。m a l l a t 在多分辨率分析的基础上，于1 9 8 9 年给出了计算小波系数的快速递推算法m a l l a t 算法。他主要是利用m r a 中空问 塔式分解的多分辨特性，将计算小波系数与信号处理中滤波器相结合，构造了一个 计算小波系数的塔式分解算法，称为m a l l a t 算法。大大简化了小波系数的计算，因 首先，考虑巧卜巧一i 对v r l 2 ( r ) “巧，贝q 第二章小波变换基本理论 其中 ，“c j , t 竹= 勺邯办m + 以- i , t j _ 1 j 2 - ( 2 8 ) tt 为考虑k 的独立性，不妨设，= c j ，仍，则有 ， 勺小= ( c j 纺j ， ， l 令2 1 x 一k = x 。2 2l 尹( 2 x 。一u 一2 七) ) 伊( x ) d x 2 岛一n 2 - ( 2 9 ) 由此可以看出，积分结果实际上与j 无关，将 = 啊- 2 i 式代回勺哪= z 勺式即得c = 岛m 勺j i l 写成矩阵形式有 q l = h c j 2 - ( 3 1 ) 其中q _ ”c j 分别为系数列 勺- 1 i ) l 。：， o j k k z 的列向量形式h 为由 - 啊。式求得的啊按特定形式排列而成的无穷矩阵。式 q - l = h c j 给出了两相邻尺度子空间中尺度系数之间的递推关系。 同理有 力_ l ，t = c j 。，办f ，_ 1 k = c j ， 2 ( 3 2 ) = 毋埘勺。， 写成矩阵形式 d j 1 2 g c j 2 - ( 3 3 ) 其中d 川为小波系数办嘶的列向量。g 为由g i - 2 k 按特定形式排列而成的无穷矩阵。 式dj ，= gc ，给出了w 。中的小波系数与v ，中的尺度系数之间的递推关系。 1 3 青岛大学硕士学位论文 将c j 1 = h c j 式与d n 2 gc j 式台成m a l l a t 算法： 髓d ：蚂2jg c j z - i j 1 【 一1 = 、7 把j 推广到一般，上式给出了由c j 分解出c j 一。和珥。的递推关系。上式也可写为 f c 。 = z h , 一，。c ， d l - t , k ：j t 。- - 气j r 。 2 ( 3 5 ) l= 蜀肚 ”7 式 嚣三器中的h 和g 在理论上是无穷矩阵，当然在实际应用中总是取为有限 的。 将系数写成列向量形式有 c f d j ：。 灿桃1 1 a t 黼式骸三器又称为塔式分解快速靴 1 4 第三章传统的图像去噪方法及边缘检测方法 第三章传统的图像去噪方法及边缘检测方法 3 1 传统图像去噪方法 图像在采集、转换和传输中，常常会受到设备与外界环境的影响，产生噪声， 造成图像质量下降。图像去噪是图像处理中常用的技术，其过程是根据一些已知“降 质模型”，从已有的降质图像恢复原图像，即求在某种最优意义下的原图像估计。一 般地，对二维图像信号的消噪方法同样适用于一维信号，尤其是对于几何图像更适 合。图像降质过程可以表述为如下模型阎： g ( i ，d = q 0 ，_ ，) + f ( i ，) + 壕) 3 - ( 1 ) 式中，g ( i ，) 表示为降质图像，l i l ( f ，d 表示为图像模糊算子或者退化算子，f ( i ，) 表 示为原图像，啊看作是加性噪声，他为乘性噪声。在大多数情况下，图像降质过程 可看成是线性不变模型，上式可改写为； g = h f + n 3 - ( 2 ) 日通常被看作是线性不变( 空间不移) 低通滤波器，它反映成像设备的运动、镜头 散焦以及胶片长时间曝光等降质过程；噪声r 一般为加性的，它是图像信号中最常 见的图像干扰噪声，与图像信号强度相互独立、互不相关。噪声类型有随机性( 白 噪声) 、脉冲性、高斯性和泊松性等。 传统的图像恢复技术( 方法) 可分为确定性的恢复算法和随机性的恢复算法。 现有的方法主要有以下几种： 3 1 1 逆滤波 设计一个滤波器膏， 疗：1 ， 3 - ( 3 ) 降质图像g 通过滤波器疗得到原图像，。这一方法是理想化处理，无噪声干扰。而 在实际的应用中，逆滤波器却因为噪声的存在而不稳定。为克服这一缺点，提出了 维纳( w i e n e r ) 滤波器，成为图像去噪的经典算法。 在维纳滤波器设计过程中，信号去噪过程等价于最小误差估计： s = e o f ( i ，j ) - ( i ，川) 3 羽) 式中，e ( ) 表示为期望，( f ，力表示为原图像的估计值，它是降质图像的线性组合， 1 5 青岛大学硕士学位论文 夕o ，d = _ i ( 七一i ，f j g g ( i ，_ ，)3 - ( 5 ) 当，和g 是联合高斯分布，式3 ( 5 ) 是最好的估计器。 3 1 2 约束性图像去噪算法 式3 ( 4 ) 和3 ( 5 ) 联立方程可以写为： s ( i ，) = 【m ，) 一h ，g - ，) 】2 。 3 - ( 6 ) f ( i ，_ ，) = a r g m i n s f ( t j ) 所得到的解是逆滤波的结果。该方程往往是病态的，常要采用约束化处理，即引入 约束化条件，让去噪后的图像满足预期的约定要求，如去噪后的图像应具有定的 光滑性。 3 1 3 贝叶斯方法 在图像处理时，将图像看成是一个随机场，设已知的带噪图像的先验概率分布 p ( g 力，采用最大似然( m a x i m u ml i k e l i h o o d ，m e ) 估计： f = a r g m a x p ( g 门)3 一( 7 ) 或者由贝叶斯规则： p ( f g ) = 掣铲 3 删 采用最大后验( m a x i m u map o s t e r i o r ，m a p ) 估计： f = a r g m a x p ( f g ) = m a x p ( g 力p ( ，) ) 3 - ( 9 ) 实现图像的去噪。 3 1 4 最大熵法 由熵的定义，在原图像的概率分布为均匀时获得最大熵值。将此最大熵条件加 入到图像去噪准则中，即在约束化算法中加入一项约束条件。 3 2 传统的图像边缘检测算法 图像的边缘或轮廓检测在图像处理中占有重要的地位，对于图像处理、计算机 视觉来说是一个非常基本的研究课题。边缘表示了信号的突变，包含了图像中大量 的信息，故良好地保存边缘信息是进一步进行图像处理的基础。 3 2 1 边缘检测方法概述 图像最基本的特征是边缘，所谓边缘是指其周围像素灰度有阶跃变化或屋顶状 第三章传统的图像去噪方法及边缘检测方法 变化的那些像素的集合。边缘也可以定义为图像局部特性的不连续性。例如，灰度 级的突变，纹理结构的突变等。边缘常常意味着一个区域的终结和另一个区域的开 始。边缘信息对图像分析和人的视觉都是十分重要的。它是图像分割所依据的最重 要的特征，也是纹理特征的重要信息源和形状特征的基础，而图像的纹理形状特征 的提取又常常要依赖于图像分割。图像的边缘提取也是图像匹配的基础；因为它是 位置的标志，对灰度的变化不敏感，它可作为图像匹配的特征点。 一般的边缘检测方法是对原始图像的每个像素考察它的某个邻域内灰度的变 化，利用边缘邻近一阶或二阶方向导数变化规律检测边缘，例如基于微分的边缘检 测算子，一阶微分算子有r o b e r t 算子、s o b e l 算子、p r e w i t t 算子、k i r s h 算子、 c a n n y 算子等，二阶微分算子有l a p l a c i a n 算子、l o g 算子等。微分算子的一个明显 缺点是对噪声较为敏感。由于原始图像往往含有各种噪声，所以用这类算子进行图 像边缘检测时常常会有困难。 近年来，随着数学和人工智能的发展，出现了一些新的边缘检测的方法，如基 于小波变换的多尺度边缘检测算法、数学形态学方法、神经网络方法、模糊数学方 法等。其中，2 0 世纪9 0 年代出现的小波多尺度图像边缘检测方法能较好地解决噪 声和精确定位边缘的矛盾。它巧妙地利用了非均匀分布的分辨率，在低频段用高的 频率分辨率和低的时间分辨率，而在高的频率段则利用低的频率分辨率和高的时间 分辨率，即具有“变焦”功能，被称为“数学显微镜”。因此小波变换是检测突变信 号强省力的工具能很好地刻画突变点的奇异性，使用小波利用奇异性检测的方法 可以区分图像边缘，消除噪声，较之传统的方法，小波变换检测具有很大的优越性。 3 2 2 传统边缘检测算子 3 2 2 1 基于微分的边缘检测算法 基于一阶微分的边缘检测算法吲脚冽 图像边缘点的一阶导数都具有局部极值。先对图像的每一像素求一阶差分，取 适当的阈值，当某点的一阶导数大于闻值时便视为边缘点，简单的r o b e r t 算子便是 此类的算子。但是因为噪声也表现为灰度的急剧变化，这类算子对噪声非常敏感， 常产生一些孤立点。p r e w i t t 和s o b e l 算子在进行微分以前先进行邻域平均或加权 平均，这样抑制了噪声，但使边缘变得模糊并且较粗。k i r s c h 算子尽量使边缘两侧 的像素各自与自己的同类像素平均，然后再求平均值之差，从而减少平均造成的细 节丢失，但是它增加了计算量。以下给出几个基于一阶微分的常用算子。 ( 1 ) r o b e r t 算子r o b e r t s 交叉算子为梯度幅值计算提供了一种简单的近似方 法： g i ，1 】= l i c y 一九f + 1 ，+ l l + i ，( f + l ，卜 + i 3 ( 1 0 ) 1 7 宣墨查堂堡主堂垡堡奎 用卷积模板，上式变成： 月= 隐 + bj3 - 0 0 其中q 和g ，由下面的模板计算： q =田q = 3 一( 1 2 ) 同前面的2 2 梯度算子一样，差分值将在内插点p + l 2 ，+ l 2 处计 算r o b e r t s 算子是该点连续梯度的近似值，而不是所预期的点 ，月处的近似值 ( 2 ) p r e w i t t 算子在进行微分以前先进行邻域平均，这样抑制了噪声，缺点 是边缘变得模糊并且较粗。模板如下： 圈嚣 图3 1p r e w i t t 模板 第一个模板对水平的边缘比较敏感，第二个模板对垂直的边缘比较敏感。对图 像中的点运算时，取两个模板处理结果中的较大值作为该点的输出值。 ( 3 ) s o b e l 算子与p r e w i t t 算子相似，只是在进行微分以前进行的是邻域加权平 均。这样对噪声的抑制能力比p r e w i t t 算子强一些。 模板对图像的处理方法与p r e w i t t 模板相似。第一个模板对水平的边缘比较敏 感，第二个模板对垂直的边缘比较敏感。对图像中的点运算时，取两个模板处理结 果中的较大值作为该点的输出值。 圈圈 图3 2s o b e l 模板 s o b e l 算子的一个缺点就是检测得到边缘较粗。下面介绍一种细化方法：在对 图像中某点p 进行处理时，用上图第一个模板运算的结果记为f ，第二个模板运算 的结果记为l ，取两者较大者记为s 。引入一个衰减因子s ，记s 。= s 。s 。这样逐 像素处理后得到的图像记为i 。对i 再作一次带衰减因子的s o b e l 处理，对p 运算 的结果记为s 。处理后整幅图像记为i 。用i 减去i 。即得到细化的边缘图。处理 过程中灰度值出现负值时记作0 ，大于2 5 5 时记为2 5 5 。对边缘模糊的部分上述过 1 8 第三章传统的图像去噪方法及边缘检测方法 程可重复多次。 ( 4 ) c a n n y 算子c a n n y 证明了一维空问的指数滤波器的最佳性，并提出了边缘 检测的准则，即精确定位准则、良好的检测准则和边缘点的对一响应准则。c a n n y 通过严格的数学分析，提出了由四个指数函数线性组合形成的最佳边缘检测算子， 实质是用一个准高斯函数作平滑运算，然后以带方向的一阶微分定位导数最大值。 c a n n y 算子使用双阈值算法检测和连接边缘，具有良好的特性，已成为众多边缘检 测器的比较标准。 基于二阶微分的边缘检测算法 一 最典型的二阶微分算子就是l a p l a c i a n ( 拉普拉斯) 算子。二维函数f ( x ，y ) 的 l