（工程力学专业论文）一种改进的无网格Galerkin法的初步研究与应用.pdf

一种改进的无网格g a l e r k i n 法的初步研究与应用 摘要 无网格方法是近几年发展起来的一类数值方法，该方法完全采用基于点的近似， 不需要网格，避免了网格再生成的复杂过程，非常适合分析裂纹扩展、高速撞击和穿 透等问题，具有广阔的应用前景。在众多无网格方法中，无网格g a l e r k i n 法以方法稳 定、精度高、对离散点的不规则分布不敏感和最适合结构分析等优点受到了较多的关 注，本文对这种方法作了详细的介绍。 为了方便前处理和与有限元方法耦合，本文采用无网格结点与用于积分的背景单 元的结点完全重合的离散模式，在此基础上，提出了一种自适应影响域半径的无网格 g a l e r k i n 方法，根据背景网格的尺寸来调整影响域半径的尺寸，提高了精度和效率。 本文介绍了一种改进的移动最小二乘近似。i m l s 近似比现有的m l s 近似有更高 的计算效率和精度，且不会导致系统方程产生病态。i m l s 近似与无网格伽辽金法相 结合构成了一种改进的无网格伽辽金法，数值算例显示了其有效性。 由于无网格g a l e r k i n 法采用m l s m 进行场变量的近似表达，因此场量的拟合不 具有插值的性质，这也使得边界条件的处理较为麻烦，此外，目前的无网格g a l e r k i n 法计算量较大。为了解决这些问题，本文提出一种改进型无网格g a l e r k i n 法与有限元 ( i e f g f e ) 耦合的方法。并将该耦合的方法应用到裂纹问题及裂纹扩展问题中。 对于二维平面裂纹，裂尖采用扩展的改进型无网格法，更加精确的模拟裂纹尖端 的奇异性。数值算例表明：该方法是一种具有收敛快、精度高、简便有效的通用方法， 在工程中具有广阔的应用前景。 关键词无网格g a l e r k i n 法改进型无网格法耦合扩展基 p r e l i m i n a r ys t u d ya n da p p l i c a t i o no ft h ei m p r o v e de l e m e n t - f r e e g a l e r k i nm e t h o d a b s t r a c t a so n eo ft h en e wn u m e r i c a la n a l y s i sm e t h o d s ，t h em e s h l e s sm e t h o dw a sd e v e l o p e d r a p i d l yi nr e c e n ty e a r s i nt h i sm e t h o d ，m e s hi s n o tn e e d e df o rt h ei n t e r p o l a t i o no ft h e s o l u t i o nv a r i a b l e s a n dt h em e s h f r e ec h a r a c t e r i s t i ch a sd i s t i n c ta d v a n t a g et od e a lw i t h l l i g h s p e e di m p a c t ，e x t r e m e l y l a r g e d e f o r m a t i o n ，f r a c t u r e a n d f r a g m e n t a t i o n p r o b l e m s ，e t c m e s h l e s sm e t h o di sp r o m i s i n gi na p p l i c a t i o n o fm a n yk i n d so fm e s h l e s s m e t h o d s ，e l e m e n t f r e e g a l e r k i n m e t h o dd r a wm o r ea t t e n t i o n sf o r i t s s t a b i l i t y , h i g h a c c u r a c y , i ns e n s i t i v i t yt od i s t r i b u t i o n o fd i s c r e t ep o i n t s i nt h ep r e s e n td i s s e r t a t i o n ，t h e m e t h o di si n t r o d u c e di n d e t a i l t h i s p a p e rp r e s e n t s a l l i m p r o v e dm o v i n gl e a s t s q u a r e s ( i m l s ) t h e i m l s a p p r o x i m a t i o nh a sg r e a t e rc o m p u t a t i o n a le f f i c i e n c ya n dp r e c i s i o nt h a nt h ee x i s t i n gm o v i n g l e a s t s q u a r e s ( m l s ) a p p r o x i m a t i o n ，a n d d o e sn o tl e a dt oa ni l l c o n d i t i o n e ds y s t e mo f e q u a t i o n s b yc o m b i n i n g t h ee l e m e n t - f r e eg a l e r k i n ( e f g ) m e t h o da n dt h ei m l s a p p r o x i m a t i o n ，a ni m p r o v e de l e m e n t - f r e eg a l e r k i nm e t h o di s d e r i v e d n u m e r i c a lr e s u l t s s h o wt h ee f f i c i e n c y 。 o n eo ft h em a j o rd i f f i c u l t i e si nt h ei m p l e m e n t a t i o no fe l e m e n t f r e eg a l e r k i nm e t h o d i st h en o n i n t e r p o l a t o r yc h a r a c t e ro ft h ea p p r o x i m a t i o n a sac o n s e q u e n c e ，t h ei m p o s i t i o no f b o u n d a r yc o n d i t i o n si sq u i t ea w k w a t 。s oac o u p l e di m p r o v e de l e m e n t - f r e eg a l e r k i n - f i n i t e e l e m e n tm e t h o di ss u g g e s t e d w i t ht h ec o u p l e ds u g g e s t e db e f o r ec r a c kp r o m b l e ma n dt h e c r a c kp r o p a g a t i o na r ec a l c u l a t e d f o rt w o d i m e n s i o n a lf r a c t u r ep r o b l e m s t h ee n r i c h e db a s i sf u n c t i o ni su s e da tt h et i p o ft h ec r a c kt og i v ea l le n r i c h e di e f gm e t h o d w h e nt h ee n r i c h e di e f gm e t h o di su s e d ，t h e s i n g u l a r i t yo ft h es t r e s s e sa tt h et i po f t h ec r a c kc a nb es h o w nb e t t e rt h a nt h a ti nt h ei e f g m e t h o d t h ee x a m p l e sr e v e a lt h em e t h o dh a st h ea d v a n t a g e so fe x c e l l e n tc o n v e r g e n c e r a t e ，h i g ha c c u r a c ya n de f f i c i e n c y i ti sv e r yp r o m i s i n gi ne n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o n k e yw o r d ：e l e m e n t f r e eg a l e r k i nm e t h o d ( e f g ) ；i m p r o v e de l e m e n t - f r e eg a l e r k i nm e t h o d ( i e f g ) ； c o u p l e d ；e n r i c h e di e f g 图2 1 图2 2 图2 3 图2 4 图2 5 图2 6 图3 1 图3 2 图3 3 图3 4 图3 5 图3 - 6 图3 7 图3 8 图3 - 9 图3 1 0 图3 1 1 图3 1 2 图3 1 3 图3 1 4 图3 1 5 图3 1 6 图3 1 7 图3 1 8 图3 1 9 图3 2 0 图3 2 l 图3 2 2 图3 2 3 图3 2 4 图4 1 图4 2 图4 3 图4 4 插图清单 二维问题中常用的影响域8 m l s 形函数及其一阶偏导数1 0 衍射规则的权函数1 2 衍射规则权函数自变量的计算12 伽辽金法中的计算背景网格1 4 有限元法与无网格法耦合1 5 单边裂纹矩形板1 9 矩形板断裂计算过程中节点的自适应排布2 0 裂纹尖端延长线上的位移图2 l 1 4 中心含孔矩形板及其边界条件2 5 节点布置方案2 5 在x = 0 处ox 的应力图2 5 悬臂梁2 6 节点和背景网格布局2 6 沿中心轴y = 0 的梁位移v 图2 6 i e f g f e 耦合方法离散模型2 6 裂纹类型2 7 i 型裂纹及载荷示意图2 8 i i 型裂纹即载荷示意图2 9 i i i 型裂纹及载荷示意图。3 0 应力强度因子的计算3 4 两极板电容器示意图3 7 精确解与数值解的比较3 7 不同数量的节点误差曲线的比较3 7 单边裂纹有限板3 8 节点的布置图3 8 单边斜裂纹受拉矩形板3 9 网格划分及节点布置图3 9 修正系数e = k 。p 口丌) 图3 9 修正系数五= k 兀p 口7 r ) 图3 9 裂纹扩展角度4 1 单边斜裂纹受拉矩形板4 2 网格划分及节点布置图4 2 标准化应力强度因子e = k - p 口川4 2 图4 5标准化应力强度因子e = k n p 口川4 3 图4 6 第2 时步裂纹扩展轨迹4 3 图4 7 第5 时步裂纹扩展轨迹4 3 图4 8 含中心斜裂纹的t i 6 a 1 4 v 板试件4 4 图4 9网格的划分及节点的布置4 4 图4 1 0 第1 5 时步裂纹扩展轨迹4 4 表格清单 表3 1 ，= o 0 0 2 m 时不同计算次数下的应力强度因子2 1 表3 2 裂纹尖端延长线上不同位移值所对应的应力强度因子2 1 表3 3 计算时间的比较3 7 表3 4 不同回路的j 幸积分3 8 表3 5 不同回路下应力强度因子k l 的计算结果3 8 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所 知，除了文中特别加以标志和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得盒月巴- i 些太堂 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签字：查燕伊 签字日期：泖年伞月，j 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解金壁王些盔堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向 国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅或借阅。本人授权 盒蟹工些盔 兰l 可以将学位论文的全部或部分论文内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文者签名迎巍杪 辩明：哆蝴，日 i 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 导师签名： 么百劝竹 柳期吁争厂自 电话：廓舯芬乙 邮编： 致谢 值此论文完成之际，谨向我的导师何沛祥教授表示最诚挚的感谢。 本人在硕士研究生学习、撰写学位论文的过程中，自始至终得到了我的导 师何沛祥教授的悉心指导，无论从课程学习、论文选题，还是到收集资料、论 文成稿，都倾注了导师大量的心血。导师渊博的学识、严谨的治学态度、精益 求精的敬业精神、诲人不倦的育人情怀，必将使我终身受益，并激励我勇往直 前。作者再次表示深深的谢意。 在几年的研究生学习生活中，从众位师兄弟那里获益良多，特别是我的同 学王义、薛金山、黄奶清，给了我很多帮助，在此向他们致以诚挚的谢意，感 谢他们的鼓励和支持。 感谢父母的养育之恩，他们艰苦耐劳的精神、无私善良的品德、塌实敬业 的为人，是我一生前进的动力。 谨在此对所有帮助过我的人致以诚挚的谢意! 作者：边燕飞 2 0 0 9 年3 月 第一章绪论 1 1 引言 随着时代的发展，有限元方法遇到了越来越大的挑战。目前，有限元等常 用方法在处理以下问题时存在困难或因不能解决而失效f 1 , 2 , 3 , 4 j ：( 1 ) 动态裂纹扩 展问题，因网格的限制而失效；( 2 ) 高度大变形问题；( 3 ) 内外边界奇异问题；( 4 ) 高速撞击引起的几何畸变问题；( 5 ) 工业材料成型问题，采用网格模拟材料流动 变形带来的不便；( 6 ) 高振荡，陡梯度问题；( 7 ) 自适应计算问题；( 8 ) 相变问题 的分析；( 9 ) 爆炸问题等。在这些问题的计算过程中，需要不断地重新划分网格， 使计算量加大，精确度降低。 应用断裂力学理论时，由于裂纹尖端存在应力集中，精确计算裂纹尖端的 应力强度因子，能量释放率或者j 积分成为结构断裂分析的关键。传统的有限 元方法为了得到裂尖精确的解，在裂纹尖端区域需要十分精细的网格，并且随 着裂纹发生扩展，相应的网格就需要重新划分，这样使得计算精度和求解效率 大大降低。尽管后来推出了叠加法，奇异元法和刚度导数等方法，但这些方法 只适用于分析驻立裂纹，还没有设计出分析裂纹扩展的有效方法。 近年来，人们提出了无网格计算方法。该方法将整个求解域离散为独立的 节点，而无须将节点连成单元，这样可以完全抛开网格生成和重划。位移场的 近似采用了基于节点的函数拟合( 常规有限元方法采用单元内节点插值) ，可以 保证基本场变量在整个求解域内连续。因为无网格方法脱离了单元约束，无需 进行网格重划，所以在处理裂纹扩展这类具有动态不连续边界的问题时具有很 高的精度和效率。因此，采用无网格方法模拟裂纹扩展或计算裂纹尖端应力强 度因子具有广阔的应用前景。 总结以上论述可以看出，由于无网格方法在解决不连续问题时所具有的独 特的优势，使之在疲劳断裂问题的分析研究方面前景远大，这也是本选题的意 义所在。 1 2 无网格法发展概述 l u c y 和g i n g o l d 首次提出了基于拉格朗日公式的光滑质点流体动力法 ( s m o o t hp a t r i c l eh y d r o d y n a m i cm e t h o d ，s p h ) 。在s p h 方法中，引入了节点星( s t a r ) 的概念，应用每一个星所包含的节点个数及位置信息，通过星中心点处的局部 泰勒展开式来构造星的局部近似场函数，这一方法被广泛应用于计算物理以及 天体领域的星球运动及星球间碰撞的模拟。人们常常把s p h 作为无网格技术的 最初成功应用。s w e g l e 等发现s p h 方法中存在张拉不稳定性并提出了一种稳定 化方案。j o h n s o n l 5 】等提出了归一化光滑函数算法，使其通过分片测试，从而可 以正确的模拟常应变状态，提高了s p h 的精度。m o n a g h a n 6 - 7 1 灵j - s p h 方法进行 了总结。 1 9 8 1 年l a n c a s t e r 8 】等在研究曲面插值时，将标准最小二乘插值进行推广， 提出了移动最小二乘法( m o v i n gl e s a ts q u a r em e t h o d ，m l s m ) 。但是直到进入9 0 年代，移动最小二乘法才被应用于边值问题的求解；l9 9 2 年n a y r o l e s 等【9 j 提出 了发散单元法( d i f f u s ee l e m e n tm e t h o d ，d e m ) ，在他的方法中，节点虽可以象有 限元法一样布置，但其采用最小二乘法来建立试函数而不是基于单元的形函数。 美国西北大学的b e l y t s c h k o 1 0 】对d e m 法作了两点改进：在计算形函数时保留 了被n a y r o l e s 忽略掉的插值函数导数表达式中的部分项；利用拉格朗日乘子法 引入强制边界条件，并将他们的方法称为无网格伽辽金法( e l e m e n tf r e e g a l e r k i n m e t h o de f g m ) ，从此掀起了无网格方法的研究热潮。e f g m 比s p h 方 法计算费用高，但具有较好的数值精度和稳定性。c h u n g t j 等给出了e f g m 的 误差估计；d o l b o w 1 2 j 对e f g m 的数值积分方案进行了研究指出由于背景积分 子域与形函数紧支域不一致从而导致了相当的积分误差；b e l y t s c h k o 等i l3 j 对近 似函数的计算方法进行了深入研究，并将其应用于裂纹的动态扩展模拟l l4 。为 了避免使用背景积分网格，b e i s s e l i l5 j 等提出了点积分方案，但数值稳定性较差。 c k l e e 1 6 。1 7 j 等基于z z 后验误差估计方法成功地进行了e f g m 的自适应分析。 国内，周维垣【1 8 1 、寇晓东【1 9 】等对e f g m 进行了详细介绍，并应用于拱坝的开 裂分析。庞作会、葛修润【2 0 j 等也对e f g m 进行了介绍，对节理的模拟问题、集 中力荷载问题等进行了研究。李卧东、王元汉1 2 1 - 2 2 1 等将其应用于裂纹扩展的模 拟研究。张雄【2 3 】等将其应用于节理岩体的分析。张伟星【3 。7 】等将e f g m 用于地 基板的应力分析中；陈建【2 4 】等应用e f g m 计算含边裂纹功能梯度材料的应力强 度因子。众多研究表明，e f g m 法的数值精度和收敛速度都高于有限元，但 e f g m 计算量较大，并且需要背景网格进行数值积分。 w k l i u 2 5 】等基于再生核( r e p r o d u c i n gk e r n e l ) 思想及小波变换理论提出了 另一种类型的无网格法一再生核质点法( r e p r o d u c i n gk e r n e l p a r t i c l e m e t h o d ，r k p m ) ，采用窗1 2 1 函数和傅立叶变换建立了新型的形函数，由于窗口函 数可以平移、缩放，可以应用于弹性、塑性和动力问题。随后他利用小波分析 的伸缩尺度平移、多分辨率等特点，提出了多尺度再生核质点法伽s r k p 峋和 小波质点法( w p m ) ，并实现了该方法的自适应分析1 2 n 2 8j 。这种方法引入了柔性 可调窗口函数进行积分变换，适合对局部进行细致的数值分析。19 9 6 年l i u 又 将最小二乘法思想引入积分核，提出了移动最小二乘积分核法 ( m l s r k m ) t 2 9 。3 0 】。r k p m 方法已在大量问题的数值分析中得到了成功的应用。 19 9 6 年美国t e x a s 大学的著名学者o d e n 和他的学生d u a t r e 刁2 1 ，提出了基 于云团概念的h p c l o u d s 无网格法( h p c m ) ，该方法利用最小二乘原理建立单位 分解函数进行场变量的近似表达，然后通过g a l e r k i n 变分建立离散数学模型， 这种方法适合进行自适应分析。波兰学者l i s z k a 等p3 j 提出了h p 无网格云团法 ( h p m c m ) 并对应用力学问题进行了研究。不同于h p c m 之处是它采用的是配 2 点形式，无需背景网格作为积分域，是一种纯无网格法，其主要思想是借助了 二阶泰勒展开级数表述场变量近似和m l s m 。刘欣1 3 4 j 等将其应用于平面裂纹问 题的自适应分析。19 9 8 年o d e n l 3 5j 将有限元形函数作为单位分解函数，提出了 基于云团的新型h p 有限元。 19 9 6 年美国计算数学学者b a b u s k a 和他的学生m e l e n k 3 6 。3 7 1 提出了单位分解 方法( p u m ) 。其基本思想是应用构成单位分解的形函数将局部定义的近似解相 互连接，从而构造出总体场函数的近似解。他们提出了单位分解有限元法 ( p a r t i t i o n o fu n i t y f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，p u f e m ) 和广义有限元法 3 8 - 4 0 ( g e n e r a l i z e df i n i t e e l e m e n tm e t h o d ，g f e m ) 。该方法在标准有限元空间中加 入一系列能够反映待求边值问题特性的函数( 如由角点附近精确解的局部渐进 展开而得到的奇异函数) ，并将这些特殊函数与单位分解函数相乘后和原来的有 限元形函数一起构成新的增强协调有限元空间。用该方法求解动态裂纹扩展问 题时，可以处理任意形状裂纹，并且无需重新划分网格。d a u x 、s u k u m a r t 4 卜4 2 】 等基于单位分解的思想发展了扩展有限元法( e x t e n d e df i n i t e e l e m e n t m e t h o d ，x - f e m ) 。 a t l u r i 及z h u 4 3 - 4 5 1 在局部边界积分方程( l b i e ) 的基础上，采用微分方程的局 部对称弱形式( l o c a ls y m m e t r i cw e a kf o r m ，l s w f ) ，运用移动最小二乘法构造局 部子域上的试函数和权函数，把在全求解域上的g a l e r k i n 方程简化为在各子域 上的局部g a l e r k i n 方程进行求解，从而导出了不用网格的一种新的无网格法一 一无网格局部伽辽金法( m l p g m ) 46 | 。这一方法可看作是一种特殊形式的子域 法。该法与d e m 、e f g m 的主要区别在于采用了局部对称弱形式，使得数值积 分在子域上完成，而后两者在全域上进行数值积分。龙述尧【47 】等对无网格局部 边界积分方程方法和弹性力学平面问题的局部p e t r o v g a l e r k i n 方法进行了研 究。 田荣、栾茂田 4 8 - 4 9 j 等将流形方法有限覆盖思想与无网格g a l e r k i n 法的无网 格技术相结合，提出和发展了一种适用于连续与非连续变形问题统一的无单元 法一一有限覆盖无单元法，并将其应用于解决岩土类弱拉型材料接触摩擦问题、 裂纹扩展追踪问题和脆性材料损伤断裂演化行为的细观研究。刘欣、朱德懋【5 0 5 1 】 等对无单元法进行了较为深入的研究，提出了一种按四象限法则来确定覆盖大 小的方法，并对边界奇异性半解析无单元法进行了初步探讨，提出了基于流形 覆盖思想的无单元法。 1 9 9 5 年b r a u n 和s a m b r i d g e 5 2 】提出了自然单元法( n a t u r a le l e m e n tm e t h o d n e m ) 的概念。1 9 9 8 年，美国西北大学的n s u k u m a r t 5 3 。54 1 。成功地将n e m 应用 于求解固体力学中的椭圆型偏微分方程0 2 0 0 2 年西班牙数值分析学者e c u e t o 等1 55 j 等基于a s h a p e 的概念对n e m 进行了扩展，并实现了三维分析。2 0 0 3 年 国内同济大学的蔡永昌、朱和华等【56 1 ，采用局部p e t r o v g a l e r k i n 过程建立整体 求解的系统平衡方程，其计算效率高于有限元四节点单元。2 0 0 4 年d g o n z a l e z 等 5 7 - 5 8 j 对自然单元法数值积分方案及体积锁闭问题进行了研究。j y v o n n e t f 5 9 1 等基于约束d e l a u n a y 结构对n e m 做了扩展，彻底解决了非凸边界上不满足线 性插值的问题。在应用方面，m a m a r t n i e z 等【6 仉6 1 l 采用自然单元法求解了流体 力学问题，并对自由面渗流问题进行了求解。朱和华、杨宝红等【6 2 j 采用自然单 元法进行了弹塑性分析。卢波、葛修润 6 3 - 6 4 】等对自然单元法的数值积分方案及 应力恢复方案进行了研究，并基于z z 方法进行了误差估计。 基于伽辽金法求解的无网格法精度高，但它需要引入背景网格进行数值积， 计算量大。o n a t e 6 5 击6 j 等利用移动最小二乘方法来构造近似函数，并采用配点法 进行离散，从而提出了有限点法( t h ef i n i t ep o i n tm e t h o d ，f p m ) 。该方法无需景 网格，效率高，主要应用于流体力学领域。宋康祖1 67 j 等将其应用于弹塑性分析 中。配点法求解不太稳定难以保证其收敛性，且数值精度稍差。张雄【6 8 】等提出 小二乘配点无网格法和加权最小二乘无网格法，较好的解决了这一问题。 径向基函数( r a d i a lb a s i sf u n c t i o n s ，r b f ) 具有形式简单、各向同性等优点， 数学界对其进行了大量的研究，并己成功地应用于多变量插值中 6 9 - 7 0 】。将径向 基函数引入配点法以求解偏微分方程具有许多优点。但径向基函数一般是定义 在全求解域上的，且得到的系数矩阵的条件数很大。众多学者对此做了研究并 提出了多种方案解决这一问题，其中吴宗敏【7 l 】给出了正定紧支径向基函数的构 造法则，并构造了一系列正定紧支径向基函数。张雄【7 2 。乃j 等将紧支距离函数应 用于配点法中，建立了相应的无网格方法，用于求解固体力学问题。宋康祖等 【7 4 j 提出了满足完备性条件的紧支距离函数，并建立了相应的配点型无网格形 式。 2 0 0 1 年，新加坡国立大学的g u 和l i u gr l7 5 j 发展了无网格g a l e r k i n 法和边 界元的耦合方法来分析二维固体的应力状态等。l i u 将配点法与局部p e t r o v g a l e r k i n 方法相结合，综合了两种求解方法的优点同时避免了两者的缺点提出 了m e s h l e s s w e a k s t r o n gf o r mm e t h o d 7 6 7 7 1 。 自从1 7 9 7 年l u c y 等首次提出了基于拉格朗日公式的光滑质点流体动力法 ( s p h ) 以来，至今已有不下二十种具有各种不同名称的无网格方法。它们之间的 主要区别在于所使用的近似函数( 如移动最小二乘、再生核近似、单位分解、径 向基函数、点插值等) 和微分方程的等效形式( 如g a l e r k i n 方法、配点法、p e t r o v g a l e r k i n 等) 不同。建立近似函数时不借助网格，是无网格法和有限元的主要区 别。无网格方法的共同特点是：摆脱单元的束缚，采用节点信息及具有局部支 撑域的权函数实行局部精确逼：然后通过配点法或g l a e r k n i 法对偏微分方程进 行求解。无网格法中形函数的构造一般有三种途径：移动最小二乘逼近，再生 核方法：单位分解法；其中再生核近似和移动最小二乘逼近均构成了单位分解。 t b e l y t s c k h 7 引、 w k l i u 7 9 1 ，t h o m a s p e t e rf r i e s t 8 们、s h a o f a nl i t 8 1 】等分别对无 4 网格方法对了评述和总结。 1 3 无网格方法评述 1 3 1 无网格方法的优势 传统的有限元法在处理加工成型、大变形、任意复杂路径裂纹扩展等问题 时面临了巨大的挑战和困难，而无网格法在上述问题中显示了强大的处理能力 和优势。无网格方法由于只需要节点位置信息、结点之间不必连接成单元，因 此与基于网格的传统有限元法相比具有以下优点： ( 1 ) 由于只需要离散节点的位置信息和边界信息，节点之间不必连接成单 元，因而前处理简单； ( 2 ) 无网格法的近似函数没有网格依赖性，抗畸变能力强，适用于处理诸如 裂纹扩展、大变形和需要动态调整节点位置的问题求解，具有有限元法不可比 拟的优势； ( 3 ) 无网格法的基函数可以包含能够反映待求边值问题特性的增强函数系 列，适用于分析具有高梯度、奇异性等特殊性质的问题； ( 4 ) 由于节点可以根据需要引入、移动或抛弃，因此无网格法的自适应性很 强，与有限元相比更适合进行自适应分析；在h 自适应下不需要重新划分网格， 且极易实现p 自适应分析，若引进小波函数还具有多尺度分析功能； ( 5 ) 由于近似场函数具有高阶连续性，无网格法的计算结果通常是光滑连续 的，因此一般无需应力修匀等后处理。 1 3 2 无网格方法存在的问题 ( 1 ) 虽然无网格法在处理裂纹扩展、大变形等问题中显示出了极大的优势， 但是现有无网格方法主要存在以下问题：数值求解精度依赖于节点影响域的大 小，而节点影响域的选取目前尚无定论。影响半径的作用在于使影响域内包含 “足够多同时又尽可能少”的节点。“足够多 在于要有足够的采样点来满足场 函数的连续性要求并确定近似解中的待定系数；尽可能少 在于要保证和突出 邻近节点间的函数关系免受其它节点的过多影响，从而使近似解更好地逼近真 实解。显然，合理、准确地确定影响半径的大小比较困难，尤其是在节点分布 不均匀时，或者是由于在结构突变处或有应力集中的地方有目的的加密节点时 更是如此。周瑞忠、周小平等研究了无网格法的权函数问题，首次提出在权函 数中采用自适应影响半径，以适应节点分布的随机性，实例表明使用自适应影 响半径的权函数对求解应力集中或断裂力学问题具有较大的优越性。 ( 2 ) 强制边界条件的精确施加需要特殊处理。无网格方法所共同面l 临的一个 问题是因无网格形函数一般不满足k r o n e c k e r d e l t a 函数的性质从而带来的强制 边界条件施加的困难。为了准确施加强制边界条件先后发展了拉氏乘子法、修 正变分原理方法、罚方法、变换方法、基于达朗贝尔原理方法、奇异权函数方 法、混合变换方法、边界奇异核方法以及与f e m 耦合法等这些方法的使用使得 计算过程变得复杂且增加了计算量。 ( 3 ) 形函数及其导数的计算耗费很大。目前发展的较为成熟的e f g m 和 r k p m 等方法，在形函数及其导数的计算中通常涉及到矩阵及其求逆运算。无 网格形函数及其导数一般是没有显示表达式的分式函数，计算量远较有限元形 函数的计算量大。 ( 4 ) 对弱形式的全域积分一般需采用高阶高斯积分。无网格形函数及其导数 一般是没有显示表达式的分式函数，因而其近似函数一般不是多形式形式；而 且由于背景积分网格一般与形函数的局部支撑域不一致，从而导致了相当的积 分误差，因此一般建议在积分子域内采用高阶高斯积分以确保积分精度这无疑 大大增加了计算量。因此无网格法的计算量一般远大于有限元，如何提高无网 格法的计算效率也是近年来的研究热点。 ( 5 ) 形函数的高阶连续性使得在引入场变量及其导数的不连续性时困难。无 网格计算得到的位移一般是高阶连续的，因而其应变或应力也是光滑连续的， 因此一般不需要应力磨平等后处理。但同时也使得在引入场变量及其导数的不 连续时需要进行特殊的处理。 总体来说，无网格法才刚刚起步，在严格的数学论证、计算效率、边界条 件的处理和大量应用实例等方面还不能和成熟的有限元方法相媲美，更未形成 有效的通用软件。无网格方法虽然无需网格剖分等前处理，但其计算量太大； 研究表明，若将有限元的前后处理、计算开销全算在内，与无网格法作对比计 算，结果表明无网格法确实比有限元方法快，但并不存在数量级上的差别。也 就是说无网格法将在前后处理上节省下来的时间基本上全花在了计算上。在目 前阶段，无网格方法名义上比有限元简单、方便，实际上在目前阶段无法真正 的应用于实际。 1 4 论文的研究目的和主要内容 在众多无网格方法中，无网格g a l e r k i n 法以其方法稳定、精度高、对离散 点的不规则分布不敏感和最适合结构分析等优点受到了较多的关注，本文对这 种方法作了详细的介绍，并提出了改进方案一一改进型无网格有限元耦合方 法，这种耦合的方法不仅解决了无网格g a l e r k i n 法力学边界条件施加的难点，避免系 统方程产生病态，而且还克服了无网格g a l e r k i n 法耗时较多的缺点。将该方法应用至 模拟裂纹扩展及计算应力强度因子的数值分析中。具体研究工作如下所述： l 、本文采用无网格结点与用于积分的背景单元的结点完全重合的离散模式，并 在此基础上，运用了一种自适应影响域半径的无网格g a l e r k i n 方法，此方法可以根据 背景网格的尺寸来调整影响域半径的尺寸，提高了精度和效率。 2 、介绍了一种改进的移动最小二乘( i m l s ) 近似。i m l s 近似比现有的m l s 近似有更高的计算效率和精度，且不会导致系统方程产生病态。i m l s 近似与 6 无网格伽辽金法( e f g ) 相结合构成了一种改进型无网格伽辽金法 3 、运用了一种改进型无网格g a l e r k i n 法与有限元耦合的方法，此方法避免 了系统方程产生病态，而且还克服了无网格g a l e r k i n 法耗时较多的缺点。 4 、对裂纹尖端奇异场的处理上，对无网格的基函数进行了扩展，引入i m l s 试探函数，并引用于扩展的无网格方法，以提高了不连续尖端解的精度。 5 、采用改进型无网格与有限元耦合的方法模拟拉荷载下单裂纹的扩展。 7 第二章无网格伽辽金法的基本原理 2 1 引言 无网格伽辽金法最早提出是在19 9 4 年，b e l y t s c h k o 对d e m 做了必要的改进， 考虑到了形函数导数表达式中被d e m 法忽略的部分项，发展成e f g m 法。e f g m 法具有较高的协调性和稳定性，精度和收敛速度都高于有限元法，而且消除了 体积锁死现象，因此现在已经得到了很大的发展。e f g m 法采用移动最小二乘 法( m o v i n gl e a s ts q u a r em e t h o d ：m l s m ) 构造近似位移函数，从能量泛函的弱变 分形式得到控制方程，通过拉格朗日算子法或者罚函数法满足本征边界条件。 本章对移动最小二乘法，权函数及其参数的选择，积分方案，边界条件的处理 进行了研究。 2 2 移动最小二乘法 无网格伽辽金法的数学基础是移动最小二乘法，用m l s m 产生连续函数来 逼进场函数，得到高阶的函数连续性和导数连续性。移动最小二乘法( m l s m ) 于 8 0 年代初由p l a n c a s t e r 和k s a l k a u s k a r ，比较系统地提出，用于构造插值函数 来拟合曲线和曲面，特点是不需对域进行划分，只需散点( s c a t t e rp o i n t ) 模型。 1 9 9 4 年，美国西北大学的t d b e l y s c h k o 教授将m l s m 用于计算力学的研究，并 提出了无单元伽辽金方法( e f g m ) ，是一种无网格数值分析方法，这几年在数值 分析领域引起了研究者的兴趣。由于具有高阶的连续性，所以计算精度高，利 于处理裂纹开裂的问题。m l s m 在无网格数值方法中有着很重要的地位所有的 无网格法的一个共同的特点就是所用的权函数具有紧支撑特性，紧支撑子域也 称为影响域。对于任意的一个节点，只与它影响域内的点有关。子域要比剩余 的区域小得多，在一维问题中，影响域为线段，二维问题中影响域为圆或矩形， 如图2 1 所示： 图2 1 二维问题中常用的影响域 全域为q ，q ，为子域，为了描述函数u 在子域q ，上的分布，在有限个随 机分布的节点x n ( 玎= 1 ，2 ，) 上，函数u 的移动最小二乘近似式“6 ( x ) ，v x q ， 可以定义为 j 付 材6 ( j ) = 只( x ) 口。( x ) = p r ( x ) 口( x ) ( 2 1 ) f = l 式中p ( x ) 表示任意阶的基函数，该基函。数通常为利用p a s c a l 三角形所决定的单 8 项式以确保其最小完备性，m 表示基函数的项数， 矩阵。对基函数p ( x ) ，可以是 线性基：p t = ( 1 ，x )m = 2 在一维中 p t = ( 1 ，x ，y )m = 3 在二维中 二次基：p t = ( 1 ，x ，x 2 )m = 3 在一维中 p t = ( 1 ，x ，y ，x 2 ，x y ，y 2 ) m = 6 在二维中 而a ( x ) 表示一个特定的系数 2 2 2 3 2 4 2 5 式( 1 ) 是全局近似，对于任一点x 及其领域，相应的局部近似为 一l 一 一 甜“( x ，x ) = g ( x ) a f ( x ) = p 1 ( x ) a ( x ) ( 2 6 ) 百 为确定a ( x ) ，利用加权最小二乘法构成二次型： ，= w ( x - x ，) 只( x 加j ( x ) - u ( x 川2 ( 2 - 7 ) i = 1 1 = 1 这里玎是x 领域内离散点数，x 的领域称为x 的影响域，w ( x x ，) 是具有紧支撑 性质的光滑连续权函数，在x 影响域内部，w ，= w ( x x 1 ) 0 ，在其边界和外部， w ，= 0 。u ( x ，) 是z f 在x ，处的值。 式( 2 7 ) 可用矩阵形式表达为 式中 对( 2 8 ) 求导 p = r e ( x ) = j = ( p a - u ) t w ( x ) ( p a u ) ， u t = ( 甜l ，“2 ，甜。) ， 鼻( x 1 ) 最( x 。) 尸卅( x 。) 鼻( x 2 ) b ( x 2 ) 圪( x 2 ) 只( x 。) 最( x n ) 巴( x 。) w ( x x 1 ) 0 0 0 w ( x x 2 ) 0 00 w ( x x 。) 对( 2 8 ) 求导，由_ o d ：0 得到a ( x ) a ( x ) = b ( x ) u 其中彳( x ) = p 1r v ( x ) p ，