（基础数学专业论文）代数概率论在再生现象中的应用.pdf

摘要 代数概率论研究的是概率论中半群的算术理论，例如结构问题，分解问题，分类问题， 合元素的表示问题，素元素及反素元素的表征问题等等。一些特殊的拓扑半群是研究代数 概率论的强大工具，d e l p h i c 半群，m d 半群，h d 半群，z h 半群，g z h 半群，h u n 半 群和h u n g a r i a n 半群是人们在研究某种特殊半群( 如正更新序列半群，标准p 函数半群 等) 的d e l p h i c 性质时提出的几种比较有效的理论工具，通常是先试图证明这个半群( 或 对半群附加一些条件) 是上述各个半群的一种或几种，然后利用这些特殊半群的性质来 研究这个半群的d e l p h i c 性质。 本文研究的是再生现象理论中提出的更新序列和p 函数所推广的广义延迟更新序列 和半p 函数。首先，在第一章和第二章中综述了代数概率论的研究背景和d e l p h i c 半群 及其推广，介绍了更新序列和p 函数研究的历史和现状。其次，在第三章中得到了广义 延迟更新序列的一些性质及广义延迟更新序列和正广义延迟更新序列，延迟更新序列的 一些关系。并给出了一些反例进行说明。最后，在第四章中，利用d e l p h i c 半群和h u n 半群理论研究了有界的半p 函数的代数一拓扑结构。得到有界的半p 函数半群是h u n 半 群和有界的正p 函数半群是d e l p h i c 半群，并得到在h u n 半群中的若干基本性质。 关键词：d e l p h i c 半群，h u n 半群，更新序列，广义更新序列，延迟更新序列，广 义延迟更新序列，p 函数，半p 函数 a bs t r a c t a l g e r b r i a cp r o b a b i l i t yt h e o r yi sa b o u tt h ea r i t h e m e t i ct h e o r yo fs e m i g r o u pi nt h e p r o b a b i l i t yt h e o r y ，f o re x a m p l e ，s t r u c t u r eq u e s t i o n ，d e c o m p o s i t i o nq u e s t i o n ，c l a s s i f i c a t i o n q u e s t i o n ，t h er e p r e s e n t a t i o no fd e c o m p a s a b l ee l e m e n t sq u e s t i o n ，a n t i p r i m ee l e m e n t sa n d p r i m ee l e m e n t s sr e p r e s e n t a t i o nq u e s t i o na n ds oo n d e l p h i cs e m i g r o u p ，m ds e m i g r o u p ，h d s e m i g r o u p ，z hs e m i g r o u p ，g z hs e m i g r o u p ，h u ns e m i g r o u pa n dh u n g a r i a ns e m i g r o u pa r e p o w e r f u lt o o l si nr e s e a r c h i n ga l g e r b r i a cp r o b a b i l i t yt h e o r y w es t u d yd e l p h i cp r o p e r t i e so fa s p e c i a ls e m i g r o u p ( f o re x a m p l ep o s i t v er e n e w a ls e q u e n c e s ，s t a n d a r dp - f u n c t i o n ss e m i g r o u p a n ds oo n ) ，u s u a l l yw e t r yt op r o v et h a to n eo ft h es e m i g r o u p sa b o v e ，t h e nw eu s ei tt os t u d y t h ed e l p h i cp r o p e r t i e s i n t h i sp a p e r , w es t u d yt h eg e n e r a l i z e dd e l a y e dr e n e w a ls e q u e n c e sa n ds e m i - - p - f u n c t i o n a r i s ef r o mr e n e w a ls e q u e n c ea n dp - f u n c t i o ni nt h et h e o r yo fr e g e n e r a t i v ep h e n o m e n a f i r s t l y ，t h eb a c k g r o u do fa l g e r b r i a cp r o b a b i l i t yt h e o r y ，d e l p h i cs e m i g r o u pa n de x t e n s i o n s a r es u m m a r i e d ，i n t r o d u c et h eh i s t o r ya n de x t e n s i o n so ft h er e n e w a ls e q u e n c ea n dp - f u n c t i o n s e c o n d l y ，o nt h et h i r dc h a p t ，w ed i s c u s s e dt h er e l a t i o n sa m o n gt h eg e n e r a l i s e dd e l a y e d r e n e w a l s e q u e n c e s ，d e l a y e d r e n e w a l s e q u e n c e s a n dp o s i t i v e d e l a y e d r e n e w a l s e q u e n c e s ，a n dp r o v e ds o m ef o u n d a m e n t a lp r o p e r t i e so fg e n e r a l i s e dd e l a y e dr e n e w a l s e q u e n c e s ，g i v es o m ec o u n t e x a m p l et oi l l u s t r a t e f i n a l l y ，o nt h ef o u t hc h a p t ，u s i n gd e l p h i c s e m i g r o u pa n dh u ns e m i g r o u pt os t u d yt h ea l g e b r a r i c t o p o i o g i cp r o t e r t i e so ft h eb o u n d e d s e m i p 1 f u n c t i o ns e m e i g r o u pa n dp r o v e ds o m ef o u n t m e n t a lp r o p e r t i ei nt h eh u ns e m i g r o u p k e y w o r d s ：d e l p h i cs e m i g r o u p ，h u ns e m i g r o u p ，r e n e w a ls e q u e n c e s ，g e n e r a l i z e d r e n e w a l s e q u e n c e s ，d e l a y e d r e n e w a l s e q u e n c e s ，g e n e r a l i z e dd e l a y e d r e n e w a l s e q u e n c e s ，p - f u n c t i o n ，s e m i p f u n c t i o n i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。除文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研 究成果，也不包含为获得海南师范大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢 意。 学位论文作者签名：p k 童j e t期：? 翌彦- 2 学位论文著作权声明 本论文作者声明： 口本论文全部成果均为本人和指导教师合作研究取得，本人和指导教师都有权使 用本成果学术内容( 有第三方约定者除外) 。 口本论文为指导教师指导下，本人独自完成。本人独自享有本论文的全部著作权。 学位论文作者签名：幽 日 期：迎墨 指导教师签名：名坌签 日，戴：至9p j ， 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解海南师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：海南 师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子文本，允许论 文被查阅和借阅。本人授权海南师范大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：班二勃 f t 期：逆塑： 指导教师签名： 日 海镌震 第一章绪论 1 1 代数概率论的研究背景 k o l m o g o r o v 在1 9 5 1 年提出马尔可夫链的转移序列 p i ”，n 1 与转移函数 只j “，f o ) 的表征问题，例如，转移函数有很多不同的性质，它们是连续可微，但未必 两次可微，试图去解释特殊性质的基本原因。结合这些问题的分析研究，j e c k i n g m a n 推广了f e l l e r 早年提出的循环事件 1 】的概念，引进了再生现象理论的研究，使马尔可夫 链的研究出现了新的面貌。而更新序列和p 函数分别可以从离散再生现象和连续再生现 象衍生出来的概率分析模型。为此，对它们的相关问题的研究随之展开。 定义1 1 1 ( 【2 】) 设t = o ，1 ，2 ，l 或t = o ，) ，( q ，f ，p ) 为基本概率空间，称在t 上一族事件；i e , f ，t et l 为再生现象，如果满足p ( e o ) = 1 且对任意 o = t o t 2 o 。 命题1 ( 1 7 】7 1 0 ) 若s 是h u n 半群，s s ， 则存在唯一的幂等元t as 使得t s = s 且当x es ，x s = s 时，x t = t 称t 为s 的”h a i r 记t = h ( s 1 。 h u n 半群同样具有d e l p h i c 性质，例如，关于c l t 的定理是( 1 8 p 3 9 ) 。 定理1 2 4 ( 1 7 】定理1 0 7 ) 设s 为可模的h u n 半群，s es 为无穷小极限， 则存在连续同态伊：【o ，) 一s ，满足c o ( 1 ) = s ，似o ) = 日( j ) 。特别，h ( s = 纵1 ，z ) 】”， 故s 是无穷可分的。 【1 7 】定义了h u n 半群半群的稳定性，对于稳定的可度量化的h u n 半群，它的一些子 集属于某些b a i r e 型。 从上面的分析中可以看出，h u n 半群确实是一个比较理想的研究概率模型的理想工 具，它的条件比d e l p h i c 半群少得多而保持d e l p h i c 性质。梁之舜等在【1 9 】中证明了点过 程卷积半群是一个可模的稳定的h u n 半群，从而得到点过程卷积半群具有d e l p h i c 性质 比较简单的证明，并且得到它的某些子集b a i r e 型类别。宋少强 2 0 】研究了不同的条件 下，证明了非可分局部紧完备度量上的点过程是一个稳定的h u n 半群，从而具有相应的 性质。 【1 7 】中类似的定义了h u n g a r i a n 半群的可模性，稳定性等性质，也得到h u n g a r i a n 半 群的某些子集的b a i r e 型分类。 梁之舜和黄之瑞 2 1 】应用h u n g a r i a n 半群讨论广义更新序列和半p 函数的性质。 黄之瑞在h u n g a r i a n 半群的基础上，在不引入同态的假设下，提出类具有三个 d e l p h i c 性质的h d 半群【2 2 】，并证明了概率分布卷积半群，随机点过程半群，非周期广 6 第一章绪论 义更新序列半群和驯半p 函数半群都是h d 半群，但把中心极限性质列入这类半群的性 质之中，这个性质也是难以验证的， 除了黄之瑞外，在h u n 半群和h u n g a r i a n 半群理论方面做了很大贡献的工作的还有 - 匈牙利人z 6 m p l e n i ，他 2 3 ，2 4 得到以下重要的结果： 定理1 2 5 ( 【2 3 1 ，定理2 ) 设s 是一个第一可数的，强稳定的，除紧的，一致h u n g a r i a n 半群，且s 是p r o h o r o v 空间，d ( s ) 是s 上的紧正则概率测度卷积半群，则d ( s ) 也 是第一可数的，强稳定的，除紧的，一致h u n g a r i a n 半群，且d ( s ) 也是p r o h o r o v 空 间。 定理1 2 6 ( 【2 4 1 ，定理4 ) 设s 是一个稳定的h u n 半群，d ( s ) 是s 上的紧正则概 率测度卷积半群，则d ( s ) 也是稳定的h u n 半群。 应用以上定理，z 色m p l e n i 【2 3 】证明了局部紧全正则空间上的有限点过程半群是稳定 可模的h u n 半群，何远江 2 5 1 给出了完备可分度量空间上的随机测度半群和随机点过程 半群是稳定的h u n 半群的另一种证明方法，在第四章中，我们将研究半p 函数附加一条 件( 有界的) 的半群的代数一拓扑结构。 何远江 2 6 1 参考d a i d s o n 2 7 的方法引入半群到非负实加半群上的可列个同态变换， 提出z h 半群和g z h 半群的概念。 z h 半群和g z h 半群的概念，性质和应用可参考 2 6 ，2 8 。粗略地说，z h 半群的条 件介于d e l p h i c 半群和h u n 半群之间，而g z h 半群关于可逆元群的商半群是z h 半群。 关于g z h 半群的结果的获得独立于 16 ，1 7 的。与h u n g a r i a n 半群相比较，g z h 半群增 加了同态假设，这一假设使g z h 半群的应用受到很大的限制，但是g z h 半群的研究是 很有必要的，因为h u n g a r i a n 半群的性质的证明比较难，g z h 半群的证明就显的简单的 多，而且基本上应用较初等的方法。并且当同态假设成立时，h u n g a r i a n 半群意义下的 无穷小阵是g z h 意义下的无穷小阵，但是反过来就不一定成立了，所以从h u n g a r i a n 半群意义下的c l t 性质不能得到g z h 半群意义下的c l t 性质了。概率论中一些常见的 半群( 例如第二可数局部紧交换半群上的概率测度卷积半群) ，都满足g z h 半群的同态 条件；同态条件的引入，使抽象半群的研究有了丰富得多内容，有利于进一步研究它的 性质和应用。 定义1 2 6 ( 【2 6 1 定义1 1 ) 设g 是一个可交换半群，有唯一单位元，并且满足： ( a ) g 具有h a u d o r f f 拓扑且( “，v ) _ u v 是g x g 到g 上的连续映射； 7 海南师范大学硕士学位论文 ( b ) 对g 的任一元素u ，u 的全体因子集民( u ) = v ：v g ，v l u ) 是紧集。 ( c ) 定义了可列个g 到非负实数加半群上的连续同态变换砬，k = 1 ，2 ，是的u = e 当且仅当对所有的k ，q 似) = 0 。 则我们称g 为z h 半群。 定义1 2 7 ( 2 6 1 定义1 3 ) 一个z h 半群g 称为m d 半群，满足下面的性质： 若( ：1 j i ，i = 1 ，2 ，) 是m n 列，_ ru = 兀对所有的i ，则u 无穷可分。 i j 从上面定义可以看出，d e l p h i c 半群是m d 半群的特例，m d 半群同样具有d e l p h i c 性质标准p 函数半群，正更新序列半群都是m d 半群。 关于z h 半群的c l t 性质的定理是( 1 2 6 定理3 1 1 ) 定理1 2 7 设g 一个z h 半群，若g 满足以下条件i 1 ) 若u 没有简单因子，则u 无穷可分。 2 ) u - v 当且仅当g ) = g k ( v ) 对所有的k 成立： 则g 具有c l t 性质。 根据定理1 2 7 ，何远江【2 6 】证明了完备可分度量空间上的随机点过程半群，正广义更 新序列半群，以及正延迟更新序列半群都有c l t 性质，并进一步证明了 2 9 】正延迟更新 半群是一d e l p h i c 半群。 定义1 2 8 ( 【2 8 1 定义2 1 ) 称拓扑半群s 为m 半群， 若存在连续同态日t ：s - - - ) d = z ec ：izl 1 ) ，k = 1 ，2 ，满足： 1 ) a = e 当且仅当日。( 口) = 1 对所有的k 成立； 2 ) a e u 当且仅当1 日。( 口) 1 1 对所有的k 成立。 记s l = a es ：日t ( 口) o 对所有的k 定义1 2 9 ( 【2 8 定义3 7 ) 称一个m 半群s 为g z h 半群，若 1 ) s 木= s u 是拓扑半群； 2 ) 对v ss ，瓦是紧集。 定义1 2 1 0 ( 【2 8 】定义2 4 ) m 一半群中的阵列( ) 称为d 无穷小阵列，若对任意的k ! i m m a x q ( 口j j ) = 0 r 第一章绪论 其中砬：s _ ( r ，+ ) ，ah - l o g1 日t ( 口) l 关于g z h 半群的d e l p h i c 性质的定理如下： 定理1 2 8 ( 1 2 8 1 定理3 1 1 ) 设s 是第一可数的g z h 半群，s s 。，则 1 ) 存在一个分解s = s i s ：，其中毛没有素因子，是是至多可列个素元的乘积。 2 ) 若s 没有素因子，则存在个d 一无穷小阵列( ) ，使得s = s i l s i ：s 。对任意的i 成立。 3 ) 如果s 中的元素具有下面的性质：是d 一无穷小极限的元必是无穷可分元，则若 j s 且s 没有素因子，则s 是无穷可分的。 何远江【2 8 】证明了完备可分度量群上的概率测度半群是g z h 一半群，给出了正定核的中 ，t 5 , 极限性质，在 9 】中并利用g z h 一半群的性质，给出了正p 函数半群是一个d e l p h i c 半 群的另一个证明。 9 第二章再生现象中的一些基本概念和性质 2 1 更新序列的历史和现状及其推广 更新序列是一种重要的概率模型。从4 0 年代w f e l l e r 等人已经对它进行深入研究， 后来j e c k i n g m a n 运用再生现象理论对它进一步的研究。更新序列的分析性质，代数 性质和拓扑性质已研究得很透彻。 j f c k i n g m a n 曾证明【3 1 】若t l 和v 是两个更新序列，则u 和v 的点点相乘积u v 也 是更新序列，即全体更新序列所构成的集r 对点乘运算是封闭的，在这个运算之下，r 构成一个可交换的半群，从而引出了一些新的概念和导出了一系列重要而深入的结果， 因此r 对于点乘的运算的封闭性，在更新序列研究中起着十分重要的作用，k i n g m a n 的 这一结果是用概率方法证明的，其证明看起来简单，而实际上运用到许多有关测度论和 随机过程论的十分复杂的定理( 如乘积空间的k o l m o g o r o v 扩张定理，随机过程的存在 定理等，为此，候振挺用纯分析且初等的方法证明了更新序列类的点乘的封闭性，分别 用概率和分析方法给出了两个更新序列点积的f - 序列的明显表达式，这对更新序列的判 别准则，单更新序列的特征产生了积极影响。 定理2 1 1 ( 3 3 1 定理1 1 1 ) 设u = ( “。，2 n ) ( n 表示全体非负整数集) ，对应的f 序列是f = ( ，n n ) ( n 表示全体正整数集) ，则当，l 1 时， = ( 一1 ) 扣1 m j l “f 2 “ ( 此等式称为侯氏公式) 更新序列是研究m a r k o v 链对角线的转移概率p j 如) 的有力工具，下面的定理建立起 了更新序列和m a r k o v 链之间的关系。 定理2 1 2 ( 3 3 】) 设p 是随机矩阵，固定a s ( s 是有限集或可列集) ， 令蹦。= 比”，z n ，则= 1 且存在非负序列f4 - - ( l ，be ) 满足条件： 1 且= 六“枞，七n ，l n= l l o 丘 硼 “地 。纠 = 第二章再生现象中的一些基本概念和性质 定理2 1 3 ( 【3 3 】) 设h - - ( u 。，n e ) ，则存在s 上随机矩阵p = ( p i f ，s ) 及口s 使得“。= p a j n ) , ，l 丙1 定理2 1 2 和定理2 1 3 建立起更新序列和m a r k o v 链的关系，一方面给出了m a r k o v 链转移概率矩阵对角线元素的一个刻划，另一个方面，我们可以从m a r k o v 链的角度去 研究更新序列的性质。 从定义1 一1 中可以得到离散再生现象与更新序列之间的关系。为此，我们可以从 另种角度得到与更新序列等价的一个定义。 设比= ( ，b e ) 是实数序列，对任意满足0 = n o q n k ，k 1 的整数列 ，, 2 ，仇，令 尺码，咒2 ，瑰；“) = 一1 + 1 1 + 斗( - 1 ) 俨1 1 飞一 盥敲 l s f j 戤 定理2 1 4 ( 【3 3 】) 对于实数列比= ( “。，ne 丙) 存在一个离散再生现象z ，其更新序列 为 u 的充要条件是： u o - - - 1 且对任意k 1 及任意符合条件o = n o 碍 1 ) 则有u 口r 。 广义更新序列的概念是1 9 7 2 年k i n g m a n 提出的【4 0 】，它是更新序列概念的推广， 其分析性质和半群已受到深入的研究。 定义2 1 1 ( 4 0 1 定义2 ) 称实数序列( u 。，n 1 ) ( = 1 ) 为广义更新序列，若存在非负实 数序列，= ( ，。，玎1 ) ，使得：主以一。( 以1 ) ，ne n 。记全体广义更新序列为赢。 k = l 对广义更新序列的基本性质，如半群性，无穷可分性，o 类的构成以及其与更新序 列的关系等的研究取得了好的结果。 定理2 1 6 ( 【4 0 】命题1 ) 广义更新序列m 。，n 1 ) 是更新序列当且仅当对一切 n 1 ，u 。1 。 定理2 1 7 ( 【4 0 命题2 ) u = 。，n 1 ) 是一个广义更新序列，当且仅当对每个正整 数n ，存在一个更新序列“7 = ( “。7 ，n 1 ) 和一个正数c ，使当n = 1 ，2 ，n 1 时， 雎n = “n c “。 而梁之舜，黄之瑞 4 2 ，5 2 1 在上述已知的结果的基础上，对广义更新序列类的类似 于更新序列的基本性质，如周期性，点点相乘运算封闭，而且广义更新序列侯氏公式成 立做了分析研究，并且利用定义的广义更新序列f 函数族等同于广义更新序列的定义， 它对深入研究广义更新序列的性质更为方便。梁之舜，黄之瑞【4 1 】证明了正广义更新序 列半群是第二可数的h u n g a r i a n 半群且拥有d e l p h i c 性质。黄之瑞 4 2 1 研究了正广义更新 序列的无穷可分性。得到正广义更新序列的厶类与k a l u z a 是一致的。翁文英【4 3 】得到了 判别素广义更新序列的两个一般准则，由此证明了存在野的素广义更新序列。同时证明 了素广义更新序列类在广义更新序列半群中稠密。陈在夫【4 4 】证明正无穷可分的广义更 1 2 第二章再生现象中的一些基本概念和性质 新序列的i o 类由一切形如v ( 一，c ) = ，九0 ) ( 其中o c 枷) 的元素组成。 k i n g m a n 在建立再生现象理论的同时，也定义了离散时间延迟再生现象 3 2 1 并研究 它的性质，这些理论都是循环事件理论的发展。 定义2 1 2 ( 【3 3 】) 取值于0 ，1 的随机过程z = ( 乙，z n ) 称为离散时间再生现象， 若存在非负实数序列v = ( v o ，n e ) 和更新序列u = ( “。，n ) ，使得对满足 0 伟 r 1 2 n t 的正整数，l i ，n 2 ，n t 有 七 刷乙，= 1 ；1 ，七) 弘“驴祉，( 2 1 5 ) 定义2 1 3 ( 【3 3 】) 设“= ( “。，托1 ) 是更新序列，序y 1 b = ( 吃，z 1 ) 满足 吃o ( 甩1 ) 且= 阢“。一，研1 ) 定义的序列v = ( v ，_ r z 1 ) 称为延迟更新序列。记厂= ( 工，咒i ) 是t l 的f 序列，则分别 称序列1 1 ，f ，b 为v 的u 序列，f 序列和b 序列。记全体延迟更新序列为d 。 从定义中不难知道更新序列是延迟更新序列，只须把它的f 序列看作其b 序列即可 得，除此之外，更新序列的f 序列也是一个延迟更新序列，这只须将其b 序列取为自身， u 序列取恒零即可。延迟更新序列是更新序列的推广，是一种比更新序列更加复杂的现 象。 下面的定理建立起了离散时间延迟再生现象与延迟更新序列的联系。 定理2 1 8 ( 【3 3 ) 定理4 1 2 ) 存在一个随机过程z = ( z 。，r t e ) 满足( 2 1 5 ) 式当 且仅当v = ( v 。，n en ) ed 且h = ( “。，n e ) 酞。 k i n g m a n 3 1 i e l a f i j 了下面重要的定理 定理2 1 9 序列v = ( v 。，n 1 ) 对任一，2 1 都可以表为= p u ，这里p “是某一齐次 m o r k o v 链二个不同状态i ，j 的n 步转移概率，当且仅当- b , u 一，其中 v r 1 ，b ，o ，易，1 且h = ( “。，na o ) 是更新序列。 上述定理证明了对于m o r k o v 链转移概率矩阵的非对角线元素是延迟更新序列。这 海南师范大学硕士学位论文 对m o r k o v 链转移概率矩阵的研究起了很大的贡献。 延迟更新序列有很多与更新序列类似的性质，陈在夫 4 5 】证明了延迟更新序列对点 点相乘运算是封闭的。且对极限运算也是封闭的。 一个延迟更新序列其对应的u 序列也是是不唯一的，现举例如下：v d ， v = 专，歹1 ，歹1 ，专。 不难验证 “= 三：可1 ，歹1 “易= 专，专o ， 0 及 “= 吉，当，歹1 ) ，比= 吉，壶， ，两1 - ， 分别可为v 的u 序列和b 序列。 因此在谈到延迟更新序列时，必须同时指出哪个更新序列的延迟。为了研究延迟更 新序列的性质就定义了延迟更新序列元。陈在夫 4 5 】证明了正延迟更新序列元构成一个 d e l p h i c 半群，陈在夫，陈传钟 4 6 ，4 7 得到了正延迟更新序列元半群a + 的厶类，由一 切形如( v ( ，a ，p ) ，“( ，p ) ) ( o a 1 ，0 p 1 ) 和( ( v ，e ) ea + ) 所构成。而李炜对延迟更新序 列元的素类进行了研究，在【4 9 】中得到了二个素正延迟更新序列元的判别法和一个非素 判别反则，并且得到了素正延迟更新元在正延迟更新序列元组成的半群中稠密的结果， 还讨论了延迟更新序列的u 序列的唯一性问题，得到了三个结果，并且完成了对以u 为伴随u 序列的全体延迟更新序列的c h o q u e t 分解。何远江【2 9 】得到正延迟更新序列 是一d e l p h i c 半群，陈传钟【4 8 】对正延迟更新序列半群的，o 类的构成做了研究，得到正 延迟更新序列半群d + 的厶类由一切形如 ( 1 ，p ，p 2 ，p “，) ，0 p 1 和d + 满足 0 v 。v 2 1 且l i mk = 1 的元素v = ( v 。，ne ) 所构成。陈在夫 5 1 1 给出了延迟更新序 列的积的b 序列的明显表达式。陈在夫【5 0 】证明了非周期的延迟更新序列是一族d e l p h i c 半群之并。 陈在夫 5 】在广义更新序列的基础上推广了延迟更新序列的概念，引入了一类广义 延迟更新序列，并研究它的性质，并用半群的观点进行了较深入的讨论。 定义2 1 4 ( 5 1 】) 设“= “。，z 1 ) 赢( 广义更新序列类) 6 = 吃，n 丙) 是非负序列， 满足玩- - 0 ，则由关系式，v o = o ，v n = 玩蚝一n n ，定义的v = v 。，ne n 为广 1 4 第二章再生现象中的一些基本概念和性质 义延迟更新序列。记全体广义延迟更新序列为西。 广义延迟更新序列包括了前面提到的几种序列，尽管已经得到了广义延迟更新序列 对点点相乘运算的封闭性，及对逐项求极限的封闭等一些基本性质，但其中仍有许多问 题需要考虑和研究。 现把广义延迟更新序列理论方面的已经研究出的结果列举如下，陈在夫，陈传钟【5 1 】 仿照广义更新序列和更新序列的关系，揭示了广义延迟更新序列和延迟更新序列的等式 关系。 定理2 1 1 0 ( 5 2 】定理1 4 ) 非负序列v = ( v n ) ed 且u 序列是( “。) 当且仅当对任一正 整数n 1 ，存在一个延迟更新序列；= ( i ) ，其u 序列云= ( 百) 和一正数c ，使对 ，z = 1 ，2 ，n ，有= c “，比。= c “u n 。 陈在夫，陈传钟 5 3 ，5 4 】证明了正广义延迟更新序列对全体构成一个半群并具有 d e l p h i c 性质。讨论了正广义延迟更新序列半群的分解性质，得到了正广义延迟更新序 列半群的每一元素是无穷可分的，因此具有d e l p h i c 性质。 陈在夫，陈传钟【5 1 】揭示了广义延迟更新序列的一些明显表达式。 定理2 1 1 1 ( 5 1 】) 若v = ( ，n 1 ) 是由b 序列( 吃，l 1 ) 和f 序列( ，以1 ) 产生的广 义延迟更新序列，则： 定理2 1 1 2 ( 【5 1 】) b = ( 吃，n 1 ) ，“= ( 。，z 1 ) 分别是广义延迟更新序列v = ( ，咒1 ) 的b 序列和u 序列，则： = ( 一1 ) ”1 k 3 = i + + - - - - i i 定理2 1 1 3 ( 【5 1 】) 设v 7 = ( v 。7 ，_ ，2 1 ) ，y = ( ，以1 ) 万，u p = ( “。，h 1 ) ， “= ( 比。，玎1 ) 分别是u 序列，6 7 = ( 玩，z 1 ) 矿= ( 吃，z 1 ) 分别是其b 序列，记 6 = ( 玩，2 1 ) 是v 7 = ( v 。7 叱，z 1 ) 的b 序列，贝l jv n 1 有： 厶 玩 铆 卜 。问 = 海南师范大学硕十学位论文 吃= 7 厶 气，f j 2 ，无， t = lj = 1i n + + i j ： + 五2 h i i 4 j + _ k s s t 0 ) 称为一个连续时间 再生现象，若存在一个( o ，) 上的函数p ，使得当0 = t o t l t 2 t n 时，有： p z ( t ，) = z ( 乞) = = z ( f 。) = 1 ) = 兀p ( f r f ，- 1 ) 称p 为再生现象的p 函数，若：l ，i + m 。p ( t ) = 1 ，则称p 是标准的。 很容易得至0 ：p ( z ( t 1 ) = = z ( 乙一1 ) = o ，z ( 乙) = 1 ) = e ( ( 1 一z ( ) ) ( 1 一z ( t 2 ) ) ( 1 一z ( 乙一1 ) ) z ( f 。) ) = f ( t l ，2 ，t n ；p ) 其中：，( 仙，厶；p ) = p ( 乙) 一p ( 乙) p ( 乙一) + + p ( t i ) p ( t 厂) p ( f n - t j ) l n l s i j n 一+ ( 一1 ) “p ( t 1 ) p ( f 2 一r 1 ) p ( 乙- t n _ 1 ) k i n g m a n 3 1 】得到一个等价p 函数的定义， 定理2 2 1 对于( o ，o o ) 上的函数p ，存在一个具有p 函数的再生现象z 当且仅当任意 正整数n 和o = f o t 2 0 ；( 即所有的标准p 函数都是正p 函数) ( 2 ) p ( t ) 在( o ，叫上一致连续； ( 3 ) 极限9 2 熙f 。( 1 一p ( f ) ) 存在； ( 4 ) 若q 1 ) 也是p 函数。 黄之瑞 6 1 】证明了可测的正p 函数类是p 函数类的遗传子半群，无穷可分的正p 函 数是有界的增比函数类，得到了正p 函数，。的构造。 对p 函数附加一些条件，标准的，可测的，右连续的，或者是正的，都能对其半群 结构进行很好的研究，并能得到一些好的结果，但对整个p 函数半群结构仍未能解决。 k i n g m a n 4 0 把更新序列的概念推广到广义更新序列，并研究广义更新序列的一系 列性质，而同样的，也把p 函数的概念推广到了半p 函数。 定义2 2 2 ( 【4 0 】定义4 ) 设为( 0 ，一) 上的正实值函数，对任意正整数n 和 0 = t o t 1 t 2 t 。 记 ，( 仙，o ；p ) = p ( 乙) 一p ( 乙) p ( 乙一) + + p ( t ，) 吣一f 。) 眺一0 ) i 蔓i n l s i o ，存在实数五和标准p 一 函数p 有p ( f ) = p ( f ) p m ( 0 t 丁) ，则p 是标准半p 函数。 定理2 2 7 ( 4 0 1 命题6 ) 设p ( f ) 是标准的连续的正函数，0 t 1 ) 也是半p 函数。 而作者对半p 函数附加有界的这一条件，对其半群结构和一些基本性质作了研究， 得到了有界的正半p 函数类是d e l p h i c 半群，有界的半p 函数类是h u n 半群，并讨论了 其在h u n 半群中的若干性质。在第四章中将介绍。 1 9 第三章关于广义延迟更新序列的一些结果 3 1 引言 k i n g m a n 在f e l l e r 早年提出的循环事件的基础上，引进了再生现象 2 】的研究，这对 马氏链的研究起了推助作用，1 9 7 2 年，k i n g m a n 推广了更新序列的概念，得到了广义更 新序列的定义，并得到一些性质，此后，梁之舜，黄之瑞在 5 2 】中对广义更新序列的基 本性质进行了研究，而延迟更新序列是在延迟再生现象的基础上提出的概念，它与马氏 链的转移概率矩阵的非对角元素建立了一一对应的关系，陈在夫在【1 1 ，5 1 】中对延迟更 新序列的性质及所构成的d e l p h i c 半群及其1 0 类，无穷可分性进行了深入的分析，李炜 在【4 9 】中对延迟更新序列的u 序列的唯一性及素正延迟更新序列元的判别法，得到一些 重要的结果，陈在夫在【5 1 】中提出了广义延迟更新序列的概念，并说明了其具有同样的 延迟更新序列的b 序列的明显表达式，而本文是在此基础上，对广义延迟更新序列的一 些基本性质进行分析研究。为了叙述本章结论的方便，特再次介绍一些相关的概念和表 示符号。 设n 为全体正整数，丙为全体非负整数。 定义3 1 1 ( 【4 0 】) 设u = u n , n n 】为实数序列。若u 。= 1 且存在非负实数序列 f = ，r le ) 使得l 。= l u ，n en 。则称u 为广义更新序列，称f 为u 的f 序列。 若还满足条件工1 ，则称u 为更新序列。记全体广义更新序列为赢。 n = l 定义3 1 2 ( 5 l 】)设“= “。，n ) r ，非负实数序列b = 吃，z n ) 满足b o = q 。 y 设v o = o ，v n = b ，一n n ，则称v = n 丙】