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山东大学硕士学位论文 晶体塑性成形的数值模拟 摘要 随着各种先进的电子仪器的发展，以及力学在金属学中的更为广泛的应 用，科学家可以对金属微观结构进行越来越深入的研究 目前对于金属塑性行为的研究更多的是从宏观方面去研究。而对于微观状 态下金属发生塑性变形的机理的研究还不够完善金属的塑性变形行为与材料 的细观结构是密切相关的，而如何利用这些材料的细观信息为材料成形领域所 服务就成为了一个新的热点研究领域。晶体塑性变形理论正是解决这一问题的 基础晶体塑性变形理论构建了材料的宏观变形和微观变形的桥梁，为我们更 细致的分析，研究材料的宏观变形提供了理论依据。 - 晶体塑性成形理论涉及到多方面的问题。其中最基本，最基础的就是微观 状态下晶体的位相分布情况本文首先阐述了晶体的初始分布情况，涉及了晶 粒的大小，形状和位相情况。对于晶体的位相分布情况进行模拟有多种数学模 型，本文采用了v o r o n o i 图数值模拟方法。文章简要阐述了利用v o r o n o i 图的 数学和几何性质，并提出了v o r o n o i 图的算法 针对目前大部分的学者还都是应用t a y l o r 模型进行本构关系的研究，但 是对于t a y l o r 模型中的滑移机制在国内外的科技文献中还没有比较详尽展开 讨论与介绍的问题，本文着重对晶体塑性变形的几何学和运动学理论作了详细 的阐述。其中重点以t a y l o r 模型阐述了晶体的滑移机理与运动机制。首先阐 述了判断哪些滑移系先发生滑移的s c h m i d 定律和最小塑性功原理。其次阐述 了最基本的单晶体单滑移系滑移机制，单晶体的多滑移系滑移机制，最后阐述 了多晶体滑移系滑移机制 本文在总结和研究前面晶体滑移运动几何学理论的基础上，建立了晶体滑 移运动几何学的模型。并采用f o r t r a np o w e r s t a t i o n4 0 为开发工具，在 w i n d o w s2 0 0 0 环境下以晶体滑移运动几何学模型为基础，对该模型的运动几 何学进行数值模拟分析以滑移剪应变，拉伸轴方向向量，晶体的边界条件作 为已知量，利用晶体滑移几何学的理论知识计算出晶体变形后的新的边界坐标 以及整个拉伸轴的伸长量。本文可以同时输出所涉及到的各个中间变量。本模 型有利于更好的理解晶体滑移变形理论，也可以作为后续程序开发的基础。 i 山东大学硕士学位论文 本文提出了对微观状态下金属晶体的位相分布情况进行数值模拟的方法， 同时开展了对t a y o l o r 模型中的晶体滑移机制的研究分析，以深化人们对晶体 滑移机制的认识。这对于更细致的研究金属塑性成形的机理具有一定的借鉴意 义。 关键词：晶体，塑性成形，数值模拟 u 山东大学硕士学位论文 t h en u m e r i c a is i m u i a t i o l lo fc r y s t a ip i a s t i cd e f o r m a t i o l l a b s t r a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to f a l lk i n d so f e l e c t r o n i ci n s m 蛐e u t sa n dt h em e c h a n i c s w i d e l yu s e di nm e t a l l o g r a p h y , s c i e n t i s t sc a ns t u d yf l l r t h e rt h em i c r o s t r u c t u r eo f m e t a l sd e e p l y n o w d a y sm o r ea t t i t i o na b o u tm e t a l l i cp l a s t i cd e f o r m a t i o ni sp a i dt ot h es t u d y o ft h em a c r o s t r u c t u r eo fm e t a l s t h eb e h a v i o u ro fm e t a lp l a s t i cd e f o r m a t i o ni s c o r r e l a t i v ew i t hi t sm i c r o s t r u e t u r ei n t i m a t e l y b u th o wt ou t i l i z et h e s ei n f o r m a t i o n o fm e t a l l i cm i c r o s t r u c t u r ct oh e l pt os t u d yt h em e c h a n i s mi nm e t a lf o r m i n gi s b e c o m i n gah o ts p o t t h et h e o r yo fc r y s t a lp l a s t i cd e f o r m a t i o ni st h ek e yf o rt h e d o o ro fr e s o l v i n gt h i sp r o b l e m a sab r i d g eb e ( w e e nm a c r o s c o p i e a ld e f o r m a t i o n a n dm i c r o c o s m i cd e f o r m a t i o n i tp r o v i d e su sw i t ht h e o r e t i c a lf o u n d a t i o nf b rf u r t h e r r e s e a r c h t h et h e o r yo fc r y s t a lp l a s t i cd e f o r m a t i o ni n v o l v e ss e v e r a lf a c e t s f i r s to f a l l ，t h i sp a p e rd i s c u s s e si n i t i a ld i s t r i b u t i o n , s i z ea n ds h a p eo fc r y s t a l ；i ti n t r o d u c e s t h e a p p l i c a t i o n o fv o r o n o ib o d y - c r e a t em e t h o dt os i m u l a t ec r y s t a li n i t i a l d i s t r i b u t i o n 。a tt h es a m et i m e ，i tp u t sf o r w a r dv o r o n o ig r a p ha r i t h m e t i c a tp r e s e n t ，am a j o r i t yo fs c h o l a r sm a k eu s eo ft a y l o rm o d e lt os t u d y c o n s t i t u t i v el a w s ，b u tt h e r ei sn od e t a i l e di n t r o d u c t i o na b o u ts l i pm e c h a n i s mb a s e d o nt a y l o rm o d e li nd o m e s t i ca n df o r e i g nl i t e r a t u r eu pt on o w t h i sp a p e rm a i n l y i n t r o d u c e sg e o m e t r ya n dk i n e t i c so f c r y s t a lp l a s t i cd e f o r m a t i o n t h em o s ti m p o r t a n t c o u t e u ti ss l i pm e c h a n i s ma n dk i n e t i c sm e c h a n i s m t h e s ee o m t e u t si n c l u d es e v e r a l p a r t s ：t h es c h m i dl a wa n dt h el e a s tp l a s t i ce n e r g yl a wj u d g i n gw h i c hs i l ps y s t e m w i l l s l i pf i r s t ；t h em e c h a n i c s m a b o u to n es l i ps y s t e mo fs i n g l ec r y s t a l ；t h e m e c h a n i c s ma b o u ts e v e r a ls l i ps y s t e m so fs i n g l ec r y s t a l ；t h em e c h a n i c s ma b o u t s e v e r a ls l i ps y s t e m so f p o l y c r y s t a l t h i sp a p e re s t a b l i s h e sac r y s t a l s l i pk i n e t i c sa n dg e o m e t r ym o d e lb a s e do nt h e t h e o r yo fc r y s t a l s l i pk i n e t i c sa n dg e o m e t r y t h ed e v e l o p - t o o l ss o r w a r ei sf o r t r a n p o w e r s t a t i o na n dt h ed e v e l o pp l a t f o r mi sw i n d o w s2 0 0 0 i nt h i sm o d e l ，t h e s l i p - s h e a r i n gs t r a i n , t h e e x t e n s i o na x i so r i e u t a t i o n - v e c t o r , b o u n d a r yc o n d i t i o n c o m p r i s e st h ek n o w n q u a n t i t y w eg e tn e wb o u n d a r yc o n d i t i o n a n dn e we x t e n s i o no f t h ee x t e n s i o na x i sb yt h et h e o r yo fc r y s t a l - s l i pk i n e t i c sa n dg e o m e t r y a tt h es a m e 1 1 1 山东大学硕士学位论文 t i m e ，s o m es e c o n d a r yd a t ai sa l s oa v a i l a b l ei fw en e e d t h i sm o d e li sh e l p 柚f o rn s t ou n d e r s t a n dt h et h e o r yo fc r y s t a l s l i pk i n e t i c sa n dg e o m e t r y ；w ec a r lr e g a r dt h i s m o d e la st h eb a s i so ff u r t h e rd e v e l o p i n gp r o g r a m i nt h i sp a p e r , w ep u tf o r w a r dv o r o n o ig r a p ha r i t h m e t i ct os i m u l a t ec r y s t a l i n i t i a ld i s t r i b u t i o na n da n a l y z et h es l i pm e c h a n i s mb a s e d0 1 1t a y l o rm o d e l t h e r e w i l lb eu s e f u l ls i g n i f i c a n c ef o r t h es t u d yo fm e c h a n i s mo fm e t a lp l a s t i c d e f c ) r m a t i o n k e y w o r d s ：c r y s l a l ；p l a s t i cd e f o r m a t i o n ；n u m e r i c a ls i m u l a t i o n 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含任何 其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究作出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的法律责任由本人 承担。 论文作者签名：趱 日 期：2 曼垒= ! 堑 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保 留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅 和借阅：本人授权山东大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文和汇编本 学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：巡导师签名：星塾墨竺日 期：麴生堕 山东大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 引言 金属的塑性变形行为与材料的细观结构是密切相关的，随着电子显微镜和 x 射线分析技术的发展，人们已能够获得越来越多的有关材料细观结构的信 息，如：晶粒取向，晶粒大小和形状，而如何将这些细观结构的信息加以利用， 为宏观状态下的塑性成形服务是一个新的热点问题因此将晶体塑性成形 模型应用于模拟金属成形过程，为解决这些难题提供了新的研究途径，可以得 到比采用宏观塑性力学模型更细致，更符合实际的结果。 1 2 晶体塑性变形理论研究的历史发展与现状 晶体塑性变形理论一直是金属物理学家和力学家热心探索的研究课题之 一。叫对于晶体塑性变形理论的研究，主要涉及到了以下五个方面： ( 1 ) 晶体生成分布与位相：研究晶体的塑性变形问题，首先遇到的是晶 体的初始分布情况，也就是晶粒的大小，形状和位相情况 对于晶体生成分布与位相的研究，从晶体塑性变形的角度来看，科学家们 的重点是放在了晶体的初始分布情况，以及在外力作用下，晶体发生变形后晶 体的分布情况；从晶体学和热处理的角度来看，科学家们研究的重点则是放在 晶体在受热，受力等各种环境下发生破碎，融合，以及生长后晶体的位相情况。 早期人们对于晶体位相的研究工作更多的侧重于利用实验和各种科学仪 器来获得晶粒的分布状况。例如1 9 1 2 年，y o nl a u e 首先利用x 射线对晶体结 构进行分析，证实了晶体就是原子有规则的排列起来的状态。3 3 随着x 射线 分析技术，电子显微镜技术，扫描电镜技术等先进技术的发展，人们可以利用 这些实验仪器对金属的金相图进行更细致的分析，从而能够获得越来越多的有 关材料细观结构的信息，如：晶粒取向，晶粒大小和形状，以及晶粒的分布状 况。 然而，利用实验仪器对晶体初始位相的分析的局限性在于它只对某一细小 断面的晶粒的分布状况比较准确，而对于研究大规模的多晶体的位相分布则显 得比较困难。 第一章绪论 随着计算几何学和计算机技术的发展，对于大规模多晶体的的位相分布的 问题，人们提出了多种方法进行模拟分析。例如，在1 9 8 3 年，w e a i r ed ，k e r m o d e jp 提出了利用计算机来模拟肥皂泡起泡法。h m l 随后人们开始将这一理论 应用于分析多晶体的二维结构图。 随后又有许多方法提出来，如：蒙特卡罗方法6 1 订3 ，v o r o n o i 图嘲9 ， 元胞自动机( c a ) 方法n ”1 2 3 等等。这些方法用于晶体位相的研究，取得了 令人鼓舞的结果，我国学者在这方面也开展了卓有成就的研究，如：钟晓征， 陈伟元等利用蒙特卡罗方法模拟了多晶材料的的晶粒生长n 3 1 李华清，成立 娟等利用二维v o r o n o i 网络划分技术模拟了金属材料的多晶体结构。4 西北 工业大学的张克实利用v o r o n o i 体胞生成法对多晶集合体的细观粘塑性变形 进行了分析。【i 卯 ( 2 ) 晶体塑性变形的几何学和运动学：虽然滑移和孪生是晶体塑性变形 的两种主要方式，但是人们对晶体塑性变形的几何学和运动学研究的重点主要 放在了晶体的滑移机理与运动机制上。删 在1 8 9 8 年至1 9 0 0 年之问，e w i n g 和r o s e n h a i n 对金属多晶体的变形运动 作了一系列的研究，他们对塑性变形的运动机制作了相当精确的描述，在试样 表面清楚地观察到滑移线的痕迹，并指出滑移是一种晶体学现象。n 们在德国 m a r k 1 7 1 , p o l a n y i 1 8 以及o r o w a n 9 3 对晶体塑性变形做了系统的研究。 在此基础上，t a y l o r 和e l a m 啪1 对晶体塑性变形作了开创性的定量研究工 作，他们利用x 射线证实了滑移的晶体学性质。对铝单晶进行研究，对变形 运动学作了晶体学的解释。 其中t a y l o r 1 在1 9 3 8 年的文章p l a s t i cs t r a i ni nm e t a l s 中，首次将晶体滑 移机制划分为单晶体的滑移机制和多晶体的滑移机制，从能量学角度针对晶体 中多滑移系谁先启动的问题提出了最小塑性功原理，并首次运用极射赤面投影 面技术，分析了晶体的滑移机制 随后人们所开展的晶体滑移的工作，许多是建立在t a y l o r 滑移模型之上。 我国力学工作者对于晶体滑移理论的研究也进行了深入的研究，其中中科 院的王自强教授在1 9 9 5 年出版的塑性细观力学一书中，简要的介绍了晶体的 滑移机制。豫1 山东大学硕士学位论文 ( 3 ) 晶体塑性变形的本构关系的发展： 因为存在着位错等各种晶体缺陷，所以晶体的滑移不是一直进行下去的， 随着变形的发展，变形抗力在增加，也就出现了晶体材料的硬化问题，以及晶 体塑性变形的本构问题 s c h m i d 从力学角度出发针对晶体中多滑移系的起始滑移系与外加应力的 关系，提出了有名的临界分解剪应力定律。 2 2 3 t a y l o r 1 ，s c h m i d 2 4 3 等人提出了晶体的均匀滑移模型。 其中基于这种模型，对晶体塑性变形几何学和运动学的严格描述是由h i l l 2 卯和r i c e 2 6 1 完成的。a s a r o 和r i c e 2 力。p i e r c ee ta l 【2 8 以及h i l l 和h a v e n e r 期对晶体塑性本构行为作了论述。 p i e r c e ( 1 9 8 3 ) 提出了便于应用的率相关的晶体塑性本构理论。对承受拉 伸载荷的单晶体率相关非均匀变形进行了数值模拟。这一用于在大应变条件下 分析晶体塑性的率相关本构框架的提出使其他现象的分析和边值问题的求解 成为可能 ( 4 ) 多晶体塑性细观力学： 1 9 3 8 年t a y l o r 首先提出了一个比较现实的模型，用以分析多晶体的应力 一应变关系，这种分析是基于单晶体塑性响应利用这些假设，t a y l o r 分析了 由大量任意定向的面心立方晶体所组成多晶体集合体在单轴拉伸情况下的应 力一应变关系和变形结构的发展。 林同骅3 0 1 对t a y l o r 模型提出了改进，提出了林同骅模型。t a y l o r 模型和 林同骅模型都未能考虑晶粒间的交互作用 k r o n e r 3 1 3 , a u d i a n s k y 和w u 3 2 1 提出了一种模型，他们利用著名的e s h e l b y 解以一种特殊的方法考虑了晶粒间的交互作用。在此之前，也有一些工作试图 考虑晶粒问的交互作用，但是这些工作未能满足微观应力和应变的体积平均等 于宏观应力和宏观应变的要求。但是k b w 模型满足了这个要求，因此该 模型被称为自洽模型。再后来h i l l 3 3 3 进一步完善了多晶体自洽模型。 ( 5 ) 晶体位错理论阱3 ；位错作为一种晶体缺陷，是人们从对于金属晶体 塑性变形的长期研究中推断出来的。 早在2 0 年代。科学家们就发现理想晶体的理论强度比试验测得的高出3 第一章绪论 个数量级，这就促使人们提出了晶体缺陷的设想，认为晶体滑移是位错运动造 成的 其中t a y l o r 在1 9 3 4 年提出了位错理论，他同时给出了第一个以位错问相 互作用为基础的加工硬化理论。1 以后经过4 0 年代至6 0 年代的蓬勃发展，位错理论成为研究金属晶体塑性 形变，断裂，疲劳和蠕变力学性质的微观理论的基础，对晶体的屈服强度，加 工硬化，本构关系，相交强化等现象作出了重要的物理解释。 1 3 本课题的研究目的和意义： 对于金属材料成形过程的模拟，如果未考虑显微结构的变化，就难以说是 充分的，现有的基于宏观连续介质力学的各种模拟方法，无论取得多么大的成 就，如果不能深入到金属内部，不能描述金属成形时微观组织的变化，就不是 一种完备的方法 研究宏观状态下材料的塑性成形机理，例如：本构方程，屈服准则，材料 可以看作由单一，均质，连续的质点组成。而在细观状态下，材料则是由晶体 组成。 对于研究材料微观结构的塑性成形的问题，碰到的问题首先是材料微观结 构下的晶体的初始位相分布情况，晶体的初始位相分布的模拟对于以后的力学 和运动学分析，以及本构关系的研究起着重要的作用，所以选择一个成熟且高 效的模拟方法，对于模拟晶体的位相至关重要 在搞清楚材料在细观状态下晶体的初始位相分布以后就是晶体发生塑性 变形时的几何学和运动学问题，这是为以后对晶体进行本构关系分析时的基 础，所以认清晶体在发生塑性变形时的主要运动机制晶体滑移机制，可以使 我们更清楚的认识材料塑性成形的本质。 而目前对于晶体滑移机制，大部分的学者还都是以t a y l o r 模型为基础研 究本构关系( 也可以采用位错理论研究本构关系) ，但是对于t a y l o r 模型中的 滑移机制，在国内外的科技文献中还没有比较详尽展开讨论与介绍e 本文丌展了对t a y o l o r 模型中的晶体滑移机制的研究分析，以深化人们对 晶体滑移机制的认识。 1 4 本课题的主要研究内容： 4 ； 山东大学硕士学位论文 本文首先介绍了利用计算几何学中的v o r o n o i 图对晶体的初始位相进行模 拟，并提出了进行模拟时所采用的相应的算法 对于晶体滑移机制中，对单晶体的运动学和和几何学的研究是研究晶体力 学的基础。文章首先介绍最基本的单晶体单滑移系滑移，随后介绍了单晶体的 多滑移系滑移，最后介绍了多晶体滑移系滑移。 本文的最后介绍了利用f o r t r a n 语言对晶体滑移机制系统进行数值模拟的 情况。全文主要内容安排如下： 第一章绪论，介绍晶体塑性成形理论发展的历史，现状，以及本课题的研 究意义。 第二章对晶体学基本知识作简要的介绍，为下面的晶体滑移所用到的知识 作简要的介绍。 第三章介绍了利用v o r o n o i 图的相关数学几何知识，并提出了模拟晶粒位 向的方法。 第四章提出了对晶体的初始位相进行模拟时所采用的v o r o n o i 图相应的算 法 第五章重点介绍单晶体单滑移系的启动后的滑移机制，单晶体多滑移系的 启动后的滑移机制，以及多晶体的滑移机制。 第六章介绍了利用f o r t r a n 语言对晶体滑移机制进行模拟的情况。 第七章是结论和展望。 第二章晶体学基本知识 第二章晶体学基本知识 2 1 晶体结构与空间点阵 晶体结构是指组成晶体的物质点在三维空间中作有规律的周期性的排列 方式。整个晶体结构可以看作是基本单元的周期性重复排列 为了研究晶体结构的一些共同的几何学规律，我们可以将晶体结构进行几 何抽象。抽象的方法就是把结构单元化成一个单纯的几何点。它们有规则的周 期性重复排列所形成的空间几何图形称为空间点阵。构成空间点阵的每个点称 之为结点或阵点 阵点在空间中以一定周期重复出现，我们可以用矢量形式来表达这种周期 重复的性质， t = m * a + n * b + k * c 其中a ，b ，c 是三个不共面的点阵矢量。 2 2 晶胞和晶系 空间点阵是一个三维空问的几何图形为了描写这个空间点阵，我们可 以在空间点阵中取出一个平行六面体，整个点阵可以看作是由这个平行六面 体在空间堆砌而成。我们称此平行六面体为晶胞。 晶体学中规定了晶胞选取要满足以下原则： ( 1 )充分反映空间点阵的对称性； ( 2 )在满足( 1 ) 的基础上，晶胞要由尽可能多的直角： ( 3 )在满足( 1 ) ，( 2 ) 的基础上。所选取的晶胞的体积要最小： 晶胞可以用三条棱边a , b ，c 和各棱边之间的夹角a ，b ，y 来描述。如图 所示，晶胞的三个棱边长度a ，b ，c 和它们之间的夹角a ，b ，y 称为点阵常数 或者晶格常数。 6 图2 - i晶胞 孚 山东大学硕士学位论文 法国晶体学家布喇菲1 8 4 8 年证明，按照上述三条原则来选择晶胞的空间 点阵，可以分为4 类： ( 1 )简单点阵仅在晶胞的8 个顶点上有结点。 ( 2 )体心点阵除8 个顶点外，晶胞中心处还有一个结点 ( 3 )底心点阵除8 个顶点外，在六面体的上，下平行面的中心处还各 有一个结点 ( 4 )面心点阵除了8 个顶点外，六面体的每个面中心都各有一个结点。 2 3 晶面指数和晶向指数3 卯 在空间点阵中，由点阵所组成的平面称为晶面连接晶体中任意原子列的 直线方向称为晶向。不同的晶面和晶向具有不同的原子排列和不同的取向。因 此材料的许多性质和行为都和晶向，晶面密切相关。为了研究和描述材料的性 质和行为，首先要设法表征晶面和晶向。 2 3 1 晶面指数( 密勒指数) 的确定 用三个数字表示的晶面指数也叫密勒指数，其确定步骤如下： ( 1 )选定参考坐标系，以晶胞三个棱边为轴，晶格常数a ，b ，c 为三 个轴的单位长度。 ( 2 )求被标定晶面在x ，y ，z 三个坐标轴上的截距( 所选晶面不通过 坐标原点) 。 ( 3 ) 取各截距的倒数。 ( 4 )将三个截距倒数按比例化为三个互质的整数h ，k ，l ；该晶面的密 勒指数用符号( h k l ) 表示。 如下图所示，分别表示分别为晶面( 1 0 0 ) ，( 1 l o ) ，( 1 1 1 ) 够圆圆 0 0 0 )( 1 1 0 ) 图2 2 晶面指数 第二章晶体学基本知识 2 3 2 晶向指数的确定 ( 1 )通过坐标原点作一条直线与晶向平行 ( 2 ) 将这条直线上任一阵点的坐标x ，y ，z 按比例化为三个互质的整 数u ，v ，w ，晶向指数表示为 u v w 。 图2 - 3 不同的晶向及其指数 例如图中的 1 0 2 点，它的坐标为l 2 ，0 ，1 。将这三个坐标点化为互 质的整数l ，0 ，2 ，那么晶向指数就是 10 2 2 4 典型金属的晶体结构3 6 3 晶体中的质点在空间中排列一般说来服从最紧密堆积原理。金属晶体一般 具有排列紧密，对称性高的简单结构。大多数金属具有面心立方，体心立方和 密排立方这三类晶体结构 2 4 1 面心立方结构( f c c ) 面心立方的晶胞如图，在每个阵点都有一个单原子点阵常数a = b = c ，a = b = y = 9 0 。，晶胞的大小可用点阵常数中的棱长a 来表示 在面心立方中原子排列的最密排面是晶面族( 1 1 1 ) ，包括( 1 1 1 ) ，( 1 1 1 ) ， ( 1 1 1 ) ，( 1 1 1 ) 。最密排的方向是( 1 1 0 ) ，包括 1 1 0 ， 1 0 1 ， 0 1 1 ， 11 0 ， 10 1 ， 0 1 1 晶向。 铜，银，铝，镍，铅等均具有面心立方结构。 山东大学硕士学位论文 图2 - 4 面心立方结构 2 4 2 体心立方结构( b b c ) 体心立方结构如图，每个顶角和体心位置有一个原子，点阵常数也以a 表示 体心立方中的最密排方向为对角线方向 在该方向上原子之间的距 离为0 。在体心立方中没有最紧密排列的晶面，次密排面为晶面族( 1 1 0 。 钒，钛，钽，钡等金属具有体心立方结构。 2 4 3 密排立方结构( h o p ) 密排立方的晶胞如图，晶胞为六棱柱体。 晶格常数以底面正六边形的边长a 和棱柱体高度c 来表示，a 却c ，o = 1 3 = 9 0 。y = 1 2 0 。晶胞内的三个原子位于z = e 2 处，它们在底面上的投影恰为 三个相邻等边三角形的中心位置 对于六方晶系，常常采用四轴坐标系，即在底面上加一轴0 x ，使其与 0 x 。，0 x ：均成1 2 0 。密排六方晶体最密排面为 o 0 0 1 ) ，最密排方向为 。 图2 - 5体心六方晶体密排六方晶体 1 2 9 第二章晶体学基本知识 2 5 滑移系的定义 实验观察表明滑移具有显著的晶体学特征，滑移通常沿着一定的结晶学平 面和结晶学方向发生。它不受外加负载的影响，而仅与晶体结构有关这一定 的结晶学平面称为滑移面，这一定的晶体学方向称为滑移方向。 一个滑移面及在其上面的一个滑移方向组成一个滑移系 对于面心立方晶体( f c c ) ，主滑移面为i i i ) ，而滑移方向为 ，有 四个( 1 1 1 ) 平面，每个( 1 1 1 ) 平面有三个 滑移方向，总共有1 2 个这样 的滑移系。 图2 - 6 单晶粒的滑移系 一 穗 奄砖、；礁义 倒*蒯城猫城蒯 属、黯夕涨。涨 。铡城蒯疑蒯城z 彪 涨、。涨涨涨 。彩 篡础敖碰敖膨 凇 7 够”芬 ， 1 、 图2 - 7由多晶粒组成的单晶体中的滑移系 当多滑移系发生滑移时，对于滑移系关于拉伸轴对称的情况，这多个滑移 系在拉伸轴方向上的剪应力的投影大小是相同的，那么我们认为它们在拉伸方 山东大学硕士学位论文 向上的滑移效应是一样的，正因为滑移效应一样，所以它们所需的最小滑移剪 应力是一样的。 2 6 极射赤面投影b 7 3 为了简单而明确的表示晶体中各个晶面的取向及其间的夹角等几何关系， 需要采用投影的方法把晶体的立体图形投影到平面上极射赤面投影是一种晶 体学中广泛采用的方法。 设想在一个很大的圆球中心，放置有一个晶体。这个圆球叫参考球，它的 直径比晶体尺寸大很多。从球心作各种晶面的法线，这些法线与参考球的球面 交点称为晶面极点。通过球心所作的晶向与参考球面的交点称为晶向极点。 球面上晶面极点的位置及相互关系反映了晶体各晶面的位向及相互关系。 如图，把通过球心的赤道平面作为投影面。把球面上任一极点与南极s 相连， 与赤道平面的交点即是该极点的极射赤面投影点。这样赤道平面上的每个点都 代表某个方位的晶面，也可以代表某个晶向显然投影点使得不同晶面的平面 角度关系得到方便的表示。 凡是通过球心的平面与参考球相交的圆都称为大圆。大圆的半径即为参考 球的半径。不通过球心的平面与参考球相交所截出来的圆称为小圆。 设想参考球面的半径为单位长度，则球面任意极点都可以用欧拉角由和p 表示。由图2 8 ( a ) 不难看出，极射赤面投影点的坐标为 x = s i n pc o s 由( i + c o s p ) ，y = s i n ps i n 由( 1 + c o s p ) 显然，通过南北极的平面与参考球相交的大圆上的极点的极射赤面投影在通过 圆点的直径上，该直径的几何方程是：y = x x t g 由 ( a ) 将晶体放置于投影面的中心 1 i l山l 】 獗： 第二章晶体学基本知识 - 。kx j 、 ( c ) 从投影法原理得到的标准圆一 图2 - 8 极射赤面投影 我们以面心立方晶体为例，设想参考球面的半径为单位长度的 0 0 1 1 极 射投影面，x 轴和y 轴分别指向 1 0 0 和 0 1 0 。图( d ) 上，面心立方体的 每个面被晶向线分割成8 个三角形区域。这个面心立方体的上半部分恰好有 2 4 个三角形区域，这2 4 个三角形区域是与 0 0 1 极射赤面投影图( d ) 上的2 4 个三角形区域对应的。 在极射赤面投影的每个三角形区域都对应一个滑移系例如：如图( d ) 中的 黑色区域，分别是f 0 0 1 1 ， 0 1 1 ， 11 1 组成的三角形区域与之对应的是极 射赤面投影图( e ) 中的黑色区域，当拉伸轴处于这个区域时，对应的滑移系a 三 启动。 臻 融 湃 1 0 却1 0 _ ( d ) 面心立方所含有的滑移系 一 ( e ) 极射赤面投影中对应的滑移系 2 7 晶粒方位的表示啪3 在问题的分析中，经常碰到两个坐标系，即( 1 ) 固定的笛卡尔直角坐标 山东大学硕士学位论文 系，也称为试样坐标系，用o x y z 表示；同时定义晶粒的局部坐标系，用o x y z 表示，其坐标轴方向分别是沿着晶体学方向 1 0 0 ， o l o ， 0 0 1 ，如图2 9 z 【0 0 1 】 一_ _ _ + 、7 图2 - 9 晶粒方位的表示 一- - - 一 这两个坐标系之间的相互取向关系可以用欧拉角p ，a ，0 表示由局部坐标 系到总体坐标系的转换矩阵为： 图2 - 1 0 局部坐标系和总体坐标系 闷一以以叭 l，也，q r l p，l = l l 1 j t r l 叫叫 呷肿 啤一 篡茹羞：誊| ：蓍 筹一 曩璺毗亳臣 第二章晶体学基本知识 2 8 变形梯度啪1 在连续介质力学中，把物体看作是物体点的连续致密集合物体点通常就 用它在参考构形中的位置x 表示物体在三维空间中所占的区域称为构形。 物体点随着时间在空问中移动。物体点x 在当前构形( 时刻t ) 的位置矢量x 将是x 和t 的函数 x = x ( ) ( t ) 这反映了不同物体点在不同时刻占有不同位置。 我们称x 为物体点的物质坐标，而x 为物体点空间坐标。因此x 只是物 体点的标志，它不会随着时间而变化。对于同一个物体点p ，只有一个x ，而 不同的物体点就用不同的x 来表示这好比是篮球场上的运动员，他身上运动 衣的号码是运动员的标志，在整个比赛中是不会改变的而运动员在篮球场上 的空间位置却在不断变化。 为了表示物体点的位置需要一个坐标系矗宅们将采用空间中固定的直角坐 标系来描写参考构形和当前构形中物体点的位置矢量。 我们一般选用初始构形作为参考构形，采用矩阵表示法表示矢量和张量。 也就是说用矢量在直角坐标系中的分量所组成的列阵表示矢量。用张量在固定 直角坐标系中的分量所组成的矩阵表示张量。 现在讨论物体点p 0 附近的变形 o 图2 1 1 初始构形和当前构形 设想q 。点是物体点p o 附近的点，变形后物体点p o ，q 。分别移至p ，q 点。 物体点p o ，q 。在初始构形中的位置向量为x 与x + d x 。在当前构形，这 两个点的位置矢量为x ，x + d x 略去i d x l 的二次以上项，于是得到 1 4 山东大学硕士学位论文 d x - = x ( x + d x , t ) - x ( x , t ) f d x 其中f 为变形梯度张量 f = 苏l a x 利用分量来表示上面的结果将更加清楚我们有 叔l = 瓠曩xk | a xk 变形梯度张量的分量是 k = 瓠k | 强k # x k x 变形梯度张量f 具有两个下标，一个下标属于当前构形，另一个属于初 始构形。因此，变形梯度张量f 是两点张量。 晶体滑移总的变形梯度f 可表示为 f - p f 式中p 表示晶格畸变和刚性转动所产生的变形梯度晶体受力作用后， 晶格必然产生畸变。 o 另一方面由于变形协调的要求和晶粒边界的约束，晶格也会产生刚性转 动。，则表示晶体沿着滑移方向的均匀剪切所对应的变形梯度应该着重指 出，从微观角度去观察，滑移变形是很不均匀的，在两个滑移带之间的晶体是 不变形的。但从细观角度来看，在晶粒内部有大量的平行滑移带，所产生的宏 观效应可以看作是均匀的 图2 - 1 2 变形梯度的分解 图2 1 2 给出了晶体变形几何学的清晰图像。从图上看出，当晶体滑移时， 晶格矢量并木发生变化，而当晶格畸变时，晶格矢量将发生伸长和转动。 第二章晶体学基本知识 设想滑移变形前第k 滑移系滑移方向的单位向量以小表示，滑移面的单 位法向量为矿 晶格畸变后，滑移方向将变为m “， 历= p 而滑移面的法线方向将变为1 ” 疗= ( f k ) 7 矿 应该指出，滑移系两个要素的选择是不唯一的上两个式子的定义在有限 变形中的分析中具有应用方便的优点可以直接证明，加叶与矿依然正交， 但是它们一般不再是单位矢量。 2 9 本章小结 本章主要介绍了晶体学的基本知识，其中涉及到：晶体结构与空间点阵，晶 胞和晶系，晶面指数和晶向指数，典型金属的晶体结构，滑移系的定义，极射 赤面投影，晶粒方位的表示，变形梯度等。这些是理解晶体塑性成形理论的基 础。 1 6 山东大学硕士学位论文 第三章晶粒的初始位相4 0 儿4 1 4 2 3 多晶材料中的晶粒都是不规则的多面体结构，而目前所得到的各种金相图 片都是二维的平面团，因为金相面是随机获得的，所以可以认为它代表了晶体 平面结构的一般特征，本文采用二维v o r o n o i 图模拟晶粒的二维结构初始位相 图。 v o r o n o i 图是俄国数学家g v o r o n i 最早发现的，自十七世纪以来，其应用 范围己涉及数学、物理、生态环境等多个领域，把v o r o n o i 图用于晶粒的初始 位相模拟在国外已经得到了广泛的应用。 3 1 平面点集的v o r o n o i 图 关于平面点集的v o r o n o i 图可以由一个例子来说明：假设在一长方形区域 内有两个晶核，为了确定晶核均匀生长后所形成的晶界范围，如图3 - 1 ( 1 ) 所示，只需要连接p l 、p 2 两点并做出他们的垂直平分线就可以了；把数量扩， 大到三个晶核，如图( 2 ) 所示，做出p 1 p 2 ，p 2 p 3 ，p i p 3 的垂直平分线，三 者取交点或是做出p i p 2 ，p 2 p 3 的平分线。按照同样的原理无限增加晶核的数 。量就得到了平面点集的v o r o n o i 图，也就是晶核均匀生长后的晶界图。 ( 3 ) 图3 - 1 平面点集的v o r o n o i 图 ( 2 ) 第三章晶粒的初始位相 3 2v o r o n o i 图的几何性质 考虑二维情况，对于平面域上离散分布、互不重合的有限点集( p 。) 。可 得到对平面域唯一的划分v o r o n o i 图是一个开的凸多边形，其边界由与节 点p 。相邻的节点之间的垂直平分线决定。由此得到的非结构网格就是基于 v o r o n o i 的非结构网格，一般称之为v o r o n o id i a g r a m 。将相邻( 即具有共同边 界) v o r o n o i 图的中心节点多p ，相连所得到的三角形称为d e l a u n a y 三角形 所得到的三角形网格称为d e l a u n a y _ 三角剖分 所以，我们可以先对有限点集( a ) 进行d e l a u n a y 三角剖分，然后再作出 v o r o n o i 图。 v o r o n o i 图几何性质： ( 1 ) v o r o n o i 多边形的每条边是( p ) 中某两点连线的垂直平分线而这 些点的连线只要不在一条直线上，就构成t d e l a u n a y - - - 角剖分。 ( 2 ) n 个点的点集( p ) 的v o r o n o i 图至多有2 n - 5 个顶点和3 n 一6 条边。 ( 3 )每个v o r o n o i 点恰好是三条v o r o n o i 边的交点。 ( 4 )任意d e l a u n a y _ 三= 角剖分中的d e l a u n a y - - 角形的外接圆不包含其他 的p 。点。 ( 5 ) 点集( a ) 中的每一个最近邻近点确定v o r o n o i 的一条边 ( 6 ) 点集( 只) 中，其中一点乃是关于a 的最近邻近点，那么线段p 。p 是点集( a ) d e l a u n a y _ 三角剖分的一条边。 图3 - 2v o r o n o i 图与d e l a u n a y 三角剖分 山东大学硕士学位论文 3 3 晶粒位向的确定 v o r o n o i 图只能用来模拟晶核的初始数目和位置，但是对于晶粒的位向， 则无法模拟。由于晶粒的位向具有很大的随机性。所以本文利用生成随机数的 方法确定晶粒的位向。 将一个晶粒的平面区域看作从o 开始旋转到3 6 0 。，划分为n 个区域，例 如：以3 6 。为一个区域，划分为1 0 个区域，那么利用编程的方法，生成i 到 1 0 之间的一个随机整数，这个随机数乘以3 6 方向就可以作为晶粒的x 轴方 向，y 轴为x 轴方向的角度加上9 0 。 例如，将平面区域划分为l o 个区域，其中该晶粒生成的随机数为4 ，那 么该晶粒的x 轴方向3 6 。x 4 = 1 4 4o ，y 轴为x 轴方向的角度加上9 0 。图3 3 如下： x 1 4 4 图3 - 3 晶粒位向图 下面以含有4 个晶核的平面区域，