（核技术及应用专业论文）紧凑等离子体环与靶碰撞产生x射线辐射的数值模拟研究.pdf

国防科学技术大学研究生院学位论文 摘要 本文应用辐射流体力学( r h d ) 模型对高速度、高密度的紧凑等离子体环( c t ) 撞击 理想静态靶减速产生软x 射线辐射的物理过程进行数值模拟。 本文在不考虑磁场影响情况下，引入r h d 方程组和状态方程、人为粘性以及相关物 理参数来描述c t 与靶碰撞的物理过程。鉴于r h d 方程组中各物理量的强耦合关系，文中 采用了分裂格式方法，将能量交换项和热传导项、压力做功项分开考虑，大大减少了计算 量：r h d 方程组中能量方程的求解，文中采用了追赶迭代的方法。 以a r 等离子体材料为例，首先分析了流体密度对时间步长的影响，得到流体密度越 大，所取的时间步长就越小；然后讨论了当辐射场温度高于电子温度时时间步长过大引起 电子温度畸变的问题，提出了细化时间步长的解决办法，得到了很好的效果。 通过计算一组算例描绘了碰撞过程中流体各个位置的电子温度、离子温度和辐射场温 度及密度、速度随时间的演化趋势，以及辐射功率随时间的变化关系，对物理过程作了深 入分析：通过对能量的跟踪分析得到在l 的误差范围内满足能量守恒，说明本文所采用 的计算格式是稳定的。 最后，文中讨论了流体初始质量和速度对辐射产额的影响，固定质量、速度和动能中 的任意一个物理量，研究其它两个物理量对碰撞物理过程的影响。当流体速度低于一定值 时，流体密度过大，会导致辐射塌缩，也就是说，辐射将会在瞬间完成，无法成为有效的 辐射源；而当流体速度高于发生辐射塌缩的速度时，流体速度越小，密度越大，产生的辐 射产额越多，可以成为一个有效的辐射源。 关键词：紧凑等离子体环、辐射流体力学、三温方程、辐射功率、辐射产额 第i 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 a b s t r a c t t h ep h y s i c a lp r o c e s so ft h ec tc o l l i s i o nw i t ht h ei d e a ls t a t i cw a l li si n v e s t i g a t e di nt h e p a p e rb yr e s o l v i n gt h er h de q u a t i o n sn u m e r i c a l l yw i t h o u t c o n s i d e r a t i o no f t h em a g n e t i ce f f e c t s t h eu s a g eo ft h e s p l i t t i n gt e c h n o l o g y t oa n a l y s i st h ee n e r g yc o u p l i n gi t e ma n dt h eh e a t c o n d u c t i o ni t e ms e p a r a t e l ym a k e st h en u m e r i c a lc a l c u l a t i o nm u c hs i m p l e r a ni t e r a f i v em e t h o d i sa l s oi n t r o d u c e dt or e s o l v et h ee n e r g ye q u a t i o no f t h er h di nt h i sp a p e r t h ei n f l u e n c eo ft h ea 1p l a s m ad e n s i t yo nt h et i m es t e pl e n g t hi sp r e s e n t e di nt h ep a p e r ， w h i c h s h o w st h a tt h el a r g e rt h ed e n s i t yi s ，t h es m a l l e rt h et i m es t e pl e n g t hs h o u l db e t h e n , a d e t a i l e dd i s c u s s i o no ft h ea b e r r a n c eo ft h ee l e c t r o nt e m p e r a t u r ed u et ot h eh i g h e rr a d i a t i o n t e m p e r a t u r e ，w h i c hm a k e st h et i m es t e pl e n g t he n o r m o u s l yl a r g e ，i ss t u d i e d , a n da l la l t e r n a t i v e t i m es t e pl e n g t hi si n t r o d u c e dw h i c hs h o w sa g o o dr e s u l t t h e p h y s i c sp r o c e s s e s ，i n c l u d i n gt h et i m ed e p e n d e n te l e c t r o nt e m p e r a t u r e ，i o nt e m p e r a t u r e ， r a d i a t i o nf i e l dt e m p e r a t u r e ，d e n s i t y ，v e l o c i t ya n dr a d i a t i o np o w e ri na r b i t r a r yl o c a t i o n ，a r e s t u d i e dt h r o u g hac a l c u l a t i o ne x a m p l ep r o v i d e di nt h ep a p e r t h er e s u l ts h o w sa l le n e r g y c o n s e r v a t i o no f t h ec a l c u l a t i o nw i 血a ne r r o ro f l l 0m o r et h a n1 ，w h i c hm e a n sas t a b i l i t yo f t h e s i m u l a t i o n f i n a l l y ，t h er e l a t i o n s h i po ft h ep r i m a r yp l a s m am a s sa n dv e l o c i t yw i t ht h er a d i a t i o ny i e l di s p r e s e n t e di nt h ep a p e r ，ar a d i a t i o nc o l l a p s ew i l lo c c u rw h e np l a s m av e l o c i t yi ss m a l l e rt h a n c e r t a i nv a l u e ，w h i c hm e a n st h a tt h er a d i a t i o ns h r i n k si n s t a n t l y ，t h u sc a nn o tb eu s e da sa r a d i a t i o n s o u r c e ；o t h e r w i s e ，w h e np l a s m av e l o c i t yi sh i g h e rt h a nt h ee x a c tv e l o c i t yc u t ，t h es m a l l e rt h e p l a s m av e l o c i t ya n d t h eb i g g e rd e n s i t y ，t h em o r et h er a d i a t i o ny i e l d k e yw o r d s ：r a d i a t i o nh y d r o d y n a m i c s ，c t ，t r i - t e m p e r a t u r ee q u a t i o n s ，r a d i a t i o np o w e r , r a d i a t i o ny i e l d 第i i 页 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获得国防科学技术大学或其它教育机构的学 位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文 中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文题目： g 鉴瓷笠煎i 篮巫量望焦撞芒生! 魁堡堑牡鲍塑焦搓越壁究 学位论文作者签名：量篮堕日期：埘多年，月肛目 学位论文版权使用授权书 本人完全了解国防科学技术大学有关保留、使用学位论文的规定。本人授权国 防科学技术大学可以保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子文档，允 许论文被查阅和借阅；可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文 ( 保密学位论文在解密后适用本授权书。) 学位论又题目： 竖凌笠壹签坚生塾壁撞主垒l 数熊堑数鳗熬焦搓型叠塞 学位论文作者签名 作者指导教师签名 主棠涛 日期：二坤占年s 月2 日 日期：砌f 年，f 月r r 日 里堕型兰垫查奎兰堕茎竺堡兰垒堡茎 第一章绪论 紧凑等离子体环( c o m p a c tp l a s m at o r o i d ) 的概念最早是由a l f v 6 n 、l i n d b e r g 和m i t l i d 在1 9 5 8 年提出的。如图1 1 所示，紧凑等离子体环( c t ) 由其内部电流所产生的环向磁 场和极向磁场约束，处在w o l t j e r - t a y l o r ( w - t ) 稳态，使得c t 可以被稳定的压缩和加速， 因此它可以具有高密度和高速度。 尹 图1 1z 紧凑等离子体环的几何构型和磁场分布 c t 的概念提出之后，美国就着手相关方面的研究，比较突出的有l o sa l a m o s 国家实 验室( l a n l ) 、马里兰大学、l a w r e n c e l i v e r m o r e 国家实验室( l l n l ) 和美国空军的p h i l l i p s 实验室等；日本在上世纪9 0 年代也开展了相关研究，并取得了一定的成果；国内研究尚 处于起步阶段。 c t 最早是作为聚变的驱动源而产生的，这仍然是目前国内外研究c t 最主要的目的， 此外c t 还可以作为软x 射线源、高功率微波源和等离子体开关等等。而高速度、高密度 的c t 与理想静态靶碰撞减速可以产生高能量、高功率的x 射线辐射，可以作为武器效应 试验、惯性约束核聚变试验以及武器物理试验的能量源，尤其是作为武器效应试验的x 射 线源“一本文研究的内容就是对高速度、高密度的c t 与静态靶碰撞减速产生x 射线辐 射的物理过程进行数值模拟【5 叫，国外特别是美国在这方面取得了一系列成果。 l a w r e n c el i v c r m o r en a t i o n a ll a b o r a t o r y 在上世纪八十年代初期所进行的r a c e 工程： 其中m g e e 等人在一维( 只有环向磁场) 情况下，辐射输运利用多群通量的限流扩散， 并利用非局域热力学平衡原子物理模型，允许辐射传输进( 但不能穿越) 壁墙，对物理过程 第1 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 进行模拟。 p h i l l i p sl a b o r a t o r y ，h i g he n e r g yp l a s m ad i v i s i o n ，k i r t l a n da i rf o r c eb a s e ，n e wm e x i c o 在上世纪九十年代初期所进行的m a r a u d e r 实验及其模拟研究： 其中m r d o u g l a s 等人在局域热力学平衡模型和理想壁墙假定下，辐射传输利用非平 衡灰体辐射能通量的限流扩散，在二维情况下对物理过程进行分析；d d i e t z 等人在一维情 况下，假定壁墙是理想刚性的，不能进行热传输和辐射输运，且磁场仅在极小范围内传输 ( 即可认为是严格环向磁场) ，利用辐射磁流体力学方程组程序l a s n e x 和非局域热力学平 衡原子模型软件包x s n q 对物理过程进行模拟分析；m r d o u g l a s 考虑了高原子序数材料 的紧凑等离子体环情况，在非平衡辐射能通量的限流扩散和局域热力学平衡模型近似下， 利用2 1 a 维磁流体力学方程组程序m a c h 2 对物理过程进行模拟分析。 ， ； 垂 - ， | “ z 圈1 2 t 一维数值模拟的理想几何模型 如图1 2 所示：用高速度、高密度的c t 撞击静态靶，在撞击之前c t 动能主要由离子 携带，c t 温度相对较低；碰撞压缩使得c t 受热，c t 动能转化为离子热能，而离子热能 通过电子与离予相互作用交给电子，此时c t 温度很高且高度电离，高能电子通过电子跃 迁( f - f , f - b ，b - b ) 产生光子并释放出来，产生x 射线。 数值模拟研究c t 撞击静态靶减速产生x 射线辐射物理过程的主要目的具体来说就是 搭配c t 质量和速度以优化辐射产额。动能占据着c t 能量的绝大部分，而这一部分能量 主要有离子携带，c t 撞击靶受阻减速压缩，离子动能将转化为离子热能，然后通过电子 与离子能量交换和电子与辐射能量交换将热能最终转化为辐射能，从而达到一定的应用目 的。c t 的速度、质量，密度、几何形状、磁场强度以及c t 的材料等因素都会影响到辐射 的产生。数值模拟c t 撞击静态靶的物理过程需要求解辐射流体力学方程组，上面提到的 第2 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 因素以及组成c t 的各种成分的温度就是求解这些方程组的初始条件。 本文以a r 等离子体材料为例，应用辐射流体力学( r h d ) 模型对高速度、高密度的 紧凑等离子体环( c t ) 撞击静态靶减速产生软x 射线辐射的物理过程进行数值模拟。在 不考虑磁场影响情况下，并假定静态靶是理想的，没有热扩散和辐射扩散，引入局域热力 学平衡假设下的h i ) 方程组，其中辐射输运采用限流扩散近似。为消除激波产生的间断 解，r h d 方程组中引入了人为粘性项，并给出数值求解所需的状态方程和定解条件。鉴于 一维问题的流体流团可看作是“有序”的，本文将采用纯l a g r a n g e 方法“”。对于r h d 方 程组，将采用分裂格式方法把能量交换项和热传导项、压力做功项分开考虑，以减少计算 量；而r h d 方程组中能量方程的求解，则采用追赶迭代的方法。 最后，论文将对流体质量和速度对辐射产额的影响作详细的分析，并讨论在动能和体 积相同时产生辐射塌缩的速度，找出产生最大辐射产额并可以作为有效辐射源的最小速度 以优化辐射产额。 如不特殊声明，本文均采用如下单位：质量单位为k g ，长度单位为m ，温度单位为 1 0 6 k ，能量单位为j ，时间单位为s 。 第3 页 里堕型兰垫查奎堂笪茎竺堕堂垡丝奎 第二章紧凑等离子体环与靶碰撞产生x 射线辐射的物理模型 描述c t 与静态靶碰撞物理过程的数学模型中，r h d 方程组是基本的组成部分，物理 过程需要考虑的其它机制，可以在r h d 方程组的基础上，再加上别的方程，诸如状态方 程、人为粘性项等。这样，在给定初始条件和边界条件以及相关的物理参数下，可以数值 求解r h d 方程组，以了解碰撞的物理过程。 在非平衡的等离子体中，电子温度、离子温度和辐射场温度处于分离状态，电子、离 子近似处于各自的m a x w e l l 分布，因此电子和离子的能量方程可以表示为关于电子温度和 离子温度的方程；而假设辐射场服从温度为辐射温度瓦的p l a u c k 分布，对光子的能量传输 方程限流扩散近似并对频率积分得到关于辐射场温度的方程，这就是通常我们所说的三温 方程，三温方程中包括了压力做功项、消除间断解的人为粘性项、热传导项和电子与离子 以及电子与辐射场之问的能量交换项。 2 1 辐射流体力学方程组 在核爆炸、激光惯性约束核聚变、高能强流粒子束与物质相互作用、高速碰撞、x 射 线辐照材料等物理过程中，一般会产生高温高压非平衡条件，物质变成等离子体( 可压缩 的流体) 我们知道，可压缩流体的运动行为遵循流体动力学规律，其密度、速度以及温 度随时空的变化满足质量、动量和能量守恒方程。 但是，在高温高压非平衡条件下，流体物质既发射光子( 物质的能量转化为辐射场能 量) 又吸收光子( 辐射场能量转化为物质的能量) ，而物质对光子的发射与吸收并不平衡， 因而，高温流体物质中一般有辐射场存在。一方面，辐射场对流体力学运动行为起着重要 的作用( 例如，辐射光子能流将加热流体物质使物质温度升高，内能增加，辐射压强会推 动流体物质运动使物质动能增加) ，物质的力学状态直接受到辐射场的影响；另一方面， 有关辐射场的物理量随时空的变化需要求解辐射输运方程才能得到，辐射输运问题与物质 的力学状态密切相关，流体物质的温度密度对其中的辐射场的分布、辐射输运将产生重要 影响。因此，在高温高压条件下，辐射输运问题与物质的流体力学运动问题是相互依存、 彼此耦合的，流体力学方程组中必须含有辐射场的贡献。 计及辐射能量密度、辐射能流和辐射压强对流体运动影响的流体力学方程组称为辐射 流体力学方程组。 第4 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 2 1 1 描写流体运动的两种方法“” 通常，描述流体流动的方法有两种，一是e u l e r 方法( 或e u l e r 观点) ，二是l a g r a n g e 方法( 或l a g r a n g e 观点) 。 e u l e r 方法研究流体的运动采用的是场的观点，它所研究的并不是运动流体本身，而是 充满流体的实空间( 场) 此空间( 场) 可以全部被流体充斥，也可以部分被流体充斥。 如果我们把所研究的( 充满流体的) 实空间分成许多的空间网格，把所研究的流体物质分 成一个个流体质团，则e u l e r 观点认为空间网格是固定在空间不动的，网格形状也是保持 不变的，而流体质团则是运动的，它可以从一个空间网格运动到另外一个空问网格。一个 空间网格上某时刻由一个流体质团所占据，另一时刻则被运动到该网格的另一个流体质团 所占据。 与e u l e r 方法不同，l a g r a n g e 方法则是研究运动流体本身。该方法将所研究的流体在 初始时刻的位形分成一个个流体质团( 所有流体质团构成所研究的流体) ，从中任意选定 一个流体质团，研究其对应的力学量随时间的变化规律。由此可见，对流体的l a g r a n g e 描 述方法类似于力学中对多粒子系统的描述方法，不过，流体质团的几何形状是随时间变化 的。 因此，与e u l e r 方法相比，l a g r a n g e 方法不存在固定在空间不动的网格。要说有网格， 那网格就是流体质团形状在实空间的位形映射，流体质团的运动就是网格的运动。网格( 或 质团) 在运动过程中会随时改变形状，形状的改变遵从质量守恒定律。 e u l e r 方法和l a g r a n g e 方法之间的相互转换详见附录a 、附录b 。 2 1 2 三温辐射流体力学方程组 非定常辐射流体力学方程组“。为： 连续性方程；粤+ 品：0 ( 2 1 1 ) 动量守恒方程：p 詈= - v ( p l + 见+ 鲰+ g ) ( 2 1 2 ) 离子能量方程：p 鲁= 一( 乃+ g ) v 磊+ v ( 峰v 互) + 。 ( 2 1 3 ) 电子能量方程：p 鲁= 一见v 磊+ v ( 蜂v t ) 一西d 一积 ( 2 1 4 ) 辐射场能量方程：筝：一昙乓v 夏+ v ( 嘞v 乓) + 硪 ( 2 1 5 ) o tj 第5 页 其中： p 为质量密度；玉为流体速度；为比内能，即单位质量电子、离子的内能，b 为 单位体积光子的能量；见j 且为电子、离子和辐射压力，g 为人为粘性；互矗为电子、离子 和辐射场的温度；崖0 j 为电子、离子和辐射场的热传导系数；中。为电子与离子之间的能 量交换项，o 。为电子与辐射场之间的能量交换项。 数值模拟流体力学问题与坐标系的选取有重大关系，e u l e r 坐标系和l a g r a n g e 坐标系 都各有优缺点。但一维问题的流体流团可看作是“有序”的，一维l a g r a n g e 方法可以得到 较好的效果。 在l a g r a n g e 坐标系下，定义质量坐标 m = r p ( 善，彬 即某一流团的l a d a n g e 坐标m 用该流团e n l e = r 坐标z 到边界z = 0 间的总质量来定义。 因此，在i a g 翰n g e 坐标系下，一维平面对称坐标系下的三温辐射流体力学方程组可表 示为以下形式”1 ： 运动方程詈= “ ( 2 1 6 ) 连续性方程；娶：一1 ( 2 1 7 ) o m p 动量守恒方程：i o u = 一兰【见+ p s p s + 纨+ g 】 ( 2 1 8 ) 动量守恒方程：瓦2 一磊【见+ + 纨+ g j ( 2 l8 ) 电子能量方程q 鲁一见詈一等吨呜 ( 2 1 9 ) 离子能量方程q 鲁= 一( 只+ g ) 等一等峨( 2 1 1 0 ) 辐射场能量方程：矿强w - = 一j 4 e 百o v 一等+ y ( 2 1 1 1 ) 其中： c 0 为电子、离子和辐射场的定容比热，即 吒= 昙饥巳= 要帆 ，珥分别为单位质量电子、离子数密度。 第6 页 里堕登兰垫查查兰婴窒生堕兰堡兰奎 y = 1 p 为比容，即单位质量流体物质所占的体积； f “皿为电子、离子和辐射场的热传导流，即 砧- - 一, 面越- 矗一哟鲁属= 一鲁。 2 2 状态方程 对于高速度、高密度的c t ，可采用理想气体状态方程。 离子状态方程： q = 兰q 蝎 电子状态方程： 乞= 吾蝇 a = n , p k r , 1 7 , = n p k r 假设辐射场服从温度为辐射温度矗决定的p l a n c k 分布，则有辐射场状态方程： 乓= 露 风= 孕 ( 2 2 3 ) 其中：是s 呦常数，= 鲁雾；。 2 3 三温方程中的热传导流 通常电子、离子的热传导流是按照经典的s p i t z e r - h a r m 理论给出，即“4 ( a ) 电子的热传导流 f e = 一k v ( b ) 离子的热传导流 f l = 一茸v 互 其中葺为离子的经典热传导系数。 ( c ) 利用辐射能流的灰体近似得到“” 曩= 绉孙哪嘞) + ； 掣 ， ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) 第7 页 巧嗍吲t 一) 一故掣卜 但s = 巧一巧 ( 2 3 5 ) 在光厚条件下，( 2 4 3 - 2 4 5 ) 变为 彤= 叫+ 2 ，1 1 b ( a 盯，t 4 ) ， 组3 巧时吖3 i , 蚓a r ， 汜s m 耻可一巧= 一嘉蚓= 一号嘛( 马) v ( 州一咱呱( 2 s 8 ) 即空间某点的辐射能流e 趋近扩散近似 故：辐射场的经典( 扩散近似) 热传导流： i r = 一k 5 ，e a 式中酶为辐射场的经典( 扩散近似) 热传导系数。 c h 2 ：一 5 p z r 其中是r o s s e l a n d 不透明度。 ( 2 3 9 ) 严格来讲，辐射扩散的数学处理只有在光学厚( 即吸收系数大，扩散系数小) 的介质 中才使用，否则会出现非物理的超流现象( 即当吸收系数很小而扩散系数很大时计算出的 辐射能谱通量的数值大于能通量的最大允许值疆。) ，故采用辐射能流的扩散方程计算辐 射能通量时需要引入限流因子。 在光薄介质中，秭是个小量，为了避免辐射输运的速度超过光速，加入修正项 i v e , , i i s e , , + l 出，d z 是网格长度。从而，限流扩散近似下的辐射热传导系数： c 2 3 p z + 1 w i e r + l 如 第8 页 2 4 三温方程中的能量交换项 2 4 1 电子一离子能量交换项“。 卟紫祷 汜4 1 ) l 鸭 i p l p l tj 库仑对数l n a = l n 警； 德拜长度如= 后t t z 肌p 2 ( 1 + z ) ； 2 4 2 电子辐射场能量交换项“。 电子与辐射场的能量交换主要有三种机制的贡献，即轫致辐射( ) 、光电复合发射 ( f l , ) 和谱线发射( 6 6 ) 。 西。= 砟 巧一最 ( 2 4 2 ) 右边第一项是物质自发辐射的功率密度，第二项是物质对光能的等效吸收功率密度，屁为 2 5 人为粘性 由于流体力学方程组不论初始或边界条件如何光滑都可能产生间断解( 例如冲击波、 接触间断等) ，因而在对流体运动进行数值计算时，必须考虑如何计算间断解的问题。 为达到使间断解平滑化的目的，v o nn e u m a n n 和r i c h t m y c r 首先提出在流体力学方程 中加上人为粘性项，取得了很好的效果。 构造人为粘性的基本思想“”可归纳为三点： ( a ) 在动量方程和能量方程中加入人为粘性项，这样就在流体力学运动中引进了某种 人为的耗散机制，使得在冲激波面上的间断解变成一个在相当狭窄的过渡区域内急剧变化 第9 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 的，但却是连续的解。 这样，在数值求解时，不必对间断解作特殊处理，可使整个求解区域为解的连续光滑 区域，用统一的差分格式进行计算。产生耗散机制的做法通常是这种项必须具有对空间的 二阶微商。 ( ”由于人为粘性项是外加到方程中去的，因此要求在激波过渡区域以外，人为粘性 项对计算结果影响不大，这样就可以完全不考虑冲击波的形式和传播，而且在激波过渡区 两侧的力学量还可以近似的满足间断条件： ( c ) 激波过渡区的范围应限制在几个空间步长以内，随着计算的进行这个过渡区不会 扩大，而且过渡区移动的速度应逼近真实的激波速度。 v o n n e u m a m l 和r i c h t m y e r 首先在一维l a g r a n g e 坐标系的方程中引进人为粘性项，较 好的满足了这些条件，即： g ：m 筹，鲁 0 其中：，是一个常数，具有长度的量纲，一般写成6 & 的形式，& 是步长，b 是按照具体 计算要求事先选定的无量纲常数。 在压缩区域内，i g u o 。因此，y o nn e u m a n n - r i c h t m y e r 人为粘性项是实实在在加在压缩区域内，这是合理的，因为冲激波都是出现在压缩区域内 的v o nn e u m a n n r i c h t m y e r 人为粘性项加入流体力学方程中，出现了窘的项，且系数 的符号为正( 该项在方程右端) ，因此为耗散项，这就满足了基本思想( a ) 的要求。 n - r 粘性是非线性的二次粘性，在大多数情况下满足上面所提到的对粘性的三点要求， 计算出来的图像也是正确的，但是在反射边界处( 例如：固壁边界附近，或者冲击波从轻 介质到重介质时与接触间断相互作用处) 加上n - r 粘性后计算所得的结果，能量和密度会 出现不太准确的图像。另外，b 是一个可调节的参数，它的大小与过渡区域宽窄有重大关 系。b 取得过大，是过渡区过宽，将冲击波抹平的太光滑，这就使得波后的震荡也不能完 全消除，从而影响计算精度；b 取得过小，使过渡区过窄，容易造成计算不能进行下去。 选取6 ，往往是根据经验，通常取b 一2 ；但也要具体闯题具体分析，不可一概而论，本文 取b = 1 0 2 0 第l o 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 2 6 定解条件 i ) 初始条件： t = 0 时，r - - r o p ) ，- - - - 1 2 0 ，p = p o ，z = ，霉- - t , o ，品- - 5 0 ； i i ) 边界条件： 非碰撞边界采用自由边界： p i + p t + p r + q = 0 瓦= o b i 鲁= 呖a t , = 。 融 嘎即；鲁= 三嗥 碰撞边界采用固壁边界： = 0 f e j , r - - - - o 即：，a a z t , = k 鲁= 卺= o 第l l 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 第三章一维三温辐射流体力学方程组的数值解法 三温方程中含有带间断的热传导系数，存在着电子与离子、电子与辐射场的能量交换， 这些物理量与物质的密度、温度和原子参数有关，有较强的刚性，因此必须采用强隐式格 式。 对于三温方程的有限差分解法可以考虑两种格式，即隐式格式整体迭代解法和分裂格 式解法。一般情况下采用整体迭代的方法，而我们所研究的物理问题中，各种物理量之间 具有很强的耦合关系，公式复杂，计算量大，所以我们将采用分裂格式，也就是把三温方 程中描述电子与离子、电子与辐射场之间的能量交换项与热传导项、压力做功项对温度变 化的影响分开考虑。 3 1 网格划分与变量定义 一维问题的流体流团可看作是“有序”的，可以采用l a g r a n g e 方法。在l a g r a n g e 时 空坐标( z ，f ) 内，采用正交不等步长差分分割( 矩形网格) ，得到网格点( 乃，) 。其中，空 间区域用节点，毛，乃分为，个网格；时间区域用时间节点( ”= 0 , 1 2 ) 离散( 如图3 1 所示) 。 j - l 2 j j + v 2 j + l 围3 # 一维l a g r a n g e 时空坐标( 毛，) 内的网格划分 空间步长为a z j + i ，2 = 铂一乃 一甜 h z f m a 月z 汐 第1 2 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 时间步长为厶。= + ，一乙 记z j + 1 1 2 = 乃+ 吾钙+ 啦，i n + l 2 + 寻+ i ，： 奶= 寻( 屿+ ，：+ 屿。) ，馘= 丢( ，2 + 叱，：) 网格量作非一致的配置，具体为： l 、流体质团的速度甜的离散值取在空间网格整点、时间网格半点，u ( z j ，。，：) 一d “n ，刈2 ； 2 、流体质团的e u l e r 坐标z 、热流量f 及l a g r a n g e 坐标z 的离散值取在时、空网格的整点， z ( z j ，) = z ? ，f ( 乃，) = f ；，z ( z j ，厶) = 巧； 3 、人为粘性g 取在时、空网格的中心，q ( z j + 1 2g - l 2 ) = 唰嚣； 4 、质量密度p 、温度? 及质量坐标搠取在空间网格半点、时间网格整点，p ( z j + i ，2 ，) = p n ，2 ， 以乃+ l ，2 ，厶) = 鲸l ，2 ，t ( z j + l 2 ，厶) = 臻l ，2 ，m ( z j + 1 1 2 ，厶) 一1 n + 1 ，2 ：进而有第j + 1 2 个网格的质量 为+ 啦= p o g + 一乃) ，第_ ，个网格的质量为叶= ( 舭+ 一邮) 。 这种非一致的网格量配置，目的是为了尽可能达到统一的差分离散逼近精度，以及循 环可解。 3 2 一维三温辐射流体力学方程组的差分格式 征3 1 划分明网格甲，流体力学万程组的差分格式“”为： 动量守恒方程的差分格式 旷：旷一逝n 坚n 型- - i 2 等n 盛n - i 2 小垅少t 运动方程的差分格式： 等吖弘刁+ m “帕小o ，1 ， 连续性方程的差分格式： ；等伊，川 人为粘件的蒡分格式： ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) ( 3 2 3 ) 第1 3 页 gn，+l+l，1：2：纛“pn+ll“一蟛+i2j2，j1。n“+l”s巧“”，：o，1，-，一l(324) 1 0，当“n ，+ + i l n u 7 “2 三温方程( 2 1 9 - 2 1 1 1 ) 中含有带间断的热传导系数，存在着电子与离子、电子与 辐射场的能量交换，这些量与物质的密度、温度和原子参数有关，有较强的刚性，因此必 须采用强隐式格式，我们采用全隐式差分，得到全隐式的三温差分方程组，形式如下： 电子能量方程的差分格式： 牡警1 = 碥挚一去( 稼一列) 一毗邮一哟舭( 3 力5 ) 离子能量方程的差分格式： 毪挚= 一+ 稚) 一去瞬一硝) + 。嚣班 ( 3 卫6 ) 辐射场能量方程的差分格式： 兰羔茜j j ：竽= 。p 警一i i ( - 淼一- - n + 1 ) + 。端舭( 3 2 7 ) 式中一f l + - = 高笋，三代氟；倒，1 卢1 弥捌乎 可见，我们所研究的物理问题中，各种物理量之间具有很强的耦合关系，公式复杂， 计算量大，所以我们将采用分裂格式使强耦合方程退耦，进而得到耻d 方程组的数值解。 三温方程的分裂格式解法分两步进行：第一步，不考虑热传导项和压力做功项对温度 变化的影响，只考虑能量交换项对温度变化的影响，得到由能量交换项所造成的温度变化， 从而求解出中问温度c ”- 、矿“、露一；第二步，不考虑能量交换项对温度变化的影响， 只考虑压力做功项及热传导项对温度变化的影响，利用由能量交换项所造成的温度变化得 到的中间温度2 ，1 、z m t 、7 一舯i ，以其为隐式差分方程的初值求出由于压力做功和热传导 项所带来的温度变化，最后就可以得到+ 。时刻的譬“、z “、露“。 3 3 三温方程中能量交换项的计算 不考虑压力做功项和热传导项对温度变化的影响，只考虑电子与离子能量交换和电子 与辐射场之间的能量交换对温度变化的影响。 第1 4 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 1 、电子一离子能量交换项m 单位时间、单位体积内由电子交给离子的能量为： 卟紫祷 l j ( 3 3 1 ) 扣争吩警赫阻蛐， 兰慨鲁吣紫菏 l 嬲m ej 略去离子项蝎，啊，采用隐式格式处理 枷。鲁三2 f t 堕i n 1 3 2 ) = 一等芸霎暮蓦竽露矾p + 鲁馘舭- z 4 “) 式訾3 1 9 5 6 x l o ，厮 令 令 厶= 厨隔 = 1 7 例枷。 口=案(=13287x10uhamt92=1328710u,h a ( 玎翊 兰慨鲁= 兰稽瓮1 3 咖链3 咖等 栌j3。：矛k：_-w-爿-t2去 k p n d t = 七p 心( e 州一c ”) = ，7 _ j 户( f “一c “) 隐式求解电子与离子耦合的方程为： 第1 5 页 里堕型兰垫查奎兰堑茎兰堕兰垡堡奎 一：聋茅 畛e = 弓一+ ，7 1 + 1 一一e )lp 、 2 、电子辐射场能量交换项哪 单位时间单位体积内物质的净辐射能量： 中。= 乃 z 一乓 即 i 三七以鲁= 磊胪( 乓一口z ) 悟= 局州口z b ) 采用隐式处理方法 三k n d - 学- = p 一( 口巧) “一4 a t 3 鲁a t + q 令，= 而 三七朋。堡： 2 。出 z p p c曰“一( 口军) ” ，( 4 a t , 3 ) z p a t , , + 啦 z p p c 厶l 。啦 ，( 4 口零) 筋c m + v 2 d e r 一尘二篮 d t + 1 ，2 一! 0 l o 。局p 峨+ 啦 ) 1+9072x1017zet,3at+啦j c k j “= 兰砜= 吾蚓q = 3 1 2 x l o 。z ：p ，( 1 0 x ) 堙 ) 三七矾嘿= 三七以( 巧“一c ”) = ， 霹“一( 口z 广 隐式求解电子与辐射场耦合的方程为： ( 3 3 3 ) ( 3 3 4 ) ( 3 3 5 ) 第1 6 页 里堕型兰垫查奎兰婴窒竺堕堂垡丝奎 露“= = 掣叫 。 r “= 矿+ 南弦一( a c ) 1 ( = 矿+ 南弦巾删。z 帅旷足 3 4 三温方程的追赶迭代解法 不考虑电子与离子能量交换和电子与辐射场之间的能量交换对温度变化的影响，只考 虑压力做功项和热传导项对温度变化的影响，那么三温方程的差分格式“”将变为如下形 式： i 竽叫瑞+ 群) 警一赤p 毪产+ 甜毪乎) 导z 嘛警一去p 毪产+ 耐毪列 k 丢竽= - 4 p r 0 1 。+ w 乎一去p 警+ 一e j l , 1 叠苗叫 ( 一啬b + 陋舭+ 黪+ 划l w j + v 2 a z , ；+ tj p , j + 1 v = + _ 剥 一- - 。n + 小i 班+ 班一( 羁n ，j + + l 班t 却舭+ v 2 ) ( ，j h + + 啦i 一班) 一鲁h + + 剥啡一剥碟班 = c 曷啦硝+ 班一蟛班( 巧一啦) ( - 害j r 2 jk ) + h 若+ 喾矧+ 一暑矧聪班 一- - ，a + + 啦! 墨j + 班一4 p k j l 啦( 巧孙一臻班) ，= 0 ，l ，j - 1 第1 7 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 舯一i c l j = 器，端= 吒( 稿搿) 殇虬圭( 碳+ 粥) ，啄啦= 一刁，_ ，= o ，l ， 温度的隐式差分方程可表示为： 彳：墨挥劣川+ 嘴b 嚣+ o 十嘴啉柚= 虿篇，_ ，= 0 , 1 ，一1 ( 3 4 1 ) 其中r = 亿，霉，厂，荔：拓= ( - i ，孑：，孑，) 7 ，群勘，巧n + + 啦l ，q n + + 啦l 都是3 3 矩阵，且满足 如= o ( ，= o ) ，g - v 2 = 0 ( _ ，= j - i ) 。 即知； j = o b y 2 + 舀2 = d v 2 ，= 1 j 锄+ 毛：+ c 3 2 = ； i = 3 2 ：a j 叫0 j 矗哩七b | 叫暴j 雌七c | 捌4 | 叫l = d j ，= ，一1 j 4 邮乃哪+ 毋帕乃一啦= q - v z 即： 4 砒b j c j 刮2 4 巾目啦 式甲 a n + l ( a ) l 。2 一瓦e e 历j a t , 可, + 1 ，2 7 - j j 州+ v 2 、 2 22一研et,j 2 f f n + v 2 ( 磷) ”= 一篇舞 ： 乃砒 乃地 ： 见- 3 ，2 仍地 ，j = o ，l ，3 - 1 ( 3 4 2 ) 似、一j + v 2 卜篇舞 ( 嘣) 丑2 一篇舞 ( 唰匕= 一焉舞a 7 n + l ( 瑞) ) i i = 锚舭+ - - n + l 簿+ 善舞= 旷妇u j + 酬v 2 1 。一( 嘴，) 。 第1 8 页 锄 o ，。l 里堕型竺垫查奎兰翌圣圭堕兰垡堡茎 ( 瑞，k = 嘲舭+ - - n + l 舞+ 啬 - n + l = 铡旷( a n + l o ，) 。一、一p n + 1 0 ，) 笠 r n + l ( s ，) 。= 吁n + 啦l + 器鬻+ - - - n + l 舞= 巧n 舭+ l 一( 删h 嘴，) 3 3 ( 一- j n + + v 2 “s ) 。一- - 、一时n + l 啦码n + 啦一以n ，+ j l 舭( r n + + 班| 一吆啦) ( 一r l ，n + v “：s x 一- - 。嵋n + ，| + 牡z ：+ 啦一( 研n 。+ + l 啦+ 口茹船) ( 巧一班) ( 3 n + 啦! ( s ) 、一，v 脚n + l 霹小旷4 成( 喘一吆v ：) 可见隐式方程的求解可采用线性化迭代求解的方法，将方程( 3 4 1 ) 系数中出现的上 标改为第j 次迭代值，待求量用第s + 1 次迭代值，以分裂格式第一步的结果为初值代入所 有系数，求出线性方程组的解后，再以这个解代入所有系数，直到获得收敛的解。鉴于隐 式差分方程为三对角方程，在迭代过程中可采用矩阵追赶法求解。 设哆+ 啦为矩阵，岛舭为向量。由递推法推得： 追的过程： 以1 ，2 = o 5 - v 2 = 0 哆+ 啦= 一瓦了c j 丽+ t 2 ，- ，= o ，1 ，一， ( s as ) 岛+ 啦= d 瓦j + v 了= - a 丽j + w p j - w 赶的过程： 舷三矿“州吃 。 4 3 5 差分方程的边界条件 边界面：= 乃处于高密度区与未受扰动的固体区的交界处，在这个界面上，电子、离 子和辐射场处于局域热动平衡状态，电子温度、离子温度和辐射场温度相等，满足固壁边 界条件。 第1 9 页 里堕翌兰垫查奎兰里茎竺堕兰堡丝塞 蜥n + 啦= 0 ( 3 5 1 ) ：1 = f - - n u + l = 斛l = o b r l t 。 ，+ v 一啦2 = 彩，l = e ，i ，r ( 3 5 2 ) 边界面z = g o 处为自由边界 弘弘半 从而 岔= - - 一1 ，n 。+ l = o 即珲器= 璐，工i 列= 一言咯。 列一咋蛩一三2 v