（固体力学专业论文）功能梯度材料平面问题的静力与动力分析.pdf

中山大学硕士学位论文 论文题目：功能梯度材料平面问题的静力与动力分析 专业：固体力学 硕士生：欧曼韬 指导老师：富明慧教授罗恩教授 摘要 首先，本文针对功能梯度材料平面问题的静力分析，提出了一种精细半解析有限元 求解方法。它应用弹性力学h e l l i n g * r a i n s s n e r 变分原理，构造出静力问题的j 下则方程， 并利用样条精细积分法求解静力问题。数值计算结果表明，本文提出的精细半解析有限 元法具有很好的精度。 接着，根据古典阴阳互补和现代对偶互补的基本思想，系统建立了功能梯度材料平 面问题动力学的虚功原理和各类非传统h a i n i l t o n 型变分原理与相空间非传统h a m i l t o n 型变分原理。同时，基于辛空间有限元时问予域法，分析了多种边界条件下和不同 荷载下功能梯度平面问题的动力响应问题。算例的计算结果表明：本文的辛算法其计算 精度和计算效率都明显高于目前国际上常用的p m 口后一法、所厶d ”一口法和a n s y s 软 件的有关方法。 关键词：精细半解析有限元法：变分原理：辛空间有限元时间子域法： 静力与动力分析 功能梯度材料平面问题的静力与动力分析 t i t l e ：s t a t i ca n dd y i l a m i ca i l a l y s i so fm ep l a n ef g m p r o b l e m s m a j o r ：s o l i dm e c h a n i c s n a m e ：o um i l l t a o s u p e r v i s o r ：p r o f um i n 曲u i ； p r o l u oe n a b s tr a c t a i m i i l ga tt h ep l a n ef g ms t a t i cp r o b l e n 塔，ak i n do fc o m b i i l a t i o no f 曲en e 黟a l m e t h o d ，锄a l y t i c a la i l d 矗n i t ee l 锄e n tm e t h o di sa p p l i c dt ot h i sk 砌o fp r o b l e m si nt h i s c o n t 饥t e 呻l o y 酣t h eh e l l i n g 盼r a i l l s s n 盯v 撕a t i o n a lp 血c i p l e so fe l a s t i cm e c h a n i c s c a n o n i c a le q u a t i o ni s 南m m l a t e d t h e i l ，t h es p l i n ef i n ei m e 黟a lm e t h o di su s e dt 0s o l v e s t a t i cp r o b l e m s n u m e r i c a lr e 轴h s 向rt y p i c a lp r o b l e m ss h o wt h a tt h e 鼬es e m i a n a l y t i c a l f i n i t ee l e m e n tm e t h o dh 嬲g o o dp r e c i s i o l l a c c o r d i n gt o t h eb a s i ci d e ao fc l a s s i c a ly i l l y a n gc o m p l e m e n t a t ya n dm o d e m d u a l - c o m p l e m e n t 撕t y ，i ti sp o s s i b l et os y s t e m a t i c a l l yo b t a i l lp r i n c i p l e so fv i n u a lw o r k ， d y n a m i cv a r i o u su n c o n v e n t i o n a lh a m i ! t o n t y p ev a r i a t i o n a lp r i n c i p l ea n dm ep h a s es p a c e u n c o n v c n t i o n a lh a m i l t o n t ) ev a r i a t i o 豫lp r i n c i p l eo fd y n a m i c s 旬rf g mp l a n ep r o b l e m s t h e 巩t h em e t h o do f u s i l l gt h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o di i ls p a c ed o m a i 玛t h et i m es u b d o m a i l l m e m o do ft h en o l l l f l a ll a 铲a n g e - p 0 1 ) ，i l o m i a li 1 1t i m ed o m a i ni s e m p l o y e d w i t hs e v e r a l b o u n d a r yc o n d i t i o n sa n ds e v e 托lk i i l do fl o a d ，s o m ea n a l y s e sa r cm a d ew i t ht h ea b o v e m e t h o d n u m e r i c a lr e s u l t sp r o v et h a tt h ea c c u f a c y 锄dt h ce 伍c i e n c yo fc a l c u l a t i o i l so ft h e m e t h o dt oa n a l y s ef g md y t l 锄i cf c s p o n s e sh v e 目? e a ta d v a n t a g e so v e ft h eu s u a l l ym e t h o d s s u c ha sn e w m a r k b ，w i l s o n 0m e t h o da n da n s y s k e yw o r d s ：s e i l i i a n a l y t i c a lf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，v a r i a “o n a lp r i n c i p l e ， s y m p l e c “cs p a c e 6 n i t ee l e m e n ta n dt i m e - s u b - d o m a i nm e t h o d s t a t i ca n dd y n a i i l i ca n a l y s e s i i 中山大学硕士学位论文 论文原创性声明内容 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外， 本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成 果。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明 确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：欧殳韬 日期：m 7 年多月2 日 学位论文使用授权声明 本人完全了解中山大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文 的电子版和纸质版，有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制 并允许论文进入学校图书馆、院系资料室被查阅，有权将学位论 文的内容编入有关数据库进行检索，可以采用复印、缩印或其他 方法保存学位论 学位论文作者签 日期：妒7 年 厦乞， 镬眵日 盯 z 岛孑孑年 名q 签一 币掘师期导日 中山大学硕士学位论文 中山大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“中山大学硕士、博士( 硕士) 学位论文版权 使用规定一，同意中山大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权中山大学可以将本学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文。 作者签名： 欧殳韬 导师躲：趁姻鳖z 眵 尘净月上日 中山大学硕士学位论文 第1 章引言 1 1 功能梯度材料的概述 材料是现代科学技术和社会发展的支柱。现代高科技的竞争在很大程度上依 赖于材料科学的发展。对材料特别是对高性能材料的认识水平、掌握和应用能力， 直接体现了国家的科学技术水平和经济实力，也是一个国家综合国力和文明进步 速度的标志。因此，新材料的开发与研究是材料科学发展的先导，是2 l 世纪六大 高科技领域的基石。 宇航、导弹、原子能等现代技术的飞速发展，要求材料除了具有一些特殊的 性能外，还要具有优良的综合性能。例如，在航天飞机发动机燃烧室燃烧气体一 侧温度在2 0 0 0 。c 以上，而另一侧直接接触制冷材料液氮，其温差大于1 0 0 0 c ，该 温差将在材料内部产生极大的热应力。航天飞机要求反复使用数百次，从耐热性、 隔热性、耐久性及强韧性等方面对材料提出了十分苛刻的要求幢1 。显然在目前常 有的金属与非金属材料中，不可能同时满足这些要求。这是因为均匀材料并不能 满足高强度高韧性与高耐热性的要求。如果在耐热金属表面涂敷一层耐高温陶瓷 材料从而构成复层，由于存在明显的异相界面，两侧材料的物理、化学性质相差 很大。当被加热到高温时。由于金属和陶瓷的热膨胀系数相差很大导致这两种材 料接合面热应力过大，导致表面涂层剥离、脱落和破坏，甚至会引起重大安全事 故。因此，人们就考虑是否能够针对航天技术中出现的高落差温度( 1 0 0 0 g ) 现 象设计出一种新材料以解决这个问题。功能梯度材料是在这种背景下被提出的。 功能梯度材料的概念最早是由同本材料学家新野正之、平井敏雄和渡边龙三 提出的。该材料的研究开发最早始于1 9 8 7 年日本科学技术厅的一项“关于开发 缓和热应力的功能梯度材料的基础技术研究”计划。功能梯度材料的原理是根据 特定的使用要求，选择使用两种不同性能的材料，采用先进的材料复合技术，使 中问的组成和结构连续呈梯度变化，内部不存在明显的界面，从而使材料的性质 和功能沿厚度方向也呈梯度变化的一种新型复合材料。正是以连续变化的组分梯 度来代替突变界面，功能梯度材料消除了物理性能的突变，热应力降至较小值。 显然这是一种非均匀材料，但它与传统意义上的非均匀材料具有很大的不 同。尽管两者都是多相复合材料，但两者的重要区别在于功能梯度材料的宏观组 分、结构及性质是非均匀的。而传统的非均匀介质的宏观组分、结构与性能都是 均匀的，即它不过是将两种或多种不同相( 化学组分不同) 的均匀混合而形成的材 料。 功能梯度材料平面问题的静力渤力分析 0 o 0 o o 0 0 o o o 0 o 0 o o o o o o o 0 o o o 0 0 0 0 0 0 0 0 o o o o 0 o o o o o 0 0 o o o o 0 o o o 0 o o 0 o 0 0 o o 0 o o 0 o o o o o o 0 o 0 o o o 0 o o o o o o o 0 0 o 0 0 o 0 0 o o o o o o o o 0 0 o o o 0 o o o o 0 圈11 均匀材料 f 培l lu n l f o r m 眦l 帆a 】 0 0 0 0 0 0 0 0 o o o 0 0 o 0 0 0 0 0 o o 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 o o 0 0 0 0 0 0 o o o o 0 0 0 o 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 o o o o o o o 0 0 0 0 0 0 0 0 0 莺。口o o o 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 o 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 o 0 0 0 0 0 o o o o o o o o o o o 0 0 0 0 0 0 0 o o o o o o o o o 0 0 0 0 o o o o o 0 0 0 0 o o o o o 国1 2 传统非均匀材料 f i l2 1 h d h j o 岫l 州仃y 啪“讧l 酗13 功能梯度材料 f 唔13f u n c t l o m l l y 舯出d m i 州a l 中山大学硕士学位论文 虽然功能梯度材料的最初研究目标是针对新一代航天飞机的超耐热材料，但 通过金属、陶瓷、高分子材料等不同物质的巧妙结合，它在原子能、电子、光学、 电磁学、生物医学及日常生活领域都有巨大的潜在应用前景。 1 2 国内外研究概况 1 2 1 结构静力学方面 静力特性是功能梯度结构最基本的力学特性，也是研究其它问题的基础。杨 杰和沈惠申哺1 采用经典板理论，研究了对边固支、另两对边任意约束的各向同性 功能梯度矩形板，在面内与横向载荷共同作用下的横向弯曲问题。其中梯度模型 采用沿板厚方向的幂函数模型，并且考虑温度变化对材料物性参数的影响，采用 一维微分求积法结合伽辽金法，求得了薄板弯曲的半解析解。s n a k a r 1 假定功能 梯度梁的杨氏弹性模量沿高度指数变化，而泊松比保持不变。从平面应变的弹性 力学基本方程出发，求得了简支梁承受正弦形式的横向载荷时的精确解。又从欧 拉一伯努利梁理论出发，得到了功能梯度梁的位移、应力简化表达式。通过算例 将两种方法进行了比较，发现后者在梁比较细长且承受的横向荷载变化比较缓慢 时适用。另一方面，通过与均质梁比较，分析短梁或深梁的应力集中对其影响程 度，当功能梯度梁较软侧承受荷载时，应力集中现象比较弱，反之则较强。c h e n g 1 从一阶剪切变形理论出发，利用位移和应力势函数，重新导出了冯一卡曼大挠度 非线性方程组，结合混合傅立叶级数法，研究了各种边界条件下，宏观各向同性 的功能梯度板和层合板的非线性弯曲问题。r o o n e y 和f e r r a r p 。分析了功能梯度 圆柱的简单拉伸、纯弯曲和横向弯曲，从应变能密度出发，讨论了三种情形下， 等效杨氏弹性模量与相应均质材料的杨氏模量的大小关系。s 0 1 d a t o s 用复势理 论求解了常用的精细板理论中的偏微分方程，得到了考虑横向剪切变形的各向异 性功能梯度板的弯曲问题复势形式解。m a 和w a n g u 伽从三阶剪切变形板理论出发， 借鉴经典板理论的求解方法，分析了功能梯度圆板的轴对称弯曲和屈曲问题。仲 政和于涛lu 引从正交各向异性材料基本方程出发，考虑材料常数沿梁高度方向 梯度变化，采用弹性力学半逆解法，求取了按任意梯度函数分布的悬臂梁在端部 集中力偶、集中力或均布荷载作用下的通解。对于功能梯度材料板，王铁军引 等基于一阶剪切变形理论给出了功能梯度中厚板轴对称弯曲问题的解析解。杨正 光等u 4 1 在四边简支的条件下得到了功能梯度三维矩形板的自由振动问题的精确 解。张琳楠和石志飞u 副采用多项式形式的应力函数和电位移函数，用逆解法求解 了均布荷载作用下功能梯度压电简支梁的力电耦合平面应变问题。黄彬彬和 3 功能梯度材料平面问题的静力与动力分析 石志飞“町用同样的方法又求解了功能梯度压电悬臂梁在轴向和横向均布荷载以 及外加直流电压分别作用下的解析解。 目前国内外己有很多学者在从事功能梯度结构的有限元分析，但由于研究起 步晚而仍处于发展中。许多实际中经常遇到的问题仍未能得到圆满解决，特别是 适合于功能梯度结构的数值计算理论仍待进一步研究、完善。早期的功能梯度有 限元法假定每个单元内的材料性能不变，将单元质心的材料参数作为整个单元的 材料参数，用这样的方法处理功能梯度材料就相当于以多层的、均匀的、材料各 参数为常数的材料替代了功能梯度材料。但是如果要达到一定的计算精度，这种 处理方法至少要在梯度变化的方向上划分大量的单元，导致内存需求和计算耗时 都较多。s a n t a r e 等 最先提出功能梯度有限元的列式方法，计算了一维和二维 问题射。s a n t a r e 等将材料参数在单元内按梯度变化处理，计算单元刚度矩阵时， 把材料参数沿梯度变化的性质考虑进积分里面。在此之后，k i m 引等提出了另一 种功能梯度有限元等参梯度有限元的列式方法，推广了传统的等参单元，将 单元内的材料参数也做插值，取与位移模式和坐标变换相同的形函数。这两种方 法由于对材料变化参数的处理相似，在网格划分较细时，等参梯度有限元与 s a n t a r e 等提出的功能梯度有限元是等价的。s a n t a r e 和k i m 都指出了在相同的网 格密度下，功能梯度有限元法的计算精度高于传统的基于均匀材料的有限元法， 也就是说功能梯度有限元法不需要通过增加自由度来提高计算精度。张幸红等四。 用有限元程序n a s t r a n 对无限大各向同性功能梯度板含单个垂直于梯度( 厚度) 方 向的贯穿裂纹进行了数值模拟。通过对实验结果进行分析，文章对功能梯度板的 泊松比采用线性混合法则，而对杨氏模量采用w l l i i m a o s n 混合法则，材料组分采 用幂函数形式。文中利用线性叠加原理处理一般载荷作用下的平面应变裂纹问题 的裂纹尖端位移场，并分别考虑了功能梯度板上下表面受均布拉应力、均匀热载 荷以及非均匀热裁荷作用下，梯度分布指数对裂纹尖端应力强度因子、应变能密 度以及裂纹扩展角的影响。 1 2 2 结构动力学方面 功能梯度结构的动力学分析在实际工程中具有非常重要的意义，研究的主要 内容包括自由振动和稳念、瞬念响应。r e d d y 和c h e n g 口推广了存在于平板中的薄 膜比拟法，将简支的功能梯度球形扁壳同与其俯视图周线重合的平面膜相比拟， 建立了分别对应于功能梯度球形扁壳的经典理论、一阶理论和三阶理论的振动比 拟关系。并用这个比拟关系计算了w i n k l e r p a s t e r n a k 弹性地基上简支的、俯视 图是多边形的功能梯度球形扁壳的自由振动频率，这些频率只对应于主拉伸和厚 度向剪切扩张振动的模态以及主弯曲振动模态。这种比拟方法还考虑了转动惯量 中山大学硕士学位论文 的影响，功能梯度球形扁壳的物性参数可以沿厚度任意变化。c h e n g 和b a t r a 瞄1 从r e d d y 的三阶板理论出发，考虑转动惯量的影响，分析了置于 w i n k l e r p a s t e r n a k 地基上、承受面内静水压力的简支各向同性功能梯度多边形 板的临界屈曲荷载和振动频率，发现它们与边界固支的、与板形状一致的膜的频 率存在着一种比拟关系，从而用比拟法求出了功能梯度板的相应解。陈伟球等测 用状态空间法求出了四边简支的宏观各向同性功能梯度矩形板的自由振动频率 方程，由于二个位移函数和二个应力函数的引入，文中得到了两类独立的振动形 式：纯板内振动和弯曲振动。p r a d h a n 等晗钔从l o v e 壳理论出发，用瑞利法导出了 自由、简支和固支三种边界条件下，功能梯度圆柱壳的自由振动控制方程。文中 假定物理参数沿厚度幂函数分布并受温度影响。y a n g 和s h e n 汹从经典的小变形板 理论出发，采用一维的微分积分法以及伽辽金法，求解了具有初应力的功能梯度 矩形薄板的自由振动频率，板悬空或置于双参数弹性地基( p a s t e r n a k 地基) 上， 两对边固支，另两对边或简支、或固支、或有旋转弹性约束。再用模态叠加法计 算了板对侧向冲击载荷的瞬态响应。h a n 等哺1 用半解析法分析了受点荷载冲击的 功能梯度圆柱壳的瞬态响应问题。他们用环形壳单元将功能梯度圆柱壳沿径向离 散，而轴向和环向采用解析表达式，通过哈密顿原理建立了运动平衡方程，再结 合傅立叶变换和模态分析方法，求出了功能梯度圆柱壳的位移响应。为了用较少 的单元获得较高的计算精度，他们用内、中、外三节点将环形壳单元沿径向进行 二次插值，并假定材料参数在单元内沿径向线性变化。黄小林，沈惠申埋列 圳基 于r e d d y 高阶剪切变形理论和广义k a 姗a n 型方程，求得了热环境下带压电层的功 能梯度复合材料混合层合板的自由振动及动力响应的解析解。伍晓红，沈亚鹏j ， 基于三维弹性理论和压电理论，用幂级数展开的方法求解了四边简支的有限长矩 形功能梯度压电板的自由振动频率。 对功能梯度材料结构动力学问题的有限元法研究，国内外也呈现许多优秀成 果。如p r a v e e n 和r e d d y 啪1 基于一阶剪切变形板理论和冯卡门大挠度理论建立有 限元法，采用n e 砌a r k 直接积分法研究了一维稳态温度场中功能梯度材料矩形板 的非线性动力响应。q i a n 等口基于高阶剪切变形板理论，采用无网格法研究了功 能梯度材料弹性矩形厚板的静、动力特性，得到功能梯度材料板的力学性能介于 纯陶瓷板和纯金属板之间，以及材料参数的梯度变化形式对于板的基频影响不大 的结论。然而这些简化理论的基本假设是基于均匀或层合材料提出的，并不能完 全适用于功能梯度材料。不单是有限元法，在功能梯度材料梁、板结构的其它数 值方法的研究中也常常直接用到均匀板的简化理论。如曹志远等呤副h 3 3 1 在研究不 同边界条件功能梯度材料矩形板固有频率解的一般表达式以及功能梯度材料开 5 功能梯度材料平面问题的静力与动力分析 孔矩形板的动力特性解时，都采用了经典薄板假设。因此从工程应用角度上，发 展针对功能梯度材料特点的平面问题动力学理论是有必要的。 1 3 半解析有限元原理概述 有限元法作为结构分析中最有效且用途最广的求解工具，已经建立比较成 熟。然而对于许多具有规则几何形状的平面和简单的边界条件来说，采用完全的 有限元分析常常是不必要的，有时甚至是不可能的。当进行较精确的分析和高维 问题的分析时，求解往往会变得比较复杂，计算量通常按照某种数量级猛增。此 外，常遇到的问题的精确分析往往难以适合设计人员或研究人员使用，致使问题 只能粗略解决。上述观点对于功能梯度结构的静力计算问题尤为正确。针对功能 梯度结构选用精细半解析有限元法进行计算，不但能减小计算的工作量，同时在 某种程度上又保持了有限元的良好适用性。 半解析有限元法是将需要解析或精细地求解的一个坐标方向称之为“纵向 ， 而其余的坐标则认为是横向。在横方向予以离散，而在纵方向则求解微分方程组， 或者用直接积分法、精细积分法、辛本征函数展开法求解。这与标准的有限元法 不同的是，标准的有限元法需要沿各个方向采用多项式的位移函数进行离散，位 移函数一般是以多项式的乘积给出的。这样对于一般的平面问题束说，半解析有 限元能将能将一个二维问题转化为一维问题，使总刚度方程降阶，从而提高效率 和精度。 对于如图1 4 和图1 5 所示的矩形板，用矩形有限元分析的网格划分如图1 4 所示，而半解析有限元则是沿横向划分成若干条带，如图1 5 所示。 lz 2 h 图1 4 传统有限元法单元划分 f i g 1 4m 鹤h0 f 昀d i t i o n a lf e m 中山大学硕士学位论文 2 h lz 图1 5 半解析有限元法单元划分 f i g 1 5m 荡ho fs e m i - a m l ”i c a lf i i l i t ee l 锄e n tm e t h o d 半解析法在厚壁板壳和复合材料层合板壳静力学和动力学问题上的应用是 成功的。邹贵平等引给出了复合材料条形域问题混合状态h a m i l t o n 正则方程，并 对叠层梁进行了分析。还进一步给出了极坐标系下弹性力学平面问题的h a m i l t o n 正则方程，并提出一种求解该方程的状态空间有限元法瞪1 。王治国等口剀用三维弹 性理论求解复合材料叠层圆柱曲板问题。在圆柱坐标系中，将三维弹性理论表述 成哈密顿体系的形式，得到一个变分原理，然后通过半解析有限元法，给出一种 半解析解，克服了过去完全的解析解及基于二维近似理论的数值解的不足。唐立 民等口刀在时间方向采用l a p l a c e 变换，给出了层合厚板动力学问题混合状态 h a m i l t o n 正则方程及其半解析法。该方法在层板平面内采用通常的有限元离散， 而沿板厚方向采用状态控制方程给出解析解答。 1 4 动力响应分析方法概述 结构的动力响应问题是指结构在强大而又短暂的突加动荷载作用下，产生变 形过大或结构内力过于巨大，以致结构发生破坏。结构动力响应分析方法很多， 大致可以分为从动力学微分方程组出发和从变分原理出发两大类。 1 4 1 基于动力学微分方程组的动力响应分析方法 对于单自由度体系动力学方程，可采用解析法，如傅罩叶级数法、卷积积分 法。这两种方法对于一般的结构体系动力学方程，分析求解很困难。所以一般采 用效率相对较高的近似方法，如振型叠加法、时间域逐步积分法。其中，振型叠 加法只能适用于线性系统。而逐步积分法从积分格式的形式上划分成隐式方法和 显式方法；从计算格式的稳定性上可分为无条件稳定方法与有条件稳定方法。相 对来说，隐式逐步积分方法的研究成果较多，如平均加速度法、线性加速度法、 7 功能梯度材料平面问题的静力与动力分析 n e 砌a r k 法、w i l s o n o 法等。随着工程问题计算的复杂性日益增加，条件稳定的 显式逐步积分方法受到了重视，如中心差分法、显式差分法和龙格一库塔法。 1 4 2 基于变分原理的动力响应分析近似解法 长期以来，基于变分原理的求解方法大多是建立在l a g r a n g e 力学体系下的。 如1 9 6 8 年n i c k e l l 等啪1 提出了基于g u r t i n 型变分原理的广义r i t z 法，求解了板空 间瞬态耦合热弹性问题。1 9 7 3 年，a t l u r i 瑚1 提出基于g u r t i n 型变分原理的应力杂 交元。1 9 8 5 年，张汝清1 提出一种g u r t i n 型变分原理的时间对偶有限元模型。1 9 8 7 年，李家仁等m 利用g u r t i n 型变分原理求解了梁的弯曲振动问题。1 9 9 2 年，彭建 设等h 幻提出基于g u r t i n 型变分原理的一维振动问题的空间一时间半解析法。1 9 9 5 年，曾庆国等1 比较系统地进行了简化g u r t i n 型变分原理在结构动力响应分析中 的应用研究。以有阻尼线弹性动力学的简化g u r t i n 型变分原理为基础，提出了时 间子域分别为一般多项式、一般h e r m i t 插值多项式、3 次b 样条函数和5 次b 样条函 数的时间子域法。1 9 9 7 年，陈国平h 副基于卷积形式的变分原理提出包括单元离散、 展开离散和分段递推等初值问题时域离散求解的方法。g u r t i n 型变分原理提出至 今已经有4 0 多年，其应用研究进展却相当缓慢。可见，要彻底解决这种变分原理 的应用问题，使它的价值充分显示出来，难度是相当大的。 基于l a g r a n g e 体系内进行的算法，属于非辛算法，因此不可避免会带来人工 耗散和种种非系统本来具有的污染与干扰，并且还存在一些难以或无法解决的问 题。早在1 8 3 4 年h a m 订t o n 已建立了h a j l 】i l t o n 力学体系基础之一的h a m 订t o 力正则方 程，其后又发现该正则方程具有自然辛结构。但是，在相当长时间内人们没有察 觉到这种辛结构使其具有优越的计算功能，所以针对h a m i l t o n 力学体系的求解方 法的研究成为空白。二十世纪五六十年代，在k a m ( k o l 册o g o r o v ，a m o l d ，m o s e r ) 定理建立后，现代辛几何开始兴起。1 9 8 3 年美国r u t h 副发表了第一篇对特定 h 锄il t o n 方程差分格式的论文。1 9 8 4 年冯康。掘1 在国际微分几何与微分方程北京讨 论会上作了题为“差分格式与辛几何”的大会报告，首次提出了辛几何在数值分 析中的应用。 罗恩教授和他的弟子们对基于h a m i l t o n 体系的结构动力响应分析方法进行 了探索，取得一系列的成果。张贺忻等h 列开展了广义 i 硼i l t o n 型拟变分原理用于 结构动力响应分析方面的研究工作。潘小强等m 1 对于弹性梁动力响应分析，提出 分别基于简化g u r t i n 型变分原理和h 硼i l t o n 型拟变分原理的直接解法，空问域分 别采用解析法、有限元法和综合离散法，时间域分别采用时问予域法、时间子域 有限元法、时间整域插值法、时间整域解析法等相结合的一系列新的方法。佘慧 中山大学硕七学位论文 等删分别用基于简化g u r t i n 型变分原理和h 锄i l t o n 型拟变分原理的平面有限元一 时间子域插值的方法，分析了平面问题的动力响应。 相空间传统h 锄i l t o n 变分原理是由p o i n c a r e 于1 8 9 2 年提出的，虽然它蕴含了 深刻的美学意义，但同样不能反映动力学的初值问题，只能反映时间端值问题。 2 0 0 2 年罗恩等郾1 在相空间传统h 硼i l t o n 变分原理的基础上建立了能反映动力学 初值问题全部特征的相空间非传统h a m i l t o n 变分原理。另外，罗恩、黄伟江等 还基于相空间非传统h 锄i l t o n 变分原理先后提出了弹性结构动力分析的辛时间 子域法、辛数值流形时间子域法、辛空间有限元一时间子域法和辛空间局部综合 离散一时间子域法等一系列辛算法。辛时间子域法的基本思想是把所考虑的整个 时间响应历程划分为若干个时间子域，在任一时间子域内，用l a g r a n g e 插值多项 式逼近待定的位移和动量函数，并基于相空间非传统h a m i l t o n 变分原理推导出有 关算法的递推计算公式。周杏玲等咕幻建立了薄壳结构动力学的相空间非传统 h 锄订t o n 型变分原理，并基于该变分原理，提出时间子域用5 次l a g r a n g e 插值的 辛时问子域法与空间域用有限元法相结合的辛空间有限元一时间子域法。邓鹏暇” 建立了扁壳结构动力学的相空间非传统h a m i l t o n 型变分原理，提出了空间域采用 有限元法和时间域采用5 次l a g r a n g e 插值多项式来插值的辛空间有限元一时间子 域法，其计算结果表明，该方法精度、稳定性和都明显优于n e w m a r k 法和w i l s o n o 法。这些算法具有独特的计算稳定性与长时间的跟踪能力，能正确反映原系统 本来的面貌与结构特性，是精度高的优质算法。 1 5 本文的主要工作及成果 ( 1 ) 对于功能梯度材料平面问题的静力分析，利用解析法研究是比较繁琐吃 力而且受到特定梯度变化规律、几何形状和边界条件的很大限制，能求得的精确 解相当有限。数值方法则不受上述限制，可以求解的问题更为广泛。而对于功能 梯度材料，由于材料性质梯度变化，运用数值方法，特别是传统有限元法研究功 能梯度材料，意味着需要划分大量的单元。本文将针对功能梯度材料平面问题的 静力分析发展一种强有力的半离散半解析法精细半解析有限元。该方法是沿 材料梯度方向进行离散，纵向利用精细逐步积分法嘲1 进行求解，并用区段合并消 元法瞄1 处理两端边界条件。 ( 2 ) 基于上述的精细半解析有限元法，对多种荷载作用下的悬臂梁进行静力 计算，并与功能梯度悬臂梁在均布荷载和集中荷载作用下的解析解比较，验证了 该方法的正确性。多种算例也显示了精细半解析有限元法在进行功能梯度材料平 9 功能梯度材料平面问题的静力与动力分析 面问题静力分析时的有效性和优越胜。这是进一步推广应用功能梯度材料所不可 缺少的，同时也将推动固体力学的发展，具有重要的理论意义和广阔的应用前景。 ( 3 ) 通过罗恩教授提出的一条简单而统一的途径，以弹性理论为基础，系统 地建立了功能梯度材料平面问题的弹性动力学各类非传统h a m i l t o n 型变分原理， 以及相空间非传统h 锄i l t o n 型变分原理。这类新的变分原理能反映功能梯度材料 平面问题的弹性动力学初值边值问题的全部特征，是真正与动力学问题等价 的变分原理。为利用有限元等数值方法进行功能梯度材料平面问题动力响应分析 提供了重要的理论基础。另外，推导过程未对材料参数的梯度变化形式、结构形 状和边界条件作任何限定和假设，因此具有广泛的适用性。 ( 4 ) 基于上面所建立的功能梯度材料平面问题弹性动力学相空间非传统 h 硼i l t o n 变分原理提出针对功能梯度材料平面问题的辛空间有限元时间子 域法的列式方法。并对材料梯度为指数函数分布、多种边界条件及荷载条件下功 能梯度材料平面问题的动力响应进行了有限元分析。通过与传统有限元法如振型 叠加法、n e 硼a r k 法、w i l s o n o 的计算结果比较，验证了这种新的有限元法的正 确性，多种算例的计算结果也显示了其在进行功能梯度材料平面问题动力响应分 析时的有效性和优越性。 中山大学硕士学位论文 第2 章功能梯度材料平面问题的静力分析 2 1 功能梯度材料平面问题静力学的基本方程和边界条件 丌mi i l 儿i i l 上儿i1 1 if lrl i。 委 i 鱼qj i i目一 i 雾 p 、 1 图2 1 平面静力问题的模型 f i g 2 1m o d e lo fp l a n es t a t i cp r o b l 锄 ( 1 ) 平衡方程 誓+ 冬+ e = o ( 2 1 ) “耳c z 誓+ 冬+ e = o ( 2 2 ) g zc 弭 式中，吒、吼分别为x 和z 方向的正应力，气为x z 平面的剪应力，c ，e 为x 方向和z 方向的体积力。x 方向为悬臂梁的横向，也是材料性质梯度变化的方向， z 方向为悬臂梁的纵向。 ( 2 ) 几何方程 应变与位移的关系为 锄 2 瓦 挑 乞2 _ a z 伽锄 比2 面+ 瓦0 应 ( 2 - 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) 功能梯度材料平面问题的静力与动力分析 其中，“，w 分别表示结构内任意一点x 方向和z 方向的位移。，巳分别表 示x 方向和y 方向的正应变，如为x z 方向的剪应变。 ( 3 ) 物理方程 由于功能梯度材料的性质梯度变化，梯度方向的不同位置，材料性质不一样。 所以，对于结构上的任意一点，其刚度矩阵为 ic l ( x ) c 2 ( x ) o l a ( x ) = lg ( x ) g ( x ) o l ( 2 _ 6 ) l oo g ( x ) j 柔度矩阵为 a ( x ) = 刍盟 q ( 力g ( x ) 一【g ( 力 2 一c 2 ( x )、 c j ( x ) c j ( 石) 一 c ：( x ) 】2 物理方程表示为： 二g 盟 一 g ( 工) g ( x ) 一【g ( 功 2 g 盟 c j ( x ) c j ( x ) 一【c 2 ( x ) 】2 oo 阱目 ( 4 ) 边界条件 位移已知的边界条件： 5 “ 心2w 0 o 1 g ( z ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 l o ) 其中，嵋表示边界上的位移分量，而m ，w 在边界上是坐标的已知函数。 外力已知的边界条件： 只= ，( q ) ，+ 聊( f ，) ，= 见 ( 2 一1 1 ) p ：= ，l ( 仃：) ，+ ，( k ) ，= p ： ( 2 1 2 ) 只和见表示面力分量，以和p ：表示已知的面力分量，和肌为法向余弦。 中山大学硕士学位论文 2 2 二类变量广义变分原理 下面将从对应的h e l l i n g * r a i l l s s n e f 变分原理出发推导功能梯度材料平面 问题的静力学哈密顿混合能变分原理，并以此将模型引入哈密顿体系，得到正则 方程。我们以悬臂梁为例，对应的h e l l i n g * r a i n s s n e r 变分原理【5 7 1 表示为 u = r 吒罢+ 哎芝+ t ( 罢+ 老) 一三。功a 卜 一( 砑+ - w ) 搬一r 吒( w 一茹) + k ( “一云) 弛：。出 ( 2 1 3 ) 硼= o ( 2 1 4 ) 证明： 相应的虚功原理为： i 卜塞+ t 老+ t 。( 罢+ 老) 卜= ( 只”+ 见w ) 嬲 对( 2 一1 3 ) 式取变分，并展开后得到： f 仁警+ 尝虹+ 吐警+ 笔照幌( 警+ 警) + ( 罢+ 塞) 峨 一丽毒丽。q 峨+ 丽蔷丽t 照 + 可丽蠹黯瓦开。q 啦一币i 蓑浩瓦玎。t 啦一击。k 眈，砒 一( 砂“+ 雨w ) 豳一 ( w 一品) 琏+ ( “一云) 氓+ 吒5 w 乜砌u 出 ( 2 1 5 ) 我们将虚功原理里的“改为抛，w 改为万w ，得到 r 卜警+ t 警+ t ( 警+ 警) 卜 = l ( 见锄+ 见万w ) 始 化入f 2 15 、得至i i 功能梯度材料平面问题的静力与动力分析 肌r 球罢一雨 丽吒 峨 + 隆丽精町丽犏吒 缸 + ( 筹+ 警一赤t ) 眈) 砒一 ( w 一品) 照+ ( “一五) 阪 l ：= o 出 一( ( 成一瓦) 抛+ ( p ：一万) 万w ) 嬲 由孚：o ，得到 & f 、 在吐q = 器吒+ 盟铲，罢 假设位移边界条件为 在z = o 处，“= o w = o 把上面两式代入u 里，得到修j 下后的矿 矿= rl lt 警+ k 塞一片陋一( 而+ i w ) 嬲 ( 2 t 6 ) 其中， 一日= t 罢+ g 堕导铲( 塞) 2 一i 亳一i 南+ 器巳塞 在这里日是h a m i h o n 函数。 对u + 取变分 = r l 卜滢一差 + 眈隍一薏) + 跏( 一誓一筹) + 跏( 一等一剀抛+ 小( 成司椭( 卫一i ) ) 搬 把日代入，得到 中山大学硕士学位论文 砌= rr 照( 老+ 器罢一南) + 瓯( 塞+ 罢一南) + 跏( 一誓一誓) 地( _ 鲁一盟学铲等 一器剀砒+ ( 砌( 见司协( 见一z ) ) 搬 2 3 精细半解析有限元法的正则方程 我们沿x 方向对结构进行离散，为此，沿着x 方向共划分n 个单元，n + 1 个 节点。而单元的长度是可以任意的。下面我们根据修正后的h e l l i l l g e r - r a m s s n e r 变分原理进行结构离散。这样做有三个好处：一、由于是从修正后的 h e l l i i l g e r r a m s s n e r 变分原理出发，它的解是一个驻值，和熟悉的传统有限元法 的构造过程相似。二、它的力的边界条件是自然边界条件。三、它的推导过程保 留了正则方程的性质。 设第i 个节点的节点参数为： f “，t ，k ，wi ( 2 一1 7 ) 它们都是z 坐标的函数，与x 坐标无关。由于他们既包括位移分量，又包括 应力分量，是一个混合状态空间向量，可以把每层单元称为混合状态单元。 设第i 层的场函数假设为 一n _ 焉，薏曷 陋哟 l 五+ i 一薯薯+ i 一jl “川t z j j w 一删r ，w 胎，- 篡，急暑 陋柳 l 薯+ l 一薯誓+ l 一玉jl w + l t z j j 删以r = 嚣，嚣舱暑 仁2 。， 删如r q 加 嚣，焘舱翻 p 2 t ， 把( 2 1 8 ) ( 2 2 1 ) 代入u + 的表达式中，取变分后，整理得到： 1 5 功能梯度材料平面问题的静力与动力分析 r ( 篡呻嚣q ( 羞 + 器(g ( 功l 一1 “，+ 玉+ i 一玉l 一 砒( z ) 。 一- r 。) _ 南( 嚣吖嚣气 + ( 嚣姊嚣) ( 嚣掣+ l 毛+ l 一五 + i 一五 il 五+ l 一五 比 + ( 一( + ( 一l w + 薯+ l 一玉蕾+ i 一薯) _ 赤( 嚣k1 厂丽飞嚣i k 嚣咖+ 嚣饥) (玉+ l 一再五+ l 一而 一1 万w + x i + l x ix l + l x i 万l l ! 辽6 咋+ 二坠万吩+ l l 靠i 一再五+ i 一五 + g 盟f g ( 力l ( ( 二l 跳+ l x l h x lx h i x i g ( x ) +x x l x l + l x i ( 嚣巳 + ( 锄( 见一瓦) + 艿w ( p ：一五) ) 嬲 j k 。i 卜叫十附魄j 肛 对上式进行化简，并写成矩阵形式，得到 m 唧机= h v ， 其中， v i2 吒，k ，w “m ，k 。w + l j 广1 ， 为了对m 。矩阵进行简化，它的计算需要用到下列积分公式 f ( 篡篡卜= “ h 嚣最卜= 这样，m 。矩阵可以表示成： “嚣嚣卜= 一1 6 3 6 ( 2 2 2 ) 一 掣 1 一 立靠 鲥 、，1li，j、力一，刀 丛出 丛出 k 幽一 一，三篆誊景 堕 掣 1 一 稚掣兰_血 穆 嚣 力一 丝如 1 一 矗掣三葺 二一 血 巳 嚣 南 l 卜基嚣 中山大学硕士学位论文 m 岛= h 。= 0 o r f + l 垡坚垫蝉出 南c j ( x ) ( 葺+ 。一薯) 2 o o o o r 旦垃嗵出 屯c j ( x ) ( + 。一) 2 + 1 撼出 f 1 搿出r