（机械设计及理论专业论文）7r机械手运动分析的递推算法.pdf

长春理工大学硕士学位论文原创性声一s 删y 1 f f f f 7 j f f f f 4 f f i f f 0 删9 f f f f f l 7 删f f f l 脚 本人郑重声明：所呈交的硕士学位论文l ：7 r 机械手运动分析的递推算法是本人 在指导教师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外， 本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重 要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果 由本人承担。 作者签名：圣燃：巫年堑月幽 长春理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“长春理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定 ，同意长春理工大学保留并向中国科学信息研究所、中国优秀博硕士学位论文全 文数据库和c n k i 系列数据库及其它国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权长春理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文。 作者签名：缝缢型垒年上月也日 指删币妣烨丝经迎年月生日 摘要 本文提出了分析机械手运动学问题的递推算法。这种方法由矩阵法演变而来，一 个坐标系的坐标轴载另一个坐标系内的方向用一组递推公式求得。在使用递推算法以 前，先对在机械手杆件上建立坐标系进行了约定，把关节轴夹角的结构参数由常用的 三种变成两种，使递推关系得到简单的形式。在此基础上我们分析了7 r 机械手位置解， 统一形式的间接位置解。在讨论间接位置的树状解时，本文提出一种确定树状解解新 方法，使计算时不因确定树状解而增加计算量。通过本文的应用，发现递推算法直观、 明确，而且很容易把运动学方程写成数学计算量最少的形式。最后用递推算法分析了 7 r 机械手的速度和加速度。 关键词：机械手运动递推公式设计方法 a b s t r a c t n e p a p e rp r e s e n t sar e c u r r e n c em e t h o do fm a n i p u l a t o r sk i n e sm a t i c s t h em e t h o di s o b t a i n e di nt e r m so fm a t r i xm e t h o d n 圮c o o r d i n a t ea x i so r i e n t a t i o no fo n ec o o r d i n a t ef r a m s i na n o t h e rc o o r d i n a t ef 姗si so b t a i n e db ya q r o u po fr e c b r r e n c ef o r m u l a f i r s tw em a k ea p r i n c i p l eo fb u l d i n gc o o r d i n a t ef r a m st or e d u c et h es o r to fs t r u c t u r ep a r a m e t e r , a n das i m p l e r e c u r r e n c ef o r m u l ai so b t a i n e db yu s i n gt h ep r i n c i p l e 1 1 1 ep a p e ra n a l y s i sd i r e c ta n di n d i r e c t p o s i t o np r o b l e m ，a n dg i v ean e wm e t h o dt od e f i n et r e e s t r u c t u r es o l u t i o n b ya p p l i c a t i o ni n t h i sp a p e r , r e c u r r e n c em e t h e di sc l e a ra n dd i f i n a t e n 圮r e s u l t i n ge q v a t i o ni n v o l v et h e m i m m u mn u m b e ro fm a t h e m a t i c a lo p e r a t i o n s t h ep a p e ra n a l y s i sv e l o c i t ya n da c c e l a r a t i o n o ft rm a n i p u l a t ea n dc o m p i l et h ep r o c e d u r eo fk i n e m a t i c a lc a l c u l a t i o no ft rm a n i p u l a t o r f i n a l l y k e yw o r d s ： m a n i p u l a t o r sm o t i o n r e c u r r e n c ef o r m u l a d e s i g nm e t h o d i l 目录 摘要i a b s t r a c t 。i i 第一章绪论1 1 1国内外发展概况1 1 2本论文研究的主要内容6 第二章机械手运动分析的矩阵算法与递推算法7 2 1齐次变换矩阵7 2 2 手部姿态一8 2 3关节机械手的结构参数和坐标系选取。9 2 4机械手的位置和姿态方程1 1 2 5递推关系12 第三章7 r 机械手的直接位置解1 7 第四章7 r 机械手的间接位置解2 1 4 17 r 机械手的类型2 l 4 27 r 机械手的间接位置解2 2 第五章7 r 机械手间接位置的树状解确定3 6 第六章7 r 机械手的速度与加速度分析4 1 结论4 4 致谢4 5 ， 参考文献。4 6 1 1 1 1 1国内外发展概况 第一章绪论弟一卑殖比 机械手也被称为自动手，a u t oh a n d 。能模仿人手和臂的某些动作功能，用以按固 定程序抓取、搬运物件或操作工具的自动操作装置。它可代替人的繁重劳动以实现生 产的机械化和自动化，能在有害环境下操作以保护人身安全，因而广泛应用于机械制 造、冶金、电子、轻工和原子能等部门。 机械手主要由手部、运动机构和控制系统三大部分组成。手部是用来抓持工件( 或 工具) 的部件，根据被抓持物件的形状、尺寸、重量、材料和作业要求而有多种结构 形式，如夹持型、托持型和吸附型等。运动机构，使手部完成各种转动( 摆动) 、移动 或复合运动来实现规定的动作，改变被抓持物件的位置和姿势。运动机构的升降、伸 缩、旋转等独立运动方式，称为机械手的自由度。为了抓取空间中任意位置和方位的 物体，需有6 个自由度。自由度是机械手设计的关键参数。自由度越多，机械手的灵 活性越大，通用性越广，其结构也越复杂。一般专用机械手有2 - - 3 个自由度。 机械手首先是从美国开始研制的。1 9 5 8 年美国联合控制公司研制出第一台机械手。 我国现在的机械手发展也很快大致分为以下几类： 一、硬臂式助力机械手 硬臂式助力机械手有扭矩产生的情况下无法使用气动平衡吊或是软索式助力机械 手，而必须选用硬臂式助力机械手。比如在工件重心远离臂悬挂点，或是工件需要翻 转或倾斜情况下，必须选用硬臂式助力机械手，还有在厂房高度有限情况下，可以选 用硬臂式助力机械手。 硬臂式助力机械手可以实现提升最大5 0 0 k g 的工件，半径最大可以达到3 0 0 0 m m ， 提升高度最大1 8 0 0 m m 。配有储气罐，可在断气情况下继续使用一个循环，同时会报警， 提醒操作者，在气压下降到一定程度，启动自锁功能，防止工件下降。并设有安全系 统，在搬运过程中或是工件没有被放置在安全表面时，操作者不能释放工件。 二、软索式机械手 软索式机械手具有全行程的“漂浮”功能，但是提升位移比气动平衡吊要小，最 大只有1 8 0 0 m m ，而且最大负载只有1 0 0 k g 。 由于软索式助力机械手有双关节的机械臂来实现水平位移，工作半径可以达到 2 5 0 0 m m ，所以它比气动平衡吊具有操作更灵活、速度更快的功能。适合于工件重量轻， 但搬运节拍非常快的场合。 三、t 型助力机械手 它的前后左右位移靠导轨来实现。由于t 型助力机械手没有机械臂，因而它比硬 臂式显得小巧，更适合于操作空间狭小的场合。 t 型助力机械手的最大负载要比硬臂式小，只有2 0 0 k g ，但提升高度可以根据客 户要求设计，而且搬运范围要比硬臂式大的多。 四、气动葫芦 气动葫芦只需提供一定压力的压缩空气便能驱动，做到了低能耗、高效率。承载 范围根据型号不同从2 5 0 公斤到3 0 吨。还具有断气保护功能，在突然断气情况下，保 证工件不下降、掉落。 多自由度关节机械手能够完成难度高的动作，进行复杂、细致的作业，而且运动 灵活，受到机器人研究学者的重视。7 0 年代初美国和日本都开展了多关节机械手的专 门研究f 。 以上是介绍了机械手的分类，下面介绍一下对机械手发展影响很大的一种技术的 发展：气动技术。 随着气动技术的迅速发展，适用范围不断扩展，在最近的二十年间在各个行业的 自动化生产线上得到了充分利用。这种气动技术在与电气可编程控制技术完全融合后 使应用了这个融合整个系统的自动化程度有了更进一步的提高，控制方式比以前灵活 很多，使用性能也更加稳定；气动机械手、柔性自动生产线的在这个时代的高速迅猛发 展，对气动技术的要求比以前高了很多；而且随着微电子技术逐渐的在技术中使用，刺 激了电气伺服技术的进步，现代控制理论的研究，使气动技术从开关控制进入闭环比例 伺服控制，并且控制得准确程度也不断提高；由于气动脉宽调制技术具有结构简单、 抗污染能力强和成本低廉等特点，国内外都在大力开发研究。 从行业中各个国家、各个不同行业的统计结果来看，在最近三十年内，气动行业进 步的速度是无法比拟的。二十世纪七十年代，液压与气动元件的产值比约为9 ：1 ，而三 十多年后的今天，在像欧美、日本等工业技术发达的国家，液压与气动元件的产值比 例已达到6 ：4 ，甚至接近5 ：5 。我国的气动行业起步较晚，但发展很迅速。从二十世 纪八十年代中期开始，气动元件产值的年递增率达2 0 以上，高于中国机械工业产值 平均年递增率。随着微电子技术、p l c 技术、计算机技术、传感技术和现代控制技术 的发展与应用，气动技术俨然已成为实现现代传动与控制的非常关键的技术之一。 一、气动技术及气动机械手的发展过程 气动技术是以空气压缩机为动力源，以压缩空气为工作介质，进行能量传递或信 号传递的工程技术，是实现各种生产控制、自动控制的重要手段之一。结构简单、重量 轻、动作迅速、平稳、可靠、节能和不污染环境等特点就是他被工业界广泛钟爱的优 点。 气动机械手强调模块化的形式，现代传输技术的气动机械手在控制方面采用了先 进的阀岛技术( 可重复编程等) ，气动伺服系统( 可实现任意位置上的精确定位) ，在执 行机构上全部采用模块化的拼装结构。 二、气动机械手的应用现状 2 由于气压传动系统使用安全、可靠，可以在高温、震动、易燃、易爆、多尘埃、强 磁、辐射等恶劣环境下工作。气动机械手被广泛应用于汽车制造业、半导体及家电行 业、化肥和化工，食品和药品的包装、精密仪器和军事上。现代汽车制造工厂的生产线， 尤其是主要工艺的焊接生产线，大多采用了气动机械手。在彩电、冰箱等家用电器产品 的装配生产线上，在半导体芯片、印刷电路等各种电子产品的装配流水线上，也有应用。 此外，气动系统、气动机械手被广泛应用于制药与医疗器械上。如：气动自动调节病床， r o b o d o c 机器人，d av i n c i 外科手术机器人等。 三、发展前景及方向 l 重复高精度 在微电子技术和现代控制技术告诉发展的今天，以及气动伺服技术走出实验室和气 动伺服定位系统的成套化，气动机械手的重复精度将令人耳目一新，它的应用领域同时 也将更广阔，比如核工业和军事工业等。 2 模块化 模块化拼装的气动机械手比组合导向驱动装置更具灵活的安装体系。模块化气动 机械手使同一机械手可能由于应用不同的模块而具有不同的功能，扩大了机械手的应 用范围，是气动机械手的一个重要的发展方向。 3 无给油化 随着材料技术的进步，新型材料( o n 烧结金属石墨材料) 的出现，构造特殊、用自润 滑材料制造的无润滑元件，不仅节省润滑油、不污染环境，而且系统简单、摩擦性能稳 定、成本低、寿命长。 4 机电气一体化 由“可编程序控制器传感器气动元件”组成的典型的控制系统仍然是自动化技 术的重要方面；发展与电子技术相结合的自适应控制气动元件，使气动技术从“开关控 制”进入到高精度的“反馈控制”；省配线的复合集成系统，不仅减少配线、配管和元件， 而且拆装简单，大大提高了系统的可靠性。 目前在世界上形成了以日本、美国和欧盟气动技术、气动机械手三足鼎立的局面。 我国对气动技术和气动机械手的研究与应用都比较晚，但随着投入力度和研发力度的 加大，我国自主研制的许多气动机械手已经在汽车等行业为国家的发展进步发挥着重 要作用。由于气动机械手有结构简单、易实现无级调速、易实现过载保护、易实现复 杂的动作等诸多独特的优点，可以预见，在不久的将来，气动机械手将越来越广泛地进 入工业、军事、航空、医疗、生活等领域。 在下面我们从本课题要研究的7 r 机械手做出介绍： 从仿生学的角度看，7 自由度关节机械手( 以下简称7 r 机械手) 具有和人的手臂 类似的结构，其运动特性接近人手的机能，因而在机器人的研究中，尤其在智能机器 人的研究中具有特别的重要性【2 1 。已经有不少文献研究了这一特定形式的机械手【3 】【4 】。 但是7 r 机械手还有一些运动学问题和运动分析的主要困难没有得到很好的解决。 这些问题是【5 】： ( 1 ) 由已知运动参数求手部夹持器的位置和姿态的直接位置问题的求解，和由 已知手部夹持器的位置和姿态求各运动参数的间接位置问题的求解，计算 太复杂的问题。 ( 2 ) 没有普遍适用的直接位置解和间接位置解，不利于一般性的研究。 ( 3 ) 间接位置问题的树状解的确定。 自从1 9 5 5 年j d e n a v i t 和r s h a r t e n b e r y 提出低副机构运动学的矩阵林法后，这一 方法直是机械手运动分析的主要方法。矩阵林法是在每个联接构件上固练一个坐标 框架，通过坐标变换的形式描述杆件之间的相对运动。大多数运动分析的文献利用了 矩阵法讨论机械手的运动问题，但这一方法的运用基本上停留在初级水平上，文献中 只有美国学者r i c h a r c l p 。p a u l 等人对简化林法的问题做过探讨【6 1 。 7 r 机械手的直接位置解要进行7 个4 4 阶矩阵相乘的运标，求速度的直接问题 要进行7 次7 个4 4 阶矩阵的相乘，然后再相加的运动，求加速度的直接问题往往由 于计算太复杂只留于公式的形式。 间接位置解的求解是机械手运动分析中最困难的一项工作。没有统一的解法，在 建立求解运动参数的需要几何直觉选择几何等同性条件，结构不同，解的形式不同， 同一种机械手也会由于坐标系和几何等同条件选取的不同，解的形式也会不同。按通 常的解法，由几何等同条件得到某一运动参数的三角方程，包括了几乎所有的已知或 己求出的运动参数，计算也比较复杂。 7 r 机械手运动分析的结构，包含大量的超越函数计算( 一般是三角函数和反三角 函数) 和大量的代数运算。6 个以上自由度的关节机械手，计算复杂的问题都很突出。 计算量大必然要降低计算机的求解速度。对运动过程程序化的机械手可以进行先 期计算避免对机械手运动的影响。对要求有自适应能力或进行随机控制的机械手，计 算速度决定着机械手的运动精度和反应速度【7 1 。 已知机械手的手部夹持器的位置和姿态，求相应的运动参数的间接位置解，满足 手部夹持器位置和姿态方程的运动参数有不止一组，解的所有组成画成图形是一个三 叉树，叫间接位置的树状解。在用几何等同条件建立的三角方程求运动参数时，每个 方程都可以求出一个运动参数的两个解，所以对自由度为n 的机械手，如果通过已知 的位置和姿态条件可以求出每个运动参数，则运动参数共有2 n 组解。暂把由三角方程 求出的解叫做代数解。实际上，并不是每一组代数解都是满足位姿和姿态方程的树状 解，可以实现给定的位置和姿态，所以应该确定代数解中哪组解是树状解，哪些不是。 针对上面提出的问题，本篇论文分别给以如下形式的解决方法【8 1 ： 对于第一个问题，本文为便于计算提出三个建立坐标系的约定，并从矩阵算法演 变出一种递推算法。对直接位置解，这种算法推导方程十分简单，又容易表达成数学 计算量最少的形式，减少了计算机计算时数学操作次数；对直接位置问题，这种递推 关系也可以直接用于计算。因为计算每个量时都没有重复计算，所以数学操作次数也 4 是最少的。在间接位置解求解中，可以利用递推算法，很容易写出部分三角方程的中 间参量，对计算结果利用递推关系也能容易的进行检查。总之使解的过程和解的表达 形式变得清楚、简单。在求间接位置解的过程中，本文通过建立合适的三角方程，并 进行一再简化，使其中四个角的三角方程只包含一个己知运动方程，三角方程之间存 在着明显的对称性。 对于第二个问题，本文分析了7 r 机械手的类型，建立了简单的模型，求解除7 r 机械手统一形式的解，编制7 r 机械手普适的间接位置求解程序以及速度和加速度计算 的普适程序。 对于第三个问题，一般认为约束条件不够造成代数解比树状解药多得多，所以常 用建立更多的约束方程，同时求一个转角的正弦函数和余弦函数的办法，确定某个运 动参数的唯一解。另外也有人提出符号判定法，对7 r 机械手的6 4 组解都代入位置和 姿态方程验算。 1 2 本论文研究的主要内容 1 、本文找出了各三角方程之间的内在联系，发现了各运动参数的三角方程的解之 间的相关性，利用这种相关性，排除了部分不属于树状解的代数解，把代数解由6 4 组 降到1 6 组。 2 、再建立一个简单的约束方程验算，最后求出7 r 机械手的8 组树状解。 3 、从实际考虑问题的角度出发，编制程序时采用姿态角来直观的描述手部夹持器 的方向，其优点显而易见的。在直接位置和间接位置解的基础上，本文对速度和加速 度的直接问题和间接问题也进行了分析计算。 2 协b 二三章 机械手运动分析的矩阵算法与递推算法 1 齐次变换矩阵 “丹他 麓淤一 甜i 筹躲扪- i 蛛撇嘞懈懒铆帅枞懈 7 “，= 逆变换为： 2 2 手部姿态 s i no rc o s 口 i c o s o , c o s i s i n c r j o 晒驴p c o s o _ f s i n o , s i n a l c o s o , s i n a j c o s a f i o s i n gc o s 口j c o s o ，c o sj s m a i s i n g c o s o ec o s a i c o s o bs i n a j o 圳= 隆 ( 2 1 ) 茹s i n 0 , s i n a , c o s o , s i n a 。l 亿2 ， 一 。l ( 2 2 ) c 口j1 0 一 1 s m a i一口l c 。s i o 1 l q 3 ) ol - j s i n o , c o s o , c o sj c o s o is i n o c 图2 2 手部姿态示意图 ( 2 4 ) 如图2 2 ：描述手部夹持器姿态的三个单位向量规定如下：云是手部夹持器的伸展 方向，舌是手部夹持器开口平面的法线方向，c 一：历舌，所以： 8 只幺 菪5 | 饵q q 吣 q只峨叫 呷一吣o 她 詈 | 宝 云云= lb b = l 云c 一= 1 云舌：0 bo 石：0亭云：0 一般把末端杆件的坐标系原点选在末端关节轴上，与前一杆件坐标系坐标原点重 合，取末端坐标系轴与夹持器伸展方向一致，轴方向露= 云。 为了后面分析的方便，先讨论一下末端关节轴。的方向与手部夹持器姿态之间 的关系。 图2 3 方向关系图 jb k l l 如图2 3 所示，有三种可能的情况： ( i ) 吒一l 与历平行，兄一l = 厅 ( i i ) 口川与6 平行，兄一l = b ( i i i ) a 川与云平行，兄一l = 云 ( i ) ( i i i ) 两种情况比较常见，在后面的讨论中将不考虑第( i i ) 种情况。遇到这种情 况把b 向量作为孑向量参与计算，按情况( i i i ) 处理【l l 】。 2 3 关节机械手的结构参数和坐标系选取 全部由移动付联接的关节机械手，没有移动付，d j 与呸，口j 都是固定不变的结构 参数，只有p 是运动参量。关节机械手相邻的关节轴只取平行或垂直两种情况，例外 极少，不在研究之列。 当相邻两关节轴相互平行时，一般取两个子轴同向，口= 0 当相邻两关节轴相互垂直时，取三还是。三完全取决于延立坐标系的方式，与杆 9 件本身结构无关。为了计算的简单和方便，本文采用以下约定延立在杆件上的坐标系： 两个相邻关节轴平行时，取q 与口同向，q = o ； 两个相邻关节轴垂直时，选口，轴方向，使= 鲁； z 选适当的初始位置，使啦，4 为正值。 下面通过图示说明 图2 4 是关节机械手联接的常见形式之一1 1 2 j 。 c b 图2 4 机械手联接形式 d 如图2 4 所不是一种关节机械手的联接形式； 是不按约定时坐标系可能的选择方式。= 子，呸卅= 一要，显示q + ，= 0 。 二二 是按约定( 2 ) 选口j + l 的方向。口，= 要，+ l = 要。但不满足约定( 3 ) 口州 i ) k，=k，kh，=完篡；?09,-n耄q k ，】= k 】【c hf 】= lz 一。 1 ， 所i f o c ，i 【-嵋一。j | - o 1o j 融= 1 2 ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 、 注：q 、量为e o s o f 、s i n o j 的简写一下同 = 0 时： 得出 由上面关系可以得出： k，=ci一。，kh，菱毫：；!丧|-；了；0lg,ij l o0 k ，】= 一。】k h 刈z 一。 q 一。m h | i 墨q l i嵋一 吩一l l j 1 3 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) c 声 一 ! 卜z 鸭詈吒z 一 q 嵋 虬 + 一 一 墨 = 工 d ob ：吉 l l = = 岛坼 q 岛 o吩 甜 + r s q q 4 巳 巳 一 ，p一吐办巩以 c d 1加 嚷：z 匕册 ，q s 卜 + ， + 叫#“ _ g 一 = | | l i 蜀嵋怫 ( 1 ) e ，是由e h ，甜h ，j l 和谚推出的；z ，肌，是由z l ，一一l ，聊h 和只推出的；，w j ，是由g h ，心一，珥一。和只推出的， 上面三组量中，每一组量只和低一阶矩阵对应的三组量有关，从计算的角度 b 。嵋一) ，g ，) ，q ) 之间彼此没有关系，相互都是独立得出的。 ( 2 ) 0 ，蚝曲，聊。) 和( g ，w j 啊) 的每组关系式表示了一种递推关 系，而且各组量的递推关系是对象相同的。 ( 3 ) 由( 2 ) ，递推关系中对应的量q ，z ，g 。之间，_ ，嘭之间，l j ，脚。， 之间的差别只是递推计算时初始值不同； ( 4 ) 同组量之间，咋) ，一朋，) 之间和( g ，嵋) 之间的差别是最 后一两个三角函数参与运算的差别； ( 5 ) 在口t 2 0 或呸= 詈时，q ，z ，蜀的递推关系始终是不变的，。o 时t 的 递推关系与= 三时的递推关系相同，2 0 时的递推关系与= 兰时，的递 推关系只差一个符号【1 4 】。 k ，】中元素的意义： i 坐标系三个坐标向量，毛在基坐标系向量分量为： l 10 0 i k 。】k 。：】k 。，】k 刈0 10l = k 。】 【0 0 1 j 所以： i 在基坐标系的分量为o ，zg ，) z 在基坐标系的分量为0 。_ w ) j i ：在基坐标系的分量为 鸭) k 。】的每一列表达i 坐标系坐标轴的方向 手部夹持器的位置和姿态用递推关系表示为：n 自由度关节机械手手部姿态： 历( 厶r t n ) ，6 ( 巳z) ，石( 屹) 1 4 得 由q 与t 同 出： 轴，西与z h 同轴，手部杆长“。与z 。同轴，手部夹持器的位置可以 n + l一 = l j _ 1 d j - 4 - 一+ l e i a i 蚱= m h z + e i a j蚱2 乙h 珥+ 乙 i = li = 1 递推关系可用下面方法简化： ( 1 ) 口l = 口2 = = 口= n + l z ，= 隅+ 以g ，咋，) 为例，递推关系化为： ( 2 ) 当口- = 三，口，+ - = o 时： i = l 一 g 麒 j = l q + ；= p ，c m + 材，s 川= g q + 材h 磊 川+ ( p h 最+ 甜h q m 2 p f l c 嘶+ 1 ) - i - 甜f 一 + ( “1 ) 材= = t l ，m = 乞s m - - ，c i + i = g h c 。+ 甜h b 一( - 巳一。墨+ 材h q - 川 2 p ，一一+ ( 川一”j - ic i + o + 1 ) ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) 可以得出： 当两个关节轴平行时，可以把两个运动参量看做一个运动参量 + p + 。) 1 5 同 时 万一2 砖q t 之 t + 一 ，岛 4q 巳 = = = 所以斫 按口- = 三的公式计算后一个坐标系的坐标轴方向。 这样处理，递推关系简化成一组，而且递推计算两个量巳，就可以了。 _ 聊j ) ，包嵋碍) 的关系也样，推到从略。 由推到过过程可以看出递推关系的初始坐标如果不是基坐标系，上述结果依然 成立。 注：s ，+ ) 、q + o + 。) 为s i n + 只+ 。) ，c o s ( o , + 谚+ 。) 的简写，以下同。 1 6 第三章7 r 机械手的直接位置解 利用递推关系，7 r 机械手的位置和姿态方程可以写成【1 5 】： e1 f ，竹 g 刀 n + 1月 p ，易，j 一，珥+ 叩， i = 1 i = l f 1m 1 n + l 鸭一。吐+ z 口， i = lj - l n + l g ，嘞力h 或+ z g ， i = 1j ；l ( 3 1 ) 已知机械手的运动参数2 ，求手部位置和姿态，利用递推关系写出方程右端的表 达式入计算，或者用递推关系直接进行计算都能求出。 下面给出一个例子，如图3 1 所示： 图3 1 机械手运动参数示意图 如图3 1 ：口2 口z = = 口，= 三，以o ，以o ，反o 其余z = 0 ，= 0 由递推关系写出7 r 机械手的间接位置解表达式： e 72c l c 2 c 3 c 4 c 5 c 6 c 7 + s i s 3 c 4 c 5 c 6 c 7 + c l s 2 s 4 c 5 c 6 c 7 + c l c 2 5 3 s 5 c 6 c 7 一j l c 3 $ 5 c 6 c 7 + c i c 2 $ 3 s 4 s 6 c 7 - - s ! c 3 s 4 s 6 c 7c 1 5 2 c 4 s 6 c 7 + c l c 2 巳c 4 s 5 s 7 4 - s i s 3 c 4 s 5 s 7 + c l s 2 s 4 s 5 s 7 一c i c 2 s 3 c 5 s 7 + s i 包c 5 s 7 1 72q c 2 c 3 c 4 c 5 c 6 c 7 + s l s 3 c 4 c 5 f 6 s 7 + c l s 2 s 4 c 5 气白+ c l c 2 s 3 s 5 c 6 s 7 一巳气s 7 + c l c 2 s 3 s 4 s 6 s 7 一s i c 3 s 4 $ 6 s 7 - - c i s 2 c 4 $ 6 s 7 一c c 2 c 3 c 4 s 5 c 7 一量s 3 c 4 s 5 c 7 一c ! s 2 s 4 s 5 c 7 + c l c 2 s 3 c 5 c 7 + 墨c 3 c 5 c 7 m 72s l c 2 c 3 c 4 c 5 c 6 s 7 一q j 3 c 4 c 5 c 6 s 7 + s i s 2 s 4 c 5 c 6 s 7 + s i c 2 $ 3 s 5 c 6 5 7 + c l c 3 s 5 c 6 s 7 + s 1 c 2 s 3 s 4 s 6 s 7 + c i c 3 s 4 s 6 s 7 - - s i s 2 c 4 $ 6 s 7 - - s ! c 2 c 3 c 4 $ 5 c 7 + c i s 3 c 4 s s c 7 一$ 1 s 2 s 4 s 5 c 7 + s i c 2 s 3 c 5 c 7 + c t c 3 c 5 c 7 n 12c 2 c 3 c 4 c 5 c 6 s 1 一$ 2 c 4 c 5 c 6 s 7 + s 2 s 3 s 5 c 6 s 7 $ 2 s 3 s 4 s 6 s 7 + s 4 s 6 s 1 + $ 2 c 3 c 4 $ 5 c 7 - - s 2 s 4 s 5 c 1 - - $ 2 s 3 c 5 c 7 工，= ，7 哦+ g l c 2 c 3 s 4 + 五s 3 s 4 一q j 2 c 4 x 屯+ q j 2 以 y p = m 7 哝+ g l c 2 c 3 s 4 一c l s 3 s 4 一毛s 2 c 4 5 + s i s 2 以 z p = 刀7 蟊+ g 2 c 3 + s 2 c 4 k s 2 喀 用表达式求直接位置解，数学计算量包括：调用1 4 个超越函数( 正弦函数，余弦 函数) ，2 3 2 次乘法运算，5 4 次加减运算 直接用表达式求解计算，可以发现其中有许多的重复计算，因此可以提取公因式 等方法化简。 由递推关系： p 7 = g 4 c 5 + p 3 j 5 ) 吒+ p 4 s 6 c 7 + g 4 s s p 3 c 5 b 7 这里c 7 、s 7 、c 6 、s 6 没有重复计算，s 5 、c 5 各有一次重复计算，或者写成： 1 8 ( 3 2 ) 手部夹持器位置： 其中： p 7 = p 4 g 5 c 6 c 7 + s 5 s 7 ) + p 4 s 6 c 7 + e 3 ( s 5 c 6 c 7 一岛c 7 ) = e 4 e 4 7 + e 4 9 4 7 + e 3 l 7 1 72e 4 e 4 7 + p 4 刀4 7 + p 3 m 4 7 m 72f 4 e 4 7 + m 4 刀4 7 + m 3 m 4 7 刀7 29 4 e 4 7 + n 4 r 4 7 + 刀3 m 4 7 x p2 1 1 d | + e 4 d s + c l s 2 d 3 y p = m 7 哝+ m 4 d 5 + j l s 2 以 z p2 n l d s + n 4 d 5 一c 2 d 3 e 4 = ( c l c 2 巳+ s l s 3 - 4 + c l j 2 c 41 3 2 c l c 2 c 3 一j l c 3 l = 0 l c 2 巳+ s l s 3 必4 一c l s 2 q m 3 = j l c 2 c 3 + q c 3 = g l c 2 c 3 一c i s 3k 4 + j l j 2 s 49 42 s 2 c 3 f 4 一f 2 s 4 m 4 = g l c 2 岛一c l s 3 砖4 一s z s 2 c 4 ”4 = j 2 c 3 s 4 + c 2 c 4 气72 c 5 c 6 c 7 + s 5 s 7 n 32 $ 2 5 3 9 4 72s 6 c 7 1 9 六7 2 s 5 c 6 f 7 一c 5 s 7 ( 3 3 ) ( 3 4 ) ( 3 5 ) j 1 4 7 - - c 5 c 6 s 7 - - $ 5 c 7刀4 7 - - $ 6 s 7 朋4 7 ：c 6 s 7 + c 5 岛 这样先计算中间参量，再求手部姿态和位置，数量计算量包括：调用1 4 个超越函 数，进行7 5 次乘法运算，3 0 次加减运算。与表达式计算相比，乘法运算减少1 5 7 次， 降低了两倍多，加法运算减少2 4 次，降低近一倍。 第四章7 r 机械手的间接位置解 4 17 r 机械手的类型 多关节机械手的共同特点，是手部的位置主要靠大臂、小臂的屈伸来实现，手部 的姿态主要靠转动实现。虽然从理论上分析，结构参数的选取和变化，使机械手的有 许多种形式，但考虑到机械手的性能、用途和加工，实际应用的机械手还是要少的多。 比如，在绝大多数情况下，两臂的机械手已经能够到达空间各点，而是要制造一个6 个臂或7 个臂的机械手则是一种浪费。 7 r 机械手多是类似人手臂结构的形式，本文的讨论也是针对这种机械手的。这样 的机械手犹如下的特征如图4 1 ： 图4 1 机械手特征图 1 7 r 机械手由肩、大臂、肘、小臂、手臂组成； 2 肩部关节和腕部关节各式三个自由度，肘部关节一个自由度； 3 肩和腕的距离由肘部一个运动参数确定。 具有这种特征的7 r 关节机械手的结构参数满足： ( i ) 口l = 口2 = d 2 = d 4 = 口5 = 口62 口7 = d 72 0 ； ( i i ) 口= 口：= = 瓯= 詈；否者将成6 自由度或更低的自由度的机械手。 2 l ( i i i ) 口3 、以有一个不为零。有三种情况：口，2o a 寸，以= o ，口，o ；口，= 三时， 口3 = 0 ，d 3 o 或口3 0 ，d 3 = 0 。 ( i i i i ) 口4 ，鲰有一个不为零。也有三种情况：2 0 m a 4 o ，d 5 = o ；= 三时 口4 = 0 ，d 5 o 或吼0 ，d 5 = 0 考虑到手部也有两种常见形式，元、z ， 同轴，口，= o ；z s 与c 同向口，= 三，所以7 r 机械手共有3 3 2 = 1 8 种实用结构类型。 4 27 r 机械手的间接位置解 间接位置解就是对给定手部位置和姿态，求出的能够实现其位置和姿态的运动参 量。 6 个自由度可以确定机械手的位置和姿态，7 r 机械手有7 个自由度，其中一个自 由度是冗余自由度，因此有无限多组运动参数的解能够满肚位置和姿态方程。当对7 r 机械手冗余自由度进行约束后，运动参数就有确定的解。除肘部关节外，其它关节转 角都可以看做产生冗余自由度的运动参量。 设给定7 r 机械手的位置和姿态如下： 夹持器中心位置在基坐标系内的坐标为b py pz p ) ，夹持器伸展方向 a ( 1 所疗) ，夹持器开口平面法线方向b ( efg ) 。 只的求解 7 r 机械手由1 8 种类型，为了求统一形式的解，考虑一种结构模型，能使求得的 间接位置对每一种机械手都适用。 如图7 所示，是求只而假设的模型，其中： 口，= 三，口= 三，口，o ，口o ，也o ，d ，o 因为口，= 詈，口= 三，所以口3 、吼、以、以始终在一个平面内， 0 口 o 图4 2 机械手结构模型图 b 设腕部坐标为g dy dg d ) ，从基坐标系原点到腕部的距离为r 则： x d = x p l d s y d 。y p m d s z d 2 z p 一硼 r 2 = 而2 + 露+ z 三 ( 4 1 ) ( 4 2 ) ( 4 3 ) ( 4 4 ) 由图4 2 ( b ) ，当日转动一个角度后，因为口3 、口4 、以、以仍在同一平面内，所 以有： 化简得到： r 2 = p 3 + 口4s i n 0 4 一d 5c o s 色) 2 + ( 口3 + 口4c o s 0 4 + d 5s i n 0 4 ) 2 其中：a = 2 a 3 口4 2 d 3 d 5 a c o s 幺+ b s i n 以+ c = 0 b = 2 d 3 a 4 + 2 a 3 d 5 c = 口；+ 刃+ 西+ 一r 2 ( 4 5 ) 令，= 碍，账。s 幺= 丽1 - - t 2 ， 并化简求解得到： 只有两个解： s i l l 以= 熹代入( 4 1 ) 式 k ：型雾 只= 2 a r c t g t 幺l = 2 a r c t g t i ，见2 22 a r c t g t 2 ( 4 6 ) ( 4 7 ) 上述计算对= 詈，= 三的四种情况：以，以不为零，口3 ，口4 不为零，吩，d 5 不为零，以，0 4 不为零，显然是适用的。 当口，= 0 时，以与其它参数口3 ，a 4 ，哝不在一平面内，但7 r 机械手当口，= 0 时， 以= 0 ，上述计算中令以= 0 ，公式也适用。口。= o 时，情况也一样，公式继续适用。 q ，岛，岛之间的关系 7 r 机械手腕部的坐标由运动参数计算时 x d = e 4 a 4 + ，4 d 5 + e 3 a 3 + ，2 以 y d = a a 4 + m 4 d 5 + 石口3 + 肌2 以 z d2 9 4 口4 + 刀4 d 5 + 9 3 a 3 + 刀2 以 当口3 = 1 2 时，把( 4 3 ) ( 4 4 ) ( 4 5 ) 写成下面形式： x d = b f 2 c 3 + 而s 3g i + c l s 2 e y d = “c 2 c 3 一q j 3 她+ 叩2 e z d = 8 2 c 3 e l c 2 e 2 4 ( 4 8 ) ( 4 9 ) ( 4 1 0 ) ( 4 1 1 ) ( 4 1 2 ) ( 4 1 3 ) 系 其中： 一 也l 2a 4 c 4 + s 4 d s + a 3 当口3 = 0 时：以= 0 其中： = 0 4 5 4 一d 5 q + d 3 ( 4 3 ) 、( 4 4 ) 、 ( 4 5 ) 写成下面形式： x d = g 。c ：c 3 + s 。s 3 弘之一g 。c 2 屯一墨f ，弘巴 y d = g l f 2 勺一c l s 3 ) e 2 一g l c 2 5 3 + c l s 3 弘 = s 2 c 3 易一j l s 3 e e 2 = a 4 c 4 + d s + a 3 e h ( 4 6 ) x c 。+ ( 4 7 ) x s 。得： 由( 4 8 ) 得： c 3 五=+ c 2 e s 2 x d c l + y d = c 2 c 3 互+ s 2 e 代入上式得： ( 4 6 ) x s 。一( 4 7 ) c 。得： x d c ! + y d s t 1 - - x d j l y d c i2e l s 3 = a 4 一d s c 4 ( 4 1 4 ) ( 4 1 5 ) ( 4 1 6 ) ( 4 1 7 ) ( 4 1 8 ) ( 4 8 ) 式( 4 1 2 ) 式( 4 1 3 ) 式表示出岛= 三时岛于岛与岛、b 与岛、b 与b 之间的关 ， 【注】c t 2 表示c 信睦的简写，一下同。 用同样的方法，有方程( 4 9 ) 、( 4 1 0 ) 、( 4 1 7 ) 可得出： e 一屯 +2rc d z x d c l + y d 2z o c t 2 x d $ l y d c l = 易s 3 + e c 3 = s ：佤岛一只s ，) ( 4 1 9 ) ( 4 2 0 ) ( 4 2 1 ) 为统一求解，把方程( 4 1 2 ) 、( 4 1 3 ) 、( 4 8 ) 与方程( 4 1 4 ) 、( 4 1 5 ) 、( 4 1 6 ) 合成一 组方程： 其中 x d j l j ，d c l 2 e s 3 + g c 3 孕+ 砌2 = e c 3 一g s 3 s 2 e = a 4 c 4 + s 4 d 5 + a 3 ，：孕一d s c 4 + d ，) 万 g = ( 一争 。_ 以训 ( 4 2 1 ) ( 4 2 2 ) ( 4 2 3 ) 当已知或者求出b 、岛、岛中任意一个参