（电工理论与新技术专业论文）基于传输函数的vfto下变压器绕组建模与仿真研究.pdf

声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文基于传输函数的v f t o 下变压器绕组 建模与仿真研究，是本人在华北电力大学攻读硕士学位期间，在导师指导下进行的研 究工作和取得的研究成果。据本人所知，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中 不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得华北电力大学或其他教育 机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名： ! 墼丛 日期： 关于学位论文使用授权的说明 本人完全了解华北电力大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保管、 并向有关部门送交学位论文的原件与复印件；学校可以采用影印、缩印或其它复制手 段复制并保存学位论文；学校可允许学位论文被查阅或借阅；学校可以学术交流为 目的，复制赠送和交换学位论文；同意学校可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学 位论文的全部或部分内容。 ( 涉密的学位论文在解密后遵守此规定) 作者签名：皿 导师签名：翌墨控! 日期： 协“_ 7 日期： 华北电力大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 陡波前过电压( v f t 0 ) 气体绝缘变电站( g a sl n s u l a t e ds u b s t a t i o n ) ，又称为全封闭组合电器，与 空气绝缘变电站( a i ri n s u l a t e ds u b s t a t i o n ) 相比，它具有占地面积小、运行安 全、维护方便以及与周围环境隔绝等诸多优点，因此，气体绝缘变电站在世界各地 的应用越来越广泛( 尤其在大都市的配电站更是如此) ，我国的各省市近年来也相 继有大批气体绝缘变电站电站投入运行。 在隔离开关操作过程中，隔离开关触头的运动速度很慢( 数量级为1 c r i l s ) ，处 于s r 气体内的触头之间产生电弧的多次熄灭与重燃，由于s f 气体的特殊性质，在 金属套管内产生了波头很陡的电压流动波，波头时问一般为4 至2 0 n s ，并向两端传 播。由于集肤效应，高频电流只存在于母线导体的外表面和金属壳的内表面。当波 遇到连接处，将产生反射与折射，进而产生波与波的叠加，形成了陡波前过电压波 形。此波形包括多个频率段，各个频率段的电压幅值不同。 v f t 0 波形包括多个频率段，形成的总的波形比较复杂，通常由四个分量组成”1 ： 1 ) 阶跃电压； 2 ) 由于g i s 内母线管道( 即电晕屏蔽，弯管等) 波阻抗的多次微弱变化形成的 极高频范围( 最高达1 0 0 m h z ) ： 3 ) 由于g i s 母线管道和电缆末端或架空线终端处波阻抗的显著变化而引起的 反射形成的高频范围( 最高达3 0 m h z ) ； 4 ) 由于外部设备的大电容( 如电容式互感器或输电线载波系统的耦合电容) 引 起的谐振产生的低频范围( 0 1 5 m h z ) 。 这样陡的电压侵入变压器等电力设备，会对设备造成干扰或故障。一方面形成 沿线圈或导体极不均匀的电压分布，大部分电压降落在靠近入波端的一小部分线圈 或导体上，电位梯度极大，破坏变压器的匝问绝缘；另一方面主频为数十兆赫兹的 高频侵入电压可能会激起变压器内部的电磁振荡，引起过电压，造成变压器绕组匝 间绝缘和主绝缘的损坏。随着g i s 在超高压输变电系统中越来越广泛的应用，在g i s 内因正常的隔离开关操作等而产生的v f t 0 对变压器及其它电气没备造成了一些事 故，我国也多次发生了同类事故。例如，1 9 9 2 年大亚湾核电站一g i s 变电站的三相 有载调压变压器发生了击穿、短路事故。事故现场分析结论为引起事故的原因是由 于5 0 0 k v 侧g i s 内隔离开关操作产生了v f t 0 以及变压器绕组绝缘设计上存在缺陷， 致使合闸瞬问在5 0 0 k v 绕组的第一段击穿。另外气体绝缘变电站中变压器出现的故 障在原因不明的情况下，目前往往归咎于v f t 0 。v f t 0 对变压器影响的研究目前尚 处于起步阶段，因此，开展v f t 0 对变压器影响的研究是非常必要的。 华北电力大学硕士学位论文 1 2 本课题国内外研究现状 1 2 1v f t o 对变压器影响的研究现状 研究v f t o 对变压器影响的方法主要有产品测量法。“ 干口建模分析方法”1 “。 1 产品测量法是指对实际变压器产品进行线圈冲击暂态电压分布测量。这种方 法的优点是直观，缺点是很难测量变压器内部线圈各点的响应情况，故很难找出其 分布规律。另外，这种方法在产品设计阶段无法使用。 2 建模分析方法是通过分割变压器线圈为若干单元来建立详细的内部模型。根 据实际需要，模型又可分为集中参数模型、分布参数模型和集中一分布参数混合模 型。 1 ) 国内外比较成熟的变压器模型是低频和中频下绕组的集中参数模型。例如： e m t p 。f 的b c t r a n 和t r e l e g 这两个标准的变压器模型可以非常准确地反映变压器在 开路和短路试验下的情况，但是这些模型不能考虑与频率有关的铁耗和铜耗以及杂 散电容的影响；e n r i q u e 建立了另一种集中参数的变压器模型，它把各绕组等效 为n 个部分和一些辅助电路，每个主要的电感支路都和所有的辅助电路相联系，这 反映了实际中匝间电磁场的相互影响。该模型能够准确地描述变压器的铜耗。 2 ) 对于变压器的高频模型的研究，早期由于其复杂性、适用性等限制因素几 乎没有什么发展。随着变压器的电压等级提高，同时电网规模和复杂化程度大大增 加以及g i s 变电站的出现，原来所用的集总参数的基本条件不再成立，所以国内外 的学者开始用分布参数电路来研究变压器，即出现了变压器的多导体传输线模型。 该模型又可以分为分布参数网络模型和分布和集中参数电路组成的混合模型两种， 方法直接，但是计算繁琐，计算的结果不够准确。 3 ) 文献 1 3 、1 4 从测量变压器绕组各饼散射参数出发和基于变压器绕组多导 体传输线模型单位长度参数矩阵，推导了变压器绕组线圈的电压传输函数，应用矢 量匹配及p a d e 逼近技术得到其降阶模型，在此基础之上建立了变压器绕组的集中 参数电路模型。该方法思路清晰，为研究v f t o 下变压器绕组的波过程提供了一条 良好的途径。但是文献所用p a d e 逼近在对传输函数达到某一逼近阶数时，其精度 不再随逼近阶数的增加而提高，甚至精度变差，其规律不易掌握。因此导致所建电 路模型精度较低，不能准确的反应v f t o 在绕组线圈中的传播特性。 4 ) 文献 1 5 、1 6 以变压器绕组每一匝线圈为单元建立了变压器绕组的多导体 传输线( m t l ) 模型，采用有限元法计算了建模所需的变压器绕组参数。并基于传输 函数确定了v f t o 经过变压器绕组时的谐振频率及谐振点定位。其所提出的模型和 计算方法用来研究v f t o 作用下变压器绕组中的波过程以及谐振问题是可行的。 华北电力大学硕士学位论文 1 2 2 阶数缩减技术的研究现状 对于频域特性复杂的传输函数( 或阶数很高的有理函数) ，其数学分析非常困 难，尤其是变换到时域分析时就更为复杂。因此，寻求一种形式简单( 阶数较低) 而特性又和原高阶传输函数逼近的函数，对频域、时域分析均具有重要而实际的意 义，这种数学手段称为阶数缩减( o r d e r - r e d u c t i o n ) “。 高阶模型的阶数缩减方法主要分为两大类：时域方法和频域方法。时域方法通 常与状态空间有关，频域方法则与我们所感兴趣的系统传输函数或电路代数方程有 关。目前，较为常用的频域阶数缩减方法有劳斯逼近法“8 “2 ”1 ，p a d e 逼近法“。2 ， 多点p a d e 逼近法。，渐近波形估值法”，p r i m a 逼近法”，k r y l o v 子空间映射“1 等等。这些方法各有特点，在降阶处理中均有一定应用。 最早出现的模型降阶方法是p a d e 逼近法。p a d e 逼近法是由帕德( p a d e ，1 8 9 2 ) 首先提出，并由沃尔( w a l l ，1 9 4 8 ) 加以推广的。p a d e 逼近是同时将原网络函数及 p a d e 逼近式在s 域中某一点的周围邻域中展开成幂级数，令两者展开级数的同幂次 项的系数相等，从而决定p a d e 逼近分子分母多项式的系数。p a d e 逼近方法简单、易 于编程，低频( 稳态) 拟合性能好。但是，p a d e 逼近法的高频( 动态) 拟合性能较差， 且不能保证降阶模型的稳定性，且p a d e 逼近在对传输函数达到某一逼近阶数时，其 精度不再随逼近阶数的增加而提高，甚至精度变差，其规律不易掌握。针对p a d e 逼 近的这些缺点，人们对p a d e 逼近进行了各种改进。如由单点展开延展到多点展开( 即 所谓c h f 方法) ，与p a d e 逼近相比较，其效果有所改善，但都无法从根本一h 解决p a d e 逼近不能保证降阶模型的稳定性的缺点，且计算更加繁琐。另外，基于p a d e 逼近的 渐近波形估值法( a w e ) 虽然思路简单，但其降阶函数却不能保留原来高阶函数的 稳定性。 k r y i o v 子空间变换方法( 如：l a n c z o s 、a r n o l d i 以及合同变换法) 是将p a d e 近 似有理函数或部分分式的形成作为系数矩阵特征值的求取过程处理，并且将原来的 网络函数以高阶矩阵的特征值表示近似等效为低阶矩阵的特征值表示，因而达到阶 数缩减的目的。该方法在一定程度上解决了p a d e 逼近方法所存在的稳定性问题，但 是，子空问变换方法步骤繁琐、计算量较大仍不能完全令人满意。 p r i m a 法是一种基于a r n o l d i 算法的阶数缩减方法，降阶模型能保证原来高阶函 数的稳定性，而且p r i m a 法逼近效果良好。但是p r i m a 法的缺点也很明显：步骤繁杂， 计算量较大。 劳斯逼近法( r o u t h ) 足一种混合型的连分式降阶法，其降阶摸型的分母直接 取决于原高阶系统分母多项式的系数( 或系数阵) ，而与分子多项式系数( 或系数阵) 无关，所以，只要原高阶系统稳定，就能保证降阶模型也是稳定的。改进的劳斯逼 近法不仅能保证降阶模型也是稳定的，而且还能很好的保留原来高阶函数的高频信 1 华北电力大学硕士学位论文 息，且计算简单。 1 3 本文完成的主要工作 本文从变压器绕组线圈的传输函数出发，主要研究了v f t o 下变压器绕组以匝 为单位线圈的高频电路模型中有理传输函数的阶数缩减方法及其传输函数电路建 模的参数计算与仿真验证。其中，良好性能阶数缩减技术的采用有效的降低了有理 电压传输函数的阶数，从而简化了电路结构，降低了建模难度，明显改善了变压器 绕组的电路模型精度。应用该模型可以通过计算机模拟变压器在v f t o 作用下绕组 内部的波过程，这对于改进变压器的绝缘设计以及提高电力系统的安全性将起到重 要的作用。 本文的具体工作包括以下内容： 1 采用矢量匹配法对变压器绕组线圈的电压传输函数进行了有理式拟合。 2 直接对矢量匹配得到的高阶有理电压传输函数进行建模会导致电路结构庞 大，增加建模难度，为此，在综合比较了多种常用频域阶数缩减方法的基础t ，采 用改进的劳斯( r o u t h ) 逼近法对电压传输函数有理式进行了降阶处理。 3 基于传输函数建立对应的电路模型，详细计算了变压器绕组各匝线圈集中参 数电路模型的元件参数，并进行了仿真验证。其仿真结果与各匝线圈计算电压输出、 测量电压输出相比较，二者吻合良好。结果表明，采用本文所提出的基于改进劳斯 逼近法进行阶数缩减的变压器绕组建模方法是准确可行的。 华北电力大学硕士学位论文 第二章预备知识 2 1 变压器绕组各匝线圈的电压传输函数“6 1 为了满足研究的需要，我们特别制作了图2 1 所示的变压器绕组线圈模型，其 基本参数如表2 1 所示。绕组的各饼由两板夹紧，用一个接地的铁桶固定在绕组内 部来代替铁芯。绕组的下端接地，上端为输入端，由上到下各饼序号依次记作 1 ，2 ，3 ，1 8 。 图2 一l 变压器绕组模型图 表2 1 变压器绕组线圈的基本参数 线饼数 1 8 每饼匝数 l o 导体宽度 6 9 5m m 导体高度 1 1 2m m 导体平均长度( 每匝) 1 4 8 2 8m 匝间距 3 0 0l l l m 绝缘介电常数 3 5 首先，建立变压器m t l 模型时，作如下假设： ( 1 ) 线圈的平均直径大于其幅向尺寸( 绕组的径向宽度) ，因而忽略线匝弯曲 的影响； ( 2 ) 近似认为所有线匝长度相等，取平均长度。 根据变压器绕组的匝连接方式，以匝为单元可得如图2 2 所示的变压器绕组的 m t l 模型。 华北电力大学硕士学位论文 u 。 ： isl】r l 卜 ： ) 2 等l _ = 三= = 三等芸# 一， = 兰= 二二二二二止 图2 - 2 多导体传输线模型 图2 - 2 所示的m t l 模型电报方程的时域形式可表示为： 一垫：r i + l 垦 堂0 t ( 2 1 ) 堕：g u + c 塑 式中，u 和i 分别表示沿线的电压和电流向量，r 、l 、g 、c 分别为变压器绕 组单位长度的电阻矩阵、电感矩阵、电导矩阵和电容矩阵。式( 21 ) 的频域形式为： 一d u ( r + ，l ) i dx ( 2 2 ) 一粤：( g + 问c ) o 由式( 2 - 2 ) 可得下列形式的方程 d 2 u ：z y u ：f 2 u 宅。( 2 3 ) 粤：y z i ：r ；i 式巾，z = r + f l o l 和y = g + 徊c 分别为单位长度串联阻抗和并联导纳；f = 夏i 和 r ：泛分别为传播常数矩阵。方程( 23 ) 的解为 u t = e - r 。u l + e “u2 i ，= v o ( p 。u 】一g “u ! ) ( 2 4 ) 式中，u 。，u ：为待定常数列向量，v o = z f = y f “为特性导纳矩阵。 对于任意一根传输线，用s 表示首端，用“r ”表示末端，如图2 - 2 所 示，即u s ( i ) 和( f ) 分别表示第i 根传输线在x 20 处的电压和电流值；u 。( f ) 和i r ( i ) 表示第i 根传输线在x = ，处的电压和电流值。 华北电力大学硕士学位论文 变压器绕组的边界条件为：第i ( f _ l ，2 ，n 一1 ) 根线末端的电压等于第( i + 1 ) 根 线首端的电压，而第根线末端的电流与第( i + 1 ) 根线首端的电流大小相等方向相反 第一根线首端接电源，第v 根线末端接地，或接负载，或悬空。共有2 n 个边界条 件，为线匝总数。即 u 。( 1 ) = u o ，输入量 弧( f + 1 ) = ( i ) ( 2 5 ) i s ( i + 1 ) = 一i r ( i ) ( i = l ，2 ，3 ，n 一1 ) 将x = 0 和x = ，代入式( 2 1 ) ，可得 整理得 u s2 u l + u2 u r = c - f i u l + e r u 2 i s = v o ( u l u ! ) l r = y o ( e 一。7 u 1 一p 。7 u 2 ) 剖- v o 斟 艮。邪： 类似单导体推导中的式( 2 - 1 ) ，可得如下表达式 简记为 i s y 0 c o t h f i l i 。j 2 l y 0 c s c l l l l f y o c s c h f l f u s y 0c 。t h 兀儿u 。j 卧y l u r 式中，y 称为m t l 多1 5 1 网络的短路导纳参数矩阵，且 y ：ly o 。0 m 兀一y 0 鼯龃1 | - y 0 c s c h f ly 0c o t h f l 将式( 2 - 6 ) 展开，得 ( 2 - 6 ) ，、l r e 心k 华北电力大学硕士学位论文 i s ( 1 ) = r i 。( 1 ) + 墨：坫( 2 ) + f 。i 。( ) + i 。( 1 ) + 斗i ：，u r ( n 一1 ) + x 2 。昧( ) 乓( 2 ) = e ，。氓( 1 ) + 墨：c ，s ( 2 ) + - k 。u s ( v ) + e ，。+ 。( 1 ) + + 墨：。( 一1 ) + y 2 ，：。( ) ，s ( 3 ) 2 e j ( 1 ) + 墨z u a 2 ) + _ 墨+ ”( ) + 墨，。( 1 ) + + 墨，：。一。( 一1 ) + e ：。( ) 厶( 1 ) = i 】u s ( 1 ) + l 2 ( 2 ) + k l ，( _ ) + k 忡( 1 ) + + “2 ( j v 一1 ) + “：。( ) k ( 2 ) 2 2 ，( 1 ) + ，z ( 2 ) + ，”( ) + 州( 1 ) + + 写m 。( 一1 ) + + 2 , 2 n ( ) 厶= 蔓”。( 1 ) + 蔓2 ( 2 ) + 蔓m ( ) + k 。，。( 1 ) + + 蔓眦。( 一1 ) + 艺n 2 n ( ) 应用边界条件( 2 - 5 ) ，可以将上述2 n 个方程化为下列( n + i ) 个方程 ( 1 ) = i 。( 1 ) + ( k 2 + i + 。) ( 2 ) + ( i 。+ k ：。) ( ) + k ：。( ) o = ( e ，】+ k “1 1 ) 嵋( 1 ) + ( k2 + 2 + 蔓，肌l + 】缸1 m ) ( 2 ) + + ( e ，。+ “。+ k ：。+ 。) ( ) + ( e ：。+ k n 。) ( ) o = ( 墨，。+ 十2 1 ) ( 1 ) + ( 墨：+ k + 2 。+ e ，t + 十2 ，+ 。) ( 2 ) + + ( 墨，+ z 2 + 墨2 。+ + 2 ，2 一。) ( ) + ( e2 + k + 22 ) ( 9 厶= 蔓圳( 1 ) + ( 。+ 墨, v v + 1 ) ( 2 ) + ( e m + k 。) ( ，) + k 。：。( ) 写成矩阵形式为 t s ( 1 ) 0 ： 0 i r ( ) = y u 。( 1 ) ( 2 ) u 。( ) u 月( ) 式( 2 7 ) 中叠矩阵的元素分别为： 第一行 y ( 1 ，1 ) = y ( 1 ，1 ) y ( 1 ，j ) = y ( 1 ，j ) + y ( 1 ，+ n 一1 ) ，= 2 ，3 ，一，n y ( 1 ，n + 1 ) = y ( 1 ，2 n ) 第+ 1 行 ( 2 7 ) 华北电力大学硕士学位论文 y ( n + i ，1 ) = y ( 2 n ，1 ) p ( + 1 ，) = y ( 2 n ，j ) + y ( 2 n ，+ n 一1 ) ，= 2 ，3 ，n y ( n + 1 ，n + 1 ) = y ( 2 n ，2 n ) 第一列 y ( i ，1 ) = y ( i ，1 ) + y ( n + i 一1 ，1 ) ，i = 2 ，3 ，一， 第+ l 列 y ( i ，n + 1 ) = r ( i ，2 n ) + y ( n + i 一1 ，2 n ) ，i = 2 ，3 ，一， 其它行列 y ( i ，_ ，) = y ( i ，) + y ( f ，+ ，一1 ) + y ( n + i - 1 ，j ) 4 - y ( + j 一1 ，+ _ ，一1 ) ， i = 2 ，3 ， ，= 2 ，3 ， 令t = ( 叠) 一，由式( 2 7 ) 可得 u 。( 1 ) ( 2 ) 氓( ) ( ) = t 厶( 1 ) 0 ： 0 i 。( ) ( 2 8 ) i ：= ，。s ( 1 ) t ( n + i , n + i ) u s ( 1 ) - t ( i , n + i ) u ”( n ) ，( 1 ，1 ) ，( + l ，+ 1 ) 一t ( n + i ，1 ) t ( 1 ，+ 1 ) f 9 一q 1 “胪斋器筹器糕黼 恤驯 式中t 为仅与r 、l 、g 、c 有关的参数矩阵，则第k ( k = 1 ，2 ，n 一1 ) 匝末端的 u r ( 女) = u s ( 女+ 1 ) = t ( k + 1 ，1 ) 6 ( 1 ) + t ( k + 1 ，n + 1 ) 1 n ( ) ( 2 - 1 0 ) 第k 匝末端的电压传递函数g ( k ) 为其它端 _ i 开路情况下，第k 匝末端电压与输 入信号的电压之比。根据式( 2 9 ) 和式( 2 1 0 ) ，其表达式为 g ( k 1 ：竺业! ! 竺：幽：三! ! ! ：1 2 1 1 型! ! 型! ) 二! 竺! ! 型! ! ! ! 型! ! ! ! ( 2 1 】) u 。u s ( 1 ) t ( 1 ，i ) t ( n + 1 ，n4 - 1 ) 一t ( n + l ，1 ) t ( 1 ，n + 1 ) 华北电力大学硕士学位论文 口处于开路状态) ， 采用网络分析仪测量得到散射参数s 。、s ：、是，和足：，然后， 根据二端口网络电压传输函数与散射参数的关系，即可以求得电压传输函数表达式 为： a ：燮：坚!v u 。( 1 + s 1 1 ) ( 1 一：) + s 2 是 ( 2 一1 2 ) 2 2 矢量匹配法 矢量匹配法( v e c t o rf i t t i n g ) 。6 。2 ”是b j 。r ng u s t a v s e n 提出的一种稳定、有 效的拟合方法，它采用一阶有理分式和的形式对频域函数进行逼近。b j o r n g u s t a v s e n 先后用该方法对电力变压器和架空线进行了分析、拟合，得到了满意的 结果。该方法用有理函数近似拟合频率响应厂( s ) ，其部分分式和的形式为： 一 厂( s ) z l + d + s h ( 21 3 ) 式中，留数“和极点或者是实数或者是共轭复数对，参数d 和h 可选择，它 们都是实数。矢量匹配法的拟合步骤简介如下： 步骤1 f ( s ) 极点的确定 设t = 1 2 ，n ) 是函数f ( s ) 的一组起始极点，并且它们也是未知函数a ( s ) 的 极点，用函数o ( s ) 与f ( s ) 相乘，可得下列方程组 6 ( s ) 厂( s ) lo ( j )j 善ni 。n m 砌 争三+ 篙s d 。 ( 2 1 4 ) 注意，在式( 21 4 ) 中，a ( j ) 的有理函数i l l i , 式与6 ( 5 ) ，( 5 ) 的有理近似式有相同 的极点。另外，在6 ( s ) 的有理近似式中，d + s h 项被强制为i 。再对式( 2 1 4 ) 的第二 行乘以f ( s 1 ，得 善n 赢c 聃幽) = 陲去+ 帅i f ， 或表示为 ( ) ( s ) “o ( s ) f ( s ) ( 2 - 16 ) 式( 2 1 6 ) 是关于未知变量q ，、d 、h 和的线性方程，把式( 2 1 6 ) 在多个频点 展开，便得到了一组容余的方程组 华北电力大学硕士学位论文 a x = b( 2 一1 7 ) 式中，x 是由未知变量c j 、d 、h 和组成的列向量。 求解方程( 2 一1 7 ) 后，f ( s ) 的有理函数拟合显然可以从方程( 2 7 ) 得到。方法如 下：把方程( 2 1 5 ) 的部分分式和的形式化为下列形式的分式： 兀( s z 。) ( 可) ( s ) = h 专l 一 1 7 ( s - a o ) ”= l 从式( 2 1 8 ) 可得 邝) ：掣攀 a u ) 式( 2 - 1 9 ) 表明，( s ) 的极点与6 。( s ) 的零点相等a 注意到由于在g ( s ) 厂( s ) 和6 ( j ) 中使用了相l 司的极点，初始极点在相除过程中互相抵消。这样通过计算( 5 q i ( s ) 的零 点便得到了f ( s ) 的一组极点。在实际拟合过程中，有时新计算的极点可能不稳定。 这个问题可以通过改变极点实部的正负号得到解决。 步骤2 ：留数的确定 原则上，可由( 2 - 1 8 ) 式直接计算出相应的留数。然而，用a ( j ) 的零点作为f ( s ) 的新极点口。来解式( 2 1 3 ) 通常会得出更精确的结果。这又是一个形为a x = b 的纯线 性问题，其中解向量x 包含未知量c ，d 和h 。 为了使方法收敛，须把得到的新极点作为初始极点重复第一步和第二步几次。 达到收敛时，6 ( s ) 就变为l ( 即所有的i 变为0 ) 。如果初始极点适宜的话，我们通 常应用少于5 次的迭代。这样，应用矢量匹配法近似公式( 2 一1 3 ) 的迭代过程为： 1 ) 选出一系列初始极点瓦万“ 2 ) 解出( 21 5 ) 式中的0 ，c ，d ； 3 ) 把f ( s ) 的极点o l 瓦作为o ( s ) 的零点来计算： 4 ) 解出( 2 1 3 ) 式中的c ，d 和h 。 步骤3 ：初始极点与拟合阶数的选择 初始极点的选择应当在感兴趣的频率范围内进行。对于光滑的函数，初始极点 应当选择实数。而对于有谐振点的函数，初始极点应当包含共轭的复数对，与其虚 部相比较，复数的实部很小。它们可表示为 l l 。一。 一 睁 华北电力大学硕士学位论文 c i n = 一+ ，p ，巩“= 一a 一，p 其中0 l = o o 。 极点的个数和拟合次数与被拟合的函数相关，通常极点数越多、拟合次数越高， 函数拟合得越准确，但需要注意的是过高的拟合阶数( 极点数) 会使拟合函数复杂 化。矢量匹配法的优点有： 1 ) 矢量匹配法在原理上通过求解两个线性最小二乘方程组直接寻优。迭代次 数少，速度快。 2 ) 用高阶的有理函数( 复频率s 为变量) 在很宽的频率范围内对某一实测频 率响应进行拟合时，其它的拟合方法会遇到数值问题，特别是在该频率响应有噪声 的情况下问题更为严重，而矢量匹配法则不受影响。 3 ) 矢量匹配法不仅可以使用实数的极点拟合平滑的曲线，也可以使用复数的 极点拟合具有谐振性质的曲线，且不需要预估曲线的零点、极点。 4 ) 在拟合时可以通过选择拟合条件，保证拟合函数的稳定性。 2 3 递归卷积1 6 对于任意激励来说，要求它在时域内的响应，只需将激励与系统的单位冲击响 应在时域内进行卷积即可，即 m j ( f ) 2l ，( f u ) h ( u ) d u ( 2 - 2 0 ) 假设系统的单位冲击响应 ( f ) 可以写成指数函数形式，那么就可以通过递归卷积 进行积分计算。设h ( t ) = k e l “”，则式( 2 2 0 ) 变为 j ( f ) = f q 一“) k e 一。”砌 ( 2 21 ) 如果已知厂( ，) 在r 和，+ a t 时刻的数值，则s ( ，) 可以根据前一时步的值s ( 卜出) 按 下式递推而得到： s ( t ) = m s ( t a t ) + p f ( t 一丁) + q f ( t - t a t ) ( 2 - 2 2 ) 式中，血是计算步长；m ，p ，g 都是常数，且有 m = k e “ p 2 去一去c - - e - a t ， 华北电力大学硕士学位论文 4 ：一生e 一+ 三( 1 一e 一。 口2 一 十( 一 1 aa t a 2 、 2 4 改进劳斯逼近法”“。”2 3 劳斯逼近法是一种混合型的连分式降阶法， 其降阶摸型的分母直接取决于原 高阶系统分母多项式的系数( 或系数阵) ，而与分子多项式系数( 或系数阵) 无关，所 以，只要原高阶系统稳定，就能保证降阶模型也是稳定的。但是直接使用劳斯逼近 法对于高频信息丢失较多，精度不高。为此，赫顿和弗里德兰( h u t t o na n d f r i e d l a n d ) 提出一种改进的劳斯逼近法。该方法是将分子、分母各自系数在劳斯 逼近法前后进行了两次逆变换。改进后的劳斯逼近效果得到了很大改善。 下面以形如 g ( j ) ：生坠拿生业( 2 - 2 3 ) a o + s + a l 。s + + 。+ a p h s + q 的n 阶传输函数为例，简单介绍改进劳斯逼近法“”2 ”的原理及步骤。 步骤1 ：首先对g ( s ) 的分子、分母各自系数作一次逆变换，得到 g 0 1 步骤2 ：由文献 1 9 可知，g ( s ) 可以展开成下列标准形式 月j g 。o ) = 崩_ o ) + 卢：y ( s ) 五( s ) + + 成石( s ) 艿o ) 六o ) = 属兀乃( s ) ( 2 2 4 ) - 】 j = l 式中 爪垆志 陋：， 五( s ) = 1 _ 一a k s + 广 d 5 + 丁 a m 5 + t o t n s ( k = 2 ，3 ，”) ( 2 2 6 ) 步骤3 ：将式( 2 2 5 ) 、( 2 - 2 6 ) 代入式( 2 2 4 ) ，可以得到g 1 ( s ) 的a 一卢展开式，也即g ( 5 ) 的系数只与a + 和风有关。根据原函数的分子分母系数构造a 一口表。”( 见表2 - 2 ) ，即可 由依次得到。和成。 = ) 1 5 ( g 1 一s 华北电力大学硕士学位论文 表2 - 2g 。( 5 ) 函数的a 。和成 o = a o a ；= a 2 q 0 = a 4 a ：= a 6 a 司= lc a 3哪i = a 5 _f 盘】= o a ：a ；= q o a l 口：吒2 = a ：一a 】a ：a ；= 吒。一瑶 a ：= n ：磊嘞3 = a ：一“2 a i = 越一a 2 a ： = 露司嘞4 = a ；一o ：3 啦3口；= q 2 一a 3 9 t ： 口4 = ；a ；5 = 呸3 一c t 4 a ； 5 = ：a ； 聪= 6 l噬= b 3酲= 6 5 9k 酵= b 2霹= b 4贸= b 6 岛= 瑶a ：瑶= 噬一e n ：霹= e p l 4 t 8 2 = 战慷瑶= 霹一# 2 a ；b 4 = 酲一卢：q 2 卢3 = 瑶4 睇= 暖一岛a ； 成= b 4 a ： 酣= 霹一卢。a ； 卢5 = 瑶a ： 得到和鼠后，将其代入式( 2 2 4 ) 、( 2 - 2 5 ) 、( 2 - 2 6 ) 中，同时，根据精度要求截断g 。( j ) 中第k 项以后的项，即得到了g + ( s ) 的k 阶劳斯降阶近似函数q 1 ( s ) ，再将q 。( j ) 写成分 子分母的多项式形式： 女 q ( s ) = e 兀彤( j ) = b k a 。 ( 2 - 2 7 ) i = 1 ，= 】 式中，k 值由降阶的精度要求可人为设定，一般而言，随着k 的增加，逼近效果越 来越好。g ( s ) 的分子多项式b 和分母多项式a k 可由下列递推关系确定： 1 4 华北电力大! 学硕士学位论文 鼠( 5 ) = 姐：一，( s ) + 既一2 ( s ) + 成 i 罡。( s ) = 玩( 5 ) = 0 a k ( 5 ) = a 女s a k 】( s ) + 4 2 ( s ) l 正1 ( 5 ) = a o ( j ) = 1k = l ，2 ， 步骤4 ：最后对q 1 ( 5 ) 的分子、分母各自系数再作一次逆变换，即得到g ( s ) 的降 阶表达式g ( s ) 。 赫顿和弗里德兰提出的这种改进的劳斯逼近法有着其他降阶方法无法比拟的 优点： 1 ) 能有效地保持原来函数的稳定性： 2 ) 能较好的保证原函数的高频信息； 3 ) 逼近精度随着逼近阶数增加而提高； 4 ) 计算量小、易于编程； 5 ) 适用于多输入多输出； 因此，本文将采用改进的劳斯逼近法对矢量匹配得到的绕组线圈高阶电压传输函数 进行阶数缩减。 另外，需要特别指出的是，由于绕组各匝线圈的谐振频率相同，所以其电压传输函 数的极点在理论上应该足相同的。因此，当得到变压器绕组任何一匝线圈降阶电压传输 函数的极点之后，即可直接采用下面方法“”计算得到其他各匝线圈电压传输函数的留 数。 设其他各匝线圈阶数缩减后的电压传输函数表达式为： f ：土+ 上土 s p ls p 2 s p q 令其和电压传输函数a ( s ) 的幂级数展开式相等， 圭+圭+“-+去=mo+mls+m2s-+sp l s p 2 + 一 一 s p 。 在上式两边首先令s = 0 ，再在s = 0 点逐次求各阶导数直至q 一1 阶，可得到q 个 方程。将这些方程写成矩阵形式，得 华北电力大学硕士学位论文 11l p tp!p。 1 li i1 。i p j p ip ： 1 11 群p ；p q 岛 k 2 ； k q ， ，他 ： m q i 从上述的方程中再解出部分分式的各个系数，则其他各匝线圈的电压传输函 数的改进劳斯逼近式极点和留数即可全部确定。 华北电力大学硕士学位论文 第三章电压传输函数的拟合与降阶处理 3 1 电压传输函数的有理式拟合 对式( 2 - 1 1 ) 中的电压传递函数应用矢量匹配法进行逼近，可得相应的电压有理 传输函数。第0 2 、0 4 、0 5 、0 6 、0 7 、1 2 、1 4 、1 6 、1 8 、2 0 、4 0 、6 0 、8 0 、1 0 0 、12 0 匝线圈的电压传输函数的幅频特性图和相频特性图分别如图31 至图3 一1 5 所示。 电压有理传输函数的拟合阶数为7 0 阶。表3 - 1 、表3 2 是第2 0 、6 0 、1 0 0 、1 2 0 匝 ( 其余各匝略) 线圈有理式电压传输函数的极点和留数。 ( a ) 幅频特性 ( b ) 相频特性 图3 - 1 第0 2 匝线圈电压传输函数 一w 州 1 口41 矿1 0 1 才 ( a ) 幅频特性( b ) 相频特性 图3 - 2 第0 4 匝线圈电压传输函数 矿 )b自p=z 华北电力大学硕士学位论文 5 1 矿 = 旧伽v # h 1 r 一l l d 21 0 11 口o1 0 ( a ) 幅频特性( b ) 相频特性 图3 3 第0 5 匝线圈电压传输函数 ( a ) 幅频特性 7 ( b ) 相频特性 图3 - 4 第0 6 匝线圈电压传输函数 ( a ) 幅频特性 ( b ) 相频特性 图3 5 第0 7 匝线圈电压传输函数 华北电力大学硕士学位论文 ( a ) 幅频特性( b ) 相频特性 图3 - 6 第1 2 匝线圈电压传输函数 ( a ) 幅频特性 ( b ) 相频特性 图3 7 第1 4 匝线圈电压传输函数 ( a ) 幅频特性( b ) 相频特性 图3 - 8 第1 6 匝线圈电压传输函数 华北电力大学硕士学位论文 ( a ) 幅频特性 ( b ) 相频特性 图3 - 9 第1 8 匝线圈电压传输函数 ( a ) 幅频特性 ( b ) 相频特性 图3 1 0 第2 0 匝线圈电压传输函数 ( a ) 幅频特性 ( b ) 相频特性 图3 1 1 第4 0 匝线圈电压传输函数 华北电力大学硕士学位论文 ( a ) 幅频特性( b ) 相频特性 图3 1 2 第6 0 匝线圈电压传输函数 ( a ) 幅频特性( b ) 相频特性 图3 - 1 3 第8 0 匝线圈电压传输函数 ( a ) 幅频特性( b ) 相频特性 图3 1 4 第1 0 0 匝线圈电压传输函数 华北电力大学硕士学位论文 ( a ) 幅频特性( b ) 相频特性 图3 1 5 第1 2 0 匝线圈电压传输函数 表3 1 第2 0 、6 0 匝线圈拟合极点和留数 2 0 匝的极点2 0 匝的留数6 0 匝的极点6 0 匝的留数 n ( 1 0 6 )( 1 0 6 )( 1 0 6 )( 1 0 6 ) 17 6 3 5 51 37 4 71 36 4 5 1 02 6 9 2 23 4 8 11 4 62 71 7 33 21 3 2 5 8 5 3 o0 0 1 0 7 8 1 + 00 5 6 5 8 1 i6 6 0 9 8 e 一0 0 5 00 0 0 6 1 4 5 9 i0 0 0 2 2 2 7 6 + 00 4 7 9 5 3 i一0 0 0 0 3 3 1 0 4 - 00 0 5 3 1 6 8 j 4 0 0 0 1 0 7 8 1 0 0 5 6 5 8 l i一66 0 9 8 e 一0 0 5 + 00 0 0 6 1 4 5 9 i00 0 2 2 2 7 6 ，0 0 4 7 9 5 3 i一00 0 0 3 3 1 0 4 + 00 0 5 3 1 6 8 i 500 0 1 6 3 8 + 01 6 2 5 i- 00 0 0 2 9 8 5 9 - 00 0 0 3 0 0 1 2 i一0 0 0 2 1 5 5 1 + 01 5 4 8 8 i61 4 9 4 e - 0 0 5 0 0 0 l7 4 2 2 i 600 0 1 6 3 8 0 1 6 2 5 i0 0 0 0 2 9 8 5 94 - 0 0 0 0 3 0 01 2 i00 0 2 1 5 5 1 01 5 4 8 8 i6 1 4 9 4 e 一0 0 5 + 00 0 1 7 4 2 2 i 7 00 0 1 3 9 8 4 + 0 、2 6 7 5 3 i 一00 0 0 1 9 5 5 5 2 4 8 1 4 e - 0 0 5 i0 0 0 2 5 0 8 3 + 02 7 4 4 5 i一00 0 0 1 0 3 3 2 + 00 0 0 3 6 2 4 9 i 80 0 0 1 3 9 8 4 0 2 6 7 5 3 i0 0 0 0 1 9 5 5 5 + 24 8 1 4 e 一0 0 5 j一00 0 2 5 0 8 3 02 7 4 4 5 i- 00 0 0 1 0 3 3 2 00 0 0 3 6 2 4 9 j 900 0 3 8 9 8 6 + 04 9 2 0 3 j32 8 3 2 e 一0 0 5 + 00 0 0 1 9 8 4 6 i0 0 0 7 2 2 6 5 十04 8 3 7 6 i一14 8 3 8 e 一0 0 5 + 2 6 8 2 2 e - 0 0 5 i 1 00 0 0 3 8 9 8 6 0 4 9 2 0 3 j32 8 3 2 e 0 0 5 00 0 0 1 9 8 4 6 i0 ( 0 7 2 2 6 5 - 04 8 3 7 6 1 14 8 3 8 e - 0 0 5 - 26 8 2 2 e - 0 0 5 i 1 100j7 8 3 6 + 08 1 3 7 6 i00 0 0 2 3 4 2 8 + 78 8 0 9 e 一0 0 6 i一0 0 0 0 2 0 3 7 6 + 06 8 0 0 6 i- 24 4 8 8 e - 0 0 5 + 94 3 6 7 e 一0 0 5 l 1 2 00 1 7 8 3 6 08 1 3 7 6 i 0 0 0 0 2 3 4 2 8 7 8 8 0 9 e 一0 0 6 i 00 0 0 2 0 3 7 6 0 6 8 0 0 6 i一24 4 8 8 e 一0 0 5 - 94 3 6 7 e - 0 0 5 i 1 300 0 7 2 8 1 6 + 09 3 9 9 9 i00 0 0 1 2 0 1 1 + 6 9 0 l g e 0 0 5 i00 0 4 0 7 9 1 + 09 2 1 6 4 i- 72 4 2 1 e 一0 0 5 + 4 7 9 8 6 e - 0 0 5 i 1 400 0 7 2 8 1 6 09 3 9 9 9 i00 0 0 1 2 0 1 1 69 0 1 8 e 一0 0 5 10 0 0 4 0 7 9 l - 09 2 1 6 4 i一72 4 2 l e - 0 0 5 - 47 9 8 6 e 一0 0 5 i 1 5 00 0 8 7 0 5 8 + 26 7 4 7 i- 00 0 2 0 8 7 9 + i31 5 e - 0 0 5 i00 3 7 5 9 3 + 10 4 0 4 i48 6 6 8 e 一0 0 5 67 4 2 3 e - 0 0 5 i 1 600 0 8 7 0 5 8 2 6 7 4 7 i- 00 0 2 0 8 7 9 1 3 1 5 e 一0 0 5 j一00 3 7 5 9 3 - l0 4 0 4 j48 6 6 8 e - 0 0 5 + 67 4 2 3 e 一0 0 5 l 1 70 ( ) 2 3 4 5 8 + 26 8 7 5 i00 0 4 9 4 5 4 0 2 2 1 8 i00 0 7 5 4 9 + 26 7 9 4 i一0 0 0 1 9 4 6 7 + 00 0 1 3 7 8 3 i 1 800 2 3 4 5 8 26 8 7 5 i0 0 0 4 9 4 5 4 + 02 2 1 8 i00 0 7