（计算机应用技术专业论文）基于变分方法的隐式曲面上图像扩散研究.pdf

l u ll l li i l li i 1 l ii ii 17 3 3 8 6 8 i m a g ed i f f u s i o no ni m p l i c i ts u r f a c e sb a s e do n v a r i a t i o n a lm e t h o d a b s t r a c t i m a g er e s t o r a t i o ni sab a s i cf i e l do fi m a g ep r o c e s s i n g d e n o i s i n ga n di n p a i n t i n ga r e t h et w op r o j e c t so fi m a g er e s t o r a t i o n i m a g ed i f f u s i o nb a s e do nv a r i a t i o n a lm e t h o d si s b e c o m i n go ft h em a i nm e t h o d so fi m a g er e s t o r a t i o n t h eb a s i ci d e ao fv a r i a t i o n a l m e t h o d si st a k et h eq u e s t i o na sc a l c u l a t i o no ft h em i n i m u mo faf u n c t i o n a l a n dt h e n ，w e g e tt h en u m e r i c a ls o l u t i o nt h r o u g hs o l v i n gt h ep d e sw h i c ha r ed e r i v e df r o mt h ee n e r g y m o d e l s t h i sk i n do fm e t h o dh a sb e e nw i d e l yu s e d t h ec l a s s i cv a r i a t i o n a l i m a g e d i f f u s i o nm o d e l sf o rp l a n a ri m a g ep r o c e s s i n gc a nb ee x t e n d e dt oi m a g ed i f f u s i o no n i m p l i c i ts u r f a c e su s i n gi n t r i n s i ci m a g eg r a d i e n t sd e f i n e do ni m p l i c i ts u r f a c e se x p r e s s e d b yz e r ol e v e ls e tf u n c t i o n s s e v e r a la s p e c t sa r ei n t r o d u c e di nt h i sp a p e ra sf o l l o w s ：f i r s t l y , t h eb a s i ct h e o r yo np l a n a r i m a g ed i f f u s i o na n di m a g ep r o c e s s i n go ni m p l i c i ta r e s y s t e m a t i c a l l yr e s e a r c h e da n dt h e i rm o d e l si ni m a g es e g m e n t a t i o nd i f f u s i o na r ed i s c u s s e d s e c o n d l y ，i no r d e rt or e d u c et h es t a i r c a s ee f f e c t sa f t e rd i f f u s i o nw i t ht h ei n t r i n s i c d i v e r g e n c em o d e l s ，ag e n e r a lh y b r i dv a r i a t i o n a ld i f f u s i o nm o d e li sp r e s e n t e di n c l u d i n g r e g u l a r i z e r sb a s e do ni n t r i n s i cg r a d i e n t sa n di n t r i n s i cd i v e r g e n c ew h i c ht h ep d e sw h i c h a r ed e r i v e df r o m s o m em o d e l sa r ei m p l e m e n t e da se x a m p l e st ov a l i d a t et h ef o r m u l a t i o n i nr e d u c i n gs t a i r c a s ee f f e c t s t h i r d l y ，t h ed i f f u s i o no ni m p l i c i ts u r f a c e su s i n gi n t r i n s i c i m a g eg r a d i e n t si si n e f f c i e n c ya n dc o m p l e xt oc o m p u t e t h em i n i m i z a t i o no fe n e r g y f u n c t i o n a lo ft h et vm o d e li st r a n s f o r m e dt os i m p l es u b p r o b l e m so fm i n i m i z a t i o nt o r e d u c ec o m p u t a t i o nc o m p l e x i t yw i t ht h es p l i t - b r e g m a nm e t h o d ，a n di t sc o m p u t a t i o n e f f i c i e n c yi si m p r o v e db ym e a n so fs h r i n k a g ef o r m u l a sw h i c ha r es o f tt h r e s h o l df o r m u l a s i th a sb e e nv a l i d a t e dt ob ea v a i l a b i l i t ya n de a s yt o r e a l i z e l a s t l y ，f u t u r er e s e a r c h d i r e c t i o n sa r ep u tf o r w a r da c c o r d i n gt ot h ep r o b l e m sd i s c u s s e di nm yr e s e a r c hw o r k k e yw o r d s ：v a r i a t i o n a lm e t h o d s ；i m p l i c i ts u r f a c e ；i n t r i n s i c d i v e r g e n c e ：i m a g ed i f f u s i o n ；s p l i t - b r e g m a n ： 第一章绪论 目录 l 1 1 研究的目的和意义1 1 2 国内外研究现状2 1 3 本文的主要工作6 第二章基于变分方法的图像扩散概述7 2 1 变分方法的基本知识7 2 1 1 泛函的基本概念。7 2 1 2 泛函的极值问题7 2 2 变分方法在平面图像扩散中的应用1 1 2 2 1t i k h o n o v 模型。1 1 2 2 2 基于梯度的图像扩散模型1 4 2 2 3 基于散度的图像扩散模型1 6 2 2 3 数值实验及结果分析。2 0 2 3 本章小结2 1 第三章隐式曲面上的图像处理基础 3 1 隐式曲面2 2 3 2 内蕴梯度2 3 3 3 本章小结2 4 第四章隐式曲面上图像扩散的变分模型 4 1 基于内蕴梯度的隐式曲面上图像扩散2 5 4 2 基于内蕴散度的隐式曲面上图像扩散2 7 4 3 基于混合模型的曲面图像扩散3 0 4 4 数值实验及结果分析3 0 4 5 本章小结。3 2 第五章隐式曲面上图像扩散的s p l i t b r e g m a n 方法 3 4 5 1 隐式曲面上图像扩散的l 2 模型的s p l i t b r e g m a n 方法3 4 5 2 隐式曲面上图像扩散的l 1 模型的s p l i t b r e g m a n 方法3 6 5 3 数值实验及结果分析3 8 5 4 本章小结4 0 第六章总结与展望 q 1 1 6 1 工作总结4 1 6 2 工作展望。4 l 参考文献 攻读学位期间的研究成果 致谢 学位论文独创性声明 学位论文知识产权权属声明 4 8 4 8 第一章绪论 1 1 研究的目的和意义 第一章绪论 在图像的获取、传输以及存储过程中，可能会因为各种各样的原因造成图像被 噪声污染以及图像破损的情况，如摄像时电磁干扰、年代久远的油画、档案照片有 些破损和污渍等，从而降低了图像的质量。这一方面会对图像的视觉效果产生影响， 另一方面也会增加图像的分析和理解的难度，因此图像的去噪、修复与增强在图像 处理领域有着重要的意义，是对图像进行进一步处理的基础。近年来，基于偏微分 方程的图像处理方法受到了较多的关注。由于在该方法的有较为系统的理论与数值 方法，并且在自适应能力、任意分辨率及等方面有一定的优势，使得基于变分方法 的图像扩散技术成为图像恢复的主流方法之一【l h 5 l 。图像扩散的主要目的包括图像 去噪和是图像修复两方面。图像恢复的方法有很多，虽然都有一定的效果，但大多 只是基于某一小类问题的研究，没有形成系统的理论体系，还不能满足人们对图像 扩散效果的更高要求。因此探寻研究新的图像扩散技术并形成建立相关的理论体系 有重要的意义。该方法的扩散效果效果如图1 1 、1 2 所示。 图1 1 基于变分方法的图像去噪效果 图1 2 基于变分方法的图像修复效果 目前，在平面图像的去噪、修复与增强等方面已经取得了丰富的成果。然而， 青岛人学硕十学位论文 在实际应用中有很多的图像数据并非分布在平面上，曲面上的图像处理也存在着大 量的需求，比如在图像三维重建过程中造成的图像质量下降以及三维图像本身由于 年代久远，或者认为划痕、折痕和污渍等原因造成原始图像的破坏等，然而由于曲 面上的图像处理较为复杂，其梯度和散度属性难以形成统一的表达，目自订的研究成 果还存在很多不足，如曲面上图像的梯度的表达、扩散后图像存在阶梯效应、计算 复杂等问题，故关于曲面上图像扩散的研究具有非常重要的意义。 研究基于变分方法的曲面上图像扩散技术及其方法，目的是掌握该类方法的的 相关概念和理论，并将其应用到曲面上图像去噪、曲面上图像增强、曲i 疗ii ：i 划像修 复等实际工程应用中，为曲面上图像的相关工作，如三维图像重建、曲面1 4 韩像分割 等打好基础。 1 2 国内外研究现状 基于变分方法的图像扩散方法首先建立由数据项和扩散项构成的能量泛函，然 后通过变分方法对泛函求解得到图像扩散的偏微分方程，通过对所得剑的偏微分方 程进一步求解，得到去除噪声后的图像。假设图像所含的噪声为加性噪卢，则观察 到的图像是由噪声和清晰图像叠加构成的，图像扩散的能量泛函形式为 e ( “) - e o ( u ) + s e , ( “) 其中，( h ) 为数据项，约束进行扩散前后图像的相似度，常用的形式为 ( 比) 一l ( u - u o ) 2 d x d y 1 - ( 1 ) 1 - ( 2 ) 其中，u o 为含噪声的图像，“为扩散后的图像。b ( u ) 一b ( v u , v 2 “，) 表示扩散 项，其中的参数为图像强度的各阶空问导数，对于一阶导数通常采用图像强度的梯 度，二阶导数通常采用图像强度的散度。a 为权重参数，改变其取值可以调节扩敞 后图像的各阶光滑程度的比重。 1 9 7 7 年，t i k h o n o v ，彳船绷切【3 j 针对病态的反问题，提出了t i k h o n o v 模型，其光 滑项为 b ( h ) = v “1 2 d x d y 2 1 ( 3 ) 第一章绪论 该模型成为后来变分图像扩散研究的基础。但是该模型对图像进行扩散效果实质上 与g a u s s 卷积的效果相同，图像的噪声消除的同时图像边缘也变模糊。 1 9 9 2 年，r u d i n , o s h e r 口以f 口f 绷f 1 4 】将针对l i k h o n o v 模型的缺点，1 ( 3 ) 提出了 r o f 模型即总变差的模型，其扩散项为 b ( “) 一l 酬螂 1 - ( 4 ) 该模型又被称为t v 模型。该模型有效地扩散光滑的图像区域的同时能保持图 像的边缘。 在图像扩散领域另一个颇具影响的模型是p e r o n aa n d 胁z 腩【6 】提出了著名p m 模型，其扩散项为 卧) 咖2 h ( 1 + 7 v u 2j 、螂 1 一( 5 ) 其中l u 0 为阈值，i v u i j c l 时，图像增强；i v u l 0 ，b 点的坐标为( 6 ，0 ) 。质点从a 点丌始运动， 根据能量守恒定律有 7 青岛人学硕十学位论文 哪- 删+ 三 其中，g 为重力加速度。质点速度v 和纵坐标u 有以下关系 假设质点降落的曲线方程为u - “( 工) ，则有 记比。：_ d u ，可得 记比善2 云日j 得 ( 幽) 2 一( 出) 2 + ( 砒) 2 ，d s 一 2 - ( 3 ) 2 - ( 4 ) 2 - ( 5 ) ys 争而争4 2 9 ( h - u ) 蕊出 2 炯 对出积分，就可以得到质点从a 至滑到8 所用的时问为 川圳= ，辐出 2 - ( 7 ) 这就说明，质点由a 滑到b 所用的时i 日j f 是函数h ( x ) 的函数，则f 就是函数h ( 工) 的泛函，最速降线问题也就是求出满足以下起止条件 u ( a ) tj i l ，u ( b ) 一0 的所有连续函数“( x ) 中求出一个函数使泛函2 - ( 7 ) i 煸d 、值。 2 - ( 8 ) 对泛函求极值的问题称为变分i 、u j 题，使泛函墩极值的函数称为变分问题的解， 也称为极值函数或极值点。专门研究变分i u j 题的学科称为变分法。 为了求出最速降线问题的解，将泛函2 ( 7 ) 中的被积函数记为 8 第二章基于变分方法的图像他扩散概述 m 州小勰 设h ( 石) 是最速降线问题的解，即比( z ) 满足边界条件2 ( 8 ) ，且使得 最小。对于满足边界条件 r ( “( x ) ) = f f ( 而u ，u x ) 出 ，7 ( 口) - , 7 ( b ) 一0 的任意连续函数呀( x ) 及任意实数占，函数 对应的泛函 “( z ) + f ，7 ( x ) t ( u ( x ) + e r l ( x ) ) 当s 一0 时取最小值f ( “( 工) ) ，从而有 即 砉r ( 小) ( 工) ) l = 。 9 2 - ( 9 ) 2 ( 1 0 ) 2 一( 1 1 ) 2 - ( 1 2 ) 2 - ( 1 3 ) 2 ( 1 4 ) 青岛大学硕+ 学位论文 l i m f o t ( u + f 叩，比，+ e r l x ) 一t ( u ) 可得 p 。 1 1 i 1 l m ，口f - 0 一。 一il t m j 口f o 卢 一ll i r a d af o f ( u + e f t ，u ，+ g 仇) 一e ( u ) f ( 比) + e ( u ) e , 7 + e ，( u ) e r l x - f ( u ) e ( u ) e , 1 + e ，( u ) e r l x f ( e ( “) ，7 + e ，( h ) 仇) 出 2 - ( 1 5 ) 一f e ( 比) ，7 出+ f e ，( “) 仇出 。f 确) 晦f 掣咖气叼e b ；巾小掣卜卧小。 卧) 一掣；。 e ，( “( 训一气( “( 6 ) ) = o 2 - ( 1 6 ) 2 - ( 1 7 ) 2 - ( 1 8 ) 2 - ( 1 9 ) 将2 - ( 1 8 ) 2 - ( 1 9 ) 代入2 - ( 1 6 ) ，可得泛函2 ( 7 ) 取极小值的e u l e r - l a g r a n g e 方程及相 应自然边界条件。同时，可以得到泛函2 ( 7 ) 取极小值的梯度降方程及相应自然边界 条件为 。e ：丝毫蚪一e ( “) ，巨；e 咋。一( e ) z 2 ( 2 0 ) d x 对于图像扩敝问题，还可以应用扩散方程 1 0 一 暇一 第二章基丁变分方法的图像他扩散概述 。峨，( 比) 吩。亍 求得泛函的解。 2 2 变分方法在平面图像扩散中的应用 2 - ( 2 1 ) 2 2 1t i l d l o n o v 模型 死k h o n o v 模型【3 1 是最早的图像扩散变分模型，也是后来该类方法的研究基础。 本节将以该模型为例，详细介绍变分方法在图像扩散模型中的应用及其数值实现。 在应用变分方法对图像进行扩散去噪时，一般假设：( 1 ) 去噪前的图像和去噪后的图 像相差不大；( 2 ) 去噪后的图像是分段光滑的。基于此，记“：qcr 2 - 尺是不含噪 声的原始图像，是被噪声污染后的图像，一代表原始图像中加入的噪声，对于加 性噪声图像来说，有 u o4 “+ 以2 - ( 2 2 ) 给定u 。，图像去噪的任务是重构h 。这是一类的病态问题( i l l p o s e dp r o b l e m ) ，为 求解该类病态问题，定义t i k h o n o v 能量模型( 见式1 - ( 3 ) ) ，对应的泛函形式为 f ，v u ) - ( u u o ) 2 + a i v “1 2 。对该泛函进行变分。即 等等卜上学蚴、i i f i o2 j q 、戤砂、 2 一( 2 3 ) 根据能量泛函取极小值的条件和函数叩的任意性，得到对应的e u l e r - l a g r a n g e 方程 o e ( u ) 。o o u 2 一( 2 4 ) 冀产卜矾叩撕+ 2f o v u v r l 蚴 2 - ( 2 5 ) 青岛大学硕士学位论文 对2 - ( 2 5 ) 中的扩散项的采用格林公式，得 l v u v r d r d y t v ( v “h 螂+ l 砚元r l d x d y t 血叩蚴+ l o u 螂 2 俐 从而，2 - ( 2 5 ) 订- i 写为 o e ( u a + e r l ) 玑( 。) 蝴+ 2 仉v “v 删 2 ( 2 7 ) - 玑( “一“。) r l d x d y 一2 u v 。( 乳) ，7 蚴+ 2 u q 磊o u 刁出 由此得到2 - ( 2 2 ) t 玟极小值的e u l e r - l a g r a n g e 方程和自然边界条件为 o e - ( u 一) 。= u - u o - - 血。o 跏q o u o u ：0d 刀a q 丽 当a _ 0 时，2 - ( 2 8 ) 式可转化为如下的热扩散模型， 2 - ( 2 8 ) 塑。l l 觑q a t = o u = ，0 o n o q 2 - ( 2 9 ) o n u ( x ，y ，0 ) 一u o o ，y ) n qu0 ( 2 与2 - ( 2 8 ) 相对应的梯度降方程为 1 2 第二章基于变分方法的图像他扩散概述 詈一一掣；尬一( 。) 切口 罢。0 o n o q 2 - ( 3 0 ) a 元 u ( x ，y ，0 ) 一u o o ，y ) n quo r 2 由于数字图像是离散的矩阵形式，可将o ，) 点的图像强度看作上述函数u 在该 点的采样值，采用有限差分方法进行求解。令h 为图像在x 方向和y 方向的采样间 隔，则有 u l ，- u ( x , ，y ，) 2 。( 3 1 ) 其中，i - o , 1 , 2 , ，厅，葺m a o + i h ，一o ，1 ，2 ，刀】，y 一蜘+ 弘。在上述的能量泛 酏v h ；阱血一v ( v 小嘉+ 矿0 2 u 叱。相应的梯度差分形式有 向前差分： 向后差分： 中心差分： 散度项可离散为 v 广产，v ；u i , j 半产 2 - ( 3 2 ) v ：“，a 毕，v ；，j ；毕 2 一( 3 3 ) v m o 广警张i 警 2 - ( 3 4 ) 1 3 青岛人学硕士学位论文 、托“，- - u i , j - - u l , j4 - u i _ l , j ) 咄，坷v + u l , j ) = 盛竺1 一 式2 - ( 2 8 ) 迭代方式有： 显式迭代： j a c o b i 迭代： g u a s s - s e i d e l 迭代： & 飧迭代： + 趣竺二竺竺竺：! h h “l ，+ u i l ，+ h f ，“+ 吨，一1 2 k l f ， l 。- 。- - - _ _ _ _ _ _ _ _ _ - _ _ _ _ 二_ _ - _ - 。_ - _ _ _ _ 一 h 2 “，n，+l一“qj+a竺兰生l!互生二笺亨垡 “万一 蟛1 ；进篱产 “! ；1 = ( 1 一) “：，+ 2 2 2 基于梯度的图像扩散模型 ，+ 砉( n + l ，叫n 小+ l 。+ h h ，+ “ ，4 a 、 【1 + 矿j 2 一( 3 5 ) 2 - ( 3 6 ) 2 - ( 3 7 ) 2 - ( 3 8 ) 2 - ( 3 9 ) 由于t i k h o n o v 模型【3 l 在扩散图像的同时边缘也变模糊的缺点，后来将其加以改 1 4 盟 第二章基于变分方法的图像他扩散概述 进，将光滑项改为： b = f ，( i v h i ) 螂 提出了基于梯度的图像扩散方法，其通用能量模型为 e ( “) 一扛( “吨) 2 螂+ 饥伊( 刚) 螂 通过变分可以得到其对应的扩散方程 詈丹( g ( v “) 伽口 g ( i v u l ) 罢一o 。na q u ( x ，) ，0 ) 一u o ( z ，y ) i n 9 2ua q 2 - ( 4 0 ) 2 - ( 4 1 ) 2 ( 4 2 ) g ( i v u l ) ；眢为扩溉其一维形式的撒项为 u t 一( g ( 川叱) ， 2 。( 4 3 设多( “，) 一g ( k i ) u ，2 ( 4 3 ) 可表示为 l l f 一西( 叱l 一中( 取) “。， 2 。 其中，咖u ，) 一缈。( ) 。 由此可以得到结论：当痧u ，) o 时，向前扩散使图像光滑；当咖( 朋，) - o 时， 不扩散；当咖u ，) 0 ，所以该模型为向前扩 训叫m 2 陋h 对应c h a r b o n n i e r l l s l 模型，其 咖b 叶+ 呀j 地眦黼姚 驴( k 1 ) ；l h r i p ( o p 1 时，该模型向前扩散使图像变得模糊；p 一1 时该模型无扩散作用；当p 1 时，该模型向后扩散使图像增强。 对训籼叫k 胪门n 惮卜0 ) ，驴( f 叫) t 错， 从而有结论：当i u ，l 肛时，该模型向后扩散使图像增强。向后扩散会使边缘进一步 增强，可以用来对图像的某些特征进行的增强。 2 2 3 基于散度的图像扩散模型 基于图像强度的梯度扩散模型，所得到的结果在本该光滑的区域具有明显的阶 梯效应。用拉普拉斯算子表示散度，则基于拉普拉斯算子的图像扩散变分模型可以 对图像进行噪声去除的同时，保持或增强图像的边缘，并消除单纯基予梯度模型导 致的图像光滑区域的阶梯效应。 基于拉普拉斯算子的图像扩散的能量泛函可定义为 e ) = h ( “砘) 2 螂+ 饥妒( 1 缸i 蚴 应用变分方法可得到如下扩散方程 扣( 眢血) 爿眢) = 。 丽i j 。 妒 t ( a u l 广) a u 元；o m ”。 觑口 o na 2 o na 9 2 2 - ( 4 5 ) 2 - ( 4 6 ) 为了简化分析，本节仍首先对相应的一维问题进行分析，然后将相关结论进行推广。 为此，分析以下以为模型的扩散效果 1 6 第二章基于变分方法的图像他扩散概述 ”- ( 眢) 。 令g ( “。2 ) ；眢删2 ( 4 7 廊衲 令 2 - ( 4 7 ) 一( g ( u 。2k l 一_ 2 9 坛2 心2 + g 继) 】，一【1 雌2 心2 + g 醒) 】 。- 4 9 。k 2 肌3 + 铅雠2k + 句。继k 】一【豫域+ g 豫) 】 i - 2 【。k 2 心2 + 3 9 豫) 一 2 9 睡域+ g 豫) 】 2 - ( 4 8 ) 痧。( u d 一2 9 。2 。2 + 3 9 三) ，痧： 三) 一2 9 。2 。2 + g 三) 2 - ( 4 9 ) 式2 一( 4 6 ) 可写为 其中， 詈一一( 知二吐以三) ) 一咖： 。2 ) t l g b 珈珊1 卜抄i 眢) i 辫 坤耐帆i ) _ 眢 g 倒2 砑1 ( 6 ( 呦幼t l 训 2 - ( 5 0 ) 2 一( 5 1 1 ) 2 - ( 5 1 2 ) 2 一( 5 1 3 ) 由方程2 ( 4 6 ) 可得如下结论：当哆 0 时，一阶向后 扩散；当西： 0 时，二阶向后扩散。 1 7 青岛大学硕士学位论文 对于类c h a r b o n n i e r 模型1 1 5 1 伊( i l l i ) - 2 z 2 ( t + 呀一-脚仳睁2 k i ( + 呼妒n - 2 ( 1 + 蚵 2 - ( 5 2 1 ) g 静砉悖) - _ 2 - ( 5 2 3 ) 2 - ( 5 2 4 ) 从而得到以下结论：当嚷 0 时，二阶形式向后 扩散。 对于类广义形模型1 8 】 伊( i “i ) 一i 血i p ，驴( 卜。i ) - 1 u 。i p ，伊。( 卜。i ) 一p ( p 一1 ) l u 。l p 。2 2 ( 5 3 1 ) 6 q 比。i ) 一p ( p 一2 ) l u 。i p ，b ( 1 u 。i ) 一p ( p 一2 ) 2u 。i p 4 2 - ( 5 3 2 ) g(比三)一pl“。lp一2，g(“三)。丢p(p一2)lh。1p一4，g(h三)。兰掣l比。lp6 2 - ( 5 3 3 ) 中。( “三) 一兰学卜。i p 一4 ，中：( “三) p ( p 一1 ) l h 。1 9 2 2 ( 5 3 4 ) 1 8 i、， 立广配竹啦 + 7 6+ 蚶丁 + 丁 4一 i 蚶77 一 i 研 6 3 2 、ll-l， 亟矿 + ，-illi 上矿 一 曩 、- 、2 聪 g l 一2 、lil-， 亟矿 + ，-liiil、 2 l 、_ 、 2 稿 g 3 2 、l-_- 唾一矿 + ，i一， 2 薯 2 搿 比e i 5 2 、lii_-， 亟矿 + ，i 3 一矿 一 = 2 科 “ l e i 一 第二章基于变分方法的图像他扩散概述 二二一 从而有如下结论：当0 p o ，痧： 0 ，一阶向后扩散，二阶向前扩散； 当p 一1 时，嘎, - 0 ，多：, - 0 ，无扩散；当1 p 2 时，嚷 0 ，一阶向前 扩散，二阶向后扩散。 对于类p 5 】模型 训帅2 l n 愕卜k 沪搿“啦曲z 帮 2 - ( 5 4 1 ) 脚印一黼啦曲s 一 2 倒固 以) | 南一南， 咖t c ，l 三 三皇 i 兰三斧，口c 比三，一三 主要三乇三当尹1 2 c 5 4 q 从而有如下结论：当卜。j 时，哆 o ，吐 0 ，一阶向前扩散，二阶也向前扩散； 当 卜。i 弘 时，哦 0 ，痧： 0 ，一阶向后扩散，二阶向后扩散。 为结合基于梯度和拉普拉斯算子两者的优点，可采用混合扩散模型，能量泛函 如下 e ) 。正( “一即。) 2 d x d y + a f o ( 1 一p ) 蚜( i 1 ) + 仍q 缸f ) 】蚴 2 ( 5 5 ) 对2 - ( 5 5 ) 进行变分方法可得到如下扩散方程 1 9 青岛人学硕士学位论文 + 知卅v ( 膂h 訾) ”声，眢和啬( 瞥) 一。 以1 ( a u 丁1 ) a u 元；o l 血i f 挖q o i la f 2 2 - ( 5 6 ) 0 na q 当卢一0 和声一1 时，2 - ( 5 6 ) 口- - j 转化为基于梯度和基于拉普拉斯算子的图像扩散模型。 2 2 3 数值实验及结果分析 为验证本章介绍的基于梯度、散度、基于二者混合模型相关特性，采用相 火模 型对图2 1 所示的含噪声图像进行处理。其中图2 2 给出了应用经典t v 模型扩敞的 效果图，其中( a ) 为基于梯度的t v 模型迭代3 0 0 次的结果，( 协基于散度的t v 模型迭代5 0 0 次的结果，( c ) 是基于梯度和散度的t v 模型迭代5 0 0 次扩散效粜， 其中卢一0 5 。图2 3 给出了应用删模型扩散的效果，其中( a ) 为基于梯度的p m 模型迭代3 0 0 次的效果，= 5 ，( b ) 是基于散度的p m 模型迭代7 0 0 次的效果， 肛- 5 ，( c ) 是基于梯度和散度的p m 模型迭代3 0 0 次的效果，其中。0 5 ，肫t1 0 ， 2 5 。 图2 1 含噪声图像 第二章基于变分方法的图像他扩散概述 ( a ) 基于梯度的模型o h ) 基于拉普拉斯算子的模型( c ) 混合模型 图2 2 1 、r 模型扩散效果 ( a ) 基于梯度的模型c a ) 基于拉普拉斯算子的模型( c ) 混合模型 图2 3p m 扩散效果 由图2 2 ( a ) 、2 3 ( a ) 可见，基于梯度的扩散模型能够在去除噪声的同时较好的保持图 像边缘，但是在图像光滑区域会产生阶梯效应；由图2 2 ( b ) 、2 3 ( b ) 、可见，由于基 于散度的模型不仅能够对图像进行二阶向前、向后扩散，亦进行一阶向前和向后扩 散，使得在一阶模型产生的阶梯边缘出现明显的亮点，由图2 2 ( c ) 、2 3 ( c ) 可见结合 基于梯度和拉普拉斯算子两者的混合扩散模型，使得阶梯效应消失同时保持较好的 扩散效果。 2 3 本章小结 本章首先介绍了基于变分方法基本概念，包括泛函的概念，变分方法在求泛函 极值中的应用；然后介绍了变分方法在图像扩散中的应用，然后重点介绍了i k h o t i o l , 模型【引、基于梯度和基于散度的扩散模型及其混合模型，并以l i k h o n o v 模型【3 l 为例 介绍了相关数值方法，通过数值实验分析了各类模型的特点：t i k h o i i o v 模型3 1 。 在使图像变光滑的同时，边缘也变模糊；基于梯度的扩散模型能够在扩散图像的同 时很好的保持图像的边缘，但是会在图像缓慢变化的区域产生阶梯效应；而基于散 度的图像扩散模型能够很好的解决这个问题。 2 1 青岛人学硕十学位论文 第三章隐式曲面上的图像处理基础 平面图像扩散中的经典方法难以推广到曲面上的图像扩散，而基于变分水平集 方法的方法可很方便的做到这一点。但是在在利用变分方法研究曲面上的图像扩散 问题之前，需要给出曲面图像的表达和曲面上的内蕴梯度算子的定义。 3 1 隐式曲面 随着计算机视觉的发展，隐式曲面在计算机辅助设计、三维建模等方晡得到了 越来越多的关注。隐式曲面是对平面的一种扩展。隐式曲面的定义域是一个连续的 二维流形。因此可以把隐式曲面上的图像看成在该定义域上函数，但是该定义域是 一个非平坦二维流形，且函数的值恒讵有上界。如果将隐式曲面进行离敞，就呵以 得到一个离散曲面，即网格曲面，不过将隐式曲面离散转化为网格曲面比较复杂， 隐式曲面的网格表示非常困难。而隐式曲面的表达形式比较简单，容易判断空州点 与隐式曲面的相对位置，而且隐式曲面比网格曲面的更加光滑，如图。更为币婴的 是隐式曲面很容易的表达复杂拓扑结构的曲面，也容易的改变曲面的拓扑结构。与 参数曲面相比，隐式曲面的系数对于曲面的形状影响较小，所以我们采用隐式l | l l l f i i 表达三维形状，把三维曲面的图像看成一个定义于该隐式曲而上的恒i f 函数。 图3 1 隐式曲面 平面图像的定义即可以认为是一个定义于平面矩形区域的双变量函数，也可以 第三章隐式曲面上的图像处理基础 认为是将图像定义区域离散化，形成一个二维矩阵，矩阵的元素对应图像的灰度值。 基于变分方法的平面图像处理采用了双变量函数定义。而离散f o u r i e r 变换，以及数 值代数等，采用了矩阵定义。虽然第二种定义方式比第一种方式方便，但是在变分 过程中和p d e 的推导过程中必须采用第一种定义的，在实际计算过程中仍然是先将 函数离散化，在进行差值运算。 隐式曲面是平面的一种扩展。作为图像的定义域，隐式曲面通常是连续的一个 二维流形。因此可以把定义于隐式曲面上的图像看成其上的一个函数，只不过函数 的定义域是一个非平坦二维流形，而且函数值恒正有上界。也可以将隐式曲面离散 化，得到一个离散曲面，也就是网格曲面，然后基于网格曲面研究图像处理问题。 然而这种将隐式曲面离散化成网格曲面的过程非常复杂，曲面的上图像的网格表示 也非常困难，其梯度也难于表达。因此我们并不把曲面离散化，而是把定义于隐式 曲面上的图像看成一个定义于其上的恒正有上界函数。假设有一个隐式曲面s ，为 隐函数妒：r 3 - 尺的零等值面上的点集。s 的内部矽 0 。如图2 1 所示： 矽= o 矽 0 图3 2 零水平集函数表达隐式曲面 所谓隐式曲面s 的一幅图像是指定义于该隐式曲面上的一个函数， f - ( p ) 一f ( x ，y ，z ) l s 。隐式曲面上的图像处理就是针对厂的各种问题提出相应的 处理方法。 3 2 内蕴梯度 基于变分方法的图像处理技术中，图像函数的梯度是一个非常重要的概念，在 三维欧氏空间中变分方法的图像处理技术与平面图像中的处理技术是一致的。这是 青岛人学硕十学位论文 因为三维欧氏空间中，梯度算子的具有一致性，但是隐式曲面一般情况下为非平坦 流形，其上的梯度算子不能用三维欧氏空间的表达方式。为了将平面图像的扩散模 型推广到隐式曲面上图像扩散，c h e n g 8 l 引入了曲面上内蕴梯度算子v ；的概念，并成 为后续研究隐式曲面上图像处理的基础【9 1 。下面介绍隐式曲面上的图像梯度的表达 方式即内蕴梯度算子的定义。 首先定义投影算子：假设v 是一个三维空问中的矢量，定义算子 p 卜再v v 小商茹 3 - ( 1 ) 其中的 是三维欧氏空间中向量的点乘运算。当该算子作用到一个三维矢醚的 时候，其实际作用就是将这个三维矢量投影到一个垂直于矢量y 的平面上。由于归 一化的作用，显而易见有置；，其中k 是一个常数。于是便可定义隐式曲面s 上 的内蕴梯度算子：当内蕴梯度算子作用到一个函数上二时，应该将这个函数在三维欧 氏空间中的梯度向量投影到指定的隐式曲面上对应点处的曲面切平面上。故，定义 v s “i 岛v u 一乓矿v u 3 一( 2 ) 其中s 为曲面，丙是曲面s 的法向量，y 是曲面图像在三维欧氏空间中的梯度算子。 v s “即为s 上的图像函数u 的内蕴梯度( i n t r i n s i cg r a d i e n t ) ，这里用到了隐式曲面的几 何性质丙平行于v 妒。隐式曲面s 上的内蕴梯度算子就是v 。一岛v = 岛妒v 。n n n 于任意的驴，曲面s 的法向方向不变，所以w 与曲面隐函数驴的选取无关。 3 3 本章小结 本章介绍了隐式曲面的相关概念和它的一些特性，比较了隐式曲面与网格曲面 的不同，并且详细介绍了隐式曲面上图像的内蕴梯度算子的表达方式和相关理论， 为接下来的隐式曲面上的图像扩散做了必要的铺挚。 第四章隐式曲面上图像扩散的变分模型 第四章隐式曲面上图像扩散的变分模型 在上一章中介绍了应用曲面上图像梯度的切投影表达其内蕴梯度，把基于梯度 的图像扩散变分模型从平面图像拓展到了隐式曲面图像。该类模型在曲面图像扩散 的同时可有效地保持其边缘，但是在本该光滑的区域会产生明显的阶梯效应。考虑 平面图像处理中采用的基于拉普拉斯算子的扩散模型可以解决该问题，提出了基于 内蕴散度的隐式曲面扩散模型。并以t v 模型、p m 模型为例进行了数值实验，实 验证明该类模型在保持图像边缘的同时可以有效地抑制阶梯效应。 4 1 基于内蕴梯度的隐式曲面上图像扩散 基于内蕴梯度的隐式曲面上图像扩散能量泛函可定义为 e ( 比) t 巨( h ) + a 易( h ) _ - 其o e 局( h ) 表示数据项，疋( “) 表示光滑项，分别为 4 ( 1 ) e l ( 比) 一1 i s ( h 吨) 2 豳一扛( “吨) 2 6 ( 妒) i v 妒i 蠲 4 一( 2 ) 其中d x 为d x d y d z 的缩写。 e 2 ( h ) - f 只( i v s “i 凇- j = ，仍( i v 5 “i p ( 妒) i v 妒i 批 4 一( 3 ) 对4 - ( 1 ) 进行变分，其中 棚。f o ( “- u o ) m 6 凇。正b , o ( u - u o 舾 4 - ( 4 ) 青岛大学硕十学位论文 可得 吲- , j r a 拈 l 。n 吲靴脚 吐萌生羔铲i 叫6 - j _ 口粤两p v , v u v 叼i 叫靴膨 - - f a v ( 等铲卜背神。硼 4 书， 巾瞄l 叫) 一也背砂郴 - f a v 瞄i 叫) 瞥掰也篙咿硼 掣l 。o ，南v ( 黼i 卜 4 舶， l 正口! 鼍等乓妒v “，元叩正s 翱卜小南v ( 铲肛 4 巾， 求其极值可以得到隐式曲面上图像扩散模型对应扩散方程的通用表达形式为 詈。南v ( 铲) 4 - ( 8 ) 将4 - c 1 ，中的a 替换为如( x ) 一 三乞麓差鬻后，该模型可用于非纹理图像 的修复。 2 6 第四章隐式曲面上图像扩散的变分模型 4 2 基于内蕴散度的隐式曲面上图像扩散 以曲面上的内蕴梯度为基础，可定义该曲面上的内蕴散度为 咖- 掣 4 - ( 9 ) 则基于内蕴散度的隐式曲面上图像扩散的能量泛函可定义为 e ) - 置o ) + a 毛 )4 一( 1 0 ) 其中臣( “) 表示数据项，同4 一( 2 ) ，而 其中 - 正班帕一l 仍1 4 对4 一( 9 ) 变分得 v 妒1 6 似) 赵4 - ( 1 1 ) 丝! 竺型1 堡f 竺型i + a 坠! 竺型i a 占l o a i s - 0 a 占 i 同4 - ( 4 ) 。 4 一( 1 2 ) 鼍导l ，。 a i 。 青岛人学硕十学位论文 啦卜潦揣卜咧叫，趔制叫靛瑞叩邮 t 岛 叫v 卜礁端) 叫卟水卜涨删 v 帜制叫黼v 栖 叫 制叫端叩椰 其中， 卜协_ v 卜涨揣) 卜涨祟 6 劬) v 叫) 卜陡器 卟卜畿揣 一_ 卟h v ( b 妒v ui v , p v ( 岛妒v ui v , p 2 南v _ 州破1 v ( r 妒v u i v t p v ( r 妒l v l f ， ) ) ) ) ) ) ) ) 4 一( 1 3 ) 小巾