（应用数学专业论文）几类非线性差分、微分方程的定性研究.pdf

摘要 i 蛳3 5 夺篇论文= l 四章组成，在旃一一章中，我们研究了一类：二阶非线性差分方程 一一一+ 柏振动蛰往笫二章t p ，我“j 论了一类离阶变系数非线性中立型差分方程的 振动性与? j j 近性；在第三章我们给出了一类一阶具正负系数中立型时滞差分方 程解的掂抛性的若二n 琶分条件；第四章我们得出了一类阶中立型微分方程解 的振动性与渐近性的进一步结沧。 a b s t r a c t l h i sp a p e ri sc x m l p o s c do ff o u rc h a p t e r s i nc h a p t e r1 w es t u d i e do s d l l a t i o nc r i w r i a ( a x ) l u t i o n so fac l a r so f , s e c o n d o r d e rn o n l i n e a rd i f f e r e n c ee q u a t i o n ；i nc h a p t e r 2 ，w ec o n s k t e r e dl h eo s c i l l a t i o na n da s y m p t o t i cb e h a v i o ro fal d n do fd o r d e rn o n l i n p a rd e l a yd i f f e r e n c ee q u a t i o n ：, s o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h eo s c i l l a t i o no ff i r s t o r d e rn e u t r a d e l a yd i f f e r e n c ee q u a t i o nw i t hp o s i t i v ea n dn e g a t i v ec o e f f i c i e n t sw e r eo b r a i n e di nc h a p t e r3 ；i nc h a p t e r4 ，w eo b t a i n e d8 0 l r l en e ws u f f i e e n tc o n d i t i o n sf o ro s c i l l a t o r yl e h a v i o ro fs o l u t i o n s0 fak i n do ff i r s t o r d e rn e u t r a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n 前言 数学中大最的微分方程都来源予诸如物理学、生物工程、电路信号与系统、 自动控制等所抽象出来的数学模型。但考虑到事物本身的复杂性及精确性，有 时必须月+ 到时滞微分方程或称泛函微分方程。为了现代工具处理的需要，有时 叉要把这些方程加以离散化，这样就得到所谓的差分方程。由于能求出精确解 的微分、差分方程毕竟为数不多，因此对这些方程进行定性分析就变得十分重 饕。整分方程的定性研究是现代应用数学的一个重要课题，在众多科技领域有 着非常广泛的应用。差分方程是微分方程的离散形式，在微分方程的应用方面 起着举足轻重的作用，因而具有重要的应用价值，特别是本世纪以来，自然科 学与社会科学中提出了大量动力系统问题，如核物理学、自动控制、生态系统、 遗传问题、动物与植物的循环系统、社会科学方面主要是各种经济现象的描述， 如商业销售问题，财富分布理论，运输调度问题、工业生产管理等。差分方程 理论的完善和发展推动着人们对客观现实世界的认识和改造，成为现代应用数 学的一个重要方面。 本论文主要讨论几类差分、微分方程解的性质，获得了一些有实际价值的 结果，推广和改进了一些巳知的结果。 第一章研究了非线性差分方程 口。一1 ( a y 。一1 ) 8 + q , t f ( y ) = o ，咒n o 的振动性，其中a 为两个正奇数之比，我们获得了方程所有解振动的一些新的充 分条件。 第二章我们讨论一类高阶变系数非线性差分方程 4 ( o 。一p # 。一i ) + g ( z 。一d ) = o ， ”= 0 ，1 ，2 ， 的振动性和渐近性，其中d 1 为奇数，通过建立若干引理，得到方程所有解振动 的几个充分条件及其非振动解的渐近性。 第三章讨论一阶具正负系数中立型时滞差分方程 z ( z 。一c ，# 。一i ) + p ，一”一m g ，z 。一f = 0 ， ”n 】 歌f ，方程振动的一些充分条件。 第四尊考察一阶中立型微分方程 黜，( ，) + 肛( 一r ) + q ( ) z ( t 一艿) = o ，z 。 得n j 了力强振动性与渐近性的一些新的结论。 2 第一章一类二阶非线性差分方程的振动性 1 1 引言 + 记n o = 0 ，1 ，2 ， ，对任意攘数口 0 成立，并且，是不减的。方程( 1 ) 可看作微分方程 n ( ) ( y 7 ( z ) ) 8 7 + q ( t ) f ( y ( ) ) = 0( 2 ) 的离散化形式，对方程( 2 ) 的振动性已有许多学者进行过研究，如 5 、 1 0 。 当8 。一1 以及艿= l 时，方程( 1 ) 可化为方程 2 y ，l + q ( 弘) = 0 ( 3 ) 其振动性已有好些结论，如文 6 、 9 等。 我们将满足方程( 1 ) 的非平凡序列 y n 称之为方程( 1 ) 的解，若 既不是 最终正的，也不是最终负的，称之为振动的；否则称之为非振动的。我们运用与文 6 类似的方法得到方程( 1 ) 所有解振动的充分条件。 为方便起见，文中若未指明某一不等式的范围时，均指对充分大的自然数成 立 下面列出本章要用到的一些条件： ( h 】) n 。 o ，且1 = o o ； n 2 1 口枣 ( h 2 ) 对于“、。0 ，存在非负函数g ( “，”) ，使得f ( “) 一，( ”) = g ( “，。) ( “ 一u ) 8 ； ( h 3 ) q i 0 且不恒为0 ； 3 ( f ) 蔓：吖 0 使得 一鳖粉型+ 势+ 蔓锱m 对于所有的”n 7 1 1 ， 3 ) 成立，那么有， n 。( “) 6 ( ) 一m f ( y 。) ，n n i n t ，犯3 ) 。 ( 5 ) 证明：由方程( 1 ) 可得： ；妻全铲十i 意= n o 。t o ，n n o , n 3 ) ， ( 6 ) 因此，f | j 乘积公式 1 1 ，引理1 7 4 得 掣+ 毒端+ i 奎= n a 铲一搿巾， 对，le n 1 。n ，) ，t t t ( 4 ) 及( 7 ) 得 一错一奎笺谢 o ， 因为，不减，( 8 ) 式右边是非负的，因此，“ 0 ，( 8 ) 式可化为 天而w n 一。j 、x 驯f ( y 、i 州) w i 了，”n 3 ) ( 9 ) 考虑相应的方程 而z ) 力n = 一；幺死z f ) 7 ( y ( i 菇) v i j ，摊竹3 ) ( 1 0 ) 我们可以证明t o n ，ne ；r t l ”3 ) 。 事实u 上j 由( 9 ) 与( 1 0 ) 可得 懿毽 ，矗) 澌一渤n - if ( 型y 1 ) f 煞( 趣y i + 1 ) 殷 歹南= ”t 一幺i 莹赢a ) f | ：7 ( ( y 挑1 ) + v ，l f 。 硅然有 。，m f ( y ，) = ：，从而可推出t ，对n 竹1 ，n 3 ) 对( 1 0 ) 式 两边取差分得 赢= 于丽a v nh 川志= 一篙嬲， 因”呼s = o ，所以2 o 故 仉= = m f ( y ) ，” ”，n 3 ) ， 则w 。口。= m f ( y 。) ，l n ，以3 ) 即n 。( a y n ) 8 一m f ( y 。) 成立。 涟：当n 。i1 ，艿= 1 时，引理1e p 为文e 6 】中的引理2 1 ，所以本文中的引理1 足文 6 引理2 1 的推广。 推论1 ：设 ，竹n ( n l 一1 ) 为方程( 1 ) 的一个正解，如果( h i ) 以及 一l i m 。y , q f 一 ( 1 1 ) 成立，那么有 一 薹甓羰挲o。02)zx。，( ) ，( 挑+ 1 ) 、。 证明：不妨假设 i 量= n 坐蝌= o 。， 厶 + 1 ) 那么存在n ”l ，使得( 4 ) i 成立f ( ，y 则1 ) 由f ( 引y i 理1 知 口。( ) 。一m f ( y ：。) ，l n ( ”? ) ， ( 1 3 ) 因此右 5 “一 。矿( y ：。) j _ ，n n ( ”? ) a , q h ( 1 4 ) 以及( h 1 ) 知，y 。最终为负，与题设矛盾。 推论2 ：设( - i ) 成立，若 q ；= o o ， 那么力程( 1 ) 的任一解振动 证明：t t a 引理1 , q - 以很容易证明出结论成立，略。 引理2 ：设( h 1 ) 成立，并且 ( i ) l i r ai ，( “) i = o o ； ( i i ) z i l q f 存在。 设h 3 。i 为方程( 1 ) 的非振动解，那么 薹剑f ( y 剑1 ) f ( y 竽i 0 令 t = ：。一1 ( z x y n 一1 ) 8 ，那么 兴， (19f(y n 、一q n 、1 7 ， 则由( 1 ) 与( 1 9 ) 可知： rw ”1 w h + l硼n 刽氕菇卜硫一于研 一型! ! ! ! 如2 二型f 垃! l 2 = 型g ! 妇12 型! ! 照! ! 一 ，( + 1 ) ，( “) 一竺! ! 丛丝2 = 赵丛! 1 2 i 二丛丝12 型= 竺! i3 一 ，( 挑+ 1 ) ，( ) 6 = 。一7 薯掺怼j 将( 2 ( 1 ) 两边从”o 加筘j ”一1 得 了畿厂一度j 十，譬幺n - i 粼o o 1 、 7 i z o 习n + 萎州。善n - i 笺游， 丽醴 ( 2 0 ) 溺2 南一磐q 趔f ( y 1 ) f 尘( y i “+ l 垃) 一 = _ 眠w ”j - ，一毒旷妻笺谎掣+ 蓥”。塑，( a 、y i ) * 、a f ( y ，i ) = 卢+ 薹q i 十i * 蛐f ( y 1 ) f ( y i + 1 ) ， ( 2 1 ) 舯卢2 南一盏旷。鱼圳( a x w ) a 、l 姗x f ( ，y i ) 。 f “推论l 很容易推出( 1 6 ) 成立，我们可知卢是一个很好的定义，并且可以证明口： 0 ，下面分两种情况讨论： ( i ) 卢 0 ，选择充分大的正整数。2 ，使得 i 蓦州一学瓜。) 。 i 蚤州一等，n 。) 。 i窭=n呜幽 o ，一顶i ) 一卢，叭 则最终有3 ，一l 0 成立，闲此存在 4 7 r o ，使得 。 旦，筹鲁奠! 垦2 n ( n 4 、 ，一 ( 2 2 ) l ，( “) 9”“、 、“， 那么 o 。 盏笺端掣毽而z f ( y 1 ) 譬勉( ”飞) n - n 4 嫦一1 ， 。 由此有翘( n - - n 4 ) ”翳 n 4 使得当携 ”5 时有 号 ( ”一) ( 烈) 南_ 1 l ， 即有 1 + 丽与r k 嬲 r t 0 ，有 妻旷一糕，一 则：疗私( 1 ) 的所有解振动 诫明：设方程( 1 ) 存在一非振动解，不失一般性不妨设存在一最终正解 3 ，。 ， l ! l j 存在，72 ，使得当n ”2 时，有 y ，1 0 ，“一1 0 令乙= 譬耪盥挪么 吆= 特一划念产 一! 。塑勘瞳，且4 丛! ：红= ! f 垒如= ! ! 垒f 盘! ! 1 4 ：! ! f 坠! 垒勘! 1 2 厶：丛妇! ! ：红f 垒如2 盈 似+ - ) 触j 、 = 一嗽+ 箸孙。一如学 一嘛+ 勉p n + t ，一。血n p n + l 矧靠- 一q 。+ 鬲z x p 孙一茂z ；+ - 一q 。+ 麓 f n ”l 到n 求和后，令n + o o 角1 1 。1 i r a 。2 一o o ， 这与最终为正矛盾，故方程( 1 ) 的所有解振动。 例1 ：考虑离散的e u l e r 方程 2 汕十i 。彳# 订砂n 。o ，”2o ，l ，2 ， ( 2 3 ) 此时，兰兰l ，= = ，曼，s 一1 厂( ；“，p = 1 一 取几= ”，因而 骞渤，一糕 = 意i = l 【；2 ，i 一击 ，= 骞 ( 卢一号) 则当p 时，耋 ( _ ；8 一扣= 十o o ， j 由定理1 知方程( 2 3 ) 所有的解振动。 实际上，当p ；时方程( 2 3 ) 存在一非振动解 定理2 ：令占1 ，以及( h 1 ) 成立，并且对充分大范围内的y 有y f ( y ) 0 ，若 。 厂淼，f ：? 志 0 ，即f ( x ) 在正z 轴尽可能大范围内是下凹的； 当z 0 时r ( z ) ，潞矿歧一。淼毒矧 = 毒蒜毒去c 意j = i 缈，l 这与( 托) 矛盾。类似地可以证明方程( 1 ) 不具有最终负解。 当n 。一1 ；1 ，艿= 1 时，方程( 1 ) 变为 。2 一1 + q ( ) = 0 【妇定理2 立即得： 4 推论：假设 r r o 。 ( i ) o o ，若存在实值函数h ， h ：n o n o r 使得 l 二l | e i h ( ”，竹) = 0 ，当，1 ”0 0 ； h ( n ，s ) 0 ，当n s r i o ； 2 ：i ( 7 ，s ) s n o ； 一2 t f ( n 、) = h ( n ，s ) , r f t ( “i 孓j ，当” s n o ， 其中，2 h ( ”，5 ) = h ( ”，s + 1 ) 一h ( ”，s ) 若对vn 1 ”o + 1 ，有 一l i r a s 印赢蓦嘲驴号岩，= o o ， 则方程( 1 ) 的任一解振动。 。 证：反设方程( 1 ) 存在一非振动解 y 。 ，不失一般性，设 y n 为最终正解，即存 在”l o 使得当n 1 时y1 0 ，x y 一1 0 成立。 令，。= a n - i ( z ! x y n 1 ) 8 f ( ) ，则 口h ( x y n ) 6a n - 1 ( a y n 1 ) 8 h2 了丽一而 一鱼f 全如2 竺! 2 二纽= ! ( 全丝= 1 2 竺! 些! 12 f o y 。+ 1 ) f l y 。) 一红! 垒! ! ! 些2 二! 。= ! ! 垒如= l 2 1 1 ! 苎! ! ! ! 丛妇! l2 坠! 垒勘2 1 ：4 如! ! ! ! 。! 垒如2 1 f l ，。一t ) ( y 。1 x a 州( a y n 1 ) 。( ) 6 ，纽+ 立二必 一 f ( y n )f ( y 1 ) 。，( “) = - - q n 。也 + 。篾擎 = 一q 。一r ：+ 。划f ( y n ) a n 一q 。一r ：+ ， 所以q 。一a n f n 一 r ：+ l h ( n ，s ) 吼一h ( n ，s ) x r ，一h ( ”，5 ) r 2 + l = 一h ( ，i ，s ) ，s 1 + h ( ”，t ) ，+ s h ( ，s ) 吼上= r 2 。+ 1 2 a 2 h ( ，s ) h ( ”，s 十1 ) + h ( ，2 ，s ) 一h ( 靠一) 口崖- ，r 2 一+ 1 = 以+ 1 2 h ( ”，s ) 一h ( n ，5 + 1 ) r s + l + h ( ”，5 ) 一h ( ”，s ) 黟 = 一2 h ( ”，s ) + 。+ 1 2 h ( n ，s ) 一翔( ”，s ) r j + l 故 至( ”，s ) 仉h ( ”，优) r m 一蚤 一 - - z h ( n ，s ) + 妒( ”，s ) r 2 州 = h ( n ，优) r 。一 r s + l h ( n ，s ) 以丽+ 翔( n ，s ) r k i 一，r t ，q 口 2 ( ”，s ) m ，r e ) r = + 蚤旦号掣， 则 蚤n - i h ( n ，s ) 吼一移2 ( n ，s ) h ( ”，m ) ， 因此对于v ”z ，有 鲫s 印蒜岛蚤n - i m 吼一静2 ( ) 这与题设矛唐，从而假设不成立，故方程( 1 ) 的任一解振动。 1 3 第二章高阶非线性中立型差分方程的振动性与渐近性 2 1引言 本文讨论一类高阶变系数非线性差分方程 。( _ z 。一p ，芦。一 ) + q f ( z 。一d ) = 0 ，n = 0 ，1 ，2 ， ( 1 ) 的振动性和渐近性，其中d 1 为奇数，k 0 ，a 0 为整数， p 。 ， q 。 为非负实 数列，且吼最终不恒为o j ，c ( r ，r ) 满足赵砻 f ( 。o ) ，其中。为大于。 的常数；为向前差分算子，即a u 。= “。+ l 一“。，4 “。= z x ( , 。一1 “。) 。 当d = 1 时方程( 1 ) 化为 ( z 。一声，# 。一) + q ，( z 。一8 ) = 0 ，n = 0 ，l ，2 ，( 2 ) 对于该方程的振动性已有许多研究结果( 见 1 2 ) 。特别是对方程( 2 ) 的线性形式 ( z 。一声i i ) 十q ，一。一a = 0 ， = 0 ，1 ，2 ，( 3 ) 的振动性研究，结果则更多( 见 1 3 卜一 1 7 ) 。 然而对于方程( 1 ) 的振动性研究，结果却很少( 见 1 8 ) ，本文目的在于研究方 程( 1 ) 的振动性，通过建立若干引理，得到方程( 1 ) 所有解振动的几个充分条件及 其非振动解的渐近性。 为方便起见，我们约定：如果没有明确一个不等式成立的范围，总假设它对所 有充分大的r 成立。 2 2几个引理 引理1 ( 离散k n e s e r 定理) 设 满足“ 0 ，a o “0 且不恒为o ，那么存 在一个非负偶数优d 一1 ，使得 饥 0 ，i = 0 ，i ，2 ，m1 ( 一1 ) 钒 o ， 一m + 1 ，d 一1 j ) 引理2 1 8 】：设有界序列f 弧 满足 0 ，o “0 且不恒为0 ，那么 ( i ) l i m a i y 。= 0 ，1 i d 一1 ； 1 4 ( i i ) ( 一1 ) 1 乡。 0 ， 1 i d 。 引理3 1 1 8 ：设负实数列 y n 满足。o 且 a 不恒为0 ，刃v - a y n 0 ( 8 ) 证明：设存在n l ，使得当”i 1 1 时有z 。一d 0 成立，则由( 6 ) 有 一口( z 。一d ) 0 ，” i ， 因此 甄 单调且定- i 争( i = 0 ，1 ，2 ，d 一1 ) ，特别地有 0 或弘 o 。 假设 0 ，y 。 o ，且y n o ，则 弘l 单调下降，贝 j y m 弘存在，放 “ 为有界正序列， t t t ( 1 6 ) 可推得 。 ( i 一”+ d 1 ) i g f ( 5 一i + d 一1 ) 吼 o ，使得 z 。一 0 ，z 一8 0 ，m - l y 。口 0 ， k 0 ，0 i m 一1 ， 则 2 “一”2 “( n n 1 ) 口 即 m - t y 。( ， 1 ) 口； ”q 儿”一3 儿+ a i = n ( i 一”t ) 号( ”一一z ) ( 一一一- 一1 ) 号( 一一”t i 1 ) 乙 “y 。”y 。+ 1 + 号( i n l 一1 ) 2 “i on 4 - l 一2 号i 2 = 参( n 一”1 2 ) ( n 一7 1 1 ) ( 2 。一2 。l 一1 )o i t n - 1 7 融l 4 ：( ”一l 一2 ) 3 ， ，棚+ 2 依次类推得 j r 。r 。二i j i ( n r 1 1 ”z + 2 ) “一1 ”n - + m 一2 ， 那么存在。2 n 1 + m 一2 使得当n ”2 时，( n n 1 一”z + 2 ) ”一1 号n ”一， 即有 弘而号讯行一1 ， n 令口。 = 夏南，则( 1 7 ) 化为 y ”口。n ”1 ，r r 2 山( 1 0 ) 以及( 7 ) 两式，有 z n z n 一 + 口。”卅一1 ，r ，1 2 注意到存在卢l 使得对v ” 2 有 口。r ”一1 p 1 ”一( n 一 ) “ 实际上根据中值定理有 ( n k ，n ) ，使得 n 小一( r 一k ) m = m 一1 k ”2 + d ，使得当”。3 时，( 一m 要。m 二 从而有 + 专嘱，? ”口n o ，、n 3 ( 2 0 ) 从7 1 ( ”3 ) 到0 0 对上式求和d m 次并利用( 4 ) 可得 印。 一1 2 “2 2 l s 1 2 2 s 。l - 。狐荟( i n 十d m 一1 ) a - , - t n 令= 丽 = 薹( i 一卵+ d m - 1 ) d - m - 1 i ， 则( 2 1 ) 可化为 饥见f 。，l ，1 3 对( 2 2 ) 式从t 3 到”( n 3 ) 求和m 次并注意到( 4 ) 式得 ( 2 1 ) ( 2 2 ) 汕捣；n 善- m ( 靠一铆一i + 1 ) 一1 雪( j - i + d - m - 1 p 州j 1 9 一鸭 忐 丽i 跏- - 3 一+ 1 ) 州壹n + d 一- 1 ) h ”q 鲁( ”一m1 + 1 ) ”茎( s 一”+ d m _ 1 ) 扣一1 帕， ( 2 3 ) 令几= j 2 m k ! ，并取n 一 n 。使得当”。时( n m n ，+ 1 ) ” 专 ? 则有 y 。，佛n m ( s ”+ d m 一1 ) e 一川5 m 吼， s 2 ” 其l 1 ( 2 3 ) 式用到了 善n - m ( ”一m 一r 1 去( ”m 咱+ 1 ) ”， 巾5 ) 这是因为 = ”一m 蚤- n + l i m 一。n - m - n 3 + l 。，- ，如：刍( 。一。一。+ 1 ) m ， 因1 比( 2 5 ) 成立，故( 2 3 ) 成立。 再由( 2 4 ) 以及结合( 7 ) ( 1 0 ) 两式得 丁。z 。一i + 角竹m 乏 ( 5 一九+ d 一，竹一1 ) d l s m q 。，n n 4 设：。= 卫专垫 ，则当n ”一十k 时 “蹦n ”( s 一”+ d m 1 ) 。一m 一1s m 吼+ ( h 一”“( j n + + d m 一1 ) 4 一m 一，吼+ + 一 ( n 一( ”一1 ) 1 ) ”( j h + ( n 。一i ) l + d 一研一i ) 。】j 飞】+ x n - n t e j = h 一( 一1 ) 岛 n 卅+ ( 疗一点) 小”+ ( 打( 挖一1 ) 量) 卅 ( 1 一菲+ d m 一1 ) d l j 研“ ( 2 6 ) + ( 1 一篇矿 重卜一m 一 2 0 - * 谴垫搏 1 ) ”。s ”吼 胁) 哨+ ( 1 一) - 删一! p 萝 ( s - n + d - m - 1 ) 扣一1 1 西i l l l i r a 。”= o o ，则 。 缘爿1 + ( 1 一嘉) m + + ( 1 - 争) ” = ：( 1 一妒如= 忐”_ ”咒 ” ou 战存在”4 ”f 使得当”4 时 l + ( 1 一嘉) “”叶( 1 一辛1 ) ”疗j l 岛7 1 1 , ，挖挖厶 ， 并且存在”，”。使得当n ”，时” 蠡，这是因为躲丢 乎 ， 因此 b 愚( 札咱) ”4 i 稃孤善( s n + d m 一1 ) d - “, - t s m q ， 2 耵五( 竹讷) 蚤( s 一竹+ d 优- 1 ) 扣一1 舶，凡豫 代人( 6 ) 式中有 饥一鼎( 行一占一曲嘞一m 一蚤( s 一，z + d m 一 1 ) 4 ”1 s m q ，”，1 5 十占 将上不等式两侧同乘以1 得 1 , l d - m - i 勺k 一1 4 ，” 5 + 艿，( 2 7 ) 萁中 乩2 志r i d - m - l ( n 一占一础m n 善( 一 1 ) 4 1 s m q ， 由于 lira。勺。意(，一-?1赢)d-m-i 2 确 h c 睦 一”n 勺。( 5 一s m q ， 叭。“邝 则由( 1 1 ) 可知 2 1 r t d r a ( 2 8 ) 结合( 2 7 ) 式得 地= 。 i = h 十a ( 2 9 ) 一l i m 毒f 扣一1 c t y , 一吒 。 根据( 4 ) 可推导奎一1 勺，得 一一叫屯 。 = ( j 1 ) c t - , - i d - l y s 一z x ( s 一1 ) c t - , - i 。- 1 儿 一aj 。n j 十a = ( j 一1 ) c t - m - 1 。一1 弘 一 一1 一( 5 1 ) d - , - 1 。一1 咒 j = h 5 + a5 + a ( 5 1 ) 4 一m1 c t - l y s 一( d m 1 ) - - 2 。一1 儿； ，+ a5 + a - - m 一2 d 一1 儿 ( j 一1 ) a - r - z 8 2 * 一( d 一埘一2 ) - , - 3 。一2 * s a m + 2 儿 ( j j 2 ”5 + a j 2 4 5 + a 1 ) z x + 1 儿卜a m + 1 弘； j 。“j + 5 ” a m + l 弘= 【、 j 2 n 5 + 85 + 0 对。卜述各式由最后一个开始依次向前回代，最后可得 一1 5 + a ( 5 1 ) 。一1 4 1 弘 一( d m 一1 ) ( 5 。”，+ d ，5n s + a 1 ) 。一2 。一2 挑 + ( d m 一1 ) ( d 一，”一2 ) ( s 一1 ) e 一坍一3 d 一3 弘 + l 。“5 + d 2 2 一( ，一”z j ) ( “一”z 一2 ) 2 i - 芝： ( s 一1 ) ”+ 1 弘 s + d + ( j 一。一1 ) ( d 一z 一2 ) 3 2 l ，+ = r n ，+ ( 3 1 ) 其一f ，f = d - m - i a d 1 y 。t + 芝：( 一1 ) ( i + 1 ) ( i + 2 ) ( d 一优一 1 ) ? i k 则f ，( d l 1 ) ! m y 川 而由( 3 0 ) ，( 3 1 ) 可知l i mz + t = 一o o ，与( 4 ) 矛盾。 2 3主要结果 本节利用上一节的引理来获得方程( 1 ) 的一些振动准则。 定理1 ：设p 。一1 ，并且( 1 1 ) 成立，则方程( 1 ) 的每个解振动。 证明：反证法。设方程( 1 ) 存在一非振动解f z 。 ，不妨设f j c 。 为方程( 1 ) 的最 终正解，则由引理4 有弧= 一如。一 o ，但由引理5 知强 7 l o 使得 2 3 - ，o ， y ， 0 ， - r t l 通过商接代人并使用( 3 3 ) 得 z “yr i = = 一q ，# ”8 = 一q ，o k 一8 一q ，。一8 “一d k 一q ，”a q ” b t a 一 = 一q n y 。一a 一“k 一i ，”；”1 ， 即 ，一， + q n y n a 0 ，n n 1 ( 3 4 ) 1 引理4 和引理5 可知从条件( 1 1 ) 可推出( 3 4 ) 不能有最终正解，矛盾，故方程( 1 ) 的任一解振动。 定理3 ：当，( z ) 一，时，若( 1 1 ) 成立，并且 p 。1 ( 3 5 ) 以及 p - 棚。q 。一i ， ( 3 6 ) 那么方程( 1 ) 的任一解振动。 证明：反证法。不妨设方程( 1 ) 存在一最终正解 z 。i ，令y 。如( 7 ) 所定义，由引 理5 知存在n l 使得 勺。o ，y 。 0 以及n 1 使得弘胁”，l n i 。 t h ( 7 ) 可知。肛i m - i 蒋之代入方程( 1 ) 并注意到赵宴c 可得 。+ 印( n 一占) ”一1 q 。0 ，n n 1 + 艿 因为可取n 2 n 1 + 占，使得当”n 2 时，( 竹一艿) ”- 1 告n ”_ 。， 则有 + 告印( n m - 1 ) q 。0 ，竹n 2 从n ( n 2 ) 到o o 对上式求和d m 次，并利用( 4 ) 可得 丽岛妻( s n + d - m 一1 ) d - m - l s m - l q , ，n 2 再从2 到”( 竹2 ) 对上式求和m 次，并利用( 4 ) 可得 “盯i 毓，磊( ”一m 州1 ) 一1 蚤( i 州d m 一1 ) 扣一1 r k 盯i ，磊( n - m - s + l r l 意( s - n + d - m - 1 严一1 吼 盯i 面- m - 2 + 1 ) ”蚤( 协辨一1 ) a - m - 1 ，。1 “( 3 7 ) 令卢- = 斫孑= ：，并取n 3 2 ，使得当咒n 3 时 ( ”一m n 2 + 1 ) “ 告n ”，则( 3 7 ) 可化为 弘p l n ”( s + d m 一1 ) a l $ m - 1 吼，”n 3 考虑到3 7 。，则 2 5 “卢”( j ”+ ( 1 m 1 ) “”1s m - i q ，n n 3 代入( 1 ) 巾同样可由_ 粤立，推出 。一c f l l ( n 一占) ”q 。乏：( 5 一n + d m 1 ) 4 一”一1 s ”一1 吼，h n 3 + 占 ( 3 8 ) 将上述不等式的两侧同乘以1 禧 n d - ：m - i 一圮，n n 3 + 占， ( 3 9 ) 其中矾：c f l ，( 。一占) m t l d - m - l q n 妻( s 一。+ d m 一1 ) 8 一m 一1 。m 一1 吼 1 1 1 于l i r a 挖小1 q n ( s 一7 + d 一优一1 ) d 一埘一1 ，一g s = 印1 则由( i i i ) 可知h j = o o ，结合( 3 9 ) 式可得 l i m 一一m 一1 = 一c o ， ( 4 0 ) 一，2 3 十a d - m 一2 若令e = f l d - m - 1 州弘+ 1 + ( 一1 ) ( f + 1 ) ( f + 2 ) ( d m 一1 ) n a ”+ h + 1 i = 0 0 ， 则有 一一m 一1 = e f m + ( 4 1 ) i = m + a 应用( 4 ) 可知e ( d m 一1 ) ! + l ，这样由( 4 0 ) ，( 4 1 ) 两式可推出勉= 一 o o ，这与( 4 ) 矛盾，因此m = 0 。 根据( 4 ) 可知y n o , a y n o ，那么矗 y n f ，h n ( n 充分大) ，则根据( f ) 可知存在m o ，使 得八砩a ) m ，因此代入方程( 1 ) 可得 2 6 ? y f f + 颤0 ， n 从”到o 。对上式进行d 次求和，并注意到( 4 ) 可得 “考堇( s 一”+ d 一1 ) a - l q ，, n n 因为“弘，则有晶捣壹一( s - n + d - 1 ) d - l q s , n n 代入方程( 1 ) 中可得 一考妻一( s - n + d - 1 ) a - t q s , n n 对上式从”n 到o o 进行d 次求和并运用( 4 ) 可得 弘尚妻。( i - n + d - 1 ) g f 意s = i ( s - i + d - 1 ) 吼，n n f 1 1 于 弘 为有界序列，故 ( i n + d 1 ) q i ( s i + d 一1 ) 州q 。 o 。， 这保证了一一1g f ( s i ) 4 2 。o ，当d 3 时；或者z q , 儡 o 。，当d = 1 时， 这与题嫂( i i i ) 矛盾，因此z = 0 。 下面证明 x n 为有界的正实数序列： 反没 晶 为无界的，即存在一自然序列 毛i 使得勉 n = o o ，投2 ，撒z 五：s k 以及l i m x k = 0 0 又由( i i ) 知存在p ( 0 ，1 ) 使得0 a p ( n 充分大) ， 则 y k = 趣一p ki ( 一户) 诹一( n o 。) ， 这与 =矛盾，故翰为x有1界的正实1limy0数序列。 令自然数序列 0 满足加点0 = o 。，z r = 聊i 五：s 0 ，以及 a2z 蚀驴翰2 缝忍： 因为a 冉j a 冉：一 = 4 ：一壕：，则o 口加因p o ，1 i d ，以及勉h = o ，l i d 一1 。 如同定理4 一样的证明，可推l i m x , , = 0 成立。 2 8 第三章具正负系数中立型时滞差分方程的振动性 3 1引言 考虑阶具正负系数中立型时滞差分方程 ( ，x j 一( j ，砥一 ) + p 。x 0 。一q ，x j z = 0 ， n n( i ) 的振动性，其中 ，”z ，z 为自然数， g ， r ， q 均为非负实数列，为向前差分算子， 即a y = 汕 i 一弘j 对于方程( 1 ) 对应的连续情况 x ( f ) 一c ( t ) x ( t r ) 7 + p ( f ) x ( 一r ) 一q ( ) x ( 一艿) = 0 ，( 2 ) 已有不少作者进行过讨论，女n 2 3 ，2 4 ，得到了一些很好的结论，而对于差分形式方程 ( 1 ) 的讨论相对而育就少得多，李雪臣等在文 2 2 中得到如下结果： 定理 ：若下列条件成立 ( h 1 ) ( h 2 ) o c n + q f 1 ，只= a q 一。+ z 1 0 ，且或不能最终恒为0 ； i = l t i m i n f a 0 ； ( h 3 ) 。豫。味；虬( 1 + 厩) + “一。鱼+ 。( 1 + 属) + 蚤m - i q - m - i i = nf f i _ 。( 1 + 厦) 1 ， 则方程( 1 ) 的所有解振动。 本文的目的在于通过对只= 矗+ q f 的不同情形进行分析，得出方程( 1 ) 振 动的一些充分条件。 记m = m f 女，m ，l f ，不难证明对于给定的定义在，l = 一m ，一m + 1 ，一m + 2 ，一i ，0 上的实数锄，可唯一确定一个序列晶 满足条件： a = a 。，2 = 一m ，一m + l ，i ，0 ，( 3 ) 且当n 0 时满足方程( 1 ) ，序列 x n 称为初值问题( 1 ) ，( 3 ) 的解。为方便起见，令n = 2 9 i l 1 ，2 对v “，b n ，定义 n ( 。) = n ，。十1 ， ，当n b 时，n ( a ，b ) = n ，。+ 1 ，6 。 如果序列 矗 即不是最终正的，也不是最终负的，称