（概率论与数理统计专业论文）lévy测度方法在破产问题中的应用.pdf

中文摘要 摘要 从l u n d b e r g 的研究开始，胍险论发展至今已有一个世纪的历史。风险论是用 以设计、管理与规范一个风险企业的诸多相关思想的综合。一个具有风险的企 业是以这样的事实为其特征的，即在其正常运作的某些会计核算周期内，开销 也许会超出收入。尽管我们直把保险公司视为风险企业的主要例子，但稍作 修正，此理论也许可用来理解其它类型的操作。作为保险精算数学的一部分， 风险理论主要处理保险事务中的随机风险模型。讨论其在有i t i h , 2 间内的生存概 率以及最终破产概率等问题。 本文围绕连续时间的经典复合p o i s s o n j x i 险模型，对破产时刻、破产前损失 及破产时损失的之问联合分布进行再讨论。尽管这一课题已被众多著名学者所 研究，并己得到一些结果。但他们所用的方法与讨论的模型相关，不能直接运 用到更广泛的模型中。从随机过程的角度，由于连续时问风险理论中讨论的询： 多模型是带跳的l 6 v y 过程，可以将一些关于l d v y 过程的结果自然地应用到破产 相关问题的讨论。 本文就此提出，利用l 6 v y 过程的l v y 测度进行计算这些破产问题。破产时 刻是以l a p l a c e 变换形式出现的，可以自然地认为是贴现。得到的结果与g e r b e r a n ds h i uf 1 5 给出的相应结果一致，并在双p o i s s o n i , i 险模型中再次应用，得到 相关分靠的解。此方法不受模型具体形式的制约，对于那些事实上是l e v y 过程 或者满足定假设( 即：第二章中的假设( a1 ) 、( a 2 ) ) 的m a r k o v 过程，并且由于 跳而引起破产的模型，同样可以用l d v y 湖, q 度的方法对这些模型进行研究。 关键词：复合p o i s s o n j 风险模型、破产时刻、破产前损失、破产时损 失、l a p l a c e 变换、“v y - - k h i n t c h i n e 公式、b d v y t t 度 英文摘要 a b s t r a c t r i s kt h e o r yh a sb e e ns t u d i e df o ra l m o s tac e n t u r y ，s t a r t i n gw i t ht h ep i o n e e r i n g w o r ko fl u n d b e r g r i s kt h e o r y a 8ap a r to fa c t u a r i a l m a t h e m a t i c s ，d e a l sw i t h s t o c h a s t i cm o d e l so fa ni n s u r a n c eb u s i n e s sa n ds t u d i e st h ep r o b a b i l i t yo fr u i n i nt i l l sp a p m ，w ec o n s i d e rt h ec l a s s i c a lr i s kp r o c e s s w ew i l ld i s c u s st h ej o i n t d i s t r i b u t i o no ft h et i m eo fr u i n t h el o s 8i m m e d i a t e l yb e f o r er u i na n dt h el o s s a tr u i n c o m p o u n dp o i s s o np r o c e s s e sh a v ea l s ob e e ns t u d i e db ym a n yf a m o u s a u t h o r sa n dd e ii v e dm o s tr e s u l t s ，i ts e e n l st h a tt h e i rm e t h o d sf o rd e a l i n gw i t h t t l i sm o d e la r en o ta p p l i c a b l ei no t h e rc a s e si na no b v i o u sw a y f i o mt h ep o i n t o fv i e wo fs t o c h a s t i cp r o c e s s e s 、m a n yr i s kp r o c e s s e sa r es p e c i a ll 6 v yp i o c e s s e s w i t hj u r n pt h ep o s s i b i l i t yt h a ts o m eg e n e i a lr e s u l t sf r o ml 4 v yp r o c e s s e sc a nb e d i r e c t l yu s e dt os t u d yr e l a t e dp r o b l e m si nr i s kt h e o r yi s n a t u r a l w ee x a m i n et h ej o i n td i s t i i b u t i o i to ft h et i m eo fr u i n ，t h el o s si m m e d i a t e l y b e f o r er u i na n dt h el o s sa tr u i nw i t hl 4 v ym e a s u r et h e t i m eo fr u i ni sa n a l y z e di n t e r m so fi t sl a p l a c et r a n s f o r m ，w h i c hc a nn a t u i a l l yb ei n t e r p r e t e da sd i s c o u n t i n g s o i n ei e s u l t si nt h i sp a p e rh a v ea p p e a i e db e f o r e ( e g ，g e r b m a n ds h i u 【1 5 ) e x a l n p l ei sg i v e l lf o rt i l e d o u b l ep o i s s o np r o c e s s e sw ew i l ls h o wt h a tt h er u i n p r o b l e m su n d e rm a n y o t h e rr i s kp r o c e s s e s ，i n c l u d i n gt h ec l a s s i c a lr i s kp r o c e s s ，c a r t b eh a n d l e dl nt h i sw a y k e y w o r d s ：c o m p o u n dp o i s s o np r o c e s s ，t h e t i m eo fr u i n ，t h el o s si m m e d i a t e l yb e f o r er u i n ，t h el o s s a tr u i n ，l a p l a c et r a n s f o r m a t i o n ，l 4 v y k h i n t c h i n e t b r m u l a ，l 6 v ym e a s u r e 2 主要记号及其意义 ( n ，、p ) g ( s ) c ( s ) 层f s l s ( 厂) n b 1 ) l ) s 0 o 一， u + u 一 “，口 主要记号及其意义 完备概率空间 定义在s 无穷远处趋于零的连续函数全体 在s 上有界连续函数全体 表示s 的b o r e l 口域 表示厂的支撑 口，6 中取小 示性函数 表示s 的闭包 表示s 的单点紧化 表示度量 为 一c 的单点测度 表示时刻t 的盈余 表示时刻t 的损失 表示k 在t 点的左极限，即l i r a 计t 1 ，： 表示个体索赔量服从的分布 l a p l a c e 变换的参数 p o i s s o n 过程的强度 e ：【 = e jx o = z ：e 0 _ e 【 p7 、一p 7 i 。、p o ( r ：r t 7 。、= p ( ) i：竺t,l a ：妻o - - 主a 装, ) 1 婴* 0 1 可分空问 局部紧性 单点紧化 a 在x 中稠密 拓扑空问有个可数的稠密子集。 拓扑空间任意点都存在该点的紧邻域。 通过增加一个点将局部紧空_ r a l 扩大成紧空间的方法。 度量空间( x ，p ) ，如果任意z x ，总有p ( z ，a ) 。 3 至：茎塑堕! 墨堕些笙 第一章概述：风险理论 对于大多数人来说，我们习惯用“风险”一词来刻画那些随机丽菲确定的 诸多事件间的关系。然而我们并未意识到，从l u n d b e r g 的研究开始，风险论发 展至今已有一个世纪的历史，“风险”是具有狭义而精确的技术性定义的词 语。风险沦是用以设计、管理与规范一个风险食业的诸多相关思想的综合。一 个具有风险的食业是以这样的事实为其特征的，即在其正常运作的某些会训核 算周划内，丌销电许会超出收入。尽管我们直把保险公司视为风险氽业的主 要例子，但稍作修正，此理论也许可用来理解其它类型的操作。( 参见1 3 1 ) 作为保险精算数学的一部分，风险理论主要处理保险事务中的随机风险模 型，讨论其在有限时间内的生存概率以及最终破产概率等问题。被用来研究的 随机风险模型依时间可以分为连续时间模型和离散时间模型。 对于离散时间模型的研究大都集中在完全离散复合二项风险模型上， 例如g e r b e r 1 2 1 和s h i uf 2 5 】以4 i 同的定义方式考虑该模型下的最终破产概 率，w i l h n o tf 2 8 1 则是利用概率母函数给出该模型下有限时间内生存概率的清 晰表达式，并揭示其与索赔为混合p i o s s o l - 分布时的复合p i o s s o n 模型破产概率 之间的联系。d i c k s o nf 1 0 用离散时间模型去逼近连续时间模型下的许多相应结 果同时以几何索赔量的复合二项风险模型为例讨论破产相关问题。p i e a i d 和 l e f 6 v r ef 2 l l 用多项式族的推广a p p e l l 结构得到任意算术索赔分布下破产时刻的 各阶矩性质。成世学和伍彪【8 1 研究了生存到同定时刻n ( n o ) 并且在此时刻 盈余为某数z ( 。0 ) 的概率。他们都用相对简单的方法得到了许多漂亮的结 果，这些离散时间下的结果不仅有自己独立的意义，而且为我们提供了对连续 时间模型中类似结果更好的理解。 对于连续时间的破产问题，复合p o i s s o n 模型是被研究最多的风险模型， 有较多的结果。l u n d b e r g 和g r a m 6 r 研究这课题得到了众所周知的l u n d b e r g _ i 等式及g r a i i l e r - - l u n d b e r g 近似公式。s e a l ( 1 9 7 2 ) 通过对复合p o i s s o n 分布 的两次积分，将有限时间内破产概率表示为初始髓余与时间两个变量的函 数。g r u n d e l lj f 1 8 】用多种方法探讨了破产概率的求法和近似求法。人们又 第章概述：风险理论 从数学的角度发现，破产前盈余以及破产时赤字在破产问题中同样扮演了极 其荦要的角色。冈此f e l l e r ，g e r b e r ，g o r d o n ，w i l l m o t 等着力于关于破产概 率、破产前毹余以及破产时赤字分布的分析。在g e r b e ie ta l ( 1 9 8 7 ) 和d u f r e s n e a r i dg e r b e r ( 1 9 8 8 ) 中，他们的研究集中在破产概率及破产前盈余的分布函数， 那时考虑的个体索赔量是指数分布的组合或g a m m a 分布的组合。d i c k s o n ( 1 9 9 2 j ，d i c k s o i la n dw a r e l s ( 1 9 9 2 ) ，d i c k s o na n dd o sr e i s ( 1 9 9 6 ) ，w i l l m o ta r i d l i n ( 1 9 9 8 ) 和s c h n f i d l i ( 1 9 9 9 ) ，讨论了破产前赫余的分布、破产时赤字分布的分 析性质及其之间的关系。d i c k s o na n dw a t e i s ( 1 9 9 1 ) 和d i c k s o ne ta t ( 1 9 9 5 ) 研究 当个体索赔量为完全离散情况下，这些分布的回归计算。破产时刻的矩性质在 d e l b a e i l ( 1 9 9 0 ) 和p i c a l da l l dl e f e v r ef 2 1 1 中被叫睑，也可以在g e r b e rf 1 3 】的第 九章第三部分中找到。但是在许多情况下，这些分布的显式解并刁i 存在，因此 对分布的证明仍然很困难。各种各样的方法被用来研究这些分布的概率性质， 包括更新理论、鞅论等，取得了许多突破性的结果。g e r b e ra r i ds h i u 1 5 】【1 6 】 考虑包括破产概率、破产前擞余以及破产时赤宁的贴现罚函数的期望，研究这 三个随机变量的联合分布。他们指出。这个期望作为关于初值的函数，是某个 ( 缺陷) 更新方程的解。在l i na , u dw i l h 1 0 t ( 1 9 9 9 ) 对于解缺陷更新方程提供了 小同的手段。在这种方法下，若考虑复合几何的尾部，那么缺陷更新方程的解 是明确的。w i l h n o ta , l i dl i nf 2 0 则利用这一| 【_ 具并以索赔分布为指数或指数与 e i _ l a i l r s 分布混合为例得到破产概率、破产前韶 _ 余以及破产时赤字二者的联合段 边缘分布。 然而，从随机过程的角度来看，风险理沦中讨沦的许多模型是一些带负 跳的特殊l 6 v v 过程。一些关于l 6 v y 过程的一般结果能被自然地用于相关风 险l q 题的研究，例如f u r r e r ( 1 9 9 8 ) 考虑“一稳定过程驱动的风险过程的破产概 率。y e n gh l a n dz h a a r gl z 【3 0 1 利用l 6 v y 过程的指数鞅研究带扩散过程的复 合p o i s s o l i 模型的破产概率及首次击中某点的时刻。 本文仍然以经典的复合p o i s s o n 模型为例，提出利用l 6 v y 过程的l 6 v y 测 度直接计算破产时刻、破产前损失及破产损失的之间联合分布，破产时刻是以 l a p b c e 形式出现的，可以自然的认为是贴现。这里得到的结果与g e t b e ta r i d s h i uf 1 5 1 给出的一致。第二部分介绍后血研究中将要用到的l v y 过程的一些结 果。第= 郝分中给出模型的具体背景及定义，阐述关于模型f i g - - 些数学性质。 第。章概述：风险理论 第四部分详细证明如何将l 6 v y 过程的已知结果运用到破产问题中。最后在第五 部分以双p o i s s o n 模型为例，对此方法进行讨论。 6 一一一 兰三兰塑茎兰! 型望矍塑：兰星塑竺墨 第二章有关l 6 v y 过程的一些已知结果 存我们研究破产问题之前，先介绍l 6 v y 过程的一些有关内容。l 6 v y 过 程是连续时问上类非常重要的m a r k o v 过程，它包括p o i s s o n 过程，稳定过 程，b r o w r l 运动等。 2 1 般知识 下面我们不加证明的介绍一些关于l 6 v y 过程的知识，这些内容在任何一本 有讲述l 6 v y 过程的书上都可以找到，例如可以参见参考文献 2 j 、 6 】等。 定义2 1 ：称定义在概率空间( q ，尸) 上的取值于r 4 的随机过程 x t ：t t ) 是l v y 过程，如果它是右连续的平稳独立增量过程，即对任何t o t 1 k ，屯t ， x 。x 。：1 i n ) 相互独立，且也+ c 一托之分布不依赖s 。 l 6 v y 过程有一个极其简洁的分析刻画一一l 6 v y 指数，它的所有信息都体 现在l v y 指数上。 定义22 ：以( r 4 ，b ( r “) ) 为状态空间的l 6 v y 过程( 五) 嘧。特征函数表示为 e f 弧】= e - t 9 ( o ，r d ， 其中曲r 4 _ c 是一个连续函数且满足( o ) = 0 ，称为l 6 v y 指数。 “v y k h i n t c l l i l l e 公式：r 4 上复值函数妒是个卷积半群的l d v y 指数当且 仅当西可表示为 ( ) = i ( n ，) + ：( s f ，) + ( 1 一酽( e + z ( ，y ) l l y l o j 称为半群( 只) 的预解。 引理2 5 ：记岛是无穷远处趋于零的连续函数全体，预解算子( u q ：q 0 ) 具有 以下性质： ( 1 ) u 9 ( c o ) cc o ： ( 2 ) 泸( c o ) 是g o 的稠子空问。 证明：参见参考文献 2 18 1 节中的定理1 4 。 2 2i k e d a 币口、7 v a t a n a b e 的结果 下砸几个定理是n o b u y u k ii k e d aa n ds h i n z ow a t a n a b e 1 9 在研究一类具 有特殊性质的m a r k o v 过程时得到的一些结论，也是本文将要用到最主要的工 具。此处只列出定理内容，具体证明细节可以参见文献【1 9 】。 令x = ( s ，r ，w ) 是定义在局部紧、可分的测度空间s 上的m a r k o v 过程， 满足下列假设： f a1 1x 的半群 r , l ( z ) = f ( y ) p ( t ，z ，衄) ， j s 把g l o ( 写) 映到c o ( 2 ) ，且t o 时强连续，其中否为s 的单点紧化，g o ( 否) 是定义在琴上的无穷远处趋于零的连续函数全体。 ( a 2 ) 存在一个正的核扎( z ，e ) ，z s ，s ( s ) 为s 的b o r e l 盯一域，p 为s 的度 量，e b ( s ) 满足 ( i ) n ( 。，e ) o ： ( i i ) 对f g ( 琴) ，有界开集d ，的支撑s ( ) ，p ( d ，s ( ，) ) 0 ，z d ，t 0 ，瓦，( z ) 肛一致有界，且 l 邶i mt j ( 。) 扛嘧五内) p ( t , z , d y ) 江五尥) ”( 。，d ) ，v 。d t 8 第二章有关l d v y 过程的一些已知结果 若d 为s 中开集，且d 是紧集，对轨道函数x ( t ，u ) 定义r d 一 筌：妻主雾婴l + o 。，看上集为至榘 定理21 ：若p ( d ，e ) 0 ，对a 0 ，任意x d 有 b e - x r d , 墨。e 】= 上厂e 枷蹦x t ed y , 仍 帅即t 若r ( 功) ： ，那么 d lcd 2c ，玩cd 时l ，l i r a d 。= d ( a 3 ) d 上存在有限b o r e l 测度m 满足 广e 枷p 。( 五e ，功 ) d f ：，广e 埘& ( x t - - - - - y ，t d t ) d t m ( d y ) z e 。中z ( 五e 功 习出2 止上 。z 其中，ecd ，e e ( s ) ，b ( 五e ，t d t ) 的密度记为阢( x t = y ，t d t ) 。 进一步，算子 吸：e ( d ) j ，( z ) _ 札( z ) = e - x t m ( x t = ，, i - d t ) d t f ( y ) m ( d y ) 把c ( d ) 映到g ( d ) ，且值域g i ( g ( d ) ) 在每个c ( b 。) 中稠密，几= 1 ，2 ，其中c ( d ) = ( ，：厂在d 上有界连续) 。 定理2 2 ：若过程x t 又满足假设( a 3 ) ，对a 0 ，任意。d 有 e 。e 一1 。，x r 。一f 】x ，d e 】 ：f = f e - x t p 。( 五d y ，7 d t ) n ( 口，e ) d t e - x t p 。( x = y ，t d t ) 仡( ，e ) d tm ( d y ) 其中e ，f s ( s ) ，且p ( e ，d ) 0 ，f cd 。 若r ( t d ) 0 是一个常数，表示保险公司 在单位时间内的保费收入，邑是直至t 时刻发生索赔的总额。 z t t ，o 是参数 为o ( 血 0 ) 的复合p o i s s o n 过程t 即 五= f 凰， k ( ) 其中， ( t ) o 是参数为q ( o ) 的标准p o i s s o n 过程，( 亡) 表示在时刻t 之前的索赔次数，( t ) = 0 时，约定z 。= o 。 x e ，k 1 ) 表示第k 次索赔额， 是取值于( o ，。o ) 的独立同分布随机变量序列，具有分布肛。假设 ( t ) ) t t 0 与 第三章复合p o i s s o n 模型 五，a 1 ) 相互独立。这样定义的 阢) t u ，就是连续时间下的复合p o i s s o n 风 险模型( c ( ) m p o u l l dp o i s s o nr i s km o d e l ) ， k ) t o 称为损失过程。 我们在破产问题中关心的是“破产”发生，考虑破产时的一些重要指标： 保险公司的破产概率、破产前盈余以及破产时赤字。这里，所谓破产( r u i n ) 定义 为盈余资本为负数，即损失超出初始准备金。损失超出初始准备金的所有时刻 的下确界我们定义为破产时刻( t i m eo fr u i n ) ，即 ， t j i n f t 0 1 v l u ) ， “一1 。，若上集为空 、 t = c c 表示公司永远不破产。 损失过程的一条典型的样本轨道如图1 所示，其中各斜线段的斜率相同， 均为一c ，间断点是发生索赔，即p o i s s o n 跳跃的时刻，当损失k 超出初值“ 时，破产发生。 1 ， 1 卜 1 | 丁 ， 、n 弦一 s l o p e = 一n 图1 损失过程一条典型的样本轨道 1 2 第三章复合p o i s s o n 模掣 3 2 模型的基本性质 我们先从随机过程的角度讨论损失过程 ) t 孙的一些数学性质，这些性质 将影响整个破产问题的探讨。 引理3h 损失过程 ) t o 满足以下性质： ( 1 ) = 0 f 1 5 ，： ( 2 ) u 吲，是。个取值于，r 轨道右连左极的半稳独立增量过程，即是一个 l 6 v y 过程，其转移概率为p ，( b ) = p ( x + y ( ，u ) b ) ，其中b s ( r ) ； ( 3 ) 破产时刻只可能是复合p o i s s o a 过程的某个跳跃时刻，且对d = ( 。，u 】， 存在d 0 ，e s ( r ) ，使得e ，p ( d ，e ) = d ，其中p 为r 上的距 高，则损失过程满足第二章中的似设( a4 ) ，即 p ( 峙：，o d ) = 0 证龋( 1 ) ，( 2 ) 易知，只证明( 3 ) 由损失过程 m 嘧。的定义可知在两次跳跃时刻t 1 ，t 2 ，t 1 0 ) ，闻此对任意t ( l ，t 2 ) ，都有 0 ，e 廖( r ) ，使得v r , 。e ，p ( d 、e j = d ，d = ( 一o 。，“ p 为r 上的距 离。冈此损失过程满足第二章中的假设( a4 ) ，即 p ( j 。o d ) = 0 引理3 2 损失过程满足第二章中的催设( a 1 ) ，即 k ) c 。的半群t , f ( z ) = 上t ，( z + ) 孔( f 匆) ，其中巩( a ) = p ( v ( t ，u ) a ) ，把岛( 再) 跌至0g ) ( 再) ，且当 t o 时，强连续。其中，页= j ru 。c ) 是只的单点紧化，岛( 再) 是再上无穷 远处趋于o 的连续函数全体。 证明+ 参见参考文献 6 11 2 节中的命题5 。 1 3 第三章复合p o i s s o n 摸型 引理3 3 ：损失过程 k ) t o 的l 6 v y 测度口为a , a 。 证明：由l 6 v y 测度的定义，有 e e x pi ( f ，) = e e x pi ( ，z t c t ) = e e x pi 嬉，z t ) e e x pi 嬉，一d ) = e x pi ( ，叫) e e i e x pi ( f ，噩) ( t ) 】 k _ ( ” = e x p i ( ( ，刊) ( e e x pi ( ，虬) p 【( t ) = 礼 ) n = o k ” ：。x 眦一矗) ( 妻( e e x p i ( ，x 。) n 】) e x p ( 刊) 竽 n 宰0 = e x pi ( ，- c t ) e x p ( 一a t ) e x p ( o l t9 ( ) ) 其中， p + o 。 9 ( ) = e e x pz ( f ，x 1 ) = e x p i ( f ，z ) 】p ( d z ) j0 所以，过程 k ) 。o 的l 6 v y 指数为 p + o 。 z ( ，c ) 十吐一“9 ( ) = z ( f ，c ) 一i c t ( x l i 。l 0 ，z b ，t 0 ，t j ( 。) t 一致有界，且 广 l i m t t f ( 。) 扛厶m ) n ( x , d y ) - 1 4 塑三童壑鱼生垄! ! ! 堡型 一 证明：参见参考文献【1 h i 及文献 2 3 】2 , 8 节中的推论8 9 。 ( 1 ) 若p ( z ，a ) o ，那么p ( a 。，0 ) o ，即存在d o ，使v 9 a 一。，有 川 6 。由l 6 v y 测度的定义r 。( 1 i 可1 2 ) 一( d v ) 、6 ( 1 l y l 2 ) y p 盯( d 可) 且“l ” 。、(1州渺六一。(1刖2)cr(dy)5 l i 。 一2 所以，n ( z ，a ) 0 。 ( 2 ) 若记函数9 ( ) l - ( r ) n l 。( r ) 的f o u r i e r 变换为 砾) - 五e l ( 和玖圳。， 相应的f o u r i e r 逆变换记为 g - l ( 垆去r e “址4 垴幢) d 那么， 而( ) = e i e 岫1 9 ( 托+ x ) d x l ：e ( e m “。g ( y ) d y ：e 【舻矗】幢。衄 ：e 一2 庐( 一f ) 虿( f ) 若，c 。( a ) ，对有界开集b ，的支撑s ( ，) ，p ( b ，s ( 川 o ，z b 有【艿一- ( z ) = ，扛) = o 。因此 l i m t t f ( z ) 忙。l i m e - t 4 ( - ) 瓜) m = l 。i r n 。 ( e 一。4 一神一1 ) 7 ( ) r 一1 。 由于驴( 一 ) 的实部大于o ，因此0 d 等塑i l r e ( 西c 一) ) 由f u b i n i 定理有， l i m t t f ( 肛 啪圳删一慨胪。= i 一州) 瓜) ) _ 1 = f ( 。( f ，c ) 一( 1 一e x p 扣( 一，z ) 】) d ( d 。) ) 歹( ) 一1 第三章复合p o i s s o n 模型 其中，- ( ，c ) ，( 9 j 一1 = c ，( z ) = 0 。由f u b i n i 定理， ( 1 一e x p i ( 一，。) 】) 一( d z ) ，( ) 一1 j r = 去上e - i ( 钿) 1 - e x p 妒删) 州硼洲f = 去上上e 1 挺) ( i - e x p i ( 一，圳) 氕) 越a ( 出) = 上上e 叫和捌确蜘( = 上m 圳州z ) r = ，( g ) 竹( z ，d y ) ，口 这样就证明了引理。 令d 。= ；) ，那么 d 1cd 2c ，d 。cd n + l ，l i m d n = d 引理3 5 ：若个体索赔额具有分布密度p ，那么 k ) t o 的转移概率密度存在，对 r 上b o r e l 测度m ( d z ) = d z ，有： e 。p ( k b ，t t ) d t = e - a t p ( k = 可，t t ) d t m ( d y ) j0j bj0 其中，bcd ，b 舀( r ) ，p ( x e ，7 d t ) 的密度记为p ( 五= y ，t d t ) 。 进一步，损失过程 ) o 的预解( u 1 ：a 0 ) 就是满足第二章中假设( a 3 ) 的 算子g i ，即 u 。：c r ( d ) 弓，( z ) _ u ( z ) = e 。p ( k = 9 ，t t ) m f ( y ) m ( d y ) 把c ( d ) = ，：f 在d 上有界连续 映到c ( d ) ，值域u 1 ( g ( d ) ) 在每个 c ( d 。) ，n = 1 ，2 ，是稠密的。 证明：参见参考文献 2 8 1 节中的定理1 4 。 1 6 茎翌堕型旦兰! 型型鉴盐蔓塑茎堕j 三塑塑 弟, i - t 四章利用l 6 v y 测度计算相关破产问题 上 章讨沦厂有芙复合p o i s s 模型些基本性质，下面将利用第二章中 i k e d aa n dw a t a n a b e 得到的定理、结沦研究有关破产问题。 54 ，1 破产时刻与破产时损失的联合分布 苗先我们考虑破产时刻及破产时损失的联合分布。在第二章定理21 中d 为有并升集，若能d 定义为( 一o 。，叫时，定理依然成立，那么它可以使得研究 破产口一刻及破产时损失的联合分布变得方便。 定理4l d = ( 一o 。，u ，对a 0 ，v e b ( r ) ，且p ( d ，e ) o 有 e e 一n ，t e ，瓦 t ) p ( e 一。) m 。 证明： ( 1 ) 记d = p ( d ，e ) 任意给定“，t l , + d “ u ，及整数 0 ，令 d 。= ( ，n ) ，则p ( d 。，e ) 0 ，让明对d 。= ( 一o o ，n ) ，定理成立。 若4 舀( r ) ，定义n ： 一j i n f t ：t 0 ，k 垡a ， ”一1 + 。，若上集为空集 记d = ( 一，n ) ，那么p ( d _ ，e ) 0 ，并且，d 是r 中有界开集亩 ，是 紧集。冈此由定理2 l 对d _ v = ( 一n ，“) ，定理成立。又c a 于v n 0 ，d ，c d n + i ，l j n d n = d “，冈此，v 0 ，t d n t d + 1 ，t d 功。若记n = l i m a , r - d 。，则t l f 吼。由过程的拟左连续性，有l i m 。+ o o 、，= 。 根据定义- w “，则n i - d 。，印r l = 仍。所以，当n 一+ o o 时，功。单 调上升趋于t d 。 又v j 0 ， 。e ， y 仞。e ) ，且当。e 时，有功。= y d 。，。冈此，由定理2 1 及l e b e , s g u e 控制收敛定理，对a 0 ，有 第四章利用l 4 v y 测度计算相关破产问题 e e 。“，u d 。e ，t d 。 0 3 1 2 e 【e - ”“，。e ，t d w 0 ，d c d 。_ + t i m + 。d n 。= d ，t d 。t d 。+ - t d 。若记功2 。旦t d n ，则n t d 。 由定义及过程的右连续性， u ，则存在 ，m = 1 ，2 ，) ，当 m - + ，t 。单调下降趋于0 使晖。+ h u + 杀，则t d + k t d m o 再令 l - + 。，那么t d n ，即7 - d = n 。所以礼_ + 。时，t d 。单调下降收 敛到t d 。对n 0 考虑 e e 一1 7 “，w “e ，t d 。 a 。，t d 。 o n ，功。 a t d o o 】 = e e 。”，i e ，t d o o ， 第二项由引理3 1 的( 3 ) ，有 。驾e e 。”n ，k 。e ，k 。，t d n o 。 l i me 【k d o 。，t d 。 o 。】 = e 【1 d “，7 d 0 0 】 = 0 1 8 第四章利用l v y 测度计算相关破产问题 因此，i 扫l e b e s g u e 控制收敛定理及( 1 1 有 e e “”u 。e t d ) ，l ( ，e ) d e 由兀t d 的定义，有咒= 7 - 1 ) 。因此根据引理33 、3 4 有 e f 堰z ，坛；e 咒 妨卢( e 一坊出 ，+ 。 这样就让明了定理41 。 54 2 破产时刻、破产前损失与破产时损失的联合分布 定理4 2 d = ( 一。，叫，对 0 ，e ，f 日( r ) ，fcd ，且p ( d ，e ) 0 有 e e 一1 凡，；一f ，j e ，兀 t ) 肛( e v ) d 。 证明： ( 1 ) 记( f = p ( d 。e ) ，任意给定( h u + d “ u ，及整数n 0 ，令 d 。= ( 一，( ) ，则p ( d 。e ) 0 ，证咧对d 。= ( 一o 。) ，定理成立。 此处沿用定理4l 中的n 的定义： ji n f t ：z 0 ，隹a ) ， ”一1 + o c ，若上集为空集， 记d ：( 一n ，“) ，那么p ( d ，e ) o ，并且，d 是r 中有界开集，d 是 紧集。【i 天| 此由定理2 2 对d = ( 一n ，n ) ，上成成立。又由于v 0 d nc d + l ，u d = d 。冈此，v n 0 ，t d 7 0 + l ，t d t d 。若记t 1 = l i m 一+ 。7 - d 。，则n 仂。由过程的拟左连续性有l i l n ，v 。+ o 。= 。 根据定义，1 厶则 7 - 1 功。，即丁1 = t d 。所以，当n 一+ o 。时，t d 单 调j 一升趋ft d ， 1 9 又v 0 ， u 。e ) c v 功。+ 。e ) ，且当u 。e 时，有t d “= 功。+ 、。因此，由于过程无下跳，根据定理2 2 、引理3 5 及l e b e s g u e 控制收敛 定理，对a 0 ，有 e f e 一 7 d “，仍。一) f ，、d 。e ，t d 。( 。j ：l i m e f 枷，y ( t d 一) 只l e ，t d ) 1 y f ) n ( 可，e ) d t n _ + + 。，咒j 0 ：_ e 州p ( d y ，t d 。 t ) n ( y ，e ) d t ( 2 ) 取，。：珏+ 砉，玩= ( 一o 。，a 。) ，n = 1 ，2 ，则v n o ，d c d ，l i i n n _ + 。d n 。= d ，下d 。t d 卅】t d 。若记2 = l i m n _ 十。丁d n 7 则 b 7 _ d 。由定义及过程的右连续性，u 。 u t 则存在 亡m ，m 5 1 ，2 ， ，当 m _ 十o 。，h 单调下降趋于o ，使u 。+ t 。u + 杀，则t d + 7 d m 。再令 m - + o c ，那么7 。f 2 ，即t d ：下2 。所以n - + o 。时，t d