（应用数学专业论文）几类非线性矩阵方程的理论与方法.pdf

博士学位论文 摘要 非线性矩阵方程是数值代数领域和非线性分析领域中研究和探讨的重要课题 之一它在控制理论，运输理论，动态规划，梯形网络，统计过滤和统计学等科学 和工程计算领域中有着广泛的应用本篇博士论文系统地研究了如下几类非线性 矩阵方程的理论与数值方法 基于不动点定理和b a n a c h 空间的序列原理，系统地研究了矩阵方程 x + a + x g a = q 的h e r m i t i a n 正定解，其中以为nx 几阶非奇异复矩阵，q 为n n 阶正定矩阵， q 1 给出了该矩阵方程存在正定解的一些新的充分条件和必要条件，构造了求 解的数值方法还对该矩阵方程进行了扰动分析，得到了新的正定解的扰动界 基于b r o u w e r 不动点定理和b a n a c h 不动点定理，系统地研究了矩阵方程 x 8 + a x a = q 的h e r m i t i a n 正定解的存在性。其中a 为礼n 阶非奇异复矩阵，q 为n n 阶正 定矩阵，且8 ，t 是正整数给出了该矩阵方程存在正定解的一些新的充分条件，必 要条件及充要条件并对该矩阵方程进行了扰动分析，得到了新的正定解的扰动 界数值例子说明了所得结论的正确性 基于单调算子的动力学性质，研究了矩阵方程 m x 一a * x 1 a = q i = l 的h e r m i t i a n 正定解，其中a 1 ，a 2 ，是nxn 阶复矩阵，q 为他n 阶正定矩 阵，m 是正整数给出了该矩阵方程的h e r m i t i a n 正定解的存在性定理及数值求解 方法，并对其进行扰动分析，得到了新的正定解的扰动界 基于正规锥上单调和混合单调算子的不动点定理，研究矩阵方程 m x 一a ：x 民a = q i = 1 的h e r m i t i a n 正定解，其中a 1 ，以2 ，是n n 阶复矩阵，q 为佗佗阶正定矩 阵，0 i 国l 1 ，i = 1 ，2 ，m 首次证明了该矩阵方程总是存在唯一正定解首次 提出了求解该矩阵方程的多步定常迭代方法，利用正规锥上序列的性质得到了相 应的收敛性定理，并用数值例子验证了此方法的可行性 几类非线性矩阵方程的理论与方法 基于摄动引理和o s t r o w s k i 定理，研究矩阵方程 x 2 a = 0 的非奇异解，即研究矩阵a 的非奇异平方根当矩阵a 非奇异时，对其等价方程 构造n e w t o n 迭代法，并结合s a m a n s k i i 技术得到了一种修正n e w t o n 法给出了新 n e w t o n 法及其修正方法的局部收敛性定理证明了这两种方法具有较好的数值稳 定性数值实验表明，新n e w t o n 法及其修正方法具有精度高和迭代步数少等优 点当矩阵a 是一类上三角t o e p l i t z 矩阵时，提出了一种待定系数法求其平方根 数值实验表明，该方法是可行的 关键词：非线性矩阵方程；h e r m i t i a n 正定解；矩阵平方根；迭代方法；扰动分析 i i i 博士学位论文 a b s t r a c t s o l v i n gn o n l i n e a rm a t r i xe q u a t i o n si so n eo fi m p o r t a n tt o p i c si nt h ef i e l d so fn u - m e r i c a la l g e b r aa n dn o n l i n e a ra n a l y s i s a c t u a l l y , i ti sw i d e l yu s e di na r e a so fs c i e n c ea n d e n g i n e e r i n gc o m p u t a t i o n ，s u c ha sc o n t r o lt h e o r y , t r a n s p o r tt h e o r y , d y n a m i cp r o g r a m m i n g ， l a d d e rn e t w o r k s ，s t o c h a s t i cf i l t e r i n ga n ds t a t i s t i c s t h i sd i s s e r t a t i o ns t u d i e ss y s t e m a t a - c i a l l yt h et h e o r i e sa n dn u m e r i c a lm e t h o d so ft h ef o l l o w i n gn o n l i n e a rm a t r i xe q u a t i o n s b a s i n go nt h ef i x e dp o i n tt h e o r e ma n ds e q u e n c et h e o r yi nb a n a c hs p a c e ，w es t u d y t h eh e r m i t i a np o s i t i v ed e f i n i t es o l u t i o no ft h em a t r i xe q u a t i o n x + a + x 一口a = q ， w h e r eai sa n 死几c o m p l e xm a t r i x qi sa l ln nh e r m i t i a np o s i t i v ed e f i n i t em a t r i xa n d q 1 w eg i v es o m en e ws u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c e o fap o s i t i v ed e f i n i t es o l u t i o n ，a n dp r o p o s et w oi t e r a t i v em e t h o d st oc o m p u t et h ep o s i t i v e d e f i n i t es o l u t i o n w ea l s od e r i v es o m en e wp e r t u r b a t i o nb o u n d so ft h ep o s i t i v ed e f i n i t e s o l u t i o n b a s i n go nb r o u w e r sf i x e dp o i n tt h e o r e ma n db a n a c h sf i x e dp o i n tt h e o r e m ，w es t u d y t h ee x i s t e n c eo ft h eh e r m i t i a np o s i t i v ed e f i n i t es o l u t i o no ft h em a t r i xe q u a t i o n x 8 + a + x a = q ， w h e r eai sa l ln 佗n o n s i n g u l a rm a t r i x ，qi sa nn nh e r m i t i a np o s i t i v ed e f i n i t em a t r i x ， 8a n dta r ep o s i t i v ei n t e g e r s w eg i v es o m en e ws u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa n dn e c e s s a r y c o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo fa p o s i t i v ed e f i n i t es o l u t i o n ，a n dd e r i v ea n e wp e r t u r b a t i o n b o u n do ft h ep o s i t i v ed e f i n i t es o l u t i o n t h er e s u l t sa r ei l l u s t r a t e db yn u m e r i c a le x a m p l e s b a s i n go nt h ed y n a m i c sp r o p e r t yo ft h em o n o t o n eo p e r a t o r ，w es t u d yt h eh e r m i t i a n p o s i t i v ed e f i n i t es o l u t i o no ft h eg e n e r a lm a t r i xe q u a t i o n x 一a * x 。a = q i = 1 w h e r ea 1 ，a 2 ，以仇a r enx nc o m p l e xm a t r i x ，qi sa nnx 死p o s i t i v ed e f i n i t em a t r i xa n d 仇i sa p o s i t i v ei n t e g e r w eg i v es o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o r t h ee x i s t e n c eo fap o s i t i v ed e f i n i t es o l u t i o n ，a n dc o n s t r u c ta ni t e r a t i v em e t h o dt os o l v ei t w ea l s od e r i v ean e wp e r t u r b a t i o nb o u n do ft h ep o s i t i v ed e f i n i t es o l u t i o n b a s i n go nf i x e dp o i n tt h e o r e m sf o rm o n o t o n ea n dm i x e dm o n o t o n eo p e r a t o r si na n o r m a lc o n e ，w es t u d yt h eh e r m i t i a np o s i t i v ed e f i n i t es o l u t i o no ft h em a t r i xe q u a t i o n x 一硝x 最a = q ， i v w h e r ea 1 ，a 2 ，4 协a r en nc o m p l e xm a t r i x ，qi sa nn nh e r m i t i a n p o s i t i v ed e f i n i t e s o l u t i o n ，a n d0 i 瓯l 0 矩阵m 能作如下分解 砑= ( 二三) = ( a + ；一。i ) ( y 0 曼) 当且仅当x 是矩阵方程 x + a x 1 a = q 。( 1 1 6 ) 的解 矩阵m 能作如下分解 面= ( 二三) ：( 一a - 。y i 一。- 。i ) ( 一0 y - y a j ) 当且仅当x 是矩阵方程 x a + x 1 a = q ( 1 1 7 ) 的解 通过分解，我们可以把求解线性方程组m x = ，转化为求解两个系数矩阵为三 角阵的线性方程组，从而达到简化的目的在化简的过程中，求解矩阵方程( 1 - 1 6 ) ( 或 ( 1 1 7 ) ) 则成为简化的关键 非线性矩阵方程不仅在控制论和工程计算中有重要应用，也是矩阵理论研究 的热点问题之一比如：在矩阵a 的对数l o g a 的计算中，当a 接近单位矩阵时， 我们可以用泰勒级数 l o g ( 一) = 一w 一三2 一吾w 3 一， 一2 一 博士学位论文 其中w = i a ，或者对l o g ( 一) 进行p a d e 逼近来计算但a 离单位矩阵较远 时，上述两方法或者不收敛，或者收敛速度极慢为了克服这一困难，k e n n e yc ， l a u baj n 反复利用矩阵的平方根让a 不断向单位矩阵靠近： l o g a ：2 k l o g a 古 当k 不断增加时，a b 不断靠近单位矩阵，进而可以用泰勒级数或者p 口d e 逼近来 计算因此，矩阵对数的计算问题就转化为求矩阵的平方根问题，即求矩阵x ，使得 a = x 2 此外，非线性矩阵方程还来源于平稳高斯反过程m ，动态规划【8 】，梯形网络【9 _ 1 1 1 ， 统计过滤【1 2 】和统计学【1 3 】等一系列问题在这里，我们仅列举了非线性矩阵方程 的部分应用实例其实。求解非线性矩阵方程已成为非线性科学研究中的一个重 要问题 形如( 1 1 3 ) 和( 1 1 5 ) 的非线性矩阵方程可以归类到伊。空间上的一般非线性 系统在实际工作中，由于人们经常遇到此类矩阵方程，因此，此类方程的研究引 起了人们的高度重视早在1 9 9 0 年，a n d e r s o nwn ，m o r l e ytd ，t r a p pge 【1 4 1 利用 短算子方法，给出了矩阵方程( 1 1 3 ) 有正定解的充要条件，同时也给出了求其正 定解的方法1 9 9 3 年，e n g w e r d ajc ，r a nacm ，r i j k e b o e ral a l 利用解析分解方 法得到了矩阵方程( 1 1 3 ) 存在正定解的充分必要条件后来，e n g w e r d ajc 【”】和 z h a nx z ，x i ejj 【1 6 】分别给出了矩阵方程( 1 1 3 ) 在a 为实矩阵且q = i 时，存在正 定解的充分必要条件而且采用递归算法求解该矩阵方程，同时将研究成果应用 到最优控制理论中1 9 9 6 年，f e r r a n t ea ，l e v ybc 【4 】借助于l a u r e n t 矩阵多项式 将矩阵方程( 1 1 5 ) 转化成特殊的方程，并结合一类r i c c a t i 方程的解的理论，证明 了矩阵方程( 1 1 5 ) 有唯一的正定解，并构造了不动点迭代法求解该矩阵方程尽 管上述文献对非线性矩阵方程有了一定的研究，但是由于采用的是人们不太熟悉 的理论( 比如短算子方法、解析分解法) ，给具体判断方程的解的存在性和求解方程 带来了许多不便于是，人们希望用矩阵理论来讨论这些矩阵方程的可解性及求 解方法近年来，e 1 一s a y e dsm 【1 7 1 引，x usf 1 9 及s uyf ，b h a y aa 2 0 l 基于矩阵序列 理论及范数理论研究了矩阵方程( 1 1 3 ) 及其特殊情况，给出了解的性质并利用 不动点迭代法，双边迭代法及n e w t o n 法来求解方程( 1 1 3 ) i v a n o vig ，h a s a n o vv i ，u h l i gf 【2 1 l 研究了矩阵方程( 1 1 3 ) 和( 1 1 5 ) 的系数矩阵与不动点迭代初值选取的 关系，并改进了不动点迭代的收敛速度在此值得一提的是，z h a nxz 2 2 l 于1 9 9 6 年首次提出了一种无逆不动点迭代方法求解矩阵方程( 1 1 3 ) ，该方法的最大优点是 每步运算只需要作矩阵乘法，并不涉及矩阵求逆后来，g u och ，l a n c a s t e rp i s s 改进了这种无逆不动点迭代方法，使收敛速度更快2 0 0 5 年，e 1 一s a y e dsm ，a 1 - 一3 一 几类非线性矩阵方程的理论与方法 d b i b a nam 2 4 提出了一种新的无逆不动点迭代方法，减少了每步计算量g u oc h ，l a n c a s t e rp 【2 3 】还详细分析了不动点迭代法和n e w t o n 法的收敛性，并指出当矩阵 x f l a 的谱半径接近1 时，不动点迭代法收敛速度较慢，此时应采用n e w t o n 法 但是n e w t o n 法由于每步的计算量很大，所以它一般当作迭代改进的方法为了改 进上述两方法的不足，l i nww ，x usf 1 2 5 】和m e i n ib 2 6 】提出了一种保结构加倍算 法，这种算法有较快的收敛速度，较好的数值稳定性并且每步计算量也不大 g u och i 2 7 】和c h uek ，h u a n gtm ，l i nw we t c 2 8 】对保结构加倍算法的收敛性进 行了具体的分析另外，r a nacm ，r e u r i n g smcb 【2 9 1 研究了插值理论中有重要 应用的非线性矩阵方程 x = q + a + ( 又一c ) 一1 a ， 给出了正定解的存在性定理，并提出了求解的数值方法 在研究矩阵方程( 1 1 3 ) 和( 1 1 5 ) 的基础上，i v a n o vig ，e 1 s a y e dsm 3 0 将此 类问题进行了扩展，给出了矩阵方程 x + a + x a = ，( 1 1 8 ) 存在正定解的充分条件，即若存在两个数q ，卢满足0 口 p l 使得q 2 ( 1 一q ) ， a a + 0 h a s a n o vvi 5 2 】，王进芳【5 3 】和h a s a n o vvi ，e 1 s a y e dsm 1 5 4 】系统地研究 了矩阵方程( 1 1 1 5 ) 在0 q 1 时的h e r m i t i a n 正定解给出了存在正定解的充 分条件和必要条件构造了求解的迭代方法，并给出了该迭代方法的误差估计公 式p e n gzy 【5 5 ，删及其合作者研究了矩阵方程( 1 1 1 5 ) 在0 q 1 时的 h e r m i t i a n 正定解借助于标量方程界定初值所在的区间，利用不动点迭代和无逆 不动点迭代构造矩阵序列，在每个区间上讨论该序列的收敛性基于压缩映象不 动点定理及矩阵序列原理，r e u r i n g smc s 7 , 5 8 】及文( 5 9 - 6 5 】讨论了矩阵方程( 1 1 1 5 ) 在q = i 时的正定解的存在性，并构造了求解的迭代方法对于矩阵方程( 1 1 1 6 ) ， 李静，张玉海例给出了存在h e r m i t i a n 正定解的充分条件和解的性质，并且构造 了两种数值求解方法由此可见，矩阵方程( 1 1 1 5 ) 在g 1 时和矩阵方程( 1 1 1 6 ) 在0 1 时，该矩阵方程的求解理论很少本章将系统地研究 该矩阵方程的h e r m i t i a n 正定解的存在性及数值求解方法，并对其进行扰动分析， 得到一个新的正定解的扰动界 第五章，基于正规锥上单调和混合单调算子的不动点定理，我们研究非线性 矩阵方程 x f 群x 民a = q t = 1 的h e r m i t i a n 正定解，其中q 为n n 阶正定矩阵，a 1 ，a 2 ，为n n 阶复矩 阵，首次证明了该矩阵方程总是存在唯一的正定解同时，我们解决了文 5 0 】提出 的一个猜想接着，我们首次利用多步定常迭代方法求解该矩阵方程，利用正规锥 上序列的性质得到了相应的收敛性定理并用数值例子验证了该方法的可行性 第六章，设a 是n n 阶复矩阵，矩阵方程 x 2 一a ：0 的解通常被称作矩阵以的平方根当a 非奇异时，我们对该矩阵方程进行等价变 形，通过对等价方程构造n e w t o n 迭代法，并结合s a m a n s k i i 技术，得到了一种修正 n e w t o n 法基于摄动引理和0 s t r o w s k i 定理，我们对新n e w t o n 法及其修正方法进 行收敛性分析和稳定性分析数值实验表明，新n e w t o n 法及其修正方法具有精度 高，迭代步数少等优点当a 是一类上三角t o e p l i t z 矩阵时，我们提出一种待定系 数法求其平方根数值实验表明，该方法是可行的 1 3本文常用的预备知识、引理和记号 设e 是实b a n a c h 空间，p 是e 中某非空闭凸集，且满足下面两个条件： 一7 一 几类非线性矩阵方程的理论与方法 ( 1 ) z p ，入0 号入z p ； ( 2 ) z p ，一z p 辛z = p 其中口表示e 中的零元素； 则称p 是e 中的锥用p o 表示p 的内点集，如果p o ，则称p 是一个体锥给定 e 中一个锥p 后，则可在e 中的元素间引入半序：z 可( z ，y e ) ，如果可一z p 定义1 3 1 1 0 7 设算子1 - ：d e 其中d 是e 的某子集如果 x l ，x 2 d ，x l z 2 辛7 ( x 1 ) 7 ( z 2 ) ， 则称7 - 是d 上的增算子；如果 x l ，x 2 d ，x l x 2 令t ( x 1 ) 7 ( z 2 ) ， 则称7 - 是d 上的减算子 定义1 3 2 1 0 8 1 设算子下：dxd _ e ，其中d 是e 的某子集如果r ( z ，y ) 关于z 单调递增，关于秒单调递减也就是说，如果 x l ，x 2 ，y l ，抛d ，x l x 2 ，y l y 2 兮r ( x l ，y 1 ) t ( x 2 ，y 2 ) ， 则称算子7 是混合单调的若存在元素z 满足t ( x ，z + ) = x ，则称z + 为混合单调 算子r 的不动点 定义1 3 3 【1 删设p 是实b a n a c h 空间e 中的体锥且1 ：p o _ p 。若存在q 0 ，1 ) ， 使得 r ( t x ) 垆7 ( z ) ，v x p o ，0 t 1 ， 则称7 - 为o t 一凹算子；若存在o l 0 ，1 ) ，使得 则称7 为( - - a ) - - 凸算子 r ( t x ) t - a 7 ( z ) ，比p o ，0 t 0 ，使当0 z y ，恒有 l i x l i n l l y i i ( 此性质称为范数关于p 是半单调的) 引理1 3 2 【1 0 | 7 1 锥p 是正规的充分必要条件是：x n z n y n ，z n _ z ，_ z 令 磊一z 引理1 3 3 1 0 9 设p 是实b a n a c h 空间e 中的正规锥且下：p o _ p d 如果算子7 - 是 递增且是a 一凹的，或者递减且是( 一q ) 一凸的则算子f 在p o 中有唯一的不动点 一8 一 博士学位论文 引理1 3 4 1 0 s 设p 是实b a n a c h 空间e 中的正规体锥设7 - ：p o p o _ p 是混 合单调算子如果对任意的t ( 0 ，1 ) ，存在p ( 0 ，1 ) 使得 丁( 地昙钉) 冉( ，吐讹，口p o ， 则算子7 - 在p o 中有唯一的不动点 引理1 3 5 1 1 0 设q 是实b a n a c h 空间e 中的非空闭子集，且下：q q 为具有压 缩系数q ( o q 1 ) 的压缩映象则7 - 在q 中有唯一的不动点矿且任取x 0 q ， 迭代z n + 1 = t x 鸭，( 礼= 0 ，1 ，2 ) 产生的序列 z n ) cq 收敛于z 。 引理1 3 6 【1 1 0 l 设g ：dcr ，i 一舻在有界闭凸集d 。cd 上连续，且g ( d o ) cd o ， 则g 在优中至少有一个不动点 引理1 3 7 【1 1 1 】设g ：dc 舻一彤有一不动点z d o ，且在矿处f 一可导， g 7 ( z ) 的谱半径 p ( v ( x ) ) = 盯 1 则存在开球s = s ( z ，o r ) cd ，对任意初值x o s 矿是迭代序列 0 ，= g ( z k ) ，k = 0 ，1 x ox k + l，2 ，2 “l z k j ，2 ，z 的一个吸引点 引理1 3 8 1 1 1 】若a ，c 三( 舻) ，a 一1 存在且 0 a 一10 q ，i i a c i i p ，口卢 o ；当q 【一1 ，0 ) 时，有b a a 口 0 引理1 3 1 0 1 1 3 j 设ab 是h i l b e r t 空间日上的正算子，且满足m i a m l i ，m 2 z b m 2 i 和b a 0 ，则对任意的t 1 ，+ o o ) ，有 a t 0 及q 0 ，都有 i i x g y g o 南i | x y | i 一9 一 几类非线性矩阵方程的理论与方法 引理1 3 1 2 1 1 4 1 设b c n 期，u c n 黼，v c 七n 且b ，b u y 和v b u i 非 奇异，则 ( b t r y ) 一1 = b 一1 一b 一1 u ( v b 一1 u 一) 一1 v b 一1 引理1 3 1 3 【1 1 5 】设，是( 0 ，+ ) 上的算子单调函数设a ，b 是两个正算子，且以 某个正数a 为下界，即存在某个正数a ，使得a a i 和b a i 如果，7 ( n ) 存在，则 对任意酉不变范数i i 0 ，有 f ( a ) 一f ( b ) l i ，7 ( a ) l l a b l i 引理1 3 1 4 1 1 e 设m 是死xn 阶正定矩阵，t 是正整数则存在唯一的正定矩阵 w 使得 m = 引理1 3 1 5 【1 1 7 l 设b ，c 为同阶方阵且b c = c b ，则存在酉矩阵使得w + b w 和w + c w 同时为上三角阵 引理1 3 1 6 【5 9 】对任意h e r m i t i a n 矩阵，都有i i e 一日0 = e - x ( 引理1 3 1 7 1 1 吲设a ，b ，c p ( n ) ，若积分1 0e a t c e 口。存在且扣l i m e a t c e 日= 0 ，则 x = 一j oe a t c e b 2 是矩阵方程a x + x b = c 的一个正定解 本文常用的记号为： 全体n n 阶复矩阵组成的集合 全体n 亿阶h e r m i t i a n 矩阵组成的集合 全体n 仃阶半正定矩阵组成的集合 全体nx 几阶正定矩阵组成的集合 n 几阶单位矩阵 矩阵m 的共轭转置 非奇异方阵m 共轭转置的逆 矩阵m 的谱范数 矩阵m 的行和范数 矩阵m 的f r o b e n i u s 范数 向量b 的f 2 一范数 矩阵m 的谱半径 入1 ( m ) ( a n ( m ) )n n 阶h e r m i t i a n 矩阵m 的最大( 小) 特征值 o 1 ( m ) ( ( m ) )n n 阶h e r m i t i a n 矩阵m 的最大( 小) 奇异值 a q j e 7矩阵a ，b 的k r o n e c k e r 积 一1 0 一 俨刖丽荆，胪胪俐删 博士学位论文 v e c ( a )矩阵a 的拉直算子，v e c ( a ) = ( n ，n ；，a t ) t ， 其中a = ( a l ，a 2 ，n n ) c 仇n ，n t 伊，i = 1 ，2 ，n 另外，对于h e r m i t i a n 矩阵x 和y ，文中用x o ( x 0 ) 表示x 是半正定 ( 正定) 的，用x y ( x y ) 表示x y 是半正定的( 正定的) ；用x b ，c l 表 示b x c ，用x ( b ，c ) 表示b x c ；用记号y = z 表示矩阵y z 都 是正定矩阵且z = y q 我们可以用如下方式计算y ，首先对z 进行谱分解，即存 在酉矩阵阢使得z = u d i a g ( ) 、l ，入2 ，k ) u 。，其中入1 ，入2 ，k 是z 的特征值，则 y = u d i a g (，跞，跞) u 如果我们在h ( n ) 中定义谱范数，则h ( n ) 是一个 实b a n a c h 空间很容易验证p ( n ) 是b a n a c h 空间h ( n ) 中的一个锥，且锥的内点集 是p ( n ) ，又谱范数是单调的( 即若2 r 0 ，则l i x 0 l i y l l ) ，则由引理1 3 1 知，锥 p ( n ) 是正规的 一1 1 几类非线性矩阵方程的理论与方法 第2 章矩阵方程x + 4 掌x q a = q ( q 1 ) 的 在本章中，我们研究矩阵方程 h e r m i t i a n 正定解 x + a + x g a = q( 2 0 1 ) 的h e r m i t i a n 正定解，其中q 是n n 阶正定矩阵，a 是n n 阶非奇异复矩阵， q 1 给出了矩阵方程( 2 0 1 ) 存在正定解的新的必要条件和充分条件，构造了求解 的数值方法，并用数值例子验证了数值方法的可行性最后我们对矩阵方程( 2 0 1 ) 进行了扰动分析，得到了新的正定解的扰动界 2 1 正定解存在的条件 在本节中，我们先给出矩阵方程( 2 0 1 ) 存在正定解的几个必要条件和充分条 件最后还给出了该矩阵方程存在正定解的充分必要条件 定理2 1 1若矩阵方程俾0 砂有正定解x ，则 酬面百丽而丽面i 币磊，叫糌】q - 1 枷叫4 则 证明因为x 是矩阵方程( 2 0 1 ) 的正定解，即 x + a + x 一口a = q ， 由( 2 1 1 ) 和引理1 3 9 得 和 由( 2 1 3 ) 和引理1 3 1 0 得 从而 x q ，a + x q a q 卯 黼r 1 枷叫a ， 即 x a q _ 1 a + + a q - 1 ( v a q - 1 a ) 一q 1 】1 q - 1 a + 因此 x 影a q 一1 a + + a q 一1 ( a q - 1 a ) 一1 一q 一1 】- 1 q 一1 a ( 2 1 6 ) 结合( 2 1 4 ) 和( 2 1 6 ) 得 x e ( 影石石：i j _ 五i i 歹i 荔三j i i _ 二乏f 而，q 一【- x a 。( ( q q 一- 。1 ) ) 1 q 一1 a q 一口a ) 证毕 注2 1 1若矩阵方程 x + a + x g a = i ( g 1 ) 有正定解x ，则由定理2 1 1 知 而由文 6 2 】中的引理2 1 知 x ( a v r 2 不，j ) ，一a + 4 ) 容易验证 ( 扛再币历石j 百，卅a ) c ( 厮，n 因此，本文的定理2 1 1 改进了文 6 2 】中引理2 1 的结果 一1 3 几类非线性矩阵方程的理论与方法 定理2 1 2若矩阵方程侣0 存在正定解，则 则 因此 师+ 榴】口1 棚叫 q 证明设x 是矩阵方程( 2 0 1 ) 的正定解，即 x + a + x 一口a = q ， x x ： j 4 ( q - x ) - i a * 函瓦丽丽 ( 2 - 1 7 ) 由引理1 3 1 0 和( 2 1 7 ) 得 化简( 2 1 8 ) 得 即 证毕 a ( q - 一a q - 1 a * ) - 1 a * 【j 丽a n ( q ) 】口1 1 a + q 一口a ， 影历面f 巧f + 。a a n 。( ( q q ) ) 1 口一1 a + q - q a a o q 现假定x o t 。q ，则 x = a ( q x ) - 1 a + q v a ( q - a s q ) - i a * ：9 | 垒q 二! 竺 v1 一a = 血塑尝掣 业挚 = o l _ 1 q 因此， x o t k q ，k = 0 ，1 ，2 ， 很容易知道数列 o t 七) 是单调递增的又由口七， q 一 x q 一1 q 一 q q 一 = i 知q 七 1 ，即数列 q 七) 是有界的因此，数列_ q 七) 是收敛列，不妨设数列 q 七) 收 敛到石，则 q2 也就是说在是方程 a q ( 1 一q ) = a ( q 一a q 一 )( 2 1 9 ) 的解而且当且仅当 a ( q 一a q 一1 ) _ z m a x 。】z 口( 1 一z ) = 可j 曼而 时，方程( 2 1 9 ) 有解下面证明方程( 2 1 9 ) 在有解的条件下，在( o ，南】我们只需 证明q 七 南，k = 0 ，1 川2 很显然，q o = 0 南现假设口七 南， 则 因此 o ! k + l2 证毕 考虑下面两个方程 行磊两= 币q 在( o ，南】 z 口+ 1 一入n ( q ) z q + a 1 ( a + a ) = 0 ， z 口+ 1 一a 1 ( q ) z 叮+ 入n ( a a ) = 0 一1 5 一 ( 2 1 1 0 ) ( 2 1 1 1 ) 几类非线性矩阵方程的理论与方法 刺= k ( q ) 护一z 口+ 1 ，孤= 而qk ( q ) = 再q 上i q 一1 i i 则当 删 群杀桫( q ) 即 h a i l 2i i q l p l 荐杀 ( 2 1 1 2 ) 时，方程( 2 1 1 0 ) 有两个正实根0 9 2 ，n 又由条件( 2 1 1 2 ) 得 一砌卅 孝每， 从而方程( 2 1 1 1 ) 有两个正实根5 ，岛容易证明 0 5 1 5 2 z 。 1 一塑笠丛 掣， 一 a j l ( q 一皇x q 一奎) 7 1 8 博士学位论文 从而( 1 一入n ( q 一x q 一 ) ) a ：( q 一 x q 一；) a 1 ( q 一4 + q q a q 一 ) ，即a n ( q 一x q 一) 夙 或k ( q 一 x q 一 ) q 2 所以矩阵方程( 2 0 1 ) 在妒3 上无正定解 同理可得 k ( q 一x q j ) = l k ( q 一a + x q a q 一言) 1 一巡贮驾竿掣 1 一越笠垫竿掣， a i ( 口一：x q 一2 ) 从而( 1 一入1 ( q 一x q 一) ) 入口( q 一x q 一) k ( q 一；以+ q q a q 一) ，即a 1 ( q 一x q 一) q l 或a 1 ( q 一 x q 一) 侥所以矩阵方程( 2 0 1 ) 在妒1 ，妒5 _ l 无i e 定解证毕 定理2 1 6设a q - a * q 如果对任意的x 【a q - a * ，q 】，有a + x q a q c a q - a 成立，则矩阵方程偿0 ，f ，存在正定解；若还满足 ，一 q l l a i l 2 影肘1 ( a q - 1 a ) ， 则矩阵方程偿0 j j 有唯一正定解 证明设 ，( x ) = q a + x 1 4 ， q = x i x a q - 1 a x q ， 很显然q 是非空闭凸集，且f ( x ) 在q 上连续若对v x q 有a + x 一口a q 一 a q - 1 a * 成立，则有q q a x q a 一q + 影历匪f 巧f + q = 7 万而，即 所以f ( n ) q 由引理1 3 6 知，有一个不动点x q ，即x = f ( x ) = q - a x q a ， 这个不动点就是矩阵方程( 2 o 1 ) 的一个解 又对，k q 有 m ，k f f a q - i a k ( 影乞砭尹了万) j = 勿i e 虿百= e 巧j ( 2 1 1 3 ) 由( 2 1 1 3 ) 和引理1 3 1 1 有 i i ，( h ) 一，( k ) i i = i i a + 巧q 4 一a + 叮9 a | i = i i a ( 圩q 一玎口) a i l l i a + a i i i i 吁口一玎q i i f i a i l 2 雨籍i i m k i i 又q l l a i l 2 聂i 丽，即i i a i l 2 南 l ，则，是一个压缩映射，由引理1 3 5 得，映射，在q 上有唯一不动点，此不动点就是方程( 2 0 1 ) 的唯一正定解证毕 1 9 几类非线性矩阵方程的理论与方法 定理2 1 7 如果盯 ( q 一 a q 一；) 石干 ：南，则矩阵方程俾0 - f ，存在正定解x 【0