（凝聚态物理专业论文）孤子理论及其在玻色爱因斯坦凝聚中的应用.pdf

湖南渖范大学博套学位论文 中文摘要 孤子理论是非线性科学的一个重要分支，它在物理学的许多领域中 有着墨益广泛的应曩。孤子的微扰是孤子理论中最有实用价值的重要 内容。它大体可以分为两大类。一是建立在逆散射变换基础上的孤子微 扰理沦它在理论上有着重要的学术价值，但其思路较迂回曲折，数学 计算较繁。另一种直接微扰沦较为系统的方法是将孤子方程线性化后再 按j o s t 函数的平方作微拢展开。这两种方法均只适用于可积系统。近年 来，颜家壬教授发展了一种基于分离变量法的孤子微扰理论法，它适用 于可积和非可积系统，而且思路和计算较为简便。 在此，本文主要基于颜家壬教授的直接孤子微拢方法，通过改进， 处理了扭结孤子的微扰问题同时发展了孤子含时微扰理论我们也应 用这种系统的微扰方法处理了玻色一爱因斯坦凝聚中的孤子微扰问题。 玻色爱因斯坦凝聚也是近几十年来被广泛关注的课题。它不仅提 供了一个研究量子力学基本问题的宏观系统，也在原子激光，量子计算 等领域有着重要的应用前景玻色一爱因斯坦凝聚中的暗，亮物质波孤 子的成功观测及它们的潜在的应用前景，也使玻色爱因斯坦凝聚中的 物质波孤子成为了当前低温物理和凝聚态物理研究领域的研究热点之 一本人主要是在平均场理论的框架下，以耦合g r o s 鼢p i t a e v s k i i 方程为 主要模型，讨论了其中的多种孤子裙互作用闻题 全文工作共分为两部分，主要内容如下； 第一部分为孤子理沦方蕊，主要介绍三个工作。一、以扭结孤子为 铡，阐述对基于分离变量法的孤子微扰理论的方法改进。该方法主要是 针对暗孤子微扰问题的解决丽改进的我们已用它处理了亮孤子，扭结 i i ， 湖南师范大学博士学位论文 孤子，暗孤子问题在亮孤子和扭结孤子微扰问题处理中，发现它的结 果与原方法所得结果一致，证明了其有效和正确性二、基于颜家壬教 授的直接微扰理沦，我们发展了k d v 孤子含时微扰理沦。三、将孤子 微扰理论由一阶扩展到二阶微扰，并用于一分量玻色一爱因斯坦凝聚中 的孤子实际问题我们所得结果，与前人用逆散射所得结果一致但方 法更清晰，计算更简单。 第二部分探讨两分量玻色一爱因斯坦凝聚中的孤子相互作用问题 主要介绍三个工作：一、耦合散焦非线性薛定谔方程中的孤子相互作用 问题从解析和数值模拟方面讨论了孤子之间的相对运动情况二、对 可调节的双种类玻色一爱因斯坦凝聚中的矢量孤子类型的分类，以及稳 定性和相互作用情况的讨论三、对可调节的双种类玻色一爱意斯坦凝 聚中，可调种间相互作用，对亮亮孤子相互作用的影响的讨论 最后对本文做了简单的总结和对我们所研究的领域前景的展望我 们的研究工作集中在三、四、六章。 关键词：玻色爱因斯坦凝聚，暗孤子，亮孤子，g p 方程 湖南师范大学博士学位论文 i i i a b s t r a c t s o l i t o nt h e o r yi so n eo ft h ei m p o r t a n tb r a n c h e so fn o n l i n e a rs c i e n c e i th a s c r e s c e n ta p p l i c a t i o ni nm a n yf i e l d s t h es o l i t o np e r t u r b a t i o np r o b l e mi sa ni m p o r - t a n tp a r to ft h em l i t o nt h e o r y i te x i s t si nal a r g en u m b e ro fr e a ln o n l i n e a rs t s t e m s a n dc a nb er o u g h l yd i v i d e di n t ot w ok i n d s o n ei sb a s e do nt h ei n v e r s e , s c a t t e r i n g t r a n s 轰o r m a t i o n ( i s t ) w h i c hh a si m p o r t a n ta c a d e m i cv a h m b 1 l tt h i st e c h n i q u ei s i n c o n v e n i e n tt ot h o s ew h oa r en o tf a m i l i a rw i t hi s t a n o t h e ri st h ed i r e c tm e t h o d w h e r et h es q u a r e dj o s ts o h l t i o n sa r ee m p l o y e da st h eb a s i sf o rp e r t u r b a t i o ne x - p a n s i o na f t e rs o l i t o ne q a t i o nb e e nl i n e a r i z e d b o t ho ft h e ma r ej u s ta p p l i c a b l et o i n t e g r a ls y s t e m s ，p r o f e s m rj i a r e ny a n ，h a dd e v e l o p e dad i r e c ta p p r o a c ho ft h e p e r t u r b a t i o nt h o e r yb a s e do i ls e p a r a t i n gv a r i a b l et e c h n i q l m ，w h i c hi f ；a p p l i c a b l e t ob o t hi n t e g r a b l ea n du n i n t e g r a b l es y s t e m s i ti sm o r es i m p l ea n dc o n v e n i e n ti n m e t h o da n dc a l c u l a t i o n h e r e ，w el i n ea ni m p r o v e dp e r t u r b a t i o nm e t h o d ，w h i c hi sa ni m p r o v e m e n tt o ad i r e c ta p p r o a c ho fp e r t u r b a t i o nt h e o r yf o rt h en o n l i n e a rs c h r s d i n g e re q u a t i o n b a s e do nt h es e p a r a t i o no fv a r i a b l e s ，t od i s p o s et h ep e r t u r b a t i o no nk i n ks o l i t o n s a tt h es a m et i m e ，w ed e v e l o p e dt h et i m e - d e p e n d e n tp e r t u r b a t i o nt h o e r yo fs o l i t o n o u rm e t h o di sa l s oa p p l i e dt od i s p o s et h es o l i t o n sp e r t u r b a t i o np r o b l e mi nt h e s y s t e mo ft h eb o s e - e i n s t e i nc o n d e n s a t e s b o s e - e i n s t i e nc o n d e n s a t e sh a v eb e e na na t t r a c t i v es l l b j e c t si nr e c e n td e c a d e s t h e yn o to n l yo f f e rt h ep e r f e c tm a c r o s c i o p i cq u a n t u ms y s t e m st oi n v e s t i g a t em a n y f o u n d m e n t a lp r o b l e m si nq u a n t u mm e c h a n i c sb u ta l s oh a v ee x t e n s i v e l ya p p l i c a t i o n f o r e g r o u n d s 鳅i e ha si na t o ml a s e ra n dq u a n t u mc o m p u t a t i o n t h eo b s e r v a t i o n so f d a r ka n db r i g h tm a t t e rw a v es o l i t o n s ，t h e , s t u d yo fm a t t e rw a v es o l i t o n sh a v eb e e n 1 v 潮南释范大学博士学位瓷文 o n eo ft h eh o ti s s u e si nt h ef i e l d so fb o t hl o w - t e m p e r a t u r ep h y s i c sa n dc o n d e n s e d m a t t e rp 蛳妇d u et ot h e i rp o t e n t i a la p p l i c a t i o n i nt h ef r a m e w o r ko fm e a n - f i e l d t h e o r y , t h eb o s e - e i n s t e i nc o n d e m s a t e si sg o v o n e r e d 舔t h eg r 潞p i t a e v i s k i ie q u a - t i o n b a s e do nt h ec o u p l e dg r o s s - p i t a e v i s k i ie q u a t i o n ，w ed i s c u s st h ei n t e r a c t i o n b e t w e e nt h ev e c t o rs o l i t o n s o u rw o r ki sc o m p o s e do ft w op a r t s 。t h em a i nc o n t e n t sa sf o l l o w s ： t h ef i t s tp a r t ，w eg i v et h es t u d yt ot h et h e o r yo ft h es o l i t o n s t h r e em a i n w o r k sa l ei n t r o d u c e d 。f i r s t l y , w et a k et h ep e r t u r b t i o n so ft h ek i n k ；o l i t o na se x a n l - p l e ，i l h l s t r a t ea ni m p r o v e m e n t t oad i r e c ta p p r o a c ho fp e r t u r b a t i o nt h e o r yf o rt h e n o n l i n e a rs c h r s d i n g e re q u a t i o nb a r e do nt h es e p a r a t i o no fw a r i a b l e s t h i sm e t h o d i sp u tf o r w a r df o rs o l v i n gt h ep e r t u r b a t i o n so fd a r ks o l i t o n s w eh a du s e di tt o d e a lw i t ht h ep e r t u r b a t i o n so fb r i g h t ，k i n k ，a n dd a r ks o l i t o n s w ef i n dt h er e s u l t s i sc o n s i s t e n tw i t ht h a to ft h ep r i m a r ym e t h o d ，a n dp r o v ei t sw a l i d i t y s e c o n d l y , w e d e v e l o p e dt h et i m e - d e p e n d e n tp e r t u r b a t i o nt h e o r yo fk d v8 0 l i t o n ，w h i c hi s a l s o b a s e do i lad i r e c ta p p r o a c ho fp e r t u r b a t i o nt h e o r yo fp r o f e s s o ry a hj i a r e n a t l a s t ，w ee x t e n dt h i st h e o r yf r o mt h ef i r s t o r d e rp e r t u r b a t i o nt ot h es e c o n d - o r d e r p e r t u r b a t i o na n dg i v et h e i ra p p l i c a t i o n so no n e - c o m p o n e n tb o s e - e i n s t i e nc o n d e n - s a t e s 。o u rr e s u l t sa r ea c c o r d a n tw i t h 强蕺o ft h ep e r t u r b a t i o nb a s e do nt h ei n v e r s e s c a t t e r i n gt r a n s f o r m a t i o n 。b u ti t 量sm o r es i m p l ea n dc o n v e n i e n ti nm e t h o da n d c a l c u l a t i o n t h e , s e c o n dp a r t ，w ed i s c u 蹒t h ei n t e r a c t i o nb e t w e e nt h es o l i t o n si nt w o - c o m p o n e tb o s e - e i n s t i e ne o n d e n s a t e s w ei n t r o d u c et h r e em a i nw o r k s ：t h ef i r s t w o r ki st h ei n t e r a c t i o nb e t w e e nt w ob r i g h ts o l i t o n si nc o u p l e dd e f o c u s i n gn o n l i n e a r s c h r s d i n g e re q u a t i o n 。w ed i s c u s st h er e l a t i v em o t i o no ft h et w os o l i t o n sf r o ma l l - a l y t i c a la n a l y s i sa n dn u m e r i c a ls i m u l a t i o n 。i nt h es e c o n dw o r k ，w eg i v ec a t e g o r y s 湖南师范大学博士学位论文 v o fv e c t o rs o l i t o n si nd u a l - s a e c i e sb o , , 沦- e i n s t e i nc o n d e n s a t e f ；w i t ha l li n t e r s p e c i e s f e s h b a c hr e s o n a n c e w ea l s od i s c u a st h e i rs t a b i l i t ya n di n t e r a c t i o n i nt h et h i r d w o r k ，w ed i s c u s st h ei n f l u e n c eo ft h ed o u b l es p e c i e sb o s e - e i n s t e i nc o n d e n s a t ew i t h t u n a b l ei n t e r s p e c i e si n t e r a c t i o m so nt h ei n t e r a c t i o no ft h eb r i g h tv e c t o rs 。l i t o n s a tl a s t ，w eg i v eas i m p l es u m m a r ya n dd i s c u s s i o nt ot h ea b o v e - m e n t i o n e d w o r k s h e r e ，o u rm a i nw o r k sa r ei n v o l v e di nc h a p t e r st h r e e ，f o u ra n ds i x 囊蠢簿慧夫拳博士掌蓥论文 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑萤声明；所璺交的学位论文，是本人在导师的指导 下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的 姆誊井，本论文不含诬祷萁箍个入或集体已经发表或撰写过酶 作品成果。对本文的研究做出重要贡献酶个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本 人爨担。 学位论文俸者签名：擞雒年舌冀鲨蓬 湖南舞范大学学璧论文版粳使蔫授粳书 湖南师范大学学位论文原创性声明 本学位论文作者完全了鬃学校有关保窝、攫翘学位论文的 规定，露意学校傈餐并禽兽家有关部门或机构送交论文的复枣 件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权湖南师范大学 可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，可戮采用影审、编审或扫描等复制手段保存黧汇编本学位 论文。本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密羹。 ( 请在以上相应方框内打” ”) 箨者签名； 套蛰钆 爨期：礴胄2 墨 导师签名： 麒垂日期渤7 年移月夕蹬 巍南孽范夫擎博士学盈甍文 第一章绪论 1 1 前言 1 8 3 4 年，英匿科学家、造船工程辩罗素在u n i o n 运河发瑰了一种孤 立曲起、平滑而轮廓分明、在行进中其形状和运动速度都基本保持不变 的奇特水波。他称这个波为孤立波。其后，1 8 9 5 年，两位数学家科特维 格与得佛里斯从数学上导爨了有名酶浅承波k d v 方程，并给出了一个 类似于罗素孤立波的解析解，即孤立波解，孤立波的存在才得到普遍承 认后来人们又进一步发现，除k d v 方程外，其它的一些偏微分方程也 有孤立波解，从此一个广大的孤立波研究领域展开来了。孤子理论成为 了非线性科学的一个重要方向，它既反映类非常稳定的自然现象，例 如江河中的某一类水波、光纤中的光信号传播等等，体现了一大类非线 性檩互俸薅的若干特征，并为许多应用闻题如光孤子通讯) 提供了窟 示。另一方面，这一理论又为非线性偏微分方程提供了显式勰鹩方法， 因而受到物理学界和数学界的充分重视 人们研究了具有孤子解的各种方程：k d v 方程及其推广；正弦一 戈登( 鼹) 方程；菲线性薛定谔方程；广磊( h i r o t a ) 方程；马布西 尼斯( b o u s s i n e s q ) 方程，非线性格点方程；玻恩一荚费尔德方程；自 透射方程；非线性l c 网络方程等，并将这些方程应耀予各种领域人 识采尾了各种数学理论，如散射反演方法，无穷多个守恒律，贝克兰得 ( b c k l u n d ) 变换等。方程的解也从孤予推广为反孤子、呼吸子、碰撞 解及扭结解、涡旋解、瞬子解、磁单极子解等。 襁麓，大家仅限于研究经典酶孤子理沦。1 9 7 7 年，弗里德箔横糯李 振道把它推广为艇子的，并得到结论：对任何一种玻色子场系统，只要 湖南师范大学博士学位论文 经典孤子存在，则总存在相应的量子孤子解，至少在弱耦合的情形时是 如此。他们把所有孤子解分为两大类：拓扑性孤子和非拓扑性孤子巴 丁等的s l a c 袋模型就是基于妒一4 场方程的孤子解，并由此讨论了夸 克的禁闭问题 粒子物理中为什么可以应用孤子? 我们认为一方面普遍存在的粒子 系统是相互作用耦合的，其场方程一般是非线性的。这些方程的一类有 意义的解就是孤子解另一方面，粒子是稳定的或平稳定的，这正好相 应于孤子第三方面，由平面波叠加得到的波包必然要扩散，这是量子 力学中的老问题。所以如果波粒二象性始终成立，粒子也只能是孤子 由此推广，我们相信并预言，所有存在相互作用的体系，只要其中有相 对稳定的客体，孤子理论都大有用武之地。因此，孤子及其数学方法必 将进一步发展，也将更加深入地应用到各个领域。 1 9 2 4 年，爱因斯坦预言了玻色爱因斯坦凝聚的物理现象，即如果 系统中的粒子遵循玻色统计并且总的粒子数不变，那么当温度低于某一 临界值时，系统中一部分粒子将凝聚到同一单粒子态1 【2 】2 3 】由于玻 色爱因斯坦凝聚在实验中的实现的种种困难，早期实验研究进展十分缓 慢。直到1 9 9 5 年，才在实验中观测到了该物理现象【4 【5 】5 【6 】玻色一爱因 斯坦凝聚作为一种新的物质存在的形态宏观量子态，它的物理实现在 物理学界引起了强烈的反响它不仅在基础研究方面具有重大意义，还 可能在“原子芯片竹和量子计算机等方面有广泛的应用前景 1 9 9 9 年开始，人们逐步在实验中观测到物质波孤子【7 【8 【9 】【1 0 】【1 1 】 作为非线性效应的一个重要方面，孤子在玻色爱因斯坦凝聚的研究中 具有重要地位孤子理论及其在波色爱因斯坦凝聚体中的应用，也就成 为了一个极具有吸引力的研究课题 湖南师范大学博士学位论文 1 2 本文的工作 本文的工作分为两部分第一部分是关于孤子理论中一类重要问题 一一孤子的微扰问题。因为导出标准非线性方程的模型往往是高度理想 化的，而实际问题中，考虑到某些实际因素，如阻尼、外加驱动等，往 往要讨论包含修正项的对应方程。这时严格求解一般是不可能的，然而 把修正项( 即实际的系统和这些理想化的模型之间往往存在的一些细微 差异，我们称之为微扰) 看作小量处理，用微扰理论进行研究是很有效 的也正是因为微扰的存在具有普遍性，因此研究微扰对非线性演化方 程的孤子解的影响具有更为实际的意义 孤子微扰理论种类繁多，内容丰富例如：1 修正守恒律( m o d i f i e d c o n s e r v a t i o nl a w s ) 微扰理论，哈密顿微扰理论，拉格朗日微扰理论；2 基于逆散射变换( i s t ) 微扰理论；3 基于直接法的微扰理论；4 奇 点微扰理论；5 线性微扰理论；6 基于h i r o t a 方法的微扰理论等等 但较为普遍的是建立在逆散射理论基础上的微扰理论这种方法是由 k a u p 【1 2 】，k a r p m a n 和m a s l o v 提出来的，并在随后的一些工作中得以扩 充【1 3 ，1 4 ，k i v s h a r 和m a l o m e d 4 6 】对大量这方面的工作做了较为详尽的 总结该方法建立在逆散射变换的基础上，要求未受微扰影响的方程能 够用逆散射法求解因而只适用于可积系统此理论处理孤子微扰问题 的能力很强，能成功的处理很多的孤子微扰问题，但思路迂回曲折且 对于那些不懂得i s t 法的人来说想运用此理论是非常困难的。为了发展 一套既适用于可积系统又适用于非可积系统的孤子方程的微扰理论， o s t r o v s k y 【1 6 】首先提出了所谓的“直接法静，这种方法的基本思路是首 先将含微扰的非线性方程线性化，然后用微扰展开法来求各级( 一般是 一级) 近似方程。其中较为系统的做法是选取j o s t 解的平方作为微扰展 开基，而j o s t 解又是用逆散射法求孤子解时遇到的某一辅助方程的基 湖南帮范大学博壬学位论文 本解。因此该直接法并未摆脱对逆散射法的依赖，它在实际操作过程中 巧妙酶运用了一些逆散射理论酶结论，教阕样只适用于可积系统。 颜家壬教授在前人的研究基础上，发展了一套基于分离变量法的孤 子微扰论直接法在一般情况下，各级近似方程是可以分离变量( 或近 似分离变量) 的。闻题盼关键是求勰各级近儆方程中所含线性徽分冀子 及其共轭算子的本征函数，并用它们来构造正交归一完备的微扰展开 基。该方法的特点是无论本征值问题的求解还是正交完备性的证明在 方法上是自戒体系的。它不依赖于蓠人的工作，因蕊完全摆脱了对逆散 射法的依赖。教此法不仅适用予可积系统，也适蔫予赣可积系统。其另 一特点是思路直接，容易理解和接受。此外，在数学计算上也明显比其 他方法篱单。这种方法处理了十余种非线性方程的孤子微扰问题。近年 来，我织改进了该方法，熙它来处理了暗孤子穰扭绩孤子的微扰阕题。 同时发展了k d v 孤子的周期性含时微扰理论 第二部分我们主要阐述玻色一爱因斯坦凝聚中的基本概念，理论， 孤子藏题，重点介绍我翻系统考虑翡嚣分壁玻色。爱因斯垣凝聚体系统 中的孤子相互作用问题 本文共包括七章。在下一章，我们将介绍孤立子理论发展历史，以 及孤子理论主要研究方西帮数学方法第三章分绥我船的菲线性薛定谔 方程的微扰理论，以及在此方面所做的工作第四章介绍我们对含时微 扰问题的数学处理以及玻色爱因斯坦凝聚中的关于原子间相互作用空 闻变化酶微撬处理。 在第五章中，我们首先总体介绍玻色爱因斯坦凝聚体系统，然后 介绍两分量玻色爱因斯坦凝聚体系统，最后介绍玻色爱因斯坦凝聚体 中的孤子研究现状。第六章，我们介缨两分量玻毽一爱因簸坦凝聚体系 统中的孤子相蔓作用问题，以及我们的结论。在最后一章，我们对我们 湖南师范大学博士学位论文 的工作做了一些简单的结论和展望。 湖南师范大学博士学位论文 第二章孤立子及其理论方法论述 在非线性科学中，孤立子理论有着非常重要的位置它在量子场论、 粒子物理、凝聚态物理、流体物理、等离子体物理和非线性光学等物理 学的各个分支及数学、生物学、化学，通信等各自然科学领域得到了广 泛的应用【1 7 ，1 8 】，也极大地促进了一些相关数学理论的发展【1 9 ，2 0 】，因此 引起了科研者对可积系统研究的极大兴趣。 2 1 孤立波和孤立子 1 8 3 4 年，一个偶然的机会，英国科学家罗素观察到了从爱丁堡到格 拉斯哥的运河中浅水面上形成的保持原有形状和速度不变、圆而光滑、 轮廓分明的孤立水波【2 1 然而罗素当年未能从流体力学出发给孤立波 以合理的理论解释，因此没有引起人们的充分重视孤立波究竟是怎么 形成的，在理论上又怎么解释，经历了一段很长的历史。 现在我们来分别考察色散和非线性效应的影响首先考察一个单纯 的色散过程，波动方程的形式为 慨+ 嚣= 0 ，( 2 1 ) 将方程的解展为平面波 慨( z ，t ) = a k e x p i ( k z u ) 卜 将( 1 3 ) 代入( 1 2 ) ，得到 ( 2 2 ) u = - k 3 ( 2 3 ) 不难看出，式( 1 3 ) 所描述的波动系统是由一系列沿正x 轴传播的单色 平面波叠合而形成的波包由于各个分波的波矢量k 值不同，其传播速 湖南师范大学博毒学位论文 度也各不相等。因此，即使初始时刻各个分波的合成结果成波包状，以 后也会因为各个波速的不等而最终导致波包的弥散和消失。 其次，考察一个单纯的非线性过程，设它可用下面的非线性方程 妒t 一6 妒妒髫一0( 2 4 ) 来描写，显然它具有如下形式解 妒= 妒( z 十6 妒) ( 2 5 ) 它表示沿负x 轴传播的一列非线性波，其传播速度口= 6 妒与质点偏离 平衡位置的距离的大小成疆比。这一性质是非线性振动和非线性波所特 有的，正是它导致了波包在传播时发生形变；由于质点偏离平衡位置距 离较大处波的传播速度大予其前方质点偏离平衡位蹙距离较小处的波 的传播速度，因而在传播过程中，前者将逐渐赶上后者，丽使波包前半 部的波形变陡，即使它的前半部分凝聚变窄 如果同对存在色散和非线性效应，方程变为 妒一6 妒十= 0 ( 2 6 ) 这就是1 8 9 5 年，两位荷兰科学家科特维格( k o r t w e g ) 与德弗雷斯( d ev r i e s ) 对浅水槽中单向运动的奇特波动现象甩一波动方程进行理论分析，在长 波近似程小振幅的假定下，建立的单顼运动浅水波的菲线性浅水波方 程，即著名的k o r t e w e yd ev i e s c k d v ) 方程【2 2 】其中船是弥散项，使 初始局部脉冲脉冲扩展开来，并随着波的行进使波形变矮变宽；丽非线 性顼妒的作用恰恰相反，它使波形前倾同时使波形变窄变尖。在特定 的条件下( 特定的波形和传播速度) 这两种现象互相平衡和抵消，形成 了稳定的孤立波所以说孤立波是色散和非线性现象平衡的产物。 但是此后孤立波现象的研究与k d v 方程又被默默地遗忘了几十年 掀起这一领域研究热潮的应归功于乌莱姆( s u l a m ) 1 9 5 5 年，在鸟莱姆 湖南师范大学博士学位论文 领导的美国阿尔莫斯国家实验室，著名物理学家费米( e f e r m i ) 、帕斯塔 ( j p a s t a ) 和乌莱姆数值计算了用非线性弹簧联结的6 4 个质点组成的弦 的振动，目的是从数值实验上验证统计力学中的能量均分定理他们对 少数质点进行激发，按照能量均分原理，由于弱的非线性相互作用，经 长时间以后，初始的激发能量应有涨落地均衡的分布到每个质点然而 计算结果令人意外，长时间以后能量几乎全部回到了初始集中在少数质 点上的状态。这个结果预示着这个非线性系统可以出现孤立波这就是 著名的f p u 问题1 9 6 5 年，美国数学家采布斯基( z a b u s k y ) 与克鲁思卡 尔( k r u s k a l ) ，把f p u 的非线性振子系统的能量不均分问题与k d v 方程 联系了起来。他们还是采用数值模拟的方法，用计算机又计算了两个具 有不同速度孤立波前后追逐中发生的现象。设有同向行进两个孤立波， 波幅较高在后的孤立波，逐渐赶上前面幅度较低的孤立波，于是两个孤 立波相遇了令人惊奇的是两个孤立波相遇后，又能很好地分离开来继 续前进，而原来的波包形状没有发生大的变化即两个在空间传播的孤 立波具有碰撞特性，说明。( 1 ) 孤立波非常的稳定；( 2 ) 象一个物质粒 子因此，在文章 2 3 】中，k r u s k a l 和z a b u s k y 引入了“孤立子”概念，他 们从连续统一体的观点来考虑f p u 问题的过程中揭示了孤立波( 子) 的本质。当两个孤立波碰撞后保持形状不变，就称这类孤立波为孤立子 ( 简称为“孤子”) 此后人们发现，在许多物理体系中都存在k d v 方程，说明孤立波 是一种普遍存在的物理现象于是k d v 方程被看作为数学物理的一个 基本方程后来人们又进一步发现，除k d v 方程外，其它的一些偏微 分方程也有孤立波解，从此一个广大的孤立波研究领域展开来了孤立 子理论的基础是各种非线性偏微分方程。到目前为止，我们可以常见的 几种典型孤波方程包括k d v 方程、s i n e - g o r d o n ( s g ) 方程、n o n l i n e a r s c h r s d i n g e r ( n l s ) 方程、妒4 场方程以及这些方程的各种修正形式其 1 0 湖南师范大学博士学位论文 中，k d v 方程主要应用于浅水波中的表面波、等离子体中的电磁波与 声波、非简谐的晶格振动等物理领域s g 方程主要应用于晶格位错的 传播、铁磁体中畴壁的运动、超导约瑟夫森结等领域n l s 方程主要 应用在深水中的非线性波、电介质中强激光的自聚焦、超导等领域。l p 4 场方程主要应用在场论模型、铁电体的相变等领域 本文讨论的问题主要集中在非线性薛定谔方程的孤子解方面 1 9 世纪6 0 年代初激光的发展，导致了光孤子的发现。1 9 7 3 年，贝尔实验 室的h a s e g a w a 和t a p p e r t 合作发表的有关光时间孤立子的论文【2 4 】宣告 了非线性光学中的光孤子研究的开始暗孤子【2 5 】和亮孤子 2 6 在光纤 光学中被广泛应用。非线性光学中的最基本最重要的非线性系统就是非 线性薛定谔方程大多数早期的研究都局限在一维的情况，后来被推广 到了二维和三维。高维非线性薛定谔系统具有诸多新的非线性解，其中 一种非线性解被成为涡旋，它在经典和量子系统中有着长久和丰富的 历史。二维或三维系统中的孤立波( 子) 有时候也被称为带孤子( b a n d s o l i t o n ) 或者平面孤子( p l a n a rs o l i t o n ) 他们在无限系统中对于横向调制 是不稳定的，从而衰减为涡旋【2 7 】c a r r 研究了边界条件对带孤子和平 面孤子的稳定性的影响 2 8 】另外非线性薛定谔方程只在考虑一个合适 的外部势阱时也可以用来描述玻色爱因斯坦凝聚( 2 8 】在2 0 0 0 年，实 验上观测到了玻色爱因斯坦中的孤立子【2 9 ，3 0 】后，玻色一爱因斯坦凝聚 中的孤立子理论得到了迅速发展【3 1 ，3 2 】。 2 2 孤子理论概述 孤子问题的研究，从数学理论而言，我们大致可以分为两类：孤子 精确解的研究和孤子微扰解的理论研究下面，我们分别对这两类理论 做一个介绍 湖南师范大学博士学位论文 1 1 2 2 1 孤子精确解求解方法概述 在线性理论日臻完善的今天，非线性科学已经成为了各个研究领域 的研究焦点。非线性方程的求解无疑成为了非线性科学研究的关键和难 点所在近四十多年来，非线性数学物理领域取得了很大的成就。其中 之一就是发展了求非线性方程精确解，特别是精确孤子解的各种有效 方法常见的方法有：逆散射变换( i s t ) 方法【3 3 ，3 4 ，h i r o t a 方法【3 5 ，3 6 】， b 她k l u n d 变换方法【3 7 ，3 8 】，齐次平衡( h o m o g e n e o u sb a l a n c e ) 方法 3 9 4 2 等 我们以k d v 方程( 2 6 ) 为例，简要介绍这几种方法 1 逆散射变换( i n v e r s es a c t t e r i n gt r a n s f o r m a t i o n ) 方法。这种方法最 早是由c s g a r d n e r ，j m g r e e n e ，m d k r u s k a l 和r m m i u r a 在解k d v 方程时提出，之后被人们广泛用来求解各类非线性系统的问题其关键 思路为：首先对某个非线性偏微分方程引入一对相容的线性方程( 又称 l a x 方程) l 皿= a 皿 a 雪= m 皿， ( 2 7 ) ( 2 8 ) 其中方程( 2 7 ) 是三的本征值方程，入和皿= 皿( z ，t ，入) 分别是三的本征 值和本征函数如果a 独立于时间t ，相应的一对线性算子l 和m ( 被称 为l a x 对) 满足的相容条件为 a l + 【l ，m = 0 ( 2 9 ) 然后求解与l a x 方程( 2 7 ) 和( 2 8 ) 相对应的逆散射问题，得到含有 散射数据的逆散射方程。在无反射条件下，由方程的约斯特( j o s t ) 解获 得孤子解 。1 2 。湖南师范大学博士学位论文 对于k d v 方程( 2 6 ) ，l a x 对被选为 己= 一昙怕 m 一昙蛳丢+ 3 嘶 ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 不同的非线性方程有不同的l a x 对，它们满足的相容性条件是相应非线 性方程的等价形式 这种方法在数学上具有很高的严性谨。将它用于许多非线性方程， 都可得到单孤子、双孤子和多孤子解，是较经典的孤子理论之一然而， 这种方法思路较迂回曲折，且l a x 对本身就很难求得，寻找方法并无规 律可循。 2 h i r o t a 方法h i r o t a 方法是j h i r o t a 在研究k d v 方程时创建的求 孤子解的方法它的关键在于引进双线性算子( b i l i n e a ro p e r a t o r ) ，将非线 性方程简化为双线性形式，然后结合其它简单变换就可得到孤子解 例如，对k d v 方程( 2 6 ) 引入合适的因变量变换 妒= 一2 ( 1 n ) 。，( 2 1 2 ) 将其代到方程( 2 6 ) ，就得到相应的双线性方程 d x ( d t + 磋) ( 妒) = 0 ，( 2 1 3 ) 其中双线性算子被定义为 d ；( ，g ) = ( 以一以，) n ，( z ，) 9 ( z ，z ，) i t t - - ：t ，一：z ， d ? ( ，g ) = ( a a ，) n ，( z ，z ) 9 ( ，t ) l e ；船，：霉( 2 1 4 ) 只要将妒按小量e 的幂级数展开，逐一求解各级方程，得到的级数解 后，再代回( 2 1 2 ) 就可获得孤子解 湖南帮范夫学博士学拉论文 王3 h i r o t a 方法思路清晰，数学方法相对简单，迄今为止，它已用于很 多释非线性方程，获褥各种孤子解，甚至毽括一些特殊的孤子解， 3 b 瓿l d u n d 变换方法这种方法是在寻找更多的非线性方程解的过 程中发展来的它主要包含两个方面的变换：不同方程之间的变换和同 一方程酶不羼解之闻的变换。翦者酶关键是要找到非线性方程与糖应的 线性方程莳b i c k l u n d 变换方程，霉壹已知线性方程觞解求菲线性方程的 解；后者的关键是寻找非线性方程的两个解之间的b i c k l u n d 变换方程， 由其中已知的解求未知的解。 对于k d v 方程2 妨，令妒= 磁，裂苜将k d v 方程化为 地一3 ( 口z ) 2 + = 0 ，( 2 1 5 ) 若v o 稿v 均是它的解，剿可得舞枢应的b i c k l u n d 变换势 1 = 一+ 2 a 小丢( 刀一如) 2 ， 豫；一强+ 4 a v , + 2 ( ) 2 + 0 一t 】b ) 2 v 0 m + 2 一铂) 蚀站。 ( 2 1 6 ) 其中天是2 。7 ) 式中酶本征值。如果鼢一v o x 是k d v 方程2 。6 ) 酶一个已 知孤子解，根据这一b i c k l u n d 变换，可得到k d v 方程的一个新的孤子 勰妒= 魄。 求菲线性方程的精确解本就缀难，要寻找更多的勰更难主之雅。 b g c k l u n d 变换方法为此提供了一条可行的途径 矮。齐次平衡方法。齐次平衡方法又称拟怨法，是m 。l 。w a n g 等提逛 的一种求解菲线性方程酶方法。其关键是非线性顼与最高次导数项平 衡设非线性方程具有某种形式的解( 为拟解及其各阶偏导数的函数) ， 按齐次平衡法的原则，可得到关于拟解盼各齐次型偏微分方程组( 通常 是过定酶) 。着方程缓有解，代西簇设盼形式解霹可褥裂非线性方程的 精确解 。王4 -湖南缔范大学博击学位论文 对于k d v 方程( 2 。6 ) ，设有如下形式的解 妒= - f ( 2 ) w 一严魄， ( 2 1 7 ) 式中f = ，) ，伽一伽( z ，) 是待定的函数，”( 茹，t ) 被称为拟觯，( n ) = 蚍d w n 将( 2 1 7 ) 式代入k d v 方程，首先使非线性项与最高次导数项平衡，可得 到关系式f = f ( w ) = 2 1 n w ；然后糕霪其结果，整理拟解表示酶k d v 方 程，令方程中各阶导数，( ) 一盟d w n 的系数为零，就得到拟解伽( z ，) 的齐 次型偏微分方程组 魂# + = 0 ， 删w t + 4 叫茁w z 掣# 一3 w ：。= 0 ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 直接求解上式，得到k d v 方程的一婪精确解，特剃是孤子解。逡释 新的有效方法，很快被用予解各种非线性方程，并得到一大批新的精确 解，包括孤子解。 以上方法仅限子求解1 + 1 维的孤子闻题。高维的非线性方程求解是 一件非常困难的工作，虽然也有一些关乎2 + 1 维和3 + 1 维孤子的研究 工作，但多为数值计算和模拟的结果，仅有少数解析求解的工作高维 阏题还未形成完整系统酶理论。正舞线性是跌真实物理系统挞象两来酶 样，1 + 1 维非线性方程也是真实3 + 1 维系统的近似描述，因此，高维 孤子的研究将是非线性科学的一个重要方面。 2 。2 。2 孤子徽扰蓬论 用上节所述方法或其他方法获得的精确孤子解大多存在于标准方程 描述的理想系统中。然面，实际问题中，孤子方程往往不是以标准形式 趣现的，它一般还含有一些麓：较徽小酶附赡项，如阻怼顼、增益项， 兰阶色散项等等，这些附加项可以当作微扰来处理，因此孤子微扰论 湖南痨范大学博毒学位论文 王5 是孤子理论中最有实用价值的内容之一从人们开始研究这个问题至 今，已发展了多种孤子微扰理论，如：基于逆散射变换( i s