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山东师范大学硕士毕业论文 摘要 边缘检测是图像处理与分析中最基础的内容之一，也是至今仍没有得到圆满解决 的一类问题。图像的边缘包含了图像的位置、轮廓等特征，是图像的基本特征之一， 广泛地应用于特征描述、图像分割、图像增强、图像复原、模式识别、图像压缩等图 像分析和处理中。因此，图像边缘和轮廓特征的检测与提取方法，一直是图像处理与 分析技术中的研究热点，新理论、新方法不断涌现。 数学形态学是一种新型的图像处理方法和理论，它是建立在几何学的基础上，用 集合论方法定量描述几何结构的科学。数学形态学是图像几何特征分析与处理的有力 工具，其基本思想是利用_ 个携带对象特征的结构元素去探测图像，收集图像的信息。 正因为结构元素有着独特的优势，形态学图像处理已经成为数字图像处理的一个主要 研究领域。 本论文的主要目的是围绕数学形态学进行图像边缘检测的研究，将形态学的思想 和方法用于噪声污染情况下图像的边缘检测，在获得较好边缘细节的同时提高抗噪性。 由于形态学的特点及其在图像处理中所固有的优势，它在边缘检测问题上取得了较好 的效果。 图像的边缘是指图像灰度值的不连续点或变化剧烈的点的集合，这种变化可以用 数学上的梯度来刻画其分布。文章中，我们用一定的篇幅介绍了图像边缘的定义、数 学上对差分和梯度的定义，并且较为详细地综述了传统的和新兴的边缘检测方法，客 观地分析了它们的优缺点，给出了边缘检测的实验结果。本文围绕形态学展开研究， 因此详细介绍了数学形态学的起源和发展，并从二值形态学出发到灰度形态学着重研 究了数学形态学的膨胀、腐蚀、开启、闭合等运算及其性质。并就开、闭运算的滤波 性能作了一定讨论，在全方位滤波算法的基础上作出了一定的改进，为后文的边缘检 测算法奠定了基础。 在本文的边缘检测算法研究中，我们首先将边缘的定义拓展成形态学意义下的边 缘并给出噪声定义；然后用实例分析讨论了各种结构元素在形态学运算中的效用，针 对结构元素的线条走向和尺度大小寻找到了检测效果较为理想的结构元素，为后文的 边缘检测算法莫定了基础；接着介绍了基于单结构元素基本的和抗噪型的边缘检测算 子，对l e n n a 的原始和5 的椒盐噪声图像进行了检测，重现了其结果，最后对单结构 元素的抗噪型检测算子进行改进，将改进的丌- 闭、闭一开运算滤波思想加入到边缘检 测算法中提出了一种多结构元素多路加权合成的形态边缘检测算法。在该算法中， 3 基于数学形态学的图像边缘检测研究 根据滤波图像的均值来近似原始无噪图像，采用用峰值信噪比来确定加权参数，该方 法实际是一种自适应的方法，比固定的均值加权适应性强，另外该方法中的多路合成 可以进行分解，视效果而定合成的次数，也具有一定的适应性。 实验证明：用形态学方法进行图像边缘检测，算法简单，噪声抑制能力优于传统 的边缘检测算法，同时能较好地保持图像的细节特征，本文提出的多结构元素多路加 权合成形态边缘检测算法检测出来的边缘较为细致，线条基本是细线、连续的，同时， 抑制噪声的效果明显比传统的边缘检测算子检测的效果要好。 4 关键词：图像处理；边缘检测；数学形态学：多结构元素；多路加权合成 分类号：t p 3 9 1 山东师范大学硕士毕业论文 a b s t r a c t e d g ed e t e c t i o ni so n eo f t h eb a s a lc o n t e n t so ni m a g ep r o c e s s i n ga n da n a l y s i s ，o nw h i c h p e o p l eh a v en o ta sy e tf i n das a t i s f a c t o r yw a yo u t t h ee d g ew h i c hi so n eo ft h em o s t i m p o r t a n tf u n d a m e n t a lf e a t u r eo fa ni m a g e ，e m b o d y i n gt h eo t h e rf e a t u r e ss u c ha sp o s i t i o n a n do u t l i n ee t c ，i sw i d e l yu s e di ni m a g e a n a l y s i sa n dp r o c e s s i n gs u c ha sf e a t u r ed e s e r i p t i o n i m f i g es e g m e n t a t i o n ，i m a g ee n h a n c e m e n t ，p a t t e r nr e c o g n i t i o na n di m a g ec o m p r e s s i o ne t e ， s oe d g ed e t e c t i o ni st h er e s e a r c hh o t s p o ti nt h et e c h n o l o g yo fi m a g ep r o c e s s i n ga n d a n a l y s i sa l lt h ew h i l e ，o nw h i c ht h en e wt h e o r ya n dm e t h o d sa r ep u tf o r w a r dc o n s t a n t l y m a t h e m a t i c a lm o r p h o l o g yi san o v e li m a g ep r o c e s s i n gm e t h o d ，b e i n gt h eo n et h a ti s b u i l d i n go nt h et h e o r yo fg e o m e t r ya n du s i n ga s s e m b l et h e o r yt oq n a n t i f i c a t i o n a l l yd e p i c t g e o m e t r i cs t r u c t u r e m a t h e m a t i c a lm o r p h o l o g yi sd e e m e dt ob eap o w e r f u lt o o lt oa n a l y z e a n dp r o c e s st h eg e o m e t r i cc h a r a c t e ro fap i c t u r e ，w h o s ep r i n c i p l ei d e ai su s i n gas t r u c t u r e e l e m e n to fc a r r y i n go b j e c tc h a r a c t e rt oc o l l e c ti m a g ei n f o r m a t i o n b e c a u s eo ft h es p e c i a l a d v a n t a g et h a ts t r u c t u r ee l e m e n th a s ，m a t h e m a t i c a lm o r p h o l o g yi m a g ep r o c e s sb e c o m e sa l l i m p o r t a n tr e s e a r c hf i e l do fd i g i t a li m a g ep r o c e s s i na ni m a g e ，t h ec o n j o i n tp i x e l s ，w h o s eg r a y l e v e lv a l u ei sn o n - c o n s e c u t i v eo rc h a n g e s g r e a t l yc o n s i d e r e di m a g ee d g e i nm a t h e m a t i c s ，t h i sd i g t r i b u t i n gc h a n g ei so f t e nd e p i c t e db y g r a d i e n t i nt h i sp a p e lw ei n t r o d u c et h ed e f i n i t i o no fi m a g ee d g e ，d i f f e r e n c ea n dg r a d i e n t ， a r r i i ) l ys u m m a r i z et h et r a d i t i o n a la n dn e wt y p ee d g ed e t e c t i o na l g o r i t h m s ，a n a l y z et h e i r m e r i ta n dd i s a d v a n t a g ea n dg i v et h et e s tr e s u l t s f o ro u rr e s e a r c hw o r kd e v e l o pb a s e do nt h e m a t h e m a t i c a lm o r p h o l o g y , w ea m p l yi n t r o d u c et h eo r i g i na n dd e v e l o p m e n to fm a t h e m a t i c s m o r p h o l o g ya n df r o mb i n a r ym o r p h o l o g yt o g r a ym o r p h o l o g ye x t e n s i v e l ys t u d yt h e m o r p h o l o g i c a lo p e r a t o r sa n d t h e i rq u a l i t i e s t h e nt h ep e r f o r m a n c eo fm o r p h o l o g i c a lf i l t e r s a r em a i n l yd i s c u s s e da n db a s e do nak i n do fo m n i d i r e c t i o n a lm o r p h o l o g i c a lf i l t e r , w e p r o p o s e ds o m ei d e at om e n d i t i nt h er e s e a r c ho fe d g ed e t e c t i o na l g o r i t h m ，w ef i r s t l yg i v et h ed e f i n i t i o no ft h e m o r p h o l o g i c a le d g ea n di m a g en o i s e ，t h e na n a l y z ea n dd i s c u s st h e a v a i lo fd i f f e r e n t s t r u c t u r ee l e m e n t si nm o r p h o l o g i c a lo p e r a t i o n s ，i nw h i c hw eh a p p e nt of i n dt h eb e t t e ru s e o f s t r u c t u r ee l e m e n t s a n dt h e nw es t u d yt h eb a s i ca n da n t i n o i s em o r p h o l o g i c a lo p e r a t o r sa n d f i n dt h a ts o m em a t h e m a t i c sm o r p h o l o g i c a lo p e r a t o r sh a v ea b i l i t yo fr e s i s t i n gn o i s e ，a tt h e s a m et i m e ，a l li m a g e sh a v ec e r t a i nn o i s ew h i c hi n f l u e n c ed e t e c t i n gr e s u l te x c e p ti d e a li m a g e ， s o o u rr e s e a r c hh a sp r a c t i c a lv a l u e a tl a s t ，w ep r e s e n tam e t h o do fi m a g ee d g ed e t e c t i o n b a s e do nm u l t i s t r u c t u r ea n dm u l t i - g r a d ew e i g h t e d c o m b i n a t i o no fm a t h e m a t i c a l 5 基于数学形态学的图像边缘检测研究 m o r p h o l o g y , i nw h i c hw eb s et h ei d e ao f m o r p h o l o g i c a lf i l t e ra n di m p r o v eo n t h eo p e r a t o r s b a s e c lo ns i n g l e s t r u c t u r e ，t h ec h a r a c t e r i s t i c so ft h ei m a g ee d g ed e t e c t o rv c a sa n a l y z e d i n t h i sm e t h o d ，w er e p l a c et h ef i x e dm e a nw i t ht h ep e a k - v a l u es n r ( s i g n a l - t o - n o i s e ) ，w h i c h i st e s t e das e l f - a d a p t i v em e t h o d t h ee x p e r i m e n tr e s u l tc o m p a r e dw i t ht r a d i t i o n a lm o r p h o l o g i c a lm e t h o d ss h o w st h a t t h i sm e t h o dr e m a i n sg o o dd e t e c t e de d g eo fi m a g ea n dc a l li m p r o v et h ed e n o i s i n gp o w e ra s w e l l k e y w o r d s ：i m a g ep r o c e s s i n g ；e d g ed e t e c t i o n ；m a t h e m a t i c a lm o r p h o l o g y ； m u l t i - s t r u c t u r i n ga r i t h m e t i c ；m u t i - g r a d ew e i g h t e dc o m b i n a t i o n 6 c a t e g o r y ：t p 3 9 1 山东师范大学硕士毕业论文 独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 ( 注：如没有其他需要 特别声明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或证书使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 导师签字： 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解堂撞有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向 国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。允许论文被查阅和借阅。本人授权堂 控一可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：盔础 签字日期：2 0 0 声，月f 6e l 导师签字： 签字日期：2 0 0 t h 时，( f ，j ) 为阶梯 状边缘点，当s ( i ，j ) t h 时，( f ) 为阶梯状边缘点。 p ( i ，硝 作为检测边缘图像输出。 2 2 5k i r s c h 边缘检测方法和r o b i n s o n 边缘检测方法 兰量1 兰重量 墨重量 三重兰 i 蔓兰 享享三三三重三1三；1 2 1 心o1 2 o 2012 0 1 一lj1 - 一ll 1 一l r = “叫 ，之0 l i l o ，袱封狲 方七j 晌 3 方 托一h一邮 llllj o，llj 0 ，向o j 碍 ，之。崂。乏。确一一扣一一郴 1，j 之j o 向方 j o l 4 o 2 q ，。l 1，j 0 2 o 2 方一一 基于数学形态学的图像边缘检测研究 l 稠 ( e ) 5 方向( r 36 方向晤) 7 方向 2 2 ，6 零交叉( l o g ) 边缘检测方法 v 2 g = 素厂。棚+ 嘉m 2 2 4 v 2 f ( i , j 、 = a ：f ( i ，j ) + h 2 y f ( i ，) ( 2 2 6 ) 零交叉算法分剐对阶梯状边缘和屋顶状边缘有两种估算模板如图2 - 6 所示： i ； 巨i i 湖 阶差分，双倍加强了图像中的噪声影响。在改进的l a p l a c e 算法中，使用如下的新模 1 2 旬 扪；_叫枷 8 o 以吣( o j o 。l 山东师范大学硕士毕业论文 o 0 0 k 0 k i l 一7j 必i o 0 0 0 幽2 - 7l a p l a c e 改进算子新模板 除原来的8 个方向外，增加了2 2 5 。、6 7 5 。、11 2 5 。、1 5 7 5 。、2 0 2 5 6 , 2 4 7 5 4 、2 9 2 5 。、3 3 7 5 。 等8 个方向，并根据l a p l a c e 算子估算的可靠性设定了适当的权矢量。在改进的l a p l a c e 算子中。微分的估算为： v f ( x ，y ) “7 f ( 工，y ) 一【厂( x ，y 一1 ) + ( x - t - 1 ，y ) + f ( x - i ，y ) + f ( x ，y + 1 ) 1 一亡【 厂( z 一1 ，y 一1 ) + y ( x + 1 ，y 一1 ) + ( x + 1 ，y + 1 ) 十f ( x - 1 ，y - 1 ) 】( 2 2 7 ) 1 一吉 ( x + l ，y 一2 ) + f ( x - i - 2 ，y 1 ) + f ( x + 2 ，y + 1 ) ，厂( 工+ l ，+ 2 ) o + ，0 一l ，y 一2 ) 十f ( x 一1 + 2 ) 可( x - 2 , y + 1 ) + f 一2 - 1 ) 1 = ，0 - 1 , y - 2 ) 】 根据该估算模板，可以提高边缘提取的精度，同时又由于合理地设置了参数，因 而避免了一些伪边缘的提取。 2 3 新兴边缘检测方法 随着图像处理的发展和新兴技术的研究应用，又涌现出很多新的边缘检测算子。 如：c a n n y 【9 1 边缘检测算子小波边缘检测算子陋1 9 1 ，广义模糊算子1 2 0 】，基于热传递方 法口“，结合误差图像的边缘检测方法等2 2 1 。下面我们简单介绍两种算法。 2 3 1o a n n y 边缘检测算法 图像的边缘点其一阶导数具有局部最大值，二阶导数具有局部过零点。在图像处 理越程中，图像总是难免包含噪声，使得含噪信号和原信号微分后差异极大，形如： f ( x ，力= f ( x ，y ) + g s i n ( a x + 妙) ，f 是原图像，厂是含噪图像，若a ，b 足够大，和， 微分后差异极大，故而使得图像边缘检测中的微分问题成为病态问题( i l l - p o s e dp r o b l e m ) 。 解决该类问题的方法是把它转化为适定问题( w e l l p o s e dp r o b l e m ) 。一个数学问题是适定 的，要满足h a d a m a r d 定义的三个条件：( 1 ) 存在性( 2 ) 唯一性( 3 ) 连续的依赖于初始值。 文章 2 2 - 2 4 中，提出了将病态问题转化为适定问题的三种方法： ( 1 ) 在约束0 ，圳 c 的条件下，使得l l 彳z y f | = ，m i n ； ( 2 ) 在约束l i z y l i m i n ； ( 3 ) 求解z 。使得e = i i a z y l f4 - 五8 ，刎：m i n 其中，z 为无噪声的理想信号，a 为某一算子y 为观测信号，p 为某稳定算子， c 为一指定常数。 有了以上分析，边缘检测的除噪过程即变成了含噪信号的平滑滤波，然后求滤波 信号的一阶导数局部最大值或二阶导数局部过零点。故而怎样构造最优滤波器便成了 基于数学形态学的图像边缘检测研究 该方法讨论的主要问题。c a n n y 边缘检测方法依赖于边缘点计算所定义的综合目标集。 c a n n y 定义了边缘检测的三个标准：( 1 ) 良好的检测效果，即是：离概率标识真实图像 边缘点和低概率错误标识非边缘点：( 2 ) 良好的定位性，即是：出算予标记的边缘点尽 可能地接近真实边缘点中心：( 3 ) - - 个边缘点只有一个滤波响应。对边缘检测的两大标 准给出数学表示。其中信噪比和定位数学表述分别为： 黜=ig(-x)f(x)dx-ww 出 i 一 印一眇肌，出i s n r ( f ) l o c a l i z a t i o n ( f ) = 其中，g ( x ) 表示信号，f ( x ) 表示滤波器。c a n n y 通过最大化( 2 3 3 ) 式运用变分原 理从理论上解出最佳的滤波函数是高斯函数。故而c a n n y 边缘检测方法是先用高斯函 数对图像进行平滑然后求其一阶导数。一阶导数的局部极值点就是要检测的边缘点。 其算法表示如下： 以= l i f ( x ，y ) v g , ，( 工，y ) | | ( 2 3 4 ) 爿：地：塑：! 唑：瑞( 2 h2f - 、j - j ， “l l y n x ，_ ) ，) v g ( x ，圳i - 其中，m 。表示梯度矢量的模，以表示方向。检测出来的边缘点就是在方向以使 得 t 取得局部极大值的点。选择适当的闽值，c a n n y 边缘检测方法能较好的检测出图 像的边缘，其优点是可以有效地过滤噪声，但是对于无噪声图像它实际上是模糊了图 像的边缘。l as p a c c k 拓展了c a n n y 的工作，在上文所说的三个性质上建立并简化了 c a n n y 的方法：d e r i c h e 改进了c a n n y 方法构造出一种可以递归的方法。 2 3 2 小波边缘检测方法 小波分析是自1 9 8 6 年以来由于y m e y e r ，s m a l l a t 及i d a u b e c h i e s 等的奠基工作 而迅速发展起来的一门新兴学科。作为新兴的信号处理技术。由于其良好的时频局部 特征非常适合图像处理，因此得到了广泛的应用。小波对图像信号的多辨率分析非常 适合提取信号的局部特征，是图像边缘检测的一种有力的工具。其边缘检测的思想是： 选择大尺度过滤噪声，识别边缘；选择较小的尺度实现边缘的准确定位；综合不同尺 度下的边缘图像得到检测结果。 目前，存在许多不同的小波边缘检测算法，其差异主要在于选择不同的变换小波 函数。常用的小波有h a r r 小波、d a u b e c h i e s 小波、m o r l e t 小波、m e x i c a n h a t 小波、 基于h e r m i t e 小波、m a l l e t 小、基于b 样条的小波和基于高斯函数的小波等。 1 4 磊一广 斤忖 山东师范大学硕士毕业论文 2 4 实验结果 通过对以上介绍的传统和新兴的部分边缘检测算子进行实验，其结果见图2 8 ，其 中( a ) 为1 e n n a 原图像，( b ) ( f ) 分别为r o b e r t s 算子、s o b e l 算子、p r e w i t t 算子、 l o g 算子以及c a n n y 边缘检测算子。从算法公式和检测的结果可以看出，r o b e r t s 算 子简单直观，但边缘检测图里存在有伪边缘；s o b c l 算子和p r e w i t t 算子能检测出更多 的边缘，但也存在有伪边缘且检测出来的边缘线比较粗。l o g 算子能检测出绝大部分 边缘，边缘也基本上是单像素宽，但是边缘不连续情况较严重并且存在误检。c a n n y 算子能较好的检测出边缘，但是检测出的边缘也存在不是单像素宽等问题。 2 5 本章小结 图2 - 8 边缘检测算子实验结果 本章首先介绍了数学上对差分和梯度的定义，然后较为详细地综述了传统的微分 边缘检测算子和某些新兴的边缘检测算子，并进行了模拟实验。给出了部分边缘检测 算法的实验结果和分析。 1 5 基于数学形态学的图像边缘检测研究 第3 章数学形态学基本理论 3 _ 1 数学形态学及其发展概述 数学形态学是分析几何形状和结构的数学方法，建立在几何代数基础上，用集合 论方法定量描述几何结构。数学形态学是一种应用于图像处理和模式识别领域的新方 法，它涉及微分几何、积分几何、测度论、泛函分析和随机过程等许多数学理论，是 - - f 3 综合了多学科知识的交叉学科，被称为“惊人数学”。其理论基础虽然颇为艰深， 但基本思想却是简单而完美的( 如图3 i 所示) 。 原始图像一移位、交、并、补尊集台运算一输出图豫 f 结构元素 幽3 - l 数学形态学的方法 数学形态学研究图像几何结构的基本思想是利用一个结构元素( s t r u c t u r i n ge l e m e n t ) 去探测一个图像，看是否能够将这个结构元素很好地填放在图像的内部，围肘验证填 放结构元素的方法是否有效。通过对图像内适合放入结构元素的位置作标记，便可得 到关于图像结构的信息，进一步完成对图像的分析。 数学形态学诞生于1 9 6 4 年。当时，法国巴黎矿业学院的马瑟荣( g m a t h e r o n ) 正 从事多孔介质的透气性与其几何( 或纹理) 之问关系的研究工作，赛拉( j s e r r a ) 在马瑟 荣的指导下进行铁矿核的定量岩石学分析，以预测其丌采价值的博士论文研究工作， 在研究过程中，塞拉摒弃了传统的分析方法，动手与j - ck l e i n 建立了一个数字图像分 析设各，并将它称为“纹理分析器”。随着研究与分析工作的不断深入，赛拉逐渐形成 了击中击不中变换的概念。正如赛拉本人所说：“我认识到象方差、弦长分稚、周长测 量及颗粒统计等都是某个独特概念的特殊情况，我将它称为击中击不中变换”。与此同 时，马瑟荣在一个更为理论的层面上第一次引入了形态学的表达式，并建立了颗粒分 析方法。他们的工作几乎同时建立了这门学科的理论基础( 击中击不中变换、丌闭运 算及纹理分析器的原型) 。之后，他们共同在法国枫丹白露( 法国矿业学院) 建立了枫 丹白露数学形态学研究中心。 如果按年代划分，数学形态学的发展i 2 4 】过程可粗略的分为6 0 年代的孕育和形成 期，7 0 年代的充实和发展期，8 0 年代的成熟和对外开放期和9 0 年代的扩展期。了解 数学形态学从原始的、朴素的萌芽状态，发展成为国际学术界公认的一个研究领域的 过程，无疑对于学习和掌握数学形态学这门学科是非常有益的。 6 0 年代的孕育和形成期 这一期间的工作从理论币实践两个方面初步奠定了数学形态学的基础，产生了市中击不中变 换、开运算、闭运算和布尔模型的理论描述，以及第一个纹理分析器的原型。 7 0 年代的充实和发展 数学形态学研究中心的建立对数学形态学的发展产生了重要的推动作用。击中击不中变换 很快便得到了一连串成功的应 = i j 。事实上它代表了一类新的运算，如膨胀、腐蚀、颗粒重建等。 j 6 山东师范大学硕士毕业论文 在理论方面，7 0 年代咀马瑟荣的一i - 作为土要标忠：拓扑学基础，随机集递增映射，凸性分析， 随机集的若干模型等，这些成果反映在马鬈荣1 9 7 5 年完成的随机集与积分儿何一书中。该书 奠定了形态学的理论基础。 8 0 年代的成熟和对外开放期 数学形态学为国际学术界所知，门结为一本r 10 和一个人。这本is 是赛拉在1 9 8 2 年完成的图 像分析与数学形态学( i m a g ea n a l y s i sa n dm a t h e m a t i c a lm o r p h o l o g y ) 第一卷和1 9 8 8 年完成的第 二卷。 9 0 年代的扩腥期 9 0 年代数学形态学有两个显著的发展趋贽，第一个是致力丁运动分析，包括编码与运动景物 描述；第一二个是算法与硬件结构的协调发展，及州丁处理数值函数的形态学算子的开发与设计。 经过4 0 多年的发展，数学形态学无论在理论方面还是应用方面( 尤其是在视觉检 测方面) 都取得了举世瞩目的成就。然而，作为人工视觉的一种方法，数学形态学在 把自然景物的含义，以及人类思维的符号描述方面显得不够有力，有待于进一步发展。 3 ，2 二值形态学的基本概念和运算 二值图像的像素取值为0 或1 ，习惯上认为取值为1 的点对应景物中的物体而取 值为0 的点构成背景。数学形态学最初首先用于二值图像中，形成二值形态学。 从数学意义上讲，我们用形态学来处理一些图像，用以描述我们感兴趣的图像的 某些区域的形状，这些图像处理过程都是基于形态学的一些基本运算。集合论是数学 形态学的基础，集合语言被借用到数学形态学中用来描述形念运算。因此本节首先介 绍集合等基本概念，然后介绍二值形念学中的一些基本运算及其性质【2 3 之6 1 。 3 。2 - 1 基本概念 在数字图像处理的数学形态学运算中，一幅图像称为一个集合。如果某点在图像 的区域内，称这点是图像的元素。下面首先对集合的有关概念进行定义。 定义1 集合与空集：具有某种确定性质的对象的全体戏