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中山大学硕士学位论文 量子纠缠的一些注记 专业：计算机软件与理论 硕士生：赖智星 指导教师：邱道文教授 摘要 量子信息学是量子物理和信息科学相结合而产生的一门新型交叉学科。量子 信息包括量子计算和量子通信两大部分。量子纠缠是量子信息科学的重要概念， 在量子信息科学中有着重要的作用。因此，量子纠缠一直是量子信息研究的一个 主要问题。量子纠缠作为一种重要的资源已被广泛地应用于量子信息处理和量子 计算中，例如：量子并行计算、量子保密通讯、量子密集编码、量子隐形传态等。 本文研究了量子信息基本理论中与纠缠有关的几个问题：纠缠的度量；纠缠 的纯化和纠缠交换等几个方面。主要工作有：利用双量子位系统的结构纠缠和一 个基本假设给出了纯态的三量子位系统的纠缠度的定义和计算方法，并给出了 该定义合理性的详细证明，同时证明了对其中的一个量子位的测量会对其余两个 量子位间的纠缠产生影响的结论。简单回顾了目前纠缠态的判别的一些主要进展 后，讨论了三体二维量子纯态的情况，得出了其可分性的一个充要条件。讨论了 利用纠缠交换来实现两量子和三粒量子纠缠态的纯化的方法和实施的具体步骤， 对三粒子纠缠态的纯化给出了两种不同的方法，同时得出了从原来的部分纠缠态 获得最大纠缠态的总概率。 关键词：量子信息，纠缠态，纠缠度量，纠缠纯化，纠缠交换 中山大学硕士学位论文 r e m a r bo ns o m ei s s u e si nq u a n t u me n t a n g l e m e n t m 匈o r ：c o m p u t e rs o 日i w a r ea n dt h e o 巧 n a m e ： z h i x i n gl a i s u p e i s o r ： p r o f e s s o rd a o w e nq i u a b s t r a c t o u a n t u mi n f o m a t i o ni san e wc r o s ss u b je c tw h i c hc o m b i n e s c i u a n t u mm e c h a n i c sa n di n f o 眦a t i o nt h e o r y q u a n t u mi n f o m a t i o n i n c l u d e sq u a n t u mc o m p u t a t i o na n dq u a n t u mc o m m u n i c a t i o n q u a n t u m e n t a n g l e m e n ti so n eo fi m p o r t a n ti s s u e si nq u a n t u mi n f o n n a t i o ns c i e n c e q u a n t u me n t a n 9 1 e m e n t h a s i m p o r t a n ta p p l i c a t i o n i n q u a n t u m i n f o r m a t i o ns c i e n c ea n di ti sw i d e l yu s e di nq u a n t u mc 巧p t o g r a p h y 、 q u a n t u mt e l e p o r t a t i o n 、q u a n m mh y p e r - d e n s ee n c o d ea n ds oo n i nt h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rq u a n t u me n t a n g l e m e n t 行o mf 0 1 1 0 w i n g a s p e c t s ：e n t a n g l e m e n tm e a s u r e m e n t ， e n t a n g l e m e n tp u r i 6 c a t i o na n d e n 协n 9 1 e m e n ts w a p p i n g t h em a i nr e s u l t so ft h i st h e s i sa r ea sf o l l o w ：w ed e f i n em e a s u r e m e n t o fe n t a n g l e m e n ti nt h r e e q u b i ts y s t e ma n dt h ew a yo fc a l c u l a t i o ni sg i v e n ， t h e nw ep r o v et h ed e f i n i t i o ni sr e a s o n a b l ea n dg e tac o n c l u s i o n f u l l s e p a u r a b l ec r i t e 打aa r eo b t a i n e df o rt r i p a n i t et w o d i m e n s i o n a lq u a n m m s v s t e m s w ed i s c u s st h ep u r i 行c a t i o no fe n 切n g l e dt w o - p a r t i c l es t a t e sa n d e n t a n 9 1 e dt h 】r e e p a r t i c l es t a t e sb ym e a n so fe n t a n 9 1 e m e n ts w a p p i n g ，a n d w eg i v et w od i f 佗r e n tm e a n so fp u r i f i c a t i o nf o r 恤e e p a r t i c l es t a t e s ，w e a l s og e tt h et o t a lp r o b a b i l i t yo fm em a x i m u me n t a n g l e m e n ts t a t e s 矗o m p a i r t i a le n 协9 1 e m e n t s t a t e s k e y w o r d s ：q u a n t u mi n f o m l a t i o n ，e n t a n g l e m e n ts t a t e s ，e n t a n g l e m e n t m e a s u r e m e m ，e n t a n 9 1 e m e n tp u r i 6 c a t i o n ，e n t a n 9 1 e m e n ts w a p p i n g 原创性及学位论文使用授权声明 论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指 导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引 用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或 撰写过的作品成果。对本文的研究作出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的 法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：赖盘 ， 7 一 日期：硼3 年j 月8 日 学位论文使用授权声明 本人完全了解中山大学有关保留、使用学位论文的规 定，即：学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定 机构送交论文的电子版和纸质版，有权将学位论文用于非赢 利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆、院系资料室 被查阅，有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索， 可以采用复印、缩印或其他方法保存学位论文。 ， 学位论文作者签名：赖莹导师签名：钐雠 日期：瑚年忑月8 日日期：z 矿绎朔i9 日 中山大学硕士学位论文 1 1 课题研究的背景 第1 章引言 量子信息学是将量子力学理论和计算机理论结合起来而产生的一门新型交 叉学科。它是构筑在量子力学基础之上，利用微观粒子的量子力学原理来解决经 典信息学问题的一门新型信息学学科。量子信息是以量子态为信息的载体，而量 子态具有经典物理态没有的特殊性质，这使得量子信息理论具有经典信息无法比 拟的优越性，因此，量子信息学从诞生之日起，在短短二十年间得到了迅猛的发 展，并随着研究的不断深入，相关理论体系逐渐形成，量子信息学也日渐成为了 一门独立的学科。 纠缠态是量子物理不同于经典物理的最奇特、最不可思议的现象，也是量子 信息学区别于经典信息学的最独特之处。纠缠态在量子信息学的各个领域都有着 广泛而重要的应用。本论文的主要内容就是探讨纠缠态的性质。 量子纠缠现象作为量子力学所特有的现象，最早被e i n s t e i n ，p o d 0 1 s k y 和 r o s e n ( e p r ) 所注意到，也成为了b o h r 与e i n s t e i n 两位巨人关于量子力学的论战 的题目之一。随后b oh i i l 等人也对此作了论述，但直到b e l l 在1 9 6 4 年提出了著 名的b e l l 不等式之后，才使得人们可以用实验来判定两位巨人的论断，b e l l 不等式提出之后的几十年里，实验物理学家们设计了许多不同的精巧的实验来验 证b e l l 不等式，这些结果都证实了b e l l 不等式能被破坏，证实了量子力学的非 局域性。量子信息理论已经成为物理学和信息科学中最前沿的学科之一，而量子 纠缠在量子信息理论中发挥着重要的作用。量子力学最引人注目的特征就是量子 纠缠，这一特征直接导致了e p r 佯谬。e p r 佯谬在推动近六十年的量子力学的 发展中起着非常重要的作用，它是e i n s t e i n 用来与b o h r 进行的一次最重要争论 的假象实验，这个实验所预示的结果完全遵从量子力学原理，然而却又令人难以 接受。六十多年以来，人们一直在不断地从理论上和实验上来研究这个著名的假 象实验，正是对该假象实验的研究奠定了量子信息学的研究基础。在e p r 佯谬中 的粒子间可以观察到很强的关联作用，这种非局域关联只有当整个系统的量子态 处于纠缠态时才会出现，而处于直积态时看不到这种效应，b o h r 对e p r 态提出 了一种比较直观的描述1 。 量子纠缠是量子信息与经典信息区别的根本原因，它的本质，从不同角度来 看有不同的解释：( 1 ) 按量子信息论的角度，其本质是关联中的量子信息；( 2 ) 按实验观测的角度，纠缠的本质是关联塌缩；( 3 ) 从理论分析的角度看，纠缠的 精髓是和关联空间非定域性的等价性；( 4 ) 从隐变数的角度看，两体系统存在纠 缠的充要条件是：对两体系统的某个状态，如存在一种表示，在这种表示下，如 果在两粒子间引入任意相对位相差而不会改变这个状态，则此状态必定是可分离 的，此时显然存在定域性隐变数。 中山大学硕士学位论文 量子纠缠是当代量子力学中的关键性概念，也是实现量子技术的理论基础， 在量子信息中有着重要的应用，因此，对量子纠缠研究一直是量子理论的前沿热 点问题，早在上世纪3 0 年代，爱因斯坦就发现了量子纠缠现象；但从数学上提出 纠缠态的概念是在上世纪8 0 年代末期。量子纠缠态的应用有可能率先在通讯技术 上实现，由目前的脉冲通讯上升到量子纠缠态编码，是人类通讯技术的一个大的 飞跃。 所谓量子纠缠态是指两个或多个量子系统处于该态时，不管它们在空间分开 多远，都不能被看作相互独立的，形式上不能表示成直积形式，处于该态的两个 或多个量子系统之间存在非定域性、非经典性的强关联，其性质对量子力学及量 子信息科学都具有重要意义。当两个自旋为1 2 的粒子处于最大纠缠态时，b e l l 不等式被最大地违背，这意味着定域隐变量理论是不正确的，量子纠缠涉及到 实在性、定域性及测量理论等量子力学基本问题，并在量子通信和量子计算中起 着重要作用。 1 2 本文的研究意义和主要工作 用信息学的术语来说，纠缠态的各个部分之间存在着超关联”，条件信息 超出了经典信息论所能允许的极限，它可以取负值。正是因为这种“超关联”的 存在才使量子密集编码、量子远程传输等经典信息论禁止的现象得以存在。量子 密码学中的很多问题，例如量子密钥分配、量子身份鉴别、量子秘密共享、量子 数字签名往往也需要借助纠缠态来实现，而未来的量子计算机更是离不开对纠缠 态的控制和操作。所以说，纠缠态己经成为量子信息学最重要的资源和最核心的 研究课题。对纠缠态进行系统、深入的研究对于量子信息学的发展至关重要。 目前量子信息学中纠缠态的研究己经发展成为一个庞大而富有成果的热点 领域，相关的研究成果层出不穷。下面我们来简单地介绍一些重要的结果。 首先，什么是纠缠态? 它与非纠缠态( 可分态) 之间有什么区别? 任意给定一个 双量子位状态，如果判断它是纠缠态还是可分态? 对于纯态，答案非常简单，只 需检验它的约化子系统的状态是否仍然为纯态即可。如果是，则原系统处于可分 态；如果约化子系统处于混合态，则原系统处于纠缠态。但是，对于混合态，情 况就非常复杂了。最早讨论这个问题的是w e r n e r 。1 9 9 6 年，p e r e s 首先提出了一 个基于密度矩阵的部分转置的不可分性判别准则，它是一个纠缠态的充分条件 。 随后，h o r o d e c k i 证明它对于2 0 2 系统( 即每个量子位的h i l b e r t 空间都是2 维的) 和2o3 系统是充分必要条件，但是对于更高维数的系统则仅仅是必要条件。2 0 0 0 年，段路明等提出连续变量量子系统的不可分性判别准则。近来，r u d o l p h 和c h e n 等提出了一种更强有力的不可分性判别准则，能够用来判别更多的状态。最近。 h o r o d e c k i 又提出一种基于线性收缩率的新的判别准则，它还可以推广到多量子 位系统。总的来说，判断一个任意的双量子位状态是否为纠缠态的充分必要条件 目前还没有找到，多量子位系统的不可分性准则的研究才刚刚起步，有待于未来 进一步的研究工作。 中山大学硕士学位论文 而纠缠的量化近年来也吸引了广大学者的广泛关注。b e l l 不等式可以看作是 最早用来量化纠缠的手段。1 9 9 6 年p e r e s 怕。提出了他著名的部分转置正定( p p t ) 可分性判据为量子态可分性及纠缠度量揭开了一个里程碑。1 9 9 8 年，w o o t t e r s “。 对于2 0 2 体系提出著名的c o n c u r r e n c e ，解决了体系的形成纠缠度量，并成为最广 泛应用的纠缠度量之一。自此以后，有许多学者提出了两体量子态甚至多体量子 态的可分性判据以及纠缠度量，使得纠缠的量化得到了空前的发展。然而，仅仅 是纯态量子体系以及低维量子体系的纠缠量化问题得到了较好的解决。比如说， 作为量子纯态纠缠度量的v o n n e 啪锄熵h 1 ，对于2 圆2 维量子体系的 c o n c l 】r r e n c e ，根据部分转置正定可分性判据产生的2 2 和2 圆3 量子体系的 n e g a t i v 毋u 。，以及一些特殊量子系统( 如具有较好对称性) 的纠缠度量阵等等， 这些都为对应量子体系提供了好的纠缠度量。而一般的两体高维量子混态纠缠的 量化虽然也有一些可利用的结果，但实际上仍未得到解决至于多体量子态的纠 缠量化就更为复杂，比如三体q u b i t 系统，三体纠缠就分为两类，多体纠缠可以 分成更多类。而且，多体量子态的分类标准也不一样，这样，对纠缠的量化就带 来了很多的麻烦。总而言之，对于高维的量子体系以及多体量子体系纠缠的量化 仍旧是个悬而未解的问题。 量子计算、量子通信和量子密码学的实验中都可能会用到大量纯的纠缠态 量子系统，尤其是最大纠缠态系统。然而，实验室产生的往往是混合的纠缠态系 统和非最大纠缠态系统。因此，如何从不完美的实验产品中提取去符合要求的纠 缠纯态( 即纠缠态的纯化) 是一个非常重要的问题。纠缠态纯化最初是由b e n n e t t 等提出的，后来潘建伟做了改进，提出了更容易在实验上实现的方案。它实际上 包含了两种不同的技术，一是从纯的非最大纠缠态中提取最大纠缠态。称为纠缠 态浓缩( e n t a n g l e m e n tc o n c e r n t r a t i n g ) ，二是从混合纠缠态中提取纯的纠缠态， 称为纠缠态蒸馏( e n t a n g l e m e n td i s t i l l a t i o n ) 。纠缠态纯化既具有重要的理论 价值，也是量子信息学走向实际应用所必需的技术，因而吸引了大批理论家和实 验家的注意，成为一个非常活跃的研究课题。 纠缠态的交换( e n t a n g l e m e n ts w a p p i n g ) 也是一个非常独特而且重要的研究 课题。它的基本思想是：从两个纠缠的双量子位系统各自取出一个量子位，并且 使它们相互作用。然后，对这两个量子位做集体测量。结果，原来两个双量子位 系统余下的两个量子。 量子纠缠态在迅速发展的量子信息科学领域中的作用是非常关键的。它在量 子信息科学的许多应用领域都起着很重要的作用，例如，量子隐性传态。、量子 密钥分配、量子纠错h 。、稠密编码”。、及量子计算h 。等。遗憾的是，到目前为止， 人们对于量子纠缠态的物理特点和数学结构都还没有很好地理解和掌握对于量 子态，总的来说有两大问题：一是对于任意的量子态，怎样找到一个可操作的方 法来判断它是否可分( 或不纠缠) ；另一个就是有关纠缠的纯化和提取。纠缠的纯 化和提取不仅有理论意义，而且对发展量子信息技术有重要的实用价值。为了解 决这两大问题，人们做出了很多的努力，已经取得了很多不错的结果。而量子纠 中山大学硕士学位论文 缠在量子通信方面也体现出它的作用与优势，是实现量子安全通信的一个研究的 热点，所以研究量子纠缠特性具有现实意义。 本文所做的工作有：利用双量子位系统的结构纠缠和一个基本假设给出了纯 态的三量子位系统的纠缠度的定义和计算方法，并给出了该定义合理性的详细 证明，同时证明了对其中的一个量子位的测量会对其余两个量子位间的纠缠产生 影响的结论。简单回顾了目前纠缠态的判别的一些主要进展后，讨论了三体二维 量子纯态的情况，得出了其可分性的一个充要条件。讨论了利用纠缠交换来实现 两量子和三量子纠缠态的纯化的方法和实施的具体步骤，且对三粒子纠缠态的纯 化给出了另一种不同的方法，同时给得出了从原来的部分纠缠态获得最大纠缠态 的总概率。 1 3 本文的组织结构 本文有六个章节组成： 第一章，叙述了本课题研究的基本背景，简要描述了量子信息论方面的基本 情况以及相关理论的研究进展，并对目前量子纠缠状态的相关研究内容进行了概 述介绍，从而提出本论文的研究内容、方法及其意义。最后阐述了本论文的研究 工作以及论文的结构安排。 第二章，简单介绍了与本文有关的一些基本概念及基本知识，为后面的设计 和研究提供理论基础。 第三章，我们利用双量子位系统的结构纠缠( e n t a u l 9 1 e m e n to f f o n i l a t i o n ) 和一 个基本假设给出了纯态的三量子位系统的纠缠度的定义和计算方法，并详细证 明了该定义的合理性，同时证明了对其中的一个量子位的测量会对其余两个量子 位间的纠缠产生影响的结论。 第四章，在简单回顾了目前纠缠态的判别的一些主要进展后，我们主要讨论 了三体二维量子纯态的情况，得出了其可分性的一个充要条件。 第五章，首先简单介绍了无限个拷贝情况下的纠缠的纯化和提取，然后讨论 了利用纠缠交换来实现两量子和三量子纠缠态的纯化的方法和实施的具体步骤， 且对三量子纠缠态的纯化给出了另一种不同的方法，同时给得出了从原来的部分 纠缠态获得最大纠缠态的总概率。 第六章，总结了本文所做的工作和以及对进一步研究的展望。 4 中山大学硕士学位论文 第2 章量子信息有关的基本概念和知识 2 1 基本概念 1 h i l b e r t 空间8 | ：( 1 ) h i l b e r t 空间是复数域c 的一个矢量空间，矢量用l y ) 表示。( 2 ) h i1 b e r t 空间内积为似l 妒) ，表示将一个有序矢量对向c 的映射，且 满足条件：( a ) 正定： 如果i 少) o ，他j y ) o ； ( b ) 线性： ( 9 1 0 f v ，。) + 6j l f ，：) ) = 口( 妒l v ，。) + 6 ( 9 l i f ，：) ；( c ) 斜对称性：( 妒i y ) = ( v ，f 9 ) ；( 3 ) h i l b e r t 空间关于范数l 阿0 = 他i y ) 2 是完备的。 2 量子位( q u b i t ) ：在经典信息理论中，信息量的基本单位是比特( b i t ) ，一 个比特是给出经典二值系统一个取值的信息量，例如， 0 ，1 ) 。在量子信息理论 中，量子信息的基本单位是量子比特，一个量子比特是一个双态量子系统，即两 个线性独立的态，常计为l o ) 和1 1 ) 。量子位的物理载体可以是光子，自旋1 2 的 粒子以及二能级原子等。 3 量子态：量子态是h i l b e r t 空间中的一个r a y 旧。它是一个物理体系的完 备的描述。量子信息理论中最基本的量子体系是一个定义在二维的h i1 b e r t 空间 c 2 中的二能级体系如果这个空间中的基矢用i o ) 和f 1 ) 表示，则这个空间中的任意 归一化量子态可表示为l y ) = a l o ) + 卢 1 ) ，其中a 和卢为复数且满足h 2 + 例2 = 1 。 因此，一个量子体系可以处于i o ) 或1 1 ) 上，也可以处于l o ) 和1 1 ) 的相干叠加态上。 这样的一个二维量子体系是一个重要的量子信息载体。我们也可以将二维的量子 态根据自旋1 2 粒子写为j v ，) = c 。s 导1 个：) + p 坤s i n 导i 山：) ，这种写法为二维量子态 空间提供了一个非常直观的表述。通过改变参数0 p 和o 西2 兀所得到 的所有可能的态对应着单位球的球面上的点，且这个球的方位角对应着西，极角 对应着9 。这个球就是b l o c h 球。 中山大学硕士学位论文 4 纯态( p u r es t a t e s ) ：上面的量子态定义实际上指的是纯态。对于纯态我 们可以得到这个态的最大的信息。纯态是能用单一波函数描述的态，一般的纯态 可表述为l y ) = 兰c ：l ) ，其中l y ，) 为正交归一基矢，且自c ：1 2 = 1 。 5 混合态( m i x e ds t a t e s ) ：系统若干个纯态的非相干混合，混合态描述了按 一定几率分布的量子纯态的经典的混合。混合态一般用密度矩阵表示，记为算符 p 。它满足下面三个条件，即自伴算符( 厄米性) ：p = p + ；半正定：p o ；迹 为l ：t rp = l 。一般地，t rp 2 1 ，当且仅当p 为纯态时p 2 = p ，取等号。混合 态可表示为：p = 见j 少，) ( v ，i ，式中i v ，) 不要求正交，p ，= 1 。其中p ，表示 lj 几率分布，l y ，) 沁jl 表示投影算符。 p 。，i v ，f ) ) 通常叫做一个系综，或叫p 的一 个实现( 系综实现了一个混合态) 引对于一个混合态，通常存在无限多个不同的 实现，且这些不同的实现在实验上是不可区分的。 6 密度矩阵4 ：密度矩阵可以用来统一地描述量子系统的纯态和混合态。假 设一个量子系统分别以只的概率p i 处在相应的纯态上，其中l y ，) 为正交归一基 矢，这里i 是纯态指标，我们称是 p 。，i y ，) ) 一个混合系综。这个系统的密度算 子定义为j d = 只f y ，) 似。l ，其中p ，= 1 。区分密度算子描述的是纯态还是混 l f 合态，只要看关系式p 2 = j d 是否满足，p 描述的就是纯态系综，否则就是混合态 的系综。 7 约化密度矩阵：设a 和b 组成的一个复合系统，它的量子态可用密度矩 阵p 肋表示，子系统a 的约化密度矩阵定义为p = 巩( p 加) ，这里巩表示矩 阵对子系统b 的自由度求迹。相似地，子系统b 的约化密度矩阵定义为 p b = 玑( j d 仰) 。因为约化密度矩阵对相应子系统的测量提供了正确的统计测量 结果，从而给出复合系统中子系统的状态提供了正确的描述，即它包含了子系统 所处状态的全部物理信息，所以它可用来描述相应的子系统，是相应子系统的密 度算子。约化密度矩阵对应的态我们称之为约化态。 8 纯态的s c h m i d t 分解与s c h m i d t 数： 假设i y ) 是复合系统a b 中的一个纯态，可以证明3 ，在子系统a 和b 中分 6 中山大学硕士学位论文 别存在正交归一基l ) 和 ) ，使得下面关系式成立： i y ) = ) ( 2 1 ) ， 其中a 。是非负实数，称为s c h m i d t 系数， 它们满足 2 = 1 。正交归一化基i ) i 和j ) 分别称为a 和b 系统的s c h m i d t 基。非零的s c h m i d t 系数的个数称为态的 s c h m i d t 数。式( 2 1 ) 称为纯态的s ch i i l i d t 分解。通过s c h m i d t 分解，a 和b 子系 统的约化密度矩阵分别为 p = 九2 i ) ( i ， ( 2 2 a ) j p 口= 九2 l ) ( 如i ， ( 2 2 b ) l 它们具有相同的本征值谱无2 。 复合系统的许多重要性质都是由这个系统的约化密度矩阵的本征值来决定 的，所以对于一个处在纯态的复合系统而言，两个子系统有相同的特点s c h m i d t 数在相对每个子系统的局域幺正操作下是不变的。按照量子力学的测量理论，对 处在态l i f ，) 的复合系统子系之一的测量将使态f y ) 塌缩到其中的一个s c h m i d t 基 上，从而对子系之一的测量结果瞬间决定了另一个子系的态，这就是一种最简单 的量子纠缠现象。 9 纠缠态：量子纠缠态分为纠缠纯态和纠缠混态。纯态是指可以用一个态矢量描 述的量子态。任意一个纯态可以表示成：l l f ，) = c 。l 妒) 。，其中1 9 ) 。是正交归一化 基矢。混态可以看作是非相干混合着的一串纯态( 它们不一定相互正交) 序列所组 成的量子系综，也即一系列纯态按一定概率分布的集合( 甚至是一列混态的集 合) 。对于一个由n 个子系统构成的复合系统，如果系统的密度矩阵不能写成各个 子系统的密度矩阵的直积的线性和的形式，则这个复合系统就是纠缠的，即： p n p 酽 n i 这里p 。o ，且n = l 。 2 2 基本的量子操作 2 2 1 局域操作( l o e a l0 p e r a t i o n ) 对由多个空间分离的子系统组成的量子系统，如果操作者只对相对他局域的 子系统进行操作，则称这种操作为局域操作。在量子信息的应用中，如保密通信， 通信双方由于相距遥远，只能进行局域操作；另外，非局域性的“潜能”都是相 对局性操作而言的，因此局域操作在量子信息中是一个基本而重要的操作。局域 中山大学硕士学位论文 操作包括： ( 1 ) 局域幺正变换( l u ) ，即a 1 i c e 和b o b 双方都对各自的系统进行幺正变换， l u 操作仅改变各子系统的基矢，不会使系统态产生实质性的变化。 ( 2 ) 局域一般测量，这等效于一般的p 0 v ( 正算子值) 测量，即a 1 i c e 和b o b 分别对各自系统执行一套完备的一般测量4 ，和e ，其中 彳，+ 4 ，= ，b ，+ b ，= ， ，i 这种操作的联合行为可描述为彳，p 色， 口 且彳，+ b + 彳，o 哆= ，。如果4 彳+ = 6 ， 矿 ( 2 3 ) b ，b j + = 6 ，则4 、e 为投影操作。 ( 3 ) 经典通信，即a l i c e ( 或b o b ) 将自己的操作结果通过经典信道通知对方， 对方再根据这个结果决定他( 或她) 的下一步的测量。如果经典通信只允许从一方 发往另一方，不允许另一方再发送回新的信息，则称为单向通信( o n e w a y c o 姗u n i c a t i o n ) ，否则称为双向通信( t w o w a y c o 咖u n i c a t i o n ) 。经典通信加局 域一般测量，a 1 i c e 和b o b 进行的局域操作都通过经典通信互相协调起来。即他们 的测量是相关的，这可描述为y 彳圆b 。，且y 彳，+ + 彳。oe = ，。 2 2 2 全局操作( g 1 0 b a lo p e r a t i o n ) 如果两个子系统存在相互作用，一般来讲，系统的演化不能从局域的操作得 到。任何非局域的操作叫做全局操作。通过全局操作，所有的关联既可以增加， 也可以减少。换句话说，一个可分的量子态可以通过全局操作，转化为纠缠态； 一个纠缠态也可以通过全局操作转化为可分态。 2 2 3 经典通信辅助的局域操作( l o e a l0 p e r a t i o na n dc 1 a s s i c a l c o 珊眦n i c a t i o n ) ( l o c c ) 1 2 3 经典通信辅助的局域操作是一类全局操作。它包括了一般的局域操作，同时 允许各局域操作间的经典关联。即可以通过任何经典的方式来交换各个子系统间 的局域操作信息和操作结果信息。然后根据这些经典信息进行进一步的局域操 作。 根据算符和的方式可将l o c c 操作写为： s ( p ) = ( e 圆f ) j d ( 巨+ 圆e + ) ， ( 2 4 ) 其中， e + e o f + f = ， 严格来讲，式( 2 4 ) 应叫做可分操作。可分操作包括l o c c 操作，并不是所有的可 分操作都是l o c c 操作。严格的l o c c 操作定义可参看文献u “。 8 中山大学硕士学位论文 l o c c 操作可以用来建立经典关联，一个直积态经过l o c c 操作一般不是直积 态。这样，经典的几率关联可以在l o c c 操作下改变。但是，可分态在l o c c 仍旧 是可分态，l o c c 不能建立纠缠。 2 3 部分转置操作 一个态p 他的部分转置记为p 么或p 盈，它们的定义如下： p 盈= ( r bb f 歹口) 。l b ) ( z bi p j d 么= ( f 爿p 彻f 4 ) f 歹月) ( f 爿l ( 2 5 ) f 部分转置操作不是一个物理操作，它有可能把由一个幺迹的半正定矩阵描述 的物理态变成一个有负本征值的非物理态。 2 4 量子测量 2 4 1 一般测量 量子测量由一组测量算子 m ，) 描述，这些算子作用在被测系统状态空间 上，指标m 表示实验中可能的测量结果。若在测量前，量子系统的最新状态是l 妒) ， 则结果m 发生的可能性有 p ( m ) = ( 妒i m ：m 。1 9 ) ( 2 6 ) 给出，且测量后系统的状态为： 型丝( 2 7 ) ( 9 m ：m 。1 9 ) 测量算子满足完备性方程， 膨| ：m 。= j 。 2 4 2 投影测量 投影测量是用被观测系统状态空间上的一个可观测量赫米特( h e 珊i t e ) 算子 描述。该观测量算子能够进行谱分解：m = 垅己，其中已是到特征值m 的本征 空间m 上的投影。 实际上投影测量是特殊的一般测量，即算子m 除了满足完备性条件之外 ( m ：m ，= ，) ，还须满足m 是正交的投影算子时，即m 。是h e r m i t e 的 9 中山大学硕士学位论文 ( m ：= m ，) ，且m 。m 。= 肠。6 。有了这些附加的限制，一般测量就变成了投 影测量。 2 4 3p o v m ( p o s i t i v eo p e r a t o r - v a l u e dm e a s u r e ) 钡虻量 p o v m 测量又称为半正定算子测量。假设m 。是状态为1 9 ) 的量子系统上的 测量算子，记e 。= m ：m 。，那么有e 。= ，且e ，是半正定算子，状态测量 后的概率为： p ( 垅) = ( 9 ef 妒) ( 2 8 ) 我们把这样的。称为p o v m 元，而把完整的集合 e 。) 称为一个p o v m 。它 一般用于统计特性的简单方法，当我们只关心得到某种结果的概率而不关心测量 后的状态时常用的一种方法。 2 5 作为纠缠度量的几个必要条件 纠缠描述的是共处于同一系统的几个子系的态之间的非局域特性，因此只对 由几个部分构成的复合系统才有意义。设一个大系统由a ，b ，c 等几个子系构成， 复合系统的一般态用密度矩阵p 描述。令e ( p ) 描述态p 的纠缠度，由于物理上 相互作用的两个部分联合的幺正演化可以产生纠缠，而局域操作( 即对空间分离 的各部分互相独立地执行的操作) 和经典通信只能产生经典的相关，不可能产生 量子纠缠，因此一个合理的纠缠度量e ( p ) 须满足下面几个条件u 4 1 ： ( 1 ) 如果p 描述的态是分离的，即它可以表示为属于不同部分态的张量积： j d = p ，j d ! ioj d ；o ， 其中p j ，以，是分别描述各子系的密度算子，p 。o ，且p ，= 1 。那么 ( p ) = 0 ，即对分离态，纠缠度为零。而对于最大纠缠态，纠缠度应取最大值。 ( 2 ) e ( p ) 在各个子系的局域幺正变换下不变： e ( p ) 2e ( u 一 u 占o ) p ( u jq u ； ) 】 。 ( 3 ) e ( p ) 在局域操作和经典通信下不增，即对于一套完备的一般测量 1 0 中山大学硕士学位论文 爿。彳， e 彤= ，如果j d 。= 彳? 彤倒，圆b ，j j 。 e ( p ) e ( j c i ) 则有： ( 2 9 ) 当然，一个彳? 彤，o e 态有可能大于p 的纠缠，这是纠缠纯化的理论基 2 6 本章小结 本章介绍了与本文有关的一些基本概念及基本知识，为后面的设计和研 究提供坚实的理论基础。 中山大学硕士学位论文 3 1 引言 第3 章三量子位系统的纠缠度 量子纠缠的重要性使得对它的定量描述显得尤为重要，是量子信息理论研究 的热点问题，对量子纠缠的定量描述是指如何用一个具体的量来描述纠缠程度的 大小。我们知道，b e l l 不等式的违背是量子纠缠的一个显著的特征，但不是所有 的纠缠态都违背b e l l 不等式。因此，为了从经典关联中分离出量子纠缠需要一种 量度纠缠的标准，这启发人们对纠缠态的度量问题进行了大量研究。纠缠态的度 量也有着广泛的应用，当两地拥有一个量子纠缠态时，纠缠的所有者可以通过对 纠缠态做局域操作并辅以经典通信来实现量子通信、量子计算等功能，但这都是 以消耗两地共享的纠缠态为代价的，这究竟消耗了多少非局域的物理资源，也要 求必须对纠缠量度进行量化，也就是说，需要确定纠缠态的纠缠度。所谓纠缠度， 就是指所研究的纠缠态携带的纠缠量的多少，纠缠度的提出，为不同的纠缠态之 间建立了可比关系，但是目前，除了对系统的纠缠度取得了一些肯定的结论之外， 对多体系统的纠缠度的量度的研究还处于起步阶段，还没有一个确定的普遍可以 接受的标准，还有待进一步的探讨。 合理的纠缠度定义应该满足第二章所说的三个条件”。：第一，对于直积 态，纠缠度等于零；对于最大纠缠态，纠缠度取最大值。这个条件显而易见是必 须满足的。第二，在子系统的幺正变换下纠缠度不改变。因为子系统的幺正变换 实际上相当于在子系统的h i l b e r t 空间里的坐标变换，显然，它不应该改变整体 的纠缠性质。第三，在定域操作和经典通信的条件下纠缠度不能增加。这个条件 是纠缠态的本质所决定的，因为纠缠的本质是量子的和非定域的关联，上述操作 对于关联的改变都是经典的，定域的，它不可能创造纠缠，也不可能增加纠缠的 程度。 纠缠态的度量问题目前还没有得到完全解决，双量子位2 维系统的结果比较 完善，有结构纠缠( e r n a n g l e m e n to f f o m l a t i o n ) 和相对熵纠缠( r e l a t i v ee n t r o p yo f e n t a n g l e m e n t ) ；双量子位d 维系统的则只有初步的结果( i c 0 n c u 玎e n c e ) ，有待进 一步的研究。多量子位系统的纠缠态度量的研究才刚刚开始。显然，多量子位系 统的纠缠度的概念远远要比双量子位系统复杂得多。因为多量子位系统内部可能 存在多种纠缠，例如两个量子位之间的纠缠，所有量子位之间的纠缠，任意n 个 量子位与m 个量子位之间的纠缠等等。在这种情况下，如何定义纠缠度的概念以 及如何计算它就是一个非常艰巨的任务。这一章里，我们就来讨论三量子位系统 的纠缠度。 在此之前，我们介绍一下几种基本的纠缠度量的概念。 1 2 中山大学硕士学位论文 3 2 几种基本的纠缠度量 3 2 1 冯诺伊曼熵( v o nn e u m a n n 熵) 当两体量子态处于纯态l 甲) 彻时，a ，b 之间的纠缠度可用这个态的约化密度算 子的v o nn e u m a n n 熵来度量，即 e ( i 甲) 肋) = s ( p ( 占) ) = 一t r ( j d 月( b ) 1 0 9 j d 一( 占) ) ，( 3 2 一1 ) 其中p 一( 口) 为纯态l 甲) 彻的a 或b 子系统得约化密度矩阵： p 爿( 口) 2t r b ( a ) ( i 甲) 彻( 甲i ) 。 ( 3 2 2 ) 因为a ，b 总体系处于纯态，有s ( p ) = s ( p b ) ， 所以纠缠度可定义为任何一 个子系的v o nn e u m a n n 熵。v o nn e u m a n n 熵对于两体纯态而言是一个好的纠缠度量， 因为它不仅满足上面指出的纠缠度量的几个基本条件，并且我们在下面将看到纯 态的v o nn e u m a n n 熵等于纯态的结构纠缠也等于相对熵纠缠和提取纠缠。若纯态 的各s c h m i d t 系数都相等，则l v ) 称为这两个子系的最大纠缠态，否则为部分纠 缠态。b e n n e t 证明了。，通过对非最大纠缠对的n 个拷贝进行局域操作和经典通 信，可以浓缩它们的纠缠到数目较少的最大纠缠对上。若每个非最大纠缠对的纠 缠度为e ，当n 足够大时，可以得到最大纠缠对的数目渐近于n e ，这称为纠缠浓缩 ( e n t a n g l e m e n tc o n c e n t r a t i o n ) 。相反的，从起始的n 个最大纠缠对出发，通过 局域操作和经典通信，可以制备出数目更多的非最大纠缠对，在n 一极限情况 r 1 1 下，可以保持总的纠缠度不变，这称为纠缠稀释( e n t a n g l e m e n td i l u t i o n ) “。 纠缠浓缩和纠缠稀释是可逆的，因此对纯态而言最大纠缠态和非最大纠缠态可可 逆地转换，二者没有本质区别。 3 2 2 结构纠缠( e n t a n 9 1 e m e n to ff o 珈a t i o n ) 6 ，1 8 3 假设由a 1 i c e 和b 0 b 分享的两个部分共处在混合态p 仰，态p 一存在无限多不 同的纯态分解，记其中一个分解为e ， 比= ( 甲i ，其中p 。：1 ， f， ( 3 2 3 ) p ，是纯态l 甲) 在e 分解中出现的概率。定义态p 船的结构纠缠是对所有纯态分解 e 中，纯态纠缠的统计平均的最小值： 中山大学硕士学位论文 母( 矶b ) = m i n 只s ( p ：) ( 3 2 4 ) 其中i p j = t r b ( p 么) ，s ( p j ) 是态p ：l 的v o nn e u m a n n 熵。可使平均纠缠达到最小 值的分解称为最小分解。结构纠缠的物理意义是从最少数目的( 假设为k 个) 最大 纠缠单态，仅通过局域操作和经典通信可以制备出纠缠混合态p 船的n 个拷贝，在 n 一的极限情况下，转化率k n 就等于态p 脑的结构纠缠b ( p 船) 。即 e f ( p 彻) = l i m 鱼 。 ( 3 2 5 ) ( 3 2 5 ) 式是基于露的最小分解是单个态最小分解只l 甲。) ( 甲。i 的简单直积的 假设下成立的，如果不是，那么应该有如下的关系式存在 e ，( = l i m 塑盛。 ( 3 2 6 ) 可以看出： e ，( p 肚) b ( d 艘) ( 3 2 7 ) 可以证明结构纠缠满足纠缠度量的几个基本条件，且纯态的结构纠缠就为v o n n e u m a n n 熵。 计算结构纠缠需要找出待求混合态的最小分解，这不是一件容易的事情。对 于两体两维系统，人们己经找到了结构纠缠的一个解析算法1 8 1 。 3 2 3 提取纠缠( e n t a n 9 1 e m e n to fd i s t i l l a t i o n ) 6 ，1 9 3 纠缠提取分为渐近提取和精确提取。渐近提取定义为：假设p 肚是被a l i c e 和 b o b 分享的混合态，而且他们己制各了这个态的n 个拷贝，并假设当n 一时，a l i c e 和b o b 可以从这n 个拷贝中通过局域操作和经典通信提取出m 个无限地接近于纯态 的最大纠缠态，定义态p 仙的提取纠缠为： 岛( p 仰) = l i m 竺， ( 3 2 8 ) 这个定义是很直接的。其实纠缠的提取是一个很复杂的过程，一个更为精确的提 取纠缠的定义为2 0 i ：如果p 是可提取的，则存在一套算子 彳，pe ，当n 一时 有： 彳， 彰， e 专i 丫) ( 一l ， ( 3 2 9 ) 其中i 甲7 ) 是一个纯纠缠态。提取纠缠( p 船) 定义为：当n 一时有： 1 4 中山大学硕士学位论文 岛( p 彻) 2 ( 黪毒p ，e ( i 丫)