（基础数学专业论文）sobolevhardy方程的全局紧性及正解的存在性.pdf

摘要 本文主要讨论下面s o b o l e v h a r d y 方程 三三鼍_ 篙孚+ a 札 z q ， x q x a q ， 其中q 是r ( 4 ) 中的有界光滑区域，0 q ，z = ( y ，z ) qc 砒r c r ，2 k 0 ， z q ，( 1 1 ) 【让= o ， z a q ， 其中q 是r ( 4 ) 中的有界光滑区域，0 q ，z = ( y ，z ) qc 乏七r cr ， 2 k 0 ，l i m p o o 庐( 可) = 1 ，并且兰毋( ) 时，在文献【4 】中考虑了问 题( 1 2 ) 并得到了全局紧性及在t = l 的假设下径向对称解的存在性和非存在性 结果 另外，我们也指出如果t ( 0 ，2 ) 和p ( t ) ：= 丛n 三- 幽2 = 2 ( ) 一1 ，问题( 1 1 ) 与 如下h a r d y s o b o l e v 1 6 】不等式有很大的联系： 其中c 0 厶f n u 川 2 。( o 如c 上i 丫u i 2 d z 1 ( 1 3 ) 近年来，许多人都考虑了h a r d y s o b o l e v 不等式在不同参数范围的情形本 文只考虑0 t 2 的情形，以上的结果为我们在证明全局紧时提供了方便但是 由于( 1 1 ) 是退化的，我们的问题还是较为复杂因此，如果用标准的变分方法( b r e z i s 和n i r e n b e r gf 2 1 ) 来研究问题( 1 1 ) 在0 t 2 时非零解的存在性，我 们需要克服更多的困难本文主要利用山路引理，得到问题( 1 1 ) 的正解 类似的s o b o l e v h a r d y 方程，如： _ 粘学仆r 2 让 z q ， ( 1 4 ) z a q 、 对于这类问题相当多的文献已有这方面的研究，例如文献( 【1 】，【3 ，f 9 1 ，f l o ，【1 5 ，【1 7 1 ) 结果的一般形式是：全局紧正解的存在性这类问题在证明全局紧性时主要 在z = 0 处退化和临界指标非紧嵌入处爆破而问题( 1 1 ) 研究的是在y = 0 处 退化的，这是本文一个新的地方 本文主要是受到d c a s t o r i n a ，i f a b b r i ，g m a n c i n i a n d k s a n d e e p ，在 文献【4 1 中的启发，他们考虑的是方程( 1 2 ) 的情形我们要研究的问题( 1 1 ) 是 方程( 1 2 ) 在咖 ) = l 时，再加上的一个低阶项a 仳，通过分析可知：问题( 1 1 ) 和方 程( 1 2 ) 的极限方程式是一致的 那么我们可以猜想方程( 1 1 ) 是否像上面的s o b o l e v h a r d y 方程一样有全 局紧性和正解的存在性结果 本文主要克服的困难是问题( 1 1 ) 在y = 0 处退化，类似彭老师和曹老师 在文f 5 1 中的证明，由伸缩不变性，再通过研究乱。的极限行为得到一个全局紧性 结果，再用定理1 1 构造的紧性结果证明( p s ) 序列是相对紧的从而对任意的 0 a a 1 ，毋能取得最小值，类似邓老师，金老师和彭老师在文【1 l 】中的证明证 明中的关键是克服c 瓣2 - t ；。的问题，主要用达到函数证明r j l 理3 4 ，从而解 决了这个问题最终得到问题( 1 1 ) 正解的存在性 我们定义 & k = 。卵i ( n r f ) 0 最( u ) ，讹d o 2 ( ) 它表示明( q ) q 叫t ) ( q ) 最佳常数，其中 2 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 脚) ：t j v 砰出似紫如) 南 & ，女的达到函数乘以某正常数后是如下e u l e r 方程的极小能量解 - 肛并帅r v ( 1 5 ) 值得注意的是，h a r d y s o b o l e v 不等式( 1 2 ) 包含古典的s o b o l e v 不等式 ( t = 1 ) 和h a r d y 不等式( a = 0 ) 这两种特殊情况它对于许多问题的研究都有很 重要的作用，比如最佳常数，极值函数等等( 参考文献【9 ，1 4 】) 定义最佳s o b o l e v 常数 耻一i n f 吼斜上附v u 出似譬如) 锷 它的达到函数是 阢( z ) ：_ - - e ( 2 _ 驯2 u ( 詈) ， ( 1 6 ) 其中 ) = = 【矧p 定义问题( 1 1 ) 所对应的能量泛函是 跏) = 互1 上i v 砰如一害上“2 出一赤上譬如雕啪) 首先，我们分析晶的p s 序列，并且得到一个全局紧性结果为了得到问 题( 1 1 ) 的全局紧性结果，我们首先给出( 1 1 ) 对应的极限问题： 也= 并一d 1 , 2 ( ( 甲) 为了统一记号，我们把极限问题( 带) 对应的泛函记为： 臂( = 三zl v u l 2 出一赤上譬如甜( 酞) 并且极限问题( 帮) 的解是泛函即( u ) 的临界点 我们的第一个结果是 3 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 定理1 1 若n 4 ，a r ，缸m c 明( q ) 满足b ( u 。) c ，磁0 m ) _ 0 在日一1 ( q ) 中，当m o o 时那么 ( i ) u 。可以分解成 其中在硝2 ( 豫) 中钊。_ 0 ，u 0 是b ( u ) 的临界点k ，l n ，对于1 歹l ，当 m 一( 2 0 时，砩_ ( 2 0 ，嵋是( 帮) 的解点列 ( o ，z 豪) ) ( 1 歹f ) 在q 中收敛 到( 0 ，z 3 ) 晓 与文f 7 ，1 7 ，1 8 ，1 9 】中证明的全局紧结果类似，定理1 1 表明( p s ) 序列产 生一种爆破现象它是 n - 2 忌_ ：= ru ( k m ( z 一( 0 ，z 。) ) ) ，当七。1 2 。i _ 0 0 其中c ，是( 带) 的个解 这种爆破现象对应于b r e z i s - n i r e n b e r g - 类型或者y a r a a b e - 类型的问题分 析中的关键一步是排除下面类型爆破产生的可能性，即排除形如 ，一2 h ( k 。( z 一( 0 ，z m ) ) ， 的爆破，这里，后。陋m i c ，0 g 其次，我们利用定理1 1 的紧性结果得到问题( 1 1 ) 的正解本文在合适的能 量范围内构造( p s ) 序列，类似彭老师和曹老师在文【5 】中的证明，从而得到正 解 我们得到的第二个结果如下： 定理1 2 若0 t 2 ，0 a a l ，其中a l 表示一算子的第一个特征值， n 4 ，p ( 亡) ：= 锵，则问题( 1 1 ) 存在正解 4 m + m z 一z m 七 学 j m 后 。：l| +扩 = m u 雠甲 。姐 + 酞 r 、ub 我们的主要思想与文【1 1 1 相同，利用山路定理得到一个( p s ) 序列，再用 定理1 1 构造的紧性结果证明( p s ) 序列是相对紧的具体思路如下：对任意的 0 a 0 使得： 上学如gf i v , 生t 2 妞 证明：与1 1 6 ，8 ，1 5 】中证明类似，因此省略它 口 引理2 2 设 u m ) c 础( q ) ，在明( q ) 中仳。一u ，令v m = 牡。一乱，当 ”l _ o o 时有： ( i ) 上i v 1 2 出= 上i v 1 2 出+ flwlfl 2 如+ 。( 1 ) ； j n，q ( i 0l 譬如= 上警如+ 上譬如圳 证明：由b r i z i s - l i e b 引理知( i ) 成立，( i i ) 与g h o u s s o u b - y u a n sr e l a t i o n 1 3 】中 证明类似，用v i t a l i sc o n v e r g e n c e 定理证明它下证明( i i ) 成立 因为u 。j 让，由嵌入定理u 。一仳a e 在q 上，又由v i t a l i sc o n v e r g e n c e 定理我 们可得： ( i 札。1 2 一| t 上。一乱l1 出 呸二! ! 二! 巡：出d z v 1 5 一 ( 仳。一( t 一1 ) u ) t u 。一( t 一1 ) 钍1 2 一2 u _ 2 + f 0 1 上丝号等出出 = 上骺埘产。出 = 上骺出 6 y 卜 出出 所以强上嵴如= 上面i v m l 2 * ( t ) 如+ 上学如川 口 z j l 望2 3 设v 。) c 础( q ) 是岛在处的俨s ，序列，即e o ( v ，。) 一， 瑞( ) _ 0 于日一1 ( q ) 中，当7 t _ 。o 时若 ) c 础( q ) 是弱收敛而非强收 敛于零，则有 ( i ) 存在正常数序列 七。) ，点列 ( o ，z 。) ) cq 满足( o ，z 。) j ( o ，z o ) 矗，使得 存在子列 n 一2 一 w 。= 一后二r 口o ( 后m ( z 一( 0 ，z 。) ) ) + o ( 1 ) ( z q ) ， 是岛在p 一即v o ) 处的俨j 序列；当m o o 时w mj0 ，o ( 1 ) _ 0 于 d 1 ，2 ( r ) 中，护是( 砰) 的解 ( 娩) 岛( ) = e o ( v m ) 一e o ( v o ) + o ( 1 ) 扛q ) ， 而且，七。击5 ( ( o ，z 。) ，a q ) 一。o ；最后如果e o ( v 。) 一p 6 ( 2 4 ) 7 至多取子列，选择极j 、扣0 ，使得厶击) i v 蚶以 定义西m ：7 z 趔t 2 可m ( z ，r 。+ ( ，z 。) ) ，则厂i w 。1 0 2 ：6 定义西m = 7 可m ( z ，r 。+ ( ，z 。) ) ，则 。2 = 6 ，s ( o ，1 ) 注意到，由于( 2 3 ) 和( 2 4 ) ，序列 r 。】 是有界的记壶，n = z 墩：z r m + ( o ，z 。) q ) ，很明显如础( 壳。) cd 1 , 2 ( r ) ，此外l l 讥m ( r ) _ l i 口。2 ，2 ( r 广丐半p 0 卜 b 0 n d m 一- 么o 一 扩一i尸一一b 饥 一 一 m m ，一玎 厂厶 v o 一 力 h ” b 7 p v m m么么 = = “掣 0 0 引一r 廿研 坠k 厂 纠一 b 一 一 1 1 ，i， 2 2 m m 妒 妒 v v m m 厂厶厂厶 c c 一 一 硕士学位论文 m a s t e r s1 h e s i s 且1 3 1 0 由于j0 ，我们有：r ，n _ 0 0 ，当m _ 。 运用情形( i ) 的结果我们有 ( z ) = r 2 - n ( 丧+ ( 吣。) ) = ( _ 下2 - n u 。( 矗+ 导 ) 定义七m = r 。，= 碧；那么_ 殉q ，k f l = r 。k 。f ；由( 2 5 ) 当 i z m l a 0 时，有k f i _ c o ；在远离( 0 ，) 点， 【r 。) 有界，k 。一o 。( 当 m o 。) 记叠。= z r i 乏+ f 2 ) ，= 后( 彘+ ) 、 t ” ， 1 “ 现在我们分两种情羽： ( 1 ) 当k m d i s t ( y m ，o f f ) c o ) ， ( 2 ) 当后m d i s t ( y m ，泓2 ) _ 0 0 时，q 。_ q o o = r 在任何情况下，对于m 充分大和任意的妒留( 矗。) ，当m 一。时，我们 有 。= 上。v 啦9 一z 哗 = 上。v v 妒一z 。牛+ 。( ) ( 2 ，5 ) = j f n ov v l v 。o - z 学州 其中9 ：七：妒( _ | 。( z 一( o ，z 。) ) ) 若磊。：r 型，( 2 1 5 ) 表明 u 1 研，2 f 矗。】是 也= 并，一豫筝；u 扎倒r 的解因此v l 兰。是不可能的，第( 2 ) 种情况正确，即钞l 是( 带) 的解 引理2 3 得证 定理i i 的证明： 1 3 口 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 1 ) 由b ( 豇。) c ，毋( “。) _ 0 于h 。( q ) ，我们有u 。j l o 于明( q ) ，且护 满足( 1 1 ) 并且令= 乱。一乱o ，则由引理2 1 和引理2 2 我们得到 上l v u 一2 d x = y ( u 。扩) 1 2 d z + 上l v u o l 2 d x + 。( 1 ) ； 上紫如= 上竿出+ z 警出州 其中o ( 1 ) 一0 ( m 一。) 因此 b ( “，n ) = 邑( “o ) + e o ( 刀。) + o ( 1 ) ， 取( 仳。) = 磁( 扩) + 蜀 1 3 。) + o ( 1 ) ， 蜀v 。) = d ( 1 ) 其中o ( 1 ) _ 0 在h 一( q ) 中，当( m _ 0 ( 3 ) 时 2 ) 对 。) 递归使用引理2 3 ，迭代在有限次后结束，最后得到( p s ) 序列是 强收敛于零的具体证明如下：使用引理2 3 对 u 。) 递归，令： j 一1 砖= 札m 一护，碡= 让。一护一嚎= 爵1 一u j 。- - 1 ，j 1 。 其中 嚷= ( 后。ijn z - 2 il 厅。i ( z 一( o ，z 二) ) 通过归纳可得 e o ( a m ) = b ( “。) 一取( 护) 一茎：晶( 诺) e ( 乱m ) 一o 一1 ) 3 ( 2 1 6 ) 0 u o o ) 由( 2 1 6 ) 可得，将结束迭代在有限指标z 0 后另外，对于指标z ，我们有 以= 心m 一铲一名。碡_ o ，强收敛在d 1 , 2 ( r ) 且 l b ( 让m ) 一毋( 牡。) 一昂( ) 一o i = 1 定理1 1 的证明完成 1 4 第三节正解的存在性 本节主要运用文【1 1 】中的主要思想得到问题( 1 1 ) 的正解 在明( q ) 空间中，我们选择范数： 定义其内积： u l l , , ：=( f ( t v u l 2 一a 札2 j 凹) _ 1 ( 让，秽) ：= v u v v - a u v ) 如 相应与( 1 1 ) 的能量泛函定义为： 耻扣i ；一高上警出啪) 如果乱硪( q ) ，且满足： v u - v v - l u v 一竽肛：0 蜘) 则u 是( 1 ：1 ) 的弱解我们定义： & ，t ( q ) = 。硪i n ( 叭f 。) & ，t ( 仳；q ) ； 氏如q ) = 。啪i n f m w , 1 2 一a 乱2 ) 出 它表示硪( q ) ql p ( 。( q ) 最佳常数 紫如) 制百r 凹，j 文【4 】已经证明如下s o b o l e v h a r d y 方程存在解 协予 v u d o ，2 ( q ) 牡d 1 , 2 俾) ， i nr 以及证明了s 可达，即：s = & 。n , k 我们定义 & ，七2u 镒。醛) 。) 岛( u ) ，vu 残2 ( r ) ( 3 1 ) f小一 硕士学位论文 m a s f e r s r h e s i s 它表示硎( q ) ql p ( ) ( q ) 最佳常数，其中 脚) = 上i v 砰出刖j r n 紫y 如- 1 南，r ，、 i 。 s ( 厶蹬l y l * 、 南 - 上l v 砰， 让d 1 , 2 ( r ) 我们用( q ，川一) ，0 0 使得a 对任意 i t m 1 有i l u l l h o t ( n ) q 因此m 是闭 集令c l = i n f m ，毋( u ) 如文【6 】中那样，我们可以验证在【l o 】中找到的正解牡l 可以用e l = bu 1 ) 来刻画 为了证明定理1 2 ，我们给出以下引理： 引理3 1 似数等价j 如果u 础( q ) ，a 0 时，不等式成立取c = i 当入 0 时，有： 一入fl 砰一未卜砰； 所以有： ( f ni v - 1 2 _ a , u 2 ) ( f n1 w 1 2 一砉i v 删 = ( 1 - 触上附声 又因为a 0 取0 = m a x 1 ，( 1 一寿) 所以有： 最后： 定理得证 ( 上i v 乱1 2 _ a u 2 ) 6 ( ：i v u 睁； ，n ( f i v - i j ) c ( f i v - 1 2 一刎2l 。c 6 ( 上i v 札1 2 ) 口 引理3 2 对任意的a 0 和b 的( p s ) 序列 ) c 础( q ) 满足当m 一+ o o ，取( ) _ c 1 7 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 证明：首先我们定义如下的极小极大集 r = ，y c ( ( o ，1 ，月0 ( q ) ) ：，y ( o ) = 0 ，y ( 1 ) = e ) 相应的极小极大值为 c = ：i n ls u p , y e i m 【0 ，1 l 毋( ，y ( m ) ) ， 这里e 明( q ) 是一个固定的正函数，满足b ( e ) p 且be ) o = b ( o ) 因此，b 满足山路引理( 参看文献【1 7 】) 的几何结构从而由山路引理，存在常数 c 0 使得职( ) _ c 口 下而我们证明对于任意的c ，如果c 茄南s 孑2 - - t ，则泛函毋满足( p s ) 。条 件 引理3 3 对于任意的序列( 。) c 明( q ) ，满足： b ( u 。) c 矿= 稿霄 和 职( u 。) 一0i n - 1 ( q ) 则存在一个强收敛的子列在础( q ) 中 证明：( 1 ) 当m 足够大时，由( 3 ，4 ) ，( 3 5 ) 可得： c + l + 忪m | l b ( ) 一高( 职( ) ，) = ( 丢一高) ( i v l ；刈l ；) = ( 互i 一丽i v m i | 2 =搞llvmll2(n t 2 一) 因此l i l i 是有界的 ( 2 ) 取( ) 的子列仍记为( ) ，由( 1 ) 我们有： j 砂i n 硪( q ) ； _ 秽 i n l 5 ( q ) 1 s 2 + 1 ei nq ； 刨h _ 口 i n 矿( q ，i 可l 一2 ) ，2 p 2 ( ) 1 9 ( 3 4 ) ( 3 5 ) 硕士学位论文 m a s t e r s i h e s i s 如果不强收敛则由定理1 1 ，我们有： 存在k 。一。和方程 制= 并于r u 柚乳卜o 。 ( 3 6 ) 的解u 使得 一 n - 2 j u 。一口。一乜i 广( 七。( z 一( 0 ，z 。) ) ) l i h 3 ( q ) _ 0 。 ( 3 7 ) 且 另一方面，因为： b ( ) _ e x ( v o ) + 昭( u ) ( 3 8 ) 碍( u ) 嘉南晤m - - t ( 3 9 ) 所以b ( 护) c 1 如果口o 0 ，且v o 是b ( 口) 的临界点，则v o m 1 但是 啦! b ( 口) = c - ，所以v 0 三o ，即毋( u o ) = 0 t ，e m l 一 由( 3 4 ) 可得： 。c + o ( 1 ) = 昆( 谚) + 曩产( u ) ； 由( 3 4 ) ，( 3 9 ) 可得上式矛盾 所以当竹_ o 。时，在明( q ) 中强收敛 为了证明对于任意的c c 丽2 - t 文罗，我们需要证明下面的引理 引理3 4 让q 是r 中的有界光滑区域，n 4 ，若0 a 0 ， 2 0 和 其中 从( 1 4 ) 可得： 满足： 当_ o + ，我们有 阢( z ) ：= e ( 2 - m u ( 詈) ， u 。( z ) ：= 妒( z ) 以( z ) ， ) = ： 湍p 嘶) i l l = 上爷= 孝； h叫一入uf)dzjrn= j 厂r j r 等= 孝， l 可l 。 广 l v u 。1 2 d x = j n i v u , 1 2 + d ( e 一2 ) j r u 孑2 - t + o ( e q ) 上需出= 上譬如删扩勺 = - 好+ o ( e 肛2 ) ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) 硕士学位论文 m a s t e r ：st h e s i s 上k 1 2 如= 上p ( o ) l 以1 2 如+ 。( e 肛2 ) c l 南出+ c 厶 e n 一2 且。( o ) ( 【+ 圳2 + i z l 2 ) 一2 _ c 1 e 2 + q 厶( 0 ) 刚高n i xp + 。“肛2 ) ，i，一2 ，邬( o ) 鼠( o ) 【i _ j 。一 = c l e 2 + 岛e 2 r s - n d r ic e 2 + o ( e 1 v - 2 ) ， n 5 = c e 2 i i ne l + d ( 2 ) ， n = 4 ic e + o ( e 2 ) ， n = 3 其中c ，c 1 ，岛均为大于零的正常数 因此，如果n 5 ，对任意的e - 0 ，我们有 + o ( e 一2 ) 巷2 骞 ，p 焉了+ o ( e 一2 ) 一a c e 2 ( 曙+ o ( e 一t ) ) 南 ( 3 1 2 ) 号孑+ o ( 一2 ) 一, k c e 2 = 舐，一a c e 2 霈+ o ( e 肛2 ) 2 2 一m a s t e r s t h e 蒂2 黟 霈+ d ( e 2 ) 一a c e 2 l i ne i 二( 学+ o ( 。肌) ) 南 ( 3 1 3 ) 君2 - - t + o ( e 2 ) 一a c e 2 l i ne i = 文一a c e 2 ii n l 四+ o ( 2 ) 可证定理( 3 4 ) 成立 口 定理1 2 的证明o p j 一 1 ) 并j 山路引理证明定理1 2 ，只需证明对于任意的c ，满足：c 矛南巧，由引理 3 4 口- 7 得：存在非负 础( q ) o ) 满足： 我们有： 了蜷一 0 = b ( o ) i p r 、。 也存在m o 满足：i i , - o v i i r 和e a ( m o v ) 0 由( 3 1 4 ) 我们可得： t m e a x o , 1 b ( m 咖刀) 杀毒与 n t s j 由山路引理可得：b 有一个临界值c 【b ，矿f ；并且问题： 蔷夏u p ( t ) 仙 ( 3 1 6 ) 有一个非平凡解札用牡一同乘以方程的两边并积分可得让一= 0 ：并且牡是方程 ( 1 1 ) 的解 定理1 2 的证明完成 2 4 口 参考文献 1m b o u c h e k i f ，a m a t a l l a h ，m u l t i p l ep o s i t i v es o l u t i o n sf o re l 幼t i ce q u a t i o n s i n v o l v i n gac o n c a v et e r ma n dc r i t i c a lh a r d y s o b o l e ve x p o n e n t , a p p l i e dm a t h - e m a t i c sl e t t e r s 22 ( 2 0 0 9 ) 2 6 8 2 7 5 2 】h b r e z i sa n dl n i r e n b e r g ，p o s i t i v es o l u t i o n s n o n g n e a re l l i p t i ce q u a t i o n s i n v o h i n gc r i t i c a ls o b o l m ，e z p o n e n t , c o m m p u r ea p p l m a t h a 6 ( 1 9 s a ) 4 3 7 - 4 7 7 【3 】m b a d i a l e ，g t a r a n t e l l o ，ah a r d y s o b o l e vi n e q u a l i t yw i t ha p p l i c a t i o n s t o n o n h c a 托o ne l 却t i ce q u a t i o na r i s i n g 讥a s t r o p h y s i c s , a r c h p 泡t i o n mm e c h a n a l , 6 3 ( 2 0 0 2 ) 2 5 9 2 9 3 【4 1d c a s t o r i n a , i f a b b r i ，g m a n c i n ia n dk s a , n d e e p ，h a r d y s o b o l e vi n e q u a g t i e s 。h y p e r b o l i cs y m m e t r ya n d 搋ew e b s t e rs c a l a rc u r v a t u r ep r o b l e m ，c o m m c o n t e m m a t h i np r e s s 5 】d c a oa n ds p e n g ，ag l o b a lc o m p a c t n e s s r e s u l tf o rs i g u l a xe l l i p t i cp r o b l e m s i n v o l v i n gc r i t i c ms o b o l e ve x p o n e n t ，p r o c a m e r m a t h s o c 1 3 1 ( 2 0 0 3 ) 1 8 5 7 - 1 8 6 6 【6 】d c a oa n ds p e n g ，an o t eo n 冼es i g n c h a n g i n gs o l u t i o n st oe l l i p t i cp r o b _ l e m sw i t hc r i t i c a ls o b o l e ve x p o n e n ta n dh a r dt e r m s , j d i f f e r e n t i a le q u s t i o n s t g s ( 2 0 0 a ) 4 2 4 - 4 3 4 【7 】d c a oa n dp h a n ，s o l u t i o n s o rs e m i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o n s w i t hc r i t i c a l e x p o n e n t sa n dh a r d yp o t e n t i a l , j d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 2 0 5 ( 5 0 0 4 ) 5 2 1 - 5 3 7 i s 】k c h o ua n dc c h u ，o nt h eb e s tc o n s t a n t o raw e i g h ts o b o l e v h a r d yi n e q u a l i t y , j l o n d o nm a t h s o c 4 8 ( 1 9 9 3 ) 1 3 7 - 1 5 1 【9 1f c a f f a x e l l i ，r k o h na n dl n i r e n b e r g ，f i r s to r d e ri n t e r p o l a t i o ni n e q u a l i t y w i t hw e i g h 溉c o m p o s i t i om a t h 5 3 ( 1 9 8 4 ) 2 5 9 - 2 7 5 【1 0 】y d e n g ，l j i na n ds p e n g ，p o s i t i v es o l u t i o n s o re l l i p t i ce q u a t i o n s r e l a t e dt o t h ec a f f a r e l l i k o h n n i r e n b e r gm e q u a h t i e s , c o m m c o n t e m m a t h i np r e s s 2 5 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i $ 1 l 】y d e n g ，l j i na n ds p e n g ，ar o b i nb o u n d a r yp r o b l e mw i t hh a r d yp o t e n t i a l a n dc r i t i c a ln o n h n e a r i t i e s , c o m m c o n t e m m a t h i np r e s s 【1 2 】i f a b b r i ，g m a n c i n i ，k s a n d e e p ，c l a a s i f i c a t i o n 吖s o l u t i o n so lac r i t i a l h a r d y s o b o l e vo p e r a t o r , j d i f f e q v 0 1 2 2 4n o 2 ( 2 0 0 6 ) ，p a g 2 5 8 2 7 6 【1 3 】n g h p u s s o u b ，c y u a a ，m u l t i p l es o l u t i o n s1 0 rq u a s i l i n e a rp d e si n v o l v i n g t h ec r i t i c a ls o b o l e va n dh a r d ye x p o n e n t s ，t r a n s a m t h s o c 3 5 2 ( 2 0 0 0 ) 5 7 0 3 5 7 4 3 【1 4 】p l l i o n s ，t h ec o n c e n t r a t i o n c o m p a c t n e s sp r i n c i p i e 饥t h ec a l c u l u s 巧v a r i a t i o n s ，t h el o c a l l yc o m p a c tc a s e ，i a n n i n s t h p o i n c a x 6a n a l n o nl i n 邑6 i r e ，1 ( 1 9 8 4 ) 1 0 9 1 4 5 【1 5 】e h l i e b ，s h a r pc o n s t a n t si nt h eh a r d y l i t t l e w o o d s o b o l e va n dr e l a t e di n e q u a l i t i e s a n n o fm a t h 1 1 8 ( 2 ) (