（基础数学专业论文）单参数曲面切族芽的奇点理论.pdf

摘要 众所周知，曲线族的研究已有很长的历史，它联系着焦散线的几何，奇 点理论，光学，图象处理和微分几何1 9 6 3 年t h o r n ，r 开始用奇点理论来研 究包络理论，t h o r n 给出了平面的1 一参数曲线族的包络的一般奇点是半 抛物尖点和横截自相交点后来a r n o l d ，v i 研究了一般曲线族的标准形 式，a r n o l d 得到了一般的平面曲线族在正则点附近和它们的包络的三种标 准形式 本文利用奇点理论引进单参数曲面切族芽的概念，研究稳定单参数曲 面切族芽包络面的奇点，给出在形变意义下稳定单参数曲面切族芽的分 类，以及包络面上的简单奇点一些分类 关键词：奇点；单参数曲面切族芽；单参数曲面切族芽；非几何包络面；非 几何包络面 a b s t r a c t a se v e r y o n ek n o w s ，t h es t u d yo ft h ef a m i l yo fc u r v e sh a sal o n gh i s t o r y , i ti s d e e p l yr e l a t e dt ot h et h e o r i e so fc a u s t i c s ，s i n g u l a r i t yt h e o r y , g e o m e t r i co p t i c sa n d d i f f e r e n t i a lg e o m e t r y i ti so n l yw i t ht h o r n ，r sp a p e r ，p u b l i s h e di n1 9 6 3 ，t h a te n v e - l o p et h e o r yh a sb e e nc l e a r e du pb ys i n g u l a r i t yt h e o r y , t h o r ns h o w e dt h a tt h eo n l y g e n e r i cs i n g u l a r i t i e so fe n v e l o p e so f1 - p a r a m e t e rf a m i l i e so fp l a n ec u r v e sa r es e m i c u - b i cc u s p sa n dt r a n s v e r s a ls e l f i n t e r s e e t i o n s a n dt h e na r n o l d ，v i s t u d i e dt h en o r m a l f o r m so fg e n e r i cf a m i l i e so fp l a n ec u r v e s a r n o l dp r o v e dt h a tag e n e r i cf a m i l yc a nb e r e d u c e dt o ，n e a rar e g u l a rp o i n to fi t se n v e l o p e ，t h r e en o r m a lf o r m s i nt h i sp a p e rt h ec o n c e p t i o no f1 - p a r a m e t e rt a n g e n t i a lf a m i l yg e r m so fs u r f a c e s i si n t r o d u c e d ，t h es i n g u l a r i t yo fe n v e l o p e so fs t a b l e1 - p a r a m e t e rt a n g e n t i a lf a m i l y g e r m so fs u r f a c e si ss t u d i e db yl l s i i 堰o fs i n g u l a r i t yt h e o r y ，t h ec l a s s i f i c a t i o no f s t a b l e 1 - p a r a m e t e rt a n g e n t i a lf a m i l yg e r m so fs u r f a c e si sg i v e nu n d e rd e f o r m a t i o n ，t h e c l a s s i f i c a t i o no fs i m p l es i n g u l a r i t yo ne n v e l o p es u r f a c e si sg o t k e yw o r d s ：s i n g u l a r i t i e s ；：1 - p a r a m e t e rt a n g e n t i a lf a m i l i e sg e r m so fs u r f a c e ；。一 e q u i v a l e n c e ；u n g e o m e t r ce n v e l o p e ；s t a b i l i t y , i i 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进 行研究所取得的研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文 不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究 做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识 到本声明的法律后果由本人承担 学位论文作者签名：隍名也软 硼驴年石月f 日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属湖南师范大学同意学 校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将学位论文的全部或部分内 容编人有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存 和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 ，保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密口 ( 请在以上相应方框内打誓 ”) 作者签名：麂参j 软 导师签名：印够芝 日期扣o 峰月f 厢 日期渐；月厅日 曲面族芽及其非几何包络面的奇点分类 1 引言 1 9 5 6 年m i l n o r ，j 证明了7 维球面上存在。怪异升的微分结构他构造 出拓扑同胚但不微分同胚的两个7 维光滑流形，这正是由于它们中存在奇 点这一结果导致现代微分拓扑学的迅速发展，形成了今天称为。奇点理 论。的数学分支 奇点理论的发展最早有2 0 世纪3 0 年代m o r s e ，h m 的临界点理论， 4 0 年代w h i t n e y , h 的与微分流形嵌入和侵入有关的奇点工作后来又 有t h o r n ，r ，a r n o l d ，v im a t h e r ，j 等的介入，奇点理论得到了蓬勃发展其 中很漂亮的工作有，由t h o r n 猜测而由m a t h e r 证明的通用开折定理，以 及6 0 年代m a t h e r ，j 对光滑映射芽有限决定性的研究 在奇点理论中，映射芽的有限决定性是一个很重要的课题其思想是 适当的引入等价关系e ，通过研究映射芽，的r 阶t a y l o r 多项式来分析， 的局部拓扑性质在2 0 世纪6 0 年代，m a t h e r ，j n 对映射芽的有限决定性做 了大量的研究，分别就右等价群刀，左等价群? ，左右等价群以及接触 等价群够和形给出了光滑映射芽有限确定的充分必要条件同时，这些 结果也渗透到了其他领域，其中对曲线族芽的研究就是一例 我们知道曲线族的研究起因于焦散线的几何，奇点理论，光学，图象处 理和微分几何在几何中包络理论，特别是曲线族的包络理论已有很长的 历史，而用奇点理论来研究包络理论开始于t h o r n ，r 在1 9 6 3 年发表的文 章( 见文献【1 】) t h o m 给出了平面的1 参数曲线族的包络的一般奇点是半 抛物尖点和横截自相交息后来a r n o l d ，v i 得到了一般的平面曲线族在正 则点附近和它们的包络的标准形式( 见文献【2 】，【3 】) g i a n m a r c oc a p i t a n i o 在 文献【4 】， 6 】，【7 】中利用奇点理论对1 一参数曲线切族芽进行了分类，并将其 应用到黎曼曲面在g i a n m a r c oc a p i t a n i o 的博士论文中定义了切族芽，给 出了简单曲线切族芽的分类本文定义1 参数曲面切族芽，引进左右等价 1 硕士学位论文 群，将其作用于曲面切族芽的r 导网，给出了稳定的1 参数曲面切族芽 的分类，得到了稳定的非几何包络面在一等价下的形式和它的奇点的 分类 2 曲面族芽及其非几何包络面的奇点分类 2 基本概念和性质 2 1 曲面切族芽的定义 本章以及下文所考虑的映射都限制在原点很小的邻域内我们用微 分几何中关于正则曲面s 的参数化表示，将其定义为： s ：r 2 一r 3 ( 缸，”) hr = r ( u ，t j ) = ( z ( t i ，口) ，u c u ，t ，) ，z ( u ，t ，) ) 其中r ux k 。) 0 ，( t ，t ，) r 2 全文假定r ( o ，0 ) = ( o ，0 ，0 ) 的情况因 为r ( o ，0 ) ( o ，0 ，o ) ，只要作个平移即可过曲面s 的1 一参数曲面族芽为： & ：( r 2 r ，0 ) ( t ，口；入) 一( r 3 ，0 ) h r = r ( u ，口；a ) 其中入为族参数，u 和郇为曲面参数对任意a = 知，氏：r = r ( u ，t ，；) 为正 则曲面特别，当入= 0 时，岛：r ( u ，仃；0 ) = r ( ， ) 单参数曲面族芽是正则曲 面在原点附近的运动，因此也称风为s 的单参数形变定义2 1 1 对于 给定的单参数正则曲面族芽& ：r = r ( u ，t ，；入) ，如果向量7 ( o ，o ；a ) 位于曲 面r ( t ，t 7 ；a ) 在点( 0 ，o ；a ) 的切平面上，则称毋为s ：r = r ( t i ，t 7 ) 的单参数曲 面切族芽或单参数切形变映射ah t = t ( o ，o ；入) 是一条曲线，称为族& 的支 例曲面族芽：r = r ( u ，t ，；入) = ( 入+ u ，a + v ，u 2 + v 2 ) 是椭圆抛物面z = 护+ 2 的单参数曲面切族芽( 如图1 ) 3 硕士学位论文 图1 椭圆抛物面的单参数切形变 由此可见单参数曲面切族芽是一系列正则曲面的运动，这种运动是从一 个正则曲面变到另一个正则曲面，这样的运动会使得有一张曲面公切于 它们，我们给这样的曲面下一个定义如下： 定义2 1 2 1 1 0 l 对于给定的单参数正则曲面族& ：r ( u ，u ；入) 和对应的 曲面9 ：r ( 入，t ) = ，( u ( 入，) ，钉( a ，t ) ；) 若对s + 上的任意点r ( a ，) ，在曲面 族中都存在对应曲面& ，。与s 公切于该点，而且曲面族中的每张曲面都 与s 公切于某点，则称曲面s 为单参数曲面族& 的包络面 一般地，单参数正则曲面族风：r ( u ，t ，；a ) 的包络面r ( 入，t ) 是一张正则 曲面，对于单参数曲面切族芽& 的包络面r ( 入，) ，如果有非正则点我们给 出如下定义： 定义2 1 3 若单参数曲面切族芽& 的包络面s ：r ( 入，t ) 在某点 的j a a o b i 矩阵的秩小于2 ( 该点即为r 的奇点) ，则称9 ：r ( 入，t ) 是& 的非 几何包络面 4 曲面族芽及其非几何包络面的奇点分类 2 2 映射芽的等价关系及其切空间 记n ，勺分别表示( r n ，o ) 和( r p ，0 ) 上的光滑函数芽环e ( n ，p ) 为( 舯，0 ) _ 舯的全体光滑映射芽构成的集合( n p ) ，它是一个有限生成的e n 一模 记露= 圣：( r n , 0 ) 一( r n ，o ) 为c ”可逆芽) ，? = 皿：( r p ，0 ) _ ( r p ，o ) 为c o o 可逆芽) ，= p 曰，则是具有单位元的群，称为左右等价群设两个俨 映射芽，g ：( r n , 0 ) + ( r p ，o ) ，若存在( 皿，圣) 使得 则称，与g 是一等价的令 g = 皿一1ofo 圣 ，= 【皿一1ofo 圣i 西曰，皿p ) 它是，在群作用下的轨道 在群作用下，处的切空间定义为： 刎，) - “差，差 + ，帏) ( e 一砧， 其中e - ，e ，为向量空间r p 的标准基广为，所诱导的环同态： ，：勺_ n ，hh ，。( ) = h0 ， 定义2 2 1 设f e ( n ，p ) ，称，是一个具有有限一余维的映射芽，如 果商空间 e ( n ，p ) t e d ( f ) 是一个有限维实向量空间，且称c o d i m f = d i m a e ( n ，p ) 正( ，) 为，的一 余维数 定义2 2 2 设f ( n ，p ) ，若t e d ( f ) = ( n ，p ) ，则称，是稳定的 5 硕士学位论文 定义2 2 3 1 8 1 设，：”_ r p 为c 映射，如果z r “使得r a n k d f ( x ) p ，那么我们称z 为，的临界点，f ( x ) 为，的临界值 ，( z ) iz r n ：r a n k d f ( x ) r ) ， 以及( r 。础，o ) 和( 科瞅，o ) 上的群一水平保持的微分同胚芽圣和皿， 使得皿ogo 西= 矿只令s 一，= t ，又 f ( u ，z ) = ( 让，( ( 钍) ，z ) ) = ( t 正1 ，毗，t “+ 1 ，一，t 。，( ( u ) ，z ) ) = ( u ，u ，f ( h ( v ，u ) ，z ) ) 其中 = ( u 1 ，一，t i t ) ，u = ( u t + 1 ，u 。) 用( i ) 的证明方法可知，h 为淹没芽， 并且d h ( o ) 为r 8 阶矩阵 假设d h ( o ) 的后r 列线性无关，并令d h ( o ) = ( 耳( 。一r ) ，i - z ：x ，) 这样可以 找到矩阵 = ( 鲁观= ( 一岛川， 使得d h ( o ) - p = ( o ，耳，) ，令p = ( a ，j e i ) 则ho ( u ) = u 令 圣l ( u ，z ) = ( - p ( u ) ，z ) = ( 口，p ( t ) ，z ) ， 则 皿ogo 圣。西l = 矿fo 圣l = 0 ，p ( 牡) ，f ( h ( v ，p ( 让) ) ，z ) ) = ( t ，p ( t 上) ，( u ，z ) ) 又令皿。( u ，z ) = ( 御，q ( u ) ，) ，其中 百= ( 一主。a ：。) ，q = c _ b - t a , b - t ， 则有 皿1o 皿og0 西。西1 = ( ，u ，( u ，z ) ) = 0 ，f ( u ，z ) ) ， 即g 等价于f 的( s r ) 一参数常值开折 曲面族芽及其非几何包络面的奇点分类 又若d h ( o ) 的后r 列线性相关，那么我们可以找到可逆的初等矩阵a 使得d h ( o ) a 的后r 列线性无关，并且( h oa ) f = a h p 用上面同样的证 明方法，可知a g d 一同构于a + h + f = ( h oa ) 只即g 等价于f 的( 8 一r ) 一 参数常值开折口 定理2 3 9 1 9 1 若，一( n ，p ) 为稳定芽，则，是0 + 1 ) 一一决定的 这个定理说明了一稳定的映射芽必定是有限决定的 定义2 3 1 0 1 9 设，：r ”_ r p 为俨映射，点z r n 若微分d f ( x ) ： 舯一舻的核空间具有维数i ，则称，在点z 具有t 类奇点，且z 是，的t 类奇点集 ( ，) = z r nid i m ( k e r d f ( x ) ) = i ) 称为t h o r n 的一阶奇点集 定义2 3 1 1 o 设，：融_ r p 为c 映射，j = ( i 1 ，1 i 2 ，i 七) 为任意一 组非负整数若，( ，) = 吼讥”a 为r 中光滑子流形，则集 。1 ，2 - ，+ 1 ( ，) = + 1 ，l 2 ( ，) 由满足下列条件的点z 础组成，其中，l 7 ( ，) 在点z 的微分的核具有维 数i 七+ 1 1 3 硕士学位论文 3 稳定性和分类 3 1 主要结果 在这一节中，我们将先给出几个结果，而把它们的证明放到后面这 些结果都只是初步考虑了在一等价意义下它们会简化成一些怎样的形 式 如果记h = 苎垆表示r ( u ，t ，；o ) 在原点的平均曲率，那么我们可以得 到日与稳定的单参数曲面切族芽的奇点类型的如下关系 定理3 1 1 设单参数曲面切族芽& ：r ( “，口；a ) ，其中r ( u ，t ，；入) 磁要 ， 在入= 0 处，r ( u ，u ；0 ) 的主曲率为砀，则稳定的单参数曲面切族芽的分类 如下表： 主曲率k 1 ，忱不全为0奇点类型 等价于余维数决定阶数 日0 1 ，o ( a ，钉，t 2 + t 耖) 02 h = 0e 1 t l t 0 ( 入，u ，t 3 + t 钉) 03 h = 0e 1 1 1 o ( 入，t j ，t 4 + a t 2 + t t ，) 04 注：在文献 9 中给出了稳定映射芽，：r 3 一r 3 的分类，而定理3 1 说 明了平均曲率h = 宁与稳定的单参数曲面切族芽的奇点类型和豇决 定阶数的关系 定理3 1 2 单参数曲面切族芽风：r ( u ，u ；a ) 的非几何包络面r ( a ，t ) 是稳定映射芽当且仅当r 一等价于下列形式 ( a ，t ) h ( 入，铲) 1 4 曲面族芽及其非几何包络面的奇点分类 注：定理3 1 2 中的映射芽( 入，t ) h ( a ，她，t 2 ) 是w h i t n e y 伞这说明单 参数曲面切族芽的非几何包络面是稳定映射芽当且仅当该包络面一等 价于w h i t n e y 伞1 9 】( 如图2 ) 2w h i t n e y 纠 眵p 如果对于非几何包络面r ( a ，t ) 的任意充分小形变它都有有限余维， 那么称这样的r ( 入，t ) 具有简单奇点记矩阵e 为 ( 丽0 2 r * ( o ) ，意( 0 ) ，豢( 0 ) ) 单参数曲面切族芽的稳定非几何包络面的三矩阵在原点的秩为2 对 于r ( a ，t ) 的e 矩阵的在原点的秩为1 时，有下面的结论 定理3 1 3 若单参数曲面切族芽& ：r ( u ，u ；入) 的非几何包络面r ( 入，) 具有- 类奇点，当矩阵三= ( 备( o ) ，怒( o ) ，簪( o ) ) 的秩为1 时，r ( a ，t ) 的简 单奇点分类如下表： 奇点 d i m r e ( 2 ，3 ) 瓦( r ) 万有形变 x 士1 1 ( 入，她4 - t 2 ，5 ( 2 ) + u l t ) h 1 ( 入，t 2 ，5 ( 2 ) + u l t ) 磊一1n l ( n 3 )( 入，a t ，2 o i a t n + 1 一+ i n ：- 1 1 t i ) 1 5 硕士学位论文 这个定理只是说叽在满足一定条件下，单参数曲面切族芽的非几何 包络面的简单奇点，不管在一个怎样小的扰动下，它们的余维数是保持不 变的当然这里只考虑了三矩阵的秩为1 的情况，当三矩阵的秩为0 时的 情况的分类，我们还不知道 3 2 定理的证明 曲面切族芽& ：r ( u ，口；a ) 都一等价于下面的形式 ( 缸，口；a ) h ( a + t + 6 l ( 2 ) ，a + u + 6 5 ( 2 ) ，i j l ( k 1 铲+ 尤： 要证明3 1 1 中的结论，就要考虑映射芽的t a y l o r 展式并且在展开中我们 依然保留了曲面的曲率，以突出它们的几何意义 为了证明定理3 1 1 ，首先我们证明以下几个引理 引理3 2 1 单参数曲面切族芽r 。和也是一等价的，则t 。d ( r 1 ) 垒 t , d ( r 2 ) 证明由题设存在( 妒，) 使得r l = 砂o r 2 0 因此d r l = d e d r 2 d 西 易知d e 与d e 是可逆矩阵，则 气“瓮，鲁，万o r l ) 垡锄a 鲁，鲁，杀 下证r ：( 旎肌：) 与t ；( 饩幽：) 是同构的，首先r - o 一1 ( 仳，t ，；入) = 妒o r 2 ( t ，t j ；a ) ，而矽 的每个分量也可写为 妒i ( 札， ；a ) = 谚( t i ，口；a ) t + 妒；( u ，u ；入) t ，+ 妒? ( u ，u ；入) 入，i = 1 ，2 ，3 r 。o 。的每个分量可写为 r 1 ，t 。一1 ( t ，t j ；a ) = 妒 ( r 2 ( t | ，t j ；a ) ) r 2 ，1 ( 仳，可，a ) + 妒；( r 2 ( t ，t j ；a ) ) - r 2 ，2 ( t t ，t ，a ) + 妒? ( r 2 ( t ，u ；a ) ) r 2 ，3 ( t ，钉，a ) ， = 1 ，2 ，3 1 6 曲面族芽及其非几何包络面的奇点分类 e c r ，= 钆q a t 瓦o r ，丽o r ，妄，+ r c 以幽州g ) ，g ) ，g ) ，+ r tg ) ，g ) ，( ；) ， 引理3 2 2 设正则曲面s ：r = r ( u 1 ，铲) 在p ( u i 舻) 的主曲率k 。( p ) ，( p ) 此时，点p 处相应的两个主曲率分别为k - ( p ) = q z 。0 ) ，忱= ( 尸) ，并且 在与保向参数选取无关的单位正交右手标架 r ( p ) ；- ( p ) ，已( p ) ，n ( p ) ) 之下 硕士学位论文 记所建立的新直角坐标系之下的坐标为( 矿，可，矿) ，则 r ( t 1 + a u l ，t 2 + a u 2 ) 一r ( p ) = i 已( p ) u i + 互1 幻( r 嚣( p ) ( p ) + q 巧( p ) n ( p ) ) u + d ( ( u 1 ) 2 + ( a u 2 ) 2 ) ( i ，j = 1 ，2 ) 从而曲面s 的参数方程的分量形式为 i 矿= a u l + ，j f l i a u + d l ( ( u 1 ) 2 + ( a u 2 ) 2 ) ， y = t 2 + 互1 厶幻12 玎u + d 2 ( ( t 正1 ) 2 + ( h u 2 ) 2 ) ， ( 3 2 ) i 矿=； k l ( p ) ( t t l ) 2 + ( p ) ( u 2 ) 2 】+ 0 3 ( ( t 工1 ) 2 + ( a u 2 ) 2 ) ( i ，j = 1 ，2 ) 记a u 为t i ，定义妒( u 1 ，铲) = ( u 1 一 t ，j f i b u ，t 1 2 一；i ，j r 弓t ) ，则刀且 在新坐标系下s 的参数形式为 r 。妒( u 1 ，u 2 ) = ( u l + ) ，铲+ 如( 2 ) ，扣1 ( u 1 ) 2 + 忱( 让2 ) 2 】+ 如( 2 ) ) ， 即s d 一等价于( 3 1 ) i i ( t 正，口；a ) h ( a + u + j l ( 2 ) ，a + + 如( 2 ) ，去( k 1 u 2 + 忱 2 + a a u 2 + # a v 2 ) + d ( u 2 + u 2 ) ) ( 3 3 ) b 。r c 。，a = ( 妻三三) 曲面族芽及其非几何包络面的奇点分类 设f = bo ，o a 坐标函数为( x ( u ，口；a ) ，y ( 缸，u ；入) ，z ( 牡，u ；入) ) ，则 瓦o x 0 ) = 1 ，筹( o ) = o ，塞( o ) = o ；宝( 。) = o ，嘉( o ) = 1 ，塞( o ) = o 又令 1 ：( r 3 ，0 ) _ ( r s ，0 ) ( u ，t ，；入) h ( z ( t ，u ；入) ，箩( t ，t ) ；入) ；a ) 则d e t o l ( o ) = 1 ，且f 。f 1 ( t ，t ，；入) = ( t i ，v ；l ( u ，t ，；入) ) ，甏( o ) = 筹( o ) = 蕞( o ) = 0 为了避免繁琐这里规定r 只要在r 内均用r 表示令 屯：( r 3 ，0 ) 一( r 3 ，0 ) ( t l ，御；入) h ( t i + 入，t ，+ 入，入) ， 贝l jd e t d d 阮( o ) = 1 ，也勿，ro 赴( 让，t ，；a ) = ( 入+ t i ，入+ t ，( 入+ u ，入+ 可，入) ) 因 为r ( o ，o ；入) = ( a ，入；，( 入，a ；入) ) ，将其对a 在沁点求导有 堕芸逊k 知= ( 1 1 甏( 入a 柚+ 筹( 入a 柚+ 芸( a a 砌l k 知 = ( 1 ，1 ，木) ； 其中事表示甏( 知，知，知) + 筹( 沁，沁) + 甏( 沁，知，知) 令 妒：( r 3 ，0 ) _ ( r 3 ，0 ) ( z ，s ，z ) h ( z ，3 ，z z 甏( 知，知) 一y o 伽f ，a o ，知，知) ) ， 则d e t d 妒( o ) = 1 ，1 ；f ，2 ，当a = 沁时，妒or ( u ，u ；入) = ( + t ，知- i - t ，f ( a o + t ，知+ t ，知) 一( 知+ t 1 ) 甏( 知，知，k ) 一( 知+ u ) 誓( ，知，知) ) 这样r 一等价 于( t ，钞；知) 一( 知+ u ，知+ t ， ( 乱， ；知) ) 且有玺( o ，0 ，知) = 鬻( o ，0 ，知) = 0 ， 则有赛( o ，o ；) = ( 1 ，0 ，o ) ，赛( o ，o ；凡) = ( o ，1 ，o ) 因此让，u 成为在点( o ，0 ，知) 附 近的正交网由引理3 2 2 可知当入= 时：r ( u ，t 7 ；知) 一等价于 ( t ，钉；知) h ( 知+ 牡+ 以( 2 ) ，知+ t ，+ 如( 2 ) ，去( k 1 ( 知) t 2 + 恸( 沁) t j 2 ) + 以( 2 ) ) 1 9 硕士学位论文 随着a 在0 点附近变化，由一1 ( 入) = k 1 + q 入+ d ( a ) ，忱( 入) = 忱+ 雕+ d ( a ) ， 则& ：r ( u ，t ，；入) 一等价于 ( t ，t ，；a ) h ( 入+ t + 6 1 ( 2 ) ，a + t j + 如( 2 ) ，互1 ( 尤l 铲+ 忱v 2 + a 入c + d x u 2 ) + 。( c + v 2 ) ) 口 引理3 2 4 设单参数曲面切族芽& ：r ( u ，t ，；a ) 在一等价下具有形 式( 3 3 ) 则当k 1 + 忱0 时，歹2 r 一等价于曲面族敢u ，t ，a ) = ( 入， ，舻+ t ”) 进而有疋( j 2 7 ) = e ( 3 ，3 ) ，即j 2 ，是稳定的 证明由引理3 2 3 可知在一等价下 j 2 r ( 刚；入) = ( 入+ 牡，入+ t ，三( ，c - 舻+ 物固) ， 又k 14 - 忱0 ，不失一般设忱0 令 j 2 r = 只 妒( u ，u ；入) = ( u ，u4 - t l ，a 一心) ， 妒( z ，y ，z ) = ( z ，y z ，2 z ) ( 3 4 ) 显然( 妒，妒) ，向且妒of o 妒( u ， ；入) = ( a ，口，( t e l4 - 忱) t 正24 - 2 r 屹u v4 - t c a v 2 ) 记艿= 妒of o ，并且不失一般性令k 1 + r , a 0 ，其它情况类似如 下推理令 妒- ( u ，t ，；入) = ( 南u ，一挈t ，入) ， 妒( z ，z ) = ( z ，一斋3 ，忱y 2 _ z ) ， 则讥0 再0 也( u 川入) ：f 入，口，u 24 - t 钉) 仍记幽0 艿。幽为f 从而有 尹( 以，：) = s ”； = e 洲 e ( 3 ，3 ) = r e l ，e 2 ，e s 4 - 玩， e 1 ，e 2 ，e 3 ) 则f 的切空间可表示为 曲面族芽及其非几何包络面的奇点分类 正( 刁= 钆帕 o 笪u ， 民v ；a ( + 尹( 饩，舭) e 1 ，e 2 ，e 3 ) 卜r e l ，e 2 ，e a n 口弘 + e ” e x ，e 2 ，e 3 + r e l ，e 2 ，e 3 ) 显然e l ，e 2 ，e 3 疋( 刁= t o ( j 2 r ) ，而入e 1 ，a e 2 ，a e 3 ，u e l ，t ) e 2 ， e 3 ，t 1 2 e 3 产( 以肌z ) ， t e l = t i 巩艿u e 2 = 诚尹一 , 2 e 3 ，u e 3 = o v f e 2 ，所以t 胡( j 2 r ) = ( 3 ，3 ) 口 定理3 1 1 的证明由引理3 2 4 单参数曲面切族芽r ，当它在原点的 主曲率k 1 ，物不全为零，且k l + 忱0 时，在一等价下j z r 可写成下列形 式 令 j 2 r ( t 正，口；a ) = ( a ，t ，牡2 + t t ，) f ：( r r 2 r ，0 ) _ ( r r 3 ，0 ) ( t ，让，t j ；a ) 卜+( ，a ，口，t 正2 + 仳t ，+ 6 ( 2 ) ) ( t ，i ( t ，t ， ；a ) ) 则( 0 ，t ，t ；a ) = j 2 r ( u ，u ；入) ，f ( 1 ，u ，t ，；入) = r ( u ，御；a ) 即f 为歹2 r 的1 参数开 折，由引理3 2 4 和定理2 3 5 可知f 必一同构于歹2 r 的常值开折即存 在( r r 3 ，0 ) 上的r 一水平保持的微分同胚芽皿和圣使得 其中 皿一1of o 西= i ( r ，o ) j 2 r , 圣( t ，t l ，t ，；a ) = 皿一1 ( ，z ，y ，z ) = 2 1 ( t ，( ，t ，口；a ) ) ( t ，妒( ，z ，y ，z ) ) 象r茆瓦 1 0 0 ，il一 硕士学位论文 取t = 1 ，圣( t ，t ，u ；入) i t = 1 = ( t ，( ，u ，口；入) ) | t ：1 ，从而有( 1 ，妒1oro 1 ( u ，t j ；入) ) = ( 1 ，j 2 r ) 而 妒1 ，1 是( 1 1 3 ，0 ) 上的微分同胚芽，且妒1ot o 多1 ( u ，u ；入) = j 2 r ( u ，t i ；入) 也就 是说r ( u ，口；入) 必一等价于j 2 r 由引理3 2 1 以及引理3 2 4 知t 勰c ( r ) = 正( j 2 r ) = z ( 3 ，3 ) ，即r 是稳定的由此可知，当k 1 ，r , a 不全为0 ，且k 。+ ，c 2 0 时，单参数曲面切族芽& ：r ( u ，t ，；入) 是2 一一决定的，且容易知道它具 有- ，o 类奇点 当k 1 ，忱不全为0 ，且k 1 + r , a = 0 时，f 在与( 4 6 ) 相同的左右等价群 作用下一等价于( 入，v ，2 忱u u + 恸u 2 ) 由文献 9 】可知，若& ：r ( u ，u ；入) 具 有1 1 o 类奇点，则风：r ( u ，u ；入) 一等价于( 入，口，u 3 + u v ) 若& ：r ( u ， ；a ) 具 有1 - 1 1 t o 类奇点，则民：r ( u ，t 7 ；入) 一等价于( a ， ，4 + a u 2 + u u ) ，且它们分 别是3 一一决定的和4 一一决定的 口 为了证明定理3 1 2 ，首先我们证明以下几个引理 引理3 2 5单参数曲面切族芽艮：r ( u ， ；a ) 一等价于下列形式 ( 入+ 矗( 4 ) ， + 如( 4 ) ，如( 1 ) ) ( 3 5 ) 证明由引理3 2 3 可知单参数曲面切族芽& ：7 ( u ，u ；a ) 一等价于 1 ( t 正，t ，；入) 一( 入+ u + 5 1 ( 2 ) ，入+ t ，+ 如( 2 ) ，去( k l 铲+ 忱u 2 ) + 如( 2 ) ) 取( 4 6 ) 同样的非退化变换，& ：r ( t ，t ，；a ) 一等价于( 入+ 6 1 ( 2 ) ，v + 6 2 ( 2 ) ，如( 1 ) ) ， 作 妒：( r 3 ，0 ) 一+ ( r 3 ，0 ) ( u ，秒；a ) h ( t i ，口一厂1 ( u ， ；入) ，入一厂2 ( t ，t ，；入) ) 其中 ( 牡，u ；入) ，厶( u ，t ，；入) 为( 1 1 ( 2 ) ，而( 2 ) 中关于a ，t ，牡的3 次和4 次齐次多项 式，且妒留，则& ：r ( u ，t j ；入) 一等价于 ( 入+ 以( 4 ) ，t ，+ 如( 4 ) ，南( 1 ) ) 口 2 2 曲面族芽及其非几何包络面的奇点分类 注：由引理3 2 5 知& 的非几何包络面r ( 入，t ) 可写为( a + 6 l c 4 ) ，t j ( a ，t ) + 如( 4 ) ，如( 1 ) ) ，其中文( 七) 是关于a ，t 的k 阶以上的高阶项，并且r ( 入，) 具有e 1 类奇点，因此象( o ，o ) = 裳( o ，o ) = 0 引理3 2 6 稳定的非几何包络面r ( 入，) 一等价于( a ，t 2 ) 证明由定理2 3 9 和引理3 2 5 可知，稳定的非几何包络面r ( a ，t ) 是4 一 一决定的，且广( 入，t ) d 一等价于( a ，t ，( a ，t ) ，如( 1 ) 一如( 4 ) ) 如果7 r 2o r ( a ，) ，丌3o r ( 入，t ) 分别含有一，”项( 其中m ，s = 2 ，3 ，n ) ，作，。( z ，y ，名) = ( z ，y 一 矿，z 一矿) ，( 规定r 在一等价下仍然记为r ) 使得。o r ( a ，t ) 后，在7 r 2 0 r ( 入，t ) 和丌3o 广( 入，) 中不含项( z = 2 ，3 ，n ) 记矩阵 a = ( 攀高 a 2 铲l r 2 0 2 f * ( o ，o )a t 2 ”， 盥鬻丑，k n v , o )a t 2 ”，) - ( m 当r a n k a = 2 时，有a d b c o ，歹2 r ( 入，t ) = ( a ，a a t + b t 2 , c a t + d t 2 ) ( 不失 一般性假设口0 ，c 0 的推理类似) 作映射 妒：( r 3 ，0 ) _ ( r 3 ) 0 ) ( 训，z ) h ( “而d ：) 可+ 亡z ， c口、 b c - - - 五y + 而名) ， 且砂乡，则j 2 7 + 一等价于( 入，a t ，t 2 ) 歹2 广的切空间计算：令f ( a ，t ) = 歹2 r ( 入，t ) = ( a ，a t ，t 2 ) 则 ，( 旎朋；) e ( 2 ，3 ) = ，t = f 。i ， = r e l ，e 2 ，e 3 + 兹t e l ，e 2 ，e 3 i 显然e 1 ) e 2 ，e 3 t o d ( j 2 r 。) ，而入e l ，入e 2 ，入e 3 ，t 2 e 2 ，( 磁，：) ，t e l = a j 2 r 一 硕士学位论文 2 e , 2 ，t e 2 = 久j 2 r 一e l ，t e 3 = 巩歹2 r 一害e 2 ，则正( 歹2 r ) = e ( 2 ，3 ) 与定理3 1 1 的证明类似，当r a n k a = 2 时，r + 一等价于j 2 广( 入，) = ( 入，a t ，t 2 ) 当r a n k a = 1 时，向量( a ，6 ) 平行于( c ，d ) ，( 不失一般性假设( a ，b ) 0 ) 即, c a ，b ) = ( c ，d ) ，这时令妒( z ，耖，z ) = ( z ，y ，z p 秒) ，在一等价下丌3 叮4 r + ( a ，t ) 中不含有2 阶项为了方便记，( 入，t ) = j 4 r ( 入，t ) ，则t f ( 饩m 。) ，而丌3 0 巩，确o a ，中都是2 阶或2 阶以上的项，所以( 0 ，0 ，t ) 譬t e d f ( f ) 这与广是 稳定的矛盾同理当r a n k a = 0 时r 也不是稳定的，从而引理得证 口 由引理3 2 6 可知，稳定的非几何包络面是2 一一决定的，综上所叙 定理3 1 2 成立并且由引理3 2 5 的证明可知瓯的非几何包络面r ( 入，t ) 在 作了充分多的左右等价变换后，r ( 入，) 可写为( 入+ 矗( 七) ，t ，( 入，) + 如( 七) ，如( 1 ) ) ， 其中七可以很大 定理3 1 3 的证明由于r ( 入，t ) 具有e 1 类奇点，且矩阵三在原点 的秩为1 ，在一等价下矩阵互的秩不变由前面讨论r + ( 入，t ) 一等价 于( a + 6 1 ( 七) ，u ( 入，t ) + 如( 七) ，如( 1 ) ) ，( 其中k 可以很大) 这时在引理3 2 6 中定 义的矩阵a 的秩为1 并且假设( a ，b ) 0 ，其它情况证明类似 第一步，我们将警( o ，o ) 0 ，学( o ，o ) 0 定义为r ( a ，) 具 有虹型奇点，由前面的讨论知道这时的广( a ，t ) 一等价于( 入+ 矗( 七) ，4 - t 2 4 - 5 2 ( 2 ) ，如( 2 ) ) 经计算d i