（基础数学专业论文）多复变数bloch映照的偏差定理和典型域上的bohr定理.pdf

摘要 本文分两个主要部分z 一部分是系统地研究了单位多圆柱、单位球和 典型域上不同b l o c h 映照子族的偏差定理，进而得到了多复变数b l o c h 常 数的估计另一部分是我们采用新的观点推测了高维b o h r 定理的形状， 用新的方法建立了典型域上的b o h r 定理特别的，我们的定理在复平面 c 的单位圆盘时，其结论就是经典的b o h r 定理全文共分五章 在本文的第一章，我们简要地介绍了本文常用的一些定义和记号，以 及本文的主要结果 在第二章，我们研究了典型域砌( m ，n ) 上一类b l o c h 映照子族的偏差定 理和相应的b l o c h 常数的估计，我们的结果不仅包含了一些已有的结果， 而且也得到了一些新的结论特别的，我们推广和完善了由c h f i t z g e r a l d 教授和龚升教授，d m i n d a 教授，x l i u 等在有关b l o c h 常数问题方面的 工作 在第三章，我们研究了单位圆盘中的双曲圆盘的从属原理，利用此从 属原理我们得到了单位球和单位多圆柱上的b l o c h 映照子族的偏差定理 进而我们得到了更一般的结果，也推广和包含了一些已有的结论利用 偏差定理我们给出了映照族象域中包含最大的单叶球半径的一个下界估 计我们的结果把m b o n k ，d m i n d 和h y a m g i h a r a 关于单变量的结果推广 到了多复变数 在第四章，我们给出了单位多圆柱矿上的全纯映照的b o n k 偏差定 理，利用此偏差定理我们得到了单位多圆柱d n 上的全纯映照子族的b l o c h 常数的估计利用类似方法我们给出了d n 上的局部双全纯映照的b l o c h 常数的估计。我们的结果在单变量的情形就是a h l f o r s 相应的结论 在本文的最后一章，我们推广了单复变数中经典的b o h r 定理，我们 得到了典型域上的b o h r 定理，而且也得到了是最好的常数同时我们 提出了一个问题，对于问题的两个非常特殊的情形我们得到了解决，但 对于一般的问题目前还没有得到解决 本文多复变数b l o c h 映照的偏差定理工作的意义在于对已有结果的推 广和完善特别地，我们揭示了某些b l o c h 映照子族的联系，将许多已有 结论用统一的方法处理，丰富了多复变数的几何函数论典型域上的b o h r 定理的意义是给出了一种新的多复变数的b o h r 定理的推广，我们的结论 形式简洁优美，而且结论在单变量的情形就是经典的b o h r 定理 a b s t r a c t t h i st h e s i si sd i v i d e di n t 0t w op a r t s t h ef i r s tp a r t ws t u d yd i s t o r t i o nt h e o r e m s o fs u b c l a s s e so fb l o c hm a p p i n g sd e f i n e di nt h eu n i tp o l y d i s k ，t h eu n i tb a l la n dc l a s s i c a l d o m a i n s s y s t e m a t i c a l l y b y m a k i n g t t s e o f d i s t o r t i o n t h e o r e m s ，w e c a n o b t a i n t h e e s t i m a t e s o fb l o c hc o n s t a n t si ns e v e r a lc o m p l e xv a r i a b l e s t h er e s to ft h et h e s i sw eg i v ean e wf o r m o fb o h rt h e o r e mb yan e wi d e a n de s t a b l i s han e wm u l t i d i m e n s i o n a la n a l o g u eo fb o h r t h e o r e mo nt h ec l a s s i c a ld o m a i n sb yu s i n gan e wm e t h o d i np a r t i c u l a r ，w h e nc l a s s i c a l d o m a i n sr e d u c et ot h eu n i td i s ci nc ，o u rb o h rt h e o r e mr e d u c e st ot h a to fb o h r t h e t h e s i sc o n s i s t so ff i v ec h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ei n t r o d u c e8 0 m ed e f i n i t i o n s ，n o t a t i o n s ，a n dt h em a i nr e s u l t s o ft h i st h e s i sb r i e f l y i nc h a p t e r2 w eo b t a i nd i s t o r t i o nt h e o r e m sf o rv a r i o u ss u b f a m i l i e so fb l o c hm a p - p i n g sd e f i n e di nt h e 冗z ( m ，n ) a 8a na p p l i c a t i o no ft h e s ed i s t o r t i o nt h e o r e m s ，w eg i v e e s t i m a t e so fb l o c hc o n s t a n t sf o rt h e s es u b f a m i l i e so fh o l o m o rp _ h j cm a p p i n g s t h e s er e s u l t s e n a b l eu st oc o n t a i ns o m ek n o w nr e s u l t sa n dm s ol e a dt on e wr e s u l t s i np a r t i c u l a r ，w e e x t e n dt h ew o r ko fb l o c hc o n s t a n t ，w h i c he s t a b l i s h e db yc h 。f i t z g e r a l d ，s g o n g ，d 。 m i n d a ，x 。l i ua n do t h e r s i nc h a p t e r3 ，w eo b t a i nav e r s i o no fs u b o r d i n a t i o nl e m m af o rh y p e r b o l i cd i s kr e l a t i v e t oh y p e r b o l i cg e o m e t r yo nt h eu n i td i s k t h i ss u b o r d i n a t i o nl e m m ay i e l d sd i s t o r t i o n t h e o r e m sf o rb l o c hm a p p i n g so nt h eu n i tb a l la n dt h eu n i tp o l y d i s k h e r ew ee s t a b l i s h t h ed i s t o r t i o nt h e o r e mf r o mau n i f i e dp e r s p e c t i v ea n dg e o e r a l i s es e l t mk n o w nr e s u l t s t h i s d i s t o r t i o n t h e o r e m e n a b l e s u s t o o b t a i n a l o w e r b o u n d e s t i m a t e f o r t h er a d i n s o f t h e l a r g e s t u n i v a l e n t b a l l i n t h e i m a g e w e e x t e n d t h e r e s u l t so f m b o n k 。d m i n d a n d h y a n a g i h a m t os e v e r a lc o m p l e xv a r i a b l e s i nc h a p t e r4 ，w eg i v ean e wg e n e r a l i z a t i o no fb o n kd i s t o r t i o nt h e o r e mt ot h eu n i t p o l y d i s kd ”b ym a k i n gu o f t h i sd i s t o r t i o nt h e o r e m w ee s t a b l i s ht h ee s t i m a t e so fb l o c h c o n s t a n t so fs o m es u b f a m i l i e so fb l o c hm a p p i n g sd e 丘n e di nd n i nas i m i l a rm e t h o d w e o b t a i nt h el o w e re s t i m a t eo f t h eb l o c hc o n s t a n to fl o c a l l yb i h o l o m o r p h i cm a p p i n g sd e f i n e d i nd “，w h e n 佗= 1 o u rr e s u l tr e d u 嘲t ot h a to fa h l f o r s i nt h el a s tc h a p t e r w eg i v ean e w g e n e r a l i z a t i o no fb o h r st h e o r e mi nh i g h e rd i m e n - m s i o n s w ee s t a b l i s ht h eb o h rt h e o r e mi nt h ec l a s s i c a ld o m a i n s m o r e o v e r ，w eo b t a i nt h e c o n s t a n t i sa l s ot h eb e s tp o s s i b l e i np a r t i c u l a r ，w ep r o p o e e o p e np r o b l e m w ea n s w e r t h ep r o b l e mi nt w os p e c i a lc a s e s h o w e v e r ，t h eg e n e r a lp r o b l e mh a sn o tb e e ns o l v e d t h e s i g n i f i c a n c e o f d i s t o r t i o n t h e o r e m s o f s u b c l a s s e s o f b l o c h m a p p i n g s l i e s i ne x t e n d - i n g8 0 l n ek n o w nr e s u l t s i np a r t i c u l a r 。w er e v e a lt h ei m p o r t a n tr e l a t i o n s t h es u b c l a s s e s o fb l o c hm a p p i n g sa n du n i f ya l lt h er e l a t e dr e s u l t s ，w h i c hm a k et h eg e o m e t r i cf u n c t i o n t h e o r ym u c hr i c h e r t h es i g n i f i c a n c eo fb o h r 8t h e o r e mi nh i g h e rd i m e n s i o n se s t a b l i s h e s t h ec l a s s i c a lb o h rt h e o r e mf r o mo n ev a r i a b l ec a s et oh o l o m o r p h i cm a p p i n g sb e t w e e nc l a s s i - c a l d o m a i n s t h er e s u l ti sv e r yi n t e r e s t i n ga n db e a u t i f u l i np a r t i c u l a ro u rr e s u l tc o i n c i d e s w l t hb o b x st h e o r e m 缸o n ec o m p l e xv a r i a b l e 中国科学技术大学学位学位论文相关声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究 工作所取得的成果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中 不包含任何他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的 同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了明确的说明。 本人授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用权， 即：学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和电子版，允许论文被查阅或借阅，可以将学位论文编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、 汇编学位论文。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 作者签名：兰 边协 ；：_ ( ，( 耸_ 刃月十久日 引言 单复变函数理论的基础是1 9 世纪由三位杰出的数学家c a u c h y , w e i e r - s t r a s s 和r i e m a n n 奠定的，至今已有一百多年的历史，它是- - f - j 相当成熟 的学科，在数学和自然科学的各个领域中都有十分重要的作用单复变 数的几何函数论作为它的一个重要分支，有着极其优美的结果和丰富的 内容，在复变函数理论的发展过程中起着举足轻重的作用在二十世纪， 尤其是上半叶，许多著名的数学家都为此作了重要的贡献目前已有大 量著作叙述这方面的工作，例如【d u r l 】、【g o l l l ， p o m l 】、【c o n l 】等 多复变理论源于单复变，如何将单复变数几何函数论中许多优美的 结果推广到多复变空间中，这是一个很自然的问题t j s u f f r i d g e 曾做 过一些基础性的工作，但突破性的进展是龚升教授和c h f i t z g e r a l d 教 授等在1 9 8 8 年取得的其后，一批国内外学者，例如王世坤，余其煌， 郑学安，刘太顺，i g r a h a m ，g k o h r ，m k o h r 等，在龚升教授的带领 下，对多复变数几何函数论进行了十分系统和深入的研究，得到了一系 列十分重要的成果随着多复变数几何函数论这十几年的逐步发展，龚 升教授连续多次将一些主要成果整理成专著多次出版，现在这些著作已 经成为该领域的基本文献详细内容可参见 g o n g l l 、【g o n 9 2 、 g o n 9 3 1 、 i g o n 9 4 】、 g o n g - y u - z h e n g l j 等 多复变数几何函数论是多复分析的重要分支，他的理论日趋完善和 丰富，但仍有很多重要和有趣的问题有待解决例如本文所研究的多复 变数b l o c h 常数和b o h r 定理就是两个非常重要和有趣的研究对象 在单复变数中，b l o e h 常数是古典几何函数论中的一个十分重要的问 题，b l o c h 常数b 的精确值至今尚未解决目前知道的b 上界由a h | f o r s 和g r u n s k y a h l - g m l l 给出 口群x 1 = o a ，拇一， + 3 r ( ；) 他们还猜测这是b 的精确数 1 9 3 8 年，a h l f o r sf a h l l 】开创了微分一几何的方法( d i f f e r e n t i a l - g e o m e t r i c 引言 m e t h o d ) ，现在称之为a h l f o r s 引理，或超双曲度量( u l t r a h y p e r b o l i cm e t r i c ) 作 为这个方法的一个应用，他证明了b 孕此后h e i r s 【h e l l 】在1 9 6 2 年推 广了超双曲度量的概念，他证明了a h l f o r s 的b l o c h 常数下界估计b 华 中的等号可以去掉，即b 乎详细的内容可参见【g o n g - y u - z h e n 9 1 由于多复变理论和单复变数理论有很多本质的区别，比如r i e m a n n 映 照定理在多复变情形时就不再成立；再如多复变中的h a r t o g s 现象，在单 复变中就不会发生；还有很多其他形式的本质区别故把单复变几何函数 论中很多优美的结果推广到多复变数空间的过程中，出现了许多困难， 同时也产生了很多新的问题本文第一部分讨论的多复变数的b l o c h 常 数就是其中十分重要的一个问题 而将单复变数b l o c h 常数的问题简单的推广到多复变数的全纯映照 中，已有很多反例说明其不成立第一个明确给出反例的是伍鸿熙【w u l 在文中他给出了反例为： 取c 2 的单位球铲= z = ( z l ，恐) ：l z l l 2 + 2 0 的球，即b l o c h 常数是存在的 之后，1 9 5 1 年，t a k a h a s h i t a k l j 将限制条件t r ( j a z ) j i i z ) ) k ld e tj ( z ) l 2 进一步减弱为m a x ；p j 扣( 以( 2 ) 以k ) ，) k m a x ；孑9 l d e t 9 c z ) l ，其中0 警+ 2 1 0 1 9 9 2 年，刘向阳在文【l i u l l 中给出了p 中的单位球伊上的b l o c h 映照 的定义，他在此文中给出了单位球上的b l o e h 映照子族的b o n k 偏差定理， 进而给出了一些b l o c h 映照子族的b l o c h 常数估计之后，c h f i t z g e r a l d 教授和龚升教授进一步用分析的方法把刘向阳在单位球上的结果推广到 了典型域上随后，龚升教授和他的学生严志敏应用李代数的方法系统 的讨论了不可约有界对称域上全纯映照的b l o c h 常数，得到了十分一般 3 引言 的结果 在单变量的情形，刘向阳和d m i n d a 在文【l i u - m i n l 】中讨论了单位圆 盘上至少具有住重零点的b l o c h 函数族的b l o c h 常数的估计，推广和完 善了a h l f o r s 关于b l o c h 常数估计的工作在上述基础上，我们的工作把 刘向阳和d m i n d a 在文【l i u - m i u l l 中关于单位圆盘上的结果进一步推广 到了多复变数的单位球上而且，应用龚升教授和c h f i t z g e r a l d 教授 在【f i t g o n 9 1 中所创立的方法我们讨论了典型域上的b l o c h 映照子族的 b l o c h 常数的估计丰富了多复变数几何函数论中的b l o c h 常数问题的工 作 在龚升教授和c h f i t z g e r a l d 等教授的带领下，对多复变数几何函 数论进行了系统深入的研究，得到了一系列重要的成果b l o c h 常数问 题就是其中的一个很重要的组成部分中外许多学者在b l o e h 常数这个 问题上都进行了很深入广泛的研究，使得这个方向日益活跃起来，成果 也增加了很多例如m b o n k ，d m i n d a 等教授在b l o c h 常数的估计上 作出了很多十分重要开创性的工作，详细的内容可见 b o n l 】、，【b o n 2 ， f i t - g o n g l 】、【f i t g o n 9 2 l 、【g o n g - y a n l l 、 g o u g - y u - z h e n g l 】、f b o n - c h e l l 、 f g a i n c h e n l 】f c h e n g a u l 】、【m i n l l 、【m i n 2 】等现在这些文献都已成为 该领域的重要文献 在单复变中，r i e m a n n 定理断言，凡边界多于一点的单连通域必与 单位圆盘全纯等价，因此单位圆盘在单复变中是具有代表性的域，但在 多复变中此定理不再成立，故在多复变中所要研究的定义域是极其丰富 的，如c ，i 中的欧氏单位球、单位多圆柱，四类典型域、不可约有界对称 域等等因此在多复变数中，讨论不同定义域上的b l o c h 常数的估计是很 有必要的，在理论上也具有重要的意义 在单复变中，l a n d a u l a n l 】定理告诉我们，要讨论e 中单位圆盘d 上的b l o c h 常数b 时，只需考虑单位圆盘上的正规化的b l o c h 函数子族 n ( d ) 即可历( d ) 的定义为z 岛( d ) = ( ，卢：l i i 1 8 = 1 ，f ( 0 ) = o ，( o ) = 1 其中f 卢当且仅当i i f l l 日= s u p ( ( 1 一l z l 2 ) i ，( z ) i ：z d b l o c h 函数族 p 是单复变数函数论中非常重要的一个全纯函数族，已有很多的文献讨 4 2 0 0 7 年中田科学技术大学博士论文 论这个函数族，例如文献 a n d - c l u - p o m l 】、 p o m 2 】、f r e i l 】等等 对多复变数的全纯映照，是否也可以作类似的考虑呢? c h f i t z g e r a l d 教授和龚升教授在文l f i t g o n 9 1 1 中建立了多变量的l a n d a u 定理，并且在 此文中他们得到了第一类典型域7 k ( m ，m 上的b l o c h 映照子族触的b l o c h 常数的估计之后，c h f i t z g e r a l d 教授和龚升教授在文【f i t _ g o n 9 2 】中 又得到了第一类典型域7 k ( m ，佗) 上的局部双全纯b l o c h 映照子族触o 的 b l o c h 常数的估计从而推广了刘向阳【l i u l 】在p 中单位球伊的所有结 果而且，龚升教授和他的学生严志敏用李代数的观点讨论了一般的不 可约有界对称域上的全纯映照的b l o c h 常数的估计，得到了十分一般的结 果因而对多复变数b l o c h 常数估计的研究作了更系统和深化的研究详 细内容参看f g o n g - y u - z h e n 9 1 本文典型域上的b l o c h 常数的工作正是建立在以上工作基础之上的， 我们的处理方法来自龚升教授和c h f i t z g e r a l d 教授所创立的方法我 们的结果统一处理了第一类典型域7 k ( m ，n ) 上的不同b l o c h 映照子族的 b l o c h 常数的估计，特别的，我们的结果再次得到了文【f i t - g o n 9 2 】中关于 局部双全纯b l o c h 映照子族的b l o c h 常数的估计 在第二章中，我们将通过引入全纯映照族风( 砌( 仇。礼) ) ，应用c h ， f i t z g e r a l d 教授和龚升教授所建立的方法统一处理了第一类典型域7 已z ( m ，n ) 上的b l o c h 映照子族反( 7 k ， 种的b l o c h 常数的估计特别的，当m = 1 ，n = 1 时，7 k ( 1 ，1 ) 成为了c 中的单位圆盘，此时我们的结果回到了文 l i u - m i n l 】 中的结果。因而我们把刘向阳和d m i n d a l i u - m i n l 】在单变量中至少具有几 重零点的b l o c h 常数的估计推广到多复变数中当= 1 ，我们的结果就是 文【f i t - g o n g l l 中的结果当一。o 时，我们的结果就回到了【f i t g o n 9 2 l 中 的结果因此我们补全了从七一1 和一o o 之间的第一类典型域7 已z ( m ，哟 上的不同b l o c h 映照子族b l o c h 常数估计的结果在理论上不仅看到了不 同的b l o c h 映照子族之间的联系，而且也使7 k ( m ，妨上的不同全纯映照子 族b l o c h 常数的估计趋子完整进而丰富了多复变数几何函数论中b l o c h 常数的工作 在几何函数论中，全纯映照子族的偏差定理是我们研究的一项十分 重要内容自从m b o n k 用分析的方法改进了a h l f o r sf a h l l 】中关于b l o c h 5 引言 常数下界孕以来，人们发现只要能建立全纯映照子族的偏差定理，我们 就能得到比b l o c h 常数估计更一般的常数的估计，即象域中包含最大的 单叶球半径的估计当0 n 1 时，m b o n k ，d m i n d a 和h ，y a n g i h a r a 在文f b o n m i n y a n l 】中利用从属原理研究了单位圆盘上b l o c h 函数子族 1 3 1 ( ) = ，口：1 1 1 1 口= 1 ，f ( o ) = 0 ，( 0 ) = o 的偏差定理，进而得到了象 域中包含最大的单叶圆盘半径的一个下界估计之后，i g r a h a m 和d m i n d a 在文 g r a - m i n l 】中进一步研究了单位圆盘上至少具有n 重零点的 b l o e h 函数子族的偏差定理，进而得到了象域中包含最大的单叶圆盘半径 的一个下界估计完善了文【b o n - m i n - y a n l 】中的工作 在多复变数的全纯映照，我们也可以做同样的考虑我们也利用由m ， b o n k ，d m i n d a 和h y a n g i h a r a 开创的从属原理的方法讨论了单位球上的 b l o c h 映照子族的偏差定理，进而得到了象域中包含最大的单叶球半径的 一个下界估计我们的结果包含了刘向阳 l i u l 】和m b o n k ，d m i n d a 和 h y a n g i h a r a 在文【b o n - m i n y a n l 】和文 b o n m i n - y a n 2 j 中相应的偏差定理， 而且我们还可以用同样的方法处理单位多圆柱上的b i o c h 映照子族的偏 差定理所有这些结果我们将在本文的第三章中详细讨论 在第四章，我们首先给出了单位多圆柱伊上的b l o c h 映照子族的b o n k 偏差定理，进而得到了相应的b l o c h 常数估计然后讨论单位多圆柱d ，i 上的局部双全纯b l o e h 映照子族的b l o c h 常数估计而且，我们利用第二 章类似的方法统一得到了单位多圆柱伊上不同b l o c h 映照子族的偏差定 理，从而完善了单位多圆柱伊上的不同b l o c h 映照子族的b l o c h 常数的 估计特别的，我们的结果把单变量的结果推广到了多复变中的单位多 圆柱d n 上，丰富了多复变数b l o c h 常数问题的工作 在单复变中，h b o h r 在文f b o h l 】中得到了如下经典的b o h r 定理； 若，是单位圆盘dcc 到d 的全纯函数且有t a y l o r 展开式为 1 。脚 纠 。 = h m 。脚 式等不有d q受 2 0 0 7 年中国科学技术大学博士论文 对所有m j 1 都成立而且称；是b o h r 半径 这个定理被应用到数论中并与d i r i c h l e t 级数有关h b o h r 最早得到 的是对所有的 成立之后不久l 。l 就被改进到 ，而且证 明了；是最好的常数这个最好的结果分别由数学家m m 睨，i s c h u r 和 n w i e n e r 等独立给出较新的证明由t o m i c 【t l m l l 和s i d o ni b i d l 】分别独 立给出 近来，这一经典b o h r 定理被推广到了多复变数中，可参看文献l a i z e n b e r g 【a i z l l ，l a i z e n b e r g ，a a y t u n a 和p d j a k o vi a i z - a 弦d j a l 】，h p b o a s 和d k h a v i n s o n b o a - k h a l ，h p b o a s b o a l ，a d e f a n t ，d g a r c i a 和m m a e s t r e d e f - g a r - m a e l ，s d i a e e u 和r m t i m o u e y d i n - t i m l i ，s d i n e e n 和r m t i m o n e yf d i n - t i m 2 他们讨论了多复变数的全纯函数，利用幂级数的 方法得到了高维的b o h r 定理特别的，给出了定义在r e i n h a r d t 域b 露上 且模小于1 的全纯函数的b o h r 半径k ( 丑蠢) 的估计，具体结果如下( 可见 b o a l ) ： 壶南鲥) 3 ( 警) l - ，l ， 2 ， ；击( ) 2 l o g n ，2 s p + 其中日露= d 伊：i i z l l p = ( l 钆1 9 ) 1 ) ，k ( b e ) 一s u p r , 上确界s u p 取遍 0 r 1 使得如果当2 日蠢时满足l c a z 。i 0 ”表示正定 在本文中，我们有时也用冗，表示砌( m ，n ) 定义1 1 2c “为所有n n 矩阵的全体，称冗口( 他) = z 。n ：z i = z ，厶一z 牙， 0 为第二类典型域，其中n 1 ，” o 表示正定 定义1 1 3c “”为所有nxt l 矩阵的全体，称r 册( n ) = z 妒。n ： = 互厶一z 矛 o 为第三类典型域，其中n 2 ，” 0 ”表示正定 定义1 1 4 称冗( n ) = z c - ：i z 2 ，l 0 ) 为第 四类典型域，其中n 1 定义1 1 5 ，定义1 1 6 和定义1 1 7 可参见【k r a l 】和i s h i t l 定义1 1 5 设q 是c ，i 中的域若对任意：f l ，0 r ，有e 阳z q ，则 称域n 是圆型域 1 0 2 0 0 7 年中田科学技术大学博士论文 定义1 1 6 设n 是c ，l 中的域若对任意的z = ( z 1 i ，) 7 o 和 口l ，如r ，都有( e 坩1 2 l ，n ) q ，则称q 为r e i n h a 肫l t 集 定义1 1 7 设q 是p 中的域若对任意的毛t t j q 和0 r 1 ，都有 r = + ( 1 一r ) w e n ，则称q 为凸集 下面的定义1 1 8 和命题1 1 1 由刘太顺教授在文 l t s l l 中给出 定义1 1 8 若z c ”“，则令m ( z ) 一m a x l a z i ：a 加”) ；若z = z i ， 则令a n ( z ) = m a x i nz l ：o a 伊) ；若z = 一z ，则令p m ( z ) = m a x l o z l ：o a 伊，；若z c ”，更, 1 4 - p ( 刁= 、j 别2 + 卅团f 可牙牙币 命题1 1 1m ( z ) ，阳( z ) ，p 册( z ) ，p ( z ) 分别是7 已1 ( m ，竹) ，冗盯( n ) ，冗珊( n ) ， 冗( n ) 的m i n k o w s k i 泛函，从而冗k = z ：以( z ) ( 1 - 1 1 w l l 扩以一e x p 等喾 对于所有的i i w i i m 帚干编都成立 特别的当m = n = 1 时，7 ( 1 ，1 ) 就是c 中的单位圆盘d 此时以上 推论就是x l i u 和d m i n d a 在文i l i u - m i n l 】中的结果 定理2 2 2 若f 仇( 7 k ，m ) ，d ( f ) = 1 ，则映照族凤( 7 k ，m ) 的b l o c h 常 数鼠( 7 珏，m ) 的估计满足如下不等式t 彬一一咿一一z 一竿等出 当k o 。时，我们重新得到了局部双全纯b l o e h 映照族届恤( 他。m ) 的 b l o c h 常数的估计，此估计属于【f i t - g o n 9 2 作为完整性，在此文中我们以 推论的形式再次给出此重要的结果 推论2 2 3 若f 岛。( 砌，m ) ，d ( f ) = 1 ，则映照族屈。( 勉，m ) 的b l o e h 常数b l 。( 7 ，m ) 有如下的估计； 矿“班啪，f ! 冽一z 1 等善唧 等掣舄 定理3 2 1 若，日( 伊) ，l i f l l o = 1 且d e t ( f ( 0 ) ) = o ( 0 ，1 1 ，则有 2 0 0 7 年 中国科学技术大学博士论文 ( a ) id e t ( f ( 圳独d e t ( 几) ) _ 翁咎揣护 对所有的i z l 告鼎都成立，其中m ( 口) 是方程 t ( 卜t 2 j + 。i 。丽n + 2 ) 孚而砸= a 在区间【o ，矗囊1 上的唯一实根而且上式不等式是最好的，不能再得到改 进了 ( b ) idet(删ft篇,ot i 口i 【i 十m ll l z | j 对所有i z l 专删都成立而且上式不等式是最好的，不能再得到改 进了 当n = 1 时，定理3 2 1 回到了文 b o n - m i n - y a n 2 中的结果 定理3 2 2 如果f 日( 伊) ，l i 州日k ，l i f l l o = 1 且d e t f ( o ) = a ( 0 ，l l ， 则，的象域中包含以( o ) 为中心的最大单叶球半径有如下的一个估计， 们猁“赢厂号掣戤 其中m ( a ) 是方程 ，f ( 1 。) 孚( 糍) 华俑= 口 在区间【0 ，爿辑l 上的唯一正根 当n = 1 时，定理3 2 2 回到了文 b o n - m i n - y a n 2 l 中的结果 利用类似的方法，我c f l ；t 以得到单位多圆柱d ”中的偏差定理和相应 的象域中包含最大单叶球半径的估计在定理3 2 3 和定理3 2 4 中，i 定义为：l i z l i - m a x 恢l ：1 l n 定理3 2 3 若f 日( 。) ，l i t l t o = 1 且d e t ( i ( o ) ) = a ( 0 ，i i ，则有 ( 8 ) | d e t ( 删抡t ( ，( 圳_ 瓣咎慕器舞严 第一章内容概要 对所有l l z l l 镑删都成立，其中m ( 口) 是方程 ( 1 - t 2 ) n ( 荨r 佤可= d 在区间【o ，南】上的唯一实根而且上式不等式是最好的，不能再得到 改进了 f b l “ | d e t ( ，胚_ 瓣等器 m i 口j i l 十7 ，h a l z | | j 对所有i l z l l 弓鬟雾黯都成立而且上式不等式是最好的，不能再得到 改进了 定理3 2 4 如果f h c d “) ，i i f l l 且k ，i i f l l o = 1 且d e t f ( o ) = 口( 0 ，1 j ： 则，的象域中包含以，( o ) 为中心自最大单叶球半径有如下的一个估计： 们捌1 南厂气群疵， 其中m ( 口) 是方程 t ( 1 一州掣r 俪可= 口 在区间【0 ，7 南1 上的唯一正根 定理3 3 1 若f 局。( 伊) ，i i i i o = 1 ，d e t ，( o ) = o ( o ，1 】，则有 ( 1 ) 对任意的z 扩，有 id e t j r k 抡f 赫唧( ( - 侧口) ) 寺掣) ( 2 ) 当盟2 + r e ( a ) 时， ia e tf ( z ) l _ _ a k l - n f o 。1 等等哪 ( ，+ m ( 嘞再- 2 n t 础 其中m ( a ) 是方程e “( 1 + t p = n 在f 0 ，+ o o ) 上的唯一的根 定理4 2 1 若，h ( d n ) ， i f l l o = 1 ，d e t ( f ( 0 ) ) = 1 ，则 l a e 盯心川独酬八枷青兹挚 对所有的l l z l l 孵成立而且，以上不等式不能再被改进了 定理4 2 2 若，岛。( d n ) ，i i i i o 一1 且d e t ( f ( o ) ) = 1 ，则 id e t 俐1 - | | z i