第五节 经济学中常用函数.doc

经济数学-微积分教案第五节 经济学中常用函数教学目的：了解经济中常用函数的概念。结合经济现象理解需求函数、供给函数、成本函数、收入函数、利润函数的概念.教学重点：结合经济现象理解需求函数、供给函数、成本函数、收入函数、利润函数的概念.教学难点：经济现象的理解.教学内容：一需求函数与价格函数一种商品的需求量与该种商品的价格密切相关，如果不考虑其它因素的影响，则商品的需求量可看作价格的函数。称为需求函数，记作。评注: （1）一般地，当商品的价格增加时，商品的需求量将会减少，因此，需求函数是价格的减少函数。如图（2）在企业管理和经济中常见的需求函数有线性需求函数： ，其中均为常数；二次需求函数： ，其中均为常数；指数需求函数： ，其中均为常数；幂函数需求函数：，其中均为常数。二、供给函数“供给量”是在一定价格水平下，生产者愿意出售并且有可供出售的商品量，如果不考虑价格以外的其它因素，则商品的供给量是价格的函数，记作。评注:（1）一般地，供给量随价格的上升而增大，因此，供给函数是价格的单调增加函数。（2）常见的供给函数有线性函数，二次函数，幂函数，指数函数等。（3）如果市场上某种商品的需求量与供求量相等，则该商品市场处于平衡状态，这时的商品价格就是供、需平衡的价格，叫做均衡价格。就是均衡数量。例1 :已知某商品的供给函数是，需求函数是，试求该商品处于市场平衡状态下的均衡价格和均衡数量。解: 令，解方程组 得均衡价格，均衡数量。说明 供给函数与需求函数的图象交点的横坐标就是市场均衡价格。高于这个价格，供大于求；低于这个价格，求大于供。三、总成本函数总成本是工厂生产一种产品所需费用的总和，它通常分为固定成本和变动成本两部分，固定成本指不受产量变化影响的成本，如厂房，机器设备的费用等，常用表示。可变成本指随产量变化而发生变化的成本，如原材料费，工人工资，包装费等，常用表示，它是产量的函数，即。 生产个单位某种产品时的可变成本与固定成本之和，成为总成本函数，记作，即。评注:（1）总成本函数是产量的单调增加函数。（2）常见的成本函数有线性函数、二次函数、三次函数等。（3）要评价企业的生产状况，还需要计算产品的平均成本，即生产个单位产品时，单位产品的成本，记做，即 ，其中称为平均可变成本。例2: 生产某种商品的总成本（单位：元）是，求生产50件这种商品的总成本和平均成本。解: 生产50件这种商品的总成本为 （元）；平均成本为（元 / 件） 。四、收益 (收入)函数与利润函数1收益函数收益是指销售某种商品所获得的收益，又可分为总收益和平均收益。总收益是销售者售出一定数量商品所得的全部收益，常用表示。平均收益是售出一定数量的商品时，平均每售出一个单位商品的收益，也就是销售一定数量商品时的单位商品的销售价格。常用表示。总收益和平均收益都是售出商品数量的函数。设为商品价格，为商品的销售量，则有 ， ，其中是商品的价格函数。例3 :设某商品的价格函数是，试求该商品的收入函数，并求出10件商品时的总收入和平均收入。解 : 收入函数为 ；平均收入为 ；销售10件商品时的总收入和平均收入分别为 ，。2利润函数总利润指生产一定数量的产品的总收入与总成本之差，记做，即，其中是产品数量。平均利润记做。例4:已知生产某种商品件时的总成本（单位：万元）为如果该商品的销售单价为9万元，试求：（1） 该商品的利润函数；（2） 生产10件该商品时的总利润和平均利润；（3） 生产30件该商品时的总利润。解:（1）该商品的收入函数为 ， 得到利润函数为（2）生产10件该商品时的总利润为 （万元），此时的平均利润为 （万元 / 件） （3）生产30件该商品时的总利润为 （万元） 评注: 一般地，收入随着销售量的增加而增加，但利润并不总是随销售量的增加而增加。它可出现三种情况（1） 如果，则生产处于盈利状态；（2） 如果，则生产处于亏损状态；（3） 如果=0，则生产处于保本状态。此时的产量称为无盈亏点。例5: 已知某商品的成本函数为，若销售单价定为11元 / 件，试求： （1）该商品经营活动的无盈亏点；（2）若每天销售10件该商品，为了不亏本，销售单价应定为多少才合适？解 : （1）利润函数=由，即 =0，解得两个无盈亏点和；由可看出，当或时，都有，生产经营是亏损的；当时，生产经营是盈利的，因此，件和件分别是盈利的最低产量和最高产量。（2）设定价为元 / 件，则利润函数，为使生产经营不亏本，须有，即， 得。所以，为了不亏本，销售单价应不低于元 / 件。练习； 某产品的成本