（计算数学专业论文）广义kdv方程的legendrepetrovgalerkin+chebyshev配置方法.pdf

摘要 k o r t e w e g - d e 肇( k d v ) 方程是人们在研究一些物理问题时得到的非线 性方程，谱方法为数值求解此方程提供了一个强有力的工具对于非线性问 题，采用配置方法计算方便。但是基于常用的g a u s s - l o b a t t o 点的谱配置方法 逼近k d v 方程可能是不稳定的本文对具有非周期边界条件的k d v 方程构造 了l e g e n d r e - p e t r o v - g a l e r k i nc h e b y s h e v 配置方法 为了构造有效的算法，必须合理的处理高阶导数和非线性项因此我们在 空问方向上采用l e g e n d r e - p e t r o v - g a l e r k i n 谱方法，来减少高阶导数项带来的误 差，并且有较好的稳定性；但在逼近非线性项时采用在c h e b y s h e v - g a u s s - l o b a t t o 点的插值算子进行计算，这样我们在计算时可以利用快速变换最后。我们对 于半离散形式和c r a n k - n i c o l s o n 全离散形式分别给出了方法的稳定性和收敛 性分析，获得了关子驴一范敖意义的最优误差估计 实际计算得到的敷值结果也证实了我们的结论 关键词k o r t e w e g - d ev r i e s 方程。l e g e n d r e - p e t r o v - g a l e r k i nc h e b y s h e v 配 置方法，c h e b y s h e v - g a u s s - l o b a t t o 点，c r a n k - n i c o l s o n 全离散格式 a b s t r a c t t h e k o r t e w e g - d ev r i e sf k d v ) e q u a t i o ni san o n l i n e a re q u a t i o na r i s m gi nt h e s t u d yo fan u m b e ro fp h y s i c a lp r o b l e m s t h es p e c t r a lm e t h o dp r o v i d e sap o w e r f u l t e c h n i q u ef o rt h en u m e n c b is o l u t i o n so fs u c hp r o b l e m s t h ec o l l o c a t i o nm e t h o d i se f f i c i e n tf o rt h en o n l i n e a r p r o b l e m ，b u ti t w a sp o i n t e do u tt h a tt h ec l a s s i c a l s p e c t r a lc o l l o c a t i o nm e t h o d sb a s e do nt h eg a n s s - l o b a t t op o i n t sa r eu n s t a b l ef o r t h ee q u a t i o n i nt h i sp a p e r ，w ea n a l y z et h el e g e n d r e - p e t r o v - g a l e r k i nc h e b y s h e v c o l l o c a t i o nm e t h o df o rt h eg e n e r a l i z e dk d v e q u a t i o nw i t hn o n p e r i o d i cb o u n d a r y c o n d i t i o n s i no r d e rt oc o n s t r u c ta ne f f i c i e n ts c h e m e w eh a v et od e a lw i t ht h eh i g h - o r d e r d e r i v a t i v ea n dt h en o n l i n e a rt e r ms u i t a b l y f o rt h ed i s c r e t i z a t i o ni n s p a c e ，t h e s c h e m ei sb a s i c a l l yf o r m u l a t e di nt h el e g e n d r e - p e t r o v - g a l e r k i ns p e c t r a lm e t h o d i no r d e rt or e d u c et h ee r r o ra r i s i n gf t o mt h eh i g h - o r d e rd e r i v a t i v ea n do b t a i nt h e b e t t e rs t a b i l i t y ；b u tt h en o n l i n e a rt e r mi sc o m p u t e db yt h ec h e b y s h e vc o l l o c a t i o n m e t h o da tt h e c h e b y s h e v - g a n s s - l o b a t t op o i n t s ，w h i c hc a nb e d o n ew i t ht h eh e l po f t h ef a s tl e g e n d r et r a n s f o r m a t i o n f i n a l l y , w ep r o v et h es t a b i l i t ya n d c o n v e r g e n c e o ft h em e t h o da n do b t a i nt h eo p t i m a le r r o re s t i m a t e si n 口一n o r mf o rb o t ht h e s e m i d i s c r e t ea n dc r a n k - n i c o l s o nf u l l yd i s c r e t es c h e m e n u m e r i c a le x p e r i m e n t sa r es i v e nt oc o n f i r mt h et h e o r e t i c a lr e s u l t k e yw o r d sk o r t e w e g - d ev r i e se q u a t i o n ，l e g e n d r e - p e t r o v - g a l e r l d n c h e b y s h e vc o l l o c a t i o nm e t h o d ，c h e b y s h e v - g a u s s - l o b a t t op o i n t s ，c r a n k - n i c o l s o n f u n yd i s c r e t es c h e m e 上海大学 r 本论文经答辩委员会全体委员审查，确认符合上海大学硕 士学位论文质量要求。 答辩委员会签名： 主任： 委员： 导师： 答辩日期： 缘| ；l 鸭 燃 许萝土 坞 l ( 工作单位职称) 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下进行的研究 工作。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已发表或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志对本 研究所作的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢 意。 签名：日期： 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留论文及送交论文复印件，允许被查阅和借阅；学校 可以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密之后应遵守此规定) 签名：导师签名：日期： 第一章引言 1 1 k d v 方程简介 孤子的发现可以追溯到1 8 3 4 年。英国科学束s c o t t r u s s e l 4 5 】偶然观察到 一种奇妙的水渡他观察到，在狭窄的河床中行走的船突然停下时，被船体带 动的水团集聚在船头周围并剧烈的翻动着。不久，一个滚圆光滑且轮廓分明 的巨大孤立波峰开始形成，并急速离开船头向前运动波长约十公尺，高约半 公尺，在行进中波的形状和速度并无明显变化。以后高度逐渐下降在两至 三公里后，它终于消失在蜿蜒的河道上这种现象促使r u s s e l 开始广泛的水波 实验研究他认为这类放应是流体运动的一个稳定解，并称之为孤淡但他始 终没有能给出令人信服的论断，没有从流体动力方程中推得孤波的存在性结 果r u s s e l 向英国皇家科学院提交的报告引起当时物理学界的激烈争论直到 1 8 9 5 年，荷兰著名数学隶k o r t e w e g 和他的学生d e c r i e s 3 0 1 在对孤波进行全 面分析后指出这种渡可以近似为小振幅的长波，并建立了浅水渡运动方程： 鲁= 靠妾c 孙a ”+ ；a = 等， ， 其中目为波面高度。h 为水深，9 为重力加速度，p 为水的密度。o 是与水 的匀速流动有关的小常数，k 是水的表面张力此后他们利用行渡法求出了 与r u s s e l 描述一致的孤波解，从而在理论上证实了这种波的存在性 如果做变换 江i l v l 丽9r ，。= 一嘉，u = ；”+ 1 则方程( 1 1 1 ) 可写成标准的形式； 砘+ 6 u u ；+ “。= 0 ( 1 1 2 ) 后人为了纪念荷兰这两位伟大的学者对孤波作出的贡献将( 1 1 1 ) 或( 1 1 2 ) 称 为k d v 方程 2 0 0 4 上海大学硕士学位论文2 1 9 6 5 年。美国物理学家z a b u s k y 和k r u s k a l 【5 1 l 利用计算机通过数值计算详 细研究了k d v 方程两个孤波相互作用的全过程他们对作用前后所得的数据 分析后发现孤波的形状和速度保持不变而具有弹性散射的性质，所以k r u s k a l 和z a b u s k y 又将这种稳定的孤渡稚为孤子 随着研究的深入，大批具有孤子解的非线性波动方程在物理的各领域不 断地被揭示出，几乎在科学的各领域中都可以寻觅到它应用的踪迹例如：等 离子体渡的传播，晶格的非线性振动等 本文主要考虑以下问题： ， io , v + 以f ( u ) + 砖u = 0 ，z i ，t ( 0 ，列， 【，( 一1 ，t ) = u ( 1 ，t ) = 巩u ( 1 ，) = 0 ，t 【0 ，t 】， ( 1 1 3 ) i 矿( z ，0 ) = u o ( 。) ， $ i ， 其中r ( z ) 是关于z 的光滑函数，i = ( - 1 ，1 ) 此方程包含许多种重要情形- ( 1 ) k d v 方程tf ( = a u 2 ； ( 2 ) m k d v 方程f ( u ) = a u 3 ； ( 3 ) 非线性晶格波方程，f ( u ) = a u 2 + p 泸 1 2 文献综述 1 2 1 谱方法介绍 近二十多年来，偏微分方程的谱方法蓬勃地发展起来它为数值求解偏 微分方程提供了又一个强有力的2 2 具谱方法已被用于求解各种实际问题， 例如，大气环流问题、数值湍流模拟、以及孤立子的计算和研究等谱方法、 有限元和有限差分法已成为偏微分方程数值解的三大基本方法，特别是在计 算流体力学中获得巨大应用 谱方法最为诱人之处是它具有”无穷阶”的收敛速度，也就是说，假如原 微分方程的解无限可徽，则由适当的谱方法所得到的近似解对原问题的收敛速 度比n 一1 的任何幂次都更快，这里是谱方法逼近中所取基函数的个数我 2 0 0 4 上海大学硕士学位论文3 们知道，有限差分法的逼近精度在构造格式时已确定；对于有限元法。其逼近 精度也要受到所取基函数的多项武次数的限制；但是谱方法的精度随着微分方 程解的光滑程度的提高而自动提高谱方法同有限元法都可以由r i t z g a l e r k i n 方法导出，两者的本质区别在于基函数的性质有限元法选取具有局部支集， 形状简单的函数作为基函数这样一来，基函数的构造极为方便灵活。对于复 杂形状区域也无本质困难；并且由于基函数具有局部支集，所以从有限元法 得到的代数方程中的矩阵是稀琉的。计算量大为减少；然而另一方面。基函数 的简单性却限制了逼近精度 谱方法选取整体无限光滑的函数作为基函数其优点是由基函数张成的 近似空问具有良好的逼近性质，而且函数本身的性质越好。逼近阶就越高，从 而适当的谱方法解的收敛阶也就越高 在谱方法中试探函数被取为无穷可微的整体函数( 它们一般是奇异和非 奇异s t u r m - l i o u v i l l e 问题的特征函数) 根据检验函数的不同选取，谱方法可 分为g a l e r k i n 谱方法。配置谱方法和t a u 谱方法在g a l e r k i n 谱方法中，检验 函数与试探函数相同，他们都是无限可微且满足边界条件，残量和检验函数的 内积为零；所谓p e t r o v - g a l e r k i n 谱方法，是指检验函数和试探函数空间不相 同在配置谱方法( 拟谱方法) 中，试探函数取法与g a l e r k i n 谱方法相同，但检 验函数是d i r a c6 函数。即：t ( z ) = 6 扛一。) ，n = 1 ，2 ，v ，其中z 。称为配 置点，方程在配置点上成立t a u 谱方法和g a l e r k i n 谱方法很相似，只是它 不要求检验函数满足边界条件g o t t l i e b 和o r s z a g 2 0 】( 1 9 7 7 年) 对谱方法的这 三种具体形式作了详细的介绍，建立了关于线性问题数值分析的一些基本理 论，对谱方法在偏微分方程( 特别是在流体动力学问题) 数值计算中的应用情 况作了概括 在用谱方法求解方程时，由于代数方程组系数矩阵的形状和基函数的选取 有关。因此选取什么样的基函数对实际计算的效率有很大的影响s h e n 4 6 ，4 7 】 提出了一种基函数构造方法，使得所得的方程的系数矩阵是稀疏的，计算效率 大大提高 对于非线性问题，采用配置逼近方法计算方便对c h e b y s h e v 配置方法来 说，常用的有以下三种g a u s s 型配置节点，记对应的权系数为q 2 0 0 4 上海大学硕士学位论文4 1 c h e b y s h e v g a u s s 点1 = c o s 等等，屿= 南，一o ， 2 c h e b y s h e v - g a u s s - r a d a u 点i 一羔，q = 嘉：j = o 3 c h e b y s h e v - g a u s s - l o b a t t o 点 勺= c o s 努 ：朵，j 乩t 【丙l r ，1 j 1 1 2 2 研究现状 用谱方法对k d v 方程的研究，已经有很多学者在这方面作了大量的工 作，可以参看文献【1 ，5 ，8 ，1 2 ，1 3 ，1 6 ，3 1 ，3 5 ，3 6 ，3 9 ，4 0 对于具有周期边界条件的k d v 方程，m a d a y 和q u a r t e r o n i 在文 4 0 j 提 出了一类f o u r i e r 谱方法和拟谱方法他们得到了如下结果：当解析解存在于 空间h 时，f o u r i e r 谱方法接驴一范数意义下的误差估计为o ( n “7 ) ；同样 的情况下，采用f o u r i e r 拟谱方法进行逼近后，在日1 一范数意义下的误差估计 为o ( n 2 - r ) 除了文【3 6 】中引入抑制算子外，没有见到其他的关于l 2 _ 范数的 f o u r i e r 拟谱方法的误差估计工作文【1 5 ，1 9 中还研究了各种时间方向上的显 格式隐格式；还有一些工作对时问方向上的高阶积分格式也作了分析【3 2 】 对于具有非周期边界条件的k d v 方程，主要采用拟谱方法，同样有很多 学者进行过这方面的研究工作【8 ，1 2 ，1 6 ，3 5 ，3 0 拟谱方法的逼近精度和稳定 性与配置点的选取有关常用的配置点通常取为g a u s s - l o b a t t o 点，对于二阶 微分方程来说，采用上述节点的配置方法在理论上和计算上都是有效的然而 对于三阶微分方程而言，却不尽然文1 4 1 中指出：对于以下初边值问题的微 2 0 0 4 上海大学硕士学位论文5 分方程， ， lo , u ( z ，t ) - 4 - a 2 u ( x ，t ) = o ，i ，t ( o ，t 】， u ( - 1 ，t ) = v ( 1 ，t ) = 晚u ( 1 ，t ) = 0 ，t 【0 ，引， ( 1 2 1 ) iu ( x ，0 ) = u o ( 。) ， j ， 其中，= ( 一1 ，1 ) 采用上述节点的l e g e n d r e 或者c h e b y s h e v 配置方法进行逼近 后，格式是不稳定的作者发现。当基函数的个数增大时，对于三阶微分算 子谱逼近的最大特征值的正实部以6 的速度增大 最近，h u a n g 和s l o a n 【2 8 1 对于此方程引入了一种新的配置逼近方法此方 法基于多项式p n ( 2 一, u 2 t 。，、的零点作为配置节点( 竹4 ( z ) 是关于权函数，口( z ) = ( 1 一z ) 。( 1 + z ) 4 的在区间i 上的j a c o b i 正交多项式) 文中指出：选取这些节点作 为配置节点后，此方法是稳定的他们得到了以下结论；当解析解v ( z ，t ) g 。( j ) 时，此方法具有无穷阶精度 l i ，m a 和s u n 【3 5 】将此配置方法应用于k d v 方程，并且对于方程中的非 线性项采用上述的配置节点柬进行插值逼近，得到了在l 2 一范数意义下的更为 精确的误差估计为0 ( 胪”) 很显然，结果不是最优的，没有获得o ( n - r ) 的误 差估计 p a v o n if 4 2 1 对于具有非周期边界条件的k d v 方程给出了单区域和多区域 c h e b y s h e v 配置方法，得到了较好的数值结果，但是没有理论分析 注意到三阶微分方程缺少类似二阶微分方程的对称性，m a 和s u n 在文 3 8 中对三阶微分方程提出了l e g e n d r e - p e t r o v - g a l e r k i n ( l p g ) 谱方法( 检验函 数和试探函数不同) 考虑如下方程。 lo t u ( z ，t ) + 霹u ( z ，t ) = i ( x ，t ) ，z i ，t ( 0 ，司， u ( 一1 ，t ) = u ( 1 ，t ) = o u ( i ，t ) = 0 ，t 0 ，纠， ( 1 2 2 ) iu ( x ，0 ) = u 0 ( z ) ， z i ， 对于任意的非负整数r ，h ( ，) ：= w r , 2 ( ，) ，哪( ，) ：= w 扩( j ) 表示s o b o l e v 空 间，相应的范数与半范数分别记为0 盼和i i ，令( ) 是定义在区间i 上 次数不超过的多硬式空间，定义 瑞2 ( j ) = 蠕( j ) n h 2 ( 驯o v ( i ) = o ) 2 0 0 4 上海大学硕士学位论文6 v n = ( ，) n 硪2 ( n 、( j ) = ( ) n 砩( d 刚方程( 1 2 2 ) 的半离散l p g 格式即为寻找“，( t ) v 满足t ( a u 一( ) ，”) + ( 晓”w ( 。) ，”) = ( ，( 。) ，”) o t ( 1 2 3 ) i ( u 。( t ) ，u ) = ( ， ) w n 。 、。 在时问方向上采用c r a n k - n i c o l s o n 格式，取时间步长为r ，且t k = k r ( k = 0 ，1 ，；t = n ，r ) 为简便记铲( 。) ：= “( z ，t k ) 且 。；：_ u k + l - - u k ，。* + j ：( 。- + ，4 - “一) ，u ：= = 一，“十5 = 百( t 州 “) ， 则方程( 1 2 2 ) 的c r a a k - n i c o l s o n 垒离散l p c 格式印为寻找u ：v _ v 满足： f ( “：一) + ( 礞“j ，”) = ( ，+ ，u ) i ( u 导，”) = ( ，”) o 茎“r 一1 ， 雌4 1 v w v 1 。 对于线性方程( 1 2 2 ) 的半离散形式( 1 2 3 ) 和全离散形式( 1 2 4 ) ，文f 3 8 】中 分别得到了关于l 2 一范数的最优误差估计作者并且在文中对于如下广义k d v 方程中的非线性项采用c h e b y s h e v 配置方法来逼近，给出了数值算例考虑如 下具有非周期边界条件的k d v 型方程： i 岛u + 以f ( u ) 4 - 磋u = 0 ，。i ，t ( 0 ，t ， u ( 一1 ，t ) = u o ，t ) = o 。u ( 1 ，t ) = 0 ，t 【0 ，t 1 ， ( 1 2 5 ) lu ( x ，0 ) = u o ( z ) ， z i ， 其中f ( z ) 是关于z 的光滑函数，= ( - 1 ，1 ) 作者在l p g 方法的总体框架下，对于方程中的非线性项采用在c h e b y s h e v - g a u s s - l o b a t t o 点的插值算子来逼近，在时间方向上采用c r a n k - n i c o l s o n 蛙跳格 式记 u = 去( u 抖1 _ “1 ) ，铲。i ( u 1 - - ? a k - i ) 则全离散l p g c c 格式即为寻找“k 。v n 满足对于任意的 w n l ，下式成 立t i ( “：f ，”) 4 - ( 以七f ( “：) ， ) 一( 罐n ：，瓯”) = 0 ，1 k 茎一1 ， ( “：，”) = ( x o u 0 + t 岛u ( o ) ，”) ， ( 1 2 6 ) l ( u 0 。，”) = ( l ， ) ， 2 0 0 4 上海大学硕士学位论文7 其中l ：g ( j ) 一p n ( i ) 是满足l t ( ) = 札( ) 的在c h e b y s h e v - g a u s s - l o b a t t o 点( 唧= c o s ( 嚣) ，0 s j s n ) 的多项式插值算子 从上式可以看出，方程中的非线性部分采用显格式，线性部分采用隐格 式来计算，计算非线性项时可l ；f 利用快速交换，使得计算时方便快捷但是文 中只给出了数值算例，却没有理论分析 m a 和s u n 在文1 3 9 中对于广义k d v 方程( 1 2 5 ) 以l p g 方法建立总体格 式，对方程中的非线性项采用l e g e n d r e 谱方法来逼近方程( 1 2 5 ) 的半离散 逼近格式即为寻找“。( t ) v _ v ，使得对于任意的 w _ 一l ，满足t 叼蛩 ，o ”) - 徭u ) 勋) - 0 ，涎( 0 闭，( 1 2 _ 7 ) i ( u 。( o ) ，”) = ( l ，”) 方程( 1 2 5 ) 的全离散c r a n k - n i c o l s o n 蛙跳逼近格式即为寻找u ：v n 满 足对于任意的口w _ 一1 ，下式成立一 i ( 氍，口) + ( 盘只f ( ) ，口) 一( 磋砬：，良p ) = 0 ， 1 s 七n t 一1 ， ( 珏。1 ， ) = ( r i + r a c ，( o ) ，u ) ， ( 1 2 - 8 ) i ( o ， ) = ( p u o ，。) ， 其中p 可以是下列l e g e n d r e 型谱逼近算子t 1 或：l 2 ( j ) 一p ( ，) ，满足下式的l e g e n d r e - g a l e r k i n 投影算子， ( 乒，u ，口) = ( u ，。) v 0 p ( ，) ； 2 瓦：g ( d ，p ( ，) ，满足下式的在l e g e n d r e - g a u s s - l o b a t t o 点的多项式 插值算子， 瓦u ( ) = u ( q ) ，j = 0 ，1 ，n ， 其中知= 一1 ，。= 1 ： 笛1 是多项式磁搜酌零点； 3 ，巧：c 1 ( d 一卧( ，) ，满足下式的多项式插值算子， 瓦乱( z ；) = u ( 弓) ，j = 0 ，1 ，n 一1 ；如巧u ( i ) = o z k i ) ， 其中z ；= 一1 ，z ，一1 = 1 ， 巧7 ，j n ；- - 1 2 是多项式球罂2 ( z ) 的零点 2 0 0 4 上海大学硕士学位论文 8 他们得到了半离散情形和金离散情形的关于l 2 一范数意义的最优误差估 计 定理1 1 1 3 9 】假设f ( z ) c 1 ( r ) ( 或如果r = 瓦，蜀，f ( z ) c 7 ) ) ，r 2 ， u c ( o ，r ；硪2 ( ) n h 7 ( ，) ) n h l ( o ，丁；月j 2 ( ) n h m “ 2 , r - i ) 则对0 t t ， _ 1 1 u 。( f ) 一u ( t ) l i c n 定理1 2 3 9 】假设p ( z ) c 2 ( r ) ，r c o ( c o 为一正常数) 充分小时， r 2 并且u c ( o ，于；础。2 ( ，) nh 7 ( ，) ) n 日1 ( o ，r ；硪2 ( ，) nh m a x 2 , r - - i ( ) ) n h 3 ( o ，丁；圮( 功，另外，如果r = 巧或者r = 蜀，假设f 0 ) c ( r ) 且 反u ( 0 ) h 7 2 ( n 则对0 扎n t ， i u ：一u “i | c ( r 2 + n 一7 ) m a 和s u n 在本篇文章中，将l p g 方法推广到下列更一般的具有非周期 条件的广义k d v 方程： o , u 十g f ( u ) + ( 一1 ) + 1 甓7 + 1 u = 0 琏u ( - 1 ，t ) = 0 ， 磋u ( 1 ，t ) = 0 ， u 扛，0 ) = ( 。) ， 其中r 1 ，f ( z ) 是关于。的光滑函数，i = ( 一1 ，1 ) 众所周知c h e b y s h e v 谱方法比l e g e n d r e 谱方法容易实现，因为用c h e b y s h e v 谱方法计算时可借助于f f t 快速算法，而l e g e n d r e 谱方法没有简便有效的快 速算法；但是在理论分析时c h e b y s h e v 谱方法的权函数有奇性可能使得原来适 定的问题变为不适定的，固此给数值分新带来困难，1 9 9 4 年，d o n 和g o t t l i e b 提出了c h e b y s h e v l e g e n d r e ( c l ) 谱方法( 见文 1 8 ) 该方法将l e g e n d r e 谱方法 在c h e b y s h e v 点上实现，在实际计算时可以实施快速算法，在数值分析时可以 利犀不带权的l 2 一范数进行分析这启发我们将l p g 方法与c h e b y s h e v 谱方 法结合起来方法的基本思想是：逼近格式整体上按l e g e n d r e p e t r o v g a l e r k i n 方法形成，但对于k d v 方程中的非线性项采用c h e b y s h e v 配置方法来处理 92 = r0 ( f 1 1 一 一 r r ， 一s ， r i f?，i 一 y l y 一l “= 一1 和丙订丽2= 咖，u 1 ，u n _ i i u = 丙订而2 ：耵 分别作为插值节点和关于上述节点的l e g e n d r e - g a u s s - l o b a t t o 求积公式的权 我们有下式成立： ( “，u ) = ( u ，u ) ， v u v 如一1 进一步，我们记l ：c ( 8 一p ( ，) 是满足l u ( 协) = u ( 珊) 的多项式插值算子 2 0 0 4 上海大学硕士学位论文1 4 引理2 4 【1 1 ，2 4 l 如果“口( ，) ，且r 1 ，那么 i i l u t m c n i - i i t l l ，0sz 1 ， h ( n ，一& ，) | | c n ”l l 口引 。玑o k 。 如果“n ，那么 i i t 9si i t , l l ns 、2 + n 一1 1 1 1 1 ， 1 1 t 1 1 等i i u i i 引理2 5 【3 6 】如果“h 1 ( ，) ，那么 l 扯一”| i + l l “j l c j “f l ， 并且，如果“h ( ，) 且r 1 ，那么 i l k t 一u i l l c , n t 一1 1 u 1 1 ，0 2 1 ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) ( 2 2 1 0 ) 我们注意到l 虽然是c h e b y s h e v 插值算子，但是在上述估计式中的范数形式 却是l e g e n d r e 形式，而不是c h e b y s h e v 权形式此引理在c h e b y s h e v - l e g e n d r e 谱方法的数值分析中有重要作用 引理2 6 【3 8 】假设下列条件满足t ( 1 ) e ( t ) ，p ( t ) 是定义在【o ，刀上的非负连续函数，p ( t ) 是增函数。且s ，c 是正 常数； ( 2 ) 对任何t ( 0 ，卅，当m a x o 。9 e ( s ) s 时，可推出e ( i ) p ( t ) + cj ； e ( s ) d s ； ( 3 ) e ( o ) p ( o ) 且p ( t ) e o r 5 那么，对任意的0 t t ，有 z ( t ) p ( t ) e c 2 0 0 4 上海大学硕士学位论文 1 5 2 3 半离散格式的稳定性和收敛性 在这一节当中，我们给出半商散l p g - c c 格式的最优误差估计假定方 程( 2 1 1 ) 的解u c ( o ，丁；j p ( 叫( r 2 ) ，假定u 。和方程( 2 1 3 ) 的右端项分别 有误差石( 面珠) 和五则 ( 鼠苞，u ) + ( a l 乇f ，u ) 一( 磋瓦良 ) = ( f ) ，v v w 一l ，t ( o ，t 】，( 2 3 1 ) 其中f = f ( t 0 + 动一f ( u ，) ， 在上式中取u = 蝤，石= ( 1 一z ) 白，且注意到对于任意的 w 一1 ，下式成 立 一( 磋 ( 1 一。) 翻，乩”) = 2 1 1 0 。”1 1 2 一( ( 1 一z ) u ，以 ) = ；o 馥”1 1 2 + l 如 ( 一1 ) 1 2 我们可以得到 面d l l u l l 。2 一，。+ 3 i 石i + 2 i 以函( - i0 1 2 2 i ( 乇卢，如亩) l + 2 i ( z 击) l ：= + 止( 23 2 ) 令b 为一正常数，且记 m ( “) 2 器m 0 ) 1 1 c ”( ”+ f l 以u ( s ) 1 1 l 。( 村， m ，( ：l ，匆) = 吲! 若群k 1i f ( 。) l + ( i 乱i + i 施i ) 茎m i ：。a i x + 1 ：ll f w ( z ) 假设 i i 石0 ) l l l - ( , ) sb ，v s ( 0 ，q 当充分大时，由引理( 2 5 ) 中( 2 2 1 0 ) 式，我们可以得到 i i z 。f ( 0 1 1 i i l f ( s ) j ；( s ) 0 + i i f o ) i i c n 一1 | 1 以芦( s ) 1 i + i i f ( s ) i i ，l，j 曼g _ 1 j j 【f ”( u + 日面) ( 岛u + 口如面) 矗+ f 7 ( 札。+ 口叼鼠司瑚i i + i | t f ( u + o 砸d o l l ，0j u 冬c n _ 1 m j ( f ( u 。) ，b ) ( v 1 1 + l i o , 石1 1 ) + m ，( m ( u 。) ，b ) l l 面i i 2 6 0 4 上海大学硕士学位论文 1 6 c n m t ( m ( u 。) ，b ) i i o = 蔻i i + 蛑( m ( ) ，b ) i i 石i i c n 。1 0 ( m ( u - ) ，b ) 1 1 0 = 石i i + m r ( m ( u ，) ，b ) i i 石i i 0 ( m ( ) ，b ) j j 训+ ； 以训 ( 2 3 3 ) 由上式可以得到 2 ( 坼( ，( ) ，且) | f 西f + 去| f 巩击i i ) 晚石i f s 蟛c m c u ，) ，b ) i i 莅1 1 2 + ；i t 0 = 击1 1 2 ( 2 3 4 ) 记删川( 旷。刚s u p 一。掣，有 如g o 亓i 备一- ( ，) + ；l 【以西孵( 2 3 5 ) 将( 2 3 4 ) ，( 2 3 5 ) 代入( 2 3 2 ) 后，积分后且记 e ( 。) = l l 议亡) l 您_ l 。+ j o ( | j 良石( s ) 1 t 2 + 2 i 足以l ，s ) 1 2 ) d s ， p ( 。) = g ( 1 i 丽( o ) l | ：“。+ z i i 氕s ) 幢_ l d d s ) 可得 一 e ( t ) p ( t ) + a e ( s ) d s 其中g 是依赖于蜂( m 。) ，b ) 的一个正常数 由引理( 2 6 ) ，我们可以得到格式( 2 1 3 ) 的稳定性结论 定理2 1 如果p ( t ) b 2 e 一巴7 ( 2 ( n + 1 ) 2 ) ，则有 e ( t ) p ( t ) 一。 下面我们来分析半离散格式的收敛性记e 。( t ) = “。( t ) 一矿( t ) ，u + ( t ) = 昂u ( t ) 作为比较函数，由方程( 2 1 2 ) 和方程( 2 1 3 ) ，我们得到； j ( a e 一( 。) ，”) + ( 瓯七r o ) ， ) 一( 磋8 一( 。) ，”) = ( ，( 。) ，”) ，。( o ，t ，( 2 3 6 ) l ( e ，( o ) ，u ) = = ( z ：一u ( o ) ， ) v v w n l ， 1 2 0 0 4 上海大学硕士学位论文1 7 其中 目( t ) = f ( u 。( ) ) 一f ( u + ( t ) ) ， f ( t ) = ( & u c t ) 一a t + c t ) ) + 允( f ( u ( t ) ) 一l f ( u + ( t ) ) ) ：= ( t ) + 厂2 ( t ) 令( ) = e 。( t ) u 一1 ，6 w j r l ，在( 2 3 6 ) 式中取 = 2 7 。( t ) ，即得 象e 。( 驯n 2 。，。+ 3 l ( 圳 + 2 1 0 。0 ，( 一1 t ) 1 2 - 2 1 c a ( t ) ( 啪i - i - 2 1 ( a ( t ) ，( t ) ) i + 2 1 ( r ( t ) ，也, t a t ) ) 1 ( 2 3 7 ) 我们来逐项分析方程( 2