（应用数学专业论文）反半周期三角hermite插值coons曲面.pdf

摘要 本文主要研究c o o n s 曲面的基函数的构造问题利用三角h e r m i t e 插值的两点插值 基底来构造c o o n s 曲面的基函数 首先，介绍了三角插值的基本知识，并对三角h e r m i t e 插值做了详细说明，阐述了三 角函数类和半三角函数类的概念，通过推导给出了三角h e m i t e 插值的插值基底 其次，介绍了c 0 0 n s 曲面的定义，即构造过程，以及c 0 0 n s 曲面基函数的性质对两 种以三角函数构造的基函数的文章进行了综述说明一种是以 1 ，t ，c o s t ，s i n t ) 为基底， 一种以 1 ，s i n 砣c 0 87 啷i n2 如0 82 7 r t ； 为基底 然后，给出本文重要的结果，以反半周期两点三角h e r m i t e 插值基底构造c o o n s 曲面 的基函数得到以 s i n 托c o s ；t ，s i n ；t ，c o s ；) 为基底的基函数，最后通过两个例题画图 对这种形式的c 。o n s 曲面进行了分析说咀 关键词：c 0 0 n s 曲面，基函数，三角h e r m i t e 插值 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w eh a es t u d i e dan e wt y p ec o o n 8 p a t c hc o n s t r u c t e db yt h et r i g o n o m e t r i ch e r m i t ei n t e r p o l a t i o nf o rt w op o i n t sw i t ht w om u l t i p l i c i t i e s i tp r e s e t 8a ne x t e n s i o n o fc o o n sp a t c h i nt h ef l r s t ，w ei n t r o d u c e dt r i g o n o m e t r i ci n t e r p o l a t i o na n dd i s c u s s e d m 甜n l yt r i g o n o m e t r i ca n dp a r a t r i g o n o m e t r i ch e r m i t ei n t e r p o l a t i o n t h ec o n v e r g e n c eo ft h ep a r a t r i g o n o m e t r i ch e r m i t ei n 七e r p o l a t i o nb a s e sw e r ec o n s t r u c t e d s e c o n d l y ，w ei n t r o d u c e dt h ec o o n sp a t c ha n dt h en a t u r eo ft h eb l e n d i n gf u n c t i o n w e s u m m 盯i z e dt w op a p e r 8a b o u tc o n s t r u c t 拙gt r 培o n o m e c r i cb l 。n d i n gf u n c t i o no fc o o n s p a t c h e i o n e w a 8 t h eb a s e s 。f l ，亡，c o s t ，s i n t ) a n da n o t h e r w a 8 t h e b a s e so f 1 ，s i n 他c o s7 吨 s i n 2 以c 0 82 面i a e r t h a t ，w ep r 。v i d e dt h er e s u r 7o ft h i sp a p e rt h a tc o n s t r u c t i n gt h eb j e n d i n gf h n c t i o nb yt h et r i g o n o m e t r i ch e r m i t ei n t e r p o l a t i o nf o rt w op o i n t sw i t ht w om u l t i p l i c i t i e s ，a n d 0 b t a i n e dt h eb a s e 8o f s i n ；t ，c o s 扭s i n 弘c 0 8i 味f i n a l l y ，w es h o wt h eq u a l i t yb yt h ei m a g e so ft w oe x a m p l e s 1 a t i o n 王( e y w o r d s c o o n sp a t c h e s - b l e n d i n gf u n c t i o n ；t r i g o n o m e t r i ch e r m i t ei n t e r p o i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中 不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我同工作的同志对本研 究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：刻延煎r 期：型鲤：三：墨f 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规 定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复 印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将学位论 文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它 复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：糍 日 期：刎! 至剑 学位论文作者毕业后去向 工作单位： 通讯地址： 艚蝴繇盟 日 期：坦! ：至! j 电话 邮编 引言 c a g d 是门迅速发展的新兴学科它的出现和发展既是现代工业发展的要求，叉对 现代工业的发展起到了巨大的促进作用c a g d 中的曲面大致分为两类：( 1 ) 以b 曲i e r ，b s p l i n e 曲面为代表的基于控制网格的曲面曲面的形状逼近或插值与控制网格的顶点这 类曲面的变形主要依靠改变顶点的空间位置，如果曲面的形状比较复杂，控制顶点的数量 就会很庞大，控制顶点的操纵就比较困难( 2 ) 以n r g u s o n ，c o o n s ，g 。r d 。n 曲面为代表的可 以插值于边界曲线或角点，以及边角上若干阶跨界导矢的曲面这类曲面通过改变这些边 界条件来实现变形，相对于基于控制嗣格的曲面而言，基于边界条件的曲面变形操作起来 更为简单易行而且意义直观，曲面的数据撼也比较小，由于可以直接指定边界和跨界导矢、 容易实现曲面之间的拼接第( 2 ) 类曲面的变形自由度要比第( 1 ) 类小，无法直接构造出 形状比较复杂的曲面，但在工业领域中由于许多曲面的形状都是比较复杂简单的，所以它 仍是一种重要的造型手段 c a g d 的基本理论中曲面多由代数多项式构造，这对曲面的代数理论完善上有很 大的帮助但是在很多问题的解决上却遇到了困难在文献f 2 1 中提出了ch e r m i t e 基晒 数，用其构造出的c c u r v e s 精确的逼近了弧、圆柱、圆锥这些依靠原有代数多项式基不 能表达的曲线、曲面在文献6 中，提出了p b 6 捌e r c 珏r e 8 ，利用极坐标构造b d 剃e r 曲 线一= r ( 日) ) ，它们的共同之处都用到了三角函数 本文着重研究c o o n s 衄面的问题c o o n s 曲面诞生已有6 0 多年它是由美国麻省理 工学院的c o o n s 创造，他赢接采用可以是任意类型参数曲线的四条边界曲线来构造曲面， 即c o o n s 曲面不是插值边界曲线上有限的数据信息，而是插值两组边界上无限多个点这 种独特的曲面构造方法使其在c a g d 中享有重要地位c o 。n s 曲面的相容性问题一直难以 解决它所采用的代数方法构造曲面丧失了研究对象本身所要求的几何直观性而且控制 性质不够优良但应用与其他曲面形式特别是n u r b s 相结合的g o o n s 技术是最有意义 的用途之一它能相当地减少计算成本，且是在边界曲线间拟台曲面的一种快速方法 对于c n s 曲面，除了边角条件( 相容性) 之外，基函数是影响曲面形状的另一因素 如何构造基函数是值得研究的课题目前c o o n s 曲面的基函数采用的是两点三次h e m i t e 插值基，这样在高阶的情况f 曲面次数就会很高，需要用特殊的方法才能计算，而采用其它 形式的基函数往往能避免这些缺陷在文献【2 3 中采用了以 l ，f s i n t ，c t ) 为基底的g 一 日m t 把函数作为基函数，在文献1 3 】中采用了以t 1 ，c o s ( ”t ) s i n ( 耐) c o s ( 2 w t ) ，s i l l ( 2 ”c ) ，) 为基底构造的基函数，并说明了计算方法通过阅读文献，并在盛老师的提议和指导下，本 文利用三角h e r m i t c 插值的理论，以反半周期两点三角h e r m i t e 插值基底构造c o o n s 曲面， 并通过实例分析了其性质 并通过实例分析了其性质 1 三角h e r m i t e 插值 在讨论三角h e r m i t e 插值之前，有必要对三角多项式插值进行一下阐述说明 定义l 。1 1 4 1n 次三角多项式 t 知) = o o + ( 。1c 0 8 茁+ 6 1s i n z ) + + ( 口nc o s 忆。+ ks i n 几窖) o f ，为实数0 = o ，1 ，n ，j = 1 ，2 ，n ) 求一n 次三角多项式使它在已给的2 n + 1 个点z o ，z 1 ，。2 。处取给定的值( 当 ： 时鼢一。k 2 a 7 r ) 也就是t ( z 。) = 。 ( m = o ，1 ，- - ，2 n ) 这样得到2 n + 1 个方程组： n o + ( 0 1c o s z m + 6 18 i n 石m ) + _ + ( 岛nc o s n 茁m + s i n n m ) = 可m ( m = o ，1 1 ，2 n ) 写成行列式的形式正是 t ( 茁) 1c o s z8 i n z 0 l c o s 0 0s l n z o 苕2 n 1 c o s 茁2 ”s i n z 2 n 利用范德蒙行列式的性质求得 命题1 1 f l 4 j n 次三角插值多项式 同理，对n 次偶三角多项式 c o s 礼o c o s n 工0 s l n 礼z s l n 竹0 0 t 佃) = n o + 0 1c o s 。+ 0 2c o s2 茁+ + o nc o s 忆。 可求得在n + 1 个点的插值公式： 推论1 1 【1 4 1n 次偶三角插值多项式 t ( 罩) 0 塞蒜箸竽掣篝碧蒜竺斋篇蓓 2 1 2 辜 堕摹坚量荤里曲摹台 对n 次奇三角多项式 求得在n + 1 个点的插值公式： 推论1 2 1 1 4 】n 次奇三角多项式 t 知) ! ! ! ! 竺二竺12 ：! ! ! ! 竺= 苎! 二! ! ! ! ! ( 兰二苎受12 ：! ! ! ! 兰二兰苎! c 0 8 ( m z o ) 。c o s ( z m 一。m 一1 ) c o s ( z m z m + 1 ) - c o s ( 。m 一$ n ) 1 3 这三个插值多项式早在1 8 0 5 年高斯就已得出，是l a g r a n g e 形式的三角插值 在文献 5 中建立了系统的三角多项式理论，并给出了三角h e r m i t e 插值基底把所 有2 ”周期的连续函数记作国。 定义1 - 2 【5 】 n 群一 n o + ( 。c o s 肫+ k8 i n t ) i o o ，o 女，6 k 为常数= 1 ，n = 1 称为阶数不超过n 的三角多项式类 记 瑶( d ) = 。s i n ( n t 十a ) 十孔一1 ( 亡) 1 一l 日0 l ，礼 1 o o 7 r ) 约定，璐= 璐( a ) = o ) ( n o ) ；瑶( ) = 常数) ，瑶( o ) = 0 ) 显然，任意的一个n ( n o ) 阶三角多项式不能同时属于两个不同的类日善( n 1 ) ，瑶( a 2 ) ，( n 。 0 2 ) 定义1 3 【6 ( 1 ) 反半周期：，( 。+ ”) = 一，( z ) ( 2 ) 2 7 r 反周期：，( + 2 7 r ) = 一，( 。) ，记为百2 。 ( 3 ) 半周期：，( 。+ ”) = ，( z ) 定义1 “5 称+ = 叠 q s i n 。+ ) 件6 jc 。s 。+ ) 叫，( n ：+ 6 i 。) 为n + 次半三角多项式 称鼹 = 妻h s i n ( j + ) f + c 。s ( j 十 ) 圳。，畸为常数，j = 。，l ，n ) 为阶数不大 于n + 的半三角多项式类 命题1 2 【5 踞 c _ 2 “ 3 证明 咒+ ( 蚪2 ”) = bs i n ( n 扣+ 2 卅岫吣+ 扣+ 2 丌) 1 = u = 窭吣叭( j + ；) 2 j + 1 ) 卅咖s ( ( j + ；) 2 j + 1 ) 。) = n j8 j n ( ( j + ；) t + ( 2 j + 1 ) ) + oc 。s ( u + ：) + ( 2 j + 1 ) ) 1 = 0 。 = 一塞i n ( j + 扣啪嘶+ 扣 = 一 叼s i n o + ；p + c o s ( j + ；) t 】 j = o 。 2 一+ 和 所以日三。ca 2 。 约定：丑三。= o ) ，。1 o ) 记略劓2 i 啪+ ) 汁a 】+ 又一烀一 ；，o 墨a ”) ，曙劓= 0 ) ( n o ) 同样的，任意的一个半三角多项式不能同时属于豫 ( n 1 ) 和曙；( a 。) ，( o 。z ) 下面提出h e r m i t e 三角插值问题： 令t l 2 k 是 o ，2 ”) 上n 个不同的点，称为插值节点，入1 ， 2 ，k 这n 个正整数为对应的节点重数口2 为微分算子( e = o ，1 ，b 一1 ) 给定一组数 由，) ：苫1 = 由，jil ，2 ，n ，= o 1 ，一1 ) ，要求一三角多项式丁( 。) 使其满足： t ( 勺) = 吗，l ，j = 1 ，2 ，n ，l = o ，1 ，一l 首先我们讨论简单一点的哪! o r 插值问题：n = 1 ，t 1 = o ，a = a 1 定义 8 2 n c z = s m c z 是一个偶整函数，且当z - o 时，有8 伽c ( o ) = 1 - 所以当 ”时倒函数是解析的 且有7 i 对1 0 r 展式： 熹= 。j s l n z _ ” 更一般，我们考虑解析函数 其中m 为非负整数 f 三一1 m + 1 、2s i n 罢7 引理1 1 【5 令m ，s 是整数，o s m ，有 l 茁l 2 丌 b 胁s t 拦等喜篙 1 则 矿。2 ；z 码m + 。，( 扣“h 。) 口，。( o ) = 如。，o ，5 m m 是取整函数。2 ( m ) 为上式中的t o 讲。r 级数的系数，& ，。足k r o n c c k e r s 记号 汪：审买上o o ( m ) = l 所以 嬲卜s t 争南以彬c o t 扣鑫咖一1 争 且h m 一，m 日玉，。一- ) ( ；m 州“) 它的阶为 ( m 一1 ) 由引理l ，l 记 u 。， ( t ) = n 2 ( 。) 口1 1 钆 一2 ( o ) 一1 ， 。) s = o l ，a 一2 1 4 “8 1 1 日a z ) 5 = 。1 ，1 1 1 5 i 口2 咄， ( o ) = 以，。= o 1 ，- ， 一1 下面我们将构造h c r m i 钯插值和h e r m i t e 半三角插值的插值基，即当t 一时西 = 1 ，其 余情况时为o ，寻求耳m 使得 口耳，k ( 屯) = 如，巩女，j = 1 ，2 ，、n ；= o ，1 ，一，一l 引理1 2 【5 】记 。( t ) ：d 。i 。；( t 一岛)。“t ) ：n 。i 。b ；( 一句) ，= l “ ，= l ，j r “ ，* ( t ) = = j ；j 蒜 ：，t = = 口曲，t ( t ，) ，= = 。，1 ，- - ，a ，1 5 记 l 目啦( t ) = u 岫，( t ) 其中u 。， ，是当a = 时由【1 4 ) 定义的 则 群，= o 婵 ) 目啪，一l ( t ) = 多客1 1 w b 特别，如果k = 1 ，则 次数不小于女k 8 = 0 ，1 ，一，a ，一l 畦一= 两 两装晶s i n k “争( 1 ) 1 。( ) 1 2 。 岛蒯2 丽 引理1 3 【5j 令正，t ( t ) = ”( t ) 岛，o 一0 ) ，则 卜e 日ha = 妻 【口5 耳，r ( 0 ) = 易，r d 。，kj = 1 ，2 ，n ；5 = o ，1 综上，得到了三角h e r m i t e 插值基底 其中 篱筹 南( 班 s i n ( t t r ) i ( a r 1 ) ! 7 。 十善唑 茫端 定理1 1 【5 1 圮t 2 定义公式 【 ( r 一5 ) 卜1 = 0 口- r 一。一z ec 。t ；c t t ，、 j 经印s 搿l k 为 o ，2 ”) 中的n 个插值节点，所对应的重数为a 。， 2 k； e = t12)日 钵 铂啡d ，j：1 吣 砂 靠 蜥 耳 d 1。 。脚 i | t 耳删女廿嗍所给- 当a 2 暑b 是偶数，则存在唯一阶最小半三角多项式t ( 。) 日b t ) 满足插值条件 当1 2 暑b 是奇数，则存在唯一阶最小三角多项式t ( 。) 6 日蚤 一1 ) 满足插值条件 证明见文献 5 推论l _ 1 5 】 当= 一1 时 1 6 式可化为如下形式 ，- ，一。) = 可喜篙s ；n k 一1 ；。一。) = 嵩c s c ；。一。) 特别地，当a ，= 1 时 。 础，= 端= 豁c s c 扣 7 17 1 1 8 】 2 c o o n s 曲面及其两种拓展形式 c o o n s 曲面一超限插值法是通过算子布尔和构造出来的，它在单位正方形的四条边上 插值二元函数及其法向导数，也就是插值节点是不可数点集， 定义2 1 【1 设w 是定义在点集搋上的实值函数类，p l ，p 2 是定义在w 上的两个线性 算子又设对任意f 均有p 2 卅w ，则定义尸1 与p 2 的积：p 1 p 2 【f = p 1 p 2 【用1 定义2 2 1 】p 1 ，p 2 的布尔和 p 1 0p 2 f 】= p 1 f 】十p 2 【f p l p 2 f 】 下面我们看一下属于a 1 的c o o n s 曲面，它在单位正方形四条边上插值二元函数f ( p ，q ) 取插值算子p l ，p 2 ，对v f 瞩是实值函数类，o p ，q 曼1 其中 p 1 f 】= 卜- ( p ) l p z 晒) 妒a o ) l p t ( p ) p 2 f 】= 妒1 ( g ) 妒2 ( g ) i p 3 ( g ) q 粗( g ) 妒l ( t ) = ( 1 一t ) 2 ( 2 t + 1 ) 妒3 ( t ) = t ( 1 一t ) 2 f ( o ，g ) f ( 1 ，g ) 耳( o ，g ) 昂( 1 ，口) f ( p ，0 ) f ( p 1 1 ) f 口如，0 ) 日扫，1 ) l p 2 ( t ) = t 2 ( 一2 t + 3 ) 妒4 ( t ) = t 2 0 1 ) 是二点三次h e r m i t e 插值基函数我们将其写成： 妒- = 1 o 一3 2 妒。= 01 2 ， 1 t t 2 t 3 l t t 2 护 p 。= 0 o3 2 似= 0o 一， 8 可以看出，它们是以 l ，t ，t 2 ，t 3 ) 为基的多项式 命题2 1 1 妒1 ( o ) 妒l ( 1 ) 西( o ) 妒j ( 1 ) 妒2 ( o ) _ p 2 ( 1 ) 西( o ) 妒：( 1 ) 怫( o ) 妒3 ( 1 ) 磊( o ) 矗( 1 ) 似( o ) 妒4 ( 1 ) 文( o ) 妒：( 1 ) j ( 单位矩阵)2 1 证明：将o ，1 值代入即得 事实上，这一性质即为双直交条件，( 扎) 坠l 是g 1 o ，l 】上的有界线性泛函 ；【妒】：o “ ) ；1 i 胁】：1 0 = ) ( i ，k = 1 ，2 ，3 ，4 ) ，这是以后构造c o o n s 曲面基函数的关键 日，昂的张量积可表为 其中b 为信息矩阵 p t p 2 f = k ，o ) 妒：( p ) 垆3 扫) 妒。( p ) 】b b = f ( o ，o ) f ( 1 ，0 ) 昂她o ) 昂( 1 ，o ) f ( o ，1 ) f ( 1 ，1 ) 弓( o ，1 ) 昂( 1 ，1 ) 定义2 3 【1 】通常说的c o o n s 曲面即为 妒l ( q ) 锄( g ) 妒3 ( q ) 钆( q ) p j 2 r 吲+ p 2 【研一p 1 p 2 【f j 在文献 2 】中给出了c 。h e r m i t e 函数， 定义2 ，4 研对任意的o s ，下面四个函数j 昂一 = 虿二l 南( 一s s i n z 十( 1 一a ) c 0 8 t + s t + ( 1 一e 一。s ) ) r ，。2 i 二1 南( s s 洒一( 1 一a ) c 。s t s + ( 1 一p ) ) ? 。口2 i = _ 蒜( ( 1 一e d s ) s i n t + ( s n a ) c 。s t + ( 1 一g ) t 一( s a g ) ) g n ，。2 互二彘( 一( 1 一a ) s i n t + ( n s ) c 。s t + ( 1 o ) t 一( 口s ) ) 0 ，d ” 抛拇 日岛私静 朋0 “ 日b 私和 称为e h e r m i t e 函数s ：= s i n o ，a ：= c 0 8 a ，o t d 经验证，其满足命题2 1 的性质 f 0 ，n ( o ) = 1r 。( o ) = 昂，n ( “) = or ，。( a ) = 蟛。( o ) = o 砭。( o ) = ，。( 。) = of 二，。( 。) = g o ，n ( o ) = o g o ，。( a ) = o g ；。( o ) = l g ：。( o ) = o 运用c - h e r m i t e 函数可以得到一系列c c l l r v e s g n ，。( o ) = g 。( a ) = g ：。( o ) = g ：、。( 口) = 似t ) = f 矗习( s i n t c 酬t 1 ) 幢s 一童夏捌 h 。( o ) = p o ， 。( 口) = p 。，之( o ) = p ：， ：( a ) = p ： 我们可以通过一参数变换定义一新的曲线风( r ) ：= k ( r a ) ，同时变换p ；= 印；，砖= 酰p 6 ，砖就是皿。( r ) 在区间【o ，1 两端点处的导向量 在文献 3 】中以c ，h e r m i t e 函数构造了c c o o n s 曲面令曲面的两个参数方向为s ，t ( o s a ，0 t 卢) 在s 向有o o ，0 s n ，在t 向有o 卢 7 r ，o t 反通过参数 化占= n u ( o 仳1 ) ，t = 卢u ( o 1 ) 边界曲线 p ( o ，u ) = p ( o ，云) ，p ( 1 ， ) = p ( 1 ，云) 跨界导矢 舯= 扫( 0 1 扣4 = 扫( 1 ，砉) 则在s 向有 p l 嘲= f 0 ( s ) p ( o ，；) + f n ( s ) p ( 1 ，；) + ：g 0 ( s ) p s ( 0 ，；) + ：g 。( s ) 挑( 1 ，；)p u p l p t 向有 局捌= f 0 ( 咖( ：，。) + 昂( t ) p ( ：，1 ) + ；g 。( t ) p t ( 三1 0 ) + ；g 口( t ) p t ( ：，1 ) 1 0 嘞h 踯小憾熬熬嚣氯 p p ( s ，t ) = p l ( s ，t ) + p 2 b ( s ，t ) 一p 1 p 2 【p ( s ，t ) 】 憾 定理2 1 瑚对于g - e o o n s 曲面片，当雹p o 眩它的极限是双三次c o o n s 曲面片 证明：先将s i nt ，c o st 做幂级数展开 将其代入基函数 得 p 。 t 3 5 ”2 “2 一蚕2 一百 。川一安： b ( t ) f q ( t ) g o ( t ) g 。( t ) j2 瓦乏丽1 1 t c o s 。 r1r 1 一a 一口 1 一g s l g s l + g s 0 os7 r ，o 曼t d ，s = s i n a ，c = c o s a i c 一s 1 一o s 一c 1 一c d s 毋( ) r ( t ) g 。( t ) g 。( t ) = 虿去 1 t 1 一譬t 譬 经整理后得 l g o s 1 一g l g s 1 + g 1 一。一n s l e s d c l c o s i o l c n s 一1 + c b r g 。 g 冰) = f 击 ， tt 2 t 3 悟s 袅蠹剖 誉。茎。 令“= 吉，当n _ o 时，则 b ( s ) f n ( s ) g o ( s ) g 。( s ) l 0 00 33 22 这就是两三次h e r m i t e 基，定理得证 o0 l o 一2 l 11 1 “铲叫o “s 1 在文献【4 中，又以 l ，c 。s ”t ，8 i n 耐， 为基构造了c o o n s 曲面的基函数 利用命题 2 1 的性质，我们要求出函数凰，。，凰m 日l m 日l m ，。有 凰，。( o ) 凰，。( 1 ) 磷? ( o ) 凰，。( o ) 凰，。( 1 ) 硪? ( o ) 威譬( 1 ) 威：1 ( 1 ) 以1 阶为例，计算 n l l0 1 2 a 2 l0 2 2 n 3 l0 3 2 0 4 l4 2 凰，。( o ) 凰，。( 1 ) 或? ( o ) 尉? ( 1 ) n 1 3n 1 4 n 2 30 2 4 n 3 3n 3 4 0 4 3口4 4 凰，s ( 0 ) 日1 ，s ( 1 ) 日0 ，。( o ) 日0 ，。( 1 ) 硎? ( o ) 磷? ( 1 ) 研。( o ) 日1 ，。( 1 ) h 1 ，。( o ) 研，。( 1 ) 日f ? ( o ) 叫? ( 1 ) s i ( 7 r t ) c 0 8 ( 7 r t ) s i n ( 2 7 r t ) ，。( 0 ) ，。( 1 ) 日黜( o ) 蒯( 1 ) 日1 ，e ( 0 ) 日1 ，e ( 1 ) 日f 2 ( o ) 趟2 ( 1 ) = 凰，风。凰，。巩。 通过这个行列式和矩阵可以求出系数阵，这样就得到了： 凰，。= ：+ ；c 。s ( 。t ) = ；扣( 删 皿，。= 去s i n ( 删+ 去s i n ( 2 删 日1 。= 一去s i n ( 删+ 去s i n ( 2 用这种方法我们可以求出m 阶的基函数 对于定义2 3 ，我们把其中的妒1 ，妒2 ，仇，妒4 换成上面的凰m 凰凰。马，。即得到一新的c o 。 睦面 上述的两种g o o n s 曲面都保持了采用多项式基构造的c o o n s 曲面的性质，而又拓展 了c o o n s 曲面的应用， 下 3 反半周期三角h e r m i t e 插值c o o n s 曲面 在第一节中我们得到了三角h e r m i t e 插值基底【1 6 ，由此有如下推论 推论3 1 当插值节点为两点时，也就是取t 1 ，t 2 o ，2 ”) ：a 1 = 2 = 2 时求得公式如 础，= = 鬻s i n ；c t 乃1 ( t ) = 噩1 ( t ) = + 磊去c 。s ；( t 咱) s i n 2 ；( t 一蚴 + 霜而。8 “1 舯叫2 裂咖2 妒啦妒瑚 + 霜志c 。s ；( t 喃) s i n 2 ；( t 呐) + 霜丽。8 “2 舯“1 。s i n 2 0 一t 2 ) 8 i n j ( t 一1 ) “ s i n 2 ( t 1 一t 2 ) 。s i n 2 ( t t 1 ) s i n ；0 一t 2 ) 丽瓤= r 且 = 1 + a 2 = 4 为偶数，所以这是唯一的三角插值基又这四个函数的周期为4 ”，咒，( t ) = 一置，( t + 2 ”) 故称其为反半周期的 摧论3 2 我们职t 1 = 0 ，f 2 = ，0 a 2 ”，那么上回蹦个式于变力： 砌，= 蔫s t n 扣2 扣a ，+ 熹c o s 扣2 扣 撇，= 鬻豳2 扣扣。，+ 壶c o s 扣咖i 砖 乃，( 。) ：鲨型亲业生 ：塑娑掣 很容易可以验证，上面这四个公式满足命题【2 1 】的性质 乃 噩 q ( o ) 马o ( o ) t 1 1 ( 0 ) 码】( o ) ( a ) 乃o ( o ) n 1 ( a ) 乃1 ( a ) ( o ) ? ；o ( o ) 巧1 ( o ) 吐，( o ) ( o ) 墨。( a ) 。( a ) 砭。( a ) 1 3 厶( 单位矩阵) 我们来看一下这个基底的图象： 1 是丑o ，2 是乃0 ，3 是噩m4 是噩l 减八么 ) 默黝“ 再经过三角函数和差化积与积化和差，我们将上述四个式子做一变形 = 击陬+ 2 哇，9 魄一3 睡，一3 e 一g g ，3 鸭+ 镌 n ，( t ) = 击 + g ，一s ，一 g ， s i 马，( t ) 2 壶l 飘一溉一瓢矧 i 其中 s = s i n d ，g = c 。s d ，s = s i n ；a s i n 妻t c o s 去t 8 i n 昙t c o s ；t s i n t c o s 妻t 8 i n 妻t c o s 昙t s i n 去t c o s 妻t s i n 妻t c o s 昙t g = c 。s ；a ，鸭= s ；n ；a ，g ；= c 。s ；a 1 4 s s s一一g+g+g十一 1 2 g十g 托r ，1 3 2 h g 0 + 畦 哇 时 3 r 1 2 。 。h 铲 r l n 上蠼巾 | l o 珏 可以看出这四个函数是以 s i n 托c o s 扣，s i n 争，c o s t ) 为基底的函数 下面我们利用上面四个式子构造g 0 0 n s 曲面对任意的二元函数f ( “，”) ，作参数变 化s = a u ，t = 舯，o “， 1 取插值算子p l ，p 2 ， p 1 【用= 马。( s ) f ( o ，”) + 乃。( s ) f ( 1 ，口) + ：孔- ( s ) r ( o ，”) + 三乃1 ( s ) 凡( 1 ，”) p 2 【f = 丑“t ) f ( u ，。) + t 2 。( t ) f ( u ，1 ) + ；豇“t ) 日( “，。) + ；乃，( t ) 咒( u ，1 ) 张量积为 p 1 尸2 【f 1 = 陋。( s ) 死。( s ) 研- ( s ) 易( s ) 定义3 1 反半周期三角h e r m i t e 插值c o o n s 曲面为 f ( o ，i f ( 1 ，1 壶咒( o ， 吉r ( 1 ， 矗昂( o ，o ) 吉r ( 1 ，o ) ) 由咒。( o ，o ) ) 由凡。( 1 ，o ) 毋 f ( “，。) 】= a 【f ( “，”) + 易【f ( 珏 口) 一p l p 2 f ( 蛳。) 】 蜀( o ，1 ) r ( 1 ，1 ) 彘凡”( o ，1 ) 由( 1 ，1 ) 其中p l ，马，p 1 p 2 如上所述，基函数为噩o ，见_ 0 噩1 ，乃1 注意到：a ，卢并不局限于( o ，2 ) ，只要a ，卢o 和2 栅即可 我们可以验证厅( u ，o ) = f ( ，o ) ，毋( u ，1 ) = f ( ，1 ) ，厅( o ， ) = f ( o ，”) ，厅( 1 ， ) = f ( 1 ，”) 当f ( ) 是g 1 连续时，唧在曲面四边法向量及角点处也插值，而且它有a ，卢两个自由参 数，对于不同的口均有唯一的c o o n s 曲面与之对应 1 5 埘埘啪q “ f f 翘扣 4 举例应用 这一节我们通过具体的图象来看一下所构造的c o o n s 曲面的插值性质 例1 ：取二元数值函数f 扛，g _ b i n 2 ms 2 ” 下图是d = ，p = 时的图象： 1 6 下图是。= 5 ，卢= l o 时的图象 k ，y j 这时误差上限变为l ，说明“，卢同时影响插值曲面误差的界限 上面的例题体现了反半周期三角h e m i t e 插值c o o n s 曲面的性质随着n ，卢的改变曲 面内部是变化的，且c b 卢值越大曲面内部起伏越大，也就是误差越大但c o o n s 曲面始终 是插值四条边界的，这不因c v ，卢而改变 例2 ：c o o n s 曲面也可以由参数向量函数表示，只需把数值函数变成向量函数即叮我 1 7 们取f “，” 当o = 启=时，图象如下 可以看到参数向量形式的c o o n s 曲面仍然具有插值性质，在曲面的四条边界完全插值原 函数，而且曲面内部误差很小 下图是n = 卢= 1 0 时的图象： 这时可以发现与n = 卢= j 时相比曲面内部的误差出现巨大的变化 下面两个图象分别是“= 1 0 ，卢= 5 和n = 5 ，卢= l o 时的图象： 1 8 注：当c 0 0 s 曲面为参数形式 z ( ”) ，口( “，”) ，z ( u ，”) ) 时对于误差曲面f u ，z ，卜p u ，”】也 为参数形式，而p h ” 在四条边界上插值f 阻，” ，所以在单位四边形【二，1 阻，w p h ” = 1 9 o ，o ，o ) ，这与上面的图形吻合，误差曲面在 o ，o ，o ) 表现为一点，正好验证了曲面的插值 性质与例l 相同，插值误差也是随着a ，芦的增大而逐渐增大的，但在四条边界上不受影响 通过上面几个例题我们可以看到，当卢( 不等于o ，2 女”) 变动时，反半周期三角h e r m i t e 插值c o o n s 曲面相应的变化是较大的，曲面内部出现不同程度的凹凸，可不论是数值 形式还是参数向量形式，它在曲面边界插值这一性质还是不变的与用多项式构造的c o o n 8 曲面相比，体现了有两个可以任意变化的自由参数a ，卢这一优点通过变换a ，卢可以得到 凹凸各不相同的曲面，有可能产生诸如动画制作中的特效曲面，如山峰等这对其他形式的 插值曲面需要改变很多控制点才能做到，大大简化了曲面设计中的工作量，拓宽了c o o n s 曲面的应用 参考文献 【l 】周蕴时，苏志勋奚涌江，程少春，c a g d 中的曲线与曲面 m i 吉林大学出版杜，1 9 9 3 ，1 0 8 1 7 2 【2 j i w e nz h a n g ( 南u r v e 8 ：a ne x t e n s i o no fc u b i cc u r v e s 【j c o m p u t e ra i d e dg e o m e t r i cd e s i g n1 3 f 1 9 9 6 1 ：1 9 9 2 1 7 3 李杨，汤文成，刘海晨c c o o n s 衄面片及其性质【j 】计算机辅助设计与图形学学报，2 0 0 3 ，9 ( 1 5 ) ：1 1 7 7 _ 1 1 8 0 【4 】刘海晨，汤文成用三角函数构造c o o n s 曲面的控制函数j 计算机辅助设计与图形学学 报，2 0 0 4 ，4 ( 1 6 ) ：4 5 9 _ 4 6 4 5 】j i n y u a nd u h u i l ih a n g u ( ) x i a n gj i no nt r i g o n o m e t r i ca n dp a r a t r i g o n o m e t r i ch e r m i t ei n t e p 0 1 a _ “o n j j o l l r n a lo fa p p r 嘛i m a t l d nt h e o r y1 3 1 ( 2 0 0 4 ) ：7 4 9 9 6 】盛中平有关h e r m i t e 插值问题的两个具体展式 j 吉林大学建校4 0 周年专业论文大奖赛，1 9 8 6 7 金国祥h e r m i t e 三角插值【j 湖南数学年刊，1 9 9 76 ( 1 7 ) ：1 1 4 一1 1 9 【8 】j a v i e rs 矗n c h e z r e y e s h 础m o n i cr a t i o n a lb 6 z i e rc u r v e 8 ，p b 6 西e rc u r v e sa n dt r i g o n o m e t r i cp o l y n o m i a l s 【j c o n l p u t e ra i d e dg e d m e t r i ed e s i g l l1 s ( 1 9 9 8 ) ：9 0 9 2 0 3 ( 9 l r a n e rk r e h o ng e n e i a 王h e r m i t e1 ￥i g o n o m e r i ci n t e r p o i a t i o n 硼n u m e r m a t h 2 0 ，【2 5 1 3 8 ( 1 9 7 2 ) ：1 0 】i b ml y c h e an e w t o nf b r n i g o n o m e t r i ch e r m h ei n t e r p o l a i o n i j b i t1 9 ( 1 9 7 9 ) ：2 2 9 2 3 5 1 1 】h e r b e r tes 越z e r n e wf 。r m u l a sf 0 rn i g o n o m e 恤ci n t e r p o l a t i o n j 1 p r e s e n t e dt ot h ea m e r i c a n m a t h e m a t i c 出s 。c i e t ya 七t h em 喊i n gi ns a l