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共形几何代数的应用实例分析 王娟( 计算机应用技术) 指导教师：李宗民( 教授) 摘要 在计算机图形学和计算机视觉领域中，传统上都是用线性代数为数学框架对其进行 研究。现在将要使用的一个新的数学系统是几何代数，尤其是五维共形几何代数，它统 一了过去使用的各种数学系统，能够以简便和富有几何直观的方式应用于我们的问题 中。本文探讨了几何代数在计算机应用领域中的两个重要应用，主要研究内容包括： ( 1 ) 对几何代数的结构特性、对几何变换的描述、计算手段等方面做了系统的研究 分析。几何代数是在c l i f f o r d 代数的基础上，建立的一种更具概括性数学语言。对共形几 何代数中与计算机应用领域相关技术进行描述和分析，并在此基础上分析共形几何代数 与传统代数框架在表示、计算上的区别和联系。 ( 2 ) 2 d 3 d 姿态估计问题的几何部分包含多个空间，共形几何代数能够对此提供统 一表示；欧氏空间中旋转操作是一个线性操作，而平移不是，由于平移操作的非线性性， 刚体位移不再具有线性特性，本文应用共形几何代数旋量和扭量表示得到2 d 。3 d 姿态估 计问题的线性表达。 ( 3 ) 应用共形几何代数对全景视觉问题的统一模型建模，结合四圆获得的射影不变 ! 量，为进一步复杂应用提供了简单的基础。共形几何代数之所以非常适用于此类问题是 因为它不仅能表示点、直线和平面这些普通的几何体，还能表示点对、圆和球( 统一模 型中需要的几何对象) 。所有这些几何对象都是基于球的( 例如点是半径为零的球，平 面是半径无限长的球) ，并且它允许以一种简洁的方式来进行不同的运算和变换。不仅 如此，它使我们能脱离坐标系定义模型，只需要运用几何对象之间的几何关系。 关键词：共形几何代数，射影不变量，姿态估计，全景视觉 a n a l y s i so fa p p l i c a t i o n sw i t hc o n f o r m a lg e o m e t r i ca l g e b r a w a n gj u a n ( c o m p u t e r a p p l i c a t i o nt e c h n o l o g y d i r e c t e db yp r o f e s s o rl iz o n g - m i n a b s t r a c t s i n c et h ee m e r g e n c eo fc o m p u t e rg r a p h i c si nt h em i d 一19 7 0 s ，w ea r eb a s i c a l l yu s i n g l i n e a ra l g e b r af o r t h em a t h e m a t i c a l f r a m e w o r k n o w ，w ew i l lw a n tt ou s ea n o t h e rs y s t e mi s g e o m e t r i ca l g e b r a , i np a r t i c u l a rt h ef i v e - d i m e n s i o n a lc o n f o r m a lg e o m e t r i ca l g e b r a , i tu n i f i e s m a t h e m a t i c a ls y s t e m su s e dc o m p u t e rg r a p h i c si nas i m p l ea n di n t u i t i v ew a y t h i sp a p e r d i s c u s s e st h ec o n f o r m a lg e o m e t r i ca l g e b r ai nt h ea p p l i c a t i o no fc o m p u t e ra p p l i c a t i o n t h em a i nc o n t e n t sa n dc o n t r i b u t i o n so ft h i st h e s i sa r es u m m a r i z e da sf o l l o w s ： ( 1 ) w ea n a l y s i st h ec h a r a c t e r i s t i c so ft h es t r u c t u r eo fg e o m e t r i ca l g e b r a ，t h ed e s c r i p t i o n o ft r a n s f o r m ，t h ec a l c u l a t i o nd o n eb ym e a n so fs y s t e m g e o m e t r i ca l g e b r ai sam o r eg e n e r a l m a t h e m a t i c a ll a n g u a g ee s t a b l i s h e do nt h eb a s i so ft h ec l i f f o r da l g e b r a b a s e do nt h ea n a l y s i s o ft r a d i t i o n a lm a t r i xa l g e b r a ，h e r m a ng r a s s m a nv e c t o ra l g e b r aa n dw rh a m i l t o nq u a t e m i o n a l g e b r aa n dg e o m e t r ya l g e b r a , w ed e r i v e dt r a n s f o r m a t i o no ft h el i n e a re x p r e s s i o n i n t h r e e - d i m e n s i o n a lb yt h en a t u r ec o m p u t i n go fg e o m e t r i ca l g e b r a e x p e r i m e n t ss h o wt h a tt h e e x p r e s s i o no fs o m et r a n s f o r m a t i o ni sm o r es i m p l e ，e f f i c i e n tu s i n gg e o m e t r i ca l g e b r at h a n g o l d m a n q u a t e r n i o na l g e b r a ，a n dt h em a t h e m a t i c a ld e s c r i p t i o no fe q u i v a l e n t ( 2 ) 2 d 一3 dp o s ee s t i m a t i o ni n c l u d e saf e ws p a c e s ，s oc g ai sg o o da td e n o t i n gt h es c e n c e i no n l yo n ef r a m e t h er o t a t i o no p e r a t i o ni sal i n e a ro p e r a t i o ni ne u l e r s p a c e ，b u tt r a n s l a t i o n o p e r a t i o nn o t b e c a u s et h en o n l i n e a rc h a r a c t e r i s t i c so ft r a n s l a t i o n a ld i s p l a c e m e n to p e r a t i o n , r i g i dd i s p l a c e m e n ti sn ol o n g e r al i n e a ro p e r a t i o n w ea p p l ys c r e wa n dt w i s ti nt h e2 d - 3 d p o s e e s t i m a t i o n ，a n dg e tl i n e a rd e s c f i p t i o n ，e x p e r i m e n t a lv e r i f i c a t i o nt h a tt h em e t h o di sm o r es i m p l e i nt h r e e - d i m e n s i o n a lg e o m e t r i c a li n t e r p r e t a t i o no fm o v e m e n tt h a nb a s e do nm a t r i xa l g e b r a ( 3 ) a p p l y i n gc g a t om o d e lo m n i d i r e c t i o n a ls y s t e mo fu n i t e dm o d e l g e n e r a l l y ， c o m b i n e i n gw i t ho b t a i n e dp r o j e c t i v ei n v a r i a n t ，p r o v i d ee a s i e rb a s e sf o rf u r t h e rc o m p l i c a t e d a p p l i c a t i o n s c g ai sg o o da th a n d l et h e s eq u e s t i o n st h a ti sb e c a u s e ，t h a ti tn o to n l ye x p r e s s p o i n t s ，l i n e sa n dp l a n e s ，a l s oi tc o u l di n d i c a t ep o i n tp a i r s ，c i r c l e sa n ds p h e r e s ( g e o m e t r i c o b j e c t sn e e d e di nt h eu v o a l lt h e s eg e o m e t r i co b j e c t sa r eb a s e do ns p h e r e ( s u c ha sp o i n t sc a l l b es e e na ss p h e r e 讯t l lz e r or a d i u s ，a n dp l a n ec a i lb es e e na ss p h e r ew i t hu n l i m i t e dr a d i u sa n d s od n ) f u r t h e rm o r e ，i ta n 6 w sd i f f e r e n tb p e r a t i o n sa n dt r a n s l a t i o n su s i n gt h es 副n ea n d s i m p l e rm e a n s i nt h ee n d ，w ec a nd e f i n et h em o d e lf r e eo fc o o r d i n a t e ，j u s tu s eg e o m e t r i c r e l a t i o n so fo b j e c t s k e yw o r d s ：c o n f o r m a lg e o m e t r i ca l g e b r a ，p r o j e c t i v ei n v a r i e n t ，p o s ee s t i m a t i o n ，o m n i d i r e c t i o n a l s y s t e m 1 1 1 关于学位论文的独创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在指导教师指导下独立进行研究工作所取得的 成果，论文中有关资料和数据是实事求是的。尽我所知，除文中已经加以标注和致谢外， 本论文不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含本人或他人为获得中国石油 大学( 华东) 或其它教育机构的学位或学历证书而使用过的材料。与我一同工作的同志 对研究所做的任何贡献均已在论文中作出了明确的说明。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文作者签名： 竖 嗍d 1 年乡月芩日 学位论文使用授权书 本人完全同意中国石油大学( 华东) 有权使用本学位论文( 包括但不限于其印 刷版和电子版) ，使用方式包括但不限于：保留学位论文，按规定向国家有关部门 ( 机构) 送交学位论文，以学术交流为目的赠送和交换学位论文，允许学位论文被 查阅、借阅和复印，将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，采用 影印、缩印或其他复制手段保存学位论文。 保密学位论文在解密后的使用授权同上。 学位论文作者签名： 圣鱼 指导教师签名： 耋壁：堕 日期：o ( 1 年 日期： o c l 年 5 月百日 s 月2 日 第l 章前言 第1 章前言 1 课题来源、研究背景和意义- 1 1 1 课题来源 本课题来源于国家重点基础研究发展计划9 7 3 计划课题数学机械化在几何建模 中的应用研究( 项目编号：2 0 0 4 c b 3 1 8 0 0 6 ) 。 1 1 2 课题研究背景和意义 到目前为止，包括导航、机器人、运动学及计算机视觉各领域普遍采用向量代数为 数学工具研究空间运动学问题。然而由于向量代数缺乏简洁、有效的工具用来描述包括 平移和旋转的一般性刚体运动，所以只能采用折中的办法，把一般性刚体运动机械拆分 为平移部分和旋转部分，然后分别用向量研究平移问题，方向余弦矩阵或四元数研究旋 转问题。这种分而治之的办法破坏了运动学问题本身的完整性，增加了处理问题的复杂 度。例如在刚体2 d 3 d 姿态估计问题中，需要分别设计算法计算刚体的平移操作和旋转 操作，如此一来不仅增加了算法的复杂度，而且不利于从算法直观描述问题；此外，某 些应用问题由于本身描述的复杂性而难于统一表示，本课题就是针对这些问题，采用共 形几何代数作为新的数学框架，探讨其在2 d 3 d 姿态估计问题及全景视觉系统问题中应 用法则。 共形几何代数( c o n f o r m a lg e o m e t r i ca l g e b r a , 简记c g a ) 是李洪波【9 】博士于1 9 9 7 年 在d h e s t e n e s 教授和a r o c k w o o d 教授领导的n s f 基金项目m o d e l i n gw o r k s t a t i o n 中做博 士后工作是创立的，它是几何代数( c l i f f o r d 代数) 最新的分支。c l i f f o r d 代数由w k c l i f f o r d 在1 8 7 8 年建立，它结合h a m i l t o n 的四元数和g r a s s m a n n 的扩张代数，能够进行高 维的几何计算和分析，被c l i f f o r d 命名为几何代数，在历史上，e c a r t a n ，r b r a u e r ，h e e y l ， m r i e z ，c c h a v a l l e y 等著名数学家对它做出过重要贡献。特别是自19 6 0 年起，几何代数 在微分几何，理论物理，经典分析等方面取得了辉煌的成就，其发展突飞猛进。其中最 为瞩目的是美国物理学家，数学家d a v i dh e n s t e n e s 的研究工作，他把几何代数的思想运 用到经典物理分析等方面，并指出几何代数是一种统一的数学语言，通过这种语言的描 述，可以在研究工作中获得大量的有效方便的研究方法。2 0 世纪计算机科学的发展复兴 了一大批长期沉寂的代数语言，例如 线性代数和矩阵( 1 9 4 0 s ) ：数值计算 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 射影几何的齐次坐标( 1 9 5 0 s ) ： 计算机图形学 对偶四元数( 1 9 7 0 s ) ：机器人 c 1if f 6 r - d 代数和几何代数( 19 7 0 s ) ：理论物理 g r a s s m a n n - c a y l e y 代数( 19 8 0 s ) ： 计算机视觉 距离几何( 1 9 8 0 s ) ：蛋白质分子构型 这种复兴的背后反映了信息技术的一种迫切的需求，即迫切需要“新的 代数工具 来更好的解决几何问题，包括通用，简洁的几何建模和快速，鲁棒的几何计算。在此形 势下，设计真正的几何语言进行几何计算的问题，重新引起人们的重视，于是一种的新 的几何语言共形几何代数诞生了。 共形几何代数是基于高级几何不变量的代数表示和计算系统，是c l i f f o r d 代数的一 个新的分支，主要内容包括表示和计算两部分：( 1 ) 十九世纪几何的统合代数表示，c g a 为初等几何提供了统一和简洁的齐性代数框架。( 2 ) 拥有高效符号几何计算方法的不变量 代数。几何学的研究主题是几何不变量，不变量系统在几何代数化中具有明显的优点， 但原有的系统代数计算效率低下，一般还不如直接使用坐标方便。 共形几何代数统一了图形学中使用的各种数学系统，能够以简便和富有几何直观的 方式应用于计算机应用领域。几何代数作为一个新兴的强力工具不仅可用来进行三维形 状的描述，在c g a 提供的简洁计算公式中，各种维数的平面和球的几何度量与其几何构 造对偶，几何上的交和扩张对应于c a y l e y 代数交和并，距离和夹角对应于表示的内积， 而所有的几何关系都包含于c l i f f o r d 乘法。各种几何变换也可用旋量和转量显式表示。 由于c g a 与坐标的选取无关，处理几何问题的过程和结果具有内蕴性的，因而可以直接 进行几何解释。由于c g a 对初等几何的表示是统一的，因而一个代数公式可以在各种 几何中解释成不同的几何定理。c g a 是高级协变量系统和高级不变量系统的结合，其不 变量子系统称为零括号代数( n u l lb r a c k e ta l g e b r a ，简记n b a ) 。n b a 具有高效的展开、 消元、化简和分解算法，从而可以用来进行极其复杂的符号几何计算。n b a 可以将实际 的几何不变量表示成基本不变量的有理单项式形式，因而是初等几何的最实用的不变量 系统，在几何数据处理和几何建模方面表现出巨大的优势。由于共形几何代数与坐标的 选取无关，可以在高维空间中，对于非线性问题用线性的方法处理，直接在高维空间中 得到合理解决方法。采用共形几何代数的方法来获得在图形学和视觉中有广泛应用的不 变量还是有很有意义的。共形几何代数的建立刚刚度过几年的时光，已经展现它令人。惊 讶的广泛的应用价值。它的应用前景仍具有广阔的空间，科研人员正在进一步探索它 2 第l 章前言 在不同的领域的应用。 1 2 研究现状 从1 9 世纪后期开始，几何代数被多次引用到各个领域并得到发展和完善。 吴毅红将几何代数的子代数一具有不变性的括号代数应用于于几何定理的机器证 明。基于平行圆准仿射不变性的摄像机标定，从圆的最小个数出发，计算圆环点图像简 单，只需要从拟合的二次曲线出发，不需要任何匹配，不需要计算圆心，可应用基于转 盘的重构，可对人的视线、对车辆行驶的方向进行定位。而3 d 物体的几何不变量研究有 一定难度，3 d 射影空间中的扭三次曲线没有基于不变量的建模，吴通过过6 个通常的点 的唯一的一个扭三次曲线【8 】证明，以扭三次曲线的弦l 为轴，且过扭三次曲线的4 个固定 点组成的平面束的交比，不依赖于l 的位置。扭三次曲线与三维重建的退化图紧密相连。 吴给出了一个6 点不变性的完备系统，详细证明了投影几何、仿射几何、以至欧氏几何( 包 括二次曲线、曲面) 的种种关系的括号代数【9 】表达形式，由此获得了种种几何定理的简 短的可读证明，为各种已知方法所不及。目前吴正在利用其不变性于计算机视觉的研究， 内容涉及摄像机定标【l o 】，三维重建，摄像机定位，图像匹配，多视几何学，基于图像 的测量等。 国外诸如美、英、德、加拿大、日本、墨西哥、新西兰、荷兰、西班牙等国的学者 建立的研究小组正在用几何代数的方法来进行实验和应用，将共形几何代数作为新兴的 强力工具应用于计算机图形学、计算机辅助设计、计算机视觉、动画等高技术领域，以 及数学、理论物理、宇宙学、教育学等基础研究领域。 在s i g g r a p h2 0 0 0 ( s p e c i a li n t e r e s tg r o u po ng r a p h i c s ) 上，a r o c k w o o d 组织了关 于几何代数的课程，重点是c g a 及其应用。在此课程中，a r o c k w o o d 等【1 1 】指出：对 于计算机图形学、几何建模和交互技术中使用的数学而言，几何代数是一种新的基本语 言，由于它对几何的描述是内蕴和无维数间隙的，因而对于处理几何问题极为有用。它 提供了新的见解和革新的算法，在计算机图形学有着广泛的应用，如运动学和动力学， 单纯形计算( 多边形和有限元) ，流体的流动，碰撞检测，分级的界限球和框，球面的 四元数样条，弹性形变，曲线和曲面，向量场等。 在计算机图形学和动画中的应用具体主要有： 英国剑桥大学的工程系几何代数研究小组，以l a s e n b y 教授为领导，研究应用刚体运 动的旋量表示进行曲面变形、运动插值和空间曲线拼接，他们认为几何代数表示会对不 中国石油大学( 华东) 硕上学位论文 同几何问题带来处理方法的统一和简化。 荷兰阿姆斯特丹大学智能识别小组，以道斯特为领导，热衷于发展基于几何代数， 尤其是c g a 的计算机图形学新算法。他们与加拿大滑铁卢大学计算机系和罗马尼亚布 加勒斯特技术大学计算机系合作，应用c g a 于碰撞检测，v o r o n o i 图表，光线追踪，网 格曲面，点云运动等，在i e e et r a n s c o m p u t e rg r a p h i c sa n da p p l i c a t i o n s 和c o m p e e r s & g r a p h i c s 等杂志上发表多篇文章，介绍、探索和应用c g a ，发展基于几何代数和 c g a 的图形学软件。 英国、加拿大和德国的一些学者和工程师应用c g a 开发了新的触觉技术和动画技 术。 在计算机视觉和机器人中的应用具体主要有： 德国基尔大学在2 0 0 1 年用几何代数进行了欧式空间的变换估计。就是通过标定摄像 机，确定好3 d 物体的初始3 d 姿态，然后通过几何代数的扭量表示方法来确定参数，从 而根据其单孔图像顺序来跟踪物体的移动过程。在2 0 0 2 年用几何代数对于扭曲的曲面和 平面进行姿态估计，提出了自由形状曲线和曲面的扭量运动参数表示。通过几何代数基 于扭量的算法，首先表示出曲线和点，然后利用参数估计的方法，确定出刚体运动。最 后完成姿态估计，达到了良好的效果。在2 0 0 3 年通过几何代数的方法，进行了自由形状 物体的姿态估计，认为c g a 提供了物体的紧凑表示，采用几何方法的插值对轮廓逼近， 极大地节省了计算时间。他们应用c g a 于姿态估计的工作获得2 0 0 2 年德国模式识别 学会奖( d a g m p r e i s ) ；他们c g a 于神经元设计的工作获得2 0 0 3 年德国模式识别学 会奖。由于该实验室成员r o s e n h a h n 在应用c g a 于姿态估计方面的出色工作，2 0 0 3 年 他获得一项大奖- - s i e g f r i e dw e r t h 奖。2 0 0 7 年提出了一种新型的二维图像结构模型例。 二维图像信号嵌入到几何代数，获得了更多的自由度，二维结构图像信号的相旋转不变 量，对基于相的计算机视觉任务处理过程有重要作用。由基尔大学的研究可见，在姿态 估计方面，c g a 有着很大的应用，但是由于c g a 的性质丰富人们只是研究了它的有限一 部分。 墨西哥国家高等技术研究所几何计算机视觉实验室，以白若科若查诺( e b a y r o c o r r o c h a n o ) 为领导，应用c g a 于照相机定位和神经元设计。对3 d 眼部运动建模， 相比四元数、矩阵方法，得到了几何代数方法的线性方程。在几何代数框架提出了模型 容积数据及非刚性模型的配准算法，相比结合球方法，减少了3 d 数据建模的实体。方法 基于遍历立方体，非刚性配准，由确定性退火计划完成，并且在手术对象跟踪再次使用 4 第1 章前言 几何代数技术。 新西兰奥克兰大学计算机视觉研究组，以克赖特( r k l e t t e ，i e e e t r a n s p a m i 副主 编) 为领导，应用c g a 于目标自定位问题。 【1 2 1 3 1 应用c g a 于运动建模和跟踪，强调c g a 提供了一个非常精彩的方式 处理关联几何，并推广到包括了圆和球。相信用它处理更为复杂的反运动学问题，将有 巨大的潜力。 【1 4 指出，c g a 提供的几何操作戏剧性地拓展了投影几何构造，利用它为复杂的 几何操作编写的计算机程序，将是鲁棒、精美和高度浓缩的。这对于图形学工业将有大 量潜在的应用。 【1 5 将c g a 应用于曲面演化，指出c g a 以一种有效和美妙的方式推广了几何操 作的范围，它提供的直接综合的几何算法本质上很简单，但是能够得到出乎意料的十分 复杂的结果。【1 5 】指出，在由【1 提出的c g a 中，欧氏、投影和共形几何相互兼容，优 势互补，其符号表示与坐标无关，可以同时处理运动学和投影几何，从而能够有效处理 姿态估计问题。 1 6 】比较了c g a 和其他几种线性代数和几何代数工具在光线追踪中的表现，指出， 在【l 】中新发现的几何代数c g a 为三维欧氏几何计算提供了迄今为止最为紧凑的表达 式，在科学精确性的竞赛方面是显然的冠军，推荐在实验、原型标准、离线工具开发等 应用中作为处理几何问题的最佳武器。同时，c g a 统一了欧氏、球面和双曲几何，一种 几何中证明的定理立即在其它几何中有对应的定理，是1 9 世纪几何的完整化。 【1 7 】应用c g a 于机器人学，指出c g a 为统一处理平移和旋转提供了一个优美的 方案，使我们能够简化许多复杂过程。一个特别漂亮的例子是运动插值。c g a 在结构 领域( 例如梁弯曲) 中有相当惊人的应用。一个令人惊异的事实是，一旦我们在欧氏空间 的c g a 中建立了工具库，只要经过微小的改动，我们就能够在其他非欧空间中进行同 样的操作。 【18 】介绍基于j a v a 和c g a 的三维交互绘图软件k a m i w a a i ，指出由于它是世晃上 第一个纯粹基于c g a 的交互j a v a 软件，因此处在应用数学和计算机科学的激动人心 的新发展的前沿。 1 3 主要研究内容 共形几何代数作为几何的高级不变量和协变量系统的结合，它为经典几何提供了统 5 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 一和简洁的齐性代数框架，以及高效的展开、消元和化简算法。本文结合这些特性，从 问题本身的结构特性、几何变换的描述、计算手段等多方面分析研究，进一步试图探讨 共形几何代数在计算机图形学中的应用原则问题f 本文主要研究内容包括 ( 1 ) 传统矩阵代数、h e r m a ng r a s s m a n 向量代数和w r h a m i l t o n 四元数代数在计算机 图形学都已有了相应应用，而共形几何代数是在c l i f f o r d 代数的基础上建立的一种更具概 括性的数学语言。对共形几何代数中与计算机应用领域相关技术进行描述和分析，并在 此基础上分析共形几何代数与传统代数框架在表示、计算上的区别和联系。 ( 2 ) 姿态估计问题是计算机视觉中一个经典问题，其场景涉及多个数学系统的表示不 统一问题，以及和实际应用中复合对象的表达不耦合现象，采用新的数学工具c g a 能处 理这类问题。 ( 3 ) 全景视觉应用范围广泛，将一个传统成像系统与一个反光镜组合即可构成一个全 反射系统模型，采用c g a 对此模型进行表示和处理，给出解决此类问题的新思路。 1 - 4 论文组织结构 本文的组织结构如下： 第1 章前言。主要阐述了本课题的研究背景，简要分析了其研究意义，介绍了共形 几何代数相关技术与发展现状。第2 章介绍了共形几何代数的基本理论及性质。第3 章应 用c g a 的旋量和扭量表示给出2 d 3 d 姿态估计问题的推导实例。第4 章将表示问题扩展 到全景视觉系统中，说明了c g a 解决此类问题的思路。第5 章对论文工作进行了概括性 总结，并提出了以后的工作方向。最后列出了本文的相关参考文献。 6 第2 章几何代数 第2 章几何代数 。几何代数( g e o m e t r i ca l g e b r a ) 是描述空间对象的统一数学语言，在几何代数中， 可以将矢量、四元数、张量等都统一到同一个代数框架内。目前几何代数的应用范围已 涉及物理学的黑洞到计算机视觉的许多不同领域，对于计算机图形学、几何建模和交互 技术中使用的数学而言，几何代数是一种新的基本语言，由于它对几何的描述是内蕴和 无维数间隙的，能够用简洁的符号表示高阶形体，并且能够对其进行线性操作，因而对 于处理几何问题极为有用。它提供的新的见解和革新的算法，在计算机图形学有着广泛 的应用，如运动学和动力学，单纯形计算( 多边形和有限元) ，流体的流动，碰撞检测， 球面的四元数样条，弹性形变，曲线和曲面，向量场等，甚至已经有人致力于将几何代 数作为物理学和工程领域统一的数学语言。几何代数其特性可归结为三个积的定义。 本节介绍几何代数的一些基本知识。主要参考h e s t e n e s ，l a s e n b y ，s o m m e r 和李洪波等 学者的著作【1 】 2 】【3 】 4 】【5 】【6 “7 】。 2 1 外积( t h eo u t e rp r o d u c t ) 在三维向量代数中两个向量的叉乘可表示为a b ，其中a 和b 为两向量，我们知道 这个表达式的结果是垂直于两向量的一个向量，且我们经常用它来表示一个法向量由它 定义的平面。很明显这种表示缺乏一种几何直观性，同时也混淆了平面和向量的表示。 对于这个问题，在几何代数中，一种更加直观的表示是二向量。二向量可视为一个有方 向的面片。为构造二向量，我们就需要引入外积的定义，可表示为a 八b 。面片的面积 等同于由叉乘表示的平面的面积，即l 口人6 l = l 口l l b l s i n 0 ，其中秒是两个向量的夹角。这种 表示与叉乘的不同还体现在它能在任意维数空间表示，而叉乘则仅在三维空间中成立。 由于得到的这个对象是2 维的因此也称之为2 级，以此类推，如果我们将一个二向量再 与一个向量做外积，则将得到一个有方向的体素，这是一个3 级对象，像这种只包含一 种级数的元素可称作阶。 常用的外积性质如下所示，其中a 、b 、c f ( 其中f 为刀维欧氏空间) 。 反交换性：口 6 = 一b a a ( 2 1 ) 结合性： ( 口 易) c = a a ( b a c )( 2 2 ) 矢量加法的分配率：a a ( b + c ) = ( a a b ) + ( a c ) ( 2 3 ) 7 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 标量- 矢量乘法的交换律：2 ( a a b ) = ( 2 a ) a b = 口人( 劢) 外积另一个重要的特性是： 口a b = 0 a ；f 1 b 线性相关 令岛1 a k ) ce ”是为k 个相互线性无关矢量，则： ( qa a 2 a a i ) 6 = 0 当且仅当b 线性相关于 q ，a 。 。 k 个矢量的外积叫做k 阶外张量( k - - b l a d e ) 表宗为： 七 a = 1 ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) 彳吐，代表外张量的转置( r e v e r s e ) 。转置操作是这样一个算子，仅仅将外张量的矢量的 七 顺序颠倒一下。例如么咖= 肥则： j i l a b 。a ia a i la a a t ( 2 2 1 ) 外积满足结合率和反交换率，外张量中的向量的重排只改变外张量的符号，对转置我们 有 彳 = ( 一1 ) ( 7 24 i 外张量的阶数决定了外张量的转置是否会引入一个额外的符号( 矢量的阶数为1 ) 。对 任意外张量4 ( 。) g 仁”) 有彳。4 ：= 怕。 0 2 然而有： 彳。4 。b = ( 一1 ) 螂叫7 2 怕 q 】 l - 1 4 七 、q 代表去掉矢量q 的外张量4 七 ，一个矢量和后阶外张量的结果是( 肛1 ) 阶外张量。另 外一个重要的法则是： ( 口6 ) 4 七 = a ( 6 4 i ) ，k 2 。更一般地，外张量 4 ( i ) b ( ，) g 陋“) 的内积( o 比 = o l ( 口2 ( ( q 坟，) ) ) ( 2 - 2 4 ) 两外张量内积的结果为，一k 阶外张量。 与外积相比较，可知外积和内积是相反的：外积增加外张量的阶数，内积则减少外张量 的阶数。 般情况下，令x ，y ，a ，b e ”，并令 y = x ( 口a 6 ) = ( x a ) b - ( x b ) a ( 2 2 5 ) 并且我们可以得到 1 2 第2 章n 何代鼓 z - y = x 【( xa ) b 一( x b ) a 】 = ( x 口) ( zb ) 一( jbxx口)(2-26) = q 也就是x 与y 相互垂直，同时也表明内积x ( 口n 6 ) 从n 6 ) 表示的子空间内缩减掉x 表示 的子空间。 令p 表示二重矢量( a b ) ，在矿内该二重矢量表示通过原点的平面，一个矢量 i e 一般情况下具有平行于，的分量一和一个垂直于p 的分量一，也就是r = 一+ x ”， 因此y f f i j p = ( j 1 + 一) p = 一p 内积。p 从p 表示的子空问减掉表示的子空问，得到p 空问一个垂直于x 的矢量。 园2 - 2 矢量与二重矢量的内职 f 啦一2i n n e r p r o d u c t o f v e c t o r a n db i v e e t o r 内积的主要代数特性有： 加法分配率：口( 6 + 0 = 口b + 口c ( 2 - 2 7 ) 交换率： a - b = 64 (2-28) 标量一矢量乘法的交换率：i ( 口6 ) = d ( 肋) = ( 枷b( 2 2 9 ) 正定性：ad圳20(2-30) 2 2 1 内积零空间 和外积一样，我们也可以定义内积产生的外张量的零空间。外张量一g 仁4 ) 的 内积霉空n i p n s ( i n n e r p r o d u c t n u l ls p a c e ) n i ( 4 t 曲是函数n b 的核，定义为 n ：x h 。 。) e g 忙) ( 2 - 3 1 ) 中5 油文学( 华末) 硬t 学位论文 眦n i ( a c 。j ；b e ”：x e 4 考虑向量a e ，n l ( a 1 为 n i i a ) = = k e e l ：zd = o ( 2 - 3 2 ) 也就是说所有垂直干a 的所有矢量都属于a 的内积零空间( i p n s ) 。e 3 中a 的i p n s 是一个 法线为a 的平面。前面我们已经知道二矢盘的外积零空间表示一个平面。这意味着在的 矢晨的内积零空间和g ( ) 中二矢最的外积零空间之间存在精某种联系。 2 22 内积零空间的几何解释 矢最”t e 3 的内积零空问足通过原点的平面，其中月是平面的法线。对于对偶操作a 、 be e 3 张成平面的法线为月= ( 口 6 ) + 平面a b 的法线月伸出的那面通常认为是平面 的“前面”。二重矢量代表一个有向的平面。例如b a a 的法线m 为： m = ( 6 口) = 一( 口 6 ) + = 一”( 2 - 3 3 ) ! 圉2 - 3 二重矢量a b 表示的平面的对儡 f i 9 2 - 3 d u a l o f p l a n er e p r e * e n t g m lb y b i v c e t o r a b 因此由b a 表示的平面同a a b 表示的平面包含相同的子空间，但是它们的“前面”指 向相反的方向。这也表示了向量叉积( c r o s sp r o d u c t ) 和外积之间的关系， a x b = ( 口a b ) +( 2 - 3 4 ) 考虑g 拉”j 中的二重向量d n 6 ，为了得到它的内积零空1 7 ，我们必须找到在e 3 的一个 矢量x 满足x ( 口n 6 ) = o 由于z ( 口n 6 ) = 卜。) 6 一“6 ) a 假设口a b 不为零，则a 和b 一定线性无相关。因此上式为零当且仅当 - ! ! ! ! ! ! ! xd ：0 且m b0 ( 2 - 3 5 ) 从几何意义上来说，式( 2 _ 3 5 ) 条件意味着x 必须位于a 以内积零空间方式表示的平面以及 位于b 以内积零空间方式表示口秤面内；这样斑上述甲面的交线上。这表明两个向量的 外积表示了它们分别表示几何体的交。由集合表示为：m ( a 6 ) = n l ( a ) n n t ( b ) 图2 4 内积尊空间表示的两个平面的窑 f i 醇- 4 l n l e m * e t i o o f t w op b n h i n t e r m s o f w n s 这样的一个交线具有方向，在上述情况下为( b n 砷+ 在对要讨论的最后一种外张量是三阶外张量或三向量( i r i v e c t o r ) ，三向量 _ ma ( e 3 ) 是一伪标量，因此止。= 0 如，i i i 其中，是g ( 矿) 的单位伪标量。记4 ，：= a m b a c ，a 如果丘b 不等于零，那么a 、b 和c 是线性无关。为得到4 ，n n 积零f f n ，需要找到满足x 如，= o 的矢量由 z 4 ，= ( zd ) p c ) 一( z6 ) 扣 c ) + ( z - c ) ( 口n 6 ) ( 2 - 3 6 ) 二向量b c ，a c 和a b 都线性无关，因此当且仅当j 口= o ，胼b o gxc = 0 才有 x 4 3 ，= 0 在几何上这表明x 4 。= o 当且仅当x 位于a 、b 和c 表示的平面的交点之处- 因为矢量内 积零空间表示的所有平面通过原点，所以三个平面仅能在原点相交。x - 4 b = 0 的唯一 解是奇异解x = 0 e 3 。如图所示： 十目5 曲大 ( # 求) 学位论文 2 2 3 对偶 四 二j 一弗 j 圉2 5 内积霉空问表示的三个平面的空 f i 9 2 - 5 i n t e r s e c t i o n o f t h r e e p l a n e s i n t e g m s o f i p n s 令托，岛，勺 代表e 3 的正交基。e i 的内积零空间是垂直于q 的矢罱集表示为： m 0 ，) ：= 如，十辟，：缸，p ) s e 2 ( 2 - 3 7 ) 为由巳和勺的张成的平面。然而，我们知道这也是二矢量岛ae 3 的外积零空问 d 0 ：n 屯) = k ：+ d e ，：b ，芦) e e2 ( 2 - 3 8 ) 困此我们也许会问在外积零空间和内积零空间之间是否有一定的关系，这样的关系确实 存在，我们称之为对偶( d u a l i t y ) 。接下来看它是如何实现的。 开始实质的计算之前我们介绍两个很有用的关于矢量集的操作。第一种是矢量的直和操 作，表示为o ，给定两矢量集# 扫，托。亡e ，日等以z 。c e 4 ，它们的直和是 a o b 扛，+ le e 4 ：o g ( 科) ，这样加( 4 。 ) = r ”o n o ( b 柑，) 这样的操作确实存在，称之为对偶( d u a l ) 。任意多矢量么g ( 低”) 对偶记为彳幸，定义 为a ；a 厂1 ( 2 4 5 ) i - i 是g ( r ”) 的单位伪标量的逆。由于对偶操作相对于代数的特殊元素能够作为一个标 准乘法，因此是几何代数一个卓越的特性。然而，多矢量的对偶的对偶会引入一个额外 的符号。即 ( 彳幸) 幸= ( 么，q ) ，= 彳( ，一i - 1 ) ( 2 4 6 ) 如前所述，厂1 是g 仁”) 中的门阶外张量，9 诈k i - 厂1 = ( 一1 ) ( 扣1 ) ，2 扩10 2 = ( 一1 ) 卅- 1 ) ，2 因此厂1 1 = 一1 时，对偶的对偶会引入一个额外的符号。 对于e 3 的正交基 q ，e 2 ，e 3 ，对偶有如下作用。对二重矢量代表乞 巳，e 3 的单位伪标 量和其逆为j = e la e 2 人巳，厂1 = 7 = 巳a e 2a e i = 一， e 2a 厶的对偶为 1 7 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 ( e 2 八巳) 幸= ( e 2a e 3 ) 厂1 = ( p 2 岛) ( 巳a e 2aei)(2-47) = e 2 e 3 ( e 3ae 2 e 1 ) ) 音先计算最外层括号内的项 巳( 巳 乞a e ，) = ( 岛e 3 ) ( e 2 巳) 一( 巳巳) ( p ，人巳) 一( 巳e 1 ) ( 巳a e ：) = 乞a q 因此( 巳 巳) 木= 乞