（理论物理专业论文）超短光脉冲在光纤中的传输特性及相互作用.pdf

承诺书 本人郑重声明：所呈交的学位论文， 是在导师指导下独立完成的，学位论文的 知识产权属于山西大学。如果今后以其他 单位名义发表与在读期间学位论文相关的 内容，将承担法律责任。除文中已经注明 引用的文献资料外，本学位论文不包括任 何其他个人或集体已经发表或撰写过的成 果。 学位论文作者r 签靴庶缸蔼 2 0 0 j 7 年j 月日 摘要 本文主要研究超短光脉冲在光纤中的传输特性。通过解析方法和 数值模拟方法讨论描述超短光脉冲在光纤中传输的高阶非线性薛定 谔方程和高阶g i n z b u r g l a n d a u 方程。为进一步实现超高速、大容量 的光信息传输提供了一定的理论依据。本文的主要内容如下： ( 1 ) 简单介绍光脉冲传输的基本模型非线性薛定谔方程。 在此基础上进一步将该方程推广到高阶非线性薛定谔方程和高阶 g i n z b u r g l a n d a u 方程，以使它们能够描述窄于1 0 0 f s 的超短光脉冲在 光纤和含有光放大系统中的传输特性。然后，就非线性薛定谔方程的 基本解亮孤子解和暗孤子解进行简单地讨论，给出它们的一些基 本性质并分析比较相邻亮、暗孤子问的相互作用。最后介绍求解高阶 非线性薛定谔方程常用数值模拟法分步傅里叶变换法。 ( 2 ) 用d a r b o u x 变换法，对描述超短脉冲在光纤中传输的h i r o t a 方程进行详细地讨论，给出h i r o t a 方程n 一孤波解的普遍表达式。作 为特例，给出一种新解连续波背景中的孤子解的精确表达式，并 详细地讨论这个新解的两种特殊情况，并由此解释光纤中连续波的调 制不稳定性和光脉冲在连续波背景中的传输特性。 ( 3 ) 讨论描述超短光脉冲在光纤中传输的g i n z b u r g l a n d a u 方 程，给出该方程的啁啾类孤波解，同时研究这种类孤波解的相互作用， 给出相邻孤波相互作用平衡的最短距离。 ( 4 ) 给出g i n z b u r g l a r d a u 方程的一个精确的暗孤子解和解存在 的必要条件，同时对解的稳定性从数值实验和理论上进行了分析。最 后给出具有非零边界条件的暗孤子的功率、动量和能量。 关键词：超短脉冲：孤子：相互作用：高阶非线性薛定谔方 程：g i n z b u r g l a n d a u 方程 a b s t r a c t i nt h ep 印e r ，w ew i i li n v e s t i g a t et h et r a n s m i s s i o no fu l t r a s h o r tp u l s e s i n o p t i c a l 行b e r f r o mt h ea n a l y t i c a lp o i n to fv i e w ，w i t ht h e a i do ft h e n u m e r i c a l s i m u l a t i o n ， w ew i l id i s c u s st h e h i g h e r - o r d e r n o n li n e a r s c h r 6 d i n g e re q u a t i o n i nf e m t o s e c o n d r e g i m e a n dg i n z b u 唱一l a n d a u e q u a t i o nt h a td e s c r i b e su l t r a s h o np u l s e si nt h ep r e s e n c eo fs e l f - f r e q u e n c y s h i r ，r e s p e c t i v e l y t h em a i n r e s u l t sa r ea sf o l l o w s ： 1 t op r e s e n tt h eb a s i cm o d e lf o rt h ep r o p a g a t i o no fo p t i c a lp u l s e t h en o n l i n e a r s c h r 6 d i n g e re q u a t i o n ， t h e h i g h e r - o r d e r n o n l i n e a r s c h r 6 d i n g e re q u a t i o n ，a n dt h eg i n z b u 玛一l a n d a ue q u a t i o n t h e nt h eb a s i c p r o p e r t i e s o ft h e l i g h t a n dd a r ks o l i t o n ，a n di n t e r a c t j o nb e t w e e n n e i g h b o r i n gs o l i t o nf o rt h en o n l - n e a rs c h r 6 d i n g e re q u a t i o na r ep r e s e n t e d f i n a l l y ，t h es y m m e t r i cs p l i t s t e pf o u r i e rm e t h o d si si n t r o d u c e d 2 t h en s o l i t o ns o l u t i o n sf o r t h ei n t e g r a b l eh i m t ae q u a t i o na r e p r e s e n t e db yu s i n gt h ed a r b o u xt r a n s f o n ”a t i o nm e t h o d a sa ne x a m p i e ， t h e2 e n e r a lo n e s o l i t o ns o l u t i o no nac o n t i n u o u sw a v eb a c k g r o u n di s g i v e ni ni t se x p l i c i tf o n l l t h e n ，t w oe x a c ta n a l y t i cs o l u t i o n st h a td e s c r i b e ( i ) m o d u l a t i o ni n s t a b i l i t ya n d ( i i ) b r i g h tp u l s ep r o p a g a t i o n o n a c o n t i n u o u sw a v eb a c k g r o u n da r ed i s c u s s e di nd e t a i l 3 t h eh i g h e r o r d e rg i n z b u r g l a n d a ue q u a t i o ni sc o n s i d e r e d ，a n d t h ec h i r p e ds o l i t a r y l i k es o l u t i o ni sp r e s e n t e d t h e ni n t e r a c t i o nb e t w e e n n e i g h b o r i n gc h i 叩e ds o l i t a r y - l i k e s o l u t i o ni si n v e s t i g a t e db yn u m e r i c a l s i m u l a t i o nm e t h o d a tt h es a m et i m e ，t h es h o r t e s ts e p a r a t i o nb e t w e e n n e i 曲b o r i n gs o l i t o n sb yu n e q u a la m p l i t u d em e t h o di sf o u n d 4 t h ed a r ks o l i t o n l i k es o l u t i o n f o rt h e h i g h e r o r d e rg i n z b u 唱一 l a n d a ue q a t i o na n dt h er e q u i r e m e n to fe x i s t i n gd a r ks o l i t o ns 0 1 u t i o na r e p r e s e n t e db ye m p l o y i n ga n s a t zm e t h o d t h es t a b i l i t yo ft h e s 0 1 u t j o ni s i n v e s t i g a t e dn u m e r i c a l l ya n dt h e o r e t i c a l l y i na d d i t i o n ，w ea l s oc a l c u l a t e t h ei n t e g r a i so fm o t i o nf o rt h ed a r ks o l i t o n l i k es o l u t i o n ，i n c l u d i n gt 1 1 e p o w e r ，t h em o m e n t u ma n dt h ee n e 曙y v k e yw o r d s ：u l t r a s h o r tp u j s e ；s o l i t o n ；i n t e r a c t i o n ；t h eh i 曲e r _ o r d e r n o n l i n e a rs c h r 6 d i n g e re q u a t i o n ；t h eg i n z b u r g l a n d a ue q u a t i o n v 山西大学2 0 0 5 届硕士学位论文 引言 超短光脉冲及其稳定传输的研究意义 自从激光在二十世纪六十年代诞生之后，超短光脉冲的产生、传输以及物质之问 的相互作用已成为光学领域的重要研究课题之一。由于超短光脉冲在实际分辨率， 高峰值功率以及相干频谱等方面的优点，超短光脉冲在物理、化学、生物及医学等 领域有着重要的研究意义和广泛的研究前景。在光学领域本身，超短光脉冲被广泛 应用于超高容量的光信息通信、激光信息存储、处理等。以飞秒为标志的新的学科 正在兴起，如飞秒激光化学、飞秒激光光谱学、飞秒激光物理学、飞秒光电子学、 飞秒光孤子通信等。在新的世纪中，孤子理论尤其是光孤子理论是具有广泛应用 前景的学科方向，是当今国际研究的热点课题之一。 在光通信领域中，由于传导光信号的媒介一石英光纤本身存在着固有的色散， 致使光脉冲信号在传输过程中发生畸变，而且光信号的脉宽越窄，其在传输过程中 的展宽就越大，这直接影响着光通信的信息容量。因此，如何保持超短光脉冲在光 纤的传输过程中不发生或尽可能小地发生畸变，以有效利用光纤带宽，实现尽可能 高的传输容量的传递，是一个重要的研究课题。光脉冲以孤立波或孤立子的形式实 现光脉冲在光纤中的无畸变传输就是一种可能的解决方案。而孤立波或孤立子同时 也是非线性科学中的一个重要的研究领域，它被认为是二十一世纪的一个主要发展 方向。因此，研究飞秒光脉冲以孤立波形式传输的特性既有重要的科学意义也有重 大的实际应用价值。 在理论上，光孤子在光纤中的表现行为和特性乃是当今非线性年代的首要论题 之一。非线性曾经被人们当作是个性极强，无从逾越的难题，每个具体问题似乎 都要求发明特殊的算法，运用新颖的技巧。直到2 0 世纪6 0 年代，人们发现通过反 散射方法能够求解一大类非线性偏微分方程，然而大多数进展还只限于时、空维数 较低的系统。因而研究光孤子在光纤中传输这一非线性问题在理论上就显得尤为重 要，因为它的求解不仅可以解决问题本身，而且也会给人们以新的启示，使这一理 论应用更加广泛。因此，无论从应用学科的角度来讲，还是从理论上来况，研究超 短光脉冲以孤立子形式传输的特性既有重要的科学意义，也有重大的实际应用价值。 本文主要是从理论的角度探讨光纤中超短光脉冲的传输特性，为实验提供一定的理 论基础。 超短光脉冲的历史进程与发展 山西大学2 0 0 5 届硕士学位论文 早在八十年代初期，f o r k 等人就应用碰撞锁模技术在染判激光器中实现了6 f s 的 超短光脉冲。然而对于固体激光器，由于放大介质增益带宽的限制，超短脉冲技术 发展迟缓。孤子激光器( s o l i t o nl a s e r ) 的出现加快了固体激光超短脉冲技术的发展。 九十年代，脉冲叠加( a p m ) 锁模技术的发展己f | 益成熟。然而随之而来得以掺有 兰宝石为主要代表的克尔透镜( k l m ) 锁模激光技术最终将固体激光器的超短脉冲 技术推到了顶峰，现在已实现了低于5 f s 的超短脉冲( 只有1 2 个振荡周期) 。与此 同时，人们也积极推进着通信波长窗口处的超短脉冲研究的发展。在1 4 1 6 “m 波 长处已可以产生几十飞秒的超短光脉冲，为更高速率的光通信实验研究奠定了良好 的基础。 关于飞秒光脉冲在光纤中的传输研究，早在1 9 8 7 年k o d a m a 等人就已利用多重 尺度法导出了飞秒光脉冲在光纤中的传输演化方程一高阶非线性薛定谔方程。它与 描述皮秒光脉冲的非线性薛定谔方程不同之处在于增加了不可忽略的三阶色散、自 陡峭及自频移等效应引起的附加项。这是一个高阶非线性偏微分方程，无论在数学 还是物理上都是较难处理的问题。而对于高阶非线性薛定谔方程的各种特例或变形， 在此之前就从数学角度得到了研究。比较著名的有将修正的k d v 方程和非线性薛定 谔方程结合起来的h i r o t a 方程及其用d a r b o u x b a c k i u n d 变换法获得的孤子解。之后， 人们就高阶非线性薛定谔方程采用各种方法作了大量的解析及数值研究，比如， h i r o t a 直接法、反散射变换法、p a i n i e v e 分析、d a r b o u x b a c “u n d 变换、守恒定律法、 行波变换法等，但这些研究大多都限制在一定的参数条件下，而这些条件在实际情 况下往往是难以满足的，从而亦难以在实验中得到验证。而对于飞秒暗孤立波，研 究的更少。因此，虽然飞秒光脉冲在光纤中的传输特性在光通信中具有极其重要的 地位，但限于理论和实验上的复杂性和困难性，一直未能有较大的突破和发展。 本文的主要内容 本文主要针对超短光脉冲在光纤中的传输特性进行了研究，为实现超大容量的 光信息传输提供比较全面的理论依据。我们还探讨了光脉冲在光纤中的无畸变传输， 分析了孤子传输的稳定性。 第一章简单介绍光脉冲传输的基本模型一非线性薛定谔方程。在此基础上进 一步将该方程推广到高阶非线性薛定谔方程和高阶g i n z b u 唱l a n d a u 方程，以使它们 能够描述窄于1 0 0 f s 的超短光脉冲在光纤中的传输特性。然后，就非线性薛定谔方程 的基本解一亮孤子解和暗孤子解进行简单地讨论，给出它们的一些基本性质并分析 山西大学2 0 0 5 届硕士学位论文 比较了相邻亮、暗孤子间的相互作用。最后介绍求解高阶非线性薛定谔方程的常用 数值模拟法一分步傅早叶变换法，为后面几章讨论超短光脉冲的传输特性提供必要 的基础。 第二章采用d a r b o u x 变换法，对描述超短脉冲在光纤中传输的h i r o t a 方程进 行详细地讨论，给出h i r o t a 方程n 孤波解的普遍表达式。作为特例，给出了一种新 解连续波背景中的孤子解的精确表达式，并详细地讨论这个新解的两种特殊情 况，由此解释光纤中连续波的调制不稳定性和光脉冲在连续波背景中的传输特性。 第三章讨论描述超短光脉冲在光纤中传输的g i n z b u r g l a n d a u 方程，给出该方 程的啁啾类孤波解，同时研究这种类孤波解的相互作用，给出相邻孤子相互作用平 衡的最短距离。 第四章给出g i n z b u r g l a r d a u 方程的一个精确的暗孤子解和解存在的条件，同 时对解的稳定性从数值实验和理论上进行了分析。最后给出具有非零边界条件的暗 孤子的功率、动量和能量。 山西大学2 0 0 5 届硕士学位论文 第一章光脉冲在光纤中传输的基本特性 众所周知，光波是电磁波，在经典范围内光波场的一切传输特性都应遵从经典电 磁场的传输理论。为了理解光脉冲的传输特性，本章我们讨论并给出光脉冲在单模 光纤中的传输演化方程以及基本的传输特性。 1 ，1 基本传输模型 光孤子的概念产生于1 9 7 3 年，h a s e g a w a 和r r a p p e r 【在解决有光纤色散引起的光 纤通信的困难时，借助于非线性效应，建立了描述光纤中包络波的非线性薛定谔方 程，它是支配皮秒光脉冲在光纤中传输的基本方程，可以直接由麦克斯韦方程出发 在准单色、慢变包络近似以及假定非线性极化是瞬时响应的前提下导出，其具体形 式如下 ，暑一譬券+ r l 爿2 爿= 一等爿， ( 1 ，) 其中爿( 乙r ) 为脉冲包络的慢变振幅，= ，一z v 。是随脉冲以群速度v 。，移动的参考系 中的时间度量。参数“表示光纤损耗( d b k m ) ，而参数岛( p s2 k m ) 和，( w 一1 k m ) 分别 决定群速度色散和自相位调制的效应。通常当参数凹= o 时，方程( 1 1 1 ) 被称为非线 性薛定谔方程。 非线性薛定谔方程己成功地解释了大量的非线性现象，特别是被广泛地应用于研 究孤子的传输及产生。理论研究表明，当群速度色散参数尻为负时( 对应于反常色 散区) ，光纤能维持光学亮孤子传输川；当群速度色散参数局为正时( 对应于正常色 散区) ，光纤能维持光学暗孤子传输2 1 。在实验上，1 9 8 0 年美国贝尔实验室的 m 。1 1 e n a u e ls t o l e n 和g o r d o n 利用他们专为此目的发展的锁模色心激光器获得了 1 5 5 0 m 附近的窄短光脉冲，首次成功地在实验上观察到了亮孤子在光纤中的无畸变 传输峨隔了七年，1 9 8 7 年e m p l i t 等人在实验中观察到了暗孤子，随后1 9 8 8 年， 心o k e l 等人分别在实验上观察到了黑孤子和灰孤子吣】。 尽管非线性薛定谔方程( 1 11 ) 在许多问题上取得了成功，但它仍需要根据不同的 实验情况加吼改进。事实上，由于非线性薛定谔方程( 1 1 1 ) 只考虑了群速度色散和非 线性k e r r 效应，没有包括诸如受激拉曼效应等非线性效应的影响，所以它只适应于 描述皮秒量级的光脉冲的传输。对于石英光纤，由于分子的振动或拉曼响应在 6 0 f s 7 0 f s 的时间量级，所以对于脉宽在飞秒量级或亚皮秒量级( 1 0 0 f s ) 的光脉冲， 非线性薛定谔方程( 1 11 ) 已不再适用，这时必须考虑诸如三阶色散、自陡峭和自频移 山西大学2 0 0 5 届硕士学位论文 等高阶效应的影响。考虑到这些高阶效应的综合影响，上世纪八十年代中期，k o d a m a 和h a s e g a w a 从理论上又提出描述飞秒光脉冲在光纤中传输的基本模型一高阶非线性 薛定谔方程m 】 罢+ 罢爿+ 崩暑+ 孕睾一譬等 嘶m 吖籼2 爿) 强4 华， ( 1 m ) 其中参数口，届= 1 v 。，岛和，与方程( 1 1 1 ) 中的各参数一样，分别表示光传输系 统中的损耗因子、群速度的倒数、二阶色散效应和由非线性k e r r 效应引起的自相位 调制。不同的是在方程( 1 1 2 ) 中新增加了三个参数屈， 和y ：，它们分别对应着三 阶色散、自陡峭和白频移等高阶效应，其中参数晟决定了三阶色散效应，由于超短 脉冲的带宽较宽，因此该参数变得非常重要：九近似等于，与脉冲的自陡和冲 击有关；最后一个参数y ，的起因与延迟拉曼响应有关，对应于脉冲内拉曼散射诱发 的自频移效应。一般来说y ：为复数，可按实部和虚部展开为y ：= 口，+ f ，其中a ， 是与非线性延迟响应有关的常数，而乃与拉曼增益的斜率有关，大约为5 f s 。通常我 们将方程( 1 1 2 ) 称为高阶非线性薛定谔方程，用来描述飞秒或亚皮秒光脉冲在光纤中 的传输特性。特别地，若脉宽瓦 5 p s ，参量( 瓦) 。和瓦很小，则方程( 1 1 2 ) 中的最后两项可以忽略，对这种脉冲三阶色散项的贡献也很小，此时高阶非线性薛 定谔方程( 1 1 2 ) 可约化为非线性薛定谔方程( 1 1 1 ) 。 在求解方程( 11 2 ) 时，通常需要引入以群速度移动的参考系( 即延时参考系) ， 即作变换丁= f z 。= f 一届z ，同时为计算方便，我们进一步对时间丁，距离z 及振 幅爿作如下无量纲归一化变换 q _ a 民，t j t t o ，z _ z m ， 则变换后的方程( 1 1 2 ) 可简写成 g ：+ 罢 q = f ( a 。q 。+ 。：l q l2 q ) 十口，g + 口；( 旧i2 q ) ，+ d ，q ( 1 9 l2 ) ， ( 1 1 3 ) 其中方程各系数分别为 口o2 比2 d ，口 一扣慨) 圳瑙n 慨) 高 山西大学2 0 0 5 届硕士学位论文 。：一姜，旷一等( ”f 矾) ，：三： “4 一丽m 5 一瓦”“j 川乩2 。儿“。 这里异为归一化功率，瓦为归一化脉冲宽度，上! 。= 瓦2 | 岛| 为二阶色散长度， 上。= 1 成为非线性长度，上。= 兀3 i 岛| 为三阶色散长度。注意这里我们使用了表 达式y 。= y 和y ：= “，+ f 珥。由于光纤损耗一般比较小，所以在处理方程( 1 13 ) 时，通常忽略损耗项。 在实际的光纤传输系统中，孤子会受到各种各样的扰动，这些扰动有町能最终 影响孤子的稳定传输。例如在长距离孤子传输系统中，损耗是不可避免的，需要用 光纤放大器来补偿损耗，光纤放大器产生的自发辐射噪声会导致孤子中心频率的随 机移动。为了减少孤子的频移，在传输线中周期插入窄带滤波器被证明是有效的。 但是加了滤波器后，孤子频漕的两翼会受到损耗，这时又需要在滤波器中心频率处 提供一些额外增益来补偿，额外增益又会导致背景不稳定性，后来发现非线性增益 可以压缩背景不稳定性【l ”。考虑到这些效应后，描述皮秒光脉冲传输的非线性薛定 谔方程被修正为复的g i n z b u r g l a n d a u 方程( c g l e ) 。复的g i n z b u 唱一l a n d a u 方程是物 理领域研究最多的方程之一。该方程与它的各种修正可以描述各种各样的物理效应， 例如玻色一爱因斯坦凝聚、激光物理、流体动力学、非线性光学等”。1 “，而且复的 g i n z b u r g l a n d a u 方程还是人们研究时空混沌的事例模型。这里我们将研究复系 数高阶非线性薛定谔方程，它具有如下形式 e ：= 口o e + f ( 口1 + 妒1 ) e ，f + f ( 口2 + f 卢2 ) e 1 2 e + 丑e 。+ 乒0 e l2 e l + 江0 e l2 l + a 。i e i 4 e ， ( 1 1 4 ) 其中e ( 2 ，f ) 表示电场的慢变波包，z 是归一化距离，f 是延迟时间，系数口。，口l ，口，瓯 和届，局是实数，兄，和p 是复数。参数表示系统的线性增益损耗( 口。 0 是线 性增益，口o 0 ， l 瓣竞熬 聪 aa j ： 鼍 跨 j 口 ( c ) 薹啦 l8 。 0 0 圈11 ( a ) 基态孤予在两个捌期的_ 】荫化幽。( b ) 二二阶孤子在两个周炳的演化图。 ( c ) 三黔孤子在列个埽斓的浚纯蚓。( d ) 魁蹬孤子覆：一个鲻期她稿化幽。 山西大学2 0 0 5 屑硕士学位论文 冲称为高阶孤子。图1 1 中的( a ) ，( b ) ，( c ) 和( d ) 分别给除了基态孤子、二阶孤子、三 阶孤子和四阶孤子的数值演化图。从图中可以看出，对于= l 的基态孤子在传输过 程中形状保持不变，对于 1 的高阶孤子，则以一定的周期传输，这一点从图( b ) 和( c 1 中可以明显地的看出来。仔细的观察图1 1 中( b ) ，( c ) 和( d ) 的一个剧期内的波形 我们发现v = 2 时出现1 个波峰；= 3 时出现3 个波；= 4 时出现5 个波峰，并 可以预言当：5 时将出现7 个波峰，最终可以推断出它出现波峰的个数是2 | v 一3 。 再仔细的观察图1 1 中( b ) ，( c ) ，( d ) 的一个周期内的波形我们还发现波的种类也有一 定的规律：= 2 时，出现1 种波峰；= 3 日寸出现2 种波峰；= 4 时出现3 种波 峰，并可以预言当= 5 时将出现4 种波峰，最终可以推断出它出现波峰的种类数是 亮孤子有这种特点，那么暗孤子呢? 下面我们同样采用对称分步傅罩叶变换法 光脉冲称为高阶暗孤子。在这里需要首先说明的是，在利用对称分步傅里叶变换法 f j v t a n h 0 + d ) ，一日， 一“2 ， “( o ，) = t a n h ( f ) ，一d 2 r 口2 ， l a r t a n h ( f 一口) ， 口2 r 口 ；一i 雳 图l2f a ) 一阶暗孤于的演化圈 c b l 一阶暗孤了的演化图 ( c ) 三阶暗孤子的演化图 山西大学2 0 0 5 届硕士学位论文 这旱的d 是引进的一个参数，一般情况下我们取口= 2 ) ，这里的h 是时间循环次 数， ，是步长，新函数“( o ，) 在l d ，口l 上是连续的，并在一a 2 f 口2 内，有 “( o ，) = t a n h ( ，) ，在两个端点处有“( 一口) = “( 口) 。这样该新函数可以在整个实数轴 上进行连续周期延拓。我们就可以用新的“( 0 ，f ) 来代替原来的函数“( o ，f ) 。需要指出 的是，由于函数“( 0 ，) 包括了非初始脉冲的部分，所以数值计算的结果应该将这一 部分去掉。如图1 2 ( a ) 、( b ) 、( c ) 分别给出了基态暗孤子、二阶暗孤子、三阶暗孤子 的数值演化图。从图1 2 中可以发现，基态暗孤子随着传输距离的增加既没有出现分 裂也没有波动周期；二阶暗孤子随着传输距离的增加在原来暗孤子的两侧对称出现 了一对扶孤子，三阶暗孤子随着传输距离的增加在原来暗孤子的两侧对称出现了两 对灰孤子，从而我们可以推断出| v 阶孤子最终会形成狄孤子的对数是一1 。另外， 还可以看出中间暗孤子的脉宽逐渐变窄，两侧狄孤子的深度逐渐增加，这可以理解 为t a n h ( f ) 的入射脉冲形成振幅为t a n ( m ) 的暗孤子，宽度减小倍。从图1 2 还 可以看出两侧的扶孤子逐渐远离中间的暗孤子，这是由于群速度不同造成的。 1 3 孤子间的相互作用 在光孤子通信中，研究孤子间的相互作用是一个非常重要的课题，特别是研究相 邻孤子问相互作用的特性对降低光孤子在通信中的比特误码率具有十分重要的意 义。本节我们将通过数值分析的方法分别给出相邻亮孤子和相邻暗孤子的相互作用。 对于亮孤子，我们取初始脉冲的形式为 “【o ，f ) = s e c h ( r + 叮。) + s e c h 0 一g o ) ， 号 ； 亘 图3l 相邻亮孤于问的相互作用 ( a ) g o = 5 5 ： ( b ) g o = 3 5 ： ( c ) g o = 2 5 。 山西大学2 0 0 5 届硕士学位 宅文 其中2 9 0 表示相邻孤子问的距离。图3 1 ( a ) ，( b ) ，( c ) 分别给除了q o = 5 5 ，q n = 3 5 和 q o = 2 5 的相邻孤子的演化情况。从图中我们可以看出随着相邻孤子剧距的减小呈现 出周期性的离合现象，并且距离越小离合周期越小。同时我们还可以看到相邻孤予 相互作用平衡的器短距离是2 9 n = 11 ，如图3 1 ( a ) 所示。 现在来研究相邻暗孤子之间的相互作用。我们取初始脉冲为 “1 ：a n h 叮+ g o j ，“ o 时，g = e x p ( 一，。) 是一个足够小的值，所以s 的二阶项可以忽略不计。通过数 值模拟，我们发现以( 2 2 3 ) 作为初始条件的方程( 2 1 2 ) 的解可以用精确解( 22 2 ) 来描 山西大学2 0 0 5 届硕士学位论文 述。这意味着对连续波的一个周期扰动，可以产生不稳定性。基于这一近似我们可 以通过精确解( 2 2 2 ) 来研究调制不稳定性过程。在实际应用中调制不稳定性可以用柬 来产生列光脉冲串，如图2 1 ( a ) 所示。 圈21 ( a ) 可积条件下斛( 222 ) 的演化阁；( b ) 偏离可积条件时以方程( 223 ) 为训始脉 冲的数值演化幽。参数取如下值：p = 1 ，爿。= o9 ，爿。= 1 甜= 02 ，o = 6 ， 妒。= 0 ，1 = 05 ，口2 = 1 ，口3 = 00 5 ，吐4 = 03 ，d5 = 一03 需要指出的是上面的结果是在可积条件口2 = 2 2 q ，口。= 6 卢2 吩，d 。+ 口，= 0 下 获得的。事实上调制不稳定下在不可积系统中仍然可以获得，这里我们通过对可积 性条件的扰动进行数值模拟，其中对参数口。增加百分之十，而对a ；相应的减少百分 之十，结果如图2 1 ( b ) 。从图2 1 ( b ) 中我们可以看出仍能产生一串光脉冲。比较 图21 ( a ) 和图2 1 ( b ) ，可以看出他们本质上没有什么区别，只是时间上有一个小 漂移。另外为了理解高阶项对调制不稳定性所产生的影响，我们数值模拟了没有高 阶项时的情况，即口、= “。= 。，= 0 的情况，如图2 2 所示。从图2 ，2 我们也看不出本 质上的变化，只是由于孤子速度的变化产生了一个时间漂移。 实际上，我们求出的解( 2 2 2 ) 是h i r o t a 方程( 2 1 2 ) 的解，它是在h i r o t a 可积性条 件下得到的。那么一般的高阶非线性薛定谔方程( 2l1 ) 是否存在调制不稳定性。为此， 我们考虑高阶非线性薛定谔方程( 2 1 1 ) 的一个定态连续波解g = 彳。e x p ( f a 2 。z ) ， 并假定 4 3 2 1 口 一王一鲁c至 4 3 2 1 0 一_f要l|slj。兰 山西大学2 0 0 5 届硕士学位论文 g = 一。+ 爿o ，z ) e x p ( f 口2 爿。2 z ) 其中爿( f ，z ) 是一个小的扰动，把上式带入到方程( 2 1 1 ) 并线性化，我们可得到一个关 f 1z = 1 4 e 二二二：二二二= 二二二“二二j r 一 1 ，、 、 ，z = 84 ，、 f 、 ，、 l 一、一二、，t 一一，一= 一j 3 ：o 2j ：e 二二二二二二j 0 t i m e f t 圈22 禽1 1 1 1 高阶项( 实线) 和小含自高阶项( 虚线) 的精确肼( 222 ) 分别在：= 0 ，：= 42 ，：= 84 = = l l2 ，z = 1 4 的分布图。参数取值如下：d 3 = 00 5 ，d 4 = 0 3 ，口5 = 0 3 ( 实线) ； = 盯4 = 口5 = 0 ( 虚线) aj 它参数同图2l 假定爿具有如下形式 爿= “c o s ( 胞一n f ) + f v s i n ( 配z q f ) 其中芷是波数，n 是调制频率。把该式代入到方程( 2 2 4 ) ，于是我们可以得到关于“ 和v 的一个线性方程组 k 一口3 q3 + ( 3 d 4 + 2 球5 ) 爿。2 q j “+ aq 2 v = o ， ( 2 “：42 一口q 2 b + ( _ 丘+ q 3 一口。42 q - ：o 。 由此可以得到，当满足下面色散关系 k = 口3 q3 一( 2 口4 + d 5 扫。2 q j 口】q q2 一q 。2 8 3；0 3 2 ，0 4 4口+d+44甜+口 十 爿口 十一爿+爿4口+ 程 方池 眭 = 臌4 4 于 山四大芋2 u u 5 僧媲士学位论文 ，一 时，有非零的“和v 存在，其中 q 。2 ； 2 叩：一 。坞) 2 4 。群。 这隐含着下列条件 ( a d + d 5 ) 2 爿。2 0 或 万 o 。 3 肼+ 2 咋 f 4i1 9 1 山西大学2 0 0 5 届硕士学位论文 实际上，表达式( 4 1 1 9 ) 给出了暗孤波解存在的必要条件。 从上面公式我们可以看出，只要给出参数d ，以，肼，f ，y ，v ，z 和7 7 0 ，我们就可 以通过方程( 4 1 1 5 ) 一( 4 1 18 ) 求出参数丑，s ，f ，占，从而就可以从方程( 4 1 1 1 ) ( 4l1 4 ) 求 出孤子的参数，q o ，肺，k o 。很明显，对于特殊情况 = ，f = v ，= 万= 盯= s = z = o ， 方程( 4 1 1 5 ) 一( 4 1 1 8 ) 也成立，此时解( 41 1 0 ) 约化为非线性薛定谔方程的暗孤子解。 4 2 暗孤子解的稳定性分析 上一节我们给出了高阶g i n z b u r 譬一l a r d a u 方程的暗孤子解和解的存在条件，本节 我们将讨论该解的稳定性。这里我们采用分步傅里叶方法去研究解的稳定性，首先 我们找到一组系统参数 c r = o 0 6 2 9 3 ，= 一o 0 4 0 5 ，v ，= 一0 0 2 3 0 4 3 ，s = o5 ， = o0 0 7 7 2 。 通过它可以求出其它参数，这样方程的解就可以完全确定下来 e ( z ，) = o 1 7 5 3 t a r l l l o 1 7 4