（光学专业论文）bcs及bec混合体系中的混沌动力学.pdf

摘要 本工作主要研冗t 均匀碱性费米气的b c s - b e c 混合区域的动力学行为。首先研究了 在b c s 系统中的动力学，根据序参量的时间序列、对算符的时间序列和初始序参量与相互 作用改变后随时间演化的序参量的相图，初始序参量s 与末态平衡序参量o 的关系图可 由两个临界点将整个区域分成三个动力学不同的区域：a ， 0 2 1 a o 为同步区， 0 2 1 a o a j 0 8 4 a 0 和a j 4 8 1 a 0 属于有相位差区。接着，重点研究了b c s - b e c 混 合系统的动力学行为如下； 1 当参量j 穸= o 2 ，原子与分子之间的耦合相互作用g ，= s ，初始失谐量= 4 7 吁 时，v 0 在f e s h b a c h 共振的b c s 一边容易出现混沌。 2 对应不同的参量4 0 的复合序参量最大值l 五f 。a x 与末态平衡失谐量v 0 的相图，随着参 量z o 的增大，混沌开始在f e s h b a c h 共振的b c s 一边出现，当5 哥增大到一定值时， 发生混沌的v o 的范围又逐渐减小，同时我们也可以看到j 字和越犬在f e s h b a c h 共振 的b c s 一边复合序参量i 五i 的时间序列的周期振荡轨迹的振幅也越大。 3 当其它参量为叶= 2 0 、g ，= 5 ，v 0 = o 3 0 时，z o 越大混沌现象越容易出现。 4 对应不同末态失谐量参量v o 的复合序参量最大值j 五i 一与参量4 0 的相图，当v 0 向 f e s h b a c h 共振的b e c 一方靠近时，出现混沌的j z 口0 的范围逐渐减小同时复合序参量的 最大值i 五j 。a x 也逐渐减小，n v o n d 、到一定值后，不再出现混沌。 5 对应不同耦台参量g ，的系统的复合序参量最大值i 五i 。与末态平衡失谐量v 0 的相图， 耦合参量所越大，发生混沌的s z 。o 的范围就越小，同时复合序参量的最大值1 五1 也 7 i i n a x 诼渐增大。 关键词：混沌；原子：分子：复合序参量 a b s t r a c t a b s t r a c t w em a i n l ys t u d yt h ed y n a m i c sb e h a v i o ro ft h eb c s b e cc r o s s o v e ri nt h ea l k a l if e r m i g a s f i r s t ly t h r o u g ht h et i m e d e p e n d e n to r d e rp a r a m e t e r 、t i m e - d e p e n d e n tp a i r i n go p e r a t o ra n d i n i t i a lo r d e rp a r a m e t e r , a n dt h ed i a g r a mo fo r d e rp a r a m e t e ra f t e rt h ev a r y i n go fi n t e r a c t i o n b e t w e e na t o m s ，t h e s es h o wt h ed y n a m i c so ft h eb c ss y s t e m t h e r ea r et w oc r i t i c a l p o i n t so f a j a o , w h i c hs e p a r a t e t h ed y n a m i c si n t ot h r e ed i f f e r e n t p a r t s ：a j 0 2 1 a 0 i st h e s y n c h r o n i z a t i o nr e g i m e ，o 21 a 0 蔓a 5 中他揭示了混沌运动的一些基本规律。如混沌系统的确定性非周期性，对初始条 件的敏感依赖。i 生( e p 著名的”蝴蝶效应”) ，以及由此带来的长期行为无法预测和第一个奇怪吸 引子l o r e n z 吸引子，如图2 1 ( a ) ，l o r e n zx - y z 相图像一只展翅欲飞的蝴蝶。通过求解 l o r e n z 模型，l o 陀n z 敏感地意识到田：一串事件可能有一个临界点，在这一点上，小的变化 可放大为大的变化，即所谓“差之毫厘，失之千里”这一惊人的发现使他提出了著名的” 3 东南大学硕士学位论文 蝴蝶效应“，理解它的一个很好的比喻就是：一只蝴蝶在北京振翅时搅动了空气，也许很久 以后能使纽约产生暴风雨。现在人们已经普遍接受将混沌的典型性质“蝴蝶效应”作为混沌 的定义的观点。如图2 1 ( a ) 一( b ) ，分别为r = 5 0 时的相图和时闻序列图，图2 1 ( c ) 一( d ) 分别 为取o 1 蔓r 7 0 时对应的h m - r 相图和z r 相图。当l y a p u n o v 指数五小于零时，对应 非混沌区域，当l y a p u n o v 指数五大于零时，对应混沌区域。 另外还有一些比较典型的混沌模型【”】：r o s s l e r 模型、蔡氏电路、非自治的d u f f i n g 方程、v a n d e r p o l 方程、描述生物种群演化的虫口模型、r o s s l e r 超混沌振子和神经元中的 h i n d m a r s h r o s e 模型等 ( a ) ： ”习蟛 ( b ) 图2 - i ( a ) l o r e n z 微分方程的x y z 相图( b ) x 变量的时间序列图( c ) j 钿a ) 【随参数r 变化的相图 ( d ) l y a p u n o v 指数a 随参数r 变化的相图。 4 第二章混沌以及其特征和研究方法 2 2 基本特征凹 从混沌的提出到现在它特有的一些基本特征已经被逐渐总结出来，主要有： ( 1 ) 有界性：混沌是有界的，它的运动轨迹始终局限于一个确定的区域，这个区域成 为混沌吸引域。无论混沌系统内部怎样不稳定，它的轨迹都不会超出混沌吸引域， 所以从整体上来说混沌系统是稳定的。 ( 2 ) 遍历性：混沌运动在其混沌吸引域内是历经各态的，即在有限时间内混沌轨迹经 过混沌区内每一个状态点。 ( 3 ) 内随机性；一定条件下，如果系统的某个状态可能出现，也有可能不出现，那么 该系统被认为具有随机性。 ( 4 ) 分维性；是指混沌的运动轨迹在相空间中的行为特征。分维性表示混沌运动状态 具有多叶、多层的结构，并且叶层越分越细，表现为无限层次的自相似结构。 ( 5 )标度性：是指混沌运动是无序中的有序态。有序可以理解为：只要数值或试验设 备精度足够高，总可以在小尺度的混沌的混沌域内看到其中有序的运动花样。 ( 6 ) 普适性：是指不同系统在趋向混沌态时所表现出来的某些共同特征，它不依赖具 体的系统方程或参数而变。 ( 7 ) 统计特征：正的l y a p u n o v 指数以及连续功率谱等。对于非线性映射来说， l y a p u n o v 指数表示n 维相空间中运动轨迹沿各基向量的平均指数发散率，当 l y a p u n o v 指数小于零时，轨迹间的距离按指数消失，系统运动状态对应于周期 运动或不动点；当：l y a p u n o v 指数大于零时，则在初始状态相邻的轨道将按指 数分离，系统运动状态对应于混沌状态；当l y a p u n o v 指数等于零时，各轨迹间 的距离不变，迭代产生的点对应分岔点( 即周期加倍的位置) 。 2 3 混沌研究方法 为了研究混沌运动，我们可以采用直接观察状态变化量随时间的变化这种直观的方法和 在相空间( 或平面) 观察其轨迹。除此以外还有庞加莱界面、相空间重构和l y a p u n o v 指数。 本文主要采用直接观察法。 5 东南大学硕士学位论文 第三章b c s 系统动力学 3 11 3 c s 系统理论模型 b c s 理论是建立在一个基本假设上的，即在费米系统中费米面附近准动量和自旋都相反的电 子( p 个，一p 上) 之间的吸引作用是产生超导凝聚的主要原因，对应的模型如图3 1 ，将费米面附 图3 - 1 动量空间n 等份模型图 n i l - l 2 1 弋 5 0 a 0 l 近有效区域内朐动量至i 司i 1 等份( 在这里我们取n = 1 0 0 0 1 ) ，并以费米曲为参考a 由于超导 中总粒子数不守恒，所以其对应的基态巨正则哈密顿量8 9 】为 h = z ( 占p - 0 户茹啊一吩c ；t t 一 c p 叶 ( 3 1 ) po-lop 这里瞄和c 妒分别为库帕对的产生和湮灭算符，仃= 个，山，昂= p 2 h m ，0 为费米能， o 一0 为从费米能算起的费米子的动能，吁( o ) 为费米子与费米子之间的相互作用。 引入李代数s u ( 2 ) 生成元1 q = + 颤，= t ，。勺+ ，= ( e + 断+ 。c - 一一1 ) j ；= j ；括；，i s p = 1 2 ( 3 2 ) 茹为动量和自旋都相反的对算符t 满足对易关系 p - i - ，s p - - = 2 s ；， s ；，s ； = s ；c ， 将( 3 2 ) 代入( 3 1 ) 可得哈密顿量 h = ( o 一即) ( 2 s ；+ 1 ) 一吩审 ( 3 4 ) 第三章b c s 系统动力学 定义库帕对序参量 = 吁s ； p ( 3 5 ) 主要考虑温度t = o k 时，通过f e s h b a c h 共振忽然改变费米系统粒子间的相互作用，使系统从 初始平衡基态达到末态平衡基态初始时刻的粒子间相互作用【，毋和末态对应的粒子间相互 佣刊髓1 _ 吩等赤鼢”1 埭叭e o ) 3 2b c s 在t = o k 的动力学行为 通过按s ；，j ；，j ；的正规排序和利用( 3 3 ) 中的对易关系将算符化为对应经典数 ( c - n u m b e r ) ，为了方便，我们仍以原符号表示对应的经典数，可将各个动量层的动力学行为由 下式表示： j ；= 一i 2 ( 6 p 一可) 一f 2 v s s ； 哆= f 2 ( o 一8 f ) s ；+ i 2 u f s z p e 哆 簪 弓= ，“，( s 砗一s ；哆) p ( 3 6 ) 将序参量a 作为初始平衡基态序参量。的函数，可观察其动力学行为，图3 - 2 是对应的关系 图3 _ 2 序参量与初始平衡基态序参量s 的关系图，本图出自文献 8 】 7 东南大学硕士学位论文 图，从上图可以看到三个动力学不同的区域a 、b 和c 两个l 临界点a a b = 0 2 1 a o 和 a b c = 4 8 1 a 0 ，a 0 为末态平衡时的序参量在a 区a s a a b ，a a o 的振幅在a 一与a + 之 间振荡。在b 区a a b a s a b c ，a a 0 的振幅衰减振荡，最后趋于一个渐近值口，在 c 区a s a b c 为超衰减区，a a 0 的振幅无振荡的直接衰减为零a 为了更清楚其动力学行 为，三个区域的时间序列图如图3 - 3 ，我们观察第l 、第1 9 6 和第n 层i s ；l 的时间序列图3 4 ( a ) a 8 t24 8 a o ( b ) ( a ) 图3 - 3 三个动力学行为不同的区域，( a ) j = 0 0 6 a 0 ，( b ) a j = 2 4 6 a o ，( c ) a s = 4 8 6 a 0 从图3 - 4 ( a ) 和( b ) ，我们可以看到当a 。= o 0 6 a o 时各个动量层的振荡是同步的，从图3 - 4 ( c ) ( d ) 和( e ) 可以看到a j = 2 4 6 a o 和4 8 6 a 0 时各个动量层有相位差不再是同步的，并且我们看 到当对应末态的相互作用达到一定值时，平衡系统进入常规态。 8 第三章b c s 系统动力学 ( a ) - = 2 4 6 a o ( c ) 岛= 00 6 如 ( d ) ( e ) 圈3 - 4 ( a ) j = 0 0 6 a 。时三个不同动量层的占；i 的时间序列图，( b ) 为其部分放大图，( c ) 为j = 2 4 6 。 时三个不同动量层的i l 的时间序列囤 ( d ) 为其部分放大图，( c ) 为s = 4 8 6 。时三个不同动量层的 ；l 的时间序列图，黄色、蓝色和黑色分别对应动量层1 1 9 6 和n 9 东南大学硕士学位论文 3 3 小结 本章简要的介绍了均匀费米气b c s 系统的动力学。 1 给出了b c s 系统的模型。 2 根据序参量的时间序列、对算符的时间序列和初始序参量与相互作用改变后随时间演化 的序参量的相图，初始序参量。与末态平衡需参量a o 的关系图可由两个临界点将整个区 域分成三个动力学不同的区域：a j 0 2 1 a o 为同步区，0 2 1 a os a j 1 8 5 f 。当 1 9 东南大学硕士学位论文 0 1 7 e f v o 1 8 5 e f 小t ，出现非周期的混沌动力学，对应的时间序列如图4 7 ( c ) 所示同 v o s f 0 5 o 叠 0 ：0 哇6 e 三三( f ) 卜_ 一r f 、 o 畜1 r ；_ j 图4 7 ( a ) 反应复台序参量最大值l 五l 与末态平衡失谐量v 0 的关系( b ) - ( o 是复合序参量p l 的时间图，对 应的末态失谐量分别为( b ) v 0 = 2 o e f ( c ) v o = 1 1 5 f f ( d ) v o = 0 1 1 5 e f ( e ) v o = - 0 - 0 3 6 占f ( d v 0 = _ o 1 7 7 8 f ，这里参量s p z 0 = o 2 ，原子与分子之间的耦合相互作用g r = e f ，初始失谐量 、i2 4 - 8 f 样我们也可以看到，当0 0 1 4 e f v 0 0 1 7 e f 时，复合序参量l i 的时间序列又为周期振 荡轨迹，如图5 ( 0 当一o 1 5 0 v 0 o 0 1 2 e f 时，复合序参量| 五l 的时间序列为一倍( 图 5 ( d ) ) 、两倍( 图4 - 7 ( e ) ) 或者三倍周期的振荡轨。当一0 2 2 9 f v o 一0 1 5 0 时，复合序 参量l 五l 时间序列的轨迹为振幅衰减的振荡，最后衰减为一稳定值，如图4 - 7 ( i ) 当 v o - 0 2 2 占f 时，复合序参量i 五l 时间序列的轨迹无振荡的直接衰减到零，在图4 7 ( a ) 的 相图中为j 五i 。a x = o 。通过图4 - 7 ( a ) ，我们可以明显的看出在f e s h b a c h 共振的b c s 一边容 易出现混沌现象。 我们将对应不同的参量j 罗的复合序参量最大值l 五l 。与末态平衡失谐量v 0 的相图进 2 0 o啦叫。啦o o司1三一占q一 第四章b c s b e c 混合系统动力学 行比较，如图4 - 8 。习、5 p z o 比较小的时候，不容易出现混沌，如图4 8 ( a ) 随着参量j 穸的增 大，混沌开始在f e s h b a e h 共振的b c s 一边出现，如图4 7 ( a ) 。当呀z o 增大到一定值时，发 生混沌的v 0 的范围又逐渐减小。如图4 8 ( b ) 和如图4 - 8 ( c ) ，同时我们也可以看到4 0 和v 0 越 庐 ： | | 一。 ，确 图4 8 反应复台序参量最大值l 五i 一与末态平衡失谐量v 0 的关系，它们分别对应不同泵浦参量( a ) 秽= 0 1 5 ( b ) 呀z 0 = o 4 ( c ) 秽= o 4 5 其它参量同图4 - 7 。 大， f e s h b a c h 共振的b c s 一边复合序参量l 五l 的时间序列的周期振荡轨迹的振幅也越大。 通过复合序参量l 五i与参量s 挈的相图，我们能看出s 挚对系统动力学的影响( 因 i i r l a ) c， 为l s l = o 5 ，取5 穸( o ，0 5 ) ) ，如图4 9 ( a ) f i 0 j p z o o 0 4 时，复合序参量i 五l 的时间 序列轨迹无振荡的直接衰减为零，如图4 - 9 ( b ) 当o 0 4 2 秽 o 0 6 7i 寸，复合序参量l 五i 的时间序列轨迹伴随振荡衰减到一稳定值，如图4 - 9 ( c ) 。当o 0 6 7 矽 o 0 9 ，复合序 2 l 东南大学硕士学位论文 。麓医葛三( b )n o ：丛挫竺= = = d ( b ) 0 o 岛 呈 3 旦 8 ：i 龇蚴必蚴蚴业划( 。 4 06 08 01 0 0 图4 9 ( a ) 反应复合序参量最大值l 五i 瑚。与泵浦参量j 穸的关系。( b ) 一( g ) 是复合序参量l 五i 的时间图，对应 不同的s 字分别为( b ) 妒= o 0 4 ( c ) 秽= o 0 6 5 ，( d ) 秽= o 0 7 ( e ) j 穸= o 1 1 5 ( o j 穸= o 1 3 ( g ) 秽= o 4 8 5 其它参量为v ，= 2 0 、毋= s f 自n v o = o 3 0 参量f 五f 的时间序列轨迹为周期振荡的。例如图4 - 9 ( c ) 3 8s p z o = o 0 7 时的轨迹。当 0 0 9 2 5 p z 0 o 1 2 时。有混沌现象，如图4 - 9 ( d ) 。而在o 1 2 2 j o o 1 8 7 这个范围时， 复合序参量的时间序列又为周期的振荡轨迹( 图4 9 ( e ) ) ，当s 穸增大到o 1 8 8 j p z 0 o 5 时，又出现混沌现象( e l4 9 ( o ) 。在这里我们可以看出，秽越大，混沌现象越容易出现。 图4 - 9 反应了在f e s h b a c h 共振( v = 0 ) 附近对应不同v 0 的系统动力学通过比较图4 - 9 ( a ) 和图4 - 1 0 ，在f e s h b a c h 共振的b c s 一边非规则的混沌轨迹更容易出现( 如图4 - 9 ( a ) 、图4 - 1 0 ( a ) 和图( b ) ) ，当v o 向f e s h b a e h 共振的b e c 一方靠近时，出现混沌的z o 的范围逐渐减小同时 复合序参量的最 第四章b c s b e c 混合系统动力学 图t l o 反应复合序参量最大值i 五l 眦与泵浦参量昂z o 的关琴，它们分别对应不同末态失谐量参量( a ) v o = o 1 町( b ) v o = o ( c ) v o2 - o 2 0 其它参量同图4 9 大值j 五i 。a x 也逐渐减小，当v o 减小到一定值后，不再出现混沌，如图4 9 1 0 ( c ) 对应不同耦合参量g 厂的系统的复合序参量最大值i 五。与末态平衡失谐量v o 的相图 爰 呈 丑 图4 - 1 1 反应复合序参量最大值i 五l m 找与泵浦参量s 穸的关系，它们分别对应不同的分子与原子耦合参量( a ) g r2 1 5 0 ( b ) g r2 2 5 s f - 其它参量为，5 2 e f 和v 0 2 0 1 0 如图4 1 1 所示。通过比较图4 9 1 0 ( a ) 和图4 1 1 ，耦合参量g ，越大，发生混沌的s 穸的范围 就越小，同时复合序参量的最大值l 五。a x 也逐渐增大。 东南大学硕士学位论文 4 _ 4 公式变换 首先设x = 一呈譬，。= ，瓦2 9 2s p ，乙= 2 咀9 2 rs p z ，零= 筹2 秽并将它们代入c 。m 式中的第一、第三和第五式。可以得到方程 蹦一，导可肌盯莓 嚣脚2 岛= ( 一z 鲁一，) + 一，k 彭u f7 v y ，_ , z ， ( 。加) z p = b ( z 。p - z p ) 畔 ，等等( 巧瞄一哆百) 使 x ：朋妒 y p = y p 。 z 2 一盯x 4 - 盯己y p 。o s ( 一伊) p 缸一罢莓彬岘刊一器 如= - y p + x z p c o s c o s 咋)+等如，乙siil(op,-(ppcoseos(妒- )( 4 2 1 ) 如 咋卜等如7 乙如 h 2 d 吩圹鲁栌咖沪矿等等啊训附叫 z p = b ( z 0 咧一嘞c o s ( p - 咿等删矿邱) 如果妒一2 2 n ，附一咋2 j 2 2 h ( 五，如为整数) ，并让 r = z z o p ，r - z = z z p ，y = y p ， ppp 我们可以得到洛伦兹方程( 见( 2 1 ) 式) 量= 盯( y x ) 户= 一y + x ( r z ) = 一b z + 列 ( 4 2 2 ) 第四章b c s ，b e c 混合系统动力学 由以上的推导我们可以看出，当满足一定的条件后，系统会出现混沌现象 4 5 小绪 在这一章，我们分别讨论了不考虑衰减与激发和考虑它们时b c s - b e c 混合系统的动力 学，并着重研究了有衰减与激发时的情况。在所选定的参量范围内，通过比较我们可咀得到 如下结论： 1 当参量- z o = o 2 ，原子与分子之间的耦合相互作用g r = s f ，初始失谐量叶= 4 7 可 时，v 0 在f e s h b a c h 共振的b c s 一边容易出现混沌。 2 对应不同的参量j 穸的复合序参量最大值l 五i 。与末态平衡失谐量v o 的相图，随着泵浦 参量5 p z 0 的增大，混沌开始在f e s h b a c h 共振的b c s 一边出现，s