（应用数学专业论文）具有markov切换的跳跃系统稳定性分析.pdf

摘要 摘要 许多实际系统邵会因内部部件的故障、维修、受到突发性环境扰动和子 系统之间关联发生改变等使得系统结构发生多样性变化。这种特征的系统被 称为m a r k o v 尉6 跃系统。其状态空间由欧氏矢量空间r ”和离散事件有限集s 共同组成，系统中各模态之间的转移是随机的，服从m a r k o v 盛j b 跃过程。关于 m a r k o v 跳跃系统稳定性分析和控制的研究越来越受到人们的关注。本文主要 讨论线性m a r k o v 跳跃系统的指数稳定性和几乎处处稳定性。本文的主要研究 成果如下： 一、针对一类具有干扰的离散时间跳跃线性系统研究了其几乎处处稳定 性问题。通过随机李亚谱诺夫第二方法，当干扰满足线性增长的条件得到了 一类保证其几乎处处稳定的充分条件，并由此条件进一步得出了一些更易于 检测其几乎处处稳定性的充分条件。 = 、考虑了一类具有脉冲跳跃的离散时间马尔科夫切换系统的指数稳定 性，给定跳跃系统包含了稳定子系统和不稳定子系统。应用平均驻留时间的 概念，通过将跳跃系统的激励时间划分为稳定子系统的激励时间和不稳定子 系统的激励时间，证明了在脉冲作用的影响下，只要跳跃系统的平均驻留时 间以及稳定子系统与不稳定子系统的平均激励时间之比适当大，仍然可以保 证跳跃系统是指数稳定的，并具有期望的稳定裕度。 三、研究了一类带有结构扰动，包含稳定予系统和不稳定子系统的时变 马尔科夫跳跃系统的指数稳定性问题。通过将切换系统的激励时间划分为稳 定子系统的激励时间和不稳定子系统的激励时间，证明了只要跳跃系统的平 均驻留时间以及驻留在稳定予系统的平均激励时间较之不稳定子系统的平 均激励时间相对长，则可以保证跳跃系统是指数稳定的，并具有期望的稳定 裕度。与传统的李雅普诺夫函数方法相比，该设计思路简单、易实现。 四、考察了一类具有脉冲跳跃的连续时间马尔科夫切换系统的指数稳定 性，给定跳跃系统包含了稳定子系统和不稳定子系统。将平均驻留时间引入 到跳跃系统中，通过将跳跃系统的激励时间划分为稳定子系统的激励时间和 曲阜师范大学博士学位论文 不稳定子系统的激励时唰，证明了在脉冲作用的影响下，只要跳跃系统的平 均驻留时问以及稳定子系统与不稳定子系统的平均激励时问之比适当大， 仍然可以保证跳跃系统是指数稳定的，并具有期望的稳定裕度。进一步分析 了当系统在某些切换时刻受到冲击信号的脉冲作用时，仍能实现系统解的一 致有界性。 五、讨论了一类奇异马尔科夫切换系统的也变结构控制问题。其中系 统具有非匹配不确定性和非匹配外部干扰。利用s c h u r $ 、公式和线性矩阵不 等式方法，得出了线性切换面存在的充分条件，证明了在滑模面上的滑模动 态是下则、随机稳定、并且满足只。性能。通过设计变结构控制器，也保证 了闭环系统的系统轨迹收敛到切换面。 关键词：切换系统；脉冲作用；随机李雅普诺夫函数；切换 李雅普诺夫函数；几乎处处稳定性；指数稳定性；线性矩阵不等 式；变结构控制；s c h u r 补。 k b s t r a c t a b s t r a c t a l a r g ec l a s so fp h y s i c a ls y s t e m sh a sv a r i a b l e s t r u c t u r e ss u b j e c tt or a n d o m c h a n g e s ，w h i c hm a n yr e s u l tf r o mt h ea b r u p tp h e n o m e n a s u c ha sc o m p o n e n ta n d i n t e r c o r m e c t i o nf a i l u r e so rr a n d o mc o m m u n i c a t i o nd e l a y si na u t o m o b i l ev e h i c l e s s y s t e m sw i t ht h i sc h a r a c t e rm a y b em o d e l e da sm a r k o vj u m ps y s t e m s t h es t a t e s p a c eo f t h es y s t e m sc o n t a i n sb o t hc o n t i n u o u s - v a l u e ds t a t e st h a tt a k ev a l u e sf r o m ae u c l i d e a nv e c t o rs p a c er ”a n dd i s c r e t e v a l u e ds t a t e st h a tt a k ev a l u e sf r o ma d i s c r e t ef i n i t es e ts t h et r a n s i t i o n sb e t w e e nt h ed i f f e r e n tr e g i m e sh a v et ob e c o n s i d e r e da sr a n d o m ；i no t h e rw o r d s ，a n dt h ed y n a m i c so ft h ed i s c r e t es t a t e sa r e g i v e nb yam a r k o vj u m pp r o c e s s n o w a d a y sm o r ea n dm o r ep e o p l eh a v ep a i d a t t e n t i o nt ot h es t a b i l i t ya n a l y s i so f t h em a r k o v j u m p s y s t e m sa n dt h es t u d yo f t h e s w i t c h i n gc o n t r 0 1 t h i sd i s s e r t a t i o nd e v o t e so nt h ea n a l y s i so ft h ee x p o n e n t i a l s t a b i l i t ya n dt h ea l m o s ts u r es t a b i l i t yo ft h ec l o s e d l o o ps y s t e m s t h em a i n c o n t r i b u t i o n so ft h er e s e a r c hw o r kp r e s e n t e di nt h i sd i s s e r t a t i o na r ea sf o l l o w s ： 1 t h ea h n o s ts u r e s t a b i l i t yo fd i s c r e t e - t i m ej u m pl i n e a rs y s t e m sw i t h d i s t u r b a n c ei ss t u d i e db yu s i n gt h es t o c h a s t i cv e r s i o no fl y a p u n o v ss e c o n d m e t h o d ，as u m c i e n tc o n d i t i o nf o ra l m o s ts l , f f e s t a b i l i t yi sd e r i v e d s o m en e w s i m p l e rt e s t a b l es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o ra l m o s ts u r es t a b i l i t ya r eo b t a i n e df r o m t h ep r o p o s e ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n 2 t h ee x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo fac l a s so fd i s c r e t et i m em a r k o vs w i t c h e dl i n e a r s y s t e m sw i t hi m p u l s i v ej u m pi ss t u d i e d t h eg i v e nj u m ps y s t e m sa r ec o m p o s e d o fs t a b l es u b s y s t e m sa n du n s t a b l es u b s y s t e r a s b a s e do nt h ea v e r a g ed w e l lt i m e c o n c e p ta n db yd i v i d i n gt h et o t a la c t i v a t i o nt i m ei n t ot h et i m e w i t hs t a b l e s u b s y s t e m sa n dt h et i m ew i t hu n s t a b l es u b s y s t e m s ，i ti ss h o w nt h a ti ft h ea v e r a g e d w e l lt i m ea n dt h er a t i oo ft h ee x p e c t a t i o no fa c t i v a t i o n t i m e w i t hs t a b l e s u b s y s t e m st ot h ee x p e c t a t i o no fa c t i v a t i o nt i m ew i t hu n s t a b l es u b s y s t e m sa r e p r o p e r l yl a r g e ，t h eg i v e nj u m ps y s t e mi se x p o n e n t i a l l ys t a b l ew i t had e s i r e d s t a b i l i t ym a r g i ne v e ni f t h e r ee x i s t si m p u l s ea tt h es w i t c h e dm o m e n t s 曲阜师范入学博卜学位论文 3t h er o b u s te x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo fac l a s so fd i s c r e t et i m e v a r y i n gm a r k o v j u m ps y s t e m sw i t hs t r u c t u r ep e r t u r b a t i o n si ss t u d i e d b yt h ea v e r a g ed w e l lt i m e m e t h o d ，i ti ss h o w nt h a ti ft h ea v e r a g ed w e l lt i m ea n dt h er a t i oo f t h ee x p e c t a t i o n o ft h ea c t i v a t i o nt i m ew i t hs t a b l es u b s y s t e m st ot h ee x p e c t a t i o no ft h ea c t i v a t i o n t i m ew i t hu n s t a b l es u b s y s t e m sa r ep r o p e r l yl a r g e ，t h eg i v e nj u m pl i n e a rs y s t e mi s e x p o n e n t i a l l ys t a b l ew i t had e s i r e ds t a b i l i t ym a r g i ne v e ni ft h e r ee x i s t si m p u l s e j u m pa tt h es w i t c h i n gi n s t a n c e s 4t h ee x p o n e n t i a ls t a b i l i t yi ss t u d i e df o rac l a s so fc o n t i n n o u st i m e1 i n e a r s y s t e m sw i t haf i n i t es t a t em a r k o vc h a i nf o r mp r o c e s sa n dt h ei m p u l s i v ej u m pa t s w i t c h i n gm o m e n t s t h eg i v e nj u m pl i n e a rs y s t e m sa r ec o m p o s e d o fb o t h h u r w i t zs t a b l ea n du n s t a b l es u b s y s t e m s i ti ss h o w nt h a ti ft h ea v e r a g ed w e l lt i m e i sc h o s e ns u f f i c i e n t l yl a r g ea n dt h ee x p e c t a t i o no ft h ea c t i v a t i o nt i m e w i t h u n s t a b l es u b s y s t e m si sr e l a t i v e l ys m a l lc o m p a r e dw i t ht h a to fh u r w i t zs t a b l e s u b s y s t e m s ，e x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo fa d e s i r e d s t a b i l i t yd e g r e ei sg u a r a n t e e d w i t h o u tt h ei n f l u e n c eo ft h ee x c i t a t i o ns i g n a l a n dt h eu n i f o r m l yb o u n d e dr e s u l t i sr e a l i z e df o rt h ec a s ei nw h i c hs w i t c h e ds y s t e mi ss u b j e c t e dt ot h ei m p u l s i v e e f f e c to ft i me x c i t a t i o ns i g n a la ts o m es w i t c h i n gm o m e n t s 5 。ah ，v a r i a b l es t m c t u r ec o n t r o li sp r e s e n t e df o rs i n g u l a rm a r k o vs w i t c h e d s y s t e m w i t hm i s m a t c h e dn o r m - b o u n d e du n c e r t a i n t i e s a n dm i s m a t c h e d n o r m - b o u n d e de x t e r n a ld i s t u r b a n c e s as u f f i c i e n tc o n d i t i o ng u a r a n t e e i n gt h e e x i s t e n c eo fl i n e a r s w i t c h i n gs u r f a c e i s g i v e nb a s e do nt h e l i n e a rm a t r i x i n e q u a l i t ym e t h o d ( l m i s ) i ti ss h o w nt h a tt h es l i d i n gm o d ed y n a m i co nt h e s w i t c h i n g s u r f a c ei sr e g u l a r ，i m p u l s e f r e e ，a n d s t o c h a s t i c a l l y s t a b l ea n d s a t i s f i e sh 。p e r f o r m a n c e av a r i a b l es t r u c t u r ec o n t r o l l e ri sd e s i g n e dt og u a r a n t e e t h a tt h es y s t e mt r a j e c t o r yi sc o n v e r g e n tt ot h el i n e a rs w i t c h i n gs u r f a c e k e y w o r d s ：s w i t c h e d s y s t e m s ；i m p u l s i v ee f f e c t ；s t o c h a s t i c l y a p u n o vf u n c t i o n s ；s w i t c h e dl y a p u n o vf u n c t i o n s ；a l m o s t s u r e s t a b i l i t y ；e x p o n e n t i a ls t a b i l i t y ；l i n e a r m a 仃i x i n e q u a l i t y ；v a r i a b l e s t r u c t e rc o n t r o l ；s c h u rc o m p l e m e n t 第章绪论 第一章绪论 介绍了切换系统产生和发展的背景，总结了国内外学者对切换系统控制 问题和马尔科夫跳跃系统的研究状况。阐明本课题研究的目的和意义，最后 给出本文要解决的主要问题。 1 1 切换系统理论的产生及其研究意义 上程和经济领域中大量动念系统，特别是制造系统、气象预报系统、电 力系统、生化系统以及经济系统等，在其运行过程中常常遭受环境的突然变 化、大系统内部各子系统问联结方式的改变、非线性对象工作点范围的变化 以及系统部件的损坏和人为干预等随机突变影响。这类系统通过时间、事件 两类动念机制共同驱动系统状态的演化，其状念空间由欧氏向量空间和离 散事件有艰集s 共同组成，控制理论界称之为混合系统( h y b r i ds y s t e m s ) ! ”。 切换系统( s w i t c h e ds y s t e m s ) 是混杂动态系统中类重要类型。系统的动 态可由有限个子系统或动态模型描述，同时有一个切换法则，使之在子系统 之间进行切换。切换系统的一个显著特点是在切换瞬i 日j 系统的连续状念不发 生跳跃现象，可知切换系统的模型比混杂动态系统模型简单一些，但是，必 须说明，这一模型的简化并没有限制它的模型能力和适用范围。 “切换”作为一种控制思想，在控制理论中很早就得到了应用。在经 典控制理论中为解决非线性系统出现的周期性震荡，特别是伺服系统的稳定 问题【2 l 。提出了开关伺服系统，即包含有继电器的伺服系统，简称继电系统。 这种牙关系统的一个最大优点是用非常简单的“开”与“关”操作很大的功 率。受继电系统的相平面方法的启发而建立发展起来的一种系统综合方法一 变结构控制( v a r i a b l es t r u c t u r ec o n t r 0 1 ) 和滑模控常j j ( s l i d i n gm o d ec o n t r 0 1 ) ，这两 种方法也都是采用了“切换”作为其基本思想。但是当被控对象的模型参数 发生变化时，意味着系统模型参数演变中的不确定性。 近几年来，关于切换系统分析和切换系统控制的研究越来越受到人们的 关注【3 4 ”。切换系统之所以重要，首先是因为它有广泛的实际背景；其次它 还是满足了智能控制飞速发展的需要，因为智能控制的设计方法是基于在不 同的控制器之间切换的思想。这些控制技术在近年来得到了广泛的应用 曲阜师范大学博十学伉论文 1 1 8 - 2 0 j ，尤其在自适应领域，既实现了系统的稳定性，又改善了传递响应 2 1 - 2 2 。 现代智能控制( 如模糊控制等) 的许多思想正是基于了切换控制的思想【6 2 5 l ； 最后，切换系统这种技术的重要性还在于确实存在不能由单一光滑的反馈控 制器渐近镇定的系统，应用一组切换自适应控制器束代替单个自适应控制 器，大大提岛了系统的稳态性能【8 j 。 与一般系统相比，切换系统具有一种特殊性质，即其子系统的稳定性不 等价于整个系统的稳定性。如果切换系统选择不同的切换序列，其系统稳定 性可以得到截然不同的结果。也就是说，即使每个子系统都存在l y a p u n o v 函 数，仍需对切换序列进行限制彳能保证整个切换系统的稳定性，如果切换序 列选择不当，也是可以导致整个系统的不稳定：但是相反的，即使切换系统 的每个子系统都不稳定，但是通过构造一个适当的切换序列仍然可能使整个 切换系统切换稳定，从而实现了一般系统不能实现的性能。 切换系统的稳定性分析是目i 切换研究中的一个热点，主要集中于 l y a p u n o v 稳定性的判定m2 引。不过除了这种方法以外，可采用的分析稳定性 的方法有：单l y a p u n o v i 函数方法、多l y a p u n o v 函数方法、l m i 方法、平均停留 时间法、凸组合方法、任意切换方法等。 在过去三十年中，切换系统的分析建模、综合与控制的研究一直是控制 界研究的热门课题。其研究兴趣近几年不断升高。切换系统是一种重要的混 合动念系统。通常可以描述为如下形式 l 主( f ) = 厂( x ( f ) ，a ( f ) ，“( f ” y ( f ) = g ( x ( f ) ，a c t ) ，“( f ) )( 1 1 ) i c r ( t ) = 矿( x ( f ) ，盯( f 一) ，“( f ) ) 其中x r ”为连续变量，u ( t ) r p 为连续的控制输入或连续动态系统的外部 信号，盯( f ) l ，m l 为系统的离散状态，通常称之为系统的“切换信号” 或者“切换策略”。o ( t 一) 表示o r ( t ) 为一分段定常右端连续函数，当a ( o 取不 同值时，系统( 1 1 ) 就对应着不同的子系统，y ( f ) 为系统的输出。厂( ，) 反应 了系统连续状念变量的变化，妒( ，) 为不连续状态的转移函数，反应了系统 的逻辑决策或者离散事件动态的变化。我们控制一个切换系统时，不仅要设 计控制器，还要设计切换策略。这使得切换系统的稳定性研究变得更加复杂。 2 第一章绪论 通常，一个线性切换系统可以表示为 2 9 i j 2 h “ ) y 5 c o t f ，石+ d ：i l “ 、。 其离散形式为 石( 七+ 1 ) 2 工( k ) + “( k ) y ( k ) = c o ) 工( ) + d ：t ) u ( k ) 、。 另外，由于切换的出现，往往会带来系统状态的跳变。即当系统由一个 模式切换到下一个模式时系统的状态轨迹可能不再连续。例如方程( 1 4 ) 就表 示了一个简单的带有状态跳变的切换系统 y c = 爿( 盯( 州) ，x ( f 0 ) 2 而，陀t o ( 1 4 ) x t t ；) = d ( 盯( _ f ：) ，盯( f ) 弦( f ) 、。 其中d ( ，) 表示了系统的重构映射。 对于一个切换系统，切换律可分为下面四类5 9 i ： 1 ) c r ( t ) 为任意切换，但一般要求在有限时日j 区问内只能切换有限次。 2 ) c r ( t ) 能控，即它是可设计的右连续函数。 3 ) a ( t ) 是一个随机的( 一般为m a r k o v ) 过程，即它按随机( m a r k o v ) 过程演 化。 4 ) t y = a ( x ，t ) 依赖于系统状态，即它为一状态反馈切换律。 目前，切换系统的研究在国内外都吸引了众多专家的注意。在一些重大 国际会议上如w c i c a 和i d d ，都有大量优秀论文出现。 1 2 具有m a r k o v 切换的跳跃系统研究概况 本文的主要研究对象是具有m a r k o v 跳跃参数的混合系统，又称为跳跃 系统( j u m ps y s t e m ) 。这种系统也是切换系统的一种特殊情况。切换系统在切 换的过程中，每一时刻系统的状态只符合其中一个系统的规律，即切换规则 确定每时刻系统切换到哪一个子系统，系统的状态就在相应时刻切换到相 应的子系统。而m a r k o v 跳跃系统在从一个模态切换到另一个模态的过程中没 曲阜师范人学博十学位论文 有固定的切换规则可以遵循，各模态间是随机切换的，这种随机切换符合一 定的统计特性一一系统离散事件有限集中的各个模念( r e g i m e ) 之间的转移是 服从m a r k o v 跳跃过程的，因此也被视为一类特殊的随机系统，或称随机马尔 町夫跳跃系统。 系统的模型描述一般具有如下结构 j ( f ) = 以( f ) x ( t ) + 吃( ，l u ( t ) ( 1 5 ) 模型( 1 5 ) 是连续时间跳跃线性系统，其对应的离散时自】跳跃系统为 x ( t + 1 ) = 以( ) x ( t ) + b o ，) u ( t ) ( 1 6 ) 其中j d ) r ”为系统的状态变量，( f ) r p 为控制输入或动念系统的外部信 号，t r ( t ) f 1 ，m l 是一个有限状态的m a r k o v 过程，为系统的离散状态，通 常称之为系统的“切换信号”或者“切换策略”。从形式上系统( 1 5 ) ( 1 6 ) 是一 种特殊的切换混合动念系统。 文献 3 0 】第一次引入形如( 1 5 ) 的线性切换模型，用连续时问的马尔科夫 链来描述这种不同模型结构之间的切换，结合二次型最优性能的方法研究了 此类系统的最优控制问题，但并没有应用到实际当中去，只是作为一个数学 分析的算例。1 9 6 9 年，s w o r d e r t ”1 真币将之运用到实际控制问题中，从随机 最人值原理的角度解决了m a r k o v 跳跃的系统最优控制问题。接着，1 9 7 1 年 w o n h a m l 3 2 1 提出了随机控制系统的动态规划问题，并成功地运用别线性跳跃 系统的最优控制中。k u s h n e 一3 3 1 和h a s m i n s k i i t 3 4 1 系统的研究了上述系统的随 机稳定性，接着，k o z i n 3 5 1 总结了已往所作的工作，并且阐述了一些容易混 淆的概念，并详细解释了不同随机稳定性概念之自j 的关系。对于这类具有随 机可变参数的系统，关于稳定性分析的工作要追溯到r o s e n b l o o m 【3 6 i 。文献f 3 7 】 研究了一类随机切换线性系统的一阶矩和二阶矩稳定性，其中系统在给定的 切换时刻从一个系统切换到另一个子系统，并且在每时刻，系统对应的切 换模态集合是一个独立同一分布随机变量。文献 3 8 研究了类系统，此类 系统的跳跃时刻足独立同一分布随机变量，而系统各模念之b j 的转移遵循 m a r k o v 链的演化。然而，3 8 中所得到的充要条件经证明仅是充分的。上述 结果主要采用了矩阵的k r o n e e k e r 积方法。在随后的二十年中线性跳跃系统的 4 第一章绪论 随机稳定性问题，得到了较为充分的研究琊j 。 在m a r k o v 跳跃系统稳定性分析充分发展的同时，在最近几十年晕，它的 可控性、可观测性、滤波、日，和以控制等问题也得到了广泛的应用 8 8 , 9 1 , 9 4 , 1 0 3 , 1 0 6 , | | 6 。除此以外，由于脉冲现象在r 常生活中如生物学、物理技术 等普遍存在【9 ，1 2 0 1 ，脉冲控制也引起了人们的注意l ，可以浇，“m a r k o v 尉6 跃”在控制界的各个领域都有着广泛的应用。 m a r k o v 跳变系统作为特殊随机切换系统，有着实际工程应用背景。如 环境的突变对系统行为的影响、互联子系统的突变、非线性系统操作点的突 变等都可认为是多模态系统的随机切换。经济系统、飞行器控制系统、机器 人操作器系统、大型空自j 站柔性结构系统及同时涉及随机决策和连续控制的 系统等都有很多这种系统模型。 有限状态m a r k o v 链的理论在解决随机排队问题以及网络控制中的问题 目前已有一些研究，但描述网络控制系统的模型中，按时问演化的系统往往 不是一个动态系统，这在一定程度上限制了已有控制算法的应用。 1 3 具有m a r k o v 切换的跳跃系统的稳定性分析 稳定性是系统正常工作的先决条件。一个系统的稳定性如果无法保证， 系统将无法正常工作，更谈不上其它的性能指标。李雅普诺夫函数方法是我 们研究系统稳定性和镇定的基础，因此，m a r k o v 跳跃系统研究的焦点也就集 中在如何将传统的李雅普诺夫稳定性理论扩展到m a r k o v 跳跃系统。一种方法 就是寻找多李雅普诺夫函数或者分段二次李雅普诺夫函数来分析切换系统 的稳定性。另外，许多学者尝试着通过直接对系统的解轨线进行分析考察系 统的稳定性，但仅得到局部稳定性结论。由于切换的引入，系统的动态特性 可能会发生根本的变化，从而使得稳定性的分析具有一定的难度和复杂性。 比如，两个全局指数稳定的系统在切换的作用下会变得不稳定，考虑下面的 例子： j = 4 ，( f ) x ，c r ( f ) = i l ，2 ，x r 2 ( 1 7 ) 其中4 = l - ll o ，4 = l 二：斗转移速率矩阵为兀= 仁斗不难 看出，矩阵4 和4 的特征值均为一l ，故系统j = x 和j = 4 工都是渐近稳定 曲阜师范大学博十：学何论文 的。由于两个系统均为线性系统，所以它们都是全局指数稳定的，由文献 4 9 】 中定理2 4 可得，其判断整个系统稳定性条件( 即只+ 只4 + q + 乃弓= o ) 不能满足，故整个系统是不稳定的。 另一方面，切换也增加了有效的控制手段，适当的应用，可以达到比单 一模态远为优越的控制效果。两个不稳定的系统在切换的作用下也可能变得 指数稳定。举例说明。 考虑如下的系统 j = a 。“，工，i = l ，2 ，x r 2 ( 1 8 ) 其中4 = 墨三 ，4 = 詈： ，转移速率矩阵为n = 三 。很明显， 矩阵 和4 均有不稳定特征根1 ，故系统j = 4 x 和支= a x 都不稳定。同样， 由文献 4 9 】中定理2 4 可得其判断整个系统稳定性条件( 即 只+ 只4 + q + 乃e = o ) 可以满足，故整个系统是随机意义下指数均方稳 定的。 由上面两个例子可以看出，切换的存在给系统的稳定件带来了很大的变 化。这也表明切换系统与以往研究的单纯的连续系统或数字系统问有着很大 的不同，逻辑变量的引入使得系统的动态行为大为丰富。因此分析系统稳定 性使其去为人们的生产生活服务成为我们急待深入研究的课题。 跟切换系统类似，可采用的分析稳定性的方法有：单l y a p u n o v l 茧l 数方法， 多l y a p u n o v 函数方法、l m i 方法、平均停留时间法等。但是由于系统具有 m a r k o v 足；) 6 跃参数，其分析的过程大有不同，增加了复杂性。 本文将具有m a r k o v 跳跃的切换系统稳定性问题归结为如下的三个基本 问题。 问题a ：对给定的m a r k o v 跳跃系统，用l y a p u n o v 方法分析系统的几乎处 处稳定性和矩稳定性，寻找使其几乎处处稳定的条件。 问题b ：平均驻留时间的概念下的系统稳定性问题。 问题c ： 设计控制器分析系统的可镇定性，并考虑优综合问题。 首先来看问题a 。由于系统是一个随机系统，其稳定性的描述主要有：几乎 6 第一章绪论 处处稳定性( a l m o s ts u r es t a b i l i t y ) 和矩稳定性( m o m e n ts t a b i l i t y ) 。目f i i 国内外 专家对此类稳定性研究已经得出一系列很完善的成果。对于确定性系统，很 多文献通过使用l y a p u n o v 第二方法来研究系统的稳定性。李雅普诺夫函数方 法是我们研究系统稳定性和镇定的基础，因此，研究的焦点也就集中在如何 将传统的李雅普诺夫稳定性理论扩展到随机m a r k o v 系统。由于系统是m a r k o v 切换的，对此类系统的稳定性研究，同确定性系统的分析方法有着很大的不 同。因此要想用l y a p u n o v 第二方法来分析跳跃系统的稳定性问题，关键问题 就是要建立相应的跳跃系统中的随机l y a p u n o v 第二方法稳定性定理。 m a r i t o n l 3 9 1 “i1 1 使用随机l y 印i i i i o v 方法分析了线性连续m a r k o v 跳跃系统的均方 稳定性，得到了一类充分条件，并且，在1 9 8 8 年，结合k r o n e c k e r 积和l y a p u n o v 指数方法，给定一个简单的l y a p u n o v 指数上界，得到了保证系统几乎处处稳 定性的充分条件1 4 2 】。随后，f e n g 4 3 g l f a n g t j 分别对形如( 1 5 ) 和( 1 6 ) 的连续和 离散m a r k o v 跳跃系统建立了l y a p u n o v 第二方法稳定性定理。f e n g l 43 】研究了 m a r k o v 跳跃系统的随机稳定性，详细给出了二阶矩稳定性的多种不同的定 义：二阶矩稳定性、指数二阶矩稳定性、随机二阶矩稳定性，利用m a r k o v 过程转移矩阵的性质，证明对具有m a r k o v 过程的连续系统( 1 5 ) ，所有的二阶 姐稳定性定义是等价的，并且都意味着几乎处处稳定性，同时得出，对于一 维系统，二阶矩稳定性和几乎处处稳定性是等价的。在此文中，f e n g 将概率 理论、m a r k o v 链转移矩阵、m a r k o v 无穷小算子有效地结合起来得出结论。并 且，引进l y a p u n o v 指数的概念，得出了保证系统几乎处处稳定的条件。尽管 二阶矩稳定性的概念的提出，使得如下形式的 f 盯、 j = e 【x ( f ) q j ( f ) + “( f ) 心( ，j u ( t ) d t w， 二次型最优控制问题得以发展1 ，但是实际上，由于我们直接观测到的是状 态变量而非状态过程的矩，因此，有关矩稳定性的条件要求可能会非常保守 1 2 3 1 ，冈此研究几乎处处稳定性具有重大的实际意义。对于一类离散m a r k o v 跳跃系统，最近一些文献得出了一类保证其几乎处处稳定的可测充分条件， 其中保守性可以降低到任意小，但是计算起来非常复杂1 2 6 1 。 f a n g 在文献 4 4 】中，针对一类形如( 1 6 ) 的离散m a r k o v 跳跃系统，研究了 7 曲单师范大学博卜学位论文 几乎处处稳定性问题。通过l y a p u n o v 第二方法，充分利用m a r k o v 链的转移概 率矩阵的性质，得出了一类保证系统几乎处处稳定性的可测充分条件，并且 证明，对于一维系统，此类条件是充分且必要的。1 9 9 7 年，文 4 6 继续分析 了离散系统的矩稳定性。其中c r ( t ) 为一有限时间齐次或者非齐次的m a r k o v 链。利用随机l y a p u n o v 第二方法，引入k r o n e c k e r 积，得出了一些可测条件保 证这类系统是二阶矩稳定的。进而，文献 5 7 】推广了文 4 4 】的结果，继续使用 此法分析了离散m a r k o v 跳跃系统的几乎处处稳定性。跟文 4 4 】相比，文中的 l y a p u n o v 函数仅要求沿着某一特定组织的“跳跃”子列是非增即可，由此得出 了一类充分条件，其保守性较弱。2 0 0 2 年，f a n g l 4 5 】对连续时间m a r k o v 跳跃系 统町镇定性做了系统、完善的研究。利用k r o n c c k c r 积和状态转移概率矩阵， 以耦合矩阵r i e c a t i 方程解的形式给出保证系统二阶矩可镇定的条件，并且根 据m a r k o v 链的遍历性，给出了保证系统几乎处处可镇定的充分条件。 上述研究方法可概括为下面三类： 1 ) 随机李雅普诺夫函数方法。这类方法是针对系统( 1 5 ) 或( 1 6 ) 构造随 机李雅普诺夫函数 5 0 1 。 2 ) 应用系统解的李雅普诺夫指数方法【舶】。 3 ) 对系统( 1 5 ) 或( 1 6 ) 应用系统的状，奁转移矩阵和a ( t ) 的状态转移概率， 通过解一矩阵r i c c a t i 方程，研究系统的稳定性【4 4 】【5 1 1 。 对有限状态m a r k o v 切换系统，当每个子系统是线性的且系统不存在干 扰时，上述文献已对此作出一些研究1 4 非1 【拍1 ，文献中提出了各种随机稳定性 的关系及一些保证系统随机稳定的充分条件被给出。但对具有干扰的系统， 他们的方法能否直接被用来处理稳定化问题，并没有探讨。论文中，我们考 虑了具有干扰的离散m a r k o v 跳跃系统，利用其中的随机l y a p u n o v 第二方法， 假定干扰范数上界已知，分析了此类系统的几乎处处稳定性，需要解决的关 键问题在于如何利用仃( f ) 的状态转移概率性质。 对于问题b 。驻留时间的引入使得切换系统的稳定性分析更进一步。1 9 9 6 年，m o r s e 1 1 1 提出了驻留时日j ( d w e l lt i m e ) 的概念，研究了一类仅包含稳定子 系统的连续时间切换系统的指数稳定性，证明了当切换信号的驻留时f h j ( 连续 两次切换之间的时自j ) 充分大时，整个切换系统是指数稳定的。文【1 4 9 3 】进 第一章绪论 一步发展了驻留时自j 和平均驻留时白j 的概念，分析了切换系统包含稳定子系 统和不稳定子系统的情况，通过将整个切换系统的激励时i 日j 划分为稳定子系 统的激励时i 日j 和不稳定子系统的激励时日j 两部分，证明了当平均驻留时间和 稳定子系统的激励时间与不稳定子系统的激励时问之比充分大时，切换系统 是指数稳定的。c h e n g 在文献【7 1 】中给出了切换频率的定义，结合驻留时问的 概念，分析了一类具有可控子系统的可镇定性，并且对于闭环系统的状态转 移矩阵，给出了一个范数上界的约束。进而，2 0 0 6 年，f e n g 4 ”利用同样的方 法，考虑了一类随机切换系统的稳定性。通过定量描述矩阵的二次型稳定性 和不稳定性，如果驻留在稳定子系统的激励时间相对较长时，得出一类充分 条件，保证系统均方稳定和指数均方稳定。这些研究工作都为跳跃系统模式 下的稳定性分析提供了充实的理论基础。但是，上述结果对于具有m a r k o v 跳跃的切换系统鲜有考虑。需要解决的关键问题在于如何利用m a r k o v 跳跃参 数在各个模念下的停留时间服从指数分布这一马氏性质。 由于系统的惯性和切换设备的影响，实现无缝切换是不现实的，实际系 统中，在切换时刻往往使系统状态曲线发生跳变，研究在切换时刻具有跳变 的系统随机稳定性问题具有重要实际价值。同时，在理论方法上也具有很好 的创造性。当切换时刻系统状态发生跳变时，对非随机的切换系统，l i t ”l 应用矩阵测度的方法在切换律t r ( t ) 满足定条件下，给出了系统指数稳定性 的充分条件。目前对m a r k o v 切换系统的研究中，很少考虑切换时刻系统状 态发生跳变这一问题。 本论文的目标之一就是利用驻留时间的概念，考虑了连续和离散m a r k o v 切换系统的指数稳定性，其中系统在切换时刻受到了激励信号的脉冲影响， 这给问题的分析增加了难度。 关于问题c 。由于切换控制系统广泛存在于工程技术中，对于控制问题的分 析和综合引起了国内外专家的广泛关注。当系统具有上界已知的不确定性， 鲁棒控制是一个有效的设计工具，文献 6 9 】通过设计控制器，将系统的不确 定性削弱，从而使系统是可镇定的。另外，由于噪音和不确定性的存在，使 得系统在有限个模态之间切换l ，此时，控制律可以作为一个切换规则，组 成一族控制器使每个模态都达到稳定，而且在每个切换时刻可以从中选择一 9 曲阜师范大学博十学位论文 个合适的控制器使闭环系统稳定。最近，d ep e r s i s t 7 2 l 中对于一类非线性系统， 设计了时变或者依赖于状态的切换控制器，只要驻留时间充分大，可以保汪 闭环系统的稳定性。文 7 4 】中，一类反馈控制器被提出，证明了如果驻留时 间的期望充分大，闭环系统是依概率稳定的。f e n g w l 4 7 1 对于一类具有可控和 | iu ，控f 系统的随机切换系统，设计了形如甜( f ) = 以。x ( t ) 的状念反馈控制 器，通过使用驻留时间的概念，给出了一类充分条件，使得所设计的控制器 能够保证系统的稳定性。另外，他们的研究中，主要侧重于系统的随机稳定 性分析，控制律的设计是一个简单的状态反馈。d r a g a n l 4 s