（基础数学专业论文）关于smarandache函数在一些特殊序列上的下界估计及其相关问题.pdf

中文摘要 众所周知，关于一些特殊序列及函数的算术性质的研究一直以来都在 数论研究中占有十分重要的位置，许多著名的数论难题都与之密切相关因 而在这一领域取得任何实质性进展都必将对初等数论及解析数论的发展起 到重要的推动作用著名的美籍罗马尼亚数学家f l o r e n t i ns m a r a n d a c h e 教 授在其出版的名为 o n l yp r o b l e m s ，n o ts o l u t i o n s ) ) 一书中提出了1 0 5 个有 关数论函数和序列的问题与猜想，而日本的k e n i c h i r ok a s h i h a r a 博士也在 c o m m e n t sa n dt o p i c so ns m a r a n d a c h en o t i o n sa n dp r o b l e m s ) ) 一书中提出 了许多与s m a r a n d a c h e 函数有关的问题，引起了广大数论爱好者的兴趣，许多 学者对此进行了比较深入的研究，并获得了不少重要的理论成果 本文基于对上述问题的兴趣，利用初等方法及解析方法研究了一些相关方 面的问题，得到了一些较好的成果，具体内容及成果分为以下三个方面： 1 利用初等方法研究了s m a r a n d a c h e 函数在一些特殊序列上的下界问 题，得到了一些较强的下界估计 2 利用初等方法、解析方法以及素数分布定理，研究了s m a r a n d a c h e l c m 函数与它的对偶函数的均方值分布问题，给出了这两个函数均方值的一 个较强的渐近公式，得到这两个函数的一些有趣的均值分布性质 3 定义了一种新的s m a r a n d a c h e 七次幂筛选法，利用初等方法研究了筛选 后数列的性质，得到了一个有趣的渐近公式 关键词 下界估计，渐近公式，s m a r a n d a c h el c m 函数的对偶函数，均方值， s m a r a n d a c h ek 次幂筛选法 a b s t r a c t ( 英文摘要) i t i sw e l lk n o w nt h a tt h ea r i t h m e t i c a lp r o p e r t i e so fs o m es p e c i a ls e q u e n c e s a n df u n c t i o n sp l a ya ni m p o r t a n tr o l ei nt h es t u d yo fn u m b e rt h e o r y , a n dt h e y r e l a t et om a n yf a m o u sn u m b e rt h e o r e t i cp r o b l e m s t h e r e f o r e ，a n yn o n t r i v i a l p r o g r e s si nt h i s f i e l dw i l lc o n t r i b u t et ot h ed e v e l o p m e n to fe l e m e n t a r yn u m - b e rt h e o r ya n da n a l y t i cn u m b e rt h e o r y a m e r i c a n - r o m a n i a nn u m b e rt h e o r i s t f l o r e n t i ns m a r a n d a c h ep r e s e n t e dm a n yp r o b l e m sa n dc o n j e c t u r e so ns p e c i a l s e q u e n c e sa n da r i t h m e t i c a lf u n c t i o n s i nh i sb o o k - “o n l yp r o b l e m s ! n o ts o l u - t i o n s ”，p u b l i s h e di nx i q u a np u b l i s h i n gh o u s ei na m e r i c a n ，h ep u tf o r w a r d1 0 5 p r o b l e m sa n dc o n j e c t u r e so nn u m b e r - t h e o r e t i cf u n c t i o na n ds e q u e n c e m e a n - w h i l e ，i nt h eb o o ko f “c o m m e n t sa n dt o p i c so ns m a r a n d a c h en o t i o n sa n d p r o b l e m s ”，d o c t o rk e n i c h i r ok a s h i h a r af r o mj a p a na l s ob r o u g h tf o r t hal o to f p r o b l e m so ns m a r a n d a c h ef u n c t i o n ，i n t e r e s t e daw i d em a t h e m a t i c a le n t h u s i a s t s o nn u m b e rt h e o r y m a n yr e s e a r c h e r ss t u d i e dt h e s es e q u e n c e sa n df u n c t i o n sf r o m t h i sb o o k ，a n do b t a i n e ds o m ei m p o r t a n tv a l u e dr e s u l t so nt h e o r y i nt h i sd i s s e r - t a t i o n ，w eu s ee l e m e n t a r ym e t h o d sa n da n a l y t i cm e t h o d st os t u d ys o m er e l a t e d p r o b l e m sa n dg e ts o m eb e t t e rr e s u l t s t h em a i na c h i e v e m e n t sc o n t a i n e di nt h i s d i s s e r t a t i o ni n c l u d i n gt h ef o l l o w i n gt h r e ea s p e c t s ： 1 w eu s e de l e m e n t a r ym e t h o dt os t u d yt h el o wb o u n de s t i m a t eo ft h e s m a r a n d a c h ef u n c t i o na ts o m es p e c i a ls e q u e n c e s o b t a i n e ds o m el o w e rb o u n d e s t i m a t e 2 u s e dt h ee l e m e n t a r ym e t h o d ，a n a l y t i cm e t h o da n dt h ep r i m ed i s t r i b u t i o n t h e o r e mt os t u d yt h ed i s t r b u t i o np r o p e r t i e so fam e a ns q u a r ev a l u ei n v o l v i n gt h e s m a r a n d a c h el c mf u n c t i o na n di t sd u a lf u n c t i o n g i v e nas h a r p ea s y m p t o t i c f o r m u l af o rt h em e a ns q u a r ev a l u eo ft h es m a r a n d a c h el c mf u n c t i o na n di t sd u a l f u n c t i o n o b t a i n e ds o m ei n t e r e s t i n gm e a ns q u a r ev a l u ed i s t r i b u t i o np r o p e r t i e s o ft h es m a r a n d a c h el c mf u n c t i o na n di t sd u a lf u n c t i o n 3 w ed e f i n e dan e ws m a r a n d a c h ep o w e rks i e v e ，u s et h ee l e m e n t a r ym e t h o d t os t u d yt h ep r o p e r t i e so ft h ek - 7p o w e rs i e v es e q u e n c e s o b t a i n e da l li n t e r - e s t i n ga s y m p t o t i cf o r m u l a k e y w o r d s l o w e rb o u n de s t i m a t e ，a s y m p t o t i cf o r m u l a ，d u a lf u n c t i o no fs m a r a n d a c h e l c mf u n c t i o n ，m e a ns q u a r ev a l u e ，s m a r a n d a c h ekp o w e rs i e v e 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。 学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。 本人允许论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研 究所等机构将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库或其它 相关数据库。 保密论文待解密后适用本声明。 学位论文作者签名：当：皇亟亟 指导教师签名：掣 加f 口年6 月j2 日 - m o 年移月弓日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研 究工作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和 致谢的地方外，本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果，也不包含为获得西北大学或其它教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：苏盂荔丽 如，驴年多月，) 日 两北大学硕十学位论文 第一章绪论 1 1 研究背景与课题意义 数论，是研究整数性质的数学分支它与几何学一样都是最古老而又活跃 的数学研究领域数论形成一门独立的学科之后，伴随着其它数学分支的发展， 数论的研究方法也随之不断地发展 当自变量n 在某个整数集合中取值时，因变量y 取某个实数值或复数值的 函数y = f ( n ) 为数论函数或算术函数，关于这些数论函数的性质是数论中的重 要研究课题 关于s m a r a n d a c h e 函数算术性质的研究一直以来都是数论研究中的主要 内容，许多著名的数学难题都与之密切相关，因此在这一领域取得的任何实质 性的进展都必将会推动初等数论和解析数论的发展 著名的美籍罗马尼亚数论专家f s m a r a n d a c h e 曾提出了1 0 5 个尚未解决 的数论问题及猜想许多学者对这些问题进行了深入的研究，取得了不少具 有重要理论价值的成果，而日本的k e n i c h i r ok a s h i h a r a 博士也在c o m m e n t s a n dt o p i c so ns m a r a n d a c h en o t i o n sa n dp r o b l e m s ) 一书中提出的许多问题 同时也引起了广大数论爱好者的研究兴趣鉴于以上的想法，我们利用初 等数论、解析数论等知识对他们所提出的几个数论中未解决的问题进行了 深入研究，主要研究了s m a r a n d a c h e 函数在一些特殊序列上的下界估计问题 和s m a r a n d a c h el c m 函数与它的对偶函数的均方值分布问题以及利用初等方 法研究了s m a r a n d a c h e 七次幂筛选后数列的性质，得到了一个有趣的渐近公式 1 2 主要成果和内容组织 如前所述，本文研究了s m a r a n d a c h e 函数在一些特殊序列上的下界问题， 得到一些较强的下界估计这些成果主要表现在研究了s m a r a n d a e h e 函数在完 1 第一章绪论 全数列上的下界估计以及在一个特殊数列上的下界问题，内容分布在第三章， 在第四章中主要研究的是s m a r a n d a c h el c m 函数与它的对偶函数的均方值分 布问题，第五章的主要内容是定义了一种新的s m a r a n d a c h ek 次幂筛选法，研 究了筛选后数列的性质，得到了一个有趣的渐近公式 本文的主要成果和内容组织如下： 1 利用初等方法研究了s m a r a n d a c h e 函数在一些特殊序列上的下界问题， 给出了较强的下界估计 2 利用初等方法、解析方法以及素数分布定理，研究了s m a r a n d a c h e l c m 函数与它的对偶函数的均方值分布问题给出了这两个函数均方值的一 个较强的渐近公式，得到这两个函数的一些有趣的均值分布性质 3 定义了一种新的s m a r a n d a c h e 七次幂筛选法，利用初等方法研究了筛选 后数列的性质，得到了一个有趣的渐近公式 2 两北大学硕十学位论文 第二章数论的发展史 2 1 数论的发展简况 数论这门学科最初是从研究整数开始的，所以也叫做整数论人类从计数 开始就一直和自然数打交道了，后来由于实践需要，整数论又进一步发展，即就 是数论了，确切地说，数论就是一门研究整数性质的学科人们在对整数进行应 用和研究中逐渐熟悉了整数的特性例如，整数可分为奇数和偶数( 即就是通 常说的单数、双数) ，整数之间可以任意地进行加、减、乘三种运算，得到的 和、差、积仍是一个整数，但整数之间的除法在整数范围内并不一定能够随意 地进行利用整数的一些基本性质，可以进一步探索许多有趣的和复杂的数学 规律，正是这些特性吸引了古往今来许多数学家不断地研究和探索从古代开 始，数学家对于整数性质的研究一直十分重视，但直到十九世纪，这些研究成果 还只是零散地记载在各个时期的算术著作中，即就是说还没有形成一个完整统 一的学科比如在我国古代，许多著名的数学著作中都有与数论相关的论述，如 求勾股数组、最大公约数、某些不定方程整数解的问题等等在国外，古希腊 数学家对于数论中一个最基本的问题整除问题就有比较系统的研究，如质 数、和数、约数、倍数等概念也已经被提出来并应用了以后的不同时代的数 学家也都对整数性质的研究做出了重大的贡献，逐步完善了数论的基本理论 对整数性质的研究中，人们发现了质数是构成正整数的基本元素，研究整数的 性质就必须要深入研究质数的性质因此有关质数性质的问题，一直备受数学 家的关注，到了十八世纪末，历代数学家积累的零散的整数性质已经十分丰富 了，把它们整理加工成- - i 系统的学科的条件已经成熟了因此德国数学家高 斯集中前人的大成，完成了一本名为算术探讨的书，于1 8 0 0 年寄给了法国 科学院，却被法国科学院拒绝了，高斯只好在1 8 0 1 年自己发表了这部著作这 部著作开始了现代数论的新纪元在我国近代史上，数论也是发展最早的数学 分支之一自二十世纪三十年代开始，涌现出了华罗庚、闵嗣鹤、柯召、陈景 3 第_ 章数论的发展史 润、王元等一流的数论专家，他们在解析数论、丢番图方程、一致分布等方面 做出了巨大的贡献，其中华罗庚教授在三角和估值堆砌素数论方面是享有盛名 的1 9 4 9 年以后，数论的研究得到了更进一步的发展特别是陈景润利用解析 数论中的筛法在1 9 6 6 年证明了“哥德巴赫猜想”，即任何一个充分大的偶数 可以表示为两个数之和，其中一个是素数另一个或为素数，或为两个素数的乘 积这在国际数学界引起了强烈的反响，称赞陈景润的论文不仅是解析数学的 名作，也是筛法的光辉顶点至今，这仍是“哥德巴赫猜想”的最好结果 2 2 数论的基本内容 确立了数论为一门独立的学科之后，数论的知识体系及它的研究方法也有 了很大的发展按研究方法的不同，数论可分为初等数论、解析数论、代数数 论和几何数论四部分初等数论是数论中最古老的分支，它是数论中不依赖于 其他数学学科，只依靠初等方法来研究整数性质的分支比如中国古代著名的 “中国剩余定理”就是初等数论中非常重要的内容古希腊的毕达哥拉斯是 初等数论的先驱它以初等的、朴素的算术方法为主要方法，以整数的整除理 论、同余式、不定方程等为主要内容解析数论是利用数学分析的方法来解决 数论问题一个分支，数学分析是在函数和极限概念的基础上建立起来的数学学 科用数学分析来解决数论问题是由欧拉提出的，俄国数学家车比雪夫等做出 过很多贡献解析数论是研究数论问题中艰深问题的强有力的工具比如，“质 数有无限多个”这个命题，欧拉利用解析方法给出了证明代数数论是以代数 整数，或者代数数域为研究对象的一个分支它起源于对费马大定理的研究不 少整数问题的研究离不开代数整数因此整数研究理所当然地推动了代数数论 发展，进而又推动了代数学的发展几何数论主要在于通过几何观点来研究整 数的分布情况，比如圆内整点问题就是几何数论中的著名问题，最著名的定理 就是几何数论奠基人，德国数学家、物理学家闵可夫斯基提出的m i n k o w s k i 定 理 4 两北大学硕十学位论文 2 3 数论的应用 数论与其它数学分支一样，来源于社会实践，又服务于社会由于近代计算 机科学和应用数学的发展，数论得到了较为广泛的应用比如在计算方法、组 合论、代数编码等方面都广泛使用到了数论的许多研究成果有文献报道，现 在有些国家利用“孙子定理”来进行测距，利用原根和指数来计算离散傅立叶 变换等再比如现代通讯中的公开钥密码，就是以数论中的寻找大素数以及大 数分解的理论为基础的英国“自然”杂志1 9 9 0 年3 月2 9 日“新闻与评价 专栏曾评价我国北京科技大学的陈难先教授在工作中应用莫比乌斯反演定理这 件事，说道：“谁说数论是纯粹学术性的而与实用无关，古老的莫比乌斯定理被 证明了可以用来解决物理上的反演问题，它们都有着重要的应用”因此并不 是说数论没用，而是我们没有发现它的作用此外，数论的许多研究成果也在近 似分析、快速变换、差集合等很多方面得到了应用，数论在数学中的地位是独 特的，在现实中的应用是广泛的，它的更多的应用等着我们这些从事数论领域 研究工作的人及广大的数论爱好者去发掘 5 第= 乏章关于s m a r a n d a c h e 函数在一螳特殊序列上的下界估计 第三章关于s m a r a n d a c h e 函数在一些特殊序列上的下界 估计 3 1几个特殊序列 1 完全数：完全数指个整数等于除它自身以外的所有正因子之和，完 全数被古人视为是非常吉祥的数古希腊人在公元2 世纪末发现了四个完全 数最小的完全数是6 = l + 2 + 3 在自然数里，到底有多少个完全数呢? 有人 统计，在1 到4 0 0 0 0 0 0 0 这么多数中，只有5 个完全数：他们分别是 6 ：l + 2 + 3 = 2 1 + 2 2 2 8 = 1 + 2 + 4 + 7 + 1 4 = 2 2 + 2 3 + 2 4 = 1 3 + 3 3 4 9 6 = 1 + 2 + 4 + 8 + 1 6 + 3 1 + 6 2 + 1 2 4 + 2 4 8 ：2 4 + 2 5 + + 2 s = 1 3 + 3 3 + 5 3 + 7 3 8 1 2 8 = 1 + 2 + 4 + 8 + 1 6 + 3 2 + 6 4 + 1 2 7 + 2 5 4 + 5 0 8 + 1 0 1 6 + 2 0 3 2 + 4 0 6 4 = 2 6 + 2 7 + 2 s + 2 9 + + 2 1 2 = 1 3 + 3 3 + 5 3 + 7 3 + 1 5 3 ， 还有一完全数是3 3 5 0 3 3 6 ， 由此可见完全数是非常稀少的从发现第四个完全数到第五个完全数经过 了一千年，明显可以看出第五个完全数比第四个完全数整整大了4 1 0 0 多倍，直 到1 9 9 6 年人们已经找到了3 4 个完全数迄今为止所有发现的完全数均为偶数 且都可以表示为2 的连续次幂之和，除6 外其他完全数都可表示为连续奇数的 三次方之和欧几里得不但正确地给出了求完全数的公式：n = 2 n - 1 ( 2 n 一1 ) ， 还给出严格的证明：若2 n 一1 为素数，则2 n 一1 ( 2 n 1 ) 的真因子之和为： ( 1 + 2 + 2 2 + + 2 n 一1 ) + ( 2 n 1 ) + 2 ( 2 n 一1 ) 2 2 ( 2 n 1 ) + + 2 n - 2 ( 2 n 1 ) 】 对上式进行化简即得( 2 住一1 ) + ( 2 舻1 1 ) ( 2 n 一1 ) = 2 n - 1 ( 2 n 一1 ) 公式如此完 美，证明如此简练，怪不得完全数如此迷人，具有魅力 6 两北大学硕十学位论文 2 费马数：费马数是指形如r = 2 2 “+ 1 ( n 0 ) 的整数，前五个费马数 f o = 3 ，f 1 = 5 ，尼= 1 7 ，尼= 2 5 7 ，r = 6 5 5 3 7 都是素数于是法国数学家费马猜测所有的r 都是素数但是瑞士数学家欧 拉于1 7 3 2 年举出 尾：2 2 5 + l = 6 4 1x6 7 0 0 4 1 7 故费马的猜测不正确当亿= 6 ，7 ，8 ，9 ，1 1 ，1 2 ，1 8 ，2 3 ，3 6 ，3 8 ，7 3 时，r 都不是素 数除了开始的五个素数，是否还有r 是素数目前还不知道德国数学家高斯 曾证明：若r 是素数，则正r 边形可用圆规及直尺作出 3 梅森素数：梅森素数是指形如2 p l 的素数2 0 0 5 年，美国数学 家c c o o p e r 和s b o o n e 领导的科研小组发现了第4 3 个梅森素数2 3 0 4 0 2 4 5 7 1 ， 该素数有9 1 5 2 0 5 2 位数，是目前知道的最大的素数但是梅森素数中的指数p 为素数，是2 p 一1 为素数的必要而非充分条件，例如 2 n 一1 = 2 0 4 7 = 2 3x8 9 是个合数，并非素数 3 2 引言及结论 对于任意正整数佗，著名的f s m a r a n d a c h e 函数s ( n ) 定义为最小的 正整数m 使得扎lm ! 即就是s ( n ) = m i n m ：仇n ，h i m ! 从s ( n ) 的定义人们容易推出如果n = 硝1 p ；2 霹表示n 的标准分解式，那 么s ( n ) 2l 3 ，而两个 数印+ 1 及和+ 1 中至少有一个被3 整除，因此它们不可能同时为素数所 以由( 3 2 ) 式知当2 p 一1 恰好含有两个不同的素因子时，其中至少有一个素因 子q 助+ 1 从而 s ( 2 p 一1 ( 2 p 一1 ) ) g 6 p - 4 - 1 结合以上四种情况我们立刻完成了定理3 1 的证明下面来证明定理3 2 我们先证明2 p + 1 不可能为3 的方幂若不然，则有2 p + 1 = 3 a 当a 为 偶数时，设q = 2 k ，则有 2 p = 3 a 一1 = ( 3 七+ 1 ) ( 3 七一1 ) ( 3 3 ) 因为( 3 凫+ 1 ，3 七一1 ) = 2 ，所以由( 3 3 ) 式我们立刻得到3 七一1 = 2 ，七= 1 这与p 7 矛盾当a 为奇数时，设q = 2 k - 4 - 1 ，此时我们有 l 三2 p + 1 = 3 n = 3 2 南+ 1 兰3 ( r o o d8 ) 矛盾所以2 p + l 不可能为3 的方幂因此2 p4 - 1 至少含有一个大于3 的素因 子于是对任意素数p 7 ，设g 为2 p + l 的任一大于3 的素因子，显然q 5 且g2 p + 1 设m 是2 模q 的指标，则由 9 第三章关于s m a r a n d a c h e 匠数在一些特殊亭列上的下界估计 2 p + 1 兰0 ( m o dq ) 立刻推出2 2 p 兰1 ( r o o d 口) 所以由指标的性质【6 】知仇i2 p 于是m = 1 ，2 ，p ，2 p 显然m 1 ，2 ，p ，所 以m = 2 p 再由指标的性质知mi 咖( g ) = q 一1 ，即就是 或者 q 1 = h m = h 2 p q = h 2 p + 1 ( 3 4 ) 于是由( 3 4 ) 式知当2 p + 1 除3 之外，至少有3 个不同的素因子时，一定有一 个素因子q ，使得 q = h 2 p + 1 3 2 p + 1 = 6 p + 1 当2 p + i 含有两个大于3 的素因子q 1 及9 2 时，由( 3 4 ) 式我们可设q l = 2 h l p + l ， q 2 = 2 h 2 p + 1 此时h l 和 2 不可能同时为1 和2 若不然，注意到p 7 ，则 在p ，2 h 1 p + 1 和2 h 2 p + 1 三个数中，至少有一个能被3 整除，这与p ，q l 和q 2 同时为素数矛盾因此h 1 和h 2 中至少有一个不妨设k 大于或等于3 ，此时我 f 有q 2 = 2 h 2 p + 1 6 p + 1 下面我们讨论2 p + 1 含有一个大于3 的素因子g 的情况此时最多有两 种情况，我们可设 妒+ l = 3 a ( 印+ 1 ) 卢或者2 p + 1 = 3 q ( 4 p + 1 ) p 若2 p + 1 = 3 a ( 2 p + 1 ) p 成立，则当p 3 时，由s ( n ) 的性质可得： s ( 2 p + 1 ) s ( ( 2 p + 1 ) 卢) p ( 2 p + 1 ) 3 ( 2 p + 1 ) = 6 p + 3 6 p + 1 当p = 2 时，若2i 口，则2 p + 1 为奇完全平方，设2 p + 1 = c 2 ，2 p = c 2 1 = ( c + 1 ) ( c 一1 ) ，而( c + l ，c 一1 ) = 2 ，则c 一1 = 2 ，即c = 3 ，故p = 3 ，这与p 3 矛盾，故2t 口，因此可得 1 兰2 p + 1 = 3 口( 2 p + 1 ) 2 = 3 2 七+ 1 ( 2 p + 1 ) 2 三3 ( r o o d8 ) 1n 两北大学硕十学位论文 矛盾因此2 p + 1 3 2 七+ 1 ( 2 p + 1 ) 2 ，即卢2 当p = 1 时，若2iq ，则2 p + 1 = 3 驰( 2 p + 1 ) ， 2 p = 3 姚2 p + 3 绌一1 = 3 绌2 p + ( 3 七十1 ) ( 3 七一1 ) ， 由4l2 p ，4i ( 3 七+ 1 ) ( 3 七一1 ) ，而4f3 驰2 p 得，q 不能为偶数即 2 p + i = 3 口( 印+ 1 ) = 3 2 七+ 1 ( 2 p + 1 ) 当七= 0 ，p 5 时上式成为2 p + 1 = 3 ( 2 p + 1 ) ，显然是不成立的当k 1 时， 由上式可得2 p + 1 兰0 ( m o d9 ) 由此立刻推出2 2 p 兰1 ( r o o d9 ) 设n 是2 模9 的指标，则由指标的性质知ni 印于是t t = 1 ，2 ，p ，2 p 显然n 1 ，2 ，p ，所以n = 2 p 再由指标的性质知几10 ( 9 ) = 6 ，即就是印i6 ， pi3 ，这与p 3 矛盾，因此口也不能为奇数综上可得卢1 若2 p - i - 1 = 3 a ( 4 p + 1 ) 卢成立，则当2 时，由s ( n ) 的性质可得： s ( 2 p + 1 ) = s ( 3 q ( 4 p + 1 ) p ) s ( ( 4 p + 1 ) 卢) p ( 4 p + 1 ) 2 ( 4 p + 1 ) = s p + 2 6 p + 1 当p = 1 时，若2q ，则2 p + 1 = 3 舭( 4 p + 1 ) = 3 钛4 p + 3 妣，或者 2 p = 3 妣4 p + 3 拙一1 = 3 拙4 p + ( 3 七+ 1 ) ( 3 忌一1 ) e h8i2 p ，8i ( 3 七4 - i ) ( 3 七一1 ) ，而8f3 妣和可得a 不能为偶数所以a 只能 为奇数即就是2 p + 1 = 3 q ( 和+ 1 ) = 3 2 k + 1 ( 4 p + 1 ) ，此式两边模4 可得 1 兰2 p + 1 = 3 a ( 4 p + 1 ) = 3 2 七+ 1 ( 4 p + 1 ) 三3 ( r o o d4 ) ， 矛盾，故口也不能为奇数综上可得p 1 - 结合以上几种情况我们立刻完成了 定理3 2 的证明 1 1 第阴章关于s m a r a n d a c h el c m 函数与它的对偶函数的均方值 第四章关于s m a r a n d a c h el c m 函数与它的对偶函数的 均方值 4 1 引言及结论 对任意正整数n ，著名的s m a r a n d a c h el c m 函数s l ( n ) 定义为最小的正 整数七，使得r ti 1 ，2 ，翻，这里 1 ，2 ，k 】表示1 ，2 ，k 的最小公 倍数例如s l ( 6 ) = 3 ，s l ( 1 0 ) = 5 ，s l ( 1 2 ) = 4 ，s l ( 2 0 ) = 5 ，特别当扎的 标准分解式为n = 硝1 p 呈2 p 时，利用初等方法不难证明 s l ( n ) = m a x 硝1 ，p ；2 ，) 基于这一公式，我们不难算出s l ( n ) 的所有值关于这个函数的其它性质， 许多学者也进行了研究，并取得了不少重要的结果 7 - - 1 2 例如文献【1 1 】研究 了s l ( n ) 的均值性质，给出了渐近公式： 三删= 西r 2 。而x 2 + 吾k 而b i - x 2 + 。( 熹) ， 其中b i ( i = 2 ，3 ，k ) 是可计算的常数 文献【1 2 】研究了均方值( s l ( n ) 一豆( 几) ) 2 的渐近性质，给出了渐近公式： 三c 跚n ，一孬c 训2 = 亏4 ( ( 差) 熹+ 妻譬+ 。( 熹) ， 其中( ( 佗) 为r i e m a n nz e t a - 函数，c 为可计算的常数，豆( n ) 为可加函数，定义 为：孬( 铊) = 啪 本章中我们定义函数s l ( n ) 的对偶函数瓦( 佗) 如下： 一s l ( n ) = m i n p 宇1 ，p 呈2 ，磋) ， 其中n = p 芋1 p 呈2 戒为n 的标准分解式这个函数的前几项为瓦( 1 ) = 1 ， 瓦( 6 ) = 2 ，一s l ( 1 2 ) = 3 ，瓦( 2 0 ) = 4 ，瓦) = 矿，s - l ( 2 ( 2 k + 1 ) ) = 2 ，关 于这一函数的初等性质，我们至今知道的甚少，甚至不知道它的均值分布性质 1 2 两北大学硕士学位论文 本章的主要目的是利用初等及解析方法研究均方值 ( s l ( 佗) 一瓦( 佗) ) 2 ( 4 1 ) n 1 ，我们有渐近公式： 三( s l ( 几) 一一s l ( n ) ) 2 = 壹i = 1 型l i l i x + 。( 翥乏) ， n 2 p l 正n l 面p 湍 p f 玉n - s 屑矿s ；裔 p 2 5 p 4 兰 l n z ( 4 3 ) 当死b 且n = p 芋n l p ，其中瓦( 礼) = 所，s l ( n ) = p ，n l = 1 或者s l ( n 1 ) 衍当p 何时，显然我们也有衍讧在这种情况下，我 们有估计式： ( s l ( 佗) 一瓦( n ) ) 2 一衍) 2 n = p n l p _ z p 历 p n 1 何时，由于n b 且扎= p 譬n l p ，其中- s - g ( n ) = 硝，s l ( n ) = p ，所 以p q n l 讧此时注意到对任意正整数k ，由文献【1 3 】中的定理3 2 可得 万( z ) = 1 = p s z n i z l n 。z f + o li n k + 1 z 其中a i 为可计算的常数且a l = 1 于是注意到所缸，p i p ，应用a b e l 求 和公式，参见定理4 2 【6 】以及分部积分法可得 ( s 三( 仃) 瓦( 佗) ) 2 = 一矸) 2 n = p n l p z p o n l 西 ( p 2 + d 伺) p f n l s 面p 布 p 2 + o p n t 石p 衣 1 4 硝n s 西p p 譬 三( ( ( 3 ) 一1 ) ，所以d l ( ( ( 3 ) 一1 ) ， 1 ，参考素数定理【6 】，我们得到在区间【1 ，z 】内，至多 有0 ( 志) 个素数，因此从我们的定理中可得k 次幂筛选数列中含有无穷多的 非素数，因而问题( b ) 是正确的 5 2 定理的证明 返节找1 l j 布l j 用仞，寺万纭且瑗给出足理阴让h 月议k 2 为给疋明止整数， 对于任意正整数x 1 ，设( z ) 表示【i ，z 】中筛掉第驴个数之后剩余数的个 数( i = 2 ，3 ，允) 此时，我们有 z 一毒帅) = z 一吲 x - ；+ 等 或者 仉( z ) = ( 1 一刍) z + 剐巩陬( 圳 z 因此我们有 1=(z)=z熏(1一去、)+(nnx1 九= 、 记i ( z ) l m z i l ，并且 ( 5 1 ) 亘( 1 一去) = 亘( 1 一去) + 。m - ( k - 1 ) ) = 亟( 1 一去) + 。( z 一半) 由( 5 1 ) 式我们立即可以得出渐近公式 z l - - c ( 七) z + o ( z ) ， n x n e a ( 1 一万1 ) 是一个正常数，并且 o 。7 1 、 2 2 1 c ( 2 ) = i i 1 一嘉) = 等 n = 2 。 一 这样就完成了定理的证明 3 2 一l 4 2 1n 2 1 1 8 3 24 2 1 2 虿 n 瑚f = 妨“ 中其 两北大学硕士学位论文 第六章总结与展望 在 o n l yp r o b l e m s ，n o ts o l u t i o n s ) ) 一书中，著名的美籍罗马尼亚数学 家f l o r e n t i ns m a r a n d a c h e 教授提出了1 0 5 个有关数论函数和序列的问题 与猜想，日本的k e n i c h i r ok a s h i h a r a 博士也在 c o m m e n t sa n dt o p i c so n s m a r a n d a c h en o t i o n sa n dp r o b l e m s ) ) 一书中提出了许多与s m a r a n d a c h e 函数 有关的问题，引起了广大数论爱好者的兴趣本论文主要研究了s m a r a n d a c h e 函数在一些特殊序列上的下界问题，得到了一些较强的下界估计，利用初等方 法、解析方法以及素数分布定理，研究了s m a r a n d a c h el c m 函数与它的对偶 函数的均方差分布问题，给出这两个函数均方差的一个较强的渐近公式，得到 了这两个函数的一些有趣的均值分布性质，并定义了一个新的s m a r a n d a c h e 七 次幂筛选法，利用初等方法研究了筛选后数列的性质，得到一个有趣的渐近公 式，然而还有许多问题期待我们做进一步的研究与探索，比如： 1 关于s m a r a n d a c h e 函数在某些特殊序列上的下界是否能得到更强更一 般的表达式，还需要我们进一步研究 2 对于函数瓦1 两，是否存在一个非平凡的均值公式也是一个有意义的问 题，我们猜测： 羡南吣饵凯叫呱 其中主 c 1 为某一常数可惜我们无法证明这一结论，甚至也不知道c 的 值是多少，建议有兴趣的读者进一步研究 1 9 参考文献 参考文献 【1 】s m a r a n d a c h ef o n l yp r o b l e m s ，n o ts o l u t i o n s m c h i c a g o ：x i q u a np u b - f i s h i n gh o u s e ，1 9 9 3 【2 l uy a r n i n g o nt h es o l u t i o n so fa ne q u a t i o ni n v o l v i n gt h es m a r a n d a c h e f u n c t i o n 【j 】