（应用数学专业论文）一些具有可逆子块或幂等子块的分块矩阵的群逆.pdf

哈尔滨工程大学硕士学位论文 摘要 广义逆理论一直是矩阵理论中活跃的研究领域这不仅是因为它 自身有很高的理论价值，更重要的是它在数理统计、系统理论、有限马 尔可夫过程、差分方程组、人1 2 增长模型和最优化控制等方面都有其 广泛的实际应用背景但由于工作难度大，它在矩阵代数中尚有大量问 题没有解决，其中分块矩阵d r a z i n 逆、群逆表达式及群逆存在性问题 是重要的未解决问题 19 7 9 ，c a m p b e l l m e y e r 提出了2 2 分块矩阵( 罢三) 的。r a z i n 逆和群逆表达式问题，这里彳和d 是方阵，此问题至今尚未完全解决 甚至对于分块矩阵( 尝言】( 彳是方阵，零矩阵0 是方阵) 的d r a z i n 逆 ( 群逆) 表达式问题也还没有完全解决目前人们只是在特殊的条件下 给出了一些2 2 分块矩阵的d r a z i n 逆和群逆的表达式 设k 是一个体，k 删”表示k 上所有m x 以阶矩阵的集合设 a k “”，i n d ( a ) = k ，若矩阵x k “”满足下列方程：a x a = a ， x a x = x ，似= 翻，则称x 为彳的d r a z i n 逆，记作z = a d ，其中 k = i n d ( a ) 是使r a n k a “= r a n k 4 七成立的最小的非负整数，当i n d ( a ) = 1 时，x 称为彳的群逆，记作x = a 4 本文首先概述了矩阵广义逆研究的意义及国内外的研究现状，然 后介绍了广义逆矩阵的基础知识最后，在第3 、4 章中给出了本文的 主要研究结果，其中包括： 1 给出分块矩阵( 詈三) 群逆存在的充分必要条件和表达式，其中 a ，b ，c ，d k “疗，a 可逆且( d c 4 - 1 b ) 4 存在。 哈尔滨工程大学硕士学位论文 2 给出分块矩阵( 罢言) 群逆存在的充分条件和表达式，其中 a ，b k “”，b 2 = 曰，且“，一曰) 彳) 4 存在 关键词：分块矩阵；可逆矩阵；幂等矩阵；群逆；体 哈尔滨工程大学硕士学位论文 a b s t r a c t g e n e r a l i z e di n v e r s eo fm a t r i c e st h e o r yi sa na c t i v ef i e l di nt h es t u d y o fm a t r i xt h e o r y b e c a u s ei tn o to n l yh a sh i g ht h e o r e i t i ev a l u eb u ta l s o h a sp r a c t i c a la p p l i c a t i o nv a l u ei nm a t h e m a t i c a ls t a t i s t i c s ，s y s t e mt h e o r y , f i n i t em a r k o vp r o c e s s ，d i f f e r e n c ee q u a t i o n ，p o p u l a t i o n g r o w t hm o d e l ， o p t i m a lc o n t r o la n ds oo n b u tt h e r ea r eal o to fp r o b l e m su n r e s o l v e di n m a t r i xa l g e b r ab e c a u s eo ft h ed i f f i c u l t i e si nt h es t u d y ，i nw h i c ht h e r e p r e s e n t a t i o n so ft h ed r a z i ni n v e r s ea n dt h eg r o u pi n v e r s eo ft h eb l o c k m a t r i c e sa n dt h ee x i s t e n c eo ft h eg r o u pi n v e r s eo ft h eb l o c km a t r i c e sa r e i m p o r t a n t i n19 7 9 ，c a m p b e l la n dm e y e rc a m eu pt h ef o l l o w i n go p e np r o b l e m ： f i n da ne x p l i c i te x p r e s s i o nf o rt h ed r a z i ni n v e r s eo fa2x 2b l o c km a t r i x f ，a 。竺1 i nt e r m s 。fi t sv a r i 。u sb l 。c k s ，w h e r et h eb l 。c k s 彳a n dda r e l cd a s s u m e dt ob es q u a r em a t r i c e s s of a rt h i sp r o b l e mh a sn o tb e e ns o l v e d c o m p l e t e l yy e t f u r t h e r m o r e ，t h er e p r e s e n t a t i o n so ft h ed r a z i n ( g r o u p ) i n v e r s ef o rb l o c km a t r i xo ft h ef o r m ( 矧渊u a r e 帅a v e n o tb e e ng i v e ne v e n a tt h ep r e s e n tt i m es o m es c h o l a r so n l yg a v et h e e x p r e s s i o n so ft h ed r a z i n ( g r o u p ) i n v e r s eo fs o m e2x 2b l o c km a t r i c e s u n d e rs o m es p e c i a lc o n d i t i o n s s u p p o s eki s as k e w , l e tk 删万d e n o t et h es e to fa l lm x , m a t r i c e s f o ra k ”，i n d ( a ) = k ，t h em a t r i xx k “。”i ss a i dt ob et h e d r a z i ni n v e r s eo fai fi th o l d st h a ta x a = a ，x a x = x ，a x = x a ，a n d i sd e n o t e db yx = a d ，w h e r eki st h es m a l l e s tn o n n e g a t i v ei n t e g e rs u c h 哈尔滨工程大学硕士学位论文 t h a tr a n k 4 “1 = r a n k a i nt h ee a s ew h e nl n d ( a ) = l ，xi sc a l l e dt h e g r o u pi n v e r s eo faa n di sd e n o t e db y x = a 4 f i r s t l y ，t h ed i s s e r t a t i o no u t l i n e st h er e s e a r c hs i g n i f i c a n c eo ft h e g e n e r a l i z e di n v e r s eo fm a t r i c e sa n dt h es t a t u si nd o m e s t i ca n do v e r s e a s s e c o n d l y ，t h eb a s i ck n o w l e d g eo fg e n e r a l i z e di n v e r s eo fm a t r i c e si s i n t r o d u c e d f i n a l l y ，s o m e n e wr e s u l t sa b o u tt h ee x i s t e n c ea n dt h e r e p r e s e n t a t i o n so ft h eg r o u pi n v e r s eo f2 x2b l o c km a t r i c e si ns o m e s p e c i a lf o r m sa r eg i v e ni nc h a p t e r 3a n dc h a p t e r 4r e s p e c t i v e l y ，w h i c ha r e l i s t e db e l o w ： 1 t h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h ee x i s t e n c ea n dt h e r e p r e s e n t a t i o n 。ft h eg r 。u pi n v e r s e o ft h eb t 。c k m a t r i x ( 罢三) a r e g i v e n ，w h e r ea ，b ，c ，d ek “”，a i si n v e r t i b l ea n d ( d c a 1 召) 4e x i s t s ； 2 t h en e c e s s a r yc o n d i t i o nf o rt h ee x i s t e n c ea n dt h er e p r e s e n t a t i o n 。ft h e g r 。u p i n v e r s e 。ft h eb - 。c k m a t r i x ( 三言) a r e g i v e n ，w h e r e a ，b k “”，b 2 = b ，a n d ( ( ，一b ) 彳) 4 e x i s t s k e y w o r d s ：b l o c km a t r i c e s ；i n v e r t i b l em a t r i c e s ；i d e m p o t e n tm a t r i c e s ； g r o u pi n v e r s e ；s k e wf i e l d 哈尔滨工程大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：本论文的所有工作，是在导师的指导下，由 作者本人独立完成的。有关观点、方法、数据和文献的引用已在 文中指出，并与参考文献相对应。除文中已注明引用的内容外， 本论文不包含任何其他个人或集体已经公开发表的作品成果。对 本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式 标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者( 签字) ：鄹善 ， 日期：2 d 7 7 年石月，1 日 哈尔滨工程大学 学位论文授权使用声明 本人完全了解学校保护知识产权的有关规定，即研究生在校 攻读学位期间论文工作的知识产权属于哈尔滨工程大学。哈尔滨 工程大学有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件。 本人允许哈尔滨工程大学将论文的部分或全部内容编入有关数据 库进行检索，可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本 学位论文，可以公布论文的全部内容。同时本人保证毕业后结合 学位论文研究课题再撰写的论文一律注明作者第一署名单位为哈 尔滨工程大学。涉密学位论文待解密后适用本声明。 本论文( 口在授予学位后即可口在授予学位1 2 个月后口 解密后) 由哈尔滨工程大学送交有关部门进行保存、汇编等。 作者( 签字) ： 郑超 导师( 签字) ： l 、，莜九 ， v 日期： jo o7 ，年移月肽日 如7 年月l r 日 哈尔滨工程大学硕士学位论文 第1 章绪论 本章首先引进广义逆矩阵的定义和一些必要的记号，概述广义逆 矩阵的理论和应用的历史和研究现状，以及广义逆研究的目的与意 义，最后介绍广义逆研究的动态及发展趋势 1 1 广义逆矩阵的定义 广义逆矩阵的概念来自于线性方程组的求解问题 设a c ”，这里c ”表示复数域c 上所有m 矩阵的集合x 为 n x l 复向量，b 为m x l 复向量当m = 玎且彳为可逆阵时，线性方程组 a x = b ( 1 1 ) 有唯一解，并且这个唯一解可以表示为 x = a 。1 b ( 1 - 2 ) 然而，在许多情况下，方程组( 1 1 ) 的系数矩阵彳可能是奇异阵，或者 根本不是方阵，但它的解却是存在的在这种情况下，我们如何用类 似于( 1 2 ) 的形式来表示( 1 1 ) 的解呢? 更进一步，若( 1 1 ) 是不相容的， 即该方程组无解，它的最小二乘解，也就是极小化 陋一瓜1 1 2 = ( b - a x ) ( b - a x ) 的向量x 也有主要的应用以上这些问题，以及在数理统计、数学规 划、计量经济、数值分析、控制论和网络等领域的许多问题都需要推 广通常逆矩阵的概念，这就产生了所谓的广义逆矩阵 对任意一个m x 以复矩阵a ，p e n r o s e 用下面的四个方程定义彳的广 义逆： ( 1 )a x a = a ； (2)xax=x； l 哈尔滨工程大学硕士学位论文 ( 3 )( 魃) = a x ；( 1 - 3 ) ( 4 )( 删) = 黝； 其中彳表示a 的转置共轭阵( 见【l 】) p e n r o s e 还证明了，满足上面四 个方程的矩阵x 是唯一的( 见【l 】) 然而，在更早些时候，m o o r e 用另 一种等价形式定义了这种广义逆即对任意a c “”，m o o r e 用下面两 个矩阵方程 a x = 只，x a = b ( 1 4 ) 来定义彳的广义逆x ，这里只表示矩阵彳的列空间上的正交投影阵 ( 见【2 】，【3 】) 事实上，( 1 4 ) 等价于p e n r o s e 方程( 1 3 ) 后来人们就把 ( 1 3 ) 定义的广义逆x 称为m o o r p e n r o s e 逆，简记为a + ，而把( 1 3 ) 的 四个矩阵方程统称为p e n r o s e 方程 1 2 广义逆矩阵的历史概略 m o o r e ，e h 是公认的研究广义逆矩阵的第一人他在1 9 2 0 年 美国数学年会一个会议报告的摘要中，定义了矩阵广义逆，当时他称 之为g e n e r a lr e c i p r o c a l 但有的学者认为，m o o r e 关于广义逆的研究 可以追溯到1 9 0 6 年，m o o r e 关于广义逆的较详细结果发表在1 9 3 5 年 的著名论文中( 见【3 】) 于是，许多学者常把1 9 3 5 年作为广义逆研究 的起点在这篇论文中，对任意聊以阶矩阵a ，m o o r e 用( 1 4 ) 两个矩 阵方程来定义广义逆，但是在此后的2 0 余年中，人们对广义逆的研 究并未给予应有的重视 到了本世纪5 0 年代，一些学者开始注意到广义逆矩阵的最小二 乘性质b j e r h a m m a r 在不知道m o o r e 结果的情况下，重新提出了广义 逆矩阵的概念( 他称之为r e c i p r o c a lm a t r i x ) ，并注意到了广义逆与线 性方程组解的关系( 见 4 1 ，【5 】) b o t t 和d u f f i n 在研究电网络理论时，引 进了一种后来被称为b o t t - d u f f i n 广义逆的逆矩阵( 见【6 】) 当时他们称 2 哈尔滨工程大学硕士学位论文 为约束逆( c o n s t r a i n e di n v e r s e ) 但这时期的研究工作缺少一般性，零 散而不系统 在广义逆研究中，一个重要的里程碑是p e n r o s e 的1 9 5 5 年的著名 论文( 见 1 】) 在这篇文章中，p e n r o s e 用( 1 - 3 ) 的四个方程再次定义了 广义逆，并证明了( 1 3 ) 的解是唯一的他还建立了( 1 3 ) 的第一方程的 解彳一与方程组( 1 1 ) 解的联系p e n r o s e 的这项工作在广义逆研究中起 着十分重要的作用，它使广义逆这一概念获得再生从此之后，学者 们对广义逆的研究产生了前所未有的兴趣在此后短短1 0 余年中，发 表了数百篇关于广义逆的研究论文( 见 7 1 4 ) 等在这期间， e r d e l y i 于l9 6 7 年引进了群逆( 见【15 】) ，而d r a z i n 于19 5 8 年引进了 另一种广义逆，他称为p s e u d oi n v e r s e ，现在通称为d r a z i n 逆 在广义逆研究的这一时期，统计学家的研究工作占了相当的分 量 r a o 和m i t r a 研究了f l 卜逆结构表示和不唯一性，并把它们应用 于统计参数估计理论，特别是线性模型和方差分析的估计与检验问题 ( 见 16 2 1 ) 现在广义逆矩阵已经成为数理统计的许多分支不可缺 少的有效工具( 见【2 2 2 3 1 ) 1 9 6 8 年3 月，在美国t e x a s 举行了广义逆矩阵的专题学术会议， 并出版了会议论文集，( 见【2 4 ) 后来，分别于1 9 7 3 年和1 9 7 6 年举行 了关于这一课题的讨论班和区域性会议，并出版论文集( 见【2 5 2 6 】) b e n i s r a e l ，s t e w a r t ，w e d i n 和何旭初研究了广义逆矩阵的扰动 和连续性问题，并给出了彳+ 连续性的条件( 见 2 7 31 ) 在本世纪7 0 年代前后，一些关于广义逆矩阵及其应用的专著陆 续问世( 见 3 2 3 5 ) 这些著作广泛收集和系统总结了散见在各种刊 物中关于广义逆的理论、方法和应用的许多重要结果，并在一定程度 上规范了许多常用的术语和记号 由于统计研究工作的需要，近年来许多统计学家对涉及广义逆的 偏序( p a r t i a lo r d e r i n g ) 产生了浓厚的兴趣我们用a 0 表示a 为半正定 3 哈尔滨t 程大学硕士学位论文 实对称阵，若a 0 ，b o 且两者为同阶阵，我们用a b 或b a 表示 a b 0 众所周知，若彳和b 皆可逆，且a b ，则必有 a sb 19 8 0 年这个结果被推广到各种广义逆，建立了诸如 么1 b ，么( 1 ，2 b o , 2 ) 成立的条件( 见【3 6 】) 19 7 7 年证明了 r a u 咄( 彳) = r a n k ( b ) 时，a b 的充要条件为a + b + ( 见【3 7 】) 1 9 9 6 年则建 立了a 2 b 2 ) 的若干充要条件( 见【3 8 】) 许多学者还把c a u c h y s c h w a r z 不等式和k a n t o r o v i c h 不等式推广到含广义逆矩阵的情形见 ( 3 9 - 4 3 ) 矩阵理论不仅是数学理论中的主要部分，而且是现代自然科学、 工程技术乃至社会科学许多领域的一个不可缺少的数学工具，因此广 义逆矩阵的应用也相当广泛可以这样说，凡是用到矩阵的地方，都 有可能用到广义逆矩阵1 9 7 6 年n a s h e d 和1 9 8 2 年c a m p b e l l 介绍和 综述了广义逆在许多方面的应用，其中包括数理统计、数学规划、数 值分析、控制论、博奕论和计量经济等( 见 2 5 2 6 ) ，部分内容的详细 讨论可以在【3 2 和【3 5 中查找到 1 3 广义逆研究的目的与意义 广义逆是一门年轻而应用十分广泛的学科广义逆理论一直是 矩阵理论中活跃的研究领域，这是因为它们自身有很高的理论价值， 而且在数值分析、数理统计、测量学和最优化等领域发挥着广泛的重 要作用在研究最小二乘问题，长方、病态线性、非线性问题，不适定 问题，回归、分布估计、马尔可夫链等统计问题，无约束、约束、随 机规划问题，控制论和系统识别问题，网络问题等等中，广义逆更是 不可缺少的研究工具，对非奇异方阵来说，逆矩阵唯一而对广 义逆矩阵来说，由于问题需要，有不同的定义主要有m p 逆， 1 ) - 逆， d r a z i n 逆，群逆，加权m p 逆，b o t t d u f f i n 逆等由于广义逆矩阵的 4 哈尔滨工程大学硕士学位论文 特殊重要性，多年来，学者一直对广义逆矩阵的研究充满了浓厚的兴 趣，成果不断涌现，应用逐步深入 1 4 广义逆研究的动态及发展趋势 厂义惩之所以能得剑众多学看的重视，与它征话多字科和领域的 广泛应用是分不开的，随着广义逆研究的深入，其应用的范围越来越 广，广义逆也被更多的学者所认识和关注，反过来又进一步推动了广 义逆的研究工作1 9 7 9 年，c a m p b e l l 和m e y e r 在文献【4 6 】中提出2 x 2 分 块矩阵( 罢三的d r a z i n 逆表达式问题，这里彳和。是方阵，此问题至 今尚未完全解决甚至对于分块矩阵r 三言 ( 彳是方阵，零矩阵。是 方阵) 的d r a z i n j 煎( 群逆) 表达式问题也还没有完全解决目前人们只 是在特殊的条件下给出了一些分块矩阵的d r a z i n 逆和群逆的表达式， 如在文献【4 8 】中作者研究了当a 和i + c a 。2 b 可逆时复数域上的分块矩 阵f 三三、) 群逆的存在性条件：在文献【5 l 】中作者给出了当 r a n k ( c b ) 2 = r 2 u 1 k ( b ) = r a i l l 【( c ) 时， 分块矩阵f 2言 ( b ，c k “”) 的群逆 的表达式：文献【5 2 】给出了体k 上分块矩阵f 吾三 的群逆的存在性 条件和表达式：文献【5 3 】给出了复数域上的一些形如( 三言 的分块矩 阵的群逆的存在性条件和表达式，其中a ，b ，c p ，p p ，p c “”， 这单c 取一表示笤数域c 所有t l n 矩阵的集合p 2 ：p p 是p 的其轭转 5 哈尔滨t 程大学硕士学位论文 置：文献【5 4 】给出了复数域上的分块矩阵( 乏； ( 彳c 舢，这里 c “”表示复数域c 所有胆疗矩阵的集合，彳2 = 彳，彳是彳的共轭转置) 群逆的表达式：在文献【5 5 】中给出了分块矩阵( 三三) ( b c 出d ，是 d x d 阶单位阵) i 勺d r a z i n 逆及群逆的存在性条件及其表达式：文献【5 6 】 给出了分块矩阵( 三言、) 口，艿k 雕月，召2 = 口) 群逆的存在性的充分必要 条件及其表达式 相信随着研究的深入，矩阵广义逆和算子广义逆的理论及应用一 定会取得更多有价值的成果，为人类文明和进步做出更大的贡献 1 5 本文的主要工作 本论文的主要结果是： 定理3 3 ， 设m = ( 三三) k “册，彳k 脚可逆，s 嚣。一c 4 _ 曰， 若s 4 存在，则 ( f ) m 4 存在当且仅当月可逆，其中尺= 彳2 + 船疗c 且s 5 = ，一s s 4 ： c 回若肘4 存在，则m 4 = ( 三二) ， 其中 x = 4 r 一1 ( 彳+ b s 。c ) r 一1 彳， y = 4 r 一1 ( 彳+ 殿”c ) r 一1 b s 石一彳r 一b s 4 ， 哈尔滨工程大学硕士学位论文 z = s 石c r 一1 ( a + b s “c ) r a s 4 c r 一1 彳， 则 其中 w = s 石c r 一( 么+ b s 4 c ) r 一1 b s 4 一s # c r 一1 b s 霄一s c r 一1 b s 。+ s 。 推论3 3 ，设m = ( 尝苫) k 舣”可逆，s = 一例一曰，若s 4 存在， ( i ) m 4 存在当且仅当r 可逆，其中r = a 2 + b s 8 c 且s 厅= ，一s s 4 ； ( i i ) 若m 4 存在，则 肌匕 x = a r 一1 ( 彳+ b s 。c ) r a ， y = a r 一1 ( a + b s 4 c ) r 一1 b s 石一a r 一1 b s 4 ， z = s 万c r 一1 ( 彳+ b s 。c ) r a s 8 c r a ， w = s 2 c r 一1 ( 彳+ b s 。c ) r 一1 b s 石一s 4 c r 一1 b s 。一s 4 c r 一1 b s 4 + s 4 推论3 3 2 设m = ( 罢三) 足删m ，。k “”可逆，s = 彳一b d 卅c ， 若s 4 存在，则 ( i ) m 4 存在当且仅当r 可逆，其中r = d 2 + 四万bgs 厅= ，一s s 4 ： ( f f ) 若m 8 存在，则 7 哈尔滨工程大学硕士学位论文 肌( 耋玢 其中 x = s 霄b r 一1 ( d + c s 4 b ) r 一1 c s 露一s 4 b r 一1 c s 石一s ”b r 一1 c s 。+ s 4 ， y = s 厅b r 一1 ( d + c s 4 b ) r d s 。b r 一1 c s 4 ， z = d r 一1 ( d + c s 4 b ) r 一1 c s 万一d r 一1 c s 4 ， w = d r 一1 ( d + c s 。们r d 定理4 3 ，设m = ( 三言) k 2 职抽，其中彳，b k 舣n ，w 2 - w ， ( ( ，一功么) 4 存在，则m “存在，且m 4 = ( 兰孑) ， 其中 u = b a ( i b ) + ( s a i ) b a ( i b ) a s 4 + s 4 ，一a b a ( i b ) 】： v = b s 4 a b ： z = b + b a b a ( i b ) ( a s 4 一，) 一b a s 4 i + a b a ( i b ) ( a s 4 一，) ： w = b a s 4 a b b a b ： s = ( ，一b ) a ( i - 曰) 推论4 3 1设c 删”表示复数域c 所有1 1 甩矩阵的集合，设 p 2 = p c n x n , 且m = ( ：言) c 2 枷疗，则m 。存在，且 肌( 。端尸一纠 定理4 3 2 设m = ( 三言 k 2 辨知，其中彳，b k “一，召2 = 召， 哈尔滨t 程大学硕十学位论文 c 4 c ，一b 存在，则m 4 存在，且m 。= ( 丢三) ， 其中 e = s 4 + ( ，一b ) a b ( i b a s 。) 一( j b ) a s 4 ( ，+ b a s 8 ) ： = b s 4 a b 一( ，一b ) a ( 1 + s 4 彳) 矗彳曰+ ( j r b ) a ( i s 4 a ) b a s 4 a b ： g = b + b a s 4 ： h - - - b a s 4 a b b a b ： s = ( i b ) a ( i b ) 9 哈尔滨t 程大学硕十学位论文 第2 章广义逆矩阵的基础知识 2 1 广义逆矩阵的相关概念 2 1 1m o o r e p e n r o s e 逆 设c ”为复刀维向量空间，c “朋为复m g l 阶矩阵的全体，c ：柚 = x c ”；r a n k x = ， 足( 彳) = y c m ；y = , i x ，x c ” 为彳的值域众所 周知，非奇异线性方程组 a x = b ( a c 7 ”)( 2 1 ) 有唯一解x = a b ，其中彳_ 是满足矩阵方程 a x = i ，尉= ，( 2 - 2 ) 的唯一的矩阵称x 为么的逆阵，记作x = a 一 当a 为长方阵时，相容线性方程组 a x = b ( a c 册”，b r ( 彳) )( 2 3 ) 有无数解不相容线性方程组 a x = b ( a c 袱”，b 垡r ( 彳) )( 2 4 ) 无解，但它有最小二乘解我们能否找到一个适当的矩阵x ，使x b 是 方程组的某个解? 这个x 称为表示方程组解的彳的广义逆，并且它是 通常非奇异矩阵之逆阵的推广 2 。1 1 1 么+ 的定义及基本性质 广义逆矩阵的概念最早是由e h m o o r e 提出的，1 9 2 0 年他在美 国数学会通报上以摘要形式给出了任意矩阵广义逆的如下定义： 定义2 1 1 设a c r u x ”，则满足 a x = 名( 一) ，删= 乓( x )( 2 - 5 ) 的矩阵xe c 雕册称为a 的广义逆矩阵，记做a + ，其中斥( _ ) 和斥( x ) 分别 哈尔滨丁程大学硕七学位论文 是r ( 彳) 和g ( x ) 上的正交投影算子 1 9 5 5 年，英国数学家r p e n r o s e 在剑桥哲学学会学报上发表了题 为“广义逆矩阵 的论文，利用四个矩阵方程，以非常简单、直观的 形式给出了广义逆矩阵的定义，即 定义2 1 2 ，设a c “”。则满足 ( 1 ) a x a = a ；( 2 ) x a x = x ； ( 3 ) ( 似) h = a x ；( 4 ) ( x a ) h = 黝( 2 - 6 ) 的矩阵x c “”称为么的广义逆矩阵，记作么+ 可以证明，以上两个广义逆矩阵的定义是等价的，可参阅参考文 献 5 0 上述定义的广义逆，通常称为m o o r e p e n r o s e 广义逆，简记 为m p 逆 下面，我们指出定义2 1 2 中的矩阵x 是存在而且唯一的 定理2 1 ，1 设a c m ，”，则彳+ 存在且唯一 证明先证爿+ 的存在性若，= 0 ，则爿是m 刀阶零矩阵，可以验 证刀m 阶零矩阵满足m o o r e p e n r o s e 的4 个条件若， 0 ，由矩阵的 奇异值分解知，存在m 阶酉矩阵u 和，2 阶酉矩阵矿使得a = u r v ，其 中火= ( 舍暑) c 胀n ，为满秩，阶对角阵记r i = ( 龛1g c 删肿，下 面证明x = v r l u 片满足m o o r e p e n r o s e 的4 个条件，即x = v r l u h 为彳 的m p 逆彳+ ( 1 ) a x a = u r v v r l u u r v 月= u r v = a ； ( 2 ) x a x = v r l u h u r v v r l u = v r l u h = x ； c 删删v n v r t = 驯爿一 ( 4 ) 与( 3 ) 同理( x a ) = x a 下面证明4 + 的唯一性 设x 1 ，z 2 都满足a 的m o o r e p e n r o s e 逆的4 个条件，则 哈尔滨工程大学硕士学位论文 x l = x l a x l = x i ( a x 2 彳) x l = x i ( a x 2 ) ( 戤) = x j ( 峨) ( 从i ) 何 = x i ( 似i 朋2 ) h = x i ( a x 2 ) = x j a x 2 = x 1 4 y 2 4 x 2 = ( x l 么) h ( x 2 4 ) hx 2 2 ( x 2 a x i 彳) x 2 = ( y 2 4 ) x 2 2 五a x 2 = 五 故a 的m p 逆a + 存在且唯一 m p 逆与通常的逆阵有相似的性质 定理2 1 2 设a c 脓”，则 ( 1 ) ( 么+ ) + = a ； ( 2 ) ( a ) + = ( a + ) ； ( 3 ) ( 刎删+ ，其恍c ，矿= 篙 ( 4 ) ( 4 爿) + = 彳+ ( 彳h ) + ，( a a ) + = ( a ) + a + ； ( 5 ) a + = ( a 彳) + a = a ( a a ) + ； ( 6 ) a 片= a 州+ = a + 朋； ( 7 ) ( u a v ) + = v 胃a + u 片，其中u 为m 阶酉阵，v 为f i 阶酉阵； ( 8 ) r a n k 4 = 刀时，a + a = l ，r a n k a = m 时，州+ = l 证明由定理2 1 1 证明，设彳有奇异值分解a = u r v ，其中 r = ( 舍3 c 删 ，其中为满秩，阶对角阵，则彳+ ：职。u 日， 墨= ( 1 约c 脓，易证( - ) ( 8 ) 成立 2 1 1 2 矩阵的值域和零空间 定义2 1 3 设a c m ”，定义a 的值域尺( 彳) 和零空间( 么) 为 尺( 彳) = y c 朋：y = a x ，z c “) ， 1 2 哈尔滨t 程大学硕十学位论文 ( 彳) = x c ”：a x = 0 ) ； 可以证明 r ( 彳) 上= n ( a ) 这里r ( 彳) 上表示r ( a ) 的正交补子空间， 即每个向量x c ”，可唯一地 表成x = y + z ，y 尺( 彳) ，z 尺( 彳) 上 定理2 1 3 ( 值域与零空间的性质) ( 1 ) r ( a ) = r ( a a + ) = g ( a a ) ； ( 2 ) r ( a + ) = r ( a ) = g ( a + a ) = r ( a a ) ； ( 3 ) r ( i a + a ) = n ( a + a ) = n ( a ) = r ( a ) 上； ( 4 ) r ( i 一彳彳+ ) = n ( a a + ) = n ( a + ) = n ( a h ) = 尺( 彳) 上； ( 5 ) r ( a b ) = 尺( 彳) 营r a n k ( a b ) = r a n k , 4 ； ( 6 ) n ( a b ) = ( b ) 营r a n k ( a b ) = r a n k b 弓i 理2 1 1 设a c 埘”，贝0 ( 1 ) r a n k a = r a n k a + = r a n k ( a + 彳) = r a n k ( a a + ) ； ( 2 ) 设e _ = l 一朋+ ，e = l - a + a ，则 r a n k a = m r a n k e a ，r a n k a = 以一r a n k f a ； ( 3 ) r a n k ( a a 日) = r a n k a = r a n k ( a a ) 2 1 1 3 满秩分解 一个不是列( 行) 满秩的非零矩阵可以表成一个列满秩和一个行满 秩矩阵的乘积，称为矩阵的满秩分解，它在广义逆矩阵的研究中是一 个有力的工具 定理2 1 4 设a c 7 ”， 0 ，则存在列满秩阵f c 7 ”和行满秩阵 g c ，使得 a = f g ( 2 7 ) 应该指出，一个矩阵a 的满秩分解不是唯一的因为若c c ：k 7 ， 则a = ( f c ) ( c 。1 g ) 兰f , g 。也是么的一个满秩分解利用4 的满秩分解可 哈尔滨工程大学硕士学位论文 导出m p 逆彳+ 的一个显示公式 定理2 1 5 设a c 7 ”， 0 ，有满秩分解a = f g ，则 a + = g h ( f h a g h ) 一1 f h = g h ( g g h ) 一1 ( f h f ) 一f 开( 2 - 8 ) 推论2 1 1 若a c y ，则a + = 口h 么) 。1a h ；若a c 7 ”，则 a + = a ( a a ) 一 2 1 1 4 不相容线性方程组的极小范数最小二乘解与m p 逆 若x = ( 五，x 2 9o x 口) r c p ，我们知道x 的2 一范数 i ix1 1 2 = ( it1 2 ) l ，2 = ( x 盯x ) v 2( 2 - 9 ) i - i 为方便起见，记| | x | | ：= | ix1 1 若“，1 ，c p ，且u 和v 正交，即( “，1 ，) = 0 ，则 l i “+ 1 ，0 2 刊l 甜1 1 2 + 0v i l 2( 2 1 0 ) 这就是著名的勾股定理 下面讨论不相容线性方程组 a x = b ( a c 脓一，b 萑r ( 彳) ) 的最小二乘解和极小范数最小二乘解 定义2 1 4 设a c ”，b c ”，向量甜c ”称为( 2 4 ) 的最小二乘 解，如果i ia u b 悯ia v - bl l 对一切1 ，c ”成立 定义2 1 5 设a c 拟”，b c 肼，向量“c ”称为( 2 4 ) 的极小范数 最小二乘解，如果u 是( 2 4 ) 的最小二乘解，且l l 甜删1wf l 对一切其它最 小二乘解w 成立 若b 尺( 彳) ，方程组a x = b 相容，此时方程组的解与最小二乘解显 然相同 下列定理给出( 2 4 ) 的极小范数最小二乘解与m p 逆的关系 定理2 1 6 设a c ”，b c 胂，则a + b 是( 2 4 ) 的极小范数最小二 乘解 1 4 哈尔滨t 程大学硕十学位论文 在某些应用中，最小二乘解中范数最小的向量是重要的，而其它 的最小二乘解是不重要的如果不强调范数最小，则下列定理非常有 用 定理2 1 7 设a c ，b c 胂，则下列命题等价： ( 1 ) “是a x = b 的最, j 、- - 乘解； ( 2 ) 甜是a x = a a + b 的解； ( 3 ) u 是a a x = a h b 的解； ( 4 ) “= a + b + h ，对某个h ( a ) 2 1 2 a 的 f ，j ，后 逆 定义2 1 6 设a c ，矩阵x c 脓臃如果满足m o o r e p e n r o s e 逆 条件( 1 ) 一( 4 ) 中的第( f ) 、( ) 、( 后) 个方程，就称x 为a 的 f ，j - ，k 逆记 作x = 彳 肚) 或x a i ，歹，k 这里彳 f ，k 表示彳的一切 f ，j ，k 逆的集 厶 口 2 1 2 1 1 】与相容线性方程组的解 首先介绍a 1 的计算及有关性质 定义2 1 7 满足m o o r e p e n r o s e 逆条件( 1 ) a x a = a 的矩阵x 称为 表示方程组解的广义逆，简称为a 的 1 ) 逆，记作x = a 1 或x a 1 这里a 1 ) 表示a 的一切 1 ) 逆的集合 因为彳的m p 逆存在，故么的 1 逆彳( 1 ) 存在性显然，但不唯一， 触：4 = ( ，则川吐a 1 2 a = a 利用等价标准形可以求出 1 逆的全体 定理2 1 8 设彳c 且有等价分解朋q = ( ：吕) ，其中p c = 庸 q c ? ”，则 1 5 哈尔滨t 程大学e a , 十学位论文 膨= q ( 兰 尸彳t ， 且对任意的彳( 1 1 均可写成上述形式 证明彳删叫叫耋p ( 吐 故m a 1 而对任意的a o ) a 1 ) ，令彳m = q f 今兰) 尸，则由剧彳= 彳得 a = i 下面定理给出了 1 ) 逆的一些性质 定理2 1 9 设a c ”，则 ( 1 ) ( a o ) ) h a h 1 ； ( 2 ) a + a 1 ( a a ) i ，五c 。 ( 3 ) r a n k a ( 1 r a n k a ； ( 4 ) 若p 、q 非奇异，则q 。1 么1 p _ ( p a q ) 1 ) ； ( 5 ) 州和彳( 1 么幂等且r a n k a a ( ) = r a n k a = r a n k a ( 1 彳； ( 6 ) 若彳列满秩，则a 1 a = i n ；若彳行满秩，则a a 1 = ，珊； ( 7 ) 若p 列满秩，q 行满秩，则o 1 a 1 p 1 ( e a o ) 1 ) ； ( 8 ) 若么非奇异，则彳( 1 ) = a 一是唯一的； ( 9 ) 若a 爿= a ，则存在一个x a 1 ) 且x h = x ； ( 1 0 ) r ( a a 1 ) = r ( 彳) ，n ( a ( t ) a ) = n ( a ) ，r ( ( 彳1 4 ) ) = r ( a 何) 下面讨论爿 1 】与相容线性方程组的解之间的内在联系 定理2 1 10 设a c 泓”，则对所有b r ( 么) 方程组a x = b 有解x = 劢的充分必要条件是x a 1 ) 证明必要性设x = x b ，则a x b = b ，v 6 j j c ( 彳) ，故a x a = a ，即 x = 彳( 1 a