（基础数学专业论文）子群性质与有限群结构.pdf

术语和符号 在本文中，我们使用以下术语和符号 所有群都是有限群 字母g 总表示一个有限群 字母p 总表示一个素数 对有限集合a ，川表示a 中含有的元素个数 对有限群g ， 圣( g ) 为g 的f r & t t i n i 子群 d 表示g 的导子群 z ( g ) 为g 的中心 m ( g ) 表示g 的自同构群 f ( g ) 为g 的f i t t i n g 子群，即g 的极大幂零正规子群。再归纳定义最( g ) = f ( g 毋一1 ) ，f 1 ( g ) = f ( g ) 村( g ) 表示g 的幂零长或f i t t i n g 高 对元素$ g ，c b ( z ) 表示z 在g 中的中心化子 对于a g ，g g 似) 表示a 在g 中的中心化子，n g 似) 表示a 在g 中的正 规化子 a q g 表示a 是g 的正规子群 ac h a r g 表示a 是g 的特征子群 q ( g ) 表示g 的极大正规p 子群 d p ，( g ) 表示g 的极大正规一子群 ( g ) 表示lgi 的所有素因子的集合 h a l l 。( g ) 表示g 的所有7 r - h a l 子群的集合 阻，捌表示群a 与群b 的换位子群 a b 表示群a 与群b 的直积 5 学位论文独创性声明 本人郑重声明： 1 、坚持以“求实、创新的科学精神从事研究工作 2 、本论文是我个人在导i l l l 撵导下进行的研究工作和取褥懿磅究成果。 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构已经发表或 撰写过的研究成鬃 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示了谢意。 作者签名： 日期； 学位论文使用授权声明 本人完全了瓣南京师范大学有关僳翟、使用学位论文的规定，学校有权保 留学位论文并f 句国家主管部门域其指定轨构送交论文的电子版和纸质版；有权将 学饿论文用于非赢利目的的少量复制并兜许论文进人学校图书馆被赢阅；有救将 学位论文豹内容编人搿关数据瘁进行检索；有权将学位论文酶标题和摘要汇编毽 版保密的学位论文在解密后适用本规定。 作者签名： 日期； 摘要 利用有限群子群的一些性质来刻划有限群的结构是有限群论的经典且重大的 课题，也是有限群论研究的一个重要方法子群有很多经典的性质，如交换，正 规，可补等本文从两个方面考察了子群性质对有限群结构的影响 ( 一) 所有子群皆交换或正规的有限非交换群 所有子群皆交换的非交换群称为内交换群，内交换群在 1 1 1 中有很详细的结 论而所有子群皆正规的非交换群称为h a m i l t o n 群 2 】，h a m i l t o n 群的结构也早已 给出本章研究所有子群皆交换或正规的有限群的结构，首先给定一个概念， 若有限群g 是它的正规子群f 与子群日的半直积，我们记g = 明日设 g = 旧h 是个以f 为核。循环群日为补的f r o b e n i u s 群，若对任意的1 日1 日，f 都是不可约的日1 子群，则称g 为( ) 型f r o b e n i u s 群 我们主要得到以下两个结论 结论1 设g 非幂零，则g 的黟隋子群皆交换或正规当且仅当c z ( c ) 是一 个( ) 一型f r o b e n i u s 群，且g 满足下述性质之一 ( 1 ) f ( g ) 交换 ( 2 ) f ( c ) 非交换，f ( g ) = p xq ，其中p 是f ( g ) 的非交换的s y l o w p - 子群， q = o 矿( z ( g ) ) 且p 是矿阶超特殊p - 群特别地，当p = 2 时，g o = s l ( 2 ，3 ) 结论2 设g 是非交换幂零群若g 的所有子群皆交换或正规，则g = p x a ， 其中p 是g 的个非交换的s y l o w p - 子群，是g 的交换一h a l l 子群进一 步，存在p 的正规交换子群，使得p 的所有子群都正规 ( - - ) 些特殊子群的弱拟正规性对有限群超可解性的影响 子群的正规，半正规，。正规，拟正规性质都对有限群的结构产生极大的影 响本章利用子群的弱拟正规概念得到了有限群超可解的几个充分条件先给出 。弱拟正规”的定义； 称群g 的子群日为g 的一个弱拟正规子群，若任取k g ，至少存在个 k 的共轭子群k z , x g ，使得h k z = k z h 我们得到以下结论t 若有限群g 满足下列任一条件，则g 超可解 ( 1 ) g 的一个极大且循环的子群在g 中弱拟正规； ( 2 ) m 是g 的个具有素数幂指数的子群，m 的所有s y l o w 子群及m 的所 有s y l o w 子群的极大子群均在g 中弱拟正规； ( 3 ) m 是可解群g 的一个极大正规子群，m 的极大子群均在g 中弱拟正规； ( 4 ) g 可解，g 的s y l o w 子群的极大子群均在g 中弱拟正规； ( 5 ) g 可解，g 的s y l o w 子群的循环子群均在g 中弱拟正规； ( 6 ) g = a b ，a h a j l 。( g ) ，b h a l l ，( g ) ，a 与b 的s y l o w 子群均在g 中弱拟 正规 关键词：交换子群，正规子群，( ，) 一型f r o b e n i u s - 群，弱拟正规子群，超可 解 2 a b s t r a c t i ti sac l a s s i ca n di m p o r t a n ts u b j e c ti nt h e o r yo ff i n i t eg r o u p st oc h a r a c t e r i z e g r o u ps t r u c t u r e sf r o ms o m ep r o p e r t i e so fs u b g r o u p s ，w h i c hi sa l s oa l li m p o r t a n tm e a n s t os t u d yf i n i t eg r o u p s s u b g r o u p sh a v em a n yc l a s s i cp r o p e r t i e ss u c h c o m m u t a t i o n n o r m a l i t ya n dc o m - p l e m e a te t c i nt h i st h e s i s ，w ec o n s i d e rt h ei n t e r p h yo ft h ep r o p e r t i e so fs u b g r o u p s a n dt h es t r u c t u r e so ff i n i t eg r o u p sf r o mt w os i d e s p a r to n ef i n i t eg r o u p si nw h i c he v e r ys u b g r o u pi sa b e l i a no rn o r m a l t h es t r u c t u r e so fi n n e r - a b e l i a ng r o u pw h i c hi san o n - a b e l i a ng r o u po fe v e r ys u b - g r o u pb e i n ga b e l i a nh s v eb e e ns t u d i e dd e t a i l e di nd o c u m e n t 【1 】a l s oh a m i l t o ng r o u p w h i c hi san o n - a b e l i a ng r o u po f e v e r ys u b g r o u pb e i n gn o r m a lh a sa l r e a d yb e e na n a l y z e d i nd o c u m e n t 【2 】 i nt h i sc h a p t e r ，w ei n v e s t i g a t et h es t r u c t u r e so ft h eg r o u p sw h i c he v e r ys u b g r o u p i 8a b e l l a no rn o x n l a j h e r ew eg i v eac o n c e p t i o n w ew r i t eg = 旧hi f g r o u pgi sam m i - d i r e c tp r o d u c tw i t hi t sn o r m a ls u b g r o u pf a n ds u b g r o u p 日af r o b e n i u sg r o u pg = i f hw i t hk e m a lfa n dc y c h cc o m p l e m e n t e d s u b g r o u phi sc a l l e da ( * ) - f r o h e m u sg r o u pi ff 埠a l w a y sa ni r r e d u c i b l e 凰- s u b g r o u p f o ra l l l 皿h w em a k et w oc o n c l u s i o n s f o l l o w s ： c o n c l u s i o n1 l e tgb ean o n - n i l p o t e n tg r o u p t h e ne v e r ys u b g r o u po fgi s a b e l i a no rn o r m a li ngi fa n do n l yi fg z ( g ) i sa ( ) f r o b e n i n sg r o u pa n dgs a t i s f i e s o n eo ft h ef o l l o w i n gp r o p e r t i e s ： ( 1 ) f ( g ) i 8a b e l i a nw h e r ef ( g ) i st h ef i t t i n gs u b g r o u po fg ； ( 2 ) f ( g ) i su o n - a b e l i a n , a n df ( g ) = pxqw h e r epi san o n - a h e l i a ns y l o wp - s u b g r o u po ff ( g ) a n d a l le t t r a - s p e c i a lp - g r o u pw i t ho r d e rp a i np a t i c u l a r ，g q ； s l ( 2 ，3 ) i f p = 2 c o n c l u s i o n2 l e tgb ean o n - a b e l i a nn i l p o t e n tg r o u p i fe v e r ys u b g r o u po fg j 8a h e l i a no rn o r m a li ng t h e ng=pxaw i t hpan o n - a b e l i a ns y l o wp - s u b g r o u pa n d aa na b e l i a n 矿h a ns u b g r o u p a n dm o r e ，t h e r ee x i s t sa l la b e l i a nu o r i n a ls u b g r o u pn m ps u c h t h a te v e r y s u b g r o u p o f p | n i s n o r m a l i n p | n 3 p a r tt w oi n f l u e n c eo ns u p e r - s o l u b l i t yo ff i n i t eg r o u po fw e a k l yq u a z i - m o r m a lo f f l o r a es p e c i a ls u b g r o u p s i tb r i n g sg r e a ti n f l u e n c eo nt h es t r u c t u r e so ff i n i t eg r o u p sf o rt h en o r m a l i t y , s u b - n o r m a l i t y , e - n o r m a l i t ya n dq u a s i - n o r m a l i t ye t c i nt h ec h a p t e r ，w eg e ts o m es u f f i c i e n t c o n d i t i o n sf o rs u p e r - s o l u b f i t yo ff i n i t eg r o u p sb yu s i n go ft h ec o n c e p t i o n “w e a k l y q u a s i - n o r m a l i t y ” as u b g r o u p 日o fg r o u pgi sc a l l e daw e a k l yq u a s i - n o r m a ls u b g r o u po rw e a k l y q u a s i - n o r m a li ngi ft h e r ee x i s t sa tl e a s tac o n j u g a t es u b g r o u pk zw i t h 善gf o ra l l k gs u c ht h a th k 2 = x 。h w em 出t h ef o l l o w i n gc o n c l u s i o n s ： c o n c l u s i o n3 af i n i t eg r o u pgi ss u p e r - s o l u b l ei fgs “t i s f i e so mo f t h ef o n o w i n g c o n d i t i o n s ： ( 1 ) am a x i i l l a la n dc y c l es u b g r o u po fg i sw e a k l yq u a s i - n o r m a li ng ： ( 2 ) l e tm b eas u b g r o u po f gw i t hi n d e xp o w e ro f ap r i m e a n da l ls y l o w s u b g r o u p s a n da l lm a x i m a ls u b g r o u p so fs y l o ws u b g r o u p so fm a r e a k l yq u a s i - n o r m a li ng ： ( 3 ) l e tgb es o l u b l ea n dm b ean 埔x i 谢s u b g r o u po fg a n da l lm a x i m a ls u b - g r o u p so fm a r ew e a k l yq u a s i - n o r m a li ng ： ( 4 ) a l lc y c l i cs u b g r o u p so fs y l o ws u b g r o u p so fgw h i c hi ss o l u b l ea r ew e a k l yq u a s i - n o r m a l i ng ： ( 5 ) a l lm a x i m a ls u b g r o u p so fs y l o ws u b g r o u p so fgw h i c hi ss o l u b l ea r ew e a k l y q u a s i - n o r m a li ng ： ( 6 ) l e tgb et h ep r o d u c to faw h i c hi sa r - h a l ls u b g r o u pa n dba 一- h a l ls u b - g r o u p a n da l ls y l o ws u b g r o u p so faa n dba r ew e a k l yq u a s i - n o r m a li ng k e yw o r d s ：a b e l i a ns u b g r o u p ，n o r m a ls u b g r o u p ，( + ) f r o b e n i u sg r o u p ，w e a k l y q u a s i - n o r m a l ，s u p e r s o l u b l e 4 引言 利用有限群子群的性质来推导有限群结构是有限群论研究的强有力的工具， 如著名的h a m i l t o n 群，以及p h a l l 关于子群可补的经典结论等等利用有限群子 群的交换或正规刻划有限群的结构获得了经典结论，另外郭秀云等也研究了特殊 子群的可补性对有限群结构的影响，得到了很多有影响的结论，本文围绕这一课 题进一步展开深入研究在第一章中，我们讨论了所有子群皆交换或正规对有限 群结构的影响；第二章通过钱国华给出的弱拟正规概念研究了一些特殊子群的弱 拟正规性对有限群的结构的影响 以下g 总表示为有限群，p 总表示个素数一个整数n 称为矿数如果v x - 设群g 有性质p ，若g 的任子群( 或商群) 帮有性质p ，我们称性质p 是对子 群( 或商群) 保持的 ( 一) 所有子群皆交换或正规的有限群 所有子群皆交换的有限非交换群称为内交换群，或内一a b e l 群内a b e l 群在 1 9 0 3 年( 见文献【1 】) 就已经得到了完整的刻划，即为如下两个结论( 见文献【2 1 ) ： 1 非幂零的内一a b e l 群是矿矿阶q 基本群，其定义关系为t 。 矿4 = f = 醒_ = 醒= 1 ，执协= 协们，醒= y i + l ； 旷6 = 拜1 f 字谚i ，j = 1 ，2 6 其中，( 。) = x b 一如妒d 2 z d 1 在马上不可约，且为矿一1 的因子 2 p - 群g 是内a b e l 群的充分必要条件是 1 1p - 群g 由二元生成，且其导群g ，的阶为p ，从而g ，在中心z ( c ) 内；或 2 ) p - 群g 的阶为矿，中心z ( o ) 的阶为矿，且z ( o ) = 西( g ) 所有子群皆正规的非交换群即h a m i l t o n 群的结构也有如下的结论( 见文献 f 3 】) ： 非交换群g 是h a m i l t o n 群的充分必要条件是g = 仉a b ，其中仉是四 元数群。a 是奇数阶交换群，b 是初等交换2 群 上面两个研究的结论都是从子群的单一性质得到的，我们是否可以研究子群 的多个性质得到一些好的结果呢? 这就是本章研究的出发点也是近来有限群论 6 琚究懿热点子群往魇缀多，嚣正瓣稻交换是群酌蹰个最基本酌性质，我# 礴 臻 通过研究子群具有正规或交换这两个性质得到有限群的结构 我们先介绍几个概念： 若凌隈群g 是它戆歪瘦子群f 号子群嚣瓣搴塞积。我靛记g = 戮h + 设 g = 嘲嚣是一个以f 为核，循玮群h 为补豹f r o b e n i u s 群，若辩任意懿1 h 1 日，f 都是不可约的矾一子群( 定义础文献【4 】中第v i i 章定义1 3 ) ，则称g 为( ) - 型f r o b e n i u s 群 设g 是尹鲰柱狳群，羞圣g ) = z ( a 净楚p 夔群，剩弦g 是怒特殊妒器 渲义筑文献秘) 设1 = f o 日 晶= g 撼群g 的个溅规群列，并鼠满足毋只一1 是 g 曩乩“；l ，2 ，n ) 的极大正规糍攀子群( 即f i t t i n g 子嚣勖，则称b 为群g 的幂 零长或# 戆f i t t 堍舞，著记n = 娜f g 。 穰据内一a b e l 群缩构的启示，我们考虑非幂零的所有子群静交换或正规的有 限群和鞯零的所有子群皆交换或正规的有限群，得到如下两个绪论； 定骥1 1 1 设gj 纂零，则g 的所有子群皆突按或正规当藏仅当a z c a ) 是 令$ ) 一燮f r o b e n i u s 辩，豆g 滚麓下述毪凌之一； ( 1 ) f ( a ) 交换 ( 2 ) f ( g ) 非交挟，f ( a ) = p e ，其中p 是f ( g ) 的非交换的s y l o w p - 子群， q = 0 ( z 漆) ) 且p 憝妒酚趣撩殊p - 群。特男g 溉，生p = 2 时，a q = s l ( 2 ，3 j 定糯1 1 2 设g 怒j # 交换幂零群若g 的所有予群皆交换或赢规，则g = p a ， 其中p 是g 的一个非交换的s y l o w p - 子群， 是g 的交换少h a u 子群谶一 步，存穰p 的正规交换予群，使褥p ，的所有子群都正规 毽熬关于其有这榉往质的p 耱，只箨蓟一些簿单的结果； 推论1 1 1 设g 魁奇阶p 群糟g 的所有予群皆交换或正规，则g 的导长_ 不 超过2 推论1 1 2 设d 怒参群若g 的所有子群瞥突换或正规，弼g = 酝或襻在 g 的破规交换子群，使得g ，感口8 与初等交换2 - 群的直积 我们没有给出它的结槐。这是今嚣研究戆重焱。 淼) 子群的弱j l f 正规性质对帮限群的i 笛响 7 有黻群论研究弱一个穰有薅的方法楚运遘e 黧盼结论去弱貔条件着是否搿以 得到相同的结果，或者类似的结果例如：由正规子群到次正规子群，半正规子 群，拟藏规子群；由可补子群，到小可补子群等，国内外许多学者在这方面都做 了很多瓣王侮晃文歙漩1 1 2 ) ， 零章通过钱国华掇掇静。弱掇藏规子群”的横念，在其研究豹基磕上孬遴行 深入的探讨，通过研巍其它一些类獭的特殊子群，得到了有限祥超可解的一黢充 分条件，并且推广了骐中的一些结论 嚣黪g 翡子群嚣兔g 酶伞翡羧正袋子释，若蓬取k 婊至步存在一个 x 瓣魏辘子群铲一g ，使得日嚣* = 酽丑觅义漱 1 3 1 ) 。可汉麓斑弱投正甄予群 即为拟脏规子群的一种推广 通过研究。弱拟溅规”性质对哪蝗子群或商释是保持的，然后进一步得到结 暴，我 】褥窭l 螽下足今缝沦；若有袋嚣g 满是下列任一条终，燹| g 怒可薅。 ( 1 ) g 的个极大强循环豹子群在g 中弱拟藏规； ( 2 ) m 是g 的个县有素数幂指数的子群。村的所有s y l o w 子群及m 的所 有s y _ l o w 子群的极大予群在g 中弱拟正规； ( 3 ) 膨是毒解释g 戆一令极大豢矮子嚣，m 黪较大子黎垮壤g 孛嚣激委筑； ( 4 ) g 可解，g 的s y l o w 子群的极大予群均猩g 中弱拟正规； ( 5 ) g 可解，g 的s y l o w 子群的循环子群均截g 中弱拟正规； ( 6 ) g = a b ，a h a 璩( g ) ，b l 黼k ( g ) a 与嚣的s y l o w 予释均在g 中弱搬 正燕。 8 第一章所考予群辫交换或正栽豹有限群 1 弓l 富洋n 缝粜 艇霄予嚣皆交羧的霄隈群猩1 9 0 3 年有了测划，褥耩肖子弹鬻鞭娩的非交撩鞯 即h a m m o n 群的结构也昂融确定本义研究所有予群皆交换或傲糯的群的结构， 首先得到了鼹肖这类憾质的有限非鞯簿群的一个缡 旃定瑷，接着叉绐出具有这类 瞧壤鹣帮隈箨零群的缓靛鹰 我们先飨鲢l 几个窥义； 定义1 1 1 潜有限群g 魑它的藏规予群f 与予群席的半嵩积，我们记g 一 渊辩+ 设g l 明嚣憝个以f 为梭，循环群h 为 的融o b 麟猢释，着糖任意 鹣1 m 1 。 称r 为释g 的辟列长，简称为搏长( 既定献【4 】第冀岭 我们擞瓣得到以下两个定理 庭璞1 i 1 设g 稚纂零，剿0 的鼹纛予群皆突捺残难攥燮熙便搬搿磁鳓鼹 一个( $ 卜溅融曲枷悄群，r g 满嫩下述饿藤之一； 9 ( 1 ) f ( g ) 交换 ( 2 ) f ( g ) 非交换，f ( c ) = p x q ，其中p 是f ( g ) 的非交换的s y l o w p - 子群， 0 = 0 p ( z ( g ) ) 且p 是p 3 阶超特殊p 群特别地，当p = 2 时，g q = s l ( 2 ，3 ) 定理1 1 2 设g 是非交换幂零群若g 的所有子群皆交换或正规，则g = p a ， 其中p 是g 的一个非交换的s y l o w p - 子群，a 是g 的交换p ，h a l l 子群进一 步，存在p 的正规交换子群，使得p 的所有子群都正规 通过定理1 1 2 ，我们只是推导了满足条件的有限p 群的两个简单的性质用 推论的形式给出， 推论1 1 1 设g 是奇阶p 群若g 的所有子群皆交换或正规，则g 的导长不 超过2 推论1 1 2 设g 是2 - 群若g 的所有子群皆交换或正规，则g = 口8 或存在 g 的正规交换子群，使得g n 是q 8 与初等交换二群的直积 有限p - 群还需要做进一步的深入研究 2 若干引理 为了证明上述结论，我们需要用到以下几个引理 引理1 2 1 设m 司g ，n q g ，则a l ( m f l n ) 同构于( a i m ) x ( g i n ) 的一个子 群( 见文献【4 】第1 章例7 5 ) 证明考虑群g 到( a i m ) x ( g i n ) 内的映射： 口：矿= ( g m , g n ) ，v g g 因为 0 1 9 2 广= ( n g 州v i , g 1 9 2 n ) = ( g l 从9 1 ) ( 啦m 兜) = ( 9 1 ) 4 ( 虫) 4 ，v9 l ，卯g 所以口是g 到( a i m ) ( g i n ) 内的同态下证其同态核k a c a = m n n 对v 。 k e w ，则矿= ( z m 柏r ) = ( 尬) ，于是z m 且$ n ，即z m n ；反之设 z m f - n ，则扩= ( z m , ：r n ) = ( m ，) ，即z k e w 于是由同态基本定理得g i ( mnn ) 同构于( g i m ) x ( a l n ) 的一个子群 引理1 2 2 设m ，是群g 的两个不同的极小正规子群，则 ( 1 ) 州( g ) m 耐( g ，m ) ，m ( g ，) ) ； ( 2 ) 若n 西( g ) ，贝州( g i n ) = n l ( g ) 证明( 1 ) 设a i m = a 的幂零长n l ( a ) 为k , g n = b 的幂零长n l ( b ) 为m ，不 妨女于是我们得到a 的f i t t i n g 列 以及b 的f i t t i n g 列 1 f l ( a ) 玛( a ) 最( a ) = a ， 1 最( 日) 恐( b ) 置m ( b ) = b 从而 1 f l ( ) 毋) 兄( 棚x 易( b ) 最( a ) 最( b ) 见( a ) x 最+ l ( _ b ) 风( a ) x 日。( b ) = a b 是g m g n 的f i t t i n g 列因为m ，是群g 的两个不同的极小正规子群，所以 m n n = 1 ，从而g 掣g ( m n n ) 由引理1 2 1 得g ( m n n ) 与g m g n 的一个 子群弱擒，于是g 也雩c t m x g i n 鹣这个子群嚣橡觳癍g ) 稿( g i m x g t n 一 m ，结论( 1 ) 成立 ( 2 ) 因为圣( g ) 兰f ( g ) ，f ( g 圣( d ) ) = f ( g ) 壬( g ) ，所以g 西( a ) 的f i t t i n g 列的 长度与g 懿f i t t m e 梦l 】缒长度一襻，舔越l g ，蛋国) = 耐( g ) ，聪n 蔓圣( g ) ，予楚 , a ( g n ) 一f l 珏国 引璎1 2 3 设a 为g 的极小正规子群且是交换的( 或a b e l ) ，若a n 壬( g ) 一1 ， 剥a 农g 中有朴，即存在子群曰，使得a b = g ，艇a n b = l ( 照文献( 1 弓l 疆 毛蘩。 证明作非空集合 。s = r i t 曼g ，g = a t 选取g 审戆投，j 、元嚣耢潺援枣元，耱满足g = a b ，b g 戆除畿夺鳃元鳓粼内 a 文襻翻a n b 嚣，又因为五是a b e l 鲍，所以a o b d a 予燎a n b 日a b 一舀 因为a 憋g 的极小正规子群，所以a o b = 1 或a n b = a 若a n b = 1 ，则结论已 经成立游a n b = a ，则b = a b = g 我们说这魁不可能的因为a n 垂( g ) 一1 ， 垂圣( 国罴g | l 孽旁 骞缀多。手彝瓣交，褥必存在g 鹣一拿援大子爨掰，爱褥m z a ， 于是m a ；g ，鄢m 为这与b 酌取法矛盾。 引璁1 2 4 若有限群g 的所有予群皆交换或正规，则以下结；仑成立t ( 1 ) g 戆手群鞠蔻撵也有同撵的拨覆，鄂g 的谈性震是对予群秘商群保持懿 g 是荀薅群 ( 3 ) g 的幂零长芥超过2 ，即a f ( a ) 幂零 证明( 1 ) 设a 是g 的任子群，对于a 的任徽子群，也稃k g 由条件 x 在g 巾正规或熨交换，于是趸攘a 中正规或嚣交换。扶薅g 懿该性质怒辩 子群绦撩的；叉设g ，是g 酶l 圣一崧群。对于g ，的任意予群掰玲，有m g ， 于是由条件m 在g 中正规或肘交换从而m ，在g n 中正瓣或m n 交换 即g 的诙性质是对商群保持的 ( 2 ) 萋g 是有甄零嚣，粥虫弓l 毽条转，g 鲍瓣毒手群誊交羧，手是由文款滋 中第t 章镪7 1 0 ，得g 廷麓是素数阶循环群，敖g 可兢下瑟投设g 不是攀嚣敷 设憋g 的任一极小赢规子群，由( 1 ) 及对群阶的归纳，得朔g 可解，故 g 可解 ( 3 凝g 为撅奎盼爱壤。黠g 翡任投拳正缎子释，嚣隽a n 仍然灌怒零l 理条纷，所以由8 孵缀夺毪得确( 铆w ) s 互若材是g 豹另援参正规予释， 则也有讲( g ，m ) 2 因为m ，是g 的两个不同的极小正规子群，于是由引理 1 2 2 ( 1 ) ，n f ( g ) sr n , a x 1 ( c m ) ，耐( g ) ) s2 ，矛盾故可设g 只有唯一的极小正 规子群 若n 圣( g ) 1 ，则因n 圣( g ) qg ，由的极小正规性得n 圣( g ) ，于是 由引理1 2 2 ( 2 ) 得川( g ) = 耐( g ，) 2 ，矛盾 若n 圣( g ) = 1 ，由( 2 ) ，g 是可解群，于是是a b e l 的从而由引理1 2 3 ， 存在m g 使得g = m 【n i 因为是g 的唯一极小正规子群，所以m 在g 中不正规或者m = i ，从而由引理条件推出肘一定是交换群，于是g 的幂零长 讲( g ) 2 ，矛盾结论( 3 ) 成立 引理1 2 5g 幂零当且仅当a 圣( a ) 幂零( 见文献【4 】第章推论3 9 ) 证明设g 幂零任取g l 西( a ) 的任意极大子群驯圣( g ) ，则有m 也是g 的极 大子群，所以m i g ，从而m 垂( g ) 司g 圣( g ) 即g 胂( g ) 幂零；反之，设a 垂( g ) 幂 零任取g 的个极大予群m ，由西( g ) 是g 的所有极大子群的交，得西( g ) m ， 从而m 圣( g ) 有意义，于是由a t ( a ) 幂零，得m 垂( g ) 司g 卢( g ) ，故m 司g 由 m 的任意性得g 幂零 引理1 2 6 设以群日作用在交换7 f - 群g 上则g = c a ( h ) ( g 明( 见文献 【4 】第i 章定理2 7 ) 引理1 2 7 若g 可解，则c 台( f ( g ) ) sf ( g ) ( 见文献f 4 】第v 章定理4 3 ( 3 ) ) 证明为书写方便，令f = f ( g ) ，c = c b ( g ) ) 由同态基本定理，c f f 掣 叫c f lf = o z ( f ) 若c l z ( f ) 有1 的可解的正规子群，则对某个素数p ，有 0 p ( c z ( f ) ) 1 令雪= b z ( f ) = z ( o p 够z ( f ) ) ) ，则1 雪是交换群，于 是b z ( f ) 又因b 兰c = c g ( f ( g ) ，故 z ( f ) ，b 】【z ( f ) ，q ；1 于是 【b ，b 】- 1 ，这推出b 幂零又由b 的定义得b 日g ，故b s f 但是bs c ，故 b g n f = z ( f ) ，于是雪= b 胆( f ) = 1 ，矛盾所以o f f 没有1 的可解的 正规子群从而c o ( f ( a ) ) f ( g ) 1 3 乳定理的证明 定理1 1 1 的证明 必要性设g 满足定理的条件，由引理1 2 4 ( 3 ) 得g f ( g ) 幂零，其中f ( g ) 为g 的f i t t i n g 子群下记f = f ( g ) 我们通过以下几个步骤来证明 步骤1 存在g 的个主因子州工，使得e l 非幂零 因为f 是g 的f i t t i n g 子群，西( g ) f ，所以f 圣( g ) 是g 西( g ) 的f i t t i n g 子群由文献【4 】第v 章定理4 5 得，f 垂( g ) 是a b e l 的从而由引理1 2 3 得， f 圣( g ) 在g i 圣( g ) 中可补设 f 西( g ) = h k 亿， 且y 圣( g ) 为州西( g ) 在g 圣( g ) 的补，其中k 0 = 1 ，2 s ) 是g i 西( g ) 的极小正 规子群则必有某个k 使得y 圣( g ) 非平凡作用在w 上事实上，若对任意k 都有 y 圣( g ) 平凡作用在k 上，则g 西( g ) = f 亚( g ) y 西( g ) 又因为y 垂( g ) 竺g f 幂零。所以g 圣( g ) 幂零，从而由引理1 2 5 得g 幂零，矛盾令 l 西( g ) = u k 一1 v i + 1 k ， 于是f 工是g 的一个主因子，从而一定有g l 非幂零这是因为。若g 肛幂 零，因为f l 是g 的个主因子，所以由文献 4 】中第v 章定理4 3 ( 4 ) 得，f l 包含在a l l 的中心内，从而( g l ) ( 可三) 岂g f 型y 圣( g ) 平凡作用在f l 垒k 上，矛盾 步骤2 工= z ( g ) 由步骤1 中证明过程，因为 f 工掣( f 西( g ) ) ( 工圣( g ) ) 掣k ， 且k 在a l l 中有补，所以f l 在g l 中有补设a l 为f l 在g 肛中的补， 于是a l l 在g l 中不正规( 若a l 司g l ，则a l 些( g l ) ( f l ) 幂零，从而 g l = f 二a l 幂零，矛盾) ，所以a 在g 中不正规由定理条件，得a 交换， 故c e ( l ) a 注意刭a 是g 的极大子群 这是因为：若a 不是g 的极大子群，设曰是g 的包含a 的极大予群，则有 g l = 强l l ) ( b l ) 1 4 因为f q a l ，所以b l n f l 司b l 又因为g 可解，所以f l 是g l 的正 规初等交换子群，得( b l ) n ( f 五) 司f l ，从而 ( b l ) n ( f l ) 司( b l ) ( f l ) = g l 由f l 是c l 的极小正规子群，得 ( b l ) n ( f l ) = i 或 ( b l ) n ( f l ) = f l 而a l 为f 工在g 肛中的补，a b ，于是旧肛) n ( f l ) i ，从而p 肛) n ( f l ) = f l ，即得b l = g l ，b = g ，矛盾 因此必有c a ( l ) = a 或c a ( l ) = g 由二司g ，得c c ( l ) 司g ，从而c g ( l ) = g ， 即l 兰z ( g ) 另外，熟知z ( g ) f ，因此l z ( g ) 1 ，因为h 譬f l ，所以( ) f l ，( ) 】非交换，于是 ) 【f 厶( ) 】司g l ， 而 妒五，( j 1 ) 】= f ln ( ) 【f ，工，( ，i ) 】司g l ， 1 5 褥r l 一 f l ，稀】获箍对任意h a l 一 l k 露 f r l ， ) 】= 1 或 f l = f l ， 蝴 若 f l ，( j 1 ) 1 = 1 ，得f l = c p l ( h ) ，即有 h c # l ( f l ) f l ， 这与引理1 2 7 矛盾于是对任意 a l 一 l ，都有f l 一【f 二， ) 1 ，即有 c 钾l ( ) = 1 故g l 是以f 工为棱，4 l 为补的f r o b e n i u s 群又由文献【4 1 第 v i i i 鬻怒理7 9 ( b u r s i d e ) 褥，交换缝f r o b 越m 於黪锺环，所以a l 是g l 豹攮 环幸 进步，对于任意1 a l l a l ，f l 魑不可约的a t l - 子群否则设 1 b l z ( f ) l ，f l 是g 的主因子，所以只能有z ( f ) 一l 若l f l i = p ， 则i f z ( f ) i = p ，予魁由文献 4 】巾第章定理5 8 0 ) ，得f 交换，矛盾故 | 影五f 矿任取f 黪奄窘l 的极大子群噩娩，赋一定有斌突换s = l ，钍这 是嚣鸯嚣i l 彰五，耩浚嚣i 缮在g l 孛不正甄，于是甄程g 中不正筑，扶两 丑交换“= 1 ，2 ) ，敞 ( 甄n 飓) h l ，隅) = 只 获蓑嚣i n 嚣2 s 鹭吩z 二，又五s 琏n 嚣2 ，所以l = 韪n 迸，鼹 1 f l f = i 研凰所n 矾j _ 1 日l 蛾：两i - 1 1 ：麟n 醌l = l f ：塌f | f ：日2 i = 矿 其次，我们再证睨f = p x 酝其中q s l 憝子群，p s 她( g ) 非交换， 显| p z ( p ) ：矿 蠢f 幂零，褥f o p ( g ) 印( g ) 令p = q q ，q = o f ( g ) ，得f = p q 因刀五是初等交换抄群，故0 曼五是少子群又f 非交换，得p 非交换由 = z ( f ) = z ( p ) x z ( q ) 一z x q ， 褥 l 州l i = i ( p q ) ( z ( p ) q ) i i p z ( p ) i = 护 城研究群p 的谯震为便予讨论，虫弓l 理1 2 4 ( 1 ，我们不嬷戳下全部馁设 q = 1 ，毙时f = p 霹渡羝畜= z p ) 鑫l 彰l | = 友褥彰五交换，于是 p s 五= z ( p ) 若 z ( p ) 设k 皇g p 是循环一群，因为p p ，是交换p 群，由引理1 2 6 得 p | p = e p | p | 氍、x 妒 p ，取， 扶瑟w 设耳= 嚣，p v 7 p ，冀中l i p = c e p ( k ) ，v 鬟p l 考虑满 足缈五= p 的g 的任意p 子群：若矽在g 中不正规，则交换任取 口w 一n l ( 出予w n 五 w ，救埘必可取刘) ，显然f ) ( 暇三= b 从 嚣姆嚣= l ，矛纛。数必毒w g 垂有