（基础数学专业论文）带有w距离的向量值ekeland变分原理及其等价形式.pdf

带有w - 距离的向量值e k e l a n d 变分原理及其等价形式 中文摘要 本文中，我们给出了带有w - 距离的向量值e k e l a n d 变分原理，带有w 距离的向量值t a k a h a s h i 非凸极小化定理和带有w - 距离的向量值c a r i s t i 不 动点定理我们证明了上述三个定理实际上是相互等价的进一步，我们 研究了在紧集和非紧集上向量均衡问题( 简记为v e p ) 解的存在性 在我们的框架中，目标函数是从完备度量空间映到偏序局部凸空间中，且 扰动包含了w 一距离及目标函数值非减的函数因此，我们的向量值e k e l a n d 变分原理是非常一般的，并且包含了许多已知的e k e l a n d 变分原理作为它的 推论利用w 一距离，我们引进了一种新型的争向量均衡点和强制性条件 将我们所获的向量值e k e l a n d 变分原理应用于向量均衡问题，我们推导出紧 集和非紧集上( v e p ) 解的几个存在性定理这些定理推广并改进了有关的 已知结果 关键词：w - 距离；向量值e k e l a n d 变分原理；向量值t a k a h a s h i 非凸极小化 定理；向量值c a r i s t i 不动点定理；向量均衡问题 作者：李博 指导老师：丘京辉( 教授) v e c t o r i a le k e l a n dv a r i a t i o n a lp r i n c i p l e e q u i v a l e n tf o r m u l a t i o n s a b s t r a c t v e c t o r i a le k e l a n dv a r i a t i o n a lp r i n c i p l ew i t haw - d i s t a n c e a n di t se q u i v a l e n tf o r m u l a t i o n s l t seu l v a l e n to r m u l a t l o n s ab s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w eg i v eav e c t o r i a le k e l a n dv a r i a t i o n a lp r i n c i p l ew i t haw - d i s t a n c e ，a v e c t o r i a lt a k a h a s h in o n c o n v e xm i n i m i z a t i o nt h e o r e mw i t haw - d i s t a n c ea n dav e c t o r i a l c a r i s t if i x e dp o i n tt h e o r e mw i t haw - d i s t a n c e w ep r o v et h a tt h ea b o v et h r e et h e o r e m s a r ei n d e e de q u i v a l e n tt oe a c ho t h e r m o r e o v e r ，w ei n v e s t i g a t et h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n s o fv e c t o re q u i l i b r i u mp r o b l e m s ( i ns h o r t ，v e p ) o nc o m p a c ts e t sa n dn o n c o m p a c ts e t s i no u rs e t t i n g ，t h eo b j e c t i v ef u n c t i o ni sf r o mac o m p l e t em e t r i cs p a c ei n t oap a r - t i a lo r d e r e dl o c a l l yc o n v e xs p a c ea n dt h ep e r t u r b a t i o nc o n t a i n saw - d i s t a n c ea n da n o n d e c r e a s i n gf u n c t i o no ft h eo b j e c t i v ef u n c t i o nv a l u e s h e n c e ，o u rv e c t o r i a le k e l a n d v a r i a t i o n a lp r i n c i p l ei sv e r yg e n e r a la n di n c l u d san u m b e ro fk n o w ne k e l a n dv a r i a t i o n a l p r i n c i p l e sa si t sc o r o l l a r i e s b yu s i n gw - d i s t a n c e s w ei n t r o d u c ean e w k i n do f 一v e c t o r e q u i l i b r i u mp o i n t sa n dc o e r c i v i t yc o n d i t i o n s a p p l y i n gt h eo b t a i n e dv e c t o r i a le k e l a n d v a r i a t i o n a lp r i n c i p l et ov e c t o re q u i l i b r i u mp r o b l e m s ，w ed e d u c es e v e r a le x i s t e n c et h e - o r e m sc o n c e r n i n gs o l u t i o n so f ( v e p ) o nc o m p a c ts e t sa n dn o n c o m p a c ts e t s t h e s e t h e o r e m sg e n e r a l i z ea n di m p r o v et h er e l a t e dk n o w nr e s u l t s k e y w o r d s ：w - d i s t a n c e ；v e c t o r i a le k e l a n dv a r i a t i o n a lp r i n c i p l e ；v e c t o r i a lt a k a h a s h i n o n c o n v e xm i n i m i z a t i o nt h e o r e m ；v e c t o r i a lc a r i s t if i x e dp o i n tt h e o r e m ； v e c t o r i i v e c t o r i a le k e l a n dv a r i a t i o n a lp r i n c i p l e e q u i v a l e n tf o r m u l a t i o n sa b s t r a c t e q u i l i b r i u mp r o b l e m i i i w r i t t e nb yl ib o s u p e r v i s e db yp r o f q i uj i n g h u i 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权的声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含 其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学 或其它教育机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承担本声明的法律 责任。 研究生签名：鹰撞 日 期：丝里显! 点：昼 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文 合作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本 人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文 外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分 内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名：盎簋日期：物1 2 皇：查! 至 导师签名，幺塞：握日期：2 垒q 乞：三 带有弘距离的向量值e k e l a n d 变分原理及其等价形式 1 引言 1 引言 1 9 7 2 年e k e l a n d 提出了著名的e k e l a n d 变分原理( 简称e v p ) 定理1 1 ( e k e l a n dv a r i a t i o n a lp r i n c i p l e ) ( 见 1 , 2 ，3 1 ) 设( x ，d ) 是完备的距离 空间，厂：x ru + 。) 是真的下半连续下有界函数，设 0 ，存在u x 使得，( 钆) i n f ，( z ) + e ，那么存在移x 使得 ( i ) f ( v ) ，( 钍) ； ( i i ) d ( u ，秒) 1 ； ( i i i ) f ( w ) f ( v ) 一e d ( v ，们) ，v w x ，w u e k e l a n d 变分原理在现代数学的许多领域中都有着重要作用e k e l a n d 变 分原理的基本意义在于：在这一结论中没有使用任何紧性条件( 以及与紧性 有关的凸性条件和强制性条件) 。在这种情况下，虽然不能保证，一定有最 小点，但可以保证，一定有一串e 近似最小点列 1 9 7 6 年c a r i s t i 给出了下面的c a r i s t i 不动点定理 定理1 2 ( c a r i s t if i x e dp o i n tt h e o r e m ) ( 见【4 】) 设( x ，d ) 是完备的距离空间， t ：x _ x ，如果存在下有界下半连续的泛函f ：x r ，使得 d ( x ，t x ) f ( x ) 一，( 丁z ) ， 则t 在x 中必定有不动点 t a k a h a s h i 提出了下面的非凸极小化定理，它与e k e l a n d 变分原理和c a r i s t i 不动点定理是等价的 定理1 3 ( t a k a h a s h in o n c o n v e xm i n i m i z a t i o nt h e o r e m ) ( 见【5 】) 设( x ，d ) 是 完备的距离空间，：x ru + ) 是真的下半连续下有界函数，假设对 任意的u x ，( u ) ! n 五ff ( x ) ，存在u x ，钉让，使得 f ( v ) + d ( u ，u ) 厂( 乱) ， 带有w 距离的向量值e k e l a n d 变分原理及其等价形式 l 引言 那么存在x o x 使得，( z o ) = i n f ，( z ) 基于e k e l a n d 变分原理在非线性分析、优化控制理论、动力系统等各方 面都有广泛的应用，许多作者对上述三个定理从不同角度进行了推广，例 如丘京辉( 见【6 ，7 】) ，丘京辉和p o l e w i c z ( 见 8 ) 将e k e l a n d 变分原理推广到了可 数半范空间，局部凸空间和局部p - c o n v e x 空间l a i - j i ul i n 和w e i - s h i hd u 是 用广义的距离( w - 距离p ) 代替距离d 对三个定理进行了推广( 见 9 】) 还有 作者将三个定理推广到了向量值函数g o p f e r t ，t a m m e r 和z a l i n e s c u ( 见【1 0 】 ) 将e k e l a n d 变分原理中关于数值的大小关系推广到了由序锥决定的偏序关 系，在七。满足偏序关系下，利用积空间上的极小点定理证明了向量值的 e k e l a n d 变分原理，但没有证明c a r i s t i 不动点定理和t a k a h a s h i 非凸极小化定 理t a m m e r ( 见 1 1 ) 是证明了c a r i s t i 不动点定理和t a k a h a s h i 非凸极小化定 理，但没有证明三个定理的关系 在l a i - j i ul i n 和w e i s h i hd u 文章( 见 9 】) 的启发下，本文将带有w - 距 离的数值e k e l a n d 变分原理，数值t a k a h a s h i 非凸极小化定理和数值c a r i s t i 不动点定理推广到了向量值，并证明了向量值形式的上述三个定理是等价 的由于w - 距离p 与距离d 不同，它不一定满足p ( x ，z ) = o ；另外，p ( x ，y ) 不一定等于p ( y ，z ) 这样，我们不能如g o p f e r t ，t a m m e r 和z a l i n e s c u 在 1 0 中 的所作的那样，利用积空间的偏序和极小化方法来作这给证明带来了很 多困难在解决这些困难时，我们主要用的方法是分类讨论和反证法，利 用w 一距离的性质来推矛盾最后利用向量值的e k e l a n d 变分原理给出了紧 集上的向量均衡问题( 简记为v e p ) 解的存在性定理，同时利用w 一距离改进 了m b i a n c h ( 见【1 2 】) 提出的强制条件，给出来了非紧集上的( v e p ) 解的存 在性定理 本文的结构如下：在第2 节，我们给出了本文所需的一些基本定义和结 论第3 节，我们利用w - 距离给出了向量值的e k e l a n d 变分原理，向量值的 c a r i s t i 不动点定理和向量值的t a k a h a s h i 非凸极小化定理，并证明了三者是 2 带有w - 距离的向量值e k e l a n d 变分原理及其等价形式 1 引言 等价的第4 节，给出紧集和非紧集上向量均衡问题的解的存在性定理 3 带有w - 距离的向量值e k e l a n d 变分原理及其等价形式 2 预备知识 2 预备知识 设y 是可分离的局部凸拓扑向量空间( 简记为1 c s ) ，y 是y 的拓扑对 偶对acy ，i n t a ，c l a 分别表示a 的拓扑内部和拓扑闭包称集合ccy 是锥，若对于任意c c ，a 0 ，有x c c ，称c 是凸的，若c + ccc 称 c 是闭的，若cn ( 一c ) = o ) 称锥c 是非凡的，若c y 且c o ) 设ccy 为凸点锥我们可以定义y 的偏序 c 如下： z cy y x c 显然上述序关系满足下列三个性质：( i ) 自反性：z cz ；( i i ) 传 递性：若x cy ，y cz ，则x cz ；( i i i ) 反对称性：若x cy 且y cx ，则 x = y 更进一步，c 为闭凸点锥有：若x a c0 ，x a 一铷，则x 0 c0 本文如无特别声明总假定c 为非凡的闭凸点锥我们记c 的对偶锥为 c + ：= z y ：z + ( 3 ，) o ，v y y ) 称实值函数h ：x 一( 一。，+ 。o 是下半连续 的，如果对于任意的r r ， z x ：h ( x ) r ) 是闭集 引理2 1 设c 为非凡的凸点锥，i n t c 0 ，取k o i n t c ，则存在z c + 使 得z + ( 妒) = 1 证明令a = 忌o ) ，b = c 1 ( 一c ) ，则a 是紧集，b 是闭集若a n b 国，则 k o i n t cnd ( - c ) = i n t cnc l ( - i n t c ) cc l ( i n t cn - i n t c ) 由此可导出i n t c n i n t c 0 设u o i n t c m i n t c ，则让o i n t c 且一u o i n t o 因而，0 = u o 一让o i n t c + i n t cci n t c 故i n t c 为y 中0 - 邻域如此， c3u 住+ ：c o ，n ( i n t c ) = y 这导致c = 与假设矛盾这样我们就证明了 anb = 毋由分离定理知：存在名；y 使z ；( b ) 0 ，| 6 0 使得当p ( z ，y ) 6 , p ( z ，x ) 6 时，有d ( x ，y ) e 在 1 3 ，1 4 ，1 5 】中给出了一些w 距离的例子我们想知道w 距离与我们概 念中的距离d 有什么不同它为什么是距离d 的推广 首先可以证明距离d 是w - 距离对于d 来说，显然( i ) 成立当取定 x x 时，在集合 x ：d ( x ，y ) r ) 中取序列【鲰) ，y n y o ，则有d ( x ，y o ) d ( z ，y n ) + d ( 孙，y o ) r + d ( 骱，y o ) 令礼_ + 。，则d ( x ，y o ) r 这说明集合 ! ，x ：d ( x ，y ) r ) 是闭集根据下半连续的定义知：d 是下半连续的， 所以( i i ) 成立对于任意的s 0 ，取6 = ，当d ( z ，x ) 6 ，d ( z ，可) 6 时，有 d ( x ，y ) d ( x ，z ) + d ( z ，y ) 6 + 6 = ，即( i i i ) 成立这也就证明了距离d 是w - 距离 其次说明w - 距离可以不是距离d 下面给出两个例子 例1 ( 见 1 3 】) 设( x ，”i i ) 是赋范线性空间，函数p ：x x _ 0 ，+ o 。】，定义如 下： p ( z ，y ) = l l x i i + i i y i l ，v x ，y x 证明对于任意的z ，y ，z x ，p ( z ，z ) = i l z l l + 叫i 叫l + l + l + i i z l l = p ( x ，y ) + p ( y ，名) ，即( i ) 成立因范数是连续的，所以是下半连续的由此可 推知( i i ) 成立对于任意的 0 ，取6 = ，当p ( z ，z ) 6 ，p ( z ，) 6 时，有 d ，y ) = i i x - y l l | l z l l + l f y | | l i z l l + i i x l l + l i z l l + 1 1 秒l p ( z ，z ) + p ( z ，y ) 艿+ 6 = 即( i i i ) 成立所以这样定义的p 是w - 距离，但显然它不是距离d 注意到取相同的变量时，p ( z ，z ) = 恻i + 叫l 不一定是0 这与d ( z ，z ) = 0 不同 5 带有w - 距离的向量值e k e l a n d 变分原理及其等价形式 2 预备知识 例2 ( 见 1 3 】) 设( x ，”1 1 ) 是赋范线性空间，函数p ：xxx 一【0 ，+ 】，定义如 下： p ( x ，y ) = 怕l i ，v x ，y x 证明对于任意的x ，y ，z x ，p ( z ，z ) = l i z l i l l y l i + i t z l l = p ( z ，y ) + p ( y ，z ) ，即 ( i ) 成立( i i ) 显然成立对于任意的e 0 ，取6 = ；，当p ( z ，x ) 正p ( z ，y ) 6 时，有 d ( x ，y ) = l i z y l i i i z l i + l l y l i = p ( z ，z ) + p ( z ，y ) 6 + 6 = e 即( i i i ) 成立所以这样定义的p 是w 距离 注意到p ( z ，y ) = l l u l l ，p ( 秒，z ) = m l ，当x ，y 不同时，p ( z ，y ) p ( 秒，z ) 这与 d ( x ，y ) = d ( y ，x ) 不同另外p ( z ，x ) = l i = l i 也不一定是0 ，因而显然它不是距离 d 由此可见w 距离是距离d 的真推广 定理2 3 ( 见 1 3 】) 设( x ，d ) 是度量空间，函数p 是x 上的弘距离， 。竹) 和 _ 骱) 是x 上的序列，1 a n ) 和 风) 是收敛于0 的正实数序列，设x ，y ，z x ， 那么下列结论成立： ( i ) 如果p ( x 礼，y ) 口再，p ( z 珏，2 ) 风，v n n ，那么y = z 特别地，如果 p ( x ，y ) = 0 ，p ( x ，z ) = 0 ，那么y = z ( i i ) 如果p ( x n ，y n ) o l 竹，p ( x n ，名) 尻，v n n ，那么 ) 收敛于2 1 ( i i i ) 如果p ( x n ，x m ) a n ，v m ，佗n ，m r t ，那么 z n ) 是c a u c h y 列 ( i v ) 如果p ( y ，x n ) 口n ，v n n ，那么【z n ) 是c a u c h y 列 ( v ) 如果t 0 ，则印也是w - 距离 证明我们首先证明( i i ) 给定 0 ，根据w - 距离的定义，存在6 0 使得 当p ( 钆，v ) 6 ，p ( u ，z ) 6 时，有d ( 口，z ) 选取n o n 使得当n 7 , 0 时， 有o t n 6 ，风6 进而对任意的礼n o ，我们有 p ( z n ，y n ) q 住五 6 带有w 一距离的向量值e k e l a n d 变分原理及其等价形式 2 预备知识 p ( z n ，z ) 风s6 因此当n n o 时，d ( 铷，z ) e 这意味着 ) 收敛于z 根据( i i ) 可得( i ) 成立 下面证明( i i i ) 。给定 0 ，选取6 0 ，使得p ( u ，u ) 6 ，p ( 牡，z ) 6 时，有 d ( v ，z ) 冬e 选取咖n ，使得n 礼。时， o l n 占，那么对任意的凡，m n o + 1 ， p ( x n o ，x 竹) q n o 6 ， p ( x n o ，z m ) s 口彻6 因此d ( x n ，z m ) 这意味着 z n ) 是c a u c h y 列 接下来证明( i v ) 给定 0 ，选取6 0 ，使得p ( “，u ) 艿，p ( 豇，z ) 6 时， 有d ( v ，z ) 选取n o n ，使得n ，m n o 时， q n 6 ，q m 6 ，那么对任意的 n ，m 礼o + 1 p ( y ，z n ) a n 6 ， p ( y ，x 价) o l m 正 因此当死，m n o + 1 时，d ( x n ，) 这意味着 z 椎) 是c a u c h y 列。 ( v ) 是显然的 口 定义2 4 ( 见【1 6 】) 称，：x y 是下有界的，如果存在雪y 使得雪c ，( z ) ，v x x 定义2 5 ( 见【1 6 ) 称f ：x y 是拟下半连续的，如果对于任意的y k ( z x ：f ( x ) 秒) 是闭的 引理2 6 如果，：x y 是下有界的，那么对于任意的z 。c + ，z + 。，是下 有界的 证明因，是下有界的，根据下有界的定义，存在痧使得雪c ，( z ) ，v x x 也就是说 ，( z ) 一雪c ，v x x 7 带有w 一距离的向量值e k e l a n d 变分原理及其等价形式 2 预备知识 又z c + ，所以z ( ，( z ) 一雪) 0 ，进而2 of ( x ) 矿( 雪) ，v x x 这就意味着 矿of 是下有界的 口 引理2 7 设( x ，d ) 是度量空间，y 是可分离的局部凸拓扑向量空间，y 上 的偏序由非凡的凸点锥c 确定，i n tc 西，k o i n tc ，若，：x _ y 是下有界 的，则任意的 0 ，存在x 使得 f ( x ) n ( ，( z 。) 一e 七。一c ) = 0 证明反证法：假设存在印 0 ，对任意的x x ，有f ( x ) m ( f ( x ) 一e o k o - c ) 毋 任取定跏x ，由假设知存在x 1 x 使得f ( x 1 ) 一f ( x o ) 一e o k o c 对x l x ，由假设知存在z 2 x 使得f ( z 2 ) 一，( z ，) 一e o k o c 不断重复上述过程，对x ，我们有戤+ 1 x 使得f ( x 州) 一f ( x t ) 一e o k o - c 由上述过程中前佗个关系可得到，任意的礼n ，有f ( x n ) 一f ( z o ) 一n e o k o c 也就是说 盥二( 型咱k 。c 礼 又，是下有界的，因此存在y y 使得对任意的x x ，有y ，( z ) 进而 型二( 兰立：! 兰2 2 二( 墅2 一丝止羔一e 。k 。一c c ：一印k 。一c = 卜一 n一 一= 一巴n一 。“1 n。| l 令佗一十o o ，贝4y - f 几( z o ) _ 0 ，所以0 - e o k o c l c ，即e o k o - c l c 由此可推出 e o k o i n t cn c l c = i n t c n - c l ( i n t c ) c d ( i n t cn - i n t c ) 这就推出i n t cn i n t c 0 ，因而c = y 矛盾于假设 口 考虑向量值函数，：x yu ! a ll ( x ) ，存在u x ， u ，使得 f ( v ) + d ( 珏，秽) ，( 铭) ， 那么存在z 。x 使得f ( x 。) = i n ff ( z ) 我们利用w 一距离给出了下面的向量值t a k a h a s h i 极小化定理 定理3 1 ( v e c t o r i a lt a k a h a s h in o n c o n v e xm i n i m i z a t i o nt h e o r e m ) 设f ：x _ y u _ o o ) 是真的，下有界的向量值函数，满足下列条件 ( a 1 ) z 7 x ：，( 。) 4 - 嚎群 - - c ，( z ) ) 是闭的，d o m f ； ( a 2 ) 若珏x ，使得f ( x ) n ( f ( u ) 一c ) 厂( u ) ) ，则存在v x ，v 乱使得 ，f ( v ) + 黼纠， 那么存在露x 使得f ( x ) n ( ，( 牙) 一c ) = 厂( 牙) ) 证明由分离定理我们知道存在矿c + 使得2 + ( 忌o ) = 1 下面我们用归纳法 构造序列 z n ) 任取定z ，d o m f 若f ( x ) n ( ( x 1 ) 一c ) = _ ，( z ) ) ，则结论成立 若f ( x ) n ( f ( x 1 ) 一c ) ，( z ，) ) ，贝l j 令 sx 1 ) ：= xex ：，( z ) + 鼍譬苫c ，( z t ) ) 带有w - 距离的向量值e k e l a n d 变分原理及其等价形式3e k e l a n d 变分原理及其等价定理 由( a 1 ) ( a 2 ) 我们可以知道s ( x 。) 非空且闭因厂是下有界的，由引理2 6 知 矿o ，也是下有界的，那么i n f z s ( z ，) z o ，( z ) 存在我们选取z 2 s ( x ) 使得 矿o ，( z 2 ) i n f z e s ( z 1 ) 名。of ( x ) + 互1 若f ( x ) n ( f ( x 2 ) 一c ) = ，( z 2 ) ) ，则结论成立 若f ( x ) n ( f ( x 2 ) 一c ) 厂( z 2 ) ) ，贝0 令 s x 2 ) ：= n ，m ，佗n ，由引理2 8 知z m s ( x n ) ，即f ( x m ) + 哮筑学c f ( x n ) 所以 p ( z 竹，z m ) 妒0f ( x n ) ( z 0f ( x n ) 一z 0f ( x m ) ) 妒0f ( x x ) ( z + 0f ( x 札) 一q ) ( 3 1 ) 当佗一十时，妒of ( x ，) ( 矿of ( x n ) 一a ) _ 0 由引理2 3 ( i i i ) 知， z n ) 是x 中 的c a u c h y 列由x 的完备性知，存在u o x 使得x n u o ，当钆一+ 。由 ( a 1 ) 知s ( x n ) 是闭的又z 他+ p s ( x 乱) ，l i mz n + p = u o ，所以札o s ( x n ) ，v n n n + - i - o o 若f ( x ) n ( f ( u o ) 一c ) 厂( 乱o ) ) ，则由假设( a 2 ) 知，存在u ，x ，u 。u o 使 得 f ( u 1 ) + 尝群鲥) 带有w 距离的向量值e k e l a n d 变分原理及其等价形式3e k e l a n d 变分原理及其等价定理 这意味着钆。s ( u o ) ，因此牡。s ( z 矗因u o s ( x n + ，) ，故s ( u o ) c ，( z 蚪) 进 。 一 向 z 。m 。) z + 。m 州) 0 ，z 。d o m f ，使得( x ) n ( ，( z e ) 一e k o c ) = 仍且p ( z 。，z 。) ， 那么存在牙x 使得 ( i ) f ( 2 ) c ，( z o ) ； ( i i ) p ( ，牙) ； ( i i i ) f ( x ) + p ( 雪，x ) k o 茹g ，( 牙) ，v z d o m f ，x 孟 证明令 s ( z 。) ：= z x ：，( z ) + p ( x 。，z ) 后o c ，( ) ) 若s ( x ) = 仍，则( i i i ) 成立取牙= x 。，则( i ) ( i i ) 成立 若s ( ) 口，则在推论3 4 中取妒o ，( 岳) 三i 可得( i ) ( i i i ) 成立 由推论3 4 0 ) 知 ，( 牙) + p ( x 。，孟) 尼o g ，( z 。) 假设p ( x ，牙) ，则p ( ，牙) 妒一妒c 进而我们有 ，( 牙) ，( z 。) 一p ( x ，圣) 庇。一c = ( z e ) 一e k o + 后。一p ( z 。，牙) 忌。一c 厂( z 。) 一忌。一c 这与s ( x ) n ( ( x 。) 一e k o c ) = d 矛盾，因此p ( ，牙) 口 推论3 6 设f ：x _ yu + ) 是真的下有界的向量值函数设 0 ， 妖d o m f ，使得y ( x ) n ( 厂( ) 一忌。一c ) = d ，pk ，既) ，入 0 ，且，满足下面 的条件 ( a 1 ) 7 x ：，( z 7 ) + 久一1 印( z ，z 7 ) o c ，( z ) ) 是闭的，v z d o m f 那么存在牙x ，使得 ( i ) 厂( 牙) g ，( z o ) ； 15 带有卜距离的向量值e k e l a n d 变分原理及其等价形式3e k e l a n d 变分原理及其等价定理 ( i i ) p ( z ，牙) a ； ( i i i ) f ( z ) + 等等菇c ，( 孟) ，比d o m f ，z 牙 证明由引理2 3 ( v ) 知，a 一1 印也是w - 距离利用推论3 5 可得结论成立 口 注：推论3 6 在f 列两个方面对 1 8 】进行了推广： ( a ) 完备距离空间取代了b a n a c h 空间( b ) w - 距离p 取代了i i 定理3 7 ( v e c t o r i a lc a r i s t if i x e dp o i n tt h e o r e m ) 设，：x _ yu 。 是真的 下有界的向量值函数，满足 ( a 1 ) x ：，( z 7 ) + 旦。鱼0 0 趔f ( x ) c ，( z ) ) 是闭的， v z d o m f 设映射t ：x x ，满足 ( a 3 ) 任意的z x ，有 f ( t x ) + 告筹纠， 那么对每个如d o m f ，存在牙x ，使，( 牙) c ，( z o ) ，且t 2 = 牙这时必有 p ( 牙，牙) = 0 证明由定理3 3 知，存在牙x 使得 ，( z ) + 专手著籍菇c ，( 牙) ，v z d 。m ，z 牙 又由( a 3 ) 对孟x ，鼢x 有 胭讣唔群纠 由上述两式有t 2 = 牙 假设p ( 2 ，牙) 0 ，因妒。，( 牙) 0 ，所以喾筹c 又 施h ( 死) _ 筹群以 故 一坐尝c 妒o ，( 牙) 。 带有w - 距离的向量值e k e l a n d 变分原理及其等价形式3e k e l a n d 变分原理及其等价定理 所以案群c a c = 0 ，与假设矛盾因此必有p ( 雪，孟) = 0 口 定理3 8 设f ：x yu ) 是真的下有界的向量值函数，满足 ( a 1 ) x ：f ( x 7 ) + 参蒜芋c ，( z ) ) 是闭的，v x d o m f 设集值映射t ：x _ 2 x ，满足 ( a 3 ) 7 对任意的x x ，存在y t x ，有 尥) + 铺