（应用数学专业论文）概率分布及随机分析中某些问题之探讨.pdf

声明 本人声明：本论文的所有研究工作都是在导师指导下，由本人完成，论文中 所用的已知结论均已列在参考文献中 第一章f 分布密度函数之探讨 前言 f 分布是一种重要的概率分布类型，它在数理统计的研究中有重要的理论意义及应用价值以 往对f 分布的研究主要侧重于其概率意义。且更多看重其在数理统计中的理论意义和应用价值， 而对这种分布密度函数本身的深入研究不多本文则着重研究f 分布密度函数自身的性质，主要 是较深入地分析了参数变化时f 分布密度函数变化的一些深刻特性，从这种意义上来说，本文研 究的是前人较少涉猎的一个方向，因而本文可以说是带有原刨性的工作，其所用方法也是较为新颖 独到的同时不难看出，为实现本文的研究目标需深入探讨与r 函数有关的一些特殊函数的性 质r 函数是一种重要的特殊函数类型，它有许多深刻的性质及广泛的应用，许多大数学家如欧 拉、高斯，罗巴切失斯基及勒让德等都对之进行过深入的研究关于r 函数的基本论述可参阅( ，) 之参考文献的 5 】、【6 】等而较深入研究这类特殊函数的论著有( ，) 之参考文献的 7 】、【8 】8 等 摘要 本章分为( n ( ，n i m ) 三个部分( ，) 利用特殊函数的性质，较详细地分折了f 分布密度函 数之性质，指出了该密度函数与相应参数之问的关系本文主要研究第二个参数变化对密度函毂的 影响，证明了，- 增大时f ( m n ) 分布的密度函数极大值也越来越大。还指出tn 变化时“n 】分 布的相应密度曲线与另一特定密度曲线交点的变化规律及随其之变化密度曲线的某些渐近性质 本文( ，) 继续( ，) 中研究分析第一个参数变f 七时f 分布密度函数的变化情况其运用对无 穷级数的一些特殊处理方法，深入分析了与r 函数有关的一些特殊函数的性质，揭示了参数变化 时f 分布密度函数极值变化的一些深刻规律本文指明，当第一个参数m 增大时，该密度函数的 极大值或单调减少，或先减后增可以发现，这里的问题比( j ) 中较为困难些 ( 1 1 1 ) 继续前两部分的研究同样深入分析了特殊函数的苯些性质，并利用其分析讨论f 分布 中不同参数所对应的密度曲线之问的位置关系( ，) 主要讨论第一个参数变化时相应密度曲线 位置的变化此外还讨论了密度曲线的某些渐近性质并建立了一些有关的方程作为结论的应用及 验证本文给出了一些有代表性的例子此处的分析方法还可用来讨论其它一些分布的密度曲线的 某些性质 关键词：f 分布；密度函数；参数；r 函数 工 a b s t r a c t ： t h i sc h a p t e rh a s ( i ) ，( i i ) ( i i i ) t h r e ep a r t s ( i ) a p p l y i n gs o m ep r o p e r t i e so fs p e c i a lf u n c - t i o n s a n a l y s e sf l l l l yt i l ep r o p e r t i e so ffd i s t r i b u t i o nd e n s i t yf u n c t i o na n dp o i n t so u tt h e r e l a t i o n sb e t w e e nt h i sd e n s i t yf u n c t i o na n di t sp a r a m e t e r t h i sp a p e rm a i n l ys t u d i e st h ee f f e c t so fc h a n g eo ft h es e c o n dp a r a m e t e rt od e n s i t yf u n c t i o l l ，p r o v e st h a tt h em a x i m u mo ff ( m ，n ) d i s t r i b u t i o nd e n s i t yf l m c t i o nb e c o m e sm o r ea n d m o r eb i gw h e nni si n c r e a s i n g ，a l s op o i n t so u t t h ev a r y i n gr e g u l a r i t i e so fi n t e r s e c t i o np o i n t s o ff ( m ，n ) d i s t r i b u t i o nd e n s i t yc u r v ea n ds o m ef i x e dd e n s i t yc u r v ew h e nn i sv a r y i n ga n d s o m ea s y m p t o t i cp r o p e r t i e so fd e n s i t yc u r v ew i t ht h ec h a n g eo fn t i l e0 i jc o n t i u u e st h es t u d i e so f ( i j ，a n a y s e st h ec h a n g e so f ，d 南t r fb l l t i o n ( f e n 8 f t y f u n c t i o nw h e nt i l e f i r s tp a r a m e t e rc h a n g e s i tu s e ss o m es p e c i a lt r e a t i n gm e t h o d so fi n f i n i t c s e r i e s ta n a l y s e sd e e p l yt i l ec l l a l a e t e r so fs o l l l es p e c i a lf n n e t i o n sa b o u tff l m c t i o n lr e v e a l ss o n i c p r o f o u n dr e g u l a r i t i e so ft h ec h a n g e sa b o u tt h em a x i m u mo ffd i s t r i b u t i o nd e u s i t yf u n c t i o n i tp o i n t so u tt h a tt h ee x t r e m ev a l u eo ft h i sd e u s i t yf u n c t i o nr e d u c e sc o n t i n u o n s l y o rr e d n c e s a tt i l eb e g i n n i n ga n dt h e ni n c r e a s e sw h e nt h ef i r s tp a r a m e t e rmi n c r e a s e s w cc a l lf i n dt h a t t i l ep r o b l e m so ft h i sp a r ta r em o r ed i f f i c u l tt h a n ( i ) t i l e ( 1 1 1 ) e o n t i u u e st h es t u d i e so f ( i ) a n d ( i f ) ，a n a l y s e sd e e p l ys o n l ec h a r a c t e r so fs p o c i a l f u n c t i o nt o o ，a n du s e st h e mt od i s c u s st i l er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ep o s i t i o n so ffd i s t r i l m t i o n d e n s i t yc u r v e sw i t hd i f f e r e n tp a r a m e t e r ( i i i ) m a i n l yd i s c u s s e s t h ec h a n g eo ft i l ep o s i t l o no f d e n s i t yc u r v ew h e nt i l ef i r s tp a r a m e t e rd m n g e s b e s i d e s ，i td i s c u s s e ss o r u ea s y m p t o t i cp r o p - e r t i e so fd e n s i t yc u r v ea u db u i l d ss o n l ee q u a t i o n sa b o u tt h e m t h i sp a r tg i v e ss o n i ct y p i c a l e x a m p l e sa st i l ea p p l i a u e e sa n dv e r i t i e so fc o n c l u s i o n s t t l em e t h o d so ft h i sp a p e rc a nb e 1 1 s e dt od i s c u s st h ep r o p e r t i e so fo t h e rd i s t r i b u t i o nd e n s i t yc u r v e s k e y w o r d s ：fd i s t r i b u t i o n ；d e n s i t yf u n c t i o n ；p a r a n l e t c r ；ff u n c t i o n 2 f 分布密度函数之性质( ，) 1 引言 f 分布源之于正态总体抽样分布的研究 设总体x 一( o ，1 ) ，噩，恐，墨。为来自总体x 的容量为m 的样本又总体y n c 0 ，1 ) ，它与总体x 相互独立m ，蚝，碥为来自y 的容量为n 的样本，即x 1 恐，一，x 。 与m ，b ，碥相互独立令x = 曼研，x ；= 苎垮，则统计量f = 萎的分布称为参数为 = l，=i ( m ，n ) 的f 分布通常参数( m ，n ) 也称为f 分布的自由度参数为( m ，n ) 的f 分布通常用 f ( m ，n ) 表示可以求得，其概率密度函数为 l 筛穑( 罟) 警z 譬- i ( 1 + 导z ) 一牛，z o ； ，m n ( z ) = 0zs0 其中r ( ) 表r 函数 以上基本知识在通常有关概率统计的专业书中均可找到( 比如可参阅 1 】、【2 】川、 【4 】 等) ， 对于密度函效，r 。( $ ) ，由于$ s0 时其值为0 ，故我们只须讨论 0 时函数的性质由 函数，m 。( z ) 的结构可以看出，欲其有意义必须限制参数m 0 ，n 0 ，实际上，r h 以上f 分布 的来源可以看出在经典的f 分布中m 和n 都是自然数，而在概率和统计中一般用到的f 分布中 参数也都是自然数另一方面当ms2 时函数，m 。( z ) 在( 0 ，o o ) 上单调下降，这是一种十分简 单的函数形态讨论的意义不大因此，为了讨论最一般化的情况我们在本文主要讨论m 2 且n 0 时，m ，。( z ) 在( 0 ，o o ) 上之性质，即允许m 为( 2 ，o 。) 中任何实数，l 为( o ，0 0 ) 中任何 实数 对任何确定的实数m 2 ，n 0 ，记 f m 刷= m 号一1 ( 1 + 罢圹字， 其中c = c o n s t a n t 0 则 矗小) = g 净2 ( 1 十罢矿竿- l ( m r - 2 一驾n 由此推知 矗，。( z 】 o = xe ( nm ( m l n - 十2 ) 。n j ) ；矗1 n ( z ) 2 ，n 0 处处连续且有 丽0l n m ( m ，n ) 。丽0 而2l n m ( m ，n ) 0 ，丽0 2l n m ( m ，n ) 2 ，n 0 时 l n m ( m ，n ) - l n r ( 字) + l n m + t m - 2 l n ( m 一2 ) + t n + 2 l n ( n + 2 ) 一i n r ( 2 ) 一l n f ( ；) 一l n n 一t n 丁- - n l n ( m + n ) 再由( 3 ) 推知0 有 j d l n r ( 字) = 恕t ；l n k 一( 去+ 万毛+ 杰) ) ，z ( 0 ，耐( s ) 由( 5 ) 可以推出m 2 ，n 0 时有 1 n m ( m ，n ) = 刍l n r ( t m + n ) + 未【t n + 2l n ( n + 2 ) 卜o1 n r ( ；) 一未l n n 一嘉【兰笋l ( m + n ) 】 = 。l 。i m 。 ( 。1 + 丽i + - + i ：毛) 一( ；j i + ；_ 而1 + + 志) )2 t 。+ 丽+ 。+ i 专i ) 一；i i + ；_ f 而+ + ；_ 蒜) ) 由( 6 ) 又可推得m 2 ，n 0 时 + 扣( n + 。) 一；l n ( m + n ) 一元i ( 6 ) + 一；而1 ：， ( 7 ) f f 器n 21 n m ( m , n ) 1 r c 莉1 一而1 ，寺t 丽1 + 矗斋川一( 去+ 专 由( 6 ) ( 7 ) 和( 8 ) 的右边可以看出蛊f f l n m ( m ，n ) 、 i n m ( m ，n ) 及器l n m ( m ，n ) 在( 2 ，o 。) x ( 0 ，o 。) 上处处连续 此外， i 瓣1 + 石南+ 卜j 1 而1 i ；：j i 巧南+ 百i j _ ；i i 丽+ 。- ，) 一!熹=!(熹一志+志一志川一!而122 7 7 1 , 2 22=o m + n 。 + 忆m + n +r n + n +m + n + 4 r n + n 由此m 2 ，n 0 时有 百而0 2 1 n m ( i ，7 1 ) 0 又由( 6 ) 可以看出，m 上l i r a 2 袅l n m ( m ，n ) = 0 ，v n 0 再由( 。) 我们即可推知 未l n m ( m ，n ) o ，v ( m ，n ) ( 2 ，。) ( o 删 由( 8 ) 我们又可求得v m 2 ，n 0 ，有 旦0 2 n o r a l n m ( ) = ；丽1 面一2 1i 鬲干币+ 而了丽 + ( 9 ) ( 1 0 ) ； 【百i i f 百南 + i ；南一南】+ 一2 丽1 + 面丽1 + ) 刊丽丽m + 丽n + l + 两# 菸杀丽川 一2 f ! 一+ 1 ( m + t 1 ) 3 。 ( 2 f 7 _ j 【_ i + 、( m + 竹) 3 2 f ! 一+ 。f m + n ) 3 5 石干丽1 + )( m + n + 2 ) 3 。 。 而干丽i + )( m + n + 2 ) 3 。 石丽1 + ) = o ( m + n + 2 ) 3 。 。 再由( 8 ) ，靴丽0 2l n m ( m ，n ) = 0 ，v ” o 由此最后推知 雨u - i n m ( m ，n ) 2 ，n 0 ( 1 1 ) 定理全部结论得证 定理2 vm 2 ，m ( m ，n ) 在( o ，o 。) 上为n 的严格增函数，且其增长速度随n 的增大而减小 此外。当m 较大时，m ( m ，t ) 对n 的增长速度也较大上述结论的确切意义为：vm ，m ，n 一 和a n ：2 1 m ，0 1 ，1 m ( m 丽, n + r a n ) 舞铲 ( 1 2 ) 粉铲 弋m ( m 丽, n + r a n ) ( 1 3 m ( m ，n ) ( m ，f i ) ( 参见图1 ) 证，由定理1 中( 4 ) ，可知器i n m ( m ，n ) 为区域( 2 ，o o ) ( o ，o 。) 上的连续正值函数，对于礼严 格减且对于m 严格增由此推知 m 酉m ( m , n + a n ) “m ( m , n + a n m 加厂”知脚，州川( 1 4 ) - n 错乱m ( m , nq - a n n m = 厂“未- n f 柚“未- n m ( m , t + n ，- n ) m = h 丽0 m ( m ，t ) d t i n m ( m ，s ) d s ：l n m ( m ，一十n ) 一l n ( m n ) = l n 竺 群( 1 5 ) 由( 1 4 ) ( 1 5 ) 推卸【w j ，( 1 3 】口j 田卜瓦琚刘 - n 丝群= n m ( “, n + a n ) 一n m ( m ，n ) = f 拍“未t n m ! m ，舢t f “蕞l n 帅，州n m ( m , n + a n h 删 ) = l n 觜 引理l 令q ( m ，1 ) = 等器，v m ( o ，2 ) ，q ( m ， ) 在( o ，o 。) 上为n 的严格增函数；m 6 ( 2 ，o o ) ，q ( m ，n ) 在( o ，o o ) 上为n 的严格减函数；q ( 2 ，n ) 三 ，vn e ( o ，。c ) 证：由定理1 中( 5 ) ，不难求得 未l n q ( m ，n ) = a + m 。 c 。1 - + 莉1 + + 丽1 ) 一( 鬲 i + 志+ + 志) ) 一警；= 。( m ，n ) ( - 。) 易知q ( m ，n ) 为f 0 ，o 。) x ( o ，o o ) 上之连续函数且 q ( o ，) = q ( 2 ，n ) = 0 ，v n ( o ，o o ) ，( 1 7 ) 未a ( m = 石南+ 而丢两+ ) 一j 1 ；，v m o ，m ) ，n ( o ，o o ) ( 1 8 ) 杀q ( m ，哪对任何正数n 为m 在f 0 ，) 上的严格减函数，由( 1 7 ) 可知有，n ( n ) ：0 m ( n ) o ，0 曼m m ( n ) ；击q ( m ，n ) o ，m ( n ) m 0 ，v m ( 0 ，2 ) ；q ( m ，n ) 0 ，v m ( 2 ，o o ) ( 1 9 ) 由( 1 6 ) 、( 1 9 ) 推知0 m 2 时q ( m t n ) 为n 的严格增函数，而2 t n 0 0 时q ( m ，n ) 为n 的严格减函数而 鼢，= 絮= 鬻；i 1q ( 2 ，”) 。舔2 鬻5 i 可直接算出证毕 定理3 设n i 和n 2 为任意二正数，不妨假定0 r t i r t 2 o 。vm ：0 2 上述二密度曲线在半平面( 0 ，o o ) r 上有且仅有两个交点且其横坐标正及i 满足0 五 x m 1 0 易知z ( 0 ，0 0 ) 有 l n 蹦- l n q ( m ，n z ) _ l n q ( m ，n 1 ) 一半l n ( 1 + 和+ 半l n ( 1 + ( 2 0 ) 墨h 崩= 署蔫器高肌卸，阱 ， 由( 2 1 ) 可知i n 舞：舞在( o ，1 ) 中单调增，在( 1 ，0 0 ) 中单调减 当m ( 0 ，2 】时由( 2 0 ) 及引理1 推知 h 蹦刈，扎( q l j ( 2 2 ) 此外由( 2 0 ) 不难看出怒l n 舞舞斟 1 ， 即曲线，= ，m l n l ( o ) 及”= 如。，扛) 在( o ，0 ( 3 ) x r 上有唯一的交点其横坐标i 1 又由以 上的分析可以看出0 量时i n 名意器 0 即。c 0 , 主) 时 ，m m ( 。) 厶m ( z ) 再设m ( 2 ，。o ) 仿n ( 0 ，2 】时的相应分析可以推知 一l i m + - n 崩 o l i r a - n 麒 0 ( 2 4 ) 实际上。若上式不成立。则由( 2 1 ) 推知除z = 1 可能除外，在( 0 ，。) 其它各点皆有厶1 i i ：( z ) n n 。( z ) ，由此铲，m m ( x ) d m 铲m ( x ) a x = 1 ，此与，m m ( z ) 为密度函数相矛盾即( 2 4 ) 成立由( 2 1 ) 、( 2 3 ) 及( 2 4 ) 推知y = 厶t n l 扛) 及y = ，m m 忙) 在( 0 ，o o ) r 有两个交点， 且其横坐标墨及茸满足0 互 1 m ( m ，n t ) ，故，m 扎l ( 。) 曼m ( m ，n 1 ) m ( m ，札2 ) = ，m m 和m ) ，故必有霉肘( 蟊i ) 再由( 2 ) 知a r m = 篇吾黼 2 时以z k 表 。m ( ) 的极大点i 吾黼，则可能有墨 z m z m 也可能有0 1 不难推知也9 ( n ) = 稚3 e 1 ，故由连续性定理知存在n 彗、n 乎： 4 竹p n 字 o 。满足9 ( n ) = 1 ，g ( n 字) 昌 札2 = 膂时z 0 = 里，n 2 = n 字时0 卫0 0 ，n o 及扎皆为正数且n n o 当0 2 时以墨( n ) 和虿( t i ) 表以上二 密度曲线在半平面( 0 ，0 0 ) r 上位于z = 1 左右两边的交点之横坐标，则对于确定的m 及伽， 工= 童( n ) ，z = 羔( 扎) 及z = 虿( n ) 在( 0 ，n 0 ) 及( n o ，。o ) 上连续可导且满足方程 h ( m ，n ) 一i 1 - n ( + 署z ) + i 1 兰；三挚l 如= j 誉鼍三i 糕a 。( z s ) 其中q ( m ，n ) 由( 1 6 ) 所定义同时还有 。l i m 里( r i ) 2z ( n o ) ，兽0 z ( n ) 。( n o ) ，。l m i m 至( n ) 2x m ( 咖) ( 2 6 ) 8 上式中工j v ( n o ) 和善 f ( n o ) 分别为方程 9 ( m ，珊) + 0 2 丽m 2 了( 1 - 丽t ) d 忙n 。 1 ，m 。 ( 2 8 ) 唯一的根 证：先设m 2 ，引用引理1 中的符号并由定理3 中的分析，v 1 1 n o ，n = ，z = 墨( ) n o ，0 。 0 则由熟知的隐函数存在性定理( 可参看f 9 】中第1 9 章) 存在( 一正+ 占) c ( n o ，。o ) 及一 个单值函数$ = ，( n ) ，它在( n 一6 ，+ d ) 内连续可导，f ( n ) = 星( ) 且v n ( 一正n + 占) 有0 1 ，v 扎( 0 ，o o ) ，札扎o ( 3 1 ) 再证( 2 6 ) 式实际上v m 0 ，n 0 ，卫 0 ，易知 f ( n ，z ) = f ( n o ，0 ) + f ( n ，0 ) 一f ( n o ，0 ) + f ( n ，g ) 一f ( n ，0 】 = i n q ( m ，n ) 一l n q ( m ，n o ) + ( ，l ，t ) 出 = z ：口( m ，州0 。丽”2 万( n - 丽n o 丽) ( 1 - t ) d f 则由足j 己，易知，t n ，o m j j = u ，o 【n j 1t m 【u ，j ， n o ，n u j 班，l ，t ，o l 州j = 0 ，z ( 几) 1 且f ( n ，墨( ”) ) = 0 ，0 o ) ，故由上式可推知 州冲+ 产杀踹拈听( n ) 1 ，m ( 0 1 2 】1n n 0 ， 0 ( 3 z ) 螂肌杀禚拈啦c 咖t 且 州) d f + 杀踹拈邮 。 故知有d ( 0 n o ) 使得 点而1 厶n 。g ( m ，t ) 出= 口( m ，n 。) 卜l ，”口( m ，o a l is c：consup 咖n o n f n 0 - 5 m 删，n 扎i 一 d , - - n 0 厶。9 ( “s 2 肌“po n o + 5 n ，t n oj 蠢器m 尚i 。 一d ， 02 i f l 0 十l n 十 i ”丽丽m 2 ( 丽1 - o a t = _ = o 。， j l2 ( n o + m t ) ( n o + 占+ m ) 1 故可找一个正常数k 1 使得 1 - 鬲m 2 ( 1 - = t ) d 丽t+ ”环i i m 2 ( 1 - 干t ) d 丽t 2 ( n om o ( - or n t ) ( n o m t ( 一g + 一d + m t ) 2 ( 伽+ + 占+ ) 、 。 由此可知v n 【n 0 一正n o + 司，z k 有 , 0 4 西磊m + 2 。( 1 ；- 儿。t ) d + t 。j i g 7 0 由此推知当t i n 。时，v n t t o - - 5 ，r + 司皆有l ( 孟) 1 ，故由4 3 4 ) 推知 嬲。i 虎。) 丽m 2 ( 丽l - t ) 圳= 。 由( 3 5 ) 推知。l 。i r a ( n ) = z m ( ”0 1 再假定m 2 ，先证方程 帆。) + k 丽m 2 ( + l _ 。t 矽) = 。t 。 有且仅有两个根g = z ( n o ) l 蝴q ( m 黝拈咖舯嘲曲+ ；锴 , n o ) + 一f n 2 器出2 。( m ，n 。) 一；h 1 + 里。1 + i ! r a 亏1 tnlzo 记上式右边为um”。：，。，：，。，一；。+三，+一l二m1 q ( m2i u ( m ，n o ，) = ，n oj 一百“1 l 1 1 _ 札o 。 n o ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) 。k 【 0 1 ) = 【磊1 x - - u 丽- - , + 而- 音面+ 小i 呼 i 摩：_ 焉豪悉叠焘赫三 由以上微：黧越lim】m慧：竺翟翥鬻蒜：嚣赫矗仅有两rau ( 口( m ，伽) n 0 时i ( n ) 在n = 一严格增 奎( n ) 在n = n 严格减若u ( m ，一，量( n ) ) 2 且u m ，n ，互( n ) ) 0 ，则当n n o 时墨m ) 在n = n 严格减 互( n ) 在n = r ，严格增若u ( m ，里( 一) ) 1 ，萤( n ) 1 ，五( n ) 1 并由定理4 中( 2 5 ) 式即得结论 下面再研究密度曲线的极限状态我们有 而当n 0 v f n ，m 。扛) 2 ，舡，m m ( 。) 2 等街。警一1 e 一芎2 ，v 。 m 2 时 瓣如一甸= 一划一簪3 西南( m 一2 严1 e 一年； 又vt i 0 0 ，纠= f o , ( $ ) 与= 如，。o 扣) 在半平面( o ，。) r 上文予两点且其横坐标 为芏( 。o ) ( 0 ，珏搴) 及薯( o 。) ( 1 ，。) ，当z ( 墨( o o ) ，虿( 。) ) 时，m ，( z ) ，t n m ( z ) ，当 z ( o ，互( o 。) ) u ( z ( o o ) ，o o ) 时f m ，o 。( ) 1 ，在( 0 ，i ( o o ) ) 上h ，m ( 。) ，m 。( z ) ，在( ( m ) ，m ) 上，m ，* ( ) 2 时有 概黜，m n ( 。) 2 骝，m - * ( 。) ，l i r az ( “) 。墨( ”j ，搬i ( “) 2 i ( 。) ( 3 7 ) 当0 o ，2 ( 3 9 ) 证：v m 0 ，z 0 ，易知 ( 1 + 罢。) 一半一e - 号( n - + o o ) 取c = c o n s l a n l 0 使得 ，。g 。号一1 e 一号z d x ：1 ， j 0 则o c 号- 1 e 一警2 为密度函数( 自然z 0 时取函数值为0 ) 且可求得 简记 则 g = 需 ，m 删= 号一1 ( 1 + 罟z ) 一半 z 。瓯扩i ( 1 + 耖学出= 1 = z ”饼- l e - 锄z 又易证v m 0 ， 0 ，( 1 + 署z ) 一詈当n 增时其值减小，故vn m + 2 ，有 0 ( 1 + 罢$ ) 畸 0 皆有 o z 警一1 ( 1 + 罢。) 一牛 2 时 ( 。号“e 一针= ( 等一1 ) z 号。e 牛一等z 号。e 一号 = 詈。即e 巾( m 。- - 2 一z ) ， 由此推知 s u p f m 罅) = ( 札7 m - 2 = 赢( m - 2 ) 哥k 掣 ( 4 2 ) 再由( 2 ) 可以推知 蒜，帅，= 鼍豢筹 ；褊c r 等筹篝坐 蜥( 熹序( 等) 字- 了n + 2 ( 罴) = 巩( 熹) 警百m - 2 j t m - 2 | n n + 2 、1 一鬲m 十，l - 2 ) 4 骂g 小( 等) 牮1 e 一孚= 蔫( 譬) 孚e 一甲= 再南( 一2 ) 即e 一牮 由此我们证得 撬黜南n ( 。) _ s 删u p ，m ，o o ( 。) ，v ” 2 ( 4 3 ) 毋划”，焉g = 需， g u g ，l to o ，v m 2 ；矗t t g ，n to o ，v m ( 0 ，2 ) ；g = e vn 0 ，m = 2 ( 4 4 ) 又易隶得 丢l n 蹦= 诵m z ( 1 - z ) ，v 蚓岫) ( 4 5 ) 由( 4 4 ) 、( 4 5 ) ，仿定理3 中相应的分析推知m 2 时v = ，m 。( z ) 与= ，m n n 缸) 在 半平面 0 中交于两点且其横坐标查( ) ( 0 ，1 ) ，i ( 。o ) ( 1 ，o 。) 当z ( 堇( ) ，i ( ) ) 时，m ，m ( z ) ，m m ( z ) ，当z ( o ，墨( 。o ) ) u ( _ ( ) ，) 时m ，。( 对 1 ，在 ( 0 ，；( ) ) 上，m ( z ) ，m ，n 。( z ) ，在( i ( ) ，0 , 0 ) 上厶m ( z ) 2 ，令m ( m t ) = s ：u p o ，m ，扛) ，则由( 4 3 ) 及定理2 推知 m ( m ，r i ) = s u p ，m ，。( z ) 竹m ( m ，o o ) ，n to 。，v m 2 ( 4 6 ) z 0 由( 4 2 ) 、( 4 6 ) 可知，m ，o 。( z ) 的极大点号 e 恒( o 。) ，虿( ) ) ，即兰( ) ( 0 ，弓) 任取正数满足互( o 。) 一e 0 ，星( ) + n o 使得n k 时 f l ( 墨( ) 一) 厶，n 0 ( 星( ) + e ) 故由定理3 推知 n k v n o 时必有0 重( o 。) 一 互( n ) 墨( 0 0 ) + e 0 ，有 舢) = 踹( ( - + 华 ：! ! 兰芒l 一 ! 墨盟兰 2 喃。面可裒而1 谛 ：垡竺整2 ，：1 2 喃两2 丽磊而事污 显然可知! i _ m 。( 1 + 惫) 等= 1 再出洛比达法则， 。l 甜i mn ：州- + 釉= 。l i r a + 号掣= 躲掣- o ， 由此推知0 擘n + ( 1 + 署z ) 3 = 1 又 l i r a + 端= 。嗓鬻t 掣】- l = 拇鬻l i m + 尚一。 由以上分析知( 3 9 ) 成立定理得证 参考文献 ”k a l b f l e i s c hj o ，p r o b a b i f i t y a n ds t a t i s t i c a l i n f e r e n c e 【m 】s p r i n g e r - v e r l a g ， n e wy 0 r k ，s e c o n de d i t i o n ，1 9 8 5 【2 】l a r s e n r j a n dm a r xm l ，a ni n t r o d u c t i o nt om a t h e m a t i c a ls t a t i s t i c s a n di t sa p p l i c a t i o n s 州p r e n t i c e - h a l l te n g l e w o o dc l i f f s ，n e wj e r s e y , s e c o n de d i t i o n ， 1 9 8 6 l 量 1 3 _ d e g r o o tm h ，p r o b a b i l i t ya n ds t a t i s t i c s 【叫a d d i s o n w e s l e yp u b l i s h i n g c o m p a n yc a l i f o r n i a ，s e c o n de d i t i o n ：1 9 8 4 4 】h o g gr v a n dt a n i se a ，p r o b a b i l i t ya n ds t a t i s t i c a li n f e r e n c e 【m 】m a c m i l l a n p u b l i s h i n gc o m p a n y , n e wy o r k ，t h 瑚e d i t i o n ，1 9 8 8 【5 】f 菲赫金哥尔茨著， 丁寿田译， 数学分析原理【m 】，第二卷第一分册。人民教育出 版杜，北京，1 9 6 2 年第版 【6 】a 辛钦著，北京大学数力系译， 数学分析简明教程【m l ，下册， 高等教育出版社， 北京，1 9 5 4 年第一版 f 7 卜a 爱尔台里主编 张致中译， 高级超越函数【m ，第一册， 上海科学技术出版社， 上海，1 9 5 9 年第一版 f 8 1 王竹溪郭敦仁著，特殊函数概论f m 】，科学出版社，北京1 9 6 5 年第一版 【9 】m 格列本卡，0 罗涅舍诺夫著，扬从仁郝寿，车文琦译，数学分析教程【m 】， 第二卷第一分册，高筹教育出版社，北京，1 9 5 5 年第一版 f 分布密度函数之性质( ) 1 引言 在本文( i ) 中我们已简单介绍了f 分布的来源及重要性( 可参看1 1 4 1 等) ，也指出了对f 分布的密度函致自身的函数性质进行研究的必要性在( ，) 中我们着重研究了当f 分布第二个参 数变化时其密度函数的变化规律证明了随着第二个参数的增大密度函数的极大值也增大还证明 了第二个参数不同的两条密度曲线相交时参数对交点变化的某些影响规律 仍沿用( ，) 中的记号。令参数为( m ，n ) 的f 分布的密度函数为 f 焉祷( 导) 警。号i 1 ( 14 导z ) 一牛，。 o ； ，m ，n ( ) = ( i ) 0o 2 2 f ( m ，n ) 中m 的变化对f m ，。( z ) 的影响 本篇仍需引用r 函数的对数赦商公式 幸( = ) = 旦d z l r ( z ) _ l i m 。 l n 一( ；+ 鬲1 + + 丽1 ) ) ，v = ( o ，o 。) ( 3 ) 以上公式的来源可参看 5 】中第一章或f 6 】中第三章 引理1 k ( m ，n ) = 方皋l n m ( m ，n ) 在t ( m ，n ) ：仇 2 ，” o ) 上处处存在且连续，它关于n 为 ( 0 ，) 上的严格减函效- 若0 2 都有k ( m ，n ) 兰刁t 暑c 耵 0 且k ( 拂，n ) 关于m 为( 2 ，) 上的严格减函数若n 2 ，则存在唯一的m = q ( n ) 满足方程 k ( m ，t 1 ) = 0 ，2 ( m 2 ，m 町( n ) 时k ( m ，n ) 保持取负值 证：首先，由【3 ) 推知v a 20 ，有 芝l n r ( 字) = 恕 ；l n h 击+ 百而1 + + 志) ) 矧岫) ( 5 ) 由( 2 ) 、( 5 ) 可知m 2 ，n 0 时有 丽0l n m ( m ，n ) = 熙 ( 圭+ 莉1 + - + 而1 琢) 一( 而1 + 志- + 赤) ) + 去十；l n ( m - 2 ) 一扣m 刊 由( 6 ) 可以推知m 2 ，n 0 时有 ( m ，n ) = 杀l n 肘( m ，n ) = 石舞+ 石杀砑卜】 ( 6 ) 一【嘉+ 高而_ l - 磊1 + ；老一j 1 而1 ( 7 ) 由级数的一致收敛性知k ( m ，n ) 在 ( m ，n ) ：m 2 ，n 0 ) 上处处连