（理论物理专业论文）相空间中力学系统的统一对称性与守恒量研究.pdf

相空间中力学系统的统一对成性与守恒量研究 王鹏( 理论物理) 指导教师：方建会教授 摘要 力学系统的对称性和守恒量研究具有重要的理论意义和实际价 值用对称性寻求系统守恒量的近代方法主要有：n o e t h e r 对称性、 l i e 对称性和m e i 对称性统一对称性是人们提出的一种新对称性 本文研究相空间中约束力学系统的统一对称性及其导致的守恒量首 先，研究了相空间中常质量完整和非完整力学系统的统一对称性，给 出了相空间中常质量完整和非完整力学系统统一对称性的判据，分别 得出了两类系统对应的n o e t h e r 守恒量，h o j m a n 守恒量和m e i 守恒量： 其次，研究了相空间中变质量完整和非完整力学系统的统一对称性， 给出了两类系统统一对称性的判据，分别得出了两类系统对应的 n o e t h e r 守恒量，h o j m a n 守恒量和m e i 守恒量；最后，研究了小扰动下 对称性的摄动及其绝热不变量，给出了h a m i l t o n 正则方程统一对称性 的摄动的确定方程，得到了其导致的n o e t h e r 型和h o j m a n 型高阶绝热 不变量，给出了广义r a i t z i n 正则方程l i e 对称性的摄动的确定方程， 得到了其导致的h o j r n a n 型绝热不变量 关键词：力学系统；相空间；统一对称性；守恒量；绝热不变量 u n i f i e ds y m m e t r ya n dc o n s e r v e dq u a n t i f i e sf o r m e c h a n i c a ls y s t e m si np h a s es p a c e w a n g p e n g ( t h e o r e t i c a lp h y s i c s ) a b s t r a c t t h er e s e a r c h e so nt h es y m m e t r yt h e o r ya n dt h ec o n s e r v a t i o nl a w s o fm e c h a n i c a l s y s t e m s h a v e i m p o r t a n t t h e o r e t i c a la n d p r a c t i c a l s i g n i f i c a n c e t h em o d e mm e t h o d s t of r e dc o n s e r v e dq u a n t i t i e sa r em a i n l y t h ef o l l o w i n g s ：n o e t h e rs y m m e t r y , l i es y m m e t r ya n dm e is y m m e l r y u n i f i e ds y m m e t r yi san e ws y m m e t r y i nt h ep a p e r , w es t u d yu n i f i e d s y m m e t r yi np h a s es p a c e f i r s t , w cs t u d yt h eu n i f i e ds y m m e t r yo f h o l o n o m i ca n dn o n h o l o n o m i cs y s t e mi np h a s es p a c e ，g i v et h ec r i t e r i o n e q u a t i o no fu n i f e ds y m m e t r ya n dg e tt h en o e t h c rc o n s e r v e dq u a n t i t y , h o j m a nc o n s e r v e dq u a n t i t ya n dm c ic o n s e r v e dq u a n t i t yo f t h et w ot y p e s o fs y s t e m s ；s e c o n d , w es t u d yt h eu n i f i e ds y m m e t r yo fh o l o n o r n i ca n d n o n h o l o n o m i cs y s t e mw i t hv a r i a b l em a s si np h a s es p a c e ，g i v et h ec r i t e r i o n e q u a t i o no fu n i f e ds y m m e t r ya n dg e tt h en o c t h e rc o n s e r v e dq u a n t i t y , h o j m a nc o n s e r v e dq u a n t i t ya n dm e ic o n s e r v e dq u a n t i t yo ft h et w ot y p e s o fs y s t e m s ；f i n a l l y , w es t u d yt h ep e r t u r b a t i o nt os y m m e t r ya n de x a c ta n d a d i a b a t i ci n v a d a n t s ，g i v et h ed e t e r m i n i n ge q u a t i o no fu n i f i e ds y m m e t r y a r e rb e i n gp e r t u r b e do fh a m i l t o ns y s t e ma n dt h ep e r t u r b a t i o nt ol i e s y m m e t r yo fg e n e r a l i z e dr a i t z i nc a n o n i c a le q u a t i o no fm o t i o n , g e tt h e n o c t h e ra n dh o j r n a na d i a b a t i ci n v a r i a n t so ft h et w ot y p e so fs y s t e m s r e s p e c t i v e l y k e y w o r d s ：m e c h a n i c a ls y s t e m s ；p h a s es p a c e ；u n i f i e ds y m m e t r y ；c o n s e r v e q u a n t i t y ；a d i a b a t i ci n v a r i a n t s 中国石油大学( 华东) 硕士论文主要符号表 l l a g r a n g e 函数 hh a m i l t o n 函数 t时间 主要符号表 广义坐标 广义速度 广义加速度 广义动量 广义力 非完整约束 无限小参数 时间无限小群变换生成元 坐标无限小群变换生成元 动量无限小群变换生成元 规范函数 规范函数 任意函数 丘广义反推力 a ，天，广义约束力 如 n o e t h e r 守恒量 如h o j m a n 守恒量 如 m e i 守恒 乞 绝热不变量 x ( o )零阶无限小向量 x ( 1 )一阶无限小向量 蟊 吼 吼 n q 矗 s 彘 丢 仉 瓯 瓯 p 独创性声明 本人声明所里交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为 获得中国石油大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与 我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的 说明并表示了谢意。 关于论文使用授权的说明 本人完全了解中国石油大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留送交论文的复印件及电子版，允许论文被查阅和借阅； 学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复 制手段保存论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 学生签名：叁墨鸦；z 0 0 7午月2 1 日 导师躲五盐叩年争月矽日 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章前言 第1 章前言 1 1 分析力学的历史与现状 分析力学作为力学学科和数学物理学科的基础，1 8 世纪和1 9 世纪 有过辉煌时代，这就是l a g r a n g e 力学和h a m i l t o n 力学1 9 世纪末出现 的非完整力学大大丰富了分析力学并将其推向前进2 0 世纪出现的 b i r k h o f f 系统动力学，k a m 定理及h a m i l t o n 系统中的混沌，几何动力 学等又将分析力学代入新时代2 0 0 多年来，分析力学这一经典学科没 有停止过，像其他力学分支一样，随着科学技术的进步和学科自身发 展规律的推动，在不断向前 1 7 8 8 年l a g r a n g e 发表其名著分析力学，他成功的把力学理论 与数学分析方法结合起来，建立了具有严谨数学结构的力学体系，提 出了建立质点系运动微分方程的普遍而有效的方法h a m i l t o n 发展了 分析力学，h a m i l t o n 及其后继者在l a g r a n g e 力学的基础上，对理想、 完整、有势系统的动力学作了更深入的研究，他在两篇长论文论动 力学中的一个普遍方法( 1 8 3 4 年) 和再论动力学中的一个普遍方法 ( 1 8 3 5 年) 中提出了h a m i l t o n 原理和正则方程，后经j a c o b i 和l i e 等人 的努力，h a m i l t o n 力学逐步建立并完善起来h a m i l t o n 力学所建立的基 本成果，如力学量的正则共轭对，h a m i l t o n 函数与能量的关系，正则方 程组的p o i s s o n 形式，h a m i l t o n 主函数以及h a m i l t o n - - j a c , o b i 方程所引 入的“波动”观念等都有着更普遍的意义物质微观运动的描述和宏观 运动的描述在基本观念上有很大的不同，但是，在物质微观运动的规 律中，h a m i l t o n 力学的上述成果在新的含义下都相应地保存着这就 使得h a m i l t o n 力学成为经典力学向近代物理学观念过渡的桥梁 h a m i l t o n 力学在非线性科学中扮演重要角色，k a m 定理成为混沌理论 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章前言 的开端h a m i l t o n 力学促成广义h a m i l t o n 力学的形成和发展，并促成 辛几何这一新数学分支的建立非完整力学发展了l a g r a n g e 力学和 h a m i l t o n 力学1 8 9 4 年h e r t z 将约束和力学系统分为完整的和非完整两 大类，澄清了人们的一些观念，开辟了非完整力学的新时期由于完 整系统相对规范、简单，人们很快就在此领域取得了系列的成果，而 这些成果则成为通向研究非完整系统的一条捷径18 9 9 年a p c l l 给出 非完整系统的动力学方程；1 9 0 4 年b o l 忉i l a 衄、h a m d 等则给出了完整 和非完整系统准坐标中的方程此后，非完整系统的动力学很快发展 起来并逐步得到完善分析力学的几何化对非完整力学的现代发展起 到了极大地推动作用。它不仅深化了对非完整力学的理论研究，而且 极大地推动了其应用研究，这使得约束系统的几何动力学成为目前该 领域的主流方向之一，文献【1 - 4 】介绍了这一领域的一些最新成果 b i r k h o f f 系统动力学是分析力学进一步发展的产物1 9 2 7 年美国著名 数学家b i r k h o f f ( i d 在其名著动力系统中提出比h a m i l t o n 方程和 原理更为普遍的一类新型方程和一类新型积分变分原理1 9 7 8 年 s a n t i u ir m 改进了b i r k h o f f 的结果并建议将方程命名为b i r k h o f f 方程 这个新原理称为p f a f f - b i r k h o f f 原理b i r k h o f f 动力学具有重要的理论 意义和实际价值。h a m i l t o n 原理是p f a f f - b i r k h o f f 原理的特殊形式， h a m i l t o n 正则方程是b i r k h o f f 方程的特殊形式，b i r k h o f f 力学在理论上 具有高度概括性b i r k h o f f 力学推广了h a m i l t o n 力学，自然可用于 h a m i l t o n 力学、l a g r a n g e 力学和n e w t o n 力学。同时，它也可用于非 完整力学、量子力学、统计力学、原子分子物理、强子物理、生物物 理、工程等领域 我国在分析力学方面的研究起步较晚，但是发展迅速，贡献突出 1 9 5 8 年王家稣先生出版了分析力学专掣引，为我国的分析力学的 教学和科研奠定了基础，并起到了带头作用1 9 6 4 年山东工学院年仅 2 2 岁的牛清萍在力学学报上发表了具有国际先进水平的重要论文 2 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章前言 【6 】一经典力学基本微分原理与不完整力学组的运动方程此文在 国内外产生了深远的影响，被苏联学者h e i i m p r 和a , y d p a e s 合著的国 际上的第一本非完整系统动力学引用1 9 8 5 年北京工业学院出版 了我国的第一本非完整力学专著一梅凤翔的非完整系统力学基础 7 1 此书和1 9 8 7 年出版的非完整动力学研究被美国p a p a s t a v r e d i s 教授列入该领域的名家名著系列1 9 9 2 年陈滨，梅凤翔，李子平联合 申报的项目经典约束系统动力学基本理论荣获国家教委科技进步 甲类一等奖该项目的代表著作和论文为文献7 1 0 等自1 9 9 2 年以 来，我国学者梅凤翔教授等研究了非完整系统动力学方程的b i r k h o f f 表示及其积分方法，给出了b i r k h o f f 系统的对称性和守恒律及b i r k h o f f 系统的动力学稳定性、b i r k h o f f 方程的几何描述，构造了b i r k h o f f 系统 动力学的理论框架，出版了专著( b i r k h o f f 系统动力学【l ”，宣告了一 门新力学的诞生，被学术界称为经典力学的又一次飞跃 我国在近代分析力学的研究工作主要有：关于分析力学的张量方 法，关于分析力学的微分几何方法，关于分析力学的群论方法，关于 约束系统的代数表示和几何表示等 1 2 - 1 3 1 分析力学理论和应用的专门 化是分析力学又一层次的发展分析力学的专门问题主要有：运动稳 定性和小振动理论，刚体绕固定点转动问题，相对运动力学，可控力 学系统分析动力学，打击运动的分析动力学，变质量问题的分析动力 学，机电系统的分析动力学，事件空间分析动力学，分析动力学逆问 题等【1 4 1 1 2 分析力学的近代对称- 陛理论 力学系统的对称性与守恒量之间存在着联系然而这种联系开始 并未为人们所知1 9 1 8 年德国伟大的女数学家n o e t h e r 凭借着灵感意 识到作用量的每一种连续对称性都将有一个守恒量与之对应，发表了 其著名论文不变变分问题1 1 5 1 ，对称与守恒在本质上联系在了一起 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章前言 n o e t h e r 理论给数理科学带来了一片光明，它对数理科学的发展起了 积极重大的作用n o e t h e r 对称性是时空无限小单参数群变换下， h a m i l t o n 作用泛函的不变性1 9 7 5 年d j u k i c 和v u j a n o v i c 等将时空变 换扩充为包含速度的变换，研究了完整非保守系统的对称性与不变量 问题【1 6 1 1 9 8 1 年我国学者李子平在国际上首次研究了线性非完整约束 系统的n o e t h e r 理论，将n o e t h e r 理论推广到线性非完整系统1 1 7 】，比国 外b a h a r t 1 s 】的同类结果早了6 年文献【1 9 2 3 】分别讨论了n o e t h e r 定理 及其逆定理，高阶约束系统的对称性理论，量子水平的n o c t h e r 定理及 应用文献 2 4 】首次将n o e t h e r 定理应用于b i r k h o f f 系统n o c t h e r 定理 在约束力学系统【1 3 , 2 5 3 0 i ，物理系统 3 1 4 2 1 。机电系统 3 3 1 等各个领域得到 了广泛的推广和应用， 2 0 世纪7 0 年代人们发现并不是所有的对称性都是n o e t h e r 的。 l u t z k y t 3 4 、p r i n c e 和e l i e z e 一5 1 曾举出一系列的例子说明不变量所对应 的对称性不一定是n o c t h e r 型的，这促使人们从不同的角度去重新认 识对称性1 9 7 9 年l u t z k y l 3 6 1 将1 9 世纪瑞士数学家s o p h u sl i e 研究微分 方程不变性的扩展群方法引入力学领域，研究了力学系统运动微分方 程在无限小变换群作用下的不变性人们把运动微分方程在无限小变 换下的不变性称为l i e 对称性，l i e 对称性仅在一定条件下才导致守恒 量如果l i c 对称性也是n o e t h c r 对称性的，则由它可间接找到n o e t h e r 守恒量 翊1 9 9 2 年i - i o j m a n 给出了一个守恒定理册，这个定理提供了一 种直接由l a g r a n g c 系统的特殊l i e 对称性求守恒量的方法，为寻求守 恒量开辟了新路径1 9 9 4 年c o n z a l e z g a s c o n 给出了h o j m a n 定理的几 何基础【3 耵，1 9 9 5 年l u t z k y 将h o j m a n 定理作了进一步推广 3 9 1 2 0 0 2 年 梅凤翔将h o j m a n 定理扩展到相空间【4 0 j ，其后人们又得出时间可变的 一般无限小变换群下的广义的h 0 j m a n 定理【4 j ，4 2 1 关于l i e 对称性人们 在物理系统【4 3 4 5 】，般力学系统i 妊5 乱，相空间力学系纠5 6 。蜘，相对论 力学系统【5 9 1 ，b i r k h o f f 系统 6 0 l ，场论【6 1 1 等各个领域作了大量的研究讨 4 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章前言 论，l i e 对称性得到了重要的发展 m e i 对称性( 也称形式不变性) 是我国学者梅风翔教授提出的又一 种对称性它是指力学系统动力学方程中出现的动力学函数在群的无 限小交换下仍满足原来方程的一种不变性m e i 对称性可以直接导致 m e i 守恒量，也可以间接导致n o e t h e r 守恒量和h o j m a n 守恒量关于 m e i 对称性与守恒量以及m e i 对称性与其它两种对称性之间的关系是 近年来人们讨论的热门方向人们研究了广义力学系统，b i r k h o f f 系统， 相空间中力学系统，非完整力学系统等各类系统的m e i 对称性直接导 致的m e i 守恒量和间接导致的n o e t h e r 守恒量和h o j m a n 守恒量以及 l u t z k y 守恒量【6 2 - 6 7 文献【6 8 】讨论了m e i 对称性在相空间中的两种定 义，丰富了人们对m e i 对称性的认识而文献 3 0 1 关于n o e t h e r 对称性 的两种理解的讨论加深了人们对n o e t h e r 对称性与m e i 对称性本质及 关系的认识而广义m e i 守恒量咿】的提出，为m e i 对称性与守恒量的 研究开辟了新方向，推进了m e i 对称性研究的进展 n o e t h e r 对称性、l i e 对称性和m e i 对称性之间的关系一直是人 们关注的一个问题文献 7 8 】给出三种对称性之间的一个关系图文 献【2 9 】全面总结了三种对称性与守恒量的关系：n o e t h e r 对称性可以直 接导致n o e t h e r 守恒量，间接导致h o j m a a 守恒量和m e i 守恒量，l i e 对称性可以直接导致h o j m a n 守恒量，间接导致n o e t h e r 守恒量和m e i 守恒量，m e i 对称性可以直接导致m e i 守恒量，间接导致n o e t h e r 守恒 量和h o j m a n 守恒量目前关于单一对称性导致单一守恒量的研究已 比较完善2 0 0 4 年基于这三种对称性人们又提出了统一对称性的概念 【7 卅：如果一种对称性既是n o e t h e r 对称性的，又是l i e 对称性的，同时 又是m e i 对称性的，那么这种对称性就称为统一对称性以往关于单 一对称性的研究只能由一种对称性直接或间接导致一类守恒量。而统 一对称性可以同时导致三类守恒量统一对称性发展了关于三种对称 性关系的研究，是对三种对称性关系研究的进一步深化，是一种更高 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章前言 层次的对称性人们研究了位形空间中完整力学系统的统一对称性【8 0 】， 以及位形空间和相空间中的联合对称性t 8 1 , 8 2 1 ，而对于相空间中统一对 称性的研究目前还未涉及研究相空间中力学系统的统一对称性与守 恒量理论对于扩充和发展统一对称性理论具有重要的意义 对于一般的动力学问题。不仅要研究力学系统的不变性性质，而 且这种不变性对力学系统行为的影响也日益引起人们的重视对称性 是力学系统的一种非常重要而又普遍的性质，小扰动作用下对称性的 改变及不变性与力学系统的可积性之间有密切关裂，有必要进行认 真研究经典的绝热不变量是指在系统某参数缓慢变化时，相对该参 数的变化更慢的系统的物理量【7 “文献 7 2 7 6 】研究了一般力学系统以 及b i r k h o f f 系统的绝热不变量问题，这些研究得到的绝热不变量都是 n o e t h e r 型的绝热不变量对于l i e 对称性的摄动导致的其它类型的绝 热不变量和m e i 对称性摄动的研究还比较少2 0 0 6 年文献【7 7 】得出一 类新的绝热不变量，并将其称为h o j m a n 型绝热不变量以往这些文献 讨论摄动问题都采用系统受到微扰后d i d 中不显含小参数占的方法， 而且研究的都是单一对称性摄动问题 1 3 本文研究内容 本文研究了相空间中完整和非完整及变质量力学系统的统一对 称性及其导致的n o e t h e r 守恒量、h o j m a n 守恒量和m e i 守恒量；基于 对称性理论，采用不同于以往思路，利用引d 中显含小参数s 的方法， 讨论了相空间中h a m i l t o n 正则方程统一对称性的摄动，得出其导致的 n o e t h e r 型和h o j m a n 型绝热不变量，以及广义r a i t z i n 正则方程l i e 对 称性的摄动及其导致的h o j m a n 型绝热不变量 第1 章：概述了分析力学及其近代对称性理论以及对称性摄动理 论的研究历史与现状 6 中国石油大学( 华东) 硕士论文第1 章前言 第2 章：介绍相空间中对称性理论，包括相空间中完整力学系统、 非完整力学系统、变质量力学系统的n o e t h e r 对称性、l i e 对称性和 m e i 对称性及其对应的n o e t h e r 守恒量、h o j m a n 守恒量和m e i 守恒 量 第3 章：给出了相空间中常质量完整力学系统和非完整力学系统 的统一对称的判据方程，分别得到这两类系统的统一对称性直接导致 的n o e t h e r 守恒量、h o j m a n 守恒量和m e i 守恒量的存在条件和形式， 并讨论了非完整约束对系统的统一对称性的影响 第4 章：给出了相空间中变质量完整力学系统和非完整力学系统 的统一对称的判据方程，分别得到这两类系统的统一对称性直接导致 的n o e t h e r 守恒量、h o j m a n 守恒量和m e i 守恒量的存在条件和形式， 并讨论了变质量因素对系统的统一对称性的影响 第5 章：给出了相空间中h a m i l t o n 正则方程的统一对称性的判据， 得到了相空间中h a m i l t o n 正则方程的统一对称性导致的精确不变量， 给出了相空间中h a m i l t o n 正则方程的统一对称性的摄动的判据，得到 了其导致的n o e t h e r 型和h o j m a n 型高阶绝热不变量；给出了广义 r a i t z i n 正则方程的l i e 对称性更一般形式的h o j m a n 型精确不变量，得 到了l i e 对称性摄动导致的h o j m a n 型绝热不变量 第6 章：总结论文的研究成果，并阐述有待于进一步解决的问题 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章相空间中力学系统的对称性理论 第2 章相空间中力学系统的对称性理论 本章介绍相空间中力学系统的三种主要对称性：n o e t h e r 对称性、 l i e 对称性、m e i 对称性及其导致的守恒量的基本理论包括相空间 中完整力学系统、非完整力学系统和变质量力学系统的n o e t h e r 对称 性、l i e 对称性、m e i 对称及其对应的n o e t h e r 守恒量、h o j m a n 守 恒量、m e i 守恒量 2 1 相空间中常质量力学系统的对称- 性 2 1 1 常质量完整力学系统的运动微分方程 l a g r a n g e 方程经历l e g e n d r e 变换可化为h a m i l t o n 正则方程 给定一个l a g r a n g e 函数= l q ，口，圣) 在点p ，玑圣) 的区域r 2 ”1 上满 足连续和规则性质 l e c “( r 2 “) ，册2 d e t ( ：尝凇z “) 0 ， ( 2 i ) c 呵，吼 l c g e n d r e 正变换 咖庙加见一薏o h = p ，吼- l = h ( t ，口，力 ( 2 2 ) 诱导出由r 2 。“到点( f ，玑力的象域j 圣2 ”1 的一一映射，并确定唯一非零 新函数h 眦i l t o n 函数n ( t ，儡力，它满足连续和规则性质 h c ”( j i 2 ”1 ) ，r a 2 8 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章相空间中力学系统的对称性理论 d e t ( 毒坠) 辑：“) o c p | p k ( 2 3 ) 反之，在点o ，q ，力的域j i 2 “上给定一个满足性质( 2 3 ) 的h a m i l t o n 函 数日( f ，q ，p ) ，l e g e n d r e 逆变换 丘( ，叮，雪，力：吼一_ o h ：o l = 见屯一h = l ( t ，q ，圣)( 2 4 ) 诱导出由j i 圣2 ”1 到点( f ，q ，口) 的象域r 2 ”1 的一一映射，并确定唯一非零 新函数l a g r a n g e 函数三= 工( ，q ，口) ，它满足连续和规则性质( 2 1 ) 假设具有双面理想完整约束的力学系统的位形由栉个广义坐标 吼0 = 1 ，2 ，疗) 来确定，其运动微分方程为 丢薏一嚣= q ，2 ，朋， ( 2 s ) 其中q = q ( f ，q ，雷) 为非势广义力 当q = 0 或q j 有广义势时，方程( 2 5 ) 化为了l a g r a n g e 系统的运动 方程 引入广义动量和h a m i l t o n 函数 见= 嚣，日= 善n 见吼吐( 刚2 ，力 ) 我们可得到方程( 2 5 ) 的正则形式 屯：o - h ，见：一掣+ q o ：1 ，2 ，帕( 2 7 )g j = 。_ ，见2 一i + 敛p = l ，乙，哪侣” o p ,c a , 其中h a m i l t o n 函数h = 胃( f ，q ，力我们把q 表示为，q ，p 的函数，有 形式 龟= 龟( f ，q ，p ) = q ( r ，q ，雪( f ，q ，p ) ) ，( 2 8 ) 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章相空间中力学系统的对称性理论 从而我们可以得到方程( 2 5 ) 在相空间中的表示形式 屯= 署，沪筹唾”1 ，2 ，朋 ( 2 9 ) 我们称方程( 2 9 ) 即为相空间中常质量完整力学系统的运动微分方程 展开方程( 2 9 ) ，我们可以得到它的一种等价表示 屯= g r i t ，q ，p ) ， a = h a t ，叮，p ) o = l ，2 ，力 ( 2 1 0 ) 2 1 2 常质量完整力学系统的n o e t h e r 对称性 引入时间和广义坐标和广义动量的群的无限小变换 t = ，十r ，z ( ，) = 吼( f ) + 却， 五( f ) = p j ( ，) + 瓴 ( 2 1 1 ) 或其展开形式 t = f + c 看o ( t ，q , p ) 酊( f ) = 吼o ) + 茧( f ，q , p ) 一( f ) = 见( f ) + e r l , ( t ，儡力， ( 2 1 2 ) 其中占为无限小参数，磊，茧，仉为无限小生成元 n o e t h c r 对称性是h a m i l t o n 作用量在群的无限小变换下的一种不 变性【1 5 1 相空间中力学系统的n o e t h e r 理论1 7 2 3 2 6 0 明指出，如果存在规 范函数g ( f ，口，p ) 使无限小生成元品，皇，仉满足如下的n o e t l l 盯等式 见警一詈岛一等量一日訾+ 磊( 最一吼品) + 虿d g n - o ，3 ) 那么这种不变性为相空间常质量完整力学系统的n o e t h e r 对称性其 由 鱼：昙坛昙+ 吃昙 ( 2 1 4 ) 一d t2 瓦+ 毋瓦+ 吃石 【2 1 0 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章相空间中力学系统的对称性理论 展开方程( 2 1 3 ) ，并且将式中包含户和不包含声的项分开，得到 见警一詈彘一署磊一日百a 舌0 + 酝+ 等 + 瓴薏一嗜一编+ 卺，筹= o ， 见警一嗜+ 鲁- o 如果方程( 2 1 5 ) 有解，则称相应的对称性为系统的n o e t h e r 对称性方 程( 2 1 5 ) 称为k i l l i n g 方程 由相空间中常质量完整力学系统的n o e t h e r 对称性可以直接导致 n o c t h e r 守恒量【1 7 2 3 撕捌 命题1 如果无限小生成元磊，岳，仉满足n o e t h c r 等式( 2 1 3 ) 或者 使k i l l i n g 方程( 2 1 5 ) 有解，则系统的n o e t h e r 对称性导致n o e t h e r 守恒 量 如= 见一s 舌o + g j = c o n s t ( 2 1 6 ) 2 1 3 常质量完整力学系统的l i e 对称性 l i e 对称性是微分方程在群的无限小变换下的一种不变性【3 6 】 系统方程( 2 9 ) 的l i e 对称性确定方程可以表示为m o 】 矾吼一拳o ，一( 虎+ 瓦0 h 一磊) _ o 其中 o ，一彘知毒帆丢， x ( 1 ) = z ( o ) + ( 六一吼靠) 熹+ ( 玩a 靠) 晏 ( 2 1 8 ) o q i印i 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章相空间中力学系统的对称性理论 系统l i e 对称性的确定方程的另一种表不为 争g j 誓羽( m 誓一吃警划他) ( s - - - - l ，2 ，咄 ( 2 1 9 ) 方程( 2 1 7 ) 与方程( 2 1 9 ) 是一致的 l i e 对称性不是总有守恒量，在一定条件下可以直接导致n o j m a n 守恒量【3 7 4 2 】 命题2 如果无限小生成元磊，蠡，仇满足l i e 对称性确定方程 ( 2 1 7 ) 或者( 2 1 9 ) ，并且存在规范函数= ( f ，g ，p ) 满足如下条件 晏+ 兰+ d l n ，。, ：o ， ( 2 2 0 ) a q s 却i d ：、1 则系统的l i e 对称性可直接导致广义h o j m a n 守恒型4 1 , 4 2 1 ，。：上垒坐盟+ 三亟盟+ 土丛业一堕：脚( 2 2 1 ) n p 8 t p 如ipa p | d t 、 当彘= o ，即取时间不变的特殊无限小变换，并且= ( f ，g ) ，则l i e 对称将直接导致h o j m a n 守恒型柏】 如：土墨掣+ 土亟磐丝：n s t ( 2 2 2 ) 弘o q |p 印3 2 1 4 常质量完整力学系统的m e i 对称性 假设在经历无限小变换( 2 1 2 ) 后，h a m i t o n 函数日变为，广义 非势力磊变为龟，有 日= h ( 广，矿，p ) = h ( t ，函p ) + 占x o ( h ) + d 2 ) ， ( 2 2 3 ) 窟= 磊( 广，g ，p ) = 盆( r ，g ，力+ 占x o ( q ) + o ( s 2 ) ( 2 2 4 ) 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章相空间中力学系统的对称性理论 定义删如果用无限小变换后的函数和亘，代替变换前的日和 龟，7 y 程( 2 9 ) 的形式保持不变，即 弘娶，小一婴+ 岔 ( 2 2 5 ) g = = 一，p ，= 一- + 蜴 u z ) j 【j f 叫， 则称这种不变性为系统的m e i 对称性( 也称形式不变性) 利用m e i 对称性的定义，我们可得到如下的m e i 对称性判据方程 判据如果无限小生成元磊，六，仇满足如下方程 三【x ( h ) 】- 0 ，三【x ( 。( h ) 卜x ( 磊) ：0 ， ( 2 2 6 ) o7,ov。 则相应的不变性为系统的m e i 对称性 m e i 对称性不是总对应着守恒量，在一定条件下可直接导致m e i 守恒量 2 9 , 6 3 删 命题3 如果系统的无限小生成元磊，磊，仇和规范函数 g 0 = g 0 ( f ，口，p ) 满足如下结构方程 x ( o ( 见) 警+ 丢 x ( o ( 见) 】乞一x ( o 【工( 0 ( h ) 】一 z(h)生垂+x(龟)(一吼磊)+!粤=0ata l ， ( 2 2 7 ) 则系统的m e i 对称性导致如下的m e i 守恒量 l = x o 饥) 岳- x o ( 日峨+ 瓯= c o r l a t ( 2 2 8 ) 2 1 5 常质量非完整力学系统的对称性 假设力学系统的位形由疗个广义坐标吼o = l ，2 ，功来确定，它 的运动受有g 个双面理想c h e t a e v 型非完整约束 f p ( t ，g ，尊) = 0 ( = 1 ，g ) ，( 2 2 9 ) 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章相空间中力学系统的对称性理论 并且设约束是彼此相互独立的约束( 2 2 9 ) 加在虚位移8 q , 上的 c h e t a e v 条件 喜缸观 ( 2 3 0 ) 则系统的运动微分方程蔓- j 2 8 , 5 6 , 6 0 7 吼：i o h ，见：一o _ h + 磊+ 五o ：l ，2 ，以) ( 2 3 1 ) 致d 饥 非完整约束( 2 2 9 ) 在相空间中可以表示为 = 厶o ，玑p ) = f p ( t ，q ，q ( t ，q ，p ) ) = 0 ( 2 3 2 ) 我们称由方程( 2 3 1 ) 和( 2 3 2 ) 确定的系统为相空间中常质量非完整力学 系统 相空间中非完整力学系统的n o e t h e r 对称性需满足n o e t h e r 等式 见警一等品一筹六一日誓+ ( 磊瓜聪一玑磊) + 虿d g n _ o ，( 2 3 3 ) 和限制条件 - o f , 旺一或磊) ：o 姐 相空间中非完整系统的n o e t h e r 对称性可导致形如( 2 1 6 ) 的n o e t h e r 守 恒量m 1 相空间中非完整力学系统的l i e 对称性判据方程为5 6 1 x ( 1 ( 吼一i o h _ ) ：o ，x ( - ( 虎+ o i h 一一磊一天，) ：o ， ( 2 3 5 ) o p | o qs 和限制条件 x “ f p ( t ，q ，p ) 】- o ， 以及附加限制条件( 2 3 4 ) 1 4 ( 2 3 6 ) 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章相空间中力学系统的对称性理论 相空间中非完整力学系统的m e i 对称性判据为1 6 6 1 詈 x ( ( 日) 】= 0 ，导 x ( 。( 日) 】一j ( 。( 龟+ 天，) = 0 ， ( 2 3 7 ) 印s国| 和限制条件( 2 3 6 ) 关于相空间中非完整系统的l i e 对称性和m e i 对称性间接导致 n o e t h e r 守恒量已有一些研究随拈, 7 0 , 7 1 , 6 6 1 ，而对于其l i e 对称性直接导 致h o j m a n 守恒量和m e i 对称性直接导致m e i 守恒量的研究还很少 2 2 相空间中变质量力学系统的对称性 2 2 1 变质量完整力学系统的运动微分方程 假设系统由个质点组成在瞬时t ，第i 个质点的质量为 坼( f = 1 ，2 ，) ；在瞬时t + d t ，由质点分离( 或者并入) 的微粒质量为 a n , 假设系统的位形由万个广义坐标吼p = l ，2 ，哟来确定，并设质 点质量依赖于时间和广义坐标 m j = ( f ，口) ( f = 1 ，2 ， r ) ( 2 3 8 ) 系统的运动微分方程为1 2 9 丢盖一盖咖只，2 问， ( 2 3 9 ) 其中三= 上( f ，g ，雪) 为系统的l a g r a n g e 函数，q = q j ( ，口，雪) 为非势广义 力，c 为广义反推力 只= t i ( 4 1 + j ) 导一卑要 ( 2 4 0 ) o q | z。q | 这里，t 分别为第i 个质点的矢径和速度，嵋为微粒相对于第i 个质点 的相对速度 变质量完整系统的运动方程在相空间中可以表示为5 8 1 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章相空间中力学系统的对称性理论 吼：o _ h ，a ：一竽+ 磊+ 丘o ：1 ，2 ， ) ， ( 2 4 1 ) 吼2 石见2 一瓦+ q + c d 2 1 2 ， ) ，( 2 4 1 其中 龟= 豆，o ，q ，p ) = q ，o ，q ，口( f ，q ，p ) ) ，( 2 4 2 ) 丘= 丘( ，叮，) = 只o ，q ，q ( t ，叮，p ) ) ( 2 4 3 ) 假设系统非奇异，则方程( 2 4 1 ) 可以表示为 吼= g ，( f ，q ，力， 危= 吃( f ，毋力0 = 1 ，2 ，功 ( 2 4 4 ) 2 2 2 变质量完整力学系统的n o e t h e r 对称性 引入时间和广义坐标和广义动量的群的无限小变换 t = t + a t ，z ( r ) = 吼o ) + 吼 曩) = 只g ) + 氧 ( 2 4 5 ) 或其展开形式 t = ，+ s 磊( ，q , p ) q ；c t ) = 吼o ) + 瑶( ，劬p ) ( 广) = 只( r ) + 仉( f ，叮，们，( 2 4 6 ) 其中为无限小参数，品，r , 为无限小生成元 由n o e t h e r 理论，我们知道如果存在规范函数g ( ，g ，力使无限小 生成元彘，仉满足如下的n o e t h e r 等式【5 明 见警一等品一等一日警+ ( 磊+ 积磊一吼品) + 警- 0 ，( 2 4 7 ) 那么这种不变性为相空间变质量完整力学系统的n o e t h e r 对称性其 由 1 6 中国石油大学( 华东) 硕士论文第2 章相空间中力学系统的对称性理论 daaa 瓦2 瓦+ 岳瓦+ 吃石 f 2 4 8 ) 由相空间中变质量完整力学系统的n o e t h e r 对称性可以直接导致 n o e t h e r 守恒量 5 6 , 5 7 】 命题1 如果无限小生成元磊，六，r 满足n o e t h e r 等式( 2 4 7 ) ，则 系统的n o e t h e r 对称性导致n o e t h e r 守恒量 l n = p 点i h q + g n = c o n s t 2 2 3 变质量完整力学系统的l i e 对称性 ( 2 4 9 ) l i e 对称性是微分方程在群的无限小变换下的一种不变性