（天体物理专业论文）小波分析在天体物理中的应用.pdf

摘要 7 小波分析是自1 9 8 6 年以来迅速发展起来的一门新兴学科，是f o u r i e r 分析划 时代的发展结果。作为一种新的时一频分析方法，小波分析因其具有的“自适 应性”和“数学显微镜特性”而倍受众多学科关注。与f o u r i e r 变换、窗1 ：3 f o u r i o f 变换相比，小波变换是空间( 时间) 和频率的局域变换，因而能有效地从信号 t 提取信息，通过伸缩和平移等运算功能，达到对函数或信号进行多尺度细化 分析( m u lt i s c a l ea n a l y s is ) 的目的，从而解决了f o u r i e f 变换所不能解决的许 多困难问题。) 目前，小波变换在信号分析、语音合成、图像识别、计算机视觉、 数据雎缩、c t 成像、地震勘探、大气与海洋波的分析、分形力学、流体湍流以 及天体物理方面都已取得了具有科学意义和应用价值的重要成果。 小波分析是在克服f o u r i e r 变换和窗1 ：3 f o u r i e r 所面临的一系列困难的基础上 发腮起来的。信号分析的主要目的是寻找一种简单有效的信号变换方法，使信 0 包含的重要特征能显示出来。在小波变换兴起以前，f o u r i e r 级数展开和 f o u r i e r 分析是刻画函数空问、求解微分方程、进行数值计算的主要方法和有效 的数学丁具，许多常见的微分、积分和卷积运算在f o u r i e r 变换下均可简化为一 般的代数运算。从物理直观上看，一个周期振动可以看成是具有简单频率的简 睹振动的叠加，f o u r i e r 级数展开则是这一物理过程的数学描述。在f o u r i e r 分 析中，对应的时一频信号彼此之间是整体刻画，无法反映信号在局域区间上的 特征。为了克) f o u r i e r 变换不能同时进行时间一频率局域性分析的困难，出现 了窗口f o u r i e r 变换。然而，由于窗口f o u r i e r 变换的时一频窗口大小固定不变， 只适合分析所有特征尺度大致相同的各种过程，窗口没有自适应性，不适于分 析多尺度信号过程和突变过程；其离散形式没有正交展开，难于实现高效算法， 这些缺点大大地限制了窗口f o u r i e r 变换的应用范围。在此种背景下，小波分析 方法就应运而生了。 任何能量有限函数，欲成为小波基，必须满足紧支撑及容许条件，因而， 小波变换具有很好的局域时一频性能。该性能可以通过小波基函数在相空间的 分辨元胞来刻画。双尺度方程是多分辨分析原理的具体体现，通过它，我们可 以构造出尺度函数和小波函数，可以实现小波分解及重构的快速金字塔算法。 小波变换在许多领域存在着广泛的应用，第三章着重就小波变换在射电天 文图像的降噪处理中的应用展开讨论。超新星代表了恒星演化的终结，超新星 遗迹的研究，是天文学的一个重要领域，它对于加深理解恒星演化的全过程、 新元素的合成、中子星和黑洞的形成，都具有特别重要的意义。迄今为止，在 银道面内，共发现y 2 0 0 多颗超新星遗迹，该数字远低于理论预言的数目。两者 之间存在着的不一致，促使天文工作者在超新星遗迹的探索方面，进行了长期 不懈的努力。为了克服通常的阈值降噪法在所有尺度上降噪的缺陷，我们提出 了小波分块降噪法，并将其应用于具体的射电图像的降噪处理中。定量统计分 析结果表明，该法对降低噪音的动态范围、提高信噪比具有明显的效果。 此外，在宇宙大尺度结构的研究中，宇宙质量密度分布在数学上可以被处 理成一个均匀的随机场。由于引力不稳定性而诱发的成团效应的存在，密度场 最终将演变成高度非g a u s s 性的函数。为了获取局部的结构演化信息，对大尺度 结构的统计和动力学特征进行精确的描述，有必要利用小波变换同时对结构进 行时一频局域性的刻画，这将有助于消除目前各种宇宙大尺度结构形成模型之 间的简并状况。此外，小波变换的良好局域性，也将有利于未来大规模红移巡 天采集到的海量数据的实时处理。为此，我们把现有的一维小波功率谱公式推 广到了三维情况，并给出了相应的理论预言曲线。除此之外，我们也推导出了 三维小波斜度谱的公式，这将为我们从另一表相空间考察宇宙大尺度分布中蕴 涵的非g a u s s 信息提供个强有力的武器。) ， i i t h e a p p l i c a t i o n o fw a v e l e tt r a n s f o r mt oa s t r o p h y s i c s a b s t r a c t w a v e l e ta n a l y s i sh a sb e e nar a p i d l yd e v e l o p i n gd i s c i p l i n es i n c e1 9 8 6 ，w h i c hi st h e e p o c h m a k i n go u t c o m eo ff o u r i e ra n a l y s i sd e v e l o p m e n t a san e wt i m e f r e q u e n c y a n a l y z i n gt o o l ，w a v e l e ta n a l y s i sh a sb e e nf o l l o w e dw i t hg r e a ti n t e r e s tb ym a n y b r a n c h o fl e a r n i n g w a v e l e ta n a l y s i sh a st h eg o o dp r o p e r t i e so f “s e l f - a d a p t a t i o n ”s ot h a ti t w a s p r a i s e da sa m i c r o s c o p eo fm a t h ”c o m p a r e dw i t ht h ef o u r i e r a n dt h ew i n d o w e d f o u r i e rt r a n s f o i t n w a v e l e tt r a n s f o r mc a ne f f e c t i v e l yd r a wu s e f u li n f o r m a t i o nf r o m s i g n a l b e c a u s ei ti st h el o c a lt r a n s f o i t f lo ns p a c e ( t i m e la n df r e q u e n c yd o m a i n t h r o u g hd i l a t i o na n dt r a n s l a t i o no p e r a t i o no nf u n c t i o no rs i g n a l ，i tc a na c h i e v et h e g o a lo fm u l t i s c a l ea n a l y z i n ga n ds o l v em a n yd i m c u l t i e sm e tb y t h ef o u r i e rt r a n s f c l r m n o ww a v e l e tt r a n s f o r r nh a sf o u n da p p l i c a t i o n so nm a n yf i e l d s ，s u c h a s ，s i g n a l a n a l y s i s ，a c o u s t i cs y n t h e s i s ，i m a g er e c o g n i t i o n ，c o m p u t e r v i s u a i s e n s e ，d a t a c o m p r e s s i o n ，c ti m a g i n g ，s e i s m i ce x p l o r a t i o n ，t h ea n a l y s i s o fa t m o s p h e r i ca n d o c e a n i cw a v e f r a c t a lm e c h a n i c s t u r b u l e n c ea n da s t r o p h y s i c s a 1 1t h e s ea p p l i c a t i o n s b r o u g h tu sw i t ha b u n d a n ts i g n i f i c a n tf r u i t s w a v e l e ta n a l y s i sh a sb e e nd e v e l o p e db yo v e r c o m i n gas e r i e so fd i f f i c u l t i e sm e t b yt h ef o u r i e ra n dt h ew i n d o w e df o u r i e rt r a n s f o n n t h ep r i n c i p a la i mo fs i g n a l a n a l y s i si st os e e ka ne f f e c t i v ea n ds i m p l et r a n s f o r m i n gw a y t op r o t r u d et h ei m p o r t a n t f e a t u r e sb u r i e di ns i g n a l b e f o r et h ea p p e a r a n c eo fw a v e l e tt r a n s f o r m t h ef o u r i e r a n a l y s i sh a sb e e nt h em a i nt o o l f o rd e p i c t i n gf u n c t i o n a ls p a c e s o l v i n gd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sa n dc a r r y i n go u tn u m e r i c a lc a l c u l a t i o n s b yv i r t u eo ft h ef o u r i e rt r a n s f o i t o ， m a n yc o m m o nd i f f e r e n t i a l ，i n t e g r a la n dc o n v o l v i n gc a l c u l a t i o n sc a nb es i m p l i f i e d i n t oa l g e b r ao p e r a t i o n s f r o mi n t u i t i v ep h y s i c a lp o i n t o n ep e r i o d i cv i b r a t i o nc a nb e d e c o m p o s e di n t oas e r i e so fs i m p l eh a r m o n i cv i b r a t i o n s f o u r i e rs e r i e se x p a n s i o ni s i u s tt h em a t h e m a t i c a l d e s c f i p t i o n o ft h i s p h y s i c a lp r o c e s s f o u r i e ra n a l y s i s i s i m p o s s i b l et or e f l e c tt h el o c a lf e a t u r e so ft h es i g n a lb e c a u s et h ec o r r e s p o n d i n gt i m e a n df r e q u e n c yf u n c t i o ni st h ew h o l e d e s c r i p t i o nf o re a c ho t h e nw h i l es u r m o u n t i n gt h e d i m c u l t i e so ft h ef o u r i e rt r a n s f o r i l l t h ew i n d o w e df o u r i e rt r a n s f o i t i i a p p e a r e d o w i n gt o t h el a c k o f “s e l f - a d a p t a t i o n ”，t h e w i n d o w e df o u r i e rt r a n s f o r mi sj u s t s u i t a b l ef o ra n a l y z i n gv a r i o u sp r o c e s sw i t hs i m i l a rs c a l e i th a sn ow a yt od e a lw i t h m u l t i s c a l es i g n a lo ra b r u p t l yc h a n g i n gp r o c e s s i na d d i t i o n ，i ti s v e r yd i f f i c u l t t o r e a l i z et h ea l g o r i t h mw i t hh i g he f ! f i c i e n c yb e c a u s ei t sb a s i sf u n c t i o ni sn o to r t h o g o n a l t oe a c ho t h e r a 1 lt h e s ef a u l t sl i m i tt h es c o p eo ft h ea p p l i c a t i o no ft h ew i n d o w e d f o u r i e rt r a n s f o r i l l o nt h i sb a c k g r o u n d ，w a v e l e ta n a l y s i so c c u r r e d a n y f u n c t i o nw i t hl i m i t e n e r g y m u s t s a t i s f y t h e c o m p a c ts u p p o r t a n d a d m i s s i b i l i t yc o n d i t i o ni no r d e rt ob eu s e da s aw a v e l e tb a s i s t h e r e f o r e ，w a v e l e t t r a n s f o r mp o s s e s s e st h e9 0 0 dl o c a lp r o p e r t yo ft i m ea n df r e q u e n c y w ec a nu s et h e i i i d i s t i n g u i s h i n g c e l l o f p h a s es p a c e t od e s c r i b et h i s p r o p e r t y t h e d o u b l es c a l e e q u a t i o n s a r et h ec o n c r e t er e f l e c t i o no fm u l t i r e s o l u t i o np r i n c i p l e b yu s i n g t h i s e q u a t i o n ，w ec a n c o n s t r u c tt h es c a l ea n dw a v e l e tf u n c t i o na n dr e a l i z et h ef a s tp y r a m i d a l g o r i t h mi nd e c o m p o s i t i o na n d r e c o n s t r u c t i o n w a v e l e tc a nb ea p p l i e dt om a n yf i e l d s i nc h a p t e rt h r e e ，w ef o c u so nd i s c u s s i n g t h ea p p l i c a t i o no fw a v e l e tt r a n s f o r r nt ot h ed e n o i s i n gp r a c t i c eo fr a d i oa s t r o n o m i c a l i m a g e s u p e r n o v as t a n d sf o rt h ee n do fs t e l l a re v o l u t i o n t h es t u d yo fs u p e r n o v a r e m n a n t s ，w h i c hi st h ei m p o r t a n tf i e l d so fa s t r o n o mv ，w i l lu n d o u b t e d l yi n t e n s i f yo u r u n d e r s t a n d i n gf o rt h ew h o l es t e l l a re v o l u t i o n ，t h es y n t h e s i s o fn e we l e m e n t s ，t h e f o r m i n gp r o c e s so f n e u t r o ns t a r sa n db l a c kh o l e s u pt on o w ，i ng a l a t i cp l a n e ，m o r e t h a n2 0 0 s u p e r n o v ar e m n a n t s w a sf o u n d t h i sn u m b e ri sm u c hl e s st h a nt h e t h e o r e t i c a lp r e d i c a t e do n e t h i sd i s c r e p a n c ym o t i v a t e sa s t r o n o m e rs t r o n g l yt oe x p l o r e m o r es u p e m o v ar e m n a n t s i no r d e rt oa v o i dt h ed r a w b a c ko ft h ep o p u l a rt h r e s h o l d d e n o i s i n gm e t h o d ，w ep u t f o r t ht h ew a v e l e ts p e c i f i c f r e q u e n c yb l o c k sd e n o i s i n g m e t h o d t h i sm e t h o dw a sa p p l i e dt or e m o v en o i s ef r o mr a d i om a p s t h eq u a n t i t a t i v e s t a t i s t i c a la n a l y s i ss h o w st h a to u rm e t h o dc a nr a i s et h es i g n a lt on o i s er a t i o nw h i l e l o w e r i n gt h ed y n a m i c a lr a n g e o fn o i s e i nt h es t u d yo ft h el a r g es c a l es t r u c t u r eo ft h eu n i v e r s e ，t h em a s sd e n s i t y d i s t r i b u t i o nc a nb er e g a r d e da sau n i f o i i nr a n d o mf i e l d b e c a u s eo ft h ee x i s t e n c eo f t h ec l u s t e r i n ge f f e c tc a u s e db yt h eg r a v i t a t i o n a li n s t a b i l i t i e s ，t h ed e n s i t yf i e l dw i l l e v o l v ei n t oah i g h l yn o n g a u s s i a nf u n c t i o n i ti sa b s o l u t e l yn e c e s s a r yt ou t i l i z et h e l o c a l p r o p e r t yo fw a v e l e tt r a n s f o r mi n o r d e rt od r a wt h el o c a li n f o r m a t i o no ft h e s t r u c t u r ee v o l u t i o nt od e s c r i b ea c c u r a t e l yt h es t a t i s t i c a la n dd y n a m i c a lf e a t u r e so ft h e l a r g es c a l es t r u c t u r e t h i sw i l lb eh e l p f u lf o ru st oe r a d i c a t et h ed e g e n e r a c y o fv a r i o u s u n i v e r s es t r u c t u r ef o r m a t i o nt h e o r y f u r t h e r m o r e t h eg o o dl o c a lp r o p e r t yo fw a v e l e t t r a n s f o r mw i l la l s ob eb e n e f i c i a lf o rf u t u r ef a s tm a g n a n i m o u sd a t ap r o c e s s i n g f o r t h e s er e a s o n s w ee x t e n d1 - d i m e n s i o n a l p o w e rs p e c t r u me q u a t i o n t oi t s3 一 d i m e n s i o n a l c o u n t e r p a r t u s i n g t h i s e q u a t i o n ，w e h a v ed r a w nt h e c o r r e s p o n d i n g t h e o r e t i c a lp r e d i c a t e dc h i v e s f i n a l l yw ea l s od e r i v e dt h e3 d i m e n s i o n a ls k e w n e s s s p e c t r u mw h i c hm a k e i tp o s s i b l ef o ru st oi n v e s t i g a t et h en o n g a u s s i a ni n f o r m a t i o no f t h ee v o l u t i o no ft h el a r g es c a l es t r u c t u r eo ft h eu n i v e r s ef r o ma n o t h e rr e p r e s e n t a t i o n s p a c e i v 致谢 衷心感谢我的导师向守平、冯珑珑教授三年来在学业上的指导 和教诲以及生活上的关心和爱护。也感谢天体物理中心的张家铝教 授、周又元教授、程福臻教授、卢炬甫教授、张杨教授和中心其他 老师在课堂上和学术报告时的启发与熏陶。 三年来，由褚耀泉教授组织的宇宙学小组活动也使我受益非 浅。我从小组活动中学到了丰富的宇宙学方面的知识。我对此深表 感谢。 在论文工作中，得到了来自同学们的大量热心帮助，我在此谨 向他们表示由衷的谢意。 最后，向北京天文台射电组的张喜镇研究员和其他各位老师和 同学表示诚挚的谢意。在北京进行课题合作研究的三个半月时间里， 是他们向我提供了大量工作和生活上的帮助。 陈普春 2 0 0 0 年4 月 第一章时间一频率分析 1 1 引言 小波分析是当前应用数学中一个迅速发展的新领域，经过十几年的探索研 究，重要的数学形式化体系已经建立与f o u r i e r 变换、窗口f o u r i e r 变换相 比，小波变换是空间( 时间) 和频率的局域变换，因而能有效地从信号中提取信息，通 过伸缩和平移等运算功能，达到对函数或信号进行多尺度细化分析( m u l t i s c a l e a n a l y s i s ) 的目的，从而解决了f o u r i e r 变换所不能解决的许多困难问题因 此，小波变换被誉为“数学显微镜”，它是调和分析发展史上里程碑式的进展，成 为国际上众多学术团体和学科领域共同关注的热点 小波变换在信号分析、语音合成、图像识别、计算机视觉、数据压缩、 c t 成像、地震勘探、大气与海洋波的分析、分形力学、流体湍流以及天体物理方面都 已取得了具有科学意义和应用价值的重要成果原则上，能用f o u r i e r 分析的地 方均可用小波分析，甚至能获得更好的结果 小波分析理论的提出和发现有一个漫长的准备过程，1 9 1 0 年h a a r 提出了 小波规范正交基，这是最早的小波基( y o u n gr ，1 9 8 0 ) 。1 9 3 6 年l i t t l e w o o d 和p a l e y 对f o u r i e r 级数建立了二进制频率分量分组理论：对频率按2 进行划 分，其f o u r i e r 变换的相位变化并不影响函数的大小，这是多尺度分析思想的最 早来源1 9 4 6 年g a b o r 提出的加窗f o u r i e r 变换( 或称短时f o u r i e r 变换) 对弥补f o u r i e r 变换的不足起到了一定的作用，但并没有彻底解决问题后来， c a l d e r o n 、z y g m u n d 、s t e r n 和w e i s s 等人将l p 理论推广到高维， 井建立了奇异积分算予理论1 9 6 5 年，c a l d e r o n 给出了再生公式 1 9 7 4 年，c o i f m a n n 对一维h p 空间和高维日p 空间给出了原子分解1 9 7 5 年， c a l d e r o n 用他早先提出的再生公式给出了抛物型日1 的原子分解，这一公式现 在己成为许多函数分解的出发点，它的离散形式已接近小波展开此后，许多数学 】 家为着各种不同的目的，给出了各类函数空间上的“原子分解”、 “分子分解”、 t 拟正交分解”、“弱正交分解”、“框架分解”等19 7 6 年，p e e t r e 在用l p 方法给出b e s o v 空间统一描述的同时，引入了b e s o v 空间的一组基，其展开系 数的大小刻画了b e s o v 本身1 9 8 1 年，s t r o m b e r g 通过对h a a r 正交基的 改进，引入了s o b o l e v 空间日5 的正交基，这些工作为小波分析奠定了基础 1 9 8 1 年，法国地质物理学家m o r l e t 在分析地质数据时基于群论首先提 出了小波分析( w a v e l e ta n a l y s i s ) 这一概念。m o r l e t 最终提出的是形状不 变的小波( w a v e l e to fc o n s t a n ts h a p e ) 这与加窗f o u r i e r 变换形成了鲜 明的对比，因为在分析函数( 信号) 时，加窗f o u r i e r 变换并不具有形状不变 性( m o r l e tj ，1 9 8 2 ) m o r l e t 方法在数值分析方面所取得的成功，不仅激发 了m o r l e t 本人对小波分析进行了深入研究，而且也大大地鼓舞了法国理论物理 学家g r o s s m a n ，于是他们携手共同研究小波理论1 9 8 5 年，法国大数学家 m e y e r 首次提出被称为m e y e r 基的光滑小波正交基，对小波理论作出了重要贡 献。1 9 8 6 年m e y e r 及其学生l e m a r i e 提出了多尺度分析的思想1 9 8 8 年，年 轻的女数学家d a u b e c h i e s 提出了具有紧支集光滑正交小波基一d a u b e c h i e s 基( d a u b e c h i e si ，1 9 8 8 ) ，为小波应用研究增添了催化剂现在，人们借助于 d a u b e c h i e s 基和m a l l a t 算法可从事广泛的应用研究后来，信号分析专家 m a l l a t 提出了多分辨分析概念。给出了构造正交小波基的一般方法在这之前， 人们构造的小波正交基都带有高度技巧性和不可模仿性多分辨分析概念是小波 理论最基本的概念之一最常用的多分辨分析有两大类：一类是时间有限的多分 辨分析，另一类是样条多分辨分析除h & a r 小波外，正交样条小波是最早构造 出的小波函数多分辨分析原理与人类的视觉和听觉方式十分接近例如，我们站 在月球上看地球，只能看到地球上大概轮廓和地球上突出的建筑物( 如中国的万 里长城等) ，这就是低频边缘的提取；当我们站在地球上看地球时，一草一木清晰 可辩，这就是高频分析m a l l a t 受金字塔算法( b u r tp j ，1 9 8 3 ) 的启发，以 多分辨分析为基础提出了著名的快速小波算法一m a l l a t 算法( f w t ) ( m a l l a t s ，1 9 8 9 a ；m l l a ts ，1 9 8 9 b ) ，其作用和地位相当于f o u r i e r 分析中的f f t 2 m | l a t 算法的提出宣告小波从理论研究走向宽广的应用研究。1 9 8 9 年，m e y e r 出版的小波与算子( m e y e ry ，1 9 9 0 ) 是小波理论这一新兴学科诞生的重要 标志 美国t e x a sa & m 大学数学与电气工程系教授崔景泰( c k c h u i ) 著 的“a ni n t r o d u c t i o nt ow a v e l e t s ”( c h u ic k ，1 9 9 2 a ) 和主编的长达 7 0 0 余页的会议论文集( c h u ic k ，1 9 9 2 b ) 使得小波研究向点深面广方面发 展。d a u b e c h i e s 的“t e nl e c t u r e so nw a v e l e t s ”( d a u b e c h i e si ，1 9 9 2 ) 总结了她的研究成果，并为向世界科技工作者普及小波理论作出了积极贡献。 小波分析是在克服f o u r i e r 变换存在的困难的基础上发展起来的，同f o u r i e r 变换有着紧密联系，为此，我们在随后的两节简要回顾一下f o u r i e r 变换及其加 窗f o u r i e r 变换的相关知识。 1 2f o u r i e r 变换 1 2 1 定义 信号分析的主要目的是寻找一种简单有效的信号变换方法，使信号包含的重 要特征能显示出来在小波变换兴起以前，f o u r i e r 级数展开和f o u r i e r 分析是 刻画函数空间、求解微分方程、进行数值计算的主要方法和有效的数学工具，许多 常见的微分、积分和卷积运算在f o u r i e r 变换下均可简化为一般的代数运算从物 理直观上看，一个周期振动可以看成是具有简单频率的简谐振动的叠加，f o u r i e r 级数展开则是这一物理过程的数学描述，而f o u r i e r 变换如下式所示 f ( u ) = ，( 叫) = ，( t ) e - i 【_ o t d t ，( 1 1 ) ”) = ( ( t ) = 磊1 舢) e i w t d w ( 1 2 ) 一十。 f o u r i e r 变换是域变换，它把时间域和频率域联系起来，在时间域内难以观 察的现象和规律，在频率域内往往能十分清楚地显示出来例如，很容易记录到湍 ( o 1 ( t ) l e 糖1 l 。h h ： o 过： i h ( 6 ) f z ( q 05 f ( d 糖2 ( ) 图1 1 ：信号，l ( t ) 和2 ( t ) 的f o u r i e r 功率谱 流脉动过程的时间曲线，它如同噪声，看不出什么规律，但在频率域上，湍流能谱 s ( k ) 在惯性副区具有一5 3 方律 s ( k ) = e 2 3 k - 5 3 。 ( 1 3 ) 所谓频谱分析本质上就是对f ( w ) 进行加工、分析和滤波等处理。随着计算 技术的迅猛发展，针对短记录数据或有限长度信号，现代谱分析已发展了许多高 效高分辨率的算法和解决实际信号处理的行之有效的方法，这些方法是频域的分 析方法。 然而，时变频率信号在音乐、地震信号、雷达回波、非平稳地球及天体物理 过程中是很常见的，这时人们希望知道信号在突变时刻所对应的频率成份。显然， 4 f o u r i e r 变换的积分作用平滑了非平稳过程的突变成份，作为积分核的e “的 幅值在任何情况下均为l ，即| e 蜘l = 1 。因此，频谱f ( w ) 的任一频点值是 由时间过程f ( t ) 在髂个时间域( 一。，+ o 。) 上的贡献决定的；反之，过程f ( t ) 在某一时刻的状态也是由频谱f ( w ) 在整个频率域( 一。，+ 。) 上的贡献来决 定的一个著名的例子就是p a m d i r a c 引入的5 ( t ) 函数，时间上的点脉冲具 有在频率域上正负无限伸展的均匀频谱，f ( t ) 与f ( w ) 彼此是整体刻画，不能反 映各自在局部区域上的特征，因此不能用于局部分析 图1 1 是上述结果的一个很好的说明图1 1 ( a ) 的信号f l ( t ) 由两种不 同频率分量s i n ( 1 0 t ) 和s i n ( 2 0 t ) 叠加而成；图1 1 ( b ) 的信号f 2 ( t ) 仍由这两 种频率分量组成，但它们分别各占信号持续过程的前一半与后一半；图1 1 ( c ) 和 图1 1 ( d ) 分别给出这两种信号的频谱l ) l ( 或if l ) 1 ) 和l ，2 ) ( 或 l 局( u ) 1 ) ，显然不同的时间过程却对应着相同的频谱，说明f o u r i e r 分析不能 将这两个信号的频谱区别开来 1 2 2f o u r i e r 变换的基本性质 从方程式( 1 1 ) 中，可明显看出f o u r i e r 变换是线性运算两个函数之 和的变换应等于函数变换之和一个常数乘以一个函数之积的变换，应等于同 常数乘以函数变换的积在时域中，函数f ( t ) 可能具有一个或多个特殊对称性， 它可能是纯实函数或者纯虚函数，也可能是偶函数l ( t ) = ，( 一) ，或者奇函数 f ( - t ) = 一l ( t ) 在频域中，这些对称性导出了f ) 和f ( 一u ) 之间的关 系下表列出了在时域和频域中对称性的对应关系： 假如则 r ( t ) 是实函数 f ( t ) 是虚函数 r ( t ) 是偶函数 f ( t ) 是奇函数 r ( t ) 是实偶函数 5 f ( - w ) = f ( u ) + f ( - w ) = 一f ( u ) + f ( - w ) = f ) f ( - w ) = 一f ) f ) 是实偶函数 f ( t ) 是实奇函数 f ( u ) 是虚奇函数 “t ) 是虚偶函数f ( u ) 是虚偶函数 f ( t ) 是虚奇函数f ) 是实奇函数 住实际的计算中，我们将利用这些对称性来提高计算效率。 下面还有f o u r i e r 变换的一些其它的基本性质。 ( 我们用符号“仁兮 表示一个变换对) 如果 f ( t ) = 净f ) 是一对变换对，则其它变换对为 f ( a t ) 一：f ( 詈) 托) 铮f ( 6 u ) ，( t t o ) 错f ( w ) e 也幻 f ( t ) e 岫。仁专f ( u w o ) “时间标度交换” “频率标度变换” “时间平移” “频率平移” ( 1 4 ) ( 1 5 ) ( 1 6 ) ( 1 7 ) 利用两个函数h ( t ) 、g ( t ) 和它们相应的f o u r i e r 变换日( u ) 、g ( u ) ，我4 r j 可以组成两种情况别有意义的组合这两个函数的卷积记作g 十h ，其定义为： 9 + h 三e 9 ( r 帅一丁) d 丁 ( 1 8 ) 注意，g $ h 是一个时域函数，而且g h = h g 由此导出函数g 十h 是以 下简单变换对中的一员 g + h # 号a ( w ) h ( w ) “卷积定理”，( 1 9 ) 换言之，卷积的f o u r i e r 变换恰好等于f o u r i e r 变换的乘积 这两个函数的相关函数，若记作c o r r ( g ， ) ，其定义为 c d r r ( 9 ， ) 三e 夕( 7 - + t ) ( 丁) d 丁 ( 1 1 0 ) 该相关函数是时间t 的函数，称t 为滞后时间所以，它依赖于时域，而且可以 证明它是以下变换对中的一员 c o r r ( g ，h ) = 净g ) 日( 一“j ) “相关定理” 6 若g 与h 都为实函数，即日( 一u ) = h 8 ( u ) 相关定理表明，一个实函数的 f o u r i e r 变换乘以另一个实函数的f o u r i e r 变换的复共轭就得到它们的相关函数 的f o u r i e r 变换一个实函数与其自身的相关称为它的自相关在这种情况下， 相关定理给出了以下变换对： c o r r ( g ，g ) 乍号lc ( c a ) 1 2“w i e n e r k h i n c h i n 定理”。( 1 1 2 ) 1 3 1 定义 1 3 窗口f o u r i e r 变换 为了克服f o u r i e r 变换不能同时进行时间一频率局域性分析的困难，出现 r 窗v af o u r i e r 变换。在f o u r i e r 变换的框架中，把非平稳过程看成是一系列短 时平稳信号的叠加，而短时性则是通过在时间域上加窗来实现的。通过一个参数 丁的平移来覆盖整个时间域，也就是说，通过采用一个窗函数g ( t 一7 ) 对信号 f ( t ) 的乘积运算，实现在7 - 附近的开窗和平移，然后，再进行f o u r i e r 变换，就 实现了加窗f o u r i e r 变换( w i n d o w e df o u r i e rt r a n s f o r m a t i o n ；也称短时 f o u r i e r 变换，s t f t ) 变换系数由下式给出 c f ( c a ，丁) = 。厂，( t ) 9 ( 一7 - ) e - i w t d t = r 巾) 弘，( t ) d t ( 1 1 3 ) 式中g a , t ( ) = g ( t r ) e 一此是积分核，g w , r ( t ) 表示g w , r ( t ) 的复共轭该 变换在7 点附近局部地测量了频率为u 7 的正弦分量( e i ) 的幅度，通常选用 能量集中在低频处的实偶函数作窗口函数g ( t ) 。 窗口f o u r i e r 变换是能量守恒变换，即 上i ，( t ) 1 2d t = 去上i o f ( c a t ，t ) 1 2 山，d 丁，( 1 _ 1 4 ) 换句话说，定义域为实数集合r 的平方可积函数l 2 ( 冗) 到l 2 ( r 2 ) 的变换是等 距变换。若ri ，( ) 1 2d t ：1 ( 以下均作该归一化假定) ，式( 1 1 3 ) 是可 一。o 逆的，反演变换或相应的重构公式如下 坤) ：磊1 ”g f ( it 肛丁r 姗。 ( 1 1 5 ) f o u r i e r 变换在时域与频域中能量保持守恒，也就是说能量在变换中是不变 量，这一物理原理的数学表示便是p a r s e v a l 公式，即 邢) 嘶( t ) d t = 磊1 m ) n ( w ) d w ，( 1 1 6 ) 式中虱_ ( z ) 和沪，) 分别为9 。i , t ( t ) 和钆i , t ) 的复共轭函数，而孔，( u ) 是钆，(