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双旋量中文摘要 双旋量 中文摘要 旋量在物理中被广泛使用，它比张量更基本而被广泛接受，旋量理论的基础是群 旋量及其表示在基本粒子理论中有着广泛的应用旋量与微分式的关系，数学家早就 有认识微分式是正交群下协变的张量场，它是经典物理中有效的工具。旋量在旋群下 协变。它是量子力学中有效的工具用旋量来表示微分式相当于经典数学的量子化。 因此搞清楚它们的关系是重要的1 9 9 4 年。s e i b e r g - w i t t e n 提出磁单极方程； j d j 妒= 0 ，j ( 毋，易) = 一去( 妒，e i e j 妒) ，i j ， 其中妒是旋量，霸是二次微分式这些方程是非线性的，研究方程的解的模空间得 到s e i b e r g - w i t t e n 不变量，它与d o n a l d s o n 不变量是一致的，但s e i b e r g - w i t t e n 不变 量容易计算而后一方程是自对偶的二次微分式，如果把它写成双旋量的形式，相信 对我们研究该方程会有帮助 首先。由增广单旋量，我们给出双旋量的定义，然后给出一系列空间的同构，由 同构，空间so 雪，h o r n ( s ) ，q 。( 一1 ) 固c 这些空间都可看作双旋量空间8 。且满足下 列交换图表 s o 君 _ a c ( q l ，) o a c ( q l q 。) _ a c ( w l ，“) 上j ，上 h o m c ( s ) - - - + h o m c ( a c ( f 2 , ，q 。) )_q 。( - i ) oc 为了保证上述图表的交换性，我们重新构造了量子化映射 a c ( u 1 ，) - + 岛。( - 1 ) o q 便于理解复结构与实结构的关系然后给出双旋量空间的增广结构，说明在同构意义 下。双旋量空间是惟一的这些双旋量空间的同构，在群作用下保持协变而且，群 s 研n c ( 2 礼) ，v ( 竹) ，s o ( 2 n ) 满足下列关系 勋i n c ( 2 n ) 叶q 。( 一1 ) 圆g i 双旋量 中文摘要 u ( n ) qh o m c ( h c ( f t l ，q 。) ) ， s o ( 2 n ) qh o m c ( a cw l ，w 2 。) ) ， 所以我们可以将群嵌入到双旋量空间中，且满足下列交换图表 u ( n ) 与 8 马h o m ( 动 上妒 0 黝n c ( 2 n ) 马 召 与h o m ( b ) 上n上妒 s o ( 2 n ) 与h o m ( b ) 与h o m ( h o m ( b ) ) 而且，单旋量可以惟一的嵌入到双旋量中 其次，s e i b e r g - w i t t e n 方程包含两部分，u ( 1 ) 联络和旋量场因此它们的研究 依赖于四维流形的旋量的研究确切的说，与其相关的概念是s p i n c 结构我们定义向 量丛上的t 川n ，s p i n c 结构，继而有对应主丛上的# 研n ，9 埘n 。联络，由s p i n 。联络我们构 造双旋量丛上的d i r a e 算子，计算其w e i t z e n b s c k 公式构造算子a + a 书，否+ 矿，这 两个算子在u ( n ) ，s p i n c ( 2 n ) 群作用下都保持协变且在k s h l e r 条件下，算子否+ 矿 就是r i e m a n n - r o c h 算子 最后，s e i b e r g - w i t t e n 方程后一方程 ： 对= 砑( 蜀，马) 咄屿= 一；( 妒，e i 勺妒) u t 岣， i j。i j 这是一自对偶的二次微分式我们定义一映射 4 s w ( u ) = ( e 局t ，t ) “j i 屿：1 1 ( + o l ) a 辜l ，蛳) j 由第一章的双旋量同构 s o 亏一a c ( f h ，q 2 ) oa c ( 硪，殇) - - - 4a c ( c # l ，忱，吣，挑) ， 设垂为双旋量的同构，则有。 s w ( u ) = 西 厅【( e l 园而一e 2 e t ) + ( e 3 圆函一e 4 园e 3 ) 一( e r e 2 + e a e 4 ) 园i 一1 圆( i l 而+ 而函) 】( t 圆面) ) i i 双旋量 中文摘要 则方程砑= s w ( u ) 有解。其中s w ( u ) 、孔辜0 - ，龇) 显然，若u 是方程 的解，则e a l l 也是方程的解而在不同的基下，微分式变化对应的是一旋变化所以 方程在一点处可解。解不惟一 关键词。增广旋量，双旋量、k l e i n 群作用、s # n c ( 2 n ) 流形，s e i b e r g - w i t t e n 方程 i i i 作者：朱琳 指导老师：虞言林 b i s p i n o rs p a c e b i s p i n o rs p a c e a b s t r a c t s p i n o r sa r eu s e de x t e n s i v e l yi np h y s i c s ；i ti sw i d e l ya c c e p t e dt h a tt h e ya r em o r e f o u n d a m e n t a lt h a nt e n s o r s t h ef o u n d a t i o n so ft h ec o n c e p to fs p i n o r sa r eg r o u p s ； s p i n o r sa p p e a ra sr e p r e s e n t a t i o n so fg r o u p s a si sw e l lk n o w n ，b o t ht h es p i n o r sa n dt h e r e p r e s e n t a t i o n sa r ew i d e l yu s e di nt h et h e o r yo fe l e m e n t a r yp a r t i c l e s m a t h e m a t i c a n s h a v er e a l i z e dt h er e l a t i o n sb e t w e e ns p i n o r sa n dd i f f e r e n t i a lf o r m s d i f f e r e n t i a lf o r m si sa t e n s o rf i e l dc o v a r i a n ta tt h ea c t i o no f s o ( 2 n ) ，w h i c hi sak i n do f t o o li nc l a s s c i a l p h y s i c s s p i n o r si sc o v a r i a n ta tt h ea c t i o no f 跗ng r o u p ，w h i c hi sr e g a r d e da sa ne f f e c t i v et o o l i nq u a n t u mm e c h a n i c s t h er e l a t i o n sb e t w e e ns p i n o r sa n dd i f f e r e n t i a lf o r m sc a nb e r e g a r d e da se q u a lt ot h eq u a n t i z a t i o n so fc l a s s i c a lm a t h e m a t i c s c o n s e q u e n t l y , i ti s n e c e s s a r yt or e p r e s e n tt h e i rr e l a t i o n s i n1 9 9 4 ，s e i b e r ga n dw i t t e nd i s c o v e r e dt h e i r m o n o p o l ee q u a t i o n s ： j d = 妒= 0 ，砑( 最，蜀) = 一言( 妒，岛e j 妒) ，i 五 w h e r e 妒i sas p i n o r ，霸i sa d i f f e r e n t i a l2 - f o r m t h e s ee q u a t i o n sa r en o n l i n e a r w h e n m a t h e m a t i c a u sh a v er e s e a r c ho nt h e s ee q u a t i o n s ，t h e yg e ts o m es e i b e r g - w i t t e ni n v a r i - a n t s ，w h i c ha r ee q u i v a l e n tt od o n a l d s o ni n v a r i a n t s b u ts e i b e r g - w i t t e ni n v a r i a n t sa r e m o r ee a s yt oc o m p u t et h a nd o n a l d s o ni n v a r i a n t s t h el a t t e re q u a t i o ni sas e l f - d u a l d i f f e r e n t i a l2 - f o r m s w et h i n kt h a ti fw er e p r e s e n tt h ee q u a t i o nb yb i s p i n o r s ，i ti s p o s s i b l et og e ts o m es u r p r i s er e s u l t s f i r s t l y , b a s e do nt h ec o n c e p to fa u g m e n t e ds p i n o rs p a c e ，w eh a v et h ed e f i n i t i o n o fb i s p i n o rs p a c e w ec a ni d e n t i f ys o m es p a c e s t h u s 。w ec a ns e et h es p a c e ss0 s ，h o m ( s ) ，( 一1 ) ea sb i s p i n o rs p a c e s a n dt h e ys a t i s f yt h ef o l l o w i n gc o m m u t a t i v e d i a g r a m s 圆雪 _ a c ( n , ，q 。) o a c ( q l q 。) _ a c ( u l ，u 2 ，i ) 上 上上 h o m c ( s ) _ h o m c ( a c ( f 2 , ，) ) _c 2 n ( - i ) oc i no r d e rt og u a r a n t e et h ec o m m u t a t i v i t yo ft h ea b o v ed i a g r a m ，w ec o a s t r u e ta n e w m a p a c ( u l ，u 2 ，i ) + c 2 ，i ( - i ) o c i v b i s p i n o rs p a c e a b s t r a c t t h e nw ec o n s t r u c tt h ea u g m e n t e ds t r u c t u r eo nb i s p i n o rs p a c e ，w h i c hk e e p st h a tt h e i s o m o r p h i cb i s p i n o rs p a c ei so n l yo n e t h ei s o m o r p h i s m sa r ei n v a r i a n ta tt h ea c t i o no f t h eg r o u p ss p i n c ( 2 n ) ，c ，( n ) ，s d ( 2 n ) t h et h r e eg r o u p sa l s os a t i s f yt h a t s p i n c ( 2 n ) q ( 一1 ) 圆a v ( n ) qh o m e ( a t ( q l ，一，) ) ， s o ( 2 n ) 叶h o r n y ( a t o l ，) ) c o n s e q u e n t l y , w ec a r le m b e dt h eg r o u p si nb i s p i n o rs p a c e f u r t h e r m o r e ，t h e r ee x i s t s t h ef o l l o w i n gd i a g r a m u ( n ) 上 8 与h o m ( b ) 上妒 。 s p i n c ( 2 n ) 与 8 与h o m ( b ) 1 p l上妒 | s d ( 2 与h o m ( 功马h o r n ( h o r n ( b ) ) a n da l la u g m e n t e ds p i n o rs p a c ec a l lb ee m b e d d e di nab i s p i n o rs p a c e s e c o n d l y , t h es e i b e r g - w i t t e ne q u a t i o n si n v o l v et w oe n t i t i e s ，au ( 1 ) c o n n e c t i o n a n da s p i n o rf i e l d t h u sa m a i np r e r e q u i s i t ef o rt h e i rs t u d yi sa k n o w l e d g eo fs p i n o r s o n , t - m a n i f o l d s m o r ep r e c i s e l y , t h em o s tr e l e v a n tn o t i o ni st h a to fa p 川n 。s t r u c t u r e w eh a v et h ed e f i n i t i o no fs # na n d 卿矿s t r u c t u r eo nv e c t o rb u n d l e t h u sw ec a n d e f i n et h e 唧以na n ds p i n 。c o n n e c t i o no nc o r r e s p o n d i n gp r i n c i p l eb u n d l e t h e nw e d e f i n ed i r a co p e r a t o r so nb i s p i n o rb u n d l e ，a n dc o m p u t ew e i t z e n b s c kf o r m u l a a n dw e ，。_ 。一，、 c a ng e to p e r a t o r s 0 + a 孝，否+ 矿，w h i c hi si n v a r i a n ta tt h ea c t i o no fu ( n ) ，s p i n e ( 2 n ) f u r t h e r m o r e ，i nk i i h l e rc a s e ，t h eo p e r a t o r 万+ 矿i sa r i e m a n n - r o c ho p e r a t o r f i n a l l y , t h el a t t e r $ e i b e r g - w i t t e ne q u a t i o n 砑= 砑( 最，局) 帖畸= 一；( 识岛勺- 妒) 岫屿， t j 4i j w h i c hi sas e l f - d u a ld i f f e r e n t i a l2 - f o r m w ed i f i n eam a p 4 s w ( u ) = ( e 。勺牡，牡) 咄：r ( + o l ) _ + a ；l ，咄) j l e t 西b et h ei s o m o r p h i s mo fb i s p i n o rs p a c e s o 雪 a c ( a l ，q 2 ) o a c ( 面，- 2 ) + a e p l ，d 2 ，c ，3 ，龇) ， v b i s p i n o rs p a c e a b s t r a c t s w ( u ) = 圣 仃【( e l 园如一e 2 园f 1 ) + ( e s e 4 一e 4 百s ) 一e l e 2 + e s e 4 ) i 一1 园( e l 如+ 毛自) 】( 口。豇) a n dt h ee q u a t i o n 砑= s w ( u ) h a ss o l u t i o n s ，w h e r es w ( u ) 乒瓢盏l i 一，咄) i f i sas o l u t i o n t h e ne l ui sa l s oas o l u t i o n c o m p o n e n t so fad i f f e r e n t i a lf o r m a r es o ( 2 n ) c o v a r i a n t ，a n dc o m p o n t e n t so fas p i n o ra r es i 晡n c ( 2 n ) - c o v a n a n t c o n s e - q u e n t l y ，a tap o i n t t h e r ee x i s t sa s o l u t i o no ft h ee q u a t i o n ，a n dt h es o l u t i o ni sn o to n l y o n e k e y w o r d s ：a u g m e n t e ds p i n o r ，b i s p i n o r ，k l e i ng r o u p ，s p n c ( 2 n ) m a n i f o l d ，s e i b e r g - w i t t e ne q u a t i o n v i w r i t t e nb y ：z h ul i n s u p e r v i s e db y ：p r o f y uy a n l i n y9 5 7 3 五7 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行 研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其他 个人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学或其它 教育机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作出重要贡献的个人 和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承担本声明的法律责任。 研究生签名：主盐日期：! ：竺! j 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文合 作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的复印 件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子 文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许 论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的 公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名：塑日期：竺! ：兰：生 导师签名：屡盏日期：z 塑乏丝丝 双旋量引言 引言 1 9 8 2 年后，四维流形拓扑的研究以y a n g - m i l l s 瞬子方程的形式广泛采用规范理 论这种应用微分几何与微分方程的方式带来了意料之外的益处几年后，这种方法 为人们熟悉，数学家们利用该方法建立了一系列处理四维流形的理论，尤其是1 9 8 3 年，d o n a l d s o n 在文献【1 8 】中作出了长足进步，他采用四维流形上的s u ( 2 ) 丛的反 自对偶联络，应用y a n g - m i l l s 方程，来阐述拓扑分类与光滑四维流形之间的关系， 得到d o n a l d s o n 定理z 紧致连通的四维光滑流形表示的惟一负定幺模的相交形式为 q = 一i ，进步利用y a n g - m i l l s 方程证明四维欧几里得空间r 4 有无数微分结构与 标准结构不同这给出了一个从数学物理，微分方程到拓扑的一个引人注目的研究方 向d o n a l d s o n 在研究四维流形上s u ( 2 ) 规范场的瞬子解模空间时，提出了著名的 d o n a l d s o n 多项式不变量，它是微分同胚不变量，但不是同胚不变量因而可以区分 同一拓扑流形上互不微分同胚的微分流形然而，由于计算上的困难，极大的限制了 它的实用性1 9 9 4 年，s e i b e r g - w i t t e n 提出了一种新的思路，给出了下列方程f “j ， 啦妒= 0 ，f 芽( 最，e j ) = 一三( 妒，e e j 妒) ，i j 、 - 这些方程是非线性的，据说研究方程的解的模空间得到s e i b e r g - w i t t e n 不变量，它 与d o n a l d s o n 不变量是一致的。并且s e i b e r g - w i t t e n 不变量容易计算在s e i b e r g ， w i t t e n 提出磁单极方程后，k r o n h e i m e r m r o w k a ，t a u b e s 以及其他一些数学家 意识到这些新的不变量，简化了d o n a l d s o n 定理的证明，也产生了黎曼几何四维流形 与辛拓扑之间的相关性例如：k r o n h e i m e r 和m r o w k a 最后解决了t h o r n 猜想，而 t a u b e s 证明了四维辛流形有非平凡的不变量，从而去解决与辛结构存在相关的猜想 其中，t a u b e s 定理给出了在辛条件下，s e i b e r g - w i t t e n 不变量与g r o m o v 不变量之间 的关系这就可以将k s h l e r 几何的一些结果推广到四维辛流形上有一些关于k s h l e r 曲面的新的结果，比如有正数量曲率度量的极小k s h l e r 曲面是正则的，且对一般类型 的极小曲面，典型类可以标识微分不变量w i t t e n 猜想新的不变量将会是在四维流 形的情形下与d o n a l d s o n 不变量等价的不变量 s e i b e r g - w i t t e n 方程是黎曼流形上的u ( 1 ) 规范场的理论，又是寻求空间拓扑不变 量的学问我们在前人的基础上试图更改方程的表述法，而后沿通常的途径进行研究 新的出发点在于t 把微分式解释成双旋量，这会带来新的演算方法微分式是正交群下 双旋量引言 协变的张量场，它是经典物理中有效的工具，旋量在旋群下协变。它是量子力学中有效 的工具于是用双旋量表示微分式相当于经典数学的量子化，因此搞清楚它们的关系 是重要的我们希望把二者之间的关系具体表述清楚，用双旋量的语言来写s e i b e r g - w i t t e n 方程。再讨论s e i b e r g - w i t t e n 方程解的模空间，根据d o n a l d s o n s e i b e r g w i t t e n 等的想法。研究这个模空间的拓扑不变量 旋萤在物理中广泛使用，它比张量更基本而被广泛接受在广义相对论中通过旋 量可以得到一些使用张量法不能得到的结果旋量理论的基础是群，旋量及其表示在 基本粒子理论中有着广泛的应用1 9 9 8 年，虞言林【驺】提出了增广旋量空间的概念， 给出了双旋量空间与a b ( w 1 , 忱，0 ) 3 ，咄) 的一个同构冯惠涛部分的推广了增广结构 我们进一步改进了文献中的概念，并把增广结构推广到高维同时，s e i b e r g - w i t t e n 方程中，砑是旋量丛中虚幻部分工上曲率的自对偶部分，曲率本身是实在的，则我 们考虑是否能找到旋量o ，使得 f i = 固口 本文在对单旋量及单旋量增广结构认识的前提下，我出双旋量与g r a s s m a n n 代数 的同构，该同构给出了群s 研扩( 2 n ) 的表示空间之间的自然关系同时得到双旋量空 间之问的同构，这样，微分式就能用双旋量来解释同时，将群s p i n c ( 2 n ) 、u ( n ) s d ( 2 n ) 都可以双旋量空间的观点来看这样，对认识这些群作用，提供了个新的背 景接着，我们讨论向量丛上的芦讲# 砸n 。结构，讨论双旋量丛上的d i r a c 算子满足 的关系最后，从双旋量的角度讨论s e i b e r g - w i t t e n 方程具体安排如下t 第一章，第一二节作为预备知识先介绍单旋量空间及其标准模型空间的一些概 念，还有超代数的一些概念在此基础上，引入双旋量的概念，同时由于双旋量空间 也是一增广旋量空间，我们介绍上面的增广结构，保证双旋量空间的惟性并且给 出双旋量空间之间的一些交换图表。为了保证图表交换性，给出了与传统的量子化映 射不同的一个映射a 5 p l ，忱。) - ( 一1 ) oc ，便于理解复结构与实结构的关 系，讨论k l e i n 群在双旋量空间上的作用最后，阐明单旋量空间与双旋量空间的关 系 第二章。s e i b e r g - w i t t e n 方程包含两部分tu ( 1 ) 联络和旋量场因此它们的研究 依赖于四维流形的旋量的研究确切的说，与其相关的概念是硇铲结构我们定义向 量丛上的哪觅n ，s p i n 。结构，继而有对应主丛上的s p i n ，s p i n c 联络，由卿联络我们构 2 双旋量引言 造双旋量丛上的d i r a c 算予，以及讨论d i r a c 算子的一些性质，计算w e i t z e n b s c k 公 式构造算子a + 扩力+ 矿。这两个算子在厂 ) ，3 p i n c ( 2 n ) 群作用下都保持协变 且在k i h l e r 条件下。算子万+ 矿就是l 珏e m a n n - p , o c h 算子 第三章，给出s e i b e r g - w i t t e n 方程新的理解方式，考虑方程中有自对偶曲率的部 分，把它写成双旋量的形式首先给出通常定义的s e i b e r g - w i t t e n 映射s w ， 4 s w ( u ) = ( e e j u ，妨岫哟 这是一个二次微分式利用第一章中讨论的双旋量同构，将二次微分式改写成双旋量 的形式。 s w ( u ) = ；圣 j 【( e l 园而一e 2 园6 1 ) + ( e 3 4 e 4 一e 4 园e 3 ) 一( e l e 2 + e 3 e 4 ) 圆i 一1 园( 目l 勃+ 自自) 1 ( u 圆面) ) 显然。若t 是方程的解。则矿9 t 也是方程的解而在不同的基下，微分式变化对应的 是一旋变化所以方程在一点处可解，解不惟一 由于映射s w 满足s w ( k u ) = 肺彤( u ) 利用一个j a c k 映射，可以把s w 对应 个复空间的个复二次型映射我们即将的工作是消去特殊的j a c k 映射的选取，把 这个复二次型映射写成某些丛截面的等式 3 双旋量 第一章双旋量 第一章双旋量 旋量在物理中广泛使用，它比张量更基本旋量概念的基础是群。旋量是群的表 示旋量及其表示在基本粒子理论中有着广泛的应用物理学中。通常理解的旋量就 是上面有s p i n 群作用的复向量空闻我们在旋量空间加入了内积j a c k 映射，j a c k 定向元等增广结构，来保证不同的旋量空间存在惟一同构这一章中，我们介绍双旋 量的概念，引入双旋量与g r a s s m a n n 代数的同构，这样，我们可以用双旋量来解释微 分式 第一节单旋量 我们先回忆一下单旋量的一些重要概念 定义1 1 1 刚c l i f f o r d 代数q 。( 一1 ) 为r 上具有幺元1 的结合代数。它由元 素e l ，e 2 ，e 2 ，i 生成，且生成元满足关系 e i e i + 白岛= 一2 岛i ，j = 1 ，2 ，2 n 作为实向量空间。q 。( - 1 ) 具有由单项式 e l e l ，i l i 2 i k 所组成的一组基，其中0 k s2 n ；我们定义对应于k = 0 的单项式为1 由此可知， q 。( - 1 ) 的维数d i m c 2 n ( - 1 ) = 2 鼽c l i f f o r d 代数的复化我们记为c k ( 一1 ) oe 令兄细= s p a n a e l ，e 2 ，e 2 。) 以及( ，) 是使得e l ，e 2 ，e 2 ，l 为胪的一组幺 正基的实内积。我们定义单位球s 轨，自旋群s p i n ( 2 n ) 、自旋群的复化群如下t s 2 ”1 = “j 铲”l 扣，= 1 ) ， $ p i n ( 2 n ) = u l u 2 k 1 s 孙一1 ，k 之o c 仍。( - i ) c ( ( 一1 ) 圆c ， s p i n c ( 2 n ) = e 订让l t 2 七iu i s 帆一1 ，k 20 ，e 讲u ( 1 ) ) c l ：k ( 一1 ) o c 且群s p i n ( 2 n ) ，s p i n c ( 2 n ) 满足下列正合序列 0 - 历- - + s p i n c 2 n ) + s o ( 2 n ) - 0 4 双旋量 第一章双旋量 0 - + 历_ s # n c ( 2 n ) _ ( 2 呐u ( 1 ) _ + 0 定义1 1 2 侧设s 为一个复向量空同，如果s 上有c 2 。( - 1 ) oc 不可约作用， 以及有h e r m i t i a n 内积，。且满足对任意让， s ，有 e l 牡，e = 缸，可i = 1 ，2 n ， 我们称这样的s 为旋量空间，s 中的任意元素称为旋量 定义1 1 3 5 3 s 为旋量空间，我们称反复线性映射t ，：s s 为j a c k 映射。 如果它满足； ( 1 ) 对任意t ，钉s ，有尻，知= 葱瓦矿， ( 2 ) e i0 j = j 0e i ：s _ + si = 1 ，2 n 定义1 1 4 5 6 ) 设s 是具有j a c k 映射的旋量空间，s 中的元素e s 称为j a c k 定向元，如果它满足 仃w = e 2 i _ l e ，i = 1 ，2 n ，h = 1 ，j e = c 耻e l e 3 , e 2 , _ l 州孙，淼釜 定义1 1 5 嘲具有j a c k 映射和j a c k 定向元的旋量空间。我们称为增广旋量空 间，记为芎 在旋量空间中，我们有如下重要的定理 定理1 1 6 删两个定向的增广旋量空间赢和岛，存在惟一的同构t ：赢 赢，满足。 ( i ) t 岛= b lt = i ，2 n ， ( i i ) 对任意p ，l ，赢，有t 缸) ，t ( p ) 2 = p ，p l ， ( i i i ) j 2 。t ：t o , 1 1 ：式- 霹， ( i v ) t ( e t ) = e 2 ， 其中，、五和e t 分别为夏， = 1 ，2 中的h e r m i t i a n 内积，j a c k 映射，j a c k 定 向元 双旋量 第一章双旋量 下面我们仍记增广旋量空间苔为s 例a c ( n ) 为复数域c 上的g r a s s m a n n 代数，由 q l ，q 2 ，1 ) 生成，即它 是一结合代数，生成元 q l ，q 2 ，q 。，1 ) 满足 q 。q ，+ 鸡q = 0 幻f = 1 ，2 ，n 令 e ，“：a o ( q 1 ，) _ + c ( n l ，) 分别为外乘和内乘，即 ( 皿l a q “) = q i a q i a q ， “( q 缸a a q “) = e ( 一1 ) 。一1 如i g 。a a q “a a q ” # = l 令 也i l = q 一“，舰 = 一 = 虱e + “) ，t = 1 ，2 ，n ( 1 1 ) 容易证明：对于任意i ，j = i ，2 ，2 n ，有m 心4 - 心胁= - 2 如。且映射 a ：h o m c ( a c ( n ) ) _ + c k ( 一1 ) o c ：胁一e i ( 1 2 ) 是一代数同构因此，按上述定义的c l i f f o r d 代数c 2 ) 。( - i ) oc 作用下，g r a s s m a n n 代数a c ( n ) 是旋量空间如果我们在该空间上再定义h e r m i t i a n 内积、j a c k 映射、 j a c k 定向元等结构如下，令 ，为标准内积， p 2 | 一l = b h ，他= 一仃( c 。+ 。) ， 耻# t # a # 2 n - t 焉釜 t ，= p 厶】可：a c ( n ) 一a t ( n ) ， e = 1 a c ( n ) 。 其中陈1 7 表示一反复线性映射，它在空间a a ( n ) 上就是映射j 厶所以，有如上结 构的g r a s s m a n n 代数a c ( n ) 就是一个增广旋量空间 注；对于增广旋量空间s 与a c ( n ) ，由定理1 1 6 ，存在惟一的同构l ：a c ( n ) s 满足条件( i ) 一( i v ) 6 双旋量 第一章双旋量 第二节超代数 数学家用物理学中的超对称的想法来理解a t i y a h - s i n g e r 指标理论，有的数学家 认为，超对称的观念引入到数学中，就相当于在某种空间( 某向量空间，或某个代数) 中引进忍分次结构，称之为超结构为了下一节引入双旋量的概念，我们本节简单介 绍一下这种超结构 定义1 2 1 刚设y 为一个向量空间，它的一个超结构就是向量空间的一个直 和分解， y = k + k ， 其中k 中的元素分别称为偶元素和奇元素带有一个确定超结构的向量空间称 作超向量空间 设y 是一个超向量空间，我们定义一个线性映射e ：v v ，使得 f 1 = 1 ：碥- + k ，e l h = - 1 ：k - + h 易见2 = 1 反过来，若有一线性映射e ：v - + v 满足2 = 1 ，则我们可以定义y 的个超结构使得 k = z y l e z = z ) ， k = z y i z = 一z ) 由此可见，y 的一个超结构其实就是个满足p = 1 的线性变换e ：v _ v 定义1 2 2 1 5 5 1 设y ，驴为两个个向量空间，则在它们的张量积空间v0u 上 有一个自然的诱导超结构，满足 ( v o v ) o = o 砺+ k o 以， ( y o 矿) l = v o 固巩+ 我们把带有这种超结构的y 0u 称为y 与矿的超张量积，并仍记为y o 矿 以上是关于向量( 或张量) 空间的超结构观念，下面我们介绍关于代数的超结构 7 双旋量 第一章双旋量 定义1 2 3 删设“是一个代数。它的个超结构定义为：当把代数“看作是向 量空间时，上面有一个超结构 “= 砺+ 矾， 并且与代数中的乘法满足下列关系， “c 强+ j ，j 易 带有这种超结构的代数叫作超代数 设有两个超代数y ，“。作为超向量空间，由定义1 2 2 ，v 0 “为超向量空 间，我们引入乘法使之成为超代数在空问y0l t 中我们定义两种乘法，分别记为 与a 。定义如下- 对于任意的口l b t y ，o , 2 6 2 “，令 ( 0 , 1 0 n 2 ) ( 6 l ob 2 ) = ( a x b l o0 2 6 2 ) ， ( 口lo 眈) ( b 1o6 2 ) = ( 1 ) 1 “i i b l ( 口1 6 lon 2 6 2 ) ， 其中第二式只对0 2 、6 1 是奇元素或偶元素的情形来定义的 1 0 2 i = o ：舅罢霎柔： 容易验证带有乘法或 的1 ，0 “是超代数值得注意的是t 乘法。 。依赖于l ， “的超结构，而乘法。则不然 定义1 2 4 即1 设y ，甜为两个超代数，在超向量空间y o “中引入上述乘法 。，得到的超代数，记为y o “ 定义1 2 5 呻】设y ，“为两个超代数，在超向量空间y o 翻中引入上述乘法 。a 。，得到的超代数。记为1 ，园吖 命题1 2 6 嘲设y ，u 为两个超向量空间，则有下列两个超代数同构： ：h o m ( v ) h o m ( u ) - - - - 1 , h o m ( v u ) 刀：h o m ( v ) h o m ( u ) 一h o m ( vo 8 双旋量第一章双旋量 其中 厂刀的定义如下；对于任意的妒h o m ( v ) 妒h o m ( u ) ，可v 缸u 。有 ( 厂( 妒 妒) ) 0 圆性) = 妒( u ) o 妒( t ) ， 仃7 | ( 妒。妒) ) 0 圆乜) = ( 一1 ) i 圳i 。妒( t ，) o 妒( t ) 注当把a c ( n ) 看成超向量空间时，有下列超向量空间同构； a c ( n ) = a c ( 1 ) 固o a c 0 ) 、_ - - - - _ - - - - 、，- - - - - - - - - n 个 于是命题1 2 6 给出下列超代数同构： h o m v ( a c ( n ) ) = h o m c ( ( a c ( 1 ) ) v n ) = ( h o m g ( a c ( 1 ) ) ) 舶 由定义中的式( 2 ) ，h o m c ( a c ( 1 ) ) 与c j ( 一1 ) 圆c 是超代数同构，则由 h o m c ( a c ( n ) ) = ( h o m c c a c ( 1 ) ) ) 跏 = ( q ( - i ) o e ) 跏 = ( 一1 ) o d 第三节双旋量 定义1 3 1 1 5 3 1s 为一增广旋量空间，我们称张量积sos 为双旋量空间，双旋 量空间中的元素称为双旋量 由定理1 1 6 。两个同维数的双旋量空间之间存在惟一的同构t0t 该同构是 自然的，对于三个增广旋量空间s 1 ，岛，s 3 ，我们有 ( o 砀) ( 五2 0 丑2 ) = 五3 0 7 ：3 ：研p & 一是。岛， 其中同构：& 岛如定理1 1 6 所定义 引理1 3 2 s l 同维数的双旋量空闭之间存在同构t o t ，所以我们可以视所有 这些空间为一个空间尽，即，对任意的增广旋量空间& ，存在惟一的复向量空间口 和惟一同构：舀- - - - + 最o s 满足下面性质；对任意两个增广旋量空间最，s ，满足 等式= ( t , jo ) 乍：8 一s jo 曷 9 双旋量 第一章双旋量 定义1 3 3 1 5 3 我们称引理1 2 2 中的空间8 为抽象双旋量空间8 中的元素 称为抽象双旋量任意一个双旋量空间可看作抽象双旋量空间的模型 空间a e ( n ) oa c ( n ) 是抽象双旋量空间的标准模型，或者我们称其为标准双旋量 空间 定义1 3 4 我们定义向量空间的同构，使得下述图表交换 a c ( n ) 固a c ( n ) 一a c ( n ) oa c ( n ) 一h o m c ( a c ( n ) ) 一( 一1 ) o c 工上 上 s o ss 圆s _ h o m c ( s ) 一( 一1 ) o d 我们分以下几个步骤 ( i ) 由于两个增广旋量空间sa c ( n ) 存在自然同构，所以我们就有同构 sos = a c ( n ) o a c ) ，h o m ( a c ( n ) ) = h o r n ( s ) ( 2 ) 设a c ( n ) 为空间a c ( n ) 的共轭空间，则丽也是一个增广旋量空间，它对 应的抽象旋量空间记为雪显然，五丽与a c ( n