（固体力学专业论文）利用状态空间理论对建筑结构动力问题的研究.pdf

中南大学硕士学位论文 摘要 本文从结构动力特性、结构动态响应和结构主动控制等三个方面全面地讨 论了状态空间理论在结构动力问题中的应用，并且针对尚存的不足，提出了自己 的观点和分析方法，促进了状态空问理论在结构动力问题研究中的应用。 在结构动力特性的研究方面，本文直接对系统矩阵进行了分析，用能量的原 理分析了系统振动的原因，从而找出了一条求解阻尼系统的振动频率和各振型振 幅衰减函数的简便方法，编制了m a a b 程序。并利用这一程序分析了刚度变化 对高振型的影响，从而对地震作用计算中的振型选取数提出了几点有益的建议。 在结构动态响应的研究方面，本文指出了以往传统方法的不足，建立了基于 改进尤拉公式的数值时程分析法，并编制了程序。通过计算实例证明，该方法是 一种计算量小，简单易行的时程分析法。 在结构主动控制研究方面，本文着重分析了控制系统的稳定性。指出了鲁棒 控制能有效的提高控制系统的稳定性。对于控制系统中的时间滞后问题，分析了 现有的几种时间滞后补偿计算方法，然后根据灰色理论，提出了g m ( 1 ，1 ) 时间 滞后补偿计算方法，该方法无需进行结构的模态分析，是一种简便、有效的补偿 计算方法。最后通过实例，指出在控制系统的性能设计时，不宜过分追求最佳控 制性能，否则将使系统的稳定性损失过大。这为控制设计指标的确定提供了一定 的依据。 i 关键词】状态空间动力问题主动控制稳定性时间滞后 灰色理论 中南大学硕士学位论文 a b s t r a c t 1 1 忙p a p e rs t u d i e st i - ea p p i i c a t i o no fs t a t es p et l i r ) rt ot i l es h l l c n 骶d ”a m i c q i l e s t i o n 如mt h ea s p e c t so fd y n a m i cc h a 眦t e r ，d ”a m i c 他s p 舢睇捌枷v e 蛳t 呱叫c o n t m li nd e t a i l a n da i m i n ga tt h es h o f t a g e s ，s o m eu s e 砌o p i i l i 咖s 蚰d g o o d 面a l y s sm e t h o d s 玳b 删g h tf o r w a r d ，w h i c hb e n e 觚t h ed e v e l o p m e mo f a p p i y i n g 髓a t es ”c et h e o r yt os t 州c t i l 他d y n a m i cq u e s t i o n c o n c 咖i n go nd y n a m i cc h a r a c t e f ，t h ep a p e r a i y z e st h es y s t e mm a m xd i r e c u y 锄df i n d so u tt h er e a s o nw h y s y s t e ms i l r g eb ye n e r g yt h e o r y ，m e r e f o r es e t su p 锄e 船y m e t h o dt og e tt h ev i b r a t i o n 厅e q u e n c ya n da t t e n u a t i o nc o e 币c i e n ta f l dc o m p i l e sa m a t l a bp r o c e d u r e ，t h e na n a l y z e st 1 1 ea f 慨t i o no f h i g hv i b m t i o nm o d e 埘t l ii tw h e n s t i 肺e s sc h 锄g e s 狮dg i v es o m eu s e m l 蛐g g e s t i o nh o wt oc h 0 0 靶n kn 咖1 b e r so f 、，i b r a t j o nm o d e ， c o n c e m i n go nd y n 锄i cr e s p o n s e ，a n e r t h es h o r t a g e so ft r a d i t i a lm e t h o d s 眦 i i l u m i n a i e d ，am e t h o dh o wt og e ts h l l c t u r ed y n a m j cr e s p o n s eb 嬲e do ni m p m v e d e u l a rf 0 i n l u i ai sp u tf o r w a r dw i t hap r o c e d u r e a ne x a m p l ec a ns h o wt h a tt h em e m o d i sas i m p l e 锄dl i a b l em e t h o ds u i t a b l et ou s ei nf h c l c o n c e m j n go na c t i v es t 九i c t u r a lc o n t r o l ，t h ep a p e ri n d i c a t e sm er o b l l s tc o n t r o l c a ni m p r o v e h es y s t e ms t a b i l i t yf a c u l l yn l r o u g ha n a l y s i so fs e v 啪lt i f i l ed e l a y c o m p e n s a t i n gm e t h o d s ，g m ( 1 ，1 ) m o d ei sa p p l i e dt o c h e t i l n ed e l a yc o m p e n s a t i n g l c u i a t i n g b e i n gf r e ef r o mt h es t u d y i n go fm o d e ，“i sp r o v e d “i s 锄e 嬲ya n d e 币c i e n tm e t h o d a tt h el 髂t t i r o u g ha ne x a m p l e ，“c o m et oac o n c i u s i o nt l l a ti ti sn o t 吼 i t a b kt op i i 咖et h eo p t i m u m h e ny o ud e c i d et od e s i g nac o n 订o ls y s t e mb t 魁m s ei t nd 锄a g et h es t a b i i i t yo fc o n t r o ls y s i e m ，w h i c hc 矾h e i pe n s et h ec o 曲o ld e s i g n i f l d c x i k qw o r d s ls t 小es p a c et h e o r y d y n a m i cq u e s t i o n t i v es 眦t u r a l c o n 仃o l s t a b i l j t ) ， n m e d e l a yg r a yt i l e o r ) r n 中南大学硕士学位论文 第1 章绪论 1 1状态空间理论在结构动力问题中的应用现状 近年来，现代控制论中的状态空问理论逐步应用到固体力学、复合材料力学、 弹性力学等力学领域中，使这些学科获得了新的活力和发展前景。特别是利用状 态空间理论对建筑结构的动力问题的研究获得了很大的成功，为新技术的应用奠 定了理论基础。在用状态空间法分析系统时，系统的动态特性是由状态变量构成 的一阶微分方程组来描述的，它能反应系统的全部独立变量的变化，从而能同时 确定系统的全部内部运动状态，而且还可以方便地处理初始条件。这样，在设计 控制系统时，不再只局限于输入量、输出量、误差量，为提高系统性能提供了有 力的工具。加之可利用计算机进行分析设计及实时控制，因而可以应用于非线性 系统、时变系统、多输入一多输出系统以及随机过程等l i l 。状态空间理论在结构 动力问题中的应用涉及了很多方面，主要集中在结构动力特性、结构动态响应和 结构的主动控制等三个方面。 状态空间理论很早就应用到结构动力特性的研究中了。在求解多自由度阻尼 系统( ，l 维) 的自由振动中，系统的频率需要由二次特征值问题求解，且其特征 向量不存在简单的正交关系所以对阶数较高的阻尼系统的振动分析带来了困 难。当是把它引入2 h 维的状态变量的状态空间中进行求解，问题就简单多了。 以往的二阶微分运动方程为 【m 】 x ) + 【c 】 j ) “k 】 x ) = 0( 1 一1 ) 其中【 ，】、【c 】【k 】分别为质量、阻尼、刚度矩阵。引入到状态空间中，则阻 尼系统的自由振动方程可以描述成： 分+ 曰 ，= 0( 1 2 ) 其中_ 三 0 ：曰= 一呈 c ，一， 令 ，= 如“得到特征值问题： 川一+ 曰庐= o ( 1 4 ) 中南大学颂士学位论文 由此可以解得2 n 个特征值和特征向量。可以证明这2 门个特征向量是线性独立 的。因此这2 ，1 个向量就组成了2 门维空间的基向量，任何2 ，维的向量都可以表 示为这些基向量的线性组合【2 1 。这就方便了多自由度阻尼系统的分析求解。 结构在地震、风等作用下的动态响应一直是人们研究的课题之一。因为建筑 结构，特别是高层结构的自由度非常多，且地震、风等荷载是高度非线性的，想 要用传统的二阶微分运动方程直接求解是不可能的，即使是使用数值求解，也必 须进行一些假设，而且计算十分繁琐和复杂。在这方面，把建筑结构用状态空间 变量描述写成状态空间方程，其形式简单、规范，为直接求解提供了可能，1 日利 于计算机数值计算。在这些方面。已经有一些人进行了研究，钟万勰教授提出了 结构动力学方程的精细时程积分法【引，沈鹏程教授提出了基于状态空间理论的多 变量样条元法i4 1 ，沈小璞教授直接把状态空间方程的求解方法应用到结构地震时 程分析法中，提出了状态空间的迭代法1 5 】这种方法在理论上可以求出结构地震 反应的真实解。另一方面，基于状态方程的形式非常适合数值解析，有人提出了 基于龙格一库塔方法的数值解法6 1 ，这类方法计算简单，在数学方面有现成的 成果，理论研究成熟。为地震时程分析提供了一条广阔的道路。 在所有的方面，把状态空间理论应用于结构的减振控制最能体现利用状态空 间理论进行结构动力问题研究的巨大优势。在这方面的应用，主要是结构的主动 控制技术的应用。主动控制是一种状态反馈控制。该方法可以根据人们的要求来 调节结构地震反应和风振反应的控制效果，是一种最有效的控制算法i ”。 经典的控制系统状态方程为 立o ) = 爿z ( r ) + b ”( r ) + 饿。( f ) ( i 一5 ) 其中z ( f ) 为状态向量 j ，( f ) 一一为地面加速度向量 材( f ) 为控制力向量 系数矩阵一，曰、h 是结构质量、刚度、阻尼矩阵和地震力、控制力分布矩阵的 函数。线性二次优化控制的目标向量为 ，= r ( z 7 q + “7 尺“) 出 ( 1 _ 6 ) 其中7地震持续时问 中南大学硬士学位论文 沙一一状态权矩阵 且控制权矩阵 求最优控制力”+ ( ，) = g ( f ) ，使j 最小，其中g = 一r 一1 曰7 p 为反馈增益矩阵， 解代数蹦c c “方程： 朋+ 爿r 尸一p 朋一b r p 一0 = o( 1 7 ) 得到其中的p 。 以上方程是最为简单的一种控制算法。随着现代控制理论的发展，特别是最 优控制理论的发展，各种控制算法随之而生，比如：瞬时控制算法、独立模态空 间控制算法、界限控制算法、预测控制算法、非线性优化控制算法、神经网络控 制算法等等嗍。这正体现了状态空间理论应用到结构动力问题研究中的强大生命 力，为动力问题的研究提供了有力的理论工具和广阔的发展前景。 1 2状态空间理论在结构动力问题中的应用意义 1 2 1 利用传统方法建立结构运动方程 运动方程的建立是动力学的核心问题。只有运动方程建立得正确，整个解 算才能正确。在通常情况下，独立的几何参数取的是位移。为了求出各种动力响 应，应先列出动力位移方程。描述动力位移的数学方程，称为结构的运动方程。 运动方程的解就提供了位移过程，从而可求出其它各种所需求的结构动力响应。 结构运动方程的建立可以基于不同的原理和理论。d l e m b e r t ( 达伦伯) 原理是把( 一j 】l 痧) 加到原来受力的质量上，则动力问题就可作为静力平衡问题 来处理，这种列运动方程的方法，也常称为动静法，或惯性力法。把作用在任意 质量上的所有力( 包括惯性力) ，对任意虚位移所作的功应等于零，得到的方程 叫l a g r a n g e ( 拉格朗日) 方程，对于结构特别复杂的情况，按拉格朗日方程仍可 方便地导出运动方程。如果直接采用变分概念进行分析时，最常用的就是 ha i i l i l t o n 原理【9 】。用不同的原理来分析同一结构，所得出的运动方程总是一样的， 即二阶的微分方程或方程组。在地震作用f 的结构运动方程如下式所述： 【 ，】 + 【c 】 + 【足】 x = 1 m j x 。 ( 1 8 ) 中南大学硕士学位论文 其中 ，为地面运动加速度向量。 传统的动力学分析方法就是围绕着它们的二阶运动微分方程组进行求解的。 一般的做法是把结构的振型分开来描述结构的动力特性，既所谓的振型分解法， 但是如上所述，对于多自由度阻尼系统来言它们各振型的特征向量并不正交，为 结构的分析带来了困难；其次，就( 1 8 ) 式来求解结构在地震作用下的动态响 应是不现实的必须提出一些必要的假设，才能使得动态响应的求解变为可能， 这就产生了传统的时程分析法如：线性加速度法、威尔逊( w i l s o n ) 口法、纽 马克( n e 哪a r k ) 法等1 1 0 l ；最后，如果要对结构的振动加以控制的话，传统 的分析方法已经不能适用了，也就不可能产生现在的主动减震控制技术了。所有 这些表明了传统的运动方程有着其自身的应用和分析的局限性这就促使了我们 寻找另外一种理论来更好的分析结构中的动力问题。 1 2 2 一利用状态空间理论建立结构运动方程 在经典的控制理论中，对一个线性定常系统，可用常微分方程或传递函数加 以描述，可将某个单变量作为输出，直接和输入联系起来。实际上系统除了输出 变量这个变量外，还包含有其它相互独立的变量，而微分方程或传递函数对这些 内部的中问变量是不便描述的，因而不能包括系统的所有信息。显然，从能否完 全揭示系统的全部运动状态来说，用微分方程或传递函数来描述一个线性定常系 统有起不足之处j i l 2 l 。所以有必要用状态空间方程来描述系统的运动。 i 状态变量 足以完全表征系统运动状态的最小个数的一组变量为状态变量。一个用 阶微分方程描述的系统，就有n 个独立变量，当这h 个独立变量的时间响应都求 得时，系统的运动状态也就被揭示无遗了。因此，可以说该系统的状态变量就是 ，l 阶系统的一个独立变量。 同一个系统，究竟选取哪些变量作为独立变量，这不是唯一的重要的是这 些变量应该是相互独立的，且其个数应等于微分方程的阶数；又由于微分方程的 阶数唯一地取决于系统中独立储能元件的个数，因此状态变量的个数就应等于系 统独立储能元件的个数【”。 中南大学硕士学位论文 对于结构动力运动系统而言，一殷地选取速厦和位移作为描述系统运动的 两个状态变量。就以地震作用下的结构运动方程( 1 8 ) 为例，令 x 。 = x ) ， x ：) = x ) 有： x - j ：) j 2 ) = _ - 1 _ i 【足】 置) 一【- w 】- i 【c 】 ： - 一( 贾。) ( 1 - 9 ) 2 状态方程 由系统的状态变量构成的一阶微分方程组称为系统的状态方程，其标准形式 为： 主= 爿x + 6 “ ( 1 l o ) 其中x ，t 维状态矢量 一系统矩阵 6 控制矩阵。 在这里把( 1 9 ) 式写成形如( 1 一l o ) 式的标准形式： 堙 = ( 圳押 + ( 纠 ( 1 1 1 ) 舯= c - 川， 叫一。品吲薪l 【c 】 c - 川， = c - 叫， 式( 1 1 1 ) 即为结构在地震作用下的状态方程。 1 2 3利用状态空间方程解决结构动力问题的优势 把种理论应用来解决另外一类问题，当有其分析解决问题的优势。其实这 方面上面已经提到过，在这里我们加以详细的整理和讨论。 1 一个用n 阶微分方程描述的系统，就有n 个独立变量，当把它写成状态 方程的话，哪么这个状态方程将能完全地描述系统的运动，只要确定了任一时刻 中南大学硕士学位论文 的状态变量，就能知道结构在任一时刻的状态。而用传统的微分方程进行描述的 话，某些内部的中间变量将不便加以描述，因而不能包括系统的所有信息，这有 着其分析动力问题的不足之处。 2 状态方程形式简单、规范，任何阶的运动微分方程都可化为形如式( 1 一l o ) 的状态方程。特别提出的是，数学中的微分方程数值计算的标准式子和状 态方程的标准形式十分相近，这就为把数值计算应用到状态方程求解中来提供了 极大的方便，有利于结构动力问题的计算机模拟和计算。 3 状态方程的系统矩阵包含了系统内部状态的全部联系。一个系统矩阵就 决定了该系统的动力特性，不象微分方程那样，它的动力特性是有刚度矩阵、质 量矩阵、阻尼矩阵三者所决定的这就为用系统矩阵分析结构的动力特性提供了 方便。 4 当以系统的某些变量为反馈变量，旆加某种反馈控制，那么系统就由开 环系统变为闭环系统，只要反馈控制适当的话，就能使系统满足人们的某些要求， 这是最优理论中解决得比较好的问题，也是现代控制理论中最精彩的部分。结构 主动控制技术就是把现代控制理论中的成果应用到结构动力问题研究中来的结 晶。这种有现成的理论成果相匹套的优势是传统方法所不可能具有的，也是利用 状态空问理论分析结构动力问题的最大优势。 总之利用传统的方法分析结构动力问题有其天生的局限性，如果不添加新鲜 血液的话，那么它的发展空间终究有限。把状态空间理论应用到结构动力问题的 研究中来，正是针对其局限性，开辟了一条新的道路。可见利用状态空白j 理论 研究结构动力问题有着重大的意义。 1 3 主要研究问题 本文首次地全面讨论了状态空问理论在结构动力问题中的应用。依上所述， 状态空间理论在结构动力问题中的应用涉及了很多方面主要集中在结构动力特 性、结构动态响应和结构主动控制等三个方面，在这里，本文就从这三个方面加 以讨论，对各个方面进行了详细的介绍并针对其不足，提出了自己的观点和分 析方法。 1 在结构动力特性研究方面。本文将绕开了复模态繁琐复杂的计算，直接 6 中南大学硕士学位论文 从系统矩阵出发。讨论系统的一些基本性质，建立一种直接求取结构在阻尼作用 下的自振频率和各振型衰减函数的简便方法，然后利用这一方法来分析刚度变化 对高振型的影响，从而为利用振型分解反应谱法计算地震作用所需选取的振型数 进行说明。 2 在结构动态响应方面。无论是传统的时程分析法，还是现在提出的状态 空间迭代法各种方法所要求的计算量都非常大，这些都不适合于工程的实际应 用，所以到现在为此，这些方法大都仅运用于理论研究，而实际应用得比较少。 本文从实际应用的角度出发。利用状态方程易于数值计算的优点，摒弃了过去基 于龙格_ j 车塔法的数值计算方法，采用了计算量少得多的改进尤拉公式进行数值 分析，然后通过计算实例，对这种方法的可靠性和实用性进行证明。 3 在主动控制方面。虽然已经提出了各种各样的控制算法但是，对于控 制系统的稳定性还没有人做出过系统的研究，这也是主动控制技术还没有广泛应 用的原因之一。本文将对几种影响控制系统稳定性的因素进行分析。指出了鲁棒 控制能有效提高控制系统的稳定性。对于控制系统中的时间滞后问题，本文将分 析现有的几种时间滞后补偿计算方法，然后根据灰色理论，提出了g m ( 1 ，1 ) 时 问滞后补偿计算方法，该方法无需进行结构的模态分析。最后把可靠度理论应用 到控制系统稳定性研究中，研究控制系统控制设计指标和可靠度指标之间的关 系，为控制设计指标的确定提供了一定的依据。 中南大学硕士学位论文 第2 章利用系统矩阵对结构动力特性的分析 2 1引言 对于不用考虑阻尼的结构系统而言。在状态空间中讨论结构的动力特性是没 有必要的，只有对于多自由度的阻尼系统，才有需要利用状态空间理论进行研究。 因此本章所讨论的系统都为需要考虑阻尼的多自由度系统。 一般地，人们在研究结构的动力特性的时候习惯性地忽略系统的阻尼，这是 有一定道理的，因为当阻尼比较小时，阻尼对自振频率的影响可以忽略。但是在 新型的使用减震控制技术的建筑物中，由于安装了耗能装置，使建筑的阻尼系数 大大加大此时阻尼对结构自振频率的影响不能忽略，这时引入状态空间理论来 进行分析就有其优越之处。同时，由于结构各振型的衰减函数求解复杂等原因。 衰减函数在结构动力问题研究中应用的很少，但是我们并不能认为它就没有其应 用价值了，其实在消能减震的建筑物中，如何合理地放置消能装露是个现今都没 解决好的问题在这里因为我们可以用简便的方法得出结构各振型的衰减函 数，所以能够找到使结构主振型衰减最快的消能装置放置位置，从而解决消能装 置放置位置优化的问题。因此我们可以看到，随着新结构、新技术的产生，以往 传统的结构动力特性分析方法渐渐露出其不足之处有必要引进状态空间理论加 以研究。 2 2结构动力特性的系统矩阵解法 2 2 1 结构运动系统的稳定性 众所周知，稳定性是控制系统的一个最重要的性质任何能够工作的系统 首先必须是稳定的l 劓。 按照系统设计中的不同要求，有不同的稳定性概念。例如，输入一输出稳定 性、绝对稳定性和l y a p u n o v 稳定性等。在这里主要讨论l y a p u n o v 稳定性。从工 程上来看，系统的l y 印u n o v 稳定性是指，在系统的工作过程中，如果受到长时 中南大学硕士学位论文 间起作用的初始扰动时，经过“足够长”的时间以后，系统恢复到平衡状态的能 力。 二阶动力系统的稳定性由其自由系统 【肘】 x ) + 【c 】 ) + 【k 】 j ) = o ( 2 一1 ) 的稳定性完全决定如果令： 坤= 圈 则在矩阵m 可逆的条件下可导出系统( 2 一1 ) 的下述状态空间描述： 尊 = 【d 】 q ( 2 2 ) 其中c 纠= _ 。0 。捌一。0 c ， 显然，系统( 2 2 ) 的性质完全决定了系统( 2 一1 ) 的性质。 不考虑负阻尼的情况，参考资料【1 4 】【1 5 】证明了系统( 2 2 ) 为渐近稳定系 统，证明过程从略。因此可见，结构运动系统都是渐近稳定的。另一方面，对于 建筑结构来说，因为它们都是多次超静定结构，所以它们的结构运动系统都应该 是稳定的。这是下一步研究分析的基础。 2 2 2结构运动系统的动态响应形式 一个线性时不变系统的基本性能完全依赖于系统矩阵的结构，而与平衡点位 置和外挠的大小均无关”6 1 。在这里主要研究的是结构在弹性变形范围之内的基 本性质，因此可把结构运动系统作为线性时不变系统进行研究，研究其基本性质 则主要是对它的系统矩阵进行研究。 一般一个h 阶系统矩阵就有，t 个特征值 ( f 为l 到h ) ，写成复数形式有： = 胁+ f j ( 2 3 ) 把系统矩阵【d 】对角化，因此状态方程可以简化成一组独立的一阶方程，每 个方程都具有如下形式： 2 ( ，) = 五z ( f ) ( 2 4 ) 9 中南大学硕士学位论文 对角化后的系统方程的解都具有z ( f ) = e “z ( o ) 的形式，其中 e 加：p p j 耐( 2 5 ) 线性系统受到外挠后，要使系统能够回到平衡状态则要求z ( f ) 趋向于零， 因此必须满足 上刚下 柔结构：( 3 ) 上柔下刚结构；( 4 ) 刚度在中问层发生突变的结构。研究它们 刚度变化为高振型衰减速率带来的变化。 在这里以四个计算实例加以说明，它们的计算模型都是层模型。 建筑l ： 质量和刚度均匀分布的八层建筑结构，层刚度k = 2 2 0 0 剧小，质量 m = 4 8 0 吨层高 = 3 6 ” 建筑2 ： 八层建筑结构，底部两层的层刚度k = 1 1 0 0 尺哆乞坍，质量m = 2 4 0 吨 其余条件和实例1 相同。 建筑3 ： 八层建筑结构，上面两层的层刚度k = l l o o 剐m ，质量埘= 2 4 0 吨， 其余条件和实例l 相同。 建筑4 ： 八层建筑结构- 三、四层的层刚度足= 4 4 0 0 刚研，质量小= 9 6 0 吨， 其余条件和实例l 相同。 以上各例的阻尼矩阵都采用瑞雷阻尼模型，阻尼比取f = o 0 5 分别用结构振型的系统矩阵解法进行计算，计算结果见下表： 表2 2建筑l 的结构振型系统矩阵解法计算结果( 均匀分布) 羟型号fl 2345678 国旃 3 9 1 5 71 1 6 9 5 91 9 0 5 6 02 5 7 5 8 93 1 5 7 8 23 6 3 1 5 63 9 8 1 9 94 1 9 5 3 4 国 39 1 5 9 l l6 9 6 31 90 5 6 72 5 7 5 9 73 l5 7 9 l 3 6 3 1 9 0 3 9 b 2 1 3 4 1 9 6 9 8 f p i 0 5 2 3 4 07 0 6 01 0 4 6 41 4 9 8 720 0 1 924 8 7 928 9 1 1 3 1 5 7 1 1 6 中南大学硬士学位论文 表2 3建筑2 的结构振型系统矩阵解法计算结果( 下柔上刚) 振型号jl23 4 5 678 国d i 3 5 8 3 41 1 9 1 2 92 0 7 1 9 82 8 。5 5 7 l3 4 0 8 5 4 3 7 5 8 6 54 1 1 1 0 54 5 6 6 3 4 国 3 5 8 3 6l l ，9 1 3 22 0 7 2 0 l2 8 5 5 8 33 4 0 8 6 33 7 5 9 1 4 4 1 1 1 9 34 5 6 7 8 3 1 卢， 0 5 1 9 70 7 1 3 61 1 4 6 01 7 2 7 82 2 5 0 42 6 3 0 03 0 5 0 13 6 4 9 7 表2 4建筑3 的结构振型系统矩阵解法计算结果( 上柔下刚) 振型号，l2345678 国d i 4 4 0 3 31 2 0 0 8 91 7 9 1 1 92 5 0 4 3 43 1 7 2 4 33 5 7 3 0 23 & 5 8 7 54 1 5 7 3 4 4 4 0 3 41 2 0 0 9 21 7 9 1 2 52 5 j 0 4 6 03 1 7 2 7 83 5 7 3 3 8 5 9 5 24 1 5 8 7 4 1 0 5 2 9 50 7 1 7 lo 9 8 2 71 4 4 4 l2 0 1 6 l2 4 2 4 82 7 4 5 73 1 0 8 8 表2 5建筑4 的结构振型系统矩阵解法计算结果( 中间突变) 振型号， l2345678 m d i 4 8 8 3 41 4 7 1 2 9 2 l8 1 9 82 8 4 5 7 l3 5 0 7 5 43 8 4 8 6 54 31 1 0 54 74 6 3 4 国 48 8 3 61 4 7 1 3 2 2 1 8 2 0 l2 84 5 8 33 5 0 7 6 33 8 4 9 1 44 3 1 1 9 34 7 4 7 8 3 f i 0 5 3 0 lo 7 0 1 01 1 4 6 41 2 7 8 72 1 1 1 92 2 3 7 92 9 6 3 l3 0 4 5 1 注：表中国：为无阻尼自振频率，缈以为按结构振型系统矩阵解法计算的结构有阻尼自振频 率为衰减函数p 尸中的系数的绝对值。 显然，对于同一振型，衰减系数绝对值大的衰减得快，衰减系数绝对值小的 衰减得慢，衰减速率和衰减系数绝对值的大小成正比。 以振型号为横坐标，以为衰减系数绝对值纵坐标，绘制图形： 1 7 中南大学硕士学位论文 图2 一l建筑l 到4 的振型号和衰减系数的绝对值的关系图 根据上图我们可以得出以下结论。 2 3 3 结论 l 、上刚下柔的结构。 这类结构与刚度上下均匀分布的结构相比高振型在振动中的作用相对减小， 第一振型起的作用相应增大。对于这类结构，在使用振型分解反应谱法进行抗震 设计时选取的振型数可适当减少。 2 上柔下刚的结构 这类结构与刚度上下均匀分布的结构相比，情况比较复杂。一部分高振型的 作用加大了一部分高振型的作用降低了，但是总的来说，可以认为上柔下刚的 建筑结构其高振型在结构振动中的作用有所提升。因此，在使用振型分解反应谱 法进行抗震设计时，选取的振型数可适当增加。 3 刚度在中间层发生突变的结构 这类结构与刚度上下均匀分布的结构相比，情况很复杂没有规律可言。从 图2 一l 可见，建筑4 的图形绕着建筑l 的图形上下波动。对于这类结构，有条 件的话最好进行地震反应的时程分析。 本节讨论刚度变化对高振型的影响，主要是从振型衰减函数的角度出发，这 只是一个方面，还有待更全面的分析。 中南大学硕士学位论文 第3 章基于改进尤拉公式的结构地震反应时程分析法 3 1时程分析法的发展历程 用直接动力分析对结构进行地震反应计算是在静力法和反应谱法两阶段之 后发展起来的。自本世纪初期到4 0 年代的静力法分析阶段是将结构视为刚体， 假设各质点振动加速度均等同于场地土运动加速度对由此计算出的地震作用最 大值按静力旌加于结构进行静力分析。由于此法考虑质点振动加速度仅与地面运 动加速度即烈度相关，所以又称为烈度法1 2 4 l 。到4 0 年代以后，在计算机应用的 发展及取得了较多的强震记录的基础上，产生了反应谱理论。此法取消了静力法 中刚体平移振动的假设，考虑了地震作用与结构动力特性的关系，使抗震分析进 入了第二阶段，即反应谱阶段。由于反应谱法较静力法更真实地反映了结构振动 特性，对于大部分建筑物抗震分析结果均可满足工程设计所要求的精确度，且使 用简便，所以至今此法一直为抗震规范中主要采用的方法f 3 3 。 但由于反应谱法是基于弹性假设，采用了叠加原理，并属于等效静力方法 1 2 4 j 所以使用范围有局限性。经多次震害分析，发现仅用反应谱法进行抗震设 计不能正确解释一些结构破坏现象甚至有时不能保证某些结构的安全，因而促 使结构抗震分析发展进入到动力分析阶段。同时由于计算机应用科学的发展， 也使得将地震波输入地震反应方程中并直接进行逐步积分求解成为可能。 时程分析法是对结构运动微分方程直接进行逐步积分求解的一种动力分析 方法。它适用于非线性体系的动力分析。这种方法把反应的时程划分为短的、相 等的( 也可以不相等) 时段，对每个时段按照线性体系来计算其反应。这个线 性体系的特性是时段开始时刻限定的特性，时段结束时的特性按照那时体系的变 形和应力状态来修正。这样，非线性分析就近似为一系列依次变化的线性体系的 分析。 时程分析法是基于增量形式方程进行数值积分的。 肘缈( f ) + c ( f ) 妙( r ) + k ( f ) y ( f ) = p ( r ) ( 3 一1 ) 但各种数值积分都有一个相同的基本思想，这就是把式( 3 一1 ) 这种增量微分方 中南大学硕士学位论文 程转换成代数方程式，而后用代数运算方法求解。为此必须在出时间间隔内， 在位移、速度和加速度之间引入一个简单的合理关系，由此使得用三个未知增量 表示的方程( 3 一1 ) ，只保留一个未知增量，从而可以用代数方法求解。为此有 必要在r 时间间隔内引入基本假设： 1 加速度为线性变化。 2 阻尼和刚度特性保持常量。 结构地震反应时程分析法一般是基于以上假设提出来的。 另外一种时程分析法是基于状态空间理论提出来的，把运动微分方程化为形 如( 1 1 1 ) 的标准状态方程，采用状态空阃理论中的状态方程解法进行迭代计 算。某一段时间里。可划分为许多时间问隔af ，在任意一时刻r 结构动力响应量 是： ( 9 。( ) ) = 一0 1 x ( o ) ) + f 一d m - r p ( f ) d f ( 3 _ 2 ) 对于i + l 时刻： ( g + i ( f + i ) = e x ( o ) ) + r 一啪州 p ( f ) d r ( 3 3 ) 这样，对于取步长为t 。任一时刻的结构动力响应量可以写成： i ( f f + i ) = e i d 】出献f ，) ) + r d l ( p ( f ) 渺 ( 3 4 ) 结构地震反应的状态空间迭代法正是基于式( 3 4 ) 提出的1 2 5 i 。这种方法理论 上是对结构地震反应的精确求解，但实际上o l “7 是不可能完全求出来的所 以它实际上也是一种近似解法。 因为传统的时程分析法计算量很大，特别是对于高层建筑，有几千个自由度， 因此它需要的计算机配置要求比较高。对于状态空间迭代法它的系统矩阵的阶 数是传统方法计算变量数量的两倍。所以它的计算量将不低于传统的时程分析 法，也不适用于工程实际的应用。在这基础上发展了一种叫动静法的方法( d u s h o v e r ) ，它的基本原理是按照某种原则对结构施加外力，直至结构的某个( 或 某些) 构件达到屈服，依次下去，直到找出结构的薄弱部位2 。但它终究不 属于动力方法可靠性还有待研究。考虑到这些情况有必要重新提出一种更为 简便、使用的方法，以利于时程分析法的普及应用。 利用状态空问方程利于数值计算的优点，有人提出了基于龙格一库塔方法的 中南丈学硕士学位论文 时程分析法【2 8 l ，这种做法有其不当之处。本文加以改进，提出了以下讨论的基 于改进尤拉公式的时程分析法。 3 2基于改进尤拉公式的结构地震反应时程分析法 3 2 1尤拉方法和龙格一库塔方法的比较 结构地震反应时程分析法的重点是对常微分方程求解，在数值分析中的标准 微分方程形式是： f y = ，( w ) ( 3 吲 【y ( x o ) = y o 可见，( 3 5 ) 式和上面提到的状态方程形式十分相似，因此可以利用适当的数 值计算方法进行结构的地震反应时程分析。在这里，我们提出基于改进尤拉公式 的时程分析法。 对( 3 5 ) 式进行求解有很多的数值计算方法，其中龙格一库塔方法是常用 的方法，曾有人提出了基于龙格一库塔法的时程分析法，但是龙格库塔方法其 实并不适合于这种高度非线性的地震作用下的结构动态响应求解。 1 龙格一库塔方法和尤拉方法相比，虽然前者的精度比较高，四阶的龙格 一库塔方法达到了0 ( 4 ) 的精度，后者只有d ( 2 ) 的精度。但是，因为龙格一 库塔方法是由台劳级数展开而产生的数值计算方法，它要求函数厂具有较高的光 滑性，如果厂的光滑性差的话那么，它的精度可能还不如尤拉公式或改进的尤 拉公式叫。而尤拉公式是基于差分原理导出的数值计算方法他并不要求函数厂 具有很好的光滑度。对于结构的地震反应分析，首先结构的性质本身就是非线性 的，其次，地震作用是高度非线性的，从记录的地震波来看，地震作用是一种随 机的作用。因此函数厂的光滑性极差，在这种情况下，利用龙格一库塔方法计算 显然是不合适的。 2 龙格一库塔方法的另一大缺点是计算量比较大，需要耗费较多的机器时 间，人们习惯应用的四阶龙格一库塔公式，每一步需要四次计算函数，和传统 中南大学硕士学位论文 的时程分析法和状态空问法相比，并不能减少多少工作量。这种时程分析法显然 也不符合工程中的实际应用。而改进的尤拉方法每步只需要二次计算函数， 3 2 2利用改进尤拉公式计算结构地震反应的动态响应 设p 。( 上。，n ) 和p “( 上。，y 川) 为函数厂上的两相邻点，显然它们的坐标有 皿= 厂( ，y ) ( 3 叫) 即 y 叶l = y 。+ j 矿( x 。，y ) ( 3 7 ) 尤拉公式的精度很低，只有d ( 1 ) 的精度，为了提高精度，提出了梯形公式： y 。= y + 罢【厂( 了，y 。) + ，( x + ，y 。+ ) 】 ( 3 8 ) fy 2 = 儿+ 髟( x 。，y 。) 1 y ：譬 ：y + 尝【厂( 工。，儿) + ( x 。+ ，y ：2 ) 】 3 9 我们看到，梯形方法虽然提高了精度，但其算法复杂，在应用迭代公式( 3 9 ) 进行实际计算时。每迭代一次都要重新计算函数厂的值而迭代又要反 复进行若干次，而且往往难以预测。为了控制计算量，通常只迭代一两次就转入 具体的说，我们先用尤拉公式求得一个初步的近似值只“，称之为预测值， 预测值夕训的精度可能比较差- 我们再用梯形公式( 3 8 ) 将它校正一次，即按 中南大学硕士学位论文 校正：此+ ，= 儿+ 尝【厂( ，) + ，( + ，只+ 。) 】 ( 3 一1 1 ) y 。：，+ 皇 ( 工。，y 。) + 厂( x 。+ ，y + 矿( x 。，y 。) ) 】 ( 3 一1 2 ) 搿 沪 ( 3 一1 5 ) 这就是基于改进尤拉公式的结构地震反应时程分析法的迭代公式。只要给定初值 吼，确定时问步长厅，就能逐步计算结构在地震作用下的任一时刻的状态。从 式( 3 - = 1 5 ) 可见，这种方法的计算量相当小。 基于改进尤拉公式的结构地震反应时程分析法的基本步骤如下： b 艮 + 川j) 卜g 吼 川 + 训帅魄 蹦扣 广 g r n y i | g p = 中南大学颈士学位论文 ( 1 ) 将时问段划分为一系列很小的时问问隔，每个间隔的长度，称为步长。 可任意选择但通常是等间隔的，记为f 。 一般说来，f 取得越小计算精度越高，计算工作量也就越大。通常为了保证 足够的精度，应取出 0 1 r ，r 为结构的自振周期。但若荷载p ( f ) 变化特别快， 而且非常复杂，是由许多谐波分量组成的，则应取f o 1 0 ，0 为荷载烈f ) 的 卓越周期，即其频谱分量中起主要作用的谐波分量的周期。如条件许可或对计算 精度的要求很高时，则应取f o 1 ，i 为p ( f ) 中不可忽略的谐波分量的最小 周期。对于地震作用来说，一般取f s o 0 2 j ，大约相当于o0 5 0 到o l 乙。 为地震运动的卓越周期。 ( 2 ) 在每个时间间隔缸内，将f 材】，【k 】，【c 】及 p ( f ) 】均视为常数。 例如，对f + l 时问间隔则令【m 】，【k 】，【c 】及 p ( f ) 均等于该时问问隅的初 始值，记为【m ，】，【k ；】，【e l 及p ；( f ) ( 3 ) 根据式( 1 一1 3 ) 和式( 1 1 4 ) 形成【d 】和 p 。 ( 4 ) 确定初值g o ： g o _ - 一( o ) x l ( 0 ) ： z 月( o j 工h ( o ) 一般的，取零向量，或静荷载的反应作为初值。 ( 5 ) 将初值代入迭代公式( 3 一1 5 ) 进行计算，可以算出下一时刻的状 态。依次迭代，可以得出结构在地震作用期间任一时刻的状态。 我们可以看到，在迭代过程中，不需要求解线性代数方程组，也不必对矩阵求 逆和对方程的解耦处理只需作矩阵相乘运算，即使是矩阵相乘，每步中只要 计算两次，其余的都是矩阵加减运算，因此大大的节省了计算机的工作量。这为 以后用杆件模型进行结构的地震时程分析提供了可能。按照这种方法，所用的计 中南大学硕士学位论文 算机需要的内存小要求的配置低，适合于工程中的实际应用。特别的是，这种 方法对于多自由度体系的多输入、多输出等问题的动力响应求解效率较高。因 此该方法有实用价值和发展前景。 3 2 3改进尤拉公式的性质 1 稳定性 上面采用的改进尤拉公式达到了较高的精度，其截断误差e = d ( 2 ) 。但是 单靠这一点还不足以保证这种差分方法可以工作。关键的问题是改进的尤拉公式 是否具有对于扰动的稳定性，既数值稳定性。在数值不稳定的情况下，计算误差 将恶性发展以至计算失败。 资料证明对于式( 3 一1 3 ) 的改进尤拉公式的稳定性是条件稳定的，其稳定 条件为： 2 f ( 3 一1 6 ) 其中r 是一个具有时间量纲的量，工程上习惯地称它为时问常数1 3 i l 。按照上节介 绍的f 的选取办法。基本能够满足迭代算式( 3 一1 5 ) 的稳定性。 尤拉方法的稳定性条件1 i 2 f 表明，时间常数r 越小，稳定性对步长的限制 越苛刻。 2 、收敛性 若一种数值方法对于任意固定的。= + ，当 o ( 同时 ) 时有儿 y ( x 。) ，则称该方法是收敛的。 判断改进的尤拉公式的收敛性可以归结为验证增量函数能否满足李普希兹 条件： j 矿( _ x ，y ， ) 一伊( x ，歹，i i i ) l i y 一歹i ( 3 1 7 ) 设限定 ( 为定数) ，改进尤拉公式的增量函数关于y 的李普希兹常数为： o ：( 1 + 冬三) 因此改进的尤拉方法是收敛的1 3 2 l 。 中南大学硕士学位论文 通过以上证明，迭代式子( 3 一1 5 ) 只要选取合适的步长f 就能满足稳定性 和收敛性，再加上它计算量小的特点，因此它是一种可行、实用的时程分析方法。 3 3时程分析尤拉解法的m a u a b 程序编制 3 3