（应用数学专业论文）一类广义集值变分包含问题的研究.pdf

中文摘要 集值变分包含问 题涉及数理经济学、金融学、控制论、 机械学、物理学等学 科，是研究多目 标规划和多层规划的重要基础和工具，也是目 前应用数学领域中 备受 关 注的 热点 之一 对这一问 题的 研究 涉及到凸 分析、 线性与 非线性分 析、 非 光滑分析、 集值分析、 偏序理论、图 收敛理论等数学分支， 有重要的学术价值和 相当的难度。 在最优化问 题中， 弱化目 标函数的凸 性始终是学者关注的一个热点。 同 样地， 在集值变分包含问 题中，弱化集值映射的单调性也是一个重要的研究方向。2 0 0 6 年， l e e 和d i n g 分 别 介 绍了 集值 映 射的j7 - 单 调 性 和 真 泛函 的， 一 次 微分 两个 概 念， 同 时， l e e 还 提出 了 一 个公 开问 题: 如 果q : h- 2 是一 个 极大17 一 单 调的 集 值映 射， 那么r g e ( i + r q ) = h在 什么条件下成 立?其中:h是 一个实 h il b e rt空间， r/ : hx h一h是 一 个单 值映 射，义 0 是 任意 给定的 常 数，1 和r g e ( i 十 之 9 ) 分 别 表示 恒 等映 射 和 集 值 映 射i + 犯 的 值 域。 本文主要是从理论和算法两方面较为系统地研究了一类广义集值变分包含问 题，它统一和推广了许多己 有的变分不等式问题、混合变分不等式问题和变分包 含问题。 研究分有三个方面:一是借助于偏序理论在有限维欧氏空间中解决了 上 述公开问 题， 在此墓础上利用集值映射的17 一 预解算子， 研究了 广义集值变分包含 问 题解的 存在性、 逼近解的全局误差界、 参数唯一解的灵敏性，并提出了 一类变 参数三步迭代算法 二是借助于图收敛理论研究了一般集值变分包含问题解集的 凸性、闭性和有界性以 及参数解集的灵敏性;三是用分析的方法直接讨论了 集值 混合拟类变分不等式问题解的存在性并提出了一类求解广义集值变分包含问题的 直接变参数三步迭代算法。最后研究了 广义集值变分包含问题与非凸规划之间的 关系。具体内容如下: .简单介绍了 广义集值变分包含问题的背景、 研究现状和数学模型: 综述了 相 关的参考文献。 引 入了 集值映 射的7 1 预解算子概念; 借助于偏序理论证明了 有限维欧氏 空 间中 的 单 值映 射 可同 秩 l ip s c h i t z连续 拓展; 讨论了 有限 维欧氏 空间中的 极 大q - 单调 集值映 射的n - 预解算子在什么条 件下是 整个空间 上的 一个 l i p s c h i t z连 续的 单值映射，这一结果也在有限维空间上解决了上面提到的公开问 题;还讨论了 真 泛函 的)7 - 次 微分 映 射的?i - 预 解算 子 在什 么 条 件下 是 整 个空间 上的 一 个 l ip s c h it z 连续的单值映射。 利用个预解算 子在有限 维空间中 探讨了 集值混 合拟 类变分不等式问 题 和广 义集值变分包含问题存在唯一解的条件: 利用分析的方法在实h i l b e rt空间中讨论 了 集值混合拟类变分不等式问 题解集的非空性( 不一定只有唯一解) 。 借助于， 一 预解算子研究了 有限维欧氏 空间中的集值混合类变分不等式问 题 和广义集值变分包含问题的全局误差界。 借助于图收敛理论证明了 有限维欧氏空间中的两个极大单调集值映射的和 映射在较弱条件下仍是极大单调集值映射，并在此基础上讨论了 一般集值变分包 含问题解集的凸性、闭性和有界性。 利用?7 - 预解算子分析了 有限维欧氏空间中的广义参数集值变分包含问 题唯 一 解的灵敏性;利用预解算子分析了有限维欧氏空间中的一般参数集值变分包含 问题解集的灵敏性。 针对求解有限维欧氏空间中的广义集值变分包含问 题， 提出了 基于77 - 预解 算子的变参数三步迭代法; 针对实h i l b e rt空间中的广义集值变分包含问题， 提出 了 直接变参数三步迭代法。 讨论了最优化问题中目 标函数的广义凸性和集值映射的广义单调性之间的 关系:举例说明了如何将非凸规划问题转化成集值变分包含问题。 关 键词: 广义集值变分包含 7 1 - 预解算子 全局误差界 拓扑性质 灵敏性分析 abs tract s e t - v a l u e d v a r i a t i o n a l i n c l u s i o n p r o b l e ms , r e s e a r c h o n w h i c h t o u c h u p o n s u c h m a t h e ma t i c a l b r a n c h e s a s c o n v e x a n a l y s i s , l i n e a r a n d n o n l i n e a r a n a l y s i s , n o n s m o o t h a n a l y s i s , s e t - v a l u e d a n a l y s i s , p a r ti a l l y o r d e r e d t h e o ry a n d g r a p h i c a l c o n v e r g e n c e t h e o ry , i n v o l v e m a t h e m a t i c a l e c o n o m i c s , f i n a n c e , c o n t r o l t h e o ry , m e c h a n i c s , p h y s i c s a n d s o o n . t h e y b e c o m e a n i m p o r t a n t f o u n d a t i o n a n d t o o l f o r s t u d y i n g m u lt i o b j e c t i v e a n d m u l t i - l e v e l p r o g r a m s a n d o n e o f f o c a l p o i n t p r o b l e m s p a i d c l o s e a tt e n t i o n b y s c h o l a r s in t h e f i e l d o f a p p l i e d m a t h e m a t i c s . t h e r e f o r e , t h e r e s e a r c h f o r t h e m h a s im p o r t a n t l e a r n i n g v a l u e a n d c e r t a i n d e g r e e o f d iff i c u l ty . j u s t a s w e a k e n i n g c o n v e x ity o f o b j e c t i v e f u n c t i o n s b e in g a c e n t r a l i s s u e i n o p t i m i z a t i o n p r o b l e m s , w e a k e n i n g m o n o t o n i c i ty o f s e t - v a l u e d m a p p i n g s i s a n im p o r t a n t r e s e a r c h d i r e c t i o n in s e t - v a l u e d v a r i a t i o n a l in c l u s i o n p r o b l e m s . i n 2 0 0 0 , l e e a n d d i n g i n t r o d u c e d t h e c o n c e p t s o f， 一 m o n o t o n i c i ty a n d 7 一 s u b d i ff e r e n t i a l f o r s e t - v a lu e d m a p p in g s a n d p r o p e r f u n c t i o n a l s , r e s p e c t i v e l y , a n d l e e a l s o p r e s e n t s a n o p e n p r o b l e m : i f q : h -+ 2 is a m a x im a l r7 一 m o n o t o n e s e t - v a l u e d m a p p i n g , t h e n u n d e r w h a t c o n d i t i o n s d o w e h a v e r g e ( i + a ,q ) = h ? h e r e h i s a r e a l h i l b e r t s p a c e . 17 : h x h - h i s a s i n g l e - v a l u e d m a p p i n g , a 0 i s a n a n y g i v e n c o n s t a n t . i a n d r g e ( i + a q ) d e n o t e t h e i d e n t i ty m a p p i n g a n d r a n g e o f t h e s e t - v a l u e d m a p p i n g i + a q, r e s p e c t i v e l y . t h i s p a p e r i s d e v o t e d t o s t u d y s y s t e m a t i c a l l y a c l a s s o f g e n e r a l i z e d s e t - v a l u e d v a r i a t i o n a l in c l u s i o n p r o b l e m s , w h i c h i s a n u n i ty , a n d e x t e n s i o n o f a l a r g e n u m b e r o f k n o w n v a r i a t i o n a l i n e q u a l i t i e s , m i x e d v a r i a t i o n a l in e q u a l i t ie s a n d v a r i a t i o n a l i n c l u s i o n s , f r o m t h e o ry a n d a l g o r it h m s . t h e re s e a r c h i s c a r r i e d o n f r o m f o u r a s p e c t s . o n e i s , b a s e d o n a n s w e r i n g t h e a b o v e o p e n p r o b l e m o n a f in i t e d im e n s i o n a l e u c l i d e a n s p a c e b y m e a n s o f p a r t i a l l y o r d e r e d t h e o ry , t o re s e a r c h t h e e x i s t e n c e o f s o l u t i o n s , g l o b a l e r r o r b o u n d s o f p r o x i m a l s o l u t i o n s a n d s e n s i ti v i ty o f p a r a m e t r i c u n i q u e s o lu t i o n s a n d p r e s e n t a c l a s s 、 o f v a r i a b l e - p a r a m e t e r t h r e e - s t e p i t e r a t i v e a l g o r i t h m s f o r g e n e r a l i z e d s e t - v a l u e d v a r i a t i o n a l i n c lu s i o n p r o b l e m s b y u s i n g 7i 一 r e s o l v e n t o p e r a t o r o f s e t - v a lu e d m a p p in g . t w o i s t o c o n s i d e r t h e c o n v e x i t y , c l o s e d n e s s a n d b o u n d e d n e s s o f t h e s o l u t io n s e t o f g e n e r a l s e t - v a l u e d v a r i a t i o n a l i n c l u s i o n p r o b l e m s a n d t h e s e n s i t i v i ty o f t h e p a r a m e t r i c s o l u t i o n s e t b y m e a n s o f g r a p h i c a l c o n v e r g e n c e t h e o ry . t h r e e i s t o d i s c u s s d i r e c t l y t h e e x i s t e n c e o f s o l u t i o n s b y u s i n g a n a ly t i c a l m e t h o d s f o r s e t - v a l u e d m i x e d q u a s i - v a r i a t i o n a l - l i k e i n e q u a l i t i e s a n d s u g g e s t a c l a s s o f d ir e c t v a r i a b l e - p a r a m e t e r t h r e e - s t e p i t e r a t i v e a l g o r i t h m s f o r s o l v i n g g e n e r a l i z e d s e t - v a l u e d v a r i a t i o n a l in c l u s i o n s . f i n a l l y , t h e r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n g e n e r a l i z e d s e t - v a l u e d v a r i a t i o n a l i n c l u s i o n p r o b l e m s a n d n o n - c o n v e x p rog r a m m 吨 a r e s tu d i e d . d e t a i l s a r e a s f o l l o w s . .t h e b a c k g r o u n d , p r e s e n t r e s e a r c h s i t u a t i o n a n d m a t h e m a t i c a l m o d e l s o f g e n e r a l i z e d s e t - v a l u e d v a r i a t i o n a l i n c l u s i o n r e l a t e d re f e re n c e s a r e s y n t h e s i z e d . a re i n t r o d u c e d b r i e fl y . t h e ， t h e n o t i o n o f r ! 一 re s o l v e n t o p e r a t o r o f s e t - v a l u e d m a p p in g s i s i n t r o d u c e d . t h e s a m e r a n k l i p s c h i t z c o n t i n u o u s d e v e l o p m e n t o f s i n g l e - v a l u e d m a p p i n g s i s p r o v e n b y m e a n s o f p a rt i a l l y o r d e r e d t h e o ry o n f i n i t e d i m e n s i o n a l e u c l i d e a n s p a c e s . t h e p r o b l e m t h a t u n d e r w h a t c o n d i t i o n s t h e r) 一 re s o l v e n t o p e r a t o r o f a m a x i m a l ) 一 m o n o t o n e s e t - v a l u e d m a p p i n g i s a l i p s c h i t z c o n t i n u o u s s i n g l e - v a l u e d m a p p i n g o n w h o l e s p a c e , w h i c h a l s o a n s w e r s t h e o p e n p ro b l e m m e n t i o n e d a b o v e , i s s t u d i e d o n f i n i t e d i m e n - s i o n a l e u c l i d e a n s p a c e s . t h e p ro b l e m i s re s e a r c h e d t h a t u n d e r w h a t c o n d i t i o n s t h e n 一 re s o l v e n t o p e r a t o r o f n 一 s u b d i ff e r e n ti a l m a p p i n g o f a p r o p e r f u n c t i o n a l i s a l i p s c h it z c o n t in u o u s s i n g l e - v a l u e d m a p p i n g o n w h o l e s p a c e . .t h e e x i s t e n c e c o n d i t i o n s o f u n i q u e s o l u t i o n s a r e d i s c u s s e d b y u s i n g n 一 r e s l o v e n t o p e r a t o r s f o r s e t - v a lu e d m i x e d q u a s i - v a r i a t i o n a l - l i k e i n e q u a l ity a n d g e n e r a l i z e d s e t - v a l u e d v a r i a t i o n a l i n c lu s i o n p ro b l e m s o n f in it e d i m e n s i o n a l e u c l i d e a n s p a c e s ; r e s p e c t i v e l y . t h e p r o b l e m t h a t u n d e r w h a t c o n d i t i o n s t h e s o l u t i o n s e t i s n o n e m p t y ( n o t n e c e s s a r il y u n i q u e s o l u t i o n ) i s c o n s i d e r e d 妙u s i n g a n a l y t i c a l m e t h o d s f o r s e t - v a l u e d m i x e d q u a s i - v a r i a t i o n a l - l i k e in e q u a li ty p ro b l e m s o n a r e a l h i l b e r t s p a c e . h a v i n g t h e a id o f r 7 - re s l o v e n t o p e r a t o r s ， g l o b a l b o u n d s a r e i n v e s t i g a t e d f o r s e t - v a lu e d m i x e d v a r i a t i o n a l - l i k e i n e q u a l i ty a n d g e n e r a li z e d s e t - v a l u e d v a r i a t i o n a l i n c l u s i o n p ro b l e m s o n f in i t e d i m e n s i o n a l e u c li d e a n s p a c e s . . t h e a s s e r ti o n t h a t u n d e r b a r e l y c o n d i t io n s t h e s u m o f t w o m a x i m a l m o n o t o n e s e t - v a lu e d m a p p i n g s i s a l s o m a x i m a l m o n o t o n e i s p r o v e n b y m e a n s o f g r a p h i c a l c o n v e r g e n c e t h e o ry o n f i n i t e d i m e n s i o n a l e u c li d e a n s p a c e s . b a s e d o n w h i c h , c o n v e x i ty , c l o s e d n e s s a n d b o u n d e d n e s s o f t h e s o lu t i o n s e t s a re s t u d i e d f o r a c l a s s o f g e n e r a l s e t - v a l u e d v a r i a t i o n a l i n c l u s i o n p ro b l e m s .o n f in i t e d ime n s i o n a l e u c li d e a n s p a c e s , t h e u n i q u e s o l u t i o n s e n s i t iv i ty f o r g e n e r a l i z e d p a r a m e t r i c s e t - v a l u e d v a r i a t i o n a l i n c l u s i o n p ro b l e m s a n d t h e s o l u t i o n s e t s e n s i t i v i ty f o r g e n e r a l s e t - v a lu e d v a r i a t i o n a l i n c l u s i o n p ro b l e m s a re - a n a ly z e d b y u s i n g 17 一 re s o l v e n t o p e r a t o r a n d re s o l v e n t o p e r a t o r , re s p e c t i v e l y . i n o r d e r t o s o lv e g e n e r a l i z e d s e t - v a l u e d v a r i a t i o n a l i n c l u s io n p ro b l e m s , o n fi n i t e d i m e n s i o n a l e u c l i d e a n s p a c e s , a c l a s s o f v a r i a b l e - p a r a m e t e r t h r e e - s t e p i t e r a t i v e a l g o r i t h m s i s p r e s e n t e d b a s e d o n q 一 r e s o l v e n t o p e r a t o r a n d o n r e a l h i l b e r t s p a c e s , a c l a s s o f d i r e c t v a r ia b l e - p a r a m e t e r t h re e - s t e p i t e r a t i v e a l g o r i t h m s i s s u g g e s t e d . .t h e r e l a t i o n s h i p s b e t w e e n g e n e r a l i z e d c o n v e x i t y o f o b j e c t i v e f u n c t i o n s o p t im i z a t i o n p r o b l e m s a n d g e n e r a l i z e d m o n o t o n i c it y o f s e t - v a l u e d m a p p i n g s i n ar e e s t a b l i s h e d . a n e x a m p l e i s u s e d t o i n t e r p re t h o w t o c h a n g e a n o n c o n v e x p r o g r a m i n t o a s e t - v a l u e d v a r i a t i o n a l i n c l u s i o n p r o b l e m . k e y w o r d s : g e n e r a l i z e d s e t - v a l u e d v a r i a t i o n a l i n c l u s i o n g l o b a l e r r o r b o u n dp rop e r t y 77 一 r e s o l v e n t o p e r a t o r s e n s i t i v i t y a n a l y s i s 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。尽我所知，除了文中特别加以 标注和致谢中 所罗列的内容以外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果:也不包含为获得西安电子科技大学或其它教 育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡 献均己在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人签名:1 04 -1日 期: d e e 3 . b , 了 关于论文使用授权的说明 本人完全了 解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定， 即: 研究生 在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。本人保证毕业离 校后，发表论文或使用论文 与学位论文相关)工作成果时署名单位仍然为西安电 子科技大学。学校有权保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文;学校可以公 布论文的全部或部分内 容， 可以允许采用影印、 缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保 密的论文在解密后遵守此规定) 本人签名 ( n 5 日期: 导师签名 日 期 :钾 塑 竺 三竺 第一章 绪论 1 . 1广义集值变分包含问 题的背景和研究现状 1 9 6 4 年至1 9 6 7 年， s t a m p a c c h i a )0 , l i o n s 和s t a m p a c c h i a 2 ) 在 研究一系列 数理 问题时首次提出变分不等式概念。1 9 7 2 年， d u v o u t 和l i o n s ) ) 研究了变分不等式 在机械、 物理两方面的应用; b r 6 z i s ) . 研究了它在数学中的应用. 渐渐地， 变分不 等式问 题作为一个新的 研究课题开始受到数学工作者的 关注。1 9 7 5 年， n o o r 在其 博士论文(s ) 中研究了变分不等式的一些基础理论问 题。 2 0 世纪8 0 年代，变分不等式问 题受到越来越多的关注。学者们利用投影法、 辅助原理法、线性通近法、牛顿法、罚函数法等方法从理论、算法和应用三方面 同 时 研究 这 一问 题， 其中 包 括 解的 存 在 性、 通 近 解 的 全 局 误 差 界、 . 求 解 算 法以 及 它们在控制与最优化、非线性规划、经济、金融、运输等领域中的应用。同时， 还将这一问题加以推广，形成广义集值变分不等式问 题， 读者可参看文献 6 - 1 6 , 9 0年代以后，变分不等式问题逐渐形成了一个研究热点。s h i to - is ) 和 r o b i n s o n ) ” 分别介绍了w i e n e r - h o p f 方 程 ( 也称 法映 射) ， 并讨论了 该方 程与变分 不等式之间的等价关系。此后，这一方程被广泛地用来研究变分不等式问题解的 存在性、逼近解的全局误差界、求解迭代算法和参数解的灵敏性。大量的研究结 果使得变分不等式问题形成了一个较为完整的理论体系， 读者可参看文献 1 1 , 1 6 , 2 0 - 6 4 , 1 2 1 , 1 3 8 - 1 4 2 1 。 但较为遗憾的是， 有关问 题解集的拓扑性质的 研究， 所见文献不多。在这一时期，学者们并未满足于只对变分不等式本身进行研究， 同时也从各个方面对这一问题加以 推广和改进，以适应更广泛的应用. 变分不等式的一个极为有用的推广就是带有非线性项的混合变分不等式。由 于非 线 性项的 存 在， 投 影 法 和w ie n e r - h o p f 方 程 法 均 无 法 使 用， 这 给 研究 带 来了 不 少困难。但是当非线性项是真凸下半连续泛函时，它的次微分映射是一个极大单 调的集值映射，于是学者们想到了利用集值映射的预解算子来代替投影算子作为 一个突破口 。 这一想法最早是由m a r ti n e t )6 s ) 和b r 6 z i s ) ) 提出的，随后h a s s o u n i 和 m o u d a fi ) 6 ) 将之加以改进和完善. n o o r ) a ) 在预解算子的 基础上又提出了 预解方程 并建立起它与混合变分不等式之间的等价关系。之后， 利用预解算子和预解方程 将针对变分不等式问 题的许多 研究成果推广到了 混合变分不等式问题上.由于计 算( 或估计) 预解算子比 较困 难， 学者们又提出了 辅助原理法，或称辅助变分不等 式法。 这一方 法 最早是由l i o n s 和s ta m p a c c h i a z 1 提出的. 近十年来， 这两 种方法 被广泛地用来研究混合变分不等式问 题解的 存在性、参数唯一解的灵敏性以及提 出各种迭代算法， 读者可参看文献 6 9 - 8 4 。同样较为遗憾的是，关于混合变分不 等式问题通近解的全局误差界和解集拓扑性质的研究成果，作者所见不多。 近年来，对变分不等式问题的研究主要集中 在以下几个方面:一是将混合变 分不等式问题推广为广义混合变分不等式问 题和广义变分包含问题;二是由考虑 单值问题转化为考虑集值问 题;针对一些特殊类型的广义集值变分包含问题的解 的存在性、参数唯一解的灵敏性以 及求解迭代算法己有不少研究结果，本文列举 了文献【 8 5 - 1 2 3 :三是从不同的角度弱化集值映射的单调性，在较弱单调性背景 下研究广义集值( 混合) 变分不等式问题和广义集值变分包含问题，读者可参看文 献【 1 2 4 - 1 2 5 , 1 9 2 - 1 9 3 1 ;四 是研究变分不等式与 其他平衡解之间的关系， 见【 1 9 4 ; 五是研究二层变分何题，见 1 9 5 1 . 2 0 0 0 年， 1 ,e c p u i 和d 吨1s 】 分 别 介 绍了 集 值 映 射的17 一 单 调 性和 真泛函 的17 - 次 微分两个概念( 其中r 7 : hx h- + h是一个单 值映 射，h是一个实h i l b e r t 空间) 。 同 时 ， .l e e 还 提 出 了 一 个“ 公 开 问 题 份 : 如 果 q : h- ) , 2 是 一 个 极 大 叮 一 单 调 的 集 值映 射， 那 么r g e ( i 十 犯) ， h 在 什 么 条 件 下成 立 ? 其中: 浇 0 是 任惫 给定的 常 数， i 和r g e ( i + a .q ) 分 别表示恒等映 射和 集值映 射i + a .q 的 值域. 1 . 2 相关文献的综述 针对一般的集值变分不等式、集值混合变分不等式和集值变分包含问题的解 的 存在性，目 前已有许多研究成果。 这些成果基本上采用了 三类方法:一是在集 值映 射的 极大 单 调 性 背景 下， 利 用 投 影 算 子和w i e n e r - h o p f 方 程、 预 解算子 和 预 解 方程以 及它们的各种变化形式来研究问 题存在解的充分条件， 同时给出 迭代算法， 见文献 7 2 - 7 6 , 9 1 - 9 4 , 9 7 , 1 0 0 , 1 0 3 , 1 0 5 - 1 0 6 , 1 2 6 , 1 2 8 : 二是利用辅助原理法 研究一 些 特殊类的 集值 棍合变分不等 式问 题解的 存 在性， 见 文献【 1 1 1 - 1 1 4 ; 三是利用其他 方法来研究问 题存在解的条件， 见文献 1 9 6 - 2 0 0 . 误差界主要是用来衡t问 题的逼近解距问 题解集的远近， 同时也可用来分析 算 法的 收 敛 性. 利 用 投影 方 程的 自 然 余 救 ( n a tu cs l ,r e s i d u e ) . p m g .1 ” 针 对 线性 约 束强 第一章 绪论 单调变分不等式问题给出了的一个全局误差界;l u o 113 9 针对带线性约束的。 一 强凸 最 优 化问 题 提出了 一 个 全局 投 影 型 误 差 界; m a t h i a s 和p a n g 6 ) 对 带 有p - 矩阵的 线 性互 补 问 题 给出了 一 个 全局 投 影型 误 差界， m a n g a s a r ia n 和r e n s o 1 对 带 有r 。 一 矩阵 的 线性 互 补问 题 给出了 同 样的 误差 界; l u o 和t s e n g 3 9 1 . g o w d a 0 o 1 分 别 讨论了 线 性互补问题和分段仿射方程存在全局投影型误差界的充分必要条件;c h e n 和 h a r k e r (14 1 , c h e n 14 2 1 又 将m a t h ia s 和p a n g . m a n g a s a r i a n 和r e n 的 结 果 推 广到 带 有 p 一 函 数 和r 。 一 函 数的 非 线性 互 补问 题 上; x iu 和z h a n 砂2 q 针 对一 般的 广义 强凸 变 分 不 等 式问 题以 及带 有 广义 一 致p - 性 质 和广 义r o - 性 质 的 非 线 性 互 补问 题提出 了 全局误差界。 此外， 读者还可 参看综 述文献【 1 3 8 。 有关集值混合 变分不等式问 题 和集值变分包含问 题的全局误差界的相关文献， 作者所见不多. 变分不等式问题的解集的拓扑性质是研究多层规划和二层变分不等式问题的 一个重要基础。 1 9 9 8 年， r o c k a f e l l a r 和w e t s 11 6 3 1 在有限 维空间r 中 研究了 经典变分 不等式问题: 找x e c使得 r ” 是一 个单调连续的 单值映 射。 2 0 0 0 年， a u s l e n d e r 和c o r r e a p o 勺 将此结果加以 推广， 给出 了集值变分不等式问题: 找x e c 使得存在u e a ( x ) 满足 ? 0 , b x e c , 和当c = x e r : f , ( x ) _ 0 , i = 1 , . . . , m 时， 其 对 偶 变 分不 等 式问 题: 找u e r , x e c 使得 。 。 a ( x ) 十 艺 而 bf , ( x )u l及u ; f , ( x ) = 0 , = 1 . . . m 的 解 集 有 界 的 充 分 条 件 ， 其中 : c c 尸是 一 个 非 空 闭 凸 集 ， 关: 渺-4 r , i = 1 ， 一 ， m 是 连续凸 函 数 ， a : r - ), 2 r 是 极 大 单 调的 集 值映 射且c n d o m a # 。 有 关 集值 混 合变分不等式和集值变分包含问 题解集拓扑性质方面的文献，作者目前还没有看 西安电子科技大学博士论文:一类广义集值变分包含问题的研究 到。 在集值映射的极大单调性背景下，关于集值变分不等式、集值混合变分不等 式、集值变分包含以及拟集值变分包含问题唯一解的灵敏性分析，读者可参看文 献【 6 2 , 1 6 4 - 1 7 6 。 关于向 量 拟变分不 等式问 题解 集的 灵 敏性分 析可参 看文献 2 0 1 1 . 但关于一般集值变分包含问题解集的灵敏性分析以及问题中所涉及的集值映射不 是极大单调的情况，作者所见文献不多。 针对求解变分不等式问题、混合变分不等式问题和变分包含问 题，学者们提 出了大量的迭代算法。大致可分为: 对 求解线性变分不等式问 题， 有 类牛顿 法 ( n e w t o n - l i k e m e t h o d s ) 1 4 s - 14 6 和投影 法( p r o j e c t i o n - t y p e m e t h o d s ) l 14 7 - 15 9 等。 对求解单调非线性单值变分不等式问 题 最 简单的 算法是g o l d s t e i n - l e v i l i n - p o ly a k 投影法15 ，一 ， ， ， ，它是一种显式法;对应的隐 式法是逼近点法im - 154 ;基于这两种方法，k o r p e le v i c h ” 提出了超梯度法 ( e x t r a g r a d i e n t m e t h o d s ， 又称k o r p e l e v i c h 法) ， 它实际 上是一种特殊的预测一 校正法 ( p r o j e c t i o n - c o r r e c t i o n m e t h o d ) :在预测过程中 采用7 g o l d s t e i n - l e v i l i n - p o l y a k 显 式投影 法， 在校正 过程中 使用了 隐 式 逼近点 法; k h o b o t o v 11 5 6 1 改 进了 超梯度法， 得 到k o r p e le v ic h - k h o b o t o v 法; 最 近 ， h e 和l ia o 12 2 利 用 更 好的 预 测、 校正 步 长改 进 了k c :,p e l e v i c h - k h o b o t o v 法。 由 于 计 算( 或估 计 ) 投影 算子比 较困 难， 学者 们又提出 了 辅助原理 法。 这一方法最早是由l i o n s 和s t a m p a c c h i a 2 提出的， g l o w i n s k i , l i o n s 和t r e m o l i e r e s (s 将之加以改 进并用来求解混合单值变分不等式; n o o r 1 12 在辅助原 理法的基础上提出了一般的预测一 校正法。 对求解集值变分不等式问题， s h i 8 和 n o o r 28 1 分 别 独 立 地 提出了 基 于 投 影 算 子的w i e n e r - h o p f 方 程 法; n o o r i i i 利用 辅 助 变分不等式提出了 三步预测一 校正法。 此外， 还有连续可微最优化法4 8 ,1 5 7 和非光滑 法p 5 s 。 有兴 趣的 读 者也可参 看综 述文 献 1 5 , 3 刀 及所 含参考 文献。 对于求解集值混合变分不等式问题，当非线性项是一个真凸下半连续泛函时， n o o r 4 2 , 6 9 , 1 2 9 ,15 9 利用集值映 射的 预解算子提出了 预解方程法和隐式法， 后一方法是 求解经典变分不等式之隐式法【160 1 的推广; 由于隐式法在很大程度上依赖于初始罚 参数， 为了 减轻 这一依 赖