（固体力学专业论文）平面弹性接触问题的光弹性数值组合解法.pdf

周海兵：平面弹性接触问题的光弹性一数值组合解法 摘要 本文利用光弹性一数值组合解法对平面弹性接触问题进行了研 究。首先对接触问题进行了数学描述。利用边界积分方程，结合接 触条件，形成接触问题的系统方程。采用增量迭代的方法，通过计 算程序求得数值解。由光弹性实验得到实验解，并将此解与数值解 进行比较和分析，误差在合理范围之内。分别探讨了几个因素对接 触问题的影响，为数值求解平面弹性接触问题提供实验验证。 关键词：光弹性一数值组合解法，接触问题，数学模拟，边界积 分方程，光弹性实验 湖南大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h i s t h e s i s ，t h e c o m b i n a t i o no fp h o t o e l a s t i ca n dn u m e r i c a l m e t h o d si su s e dt os t u d yt h et w o d i m e n s i o n a le l a s t i cc o n t a c tp r o b l e m s t h em a t h e m a t i c a l d e s c r i p t i o n o ft h ec o n t a c ts t a t ei sd e v e l o p e d b a s e do n t h eb o u n d a r yi n t e g r a l e q u m i o nm e t h o d ，t h es y s t e me q u m i o no fc o n t a c t p r o b l e m s ，i n c l u d i n gc o n t a c tc o n d i t i o n s ，i se s t a b l i s h e d b yi n c r e m e n t a l i t e r a t i o n ，t h en u m e r i c a l r e s u l t sa r e o b t a i n e d ，a n dc o m p a r e dw i t h p h o t o e l a s t i ce x p e r i m e n t a lo n e s t h e yc o i n c i d ew e l lw i t he a c ho t h e r t h e e f f e c t so fs e v e r a lf a c t o r so nc o n t a c t p r o b l e m sa r ed i s c u s s e d ，a n dt h e e x p e r i m e n te x a m i n a t i o ni sp r o v i d e df o rt h en u m e r i c a ls o l u t i o no fe l a s t i c c o n t a c tp r o b l e m s k e yw o r d s ：c o m b i n a t i o n o f p h o t o e l a s t i c a n dn u m e r i c a lm e t h o d s c o n t a c t p r o b l e m ，m a t h e m a t i c a l d e s c r i p t i o n ，b o u n d a r y i n t e g r a le q u a t i o n ，p h o t o e l a s t i ce x p e r i m e n t 一 璺塑墨! ! 堕登竺堡竺坚垦塑堂堂竺：鍪垡垒鱼竺堕 第一章概述 本章主要介绍了接触问题的工程背景，接触问题的提出，求解接触问题的 方法及其在国内外的研究现状，此外，简述了本文的主要工作。 第一节接触问题简介 通常所讲的接触问题也就是接触力学所研究的问题。接触力学是研究以 接触区相互接触的可变形体之间相互作用的一门科学。其中，接触区又称为“接 触范围”，“接触斑”，“接触面” 1 等。接触问题是工程中常见的问题，只要两 物体不是刚性接触，就形成接触问题，如机械加工中两齿轮轮齿表面的接触； 会。属材料成形过程中材料与模具的接触；轴承球体与支撑以及轴承与支座间的 接触；土木工程中土壤与墙体间的接触，等等。当物体在外力作用下接触时， 其接触的形式有点接触，线接触，面接触。如果是复杂加载或接触面几何构造 复杂，上述几种接触形式可同时存在。外载变化时，物体间的接触状况电将发 生变化。这种变化不仅取决于外载的大小、方向、速率，而且取决于两接触表 面的材料、几何构造、表面加工状况等等，因而使接触问题成为一个强非线性 问题 2 】。 接触力学这门学科形成于1 8 8 2 年，由hh e r t z 发表他的经典论文论弹一队 固体的接触而丌始的。但是h e r t z 理论局限于无摩擦表面及理想弹性固体。 一十世纪后半叶，在接触力学方面的研究突破了上述局限。适当处理了接触物 体臣交界处的摩擦，从而能将弹性理论以更符合实际的方式推广到滑动接触吸 滚动接触。同时，塑性理论及线性粘弹性理论的进展使我们能够研究非弹性物 体接触处的应力和变形。 湖南大学硕士学位论文 第二节应力分析方法 合理地设计工程结构或机械零部件的关键是了解该结构物或零部件的应力 分布规律，因而必须首先进行应力分析工作。通常，应力分析有三种方法 3 】： 1 理论分析。用材料力学和弹性理论求出变形体内各点应力状态的基本方 程，得到应力的计算公式，揭示问题的一般规律。 2 数值计算。随着电子计算机的发展，应用有限单元法等数值计算方法， 舀：计算机上进行的数值模拟方法可以近似地计算固体力学中的问题，从而给出 结构物或零部件应力分布的数值解。 3 实验应力分析。用实验方法测定结构和零部件的应力和变形，是解决工 程问题的一个重要手段。该法主要用于：测定构件各部位的应力及各种参数， 如位移、加速度：评定设备的安全可靠性，为提高设备的承载能力而提供依据； 划破坏或失效的构件进行分析，提出改进措施；为最优设计选择合理的构件尺 一j 和结构形式，探索新的理论。 本文所用应力分析方法是光弹性实验方法与边界元数值方法的组合解法。 2 1 光弹性法 1 8 1 2 年d a v i db r e w s t e r 发现将在载荷作用下的玻璃板置于偏振光场中会 出现彩色条纹，这些条纹与玻璃板各点的应力状态有关。1 8 4 1 年n e u m a n n 和 18 5 3 年m a x w e l l 在实验的基础上，证明了主折射率与主应力之间成线性关系， 从而得到了应力这个力学量与光程差这个光学量之删的定量关系，即应力一光学 定律，奠定了光测弹性力学的理论基础。1 9 0 6 年赛璐珞被用作光弹性材料，以 及一十世纪3 0 年代的酚醛树脂和二十世纪5 0 年代的环氧树脂等光学敏感性材 料h j 现后，有力地推动了光弹性方法的发展。目前最优良的光 单性材料是聚碳 酸酯，其光学灵敏度和透明度均高于环氧树脂。 光弹性法属于一种全场性测量，由于它可以很方便地得到整个模型的应力 条纹图，因而可以直接观察到模型内各点的应力分布情况。 2 周海兵：平面弹性接触问题的光弹性- 数值组合解法 目前，光弹性研究的领域正在不断地扩大，已经从静态光弹性发展到动态 匕弹性，从常温下光弹性发展到热光弹性，从各向同性材料问题发展到各向异 性材料问题，从弹性问题发展到弹塑性和塑性问题，从连续体力学问题发展到 断裂力学问题。此外，将光弹性法与计算机相结合，可以实现光弹数据的自动 ：果集及图象处理。光弹性法除了广泛应用于航空航天工业、重型机械、动力机 械、工程机械、土建水利、发电设备、交通运输等方面外，在诸多力学领域中 娜塑性力学、岩石力学、断裂力学、生物力学、复合材料力学以及动应力、热 应力等方面已开始应用光弹性方法进行研究，均取得了较大的进展。 2 2 边界元法 当研究某一个物理问题时，首先必须建立数学模型，并假定主要变量之间 的关系，然后根据主要变量之间的关系确定研究对象无限小微分元素的性质， 从而得到描述该问题的微分方程组。目前，除了非常简单的几何形状和边界条 件可以得到其微分方程的解析解外，绝大多数工程实际问题只能依靠数值讨算 方法来求解，而且一般数值方法能够得到所要求精度的各种结果。 数值方法中的边界元法又叫边界积分方程方法，是和有限元法相提并论的 种近似分析方法。自1 9 0 3 年f r e d h o l m 发表第一篇关于积分方程的文章后 【1 4 ，前苏联著名数学家，力学家k u p r a d z e ，m u s k h e l i s h v i l i ，m i k h l i n s m i r n o v 等相继出版了一系列有关积分方程的著作【2 5 2 8 】。1 9 5 3 年k e l l o g g 应用积分方 程解答由l a p l a c e 方程控制的流体力学和一般位势场问题 2 9 1 ，并把这种方法叫 做“点源法”或“恻接法”( 即问题的未知量不是物理问题变量的方法、。按照 移：分方程中出现的未知函数是否为物理问题的变量，可以分为三类：州接边界 元法，巍接边界元法，半直接边界元法。本文的数值方法采用直接边界元法， 即边界【二的未知量有明确的物理意义。这一概念是由c r u s e 和r i z z o 在关于弹 附：静力学的文章中首先提出 3 0 】。二十世纪六十年代和七十年代通过j a s w o n 3 2 1 s j 7 m m 3 3 1 ，m a s s o n n e t 3 4 ，h e s s 【3 5 和很多其他人的工作，使边界积分方程方法 继续发展。1 9 7 8 年b r e b b i a 第一次出版了应用边界元法于工程实际问题的书：【： 程师用的边界元法，自那时起，边界元法蓬勃发展，且f 1 臻完善。 。1 塑塑查兰堡主兰竺笙兰 边界元法与有限元法相比，在求解弹性接触问题时具有显著的优点： f 1 ) 高效率。由于接触仅发生在物体的边界，对于弹性接触问题只要将边 界离散，通过凝聚可以归结为可能接触边界的非线性问题。 ( 2 ) 高精度。边界元法求得边界上的变量后，可以直接计算内部任一点的 物理变量。而且，边界元法的基本解是精确满足问题的区域内部的微分方程。 我国在边界积分方程边界元法领域里已经取得了很多有价值的成果。 工程中的边界元法学术会议在我国已经召开了多次，相应地出版了文集。中目 双边的边界元法学术会议每一年半召开一次，取得相应的成绩。对于线弹性体 的应力集中问题，应力有奇异性的弹塑性裂纹问题，考虑脆性材料中裂纹扩展 的结构软化分析，局部进入塑性的弹塑性局部应力问题等，边界元法有着广泛 应用。 2 3 组合解法 求解接触问题时，我们首先采用边界元法中的增量迭代法，通过计算程序 求得数值解，由光弹性实验得出实验解，将两者进行比较，分析了几个因素对 接触问题的影响，为数值求解平面弹性接触问题提供实验验证。经过二：十多年 特别是最近十多年的发展，光弹性实验方法和边界元数值方法相结合的研究方 法已受到国内外研究者和工程界的重视，所研究的领域已经涉及到二维、三维 弹性静力学，弹塑性问题，蠕变，板壳问题，断裂力学，接触力学等。 第三节目前发展概况 两弹性物体相互压紧时在接触处附近会发生局部变形，从而形成一微小f 内 接触面。山于接触面很小，因而一丌始接近于点接触或线接触。此时，即使物 体承受轻载，接触应力也很高 4 1 。18 8 1 年h e r t z 首先研究接触状态下的力学问 题，建立了关于曲面物体相互压紧的表面应力和变形的数学理论。b e l a j e f 研究 了表面应力和表面下应力 2 0 ，2 1 ，t h o m a s 和h o e r s c 在数学上研究了圆柱与s t 2 面_ 二紧和两个交叉圆柱压紧时的表面压应力和内部剪应力f 2 2 ，w h i t t e m o r e 和 4 周海兵：平面弹性接触问题的光弹性一数值组合解法 p e t r e n k o 测量了球与滚道的变形和接触面积1 2 3 。 g a l i n 分别于1 9 5 3 年和1 9 8 0 年出版了两本关于弹性和粘弹性接触问题的著 作，主要论述二维理论 3 6 ，3 7 。 g l a d w e l l 在1 9 8 0 年出版了一本关于接触力学的书 3 8 1 ，主要考虑集中的或 大范围的无摩擦接触或粘着接触，该书堪称经典接触力学理论最完整的论述。 j o h n s o n 在1 9 8 5 年的著作【3 9 1 对集中接触理论及工程实践作了全面的介绍， 对许多接触问题进行了讨论。k i k u c h i 和o d e n 于1 9 8 8 年写了一本关于无摩擦 和有摩擦接触力学的书4 0 。 t a n d e r s o n 于1 9 8 0 年发表了用边界元法研究弹性接触问题的第一篇论文， 其中考虑常单元且无摩擦的情况【5 。1 9 8 1 年，他又将这项工作推广到有摩擦的 接触问题，此后，还用二次单元研究了该问题【6 】。 1 9 8 7 年，g k a r a m i 采用二次等参元解决了二维有摩擦弹性、热弹性的接触 问题 7 1 。1 9 9 3 年，他又用二次等参元研究了有摩擦弹塑性问题，同时给出了多 体接触公式8 1 。 1 9 9 3 年，ca b r e b b i a 在其编辑的关于接触问题的专著中，有许多用边界 7 法求解接触问题的方法【9 】，如y a g a w a 的罚函数法，y a k a h a s h i 的柔度法，l e e 的数学规划法等。 我国的江骏书、赵士英于1 9 8 5 年用线性单元求解了无摩擦时的平面弹性接 触问题 1 0 】。申光宪等人对弹性、弹塑性、塑性与刚体的接触问题作了较多的 研究 1 l ，1 2 j 。 1 9 9 6 年，沙江波等应用光弹性方法研究了不同接触载荷下缺口尖端的应力 场z ，列接触疲劳裂纹扩张机理进行了探讨1 3 1 。 弹性摩擦接触问题数值解分析【18 一文以边界单元法求解弹性摩擦接触问 题，通过对问题数值解的分析，探讨了当两弹性接触体阃的参数变化时，其接 触域和接触面力的分布规律。用边界元求解二维弹性接触问题f 4 1 1 的一种改进 方法在逼近实际接触区的过程中用降低迭代方程组数的办法来加速求解 1 9 】。 总之，光弹性一数值组合方法是近年才发展起来的f 1 4 - 17 1 ，本文试用该法 湖南大学硕士学位论文 较深入地研究平面接触问题。 第四节本文主要工作 本课题来源于国家自然科学基金项目用边界元法解接触碰撞问题。 边界元法是在有限元法之后发展起来且目益成为工程中广泛应用的一种有 效的求解边值问题的数值分析方法。其最大的特点就是降低了问题的维数，只 以边界变量为基本未知量，在需要求解域内未知量时可以依据边界量而得到。 光弹性实验是一种应用光学方法测量受力模型上各点应力状态的实验应力 分析方法，它可以直接地观察模型内各点的应力分布情况。关键问题是提高接 触处条纹的分辨率及接触长度的高精度测量。并且考虑摩擦对接触问题的影响。 本文利用光弹性数值组合方法，由边界元方法和计算程序得到数值解，同 时结合其计算过程进行光弹性实验，得出其实验解，并将两者的结果进行比较， 探讨相关因素的影响，为数值求解平面弹性接触问题提供实验验证。 周海兵：平面弹性接触问题的光弹性数值组合解法 第二章平面接触问题的边界元解法 本章介绍了边界元方法，根据弹性理论，利用边界积分方程，结合接触条 件形成接触问题的系统方程，通过计算程序求解。 第一节边界元方法概述 边界元法又叫边界积分方程法，是和有限元法相提并论的一种近似分析力 法，边界元法与有限元法的比较： 1 边界元法把所考虑问题的区域维数降低了一维。模拟问题的区域边界要 比整个区域快而简便，因此占主导地位的数据处理时间比有限元法大大减少。 ( a ) 有限元单元划分 j 咔渐 形输 ( b ) 边界元单元划分 ( c ) 有限元单元划分 ( d ) 边界元单元划分 图2 - 1边界元与有限元单元划分的比较 7 一 湖南大学硕士学位论文 2 边界元法容易改变网格或单元的离散化格式。例如分析二维问题时，有 限元法和边界元法的单元划分如图2 1 ( a ) 、( b ) 所示。当在中心开一个d , ：f l 时， 有限元法必须全部改变离散格式，如图2 - l ( c ) 所示。但边界元法只须在小孔的 边界上增加单元，原来的离散格式可以保持不变，如图2 1 ( d ) 所示。 3 边界元法把研究问题的控制微分方程转换成区域边界上的积分方程，然 后在区域边界上有限地离散，最后所得方程组中只包含边界上的未知量。这样 边界元的数目远远少于有限元的数目。 4 边界元法求解问题的结果精度高于有限元法。其一，边界元法根据边界 上的量直接计算内部任一点的物理变量。其二，边界元法的基本解是精确满足 问题的区域内部的微分方程，只在边界上对几何形状和变量作近似模拟并采用 数值计算方法计算影响矩阵，在内部并不存在近似。 5 在不可压缩或接近不可压缩材料的问题中，以位移为未知量的有限元法 刚度矩阵中包含1 ( 1 2 v ) 的项，其材料v = 0 5 ，有限元法无法处理。但边界元 法可以较精确地处理这类问题。 6 无限域问题是边界元法最宜应用的领域。 第二节弹性力学方程 我们在讨论弹性力学问题时，有两个基本假设： 。、线性应力应变关系。 i 、小变形理论。 l 对于 个包含域q ，边界为r 的各向同性线弹性体，有平衡方程， 口。，+ 6 ，= 0 ，( 在q 内)( 2 1 ) 剪应力互等定理 盯，= 盯，( 2 2 ) 2 设物体边界为r ，由边界f 所围成的区域为q ，其r t ，是r 位移边界部分， 而r 1 1 是力的边界部分，r = r ，+ r ，。则边界条件为： 一塑塑墨二_ 兰亘壁丝堡! ! ! 塑墼娄堂丝：墼堕望鱼蟹望 u ，= 玩， ( 在r j 上) p ? = 仃。n j = p ? ，( 为丁：b ( 2 - 3 ) 3 柯西无限小应变张量，几何方程为： 毛= ；( “+ ，) 4 虎克定律，或本构方程为： 。u = 2 g q + i 2 g 面v 。6 u 虎克定律更般、更简洁的形式为： o u 2 c 5n 其中c 知是四阶各向同性弹性常数张量， c , j w = 函2 g v j 8 , j 6 k + g l 6 t k s j t + 6 n ) 其中，g 为剪切弹性模量，v 为泊松比，且有 g ：上 2 0 一v ) 5 纳维方程为： g u g , k k + 尚4 帕，= o 在q 内 第三节边界积分方程 3 1 萨米格里纳恒等式 山平衡方程( 2 - i ) 以及两类边界条件( 2 3 ) 式，其7 j i i 权残数方程为 ( 口斗，+ 6 t ) “：棚2e ( 瓦砘) p ：打+ t ( 仇一聃：订 ( 2 】o ) 为 假定对于近似场和加权场，本构关系和几何关系都成立，则式( 2 1o ) 可表刀i 湖南大学硕士学位论文 l ( 盯二沙。地+ lb k “：艘= f p ：订一f 仇“：打 ( 2 一1 1 ) 考虑加权场也满足几何方程( 2 4 ) ，则 s ；= ；( “i ，+ “：，)( 2 - 1 2 ) 通过积分可得在 点的各方向的分量 z“(掌)=f“：(孝，x)p，(z)(旷(z)一p：(孝，x)u4- ，( x ) ( j 7 r ( x ) + 孙地( 。网。i 2 。13 ) 其中，“：( x ) 满足纳维方程( 2 9 ) ，则 g “：尚叱删孙k ( 护o ( 2 - 1 4 ) 上式称为位移的萨米格里纳恒等式，给出了当边界面力n 及边界位移。，全部已 知时，求域内任一点位移的公式。我们把满足上述方程的解称为奇异解或基本 解。 为利用边界上的已知量求边界上的未知量，需推导当源点位于边界一l h i ， 萨米格罩纳恒等式的极限形式。假定物体可以表示为如图2 - 2 ，则 r 图2 - 2 萨米格里纳恒等式极限 “艏) 2f t + “：( 古，x ) ，廖) 盯( x ) _ 。 + “：( 善，x ) b 小) 艘( x ) 当，；一。时，得到边界积分方程： ( 2 1 5 ) 一旦壅墨! 兰亘壁丝堡墼囹里竺堂堂丝兰堕望堑塑壁蔓一 q ( 掌) “) + f 巧( 毒，x ) 叶( 。) 订( 。( 2 - 1 6 ) = i u ：( 善，x ) 岛( 咖旷( x ) + l u ：( 孝，x ) b ，( x ) d f 2 ( x ) 式中 勺( 孝) = 峨+ 磐巧( ，x ) 订( x ) ) ( 2 - 1 7 ) 即， c 。( 亏) = 1 ，舌q 当，掌r ( 2 1 8 ) 三矿 0 ，f q 其中，甜为边界内角的绝对值。 3 2 无限域和半无限域问题 无限规则域是指由规则表面( 因而是有界表面) 为界的区域并包含足够远的 点。为了把边界积分方程推广到无限规则域，必须对积分中的函数在无限远表 面上的性质作一些假定，这些性质叫做规则条件。令p 为球面l 的半径，中心 芒在点，且包含孔洞( 一个或多个) 的外部问题，如图2 - 3 所示。对于r 和【1 。之 问的区域，边界积分方程可写为： 气( 巩( 亭) + f 巧( ( x ) 汀( x ) + l 氍x 呐盯 、 = f u ：( 孝，x ) p ，( x ) 汀( x ) + f u ：( 孝，t 巾，( x ) 订( x ) 。 。 如果口寸0 0 ，则有， ! i m f f 巧( 告，z ) “肛) 一u 澎x ) p 心) j a r ( r ) 2 o ( 2 2 0 ) j ：，就是无限域问题的规则条件。对于无限域有， q ( 古) “，( 孝) + f 巧( 善，x ) 1 4 ( x ) 订( x ) ；f u ：( 掌，x ) p ，( x ) 订( x ) ( 2 2 1 ) 刘于有加载边界r r 的半无限域，如图2 - 4 所示。有， c 。( 孝) “，( 掌) + f 巧( f ，x ) u ，( x ) d h x ) = fu ：( 己x ) p ，( x ) 订( x ) ( 2 - 2 2 ) 湖南大学硕士学位论文 ，一一、 ； 图2 - 3 有空洞的无限域图2 - 4 有孔洞的半, le g 域 注意式中左边是在r 上进行边界积分；而右边是在r 上进行的。 3 3 基本解 对于二维平面应变情况，k e l v i n 基本解为 “：( 亏，x ) = 赤( ( 3 4 v ) l n ( r ) j 。+ 一，i ，) p ：( 掌，x ) = i ；i i ! 了i 7 ( 1 2 v ) 占。+ 2 7 ，i ，j d a 。r 一( 1 2 v ) ( r ，”，一? ，”，) ( 2 - 2 3 ) ( 2 2 4 ) 式辛r = r ( ，x ) 代表荷载点 与场点x 之问的距离，其导数是对坐标x 取的，即 r = ( f ) 2 _ = x ，( x ) 一x ，( 告) ( 2 - 2 5 ) ，：_ 旦l ：1 8 x ，( x ) r 对于平丽应力问题，只要把上式中相应的v 用v - ：j 二代替即可得到相府 l + v 的公式。 周海兵：平面弹性接触问题的光弹性一数值组合解法 3 4 内点的位移与应力 在得到了全部边界上的面力与位移之后，式( 21 3 ) 给出了内点的位移表达 式，它是位移的连续公式。将该式对坐标孝的导数组合起来得到应变张量，再 代入胡克定律，可得该点的应力状态。 a 。( 善) = f “五( 孝，x ) p * ( x ) d r ( x ) 一fp ( 孝，x ) “t ( x ) ( 盯( x ) + l “( 善，x ) 钆( x ) d q ( x ) f 2 - 2 6 ) 对于平面应变的情况，有： “：t 2 丽 ( 1 - 2 v ) ( r 。吒托民一万2 v ，r m p 五：丽而1 2 象【( 1 砌) 巾。州憎t 占- 4 r , r s 叫+ 2 v ( n ，- ，r 女+ j 0 一女) + ( 1 2 v ) ( 2 n r ，l ，+ ，巧m + ，占止) 一( 1 4 v ) n 占。 r 2 - 2 7 ) 3 5 边界积分方程的离散和数值计算 数值计算的步骤是边界单元法的精髓，其步骤如下： 1 ) 边界厂被离散成一系列的边界单元，单元几何形状以及单元上的位移与 面力均用单元节点之间的分片插值函数来表示。 2 ) 边界r 的每个离散节点f 上应用离散形式的方程，并在每个单元上计算 积分，得到包含n 个节点的面力、n 个节点的位移的2 n 个方程构成的线性方 张组。 3 ) 引入边界条件，因为给定了n 个1 ，点值( 在每个节点每个方向1 ：的面力 或觚移) ，故闭。以用标准方法解n 阶代数方程组，得到其余的边界朱 = i 】量。 山边界方程的统一形式： q ( g ) “) + f 巧( 孝，x ) “小) 胡、( x ) = f u ：( 善，x ) p 小) 盯( x ) ( 2 - 2 8 ) 对上式进行离散 4 3 时边界r 山一系列单元来模拟，位于每个单元厂内点 湖南大学硕士学位论文 的坐标x 用插值函数甲和单元节点坐标z ”来表示，其矩阵关系式为 x = 甲7 x ” f 2 - 2 9 ) 首先将边界r 划分为连续的k 个单元，对每一单元内的任一点，其坐标可 插值表示为， 一( ，7 ) = n 9 ( v ) x 7 ( 1 r l 1 )( 2 3 0 ) 口= 】 其中7 为单兀自然坐标，n 为插值函数，为节点。边界积分方程( 2 1 6 ) 石 以表 示为， c 。( 善) “) + 量巧( 孝，r 1 ) u j ( q ) a v f v ) “1 (231、k ， 2 荟u 澎q ) p 期) 坳) 订( ，7 ) 对于二维情形，雅可比变换阵为， j = 傺d x l + c 纠! p ，：， 插值函数选用拉格朗日插值单元，常用线性、二次单元。 线性单元 2 线性单元 二次单元 图2 - 5 插值函数 n i ( 7 7 ) ：一= 1 ( ，7 一1 ) 2 ( 叩) = ；( 玎+ 1 ) f 2 3 3 1 一旦童墨：! 亘堂丝垄丝塑望塑堂堂丝：墼堕丝鱼坚鎏一 二次单元， n 1 ( 吁) = 圭玎( 叩一1 ) 2 ( 印) = ( r + 1 ) ( 1 一，7 ) ( 2 - 3 4 ) n 3 ( _ ) = 妄呷( 1 + ，7 ) 其单元局部节点编码与自然坐标如图2 - 5 所示。 对单元几何形状用插值函数近似之后，对面力与位移用同样的方法模拟。 为方便起见( 并非必要) ，采用与几何形状同阶的插值函数。现设边界r 共有k 个单元，每个单元共有l 个插值节点。r 上共有n 个节点，n 是插值节点的总 体单元编码( 1 n ) ，为插值节点的局部节点编码( 1 ，l ) ，则边界积分 方程可离散为： 勺( 善地，( 古) + 童圭“，( 。) j 巧( 善，7 ) 7 ( 7 7 ) ，( 叩) d r ( _ ) 】 “1 j 。 1 ( 2 3 5 ) ：圭圭p j ( 础u 鹃删7 ( 1 7 ) j ( q ) a v ( 叩) 1 对每一个节点运用上述方程，这样可以形成2 n 个线性代数方程组，写成 矩阵形式有， 阻= 【g b ) ( 2 - 3 6 ) 将e 式中的未知量移至左边，已知量置于右边，最后得到， 爿= y ( 2 0 7 ) e 式即为求解弹性问题的最后线性代数方程组，用高斯消元法可求解。 第四节接触条件 根据胡克定律， 仃。= e 脚e 刈于服从f 则条件的物体，用其表面力学形式 “肛) = 。，a , j ( x ，y ) p ，( y ) d s ( 2 3 8 1 f 2 3 9 、 湖南大学硕士学位论文 式中a y ( x ，y ) 是作用于y 的点载荷在x 处引起的位移，即影响函数，它与物体的 形状密切相关；p ，( 力是作用于y 的分布面力。 对于均匀各向同性弹性体， i 羔k ，+ 去 + ： f ：l ，2 3(240)0 芝而卜w + 而 + ，5 “，引，2 3 ( n 其解由边界上适当的边界条件唯一确定。我们给出接触情形下边界条件的 表达式，边界条件如图2 - 6 所示。 令爿。为p 给定的表面区域，p ，= 芦，给定 令爿。为“给定的表面区域，“，= u ，给定 ece 爿2 “：“2 = 历2 图2 - 6 两物体接触条件 令a 。j , j 司能接触区，目a 矿= ，4 。u 爿。u 1 4 。， p i ，2 一p 2 ， e = h + “k 一“2 ：( 2 = 门2 ) e 0 ：p ：= 0 外部区域e e = 0 ：p = 0 接触区域c 周海兵：平面弹性接触问题的光弹性- 数值组合解法 在c 中，s ，= i l 。一量2 ，+ i l ，一2 。 i s i = o ：l n | s g ( 粘着) l s ，l 0 ：p 。= 一g s ，i s ，f ( 滑动) e = 0 在e 中，p = 0 式中，p ，：切向力分量；s ，：滑动分量，f = 】，2 。 这样，在每一物体上，我们有了所需的边界条件和有关不等式。 湖南大学硕士学位论文 第三章平面接触问题 本章详细介绍了接触形成的数学模拟，接触状态，接触方程的形成和接触 长度的计算，并考虑了接触中的摩擦问题。 第一节接触问题的数学描述 现在我们来考虑两个物体的接触。引入笛卡儿坐标( 0 ；x 。，屯，x 3 ) ，时间记为 ，。首先提出两点假设【1 】： 1 任伺时刻l ，无应力参考状态可以选得使位移分量“，( f ：1 , 2 ，3 ) 相对于两 物体的特征直径是小的。 2 上述参考状态中的位移梯度“。( f ，j = 1 , 2 ，3 ；，j = 影舐，) 的绝对值远小f 1 。物体变形的l a g r a n g e a n 应变： 1 g = i ( “u + “川4 - b k ，“女，) ( 3 一1 ) 当位移梯度较小时，可以得到线性化应变： 1 p = i ( “，+ “，) ( 3 2 ) 注意，应变微小并不蕴涵位移梯度微小。反之办真。我们把无应力参考状 念称为未变彤状态。接触现象发生于变形状态，即从未变形状态到变形的最后 阶段。关键是要知道两质点是否接触，如果接触，它们之间是否j 、h x , n r 行。我 们用e ( y ) 来表示物体1 表面质点y 到另一物体2 的距离，则有下列三种情况： a ) e ( y ) 0y 不与物体2 的表面接触； b ) e o ，) = 0y 与物体2 的表面接触： c ) e ( y ) 0 不接触。 如图3 1 所示，我们用水平实线表示物体1 和物体2 的未变形表面，虚线 表示变形后的表面。变形前质点位置分别为x 。，x ：，变形状态下的相对质点位置 为y ，y ：，变形前、后物体1 ，2 的表面距离为 ，e 。 物体1 未变形表面 ji ，刀， l a 夕y 2 ，( o ) j ： i 物体2 未变形表面x ， 图3 1 接触球域内的数学模拟 现在来确定点集x ，x ，它们至少包括变形后互相接触! 的所有质点可能 按刖“噩。首先，由于变形后的表面应该互相接触，是相互平行的，又位移梯度 5 小，u l ? x , 1 应于未变形位置的方位大体相同，所以未变形表面是儿乎平行的。 其次，x ，x ，相距不会超过一个弹性位移的数量级。即未变形物体l 和物体2 之 间在可能接触区域内的距离不会超过一个弹性位移的数量级。最后，在个卣 径等于一个弹性位移的球域内，由于弹性位移比接触物体的特征直径小很多， 米变形表面的方向变化很小，故在这样一个球域内，表面几乎是平面的和平行 1 9 湖南大学硕士学位论文 的。这样，可能接触区就由物体那些几乎是平行的，并且其相互距离至多为弹 性位移的一个数量级那么远的表面部分组成 1 】。 考虑图3 1 中点，物体1 和物体2 位移场u 。( x ) ，u ：( x ) ，在任意点，对场量 展开，因为( x 。一r ) = o ( u 1 ) ，且1 砒l d x 。i o ( 3 - 6 ) 式中p ：为作用于物体1 上的面力的z 向分量，为法向压力。 第二节接触面的接触状态 接触问题属于不定边界问题，即使是弹性接触，其边界条件也表现为非线 性，包括随荷载变化而变化的接触面积引起的非线性和由摩擦作用而产生的非 线嗤：。两个相互接触的物体，随荷载大小不同，无论接触表面还是接触压力分 枷t 都会发生显著变化，其法向接触压力分布呈非线性变化，切向力的分布由 一 旦塑墨! ! 耍堂丝鳖丝塑望堕堂堂丝：鳖篁塑鱼塑鲨 于摩擦作用而更加复杂。正是由于这种非线性和边界的不定性，一般来说，接 触问题的求解是一个反复迭代的过程。即通过所谓的荷载增量法求解，在每步 荷载增量过程中，由于接触状态是未知的，因此需先假定其接触状态，为方便 起见，对第一次加载时各接触节点对的接触状态假定为粘着状态，然后进行试 算，再假定的多次迭代得到此荷载增量步的解，这种过程反复进行，直到得出 问题的解。当接触压力只和受力状态有关而和加载路径无关时，即使荷载和接 触压力之间的关系是非线性的，其过程仍然属于简单加载过程或可逆加载过程。 通常无摩擦的接触问题属于可逆加载。当有摩擦时，则可能出现不可逆加载过 程或复杂加载过程，此时多用荷载增量法求解，即通过将其加载路径分成许多 小荷载增量之和求解。 在分析弹性体的接触问题时，为简化分析和计算，根据工程实际，作以下 基本假定： 1 物体材料是线弹性的，位移和变形很小，故接触“节点对”在变形前的 位置可事先假定； 2 接触表面是连续且足够光滑，在接触过程中不出现接触体相互嵌入和渗 入现象； 3 在加载前，至少有一点是相互接触的； 4 作用在接触面上的摩擦力满足库仑摩擦定律。 现在考虑边界为r 。和r 8 的物体a 与口，在变形前至少有一点接触，在外 力作用下发生变形。在解接触问题时，将物体a 与b 的边界分别看成两部分组 成，可能接触区f 与非接触区，则有 r 。= r + k = a ，b( 3 7 ) 因为实际接触区未知，故可能接触区仪是对实际接触区的人j , j 估计。i 脯 据物体受力情况、几何形状、材料等方面进行估计，且可能接触区应大于或等 十二实际接触区厂。即 r f 。k = a ，b( 3 - 8 ) 另外，在小变形前提下，由于可能接触区为与在外力作用下共同形成的， 湖南大学硕士学位论文 故有 一= r = ( 3 - 9 ) 接触状态是描述已经接触或即将进入接触的状态，实际上是边界约束。根 据离散思想，我们用一系列的离散点对来表示接触面的接触，即离散点的接触 状况代表了整个接触面的接触状态，这样的点对称为接触点对。在小变形和摩 擦情况下，每对接触点对可能有三种接触状态： 1 分离状态。接触点对未接触，相互之间无作用力。 2 滑移状态。接触点对保持接触，在切线方向无约束，有相对切向位移。 3 粘着状态。接触点对保持接触，但在切线方向有约束，无相对切向位移。 可能接触区相应分成粘着区( s t ) ，滑移区( s 1 ) ，和分离区( s p ) 。可表示为： 霉嚣：嚣 p ，。， r ：= r i 十r ：+ r ： 。1 。 接触区的分布如图3 - 2 所示。如果无摩擦则粘着区和滑移区合为接触区。 图3 - 2 接触区的分类 由于接触发生在物体的局部，其接触条件要在接触面的局部坐标下表示， i 列此需要建立局部坐标以及解决局部坐标系与整体坐标系之间的转换。设整体 啦标系为笛卡儿坐标系( x ，y ) ，接触区内变量用局部坐标系( ”，f ) 来表示，如图 3 - 3 所示。 周海兵：平面弹性接触问题的光弹性- 数值组合解法 辕 图3 - 3 局部坐标系 物体a 上a 点与物体b 上b 点为接触节点对，a 点的单位法向与切向向量为 ，t 。，b 点为万6 ，t6 ，其平均单位法向与切向向量为： d 矿一。 l = 限j 。 叫 ( 3 1 1 ) 刊 其中，石，t 的方向与物体a 的法向、切向同向。 这样，平均单位法向与切向向量构成节点对a ，b 的局部坐标系 坐际系( x ，y ) 的夹角为目，坐标变换为： 篇捌恸 第三节接触方程 它与整体 ( 3 - 1 2 ) 采用荷载增量法【4 5 求解接触问题时，假定材料是线弹性，其非线性仅存 在物体的可能接触面。在每荷载增量步中，位移与面力增量均满足边界积分 方程，其增量形式方程为： 乏 湖南大学硕士学位论文 c ，血，+ f 巧“，订= f u ：卸，d f ( 3 - 1 3 ) 面力与位移分别为： ，；= ，j + ，；= ，； 5 = 。 ( 3 1 4 ) “；= “；+ “，k 一1 = a u j 其中，“分别表示面力与位移；k 一1 ，k 表示第k 一1 步，k 步：，a u 表示面力与 位移增量。 下面，我们来考虑节点对，用其受力状态与位移来描述接触状态。 3 1 平衡条件 在第k 步荷载增量中，根据作用力与反作用力定律，节点对的法向面力与 切向面力的分量必须平衡， 竹a t a k + 非a t f k = 0 。 ( 3 - 1 5 ) ，? + f = 卜7 其中，a , ，a t f f 分别表示物体a 和b 的第k 步荷载增量中切向面力的增量， ，? ，f 分别表示物体a 和b 的第女步荷载增量中法向面力的增量。 3 2 位移相容条件 根据基本假设，物体接触时不出现嵌入，即法向间距瓯不为负。设万“与 i 8 为第k 步荷载时物体a 、b 上的点d 与点b 的位移，季是节点列在经笫 ( 一1 ) 荷载增量步后节点对的间距，如图3 4 所示，则 j 。= 5 万= ( 历”一话1 + 季) 万( 3 1 6 ) l 弋巾，? 表示物体a 法向，其中 吾：笠7 厅一喜1 筋乱，+ 豌 = l女t 1 喜，是节点对初始间距， 周海兵：平面弹性接触问题的光弹性数值组合解法 酬= 瓜( 巧驴j 可 图3 - 4 点对间距 其方向由体a 指向体b ，x a , x by 。，y 6 为节点对口与b 的整体坐标。 对于接触节点对，其法向间距 万。= 0( 3 一1 7 ) 3 3 库仑摩擦定律 在有摩擦的接触问题中，根据基本假定，切向力满足库仑摩擦定律， j t 篙o ，：0 b ，= 川j ， 7 式 t ，为切向面力，。为法向面力，为库仑摩擦系数，d 为相对切向位移。 第一式表示粘着区的状态，第2 - 式表示滑动区的状态。当相对滑动时，柯 t ，4 0 ，保持分离状态： 如占。0 ，转入粘着状态。 ( 2 ) 接触节点对为粘着状态：如 2 6 周海兵：平面弹性接触问题的光弹性- 数值组合解法 则保持粘着状态；如 则转入滑动状态；如 ( ，：_ + a d ) 8 0 ，+ r ? i | 瑶 则转入分离状态。 ( 3 ) 接触节点对为滑动状态：如 则保持滑动状态；如 则转入粘着状态；如 ( 口1 + ，：) 8 0 4 ( f ? 。1 + 够) 0 ( f ：。+ a t e ) 8 0 占。( f ? 。+ f ? ) 0 则转入分离状态。 以上是各状态的判断准则。下面叙述各接触区的性质。 对于粘着区( s t l ， 6 t = u ? 一厶u ? = 0 刈j 二滑移区( s 1 ) ， 伊+ 川= 伊+ 蚓 ( f 十怕8 ( a c a u l 4 ) 0 利于分离区( s p ) ， f 3 - 2 3 ) f 3 - 2 4 1 ( 3 - 2 5 ) ( 3 - 2 6 ) ( 3 - 2 7 1 r 3 2 8 、 ( 3 - 2 9 ) ( 3 3 0 、 ( 3 - 3 1 ) o k ” j 叫 p 气 嘭吲伊 湖南大学硕士学位论文 鬈客： b ，z ， 这样我们得到了在各种接触条件下的接触方程。在实际计算中，每一接触 点对，其面力与位移均为未知，有8 个未知量，根据边界元法可得4 个方程， 还需补充4 个方程。 对于体a ，无论节点对处于何种接触状态，都满足式( 3 1 5 ) ， a t f + = 0 a t ；+ a i s k = 0 变换形式为， ( 3 3 3 1 这样变换的好处是，不论节点对接触状态如何改变，其补充方程却是不变 的。在整个可能接触区全部节点上，应用上式有， ，。t e “。 ，8 t e 口 “吼 = 0 )( 3 3 4 ) 其l h 系数。，j = 瓦e a ，_ d ? = 1 ：式中f 包括m 。_ 手i i a t , 两个方向。 对于体b ，随节点对的接触状态不同，其补充方程不同。对于分离状态 】| = 丝丝 + + 鳢丛易生邑一岛 周海兵：平面弹性接触问题的光弹性数值组合解法 对于粘着状态 对于滑移状态 在整个接触区内有 + 堕：o e 日 + a t e _ , k ：o 玩 f 3 3 5 ) j 。= ( 订8 一万。+ 亭) 一再= 0 ，n 西= “? 一“? l j j o ) 西? d ；d ；d ； ( 3 3 7 1 厶( 3 3 8 ) 其中d i 8 ，