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两类差分方程的边值问题 摘要 小篇硕卜论文主要研究了“般形式的一阶和三阶船线性和线7 隧差分方程的边 值问题文中作者直接利用代数理论结合不动点理论的方法代替传统的格林函数结合 不动点理论解决边值问题的方法，并获得了一系列新的边值问题解的存在性和唯一性的 结论方程边值问题不同于方程初值问题，方程边值问题的解不一定存在；如果存在， 也不一定唯一差分方程边值问胚的研究来源于微分方程边值问题的研究方法，微分方 程边值问题的研究已经有许多方法和技巧，例如：i 隘界点理论、不动点理论、拓扑度理 论等等而差分方程边值闯题的研究方法和文献还很少，文中新的研究差分方程边值问 题的方法是将复杂的边值问题求解转化为代数理论中的线性方程组解的存在和存在唯 一问题；对线性情形，较容易地挟得边值问题的解存在以及唯一的充分必要条件，f 叮 对非线性情形，则通过压缩原理和锥理论等各种不动点定理，获得了系列新的充分条 件新的方法避免了传统方法因需要构造格林函数而带来的困难文中也继续研究了 二阶差分方程在边值条件“( 0 ) = 0 ，“( + 1 ) = 0 下的一个周期内正解的存在性通过 利j = j 第2 章巾介绍的代数理论结合锥f ；动点定理，建市了存在一个和多个正解的 若下充分条件，也将微分方程的相关结论应用到差分方程对三阶差分方程i 点 边值条件f 的解的存在性和唯一性也作了尝试性研究 关键词：差分方程；边值问题：正解；不动点定理：锥：非线性：存在性：唯一陛 硕士学位论 a b s t r a c t t h i st h e s i sm a i n l ys t u d i e st h ep r o b l e mo ft h eb o u n d a r yv a l u eo fs e c o n d o r d e ra n dt h i r d o r d e rn o n l i n e a ra n dl i n e a rd i f f e r e n c ee q u a t i o n i n s t e a do ft h et r a d i t i o n a lm e t h o do f c o m b i n i n g g r e e n sf u n c t i o na n df i x e dp o i n tt h e o r y ，an e w a p p r o a c h i se x p l o r e db y a s s o c i a t i n ga l g e b r a w i t hf i x e dp o i n tt h e o r y a n das e r i e so fn e w f i n d i n g sa r eo b t a i n e do n t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h eb v p s o l u t i o n s d i f f e r i n gf r o mt h a to f t h ei n i t i a t eb o u n d a r y p r o b l e m s ，t h e s o l u t i - o n so ft h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sd o e sn o tn e c e s s a r i l ye x i s ta n dw i l ln o t n e c e s s a r i l yb e u n i q u e i fi td o e se x i s t t h er e s e a r c h i n gm e t h o d so fb v p o fd i f f e r e n c ee q u a t i o n sc a nt r a c e b a c kt ot h o s eo fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s s of a rm a n ym e t h o d sa n ds k i l l sh a v eb e e n a c c e p t e d ， s u c ha s ：c r i t i c a lp o i n tt h e o r y ，f i x e d p o i n tt h e o r y , t o p o l o g i c a ld e g r e et h e o r y h o w e v e r , m e t h o d s a n dr e f e r e n c e sf o rd i f f e r e n c ee q u a t i o na r er e l a t i v e l yl e s s t h en e wm e t h o d p r o p o s e di nt h i s p a p e r t r a n s f e rt h ec o m p l e x b o u n d a r y v a l u ep r o b l e mi n t ot h ee x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s s o ft h e s o l u t i o no ft h el i n e a re q u a t i o n s f o rl i n e a rc a s e ，w eo b t a i n e dt h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n t c o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s s o ft h es o l u t i o nf o rt h eb v p ；f o rt h en o n l i n e a r c a s e ，w eg o tas e r i e so fn e ws u f f i c i e n tc o n d i t i o n sb yu s i n gc o n t r a c t i o nm a p p i n g t h e o r ya n d c o n et h e o r y t h en e w a p p r o a c hi se x p e c t e d t oa v o i dt h ed i f f i c u l t i e si nc o n s t r u c t i n gg r e e n s f u n c t i o n w ea l s od i s c u s st h ee x i s t e n c eo f p o s i t i v es o l u t i o no f s e c o n d - o r d e rd i f f e r e n c ee q u a t * i o n sw i t hb o u n d a r yv a l u e “( o ) = 0 ，u ( n + 1 ) = 0 w i t h i nas i n g l ep e r i o d f u r t h e rm o r e s o m e s u l t i c i e n tc o n d i t i o n so fau n i q u es o l u t i o no rm u l t i s o l u t i o n sa r ec o n s t r u c t e db yu s i n gt h ea l g c b r at h e o r ym e n t i o n e di nc h a p t e r2t o g e t h e rw i t hk x a s n o s e l s k i if i x e dp o i n t st h e o r y , s ot h a tt h e r e l e v a n tr e s u l t sf o r md i f f e r e n t i a le q u a t i o n sc a nb cs p r e a dt od i f f e r e n c ee q u a t i o n s ，at e n t a t i v er e s e a r c hi sc a r r i e do u to nt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h es o l u t i o n so ft h i r d * o r d e rd i f f e r e n c ee q u a t i o n sw i t ht h r e ep o i n t sb o u n d a r yv a l u ec o n d i t i o n s k e yw o r d s ：d i f f e r e n c ee q u a t i o n s ；b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ；p o s i t i v es o l u t i o n ； f i x e dp o i n tt h e o r e m ；c o n e ；n o n l i u e a r i t y ；e x i s t e n c e ；u n i q u e n e s s i i 湖南大学 学位论文原创性声明 小，、j i1 l f l 叫：皮的 分文j 。! 冬人作号y l l i t 。i ：j 撕譬心l ( i l t q j 硪九所 ：。_ ：一i ：j 、jj 、jz 【il m 盯1 刊、 、e j ? 之! 川f | 】i 、似1 、j 文叠、，浮【，? 。、儿0 、j k 拔。，j i f ：j ) 。k 求作；刈小砭f 滞z i 出贞 f ；、7 、引“、传均0 “艾r f t l l i 帅f f 山，t 粕、圳小、，l ，个c j 川，9 t 1 ：j ，- ，一，1 ，：。j jj 【】j 、l irnj 、。 罗由平 | f | 叩i 牛 学位论文版权使用授权书 小0 吖t 沦迎作肖允食r 自j 校铂父保学i 、他i j7 f 寸论义( 1 9 规定，f - d 总 r 刊爱俅m 川：一川j 九父吲j i 、 k i ；b l ! j s 交论文的复印f i j = | 】i uj ，j 扳，允计沦史 f r r f 刈0 ：【】 。，。d 。升、，人 ，芝义 - l 月i 柯，凡，：i i ，j 以将 i 学位沦义f | 0 、i f j 戈i k 分j 勺容办j 八n 天数扮i i , i - ：s 仃舱g j z ，j 以累川i 譬【_ = 、绗ij j k 弘f i i i 嚣复制r 。 ：k r k l i ，j7 和 蚓冬 玲文。 小“0 文“j l 、似j 。膏口，m j i 自，# 惭j 一五4 - n 仪t c ， 2 、1 、f 求：t 等世l 。 ( i | t f _ 相以l 。_ _ i 威力 1 i 内打“”) 作者签名：、影由孚 导师签名：矽迫，j 日期： 日期： 竹年 。 1 - 爷j “月 f j ， 日 硕士学位论文 1 1 引言 第1 章绪论 微分方程是现代数学的一个重要分支，在众多科学技术领域中有着非常广泛 的应用，尤其在几何学、力学、天文学、物理学等学科中，如核物理、电子技术、 自动控制、星际航行等许多尖端科技领域内已成为强有力的杠杆，推动这些学科 的发展在现代的生物学、人工神经网络动力学和经济学的领域中，微分方程的 理论和方法更是不可缺少的然而，从生产实际和科学研究中所遇到的微分方程 往往很复杂，在很多情况下都不可能给出解的解析表达式，为了得到近似解或研 究解的性质，这时需要把方程加以离散化，研究相应的差分方程非线性差分方 程已被广泛应用于研究计算机科学、经济学、神经网络、生态学及控制论等学科 中出现的离散模型在过去的十年里，大量的文献对差分方程理论进行了研究， 这些研究的结果所采用的方法大多受到微分方程中有关问题研究方法的启发这 些研究涵盖了差分方程的许多分支，如稳定性、吸引性、振动性与边值问题等， 但由于差分方程与微分方程的明显差别，许多微分方程所采用的方法并不能完全 照搬研究差分方程，致使差分方程的研究方法和手段相对较少因此，研究差分 方程需要在研究方法上不断改进，从而促进差分方程理论的发展，同时为其他学 科的发展提供基础 1 2 边值问题的概述 我们知道，不少物理、力学、工程上的问题，可以归结为求解微分方程的问 题；而在解决一个具体问题时，除了微分方程本身以外，还需要一定的定解条件 已知运动在初始时刻的状态，探求运动的规律的问题叫方程的初值问题如果实际 问题的定解条件是分别在所考虑区间的两端给出，这种定解问题称为边值问题 一般而言，边值问题的解不一定存在；如果存在，也不一定唯一，因此，边值问 题的解存在唯一性问题要比初值问题复杂 微分方程边值问题已为众多学者应用不同的方法和技巧进行了深入细致的研 究。例如，临界点理论、不动点理论、重合度理论以及拓扑度理论并已被广泛应 用于研究微分方程与偏微分方程各种边值问题解的存在性，可参阅文献f 1 1 4 】 在文献【1 】中，c p g u p t a 利用c a r a t h e o d o r y 条件和度理论讨论边值问题l 两类差分方程的边值问题 z 2 = q ，x ，z 1 ) 工( 0 ) = 0 , x ( ，7 ) = x 0 ) ，叩( 0 ，1 ) ( 1 1 ) 其中厂：【o , 1 x r 2 一r 满足c a r a t h e o d o r y 条件； 定理m ( a ) 函数( t ，z ，2 ：) 对每个z l ，z 2 r 是可测的； ( b )函数，o ，z 。，z ：) 关于每个z 。，z ：月和f 【o 朋是连续的； ( c ) 存在p ，q ，r e l o , l l ，使得对每个f 【o 娜和z 。，z ：r 有 f ，0 ，z 。，z ：) | s p ( t ) i z 。i + q o ) k ：i + r ( f ) 则边值问题( 1 1 ) 至少有一个解在c 1 【0 1 】内 然而，对方程( 1 1 ) 所对应的差分方程的边值问题的研究则缺乏相应的理论与 方法，其主要是利用g r e e n 函数结合不动点定理来讨论解的存在性，这方面可参 阅文献【1 5 2 8 】 在文献 2 4 1 q b ，a g a r w a lr p 讨论了下列一般形式的差分方程边值问题： ，l 阶差分方程：a ”u ) = ，( 七，h ) ，u + 1 ) ，u 忙- i - n - 2 ) ) ( 1 2 ) 满足条件： 只一。 ) = “ ) ；4 1 s i g ，l 和阶善n ，取n 。昔m 其中a = k l k 2 k 。= b 一1 + n ，k f z ( 口，b 一1 + n ) 他得到与上述边值问题等价的方程： “ ) = 只， ) + g ( 七，1 ) f ( 1 ，“( ，) ，h ( f + 1 ) , - - - , u u + 咒一1 ) ) 其中g ( k ，) 为g r e e n 函数，并证明了下列结论 定理“们 对于边值问题( 1 2 ) ，如果下面条件成立； 1 ) ， ，u o ，u l ，u n - 1 ) 在紧集z ( a ，b - 1 ) x d o 中是连续的，其中 d o 一 。，l ，一，) ：k i 妄撕，o 吣 2 硬士学位论文 且狮m 坤a x d o i ，( 七，“。，“1 ，一，- ) i s q ； 2 ) m a xf 只一l ) i s m ； z 扣一l 斗巩。一 3 ，学掣q s m 则边值问题( 1 2 ) 在晚内有一个解 这个定理讨论的是一般形式的差分方程边值问题，很具有代表性，作者的证 明思路是利用g r e e n 函数得出通解方程，再定义全连续算子r ，使“和死定义在 一个集合中，利用s c h a u d e r 不动点定理得出算子不动点的存在性 在本文的第2 章中，我们考虑了差分方程边值问题( 2 1 ) ，( 2 2 ) 的解的存在性和 唯一性在这章中改进了用g r e e n 函数讨论解 ( 0 ) ，“( 1 ) ，比( ) ，“d + 1 ) ) 的存在 性和唯一性的方法，在两点边值条件弹( 0 ) = a ，u ( n + 1 ) 一b 下，我们只需要考 虑向量0 ( 1 ) ，“( 2 ) ，“( ) ) 的存在性记u = 似( 1 ) ，“( 2 ) ，“( ) ) 1 ，利用代数理 论和不动点理论，寻找u 的方程，讨论解的存在性从而，找到了一种不用g r e e n 函数来研究差分方程边值问题的新方法详细的讨论见第2 章 关于边值问题正解的存在性方面，在文献 2 9 3 3 q b 有效地用k r a s n o s e l s k i i 锥 不动点定理研究了二阶及高阶常微分方程两点或多点边值问题正解的存在性其 他关于边值问题正解的存在性的文献见 3 4 3 9 】在文献【3 3 】中作者考虑了一阶非 线性微分方程： y p ) = - a ( t ) y ( t ) + f ( t ，y ( t 一( f ) ，y o r 。( f ) ，一，y ( t l o ) ) )( 1 3 ) 其中a ( t ) e c ( r ，( 0 ，。) ) ，f ( t ，“o ，“l ，u 。) e c ( r o ，) n + l ， 0 ，) ) ， 记 t ( t ) e c ( 月，【o ，。) ) 口。e 舌o ， 口 。，“。，“。) 【o ，) 枷 取i n f m a x 伽。，“， 3 两类差分方程的边值问题 令 m l i r a m a x 州f ( t , u ) 一，o ，! 肇r a i 。n ，销刊呱 魍。舭m i l l ，眢= 曲，o ，h l i m 卿m a x ，钎= 一l ； hj ol 。 r l 五j 州 作者得到了下面的结论， 定理。钉如果满足下列条件之一： i )m a x 厶= 0 ，r a i n 厶一0 0 。 i i )m i n ，0 = ，m a x ，霄= 0 则方程( 1 3 ) 存在正解 上述定理考虑了m a x a = 0 ，m i n ，帕= 或r a i n f o = ，m a x 凡= 0 的情形下 ( 1 3 ) 存在正解的充分条件，但对m a x ，o ，m i i l 丸，i n i l l ，0 ，m a x 凡介于o 和之 间的情形未作任何讨论在第3 章我们将上述超线性和次线性条件运用到二阶差 分方程的研究中，并加上边值条件，在一个周期内对m a x f o ，m i n ，r a i n ，n ， m a x 九介于0 和。之间的不同取值做出了讨论， 三阶微分方程在三点和多点边值条件下的边值问题的讨论也十分活跃，有许 多学者在这方面做了许多工作，如文献 4 0 一4 3 ，但差分方程的多点边值问题的文 献较少在第4 章，我们推广了二阶差分方程的边值问题的结果至三阶差分方程 的边值问题，并获得一些新的结果 4 硕士学位论文 第2 章二阶差分方程的边值问题 在本文中，我们主要研究如下的差分方程 a 2 u ( t 一1 ) ag ( t ，h ( f 一1 ) ，“( f ) ) ，t z o , i v ) ( 2 1 ) 在边值条件 “( 0 ) 一a ，h “、r + 1 ) ，b ，a ，b e r( 2 2 ) 下解的存在性和唯一性 设z 、r 分别为整数集、实数集，对任意口，6 z ，a s 6 ，记z 0 ) 一忙，a + 1 ， z ( a ，6 ) ； 口，a + 1 ，醵，则z q ) a 1 ，2 ， ，n 为给定的正整数，彳，b e r 为 给定的常数，是向前差分算子，定义为血( f ) = 弹o + 1 ) - u ( o ，a x u ( t ) 一( 血( f ) ) ， g ( t ，“1 ，u 2 ) 是关于u 1 ，u 2 连续的实值函数 差分方程边值问题已有一些学者应用不同的方法和技巧进行了研究，但相比 微分方程的边值问题则缺乏足够的理论和方法在本章我们将利用代数理论结 合不动点定理研究差分方程边值问题( 2 1 ) ，( 2 2 ) 的解的存在性和唯一性问题，在现 有文献中许多作者是利用格林函数结合不动点定理讨论差分方程边值问题解的存 在性条件，在本文中将差分方程边值问题( 2 1 ) ，( 2 ，2 ) 解的存在性问题转化为线性方 程组的求解问题 2 1 预备知识和引理 在r 空间里，对任意向量u = 1 ，“2 ，u ) 7 叮表示向量的转置) 以及任意 x 阶矩阵p = o ) ，分别定义范数，向量范数定义为m 一( h ? ) 2 ，矩阵范数 定义为阱吣s up 阿u l l ，则( r ，i l t l ) 蒯城了一个b a n a c h 空间 定义算子方程 u s u ( 2 3 ) 其中，定义全连续算子s ：r 一r 为： s u q + o ( t ，u ) 其中u - ( u o ) ，“( 2 ) ，“( 哪7 s 两类差分方程的边值问题 a ( t ，u ) 一( g o , u l ，2 ) 一一，g ( 2 , u 1 ，“2 ) ，g ( ，比l ，n 2 ) 一曰) 7 定理2 1q q ；i ，其中，表示阶单位矩阵，q 表示如下矩阵 q = 利用数学归纳法很容易证明定理2 1 ，这里省略 定理2 2 差分方程边值问题( 2 1 ) ，( 2 2 ) 的解的存在性和唯一性等价于箅子 方程( 2 3 ) 的不动点的存在性和唯一性 证明：方程( 2 1 ) 可以化为： u ( t + 1 ) 一2 u ( t ) + u ( t 一1 ) 一g ( t ，u ( t 一1 ) ，“( f ) ) 下面我们将t 从1 到 r 取值，得到个方程： u ( 2 ) 一2 u ( 1 ) + “( 0 ) 一g ( 1 ，“( o ) ，“( 1 ) ) ( 3 ) 一2 u ( 2 ) + “( 1 ) ；g ( 2 ，比( 1 ) ，距( 2 ) ) u ( u ) 一2 u 0 v 一1 ) + h ( 一2 ) = g o v - 1 ，“0 v 一2 ) ，q v 一1 ) ) ( + 】) 一2 u c n ) + u o v - 1 ) 一g ( ，“( - a ) ，u o v ) ) 取给定的边值条件( 2 2 ) 则上面个方程组成的方程组可以写成 1 2 v - g p ，u ) 6 1 2 3 4； 9 1 2 4 6 8；旷肛 一 3 动力筇 - 一 一 一 ”旷；8 4 硼即叩2 乃刁 - 一 一 一 ； 玑浆； d 动势 - 一 一 一 茄浆；：肛肛；：， 志 ，。l叭“叫“孔 o o o ；乏1 一 一 一 一 o 1 乏；o 0 l乏1；0 o 之1 o ；0 o 硕士学位论文 其中 o = 通过计算q 的行列式| q j = ( 一1 ) ( + 1 ) o 知q 为非奇异矩阵，q 的逆q 如前所 示存在，则 u = a g ( t ，u ) 由前面定义的全连续算子s ：r “一月“知 u = s u 等价于差分方程边值 问题( 2 1 ) ，( 2 2 ) 证毕 注 1 为了后面表示的直观，q + 用q 。表示，表示矩阵q 的逆矩阵 下面给出几个引理，将在后面结论的证明中用到 引理2 p “ 设b 为b a n a c h 空间，e 是b 中的闭凸集若t 是e 到其自身的 映射且是全连续的，则映射t 在e 中至少存在一个不动点 引理2 2 “”设b 为b a n a c h 空间，t 是b 到其自身的映射，如果存在o 0 满蹦i i s s m i 对任意l l u l l p ，则 l g ( t ，趾) i 墨现 设印lm m o ，则( 2 4 ) 满足定理2 2 中的条件 9 ( 2 4 ) 两类差分方程的边值问题 因此，从定理2 2 知推论2 2 成立 证毕 下面给出差分边值问题( 2 1 ) ，( 2 2 ) 存在唯一解的充分条件 定理2 4 如果g p ，u 1 ，u 2 ) 满足下列条件，即存在常数口o , b 芑0 ，使得对任 意的( f ，“l ，”2 ) z ( 1 ，) xr 2 ，有 i g ( t , u l , u 2 ) 一g ( t , v l , v 2 ) l s 以k 。一v , l + b l u ：一v ：i ( 2 5 ) 定义集合e ：= v e r ”：桫0 s 习q 。1 旷k 。 ， 其中岛2 。m 儿a x ，) o f “，f + 6 卜z f + g ( t ，0 ，o ) ) ，且满足有0 5 万悼一1 | | o + 6 ) t 1 ，则边值问题 ( 2 1 ) ，( 2 2 ) 在e a 中存在唯一解 证明： 要证差分方程边值问题( 2 1 ) ，( 2 2 ) 解的唯一性，由定理2 1 ，就等价 于证明算子s ：r 1 一r ”，s u = q _ 1 g ( f ，u ) 的不动点的唯一性 由条件( 2 5 ) 我们也可得出对y t z g i v ) 有 j g ( f ，。，h ：) l 0 ，存在p 1 0 ，使 一g ( f ，h ，“：) es l 卜， v | 卜0 p 。 于是对满足移8 = a 的u 足，由( 3 4 ) ，( 3 4 ) 及删的定义，有 恤) 。) s 卢荟( 一g p ，弹( r 1 ) ，“( r ) ) ) s 肌 o t m n 1 2 6 p i i - 矧 1 6 ( 3 6 ) ( 3 7 ) 上述不等式表明对任意u e k n d q 2 有 i s u j , - l l u l j ， 其中q ：= u ：u e k ，c p 2 ) 显然q 1c q 2 于是由引理3 1 知存在u k n ( 西2 q 1 ) ，使s u = u 即u 是差分方程边值问 题( 2 1 ) ，( 3 1 ) 的正解 下面证明( 只) 成立时的结论 由( 只) 中的第一个等式知，对满足至& 孙m ，l f l 勺m ) o 存在p 1 0 ，使当 “( f ) z6 眇肛z ( 1 ，) ，且l l u l isp ，时，有 一g o ，“，h ：) - m n i 因此由( 3 4 ) ，对u k 且| j u 0 = p l ，联系到上面的条件( 3 8 ) ，有 ( 5 h ) ( f ) 苫口( 一g ( r ，“( r 一1 ) ，比( r ) ) ) 一 苫a m ( 护而+ + 痧万面硒而) 乏胁6 ， 该不等式表明对任意u e k n a q 。，有 其中q 。一 u ：u k ，f p 4 cp 1 i s u i i ：- i i u i i ( 3 8 ) 另一方面，由( 只) 的第二个等式知，对满足犀恬三1 的占 o 存在日 p l ，使 当跗o ) 0 ，f z q 聊，m 窖时，有 1 7 两类差分方程的边值问题 选取 一占( f ，“。，“：) ss l k i j p 2 q + l + 2 犀n e m ：( a l x ) ( 一占( f ，“i ，2 ) ) 卜轴 命q 。= 缈：u e k ，i p o t p ： ，那么对满足l p i l p 2 的u e k ， 定义v ( r ) 一0 ( ，- 1 ) ，h ( ，) ) 【o ，m ) 2 ，由( 3 4 ) ，( 3 9 ) 和( 3 1 0 ) 有 ， ) ( f ) s 卢( - g ( r ，“( r 一1 ) ，“( r ) ) ) n = 卢( 一g ( 叫( r ) ) ) 这样有 2 卢善( 一g ( r ，v ( ，) ) ) + 芦( 一g ( r ，v ( r ) ) ) 弓一t ，e z ( 1 ，) ：卜( r 牡们丘- ，日( 1 l 卜( r 爿钾 蔓卢i i 训十f i n 删m a x ( 一g ( 叫( ，) ) ) - h tp n s i l u l l 七i p 2 c 抑i + 譬制i l i s u i l l l u i l ， v u e o ( 2 ，： ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) 显然也存在q nc q ，： 于是由引理3 1 知，在条件僻) 下，存在u e k n ( ( j p ：q ) ，使s u = u ，即u 是差分方程边值问题( 2 1 ) ，( 3 1 ) 的正解 证毕 定理3 2 假设存在两个正常数p l p 2 ，若有如下的两个不等式成立： 1 8 硕士学位论文 假) m a x ( 一g ( f ，“) ) s 鲋p - - l ， f e z ( 1 ，) ) 嘞m 书i n 醛一g ( t ，h ) ) 己面p 2 w ：z ( 1 ) 那么差分方程边值问题( 2 1 ) ，( 3 1 ) 至少存在一个正解u 。且有 m i n p 。，p ：) sl g s l lsm a x , , ，p ：) 证明：不妨假设p 1 p 2 ，现令q n - u ：u e k ，i g s l l o 删r a i n 1 - g ( r t , u ) 吨一s = 丽1 ，对。 0 存在充分大j p 。 p ：，满足 对1 1 1 f p 。 下面考虑日m ( a ，川x ( 一g ( t ，“) ) 无界和有界的两种情况： q a 设忍m “a x ) ( 一g ( t ，“) ) 无界，那么存在球+ e o ，o o ) 2 ，肛+ 0 = p 。 p o 和 f o e z ( 1 ，) ，满足 f 3 1 5 ) 一g o ，“) s g ( f 0 ，“) ，对删s 扩i i - p ， ( 3 1 6 ) 由于肛i i - p 。 p 。，那么从( 3 1 5 )