（光学专业论文）二维抛物量子点中激子——声子系统声子压缩态的研究.pdf

i 摘摘 要要 在过去的几十年中，对低维材料物理研究变成一个活跃领域。随着微加工和纳 米技术的发展， 人们已经可以制造出量子点.由于量子点应用前景非常广泛， 这就使 得对量子点的研究成为现代物理中的热点之一。 在本文的第一章里，首先我们对激子进行了介绍。其中主要介绍了它的概念和 它的物理性质。然后，我们对极性半导体中量子点的研究背景和现状进行了介绍， 其中我们重点关注量子点内激子研究所取得的成果。 最后我们对本文所要研究的工 作进行了阐述。 在论文的第二章里， 首先构造出本文所要研究的存在磁场的情况下的二维抛物 量子点模型。在第二部分中，得出对应的哈密顿量并对其进行展开和化简。第三部 分我们对相应的哈密顿量进行 ppl 变换。 第四部分， 我们对哈密顿量中对声子相关 的部分进行压缩变换处理，并且用求平均值的方法对激子的基态能量进行求解。 第五部分，我们以典型的极性半导体材料 gaas 为例，其对应的材料参数被数 值计算中采用。最后我们获得了有益的数据。结果表明，量子点内的激子声子系 统的基态能量随量子点的束缚频率的增加而降低。而随着量子点中磁场强度的增 大，量子点中内激子声子系统的基态能量随之升高。同样，而随着系统相互作用 强度的增大，量子点中内激子声子系统的基态能量随之降低。第六部分，我们给 出了激发态波函数和对应的能量表达式，但由于篇幅的限制没有做具体的计算。 本文的最后一章，我们总结了本论文所研究的主要内容，并对得到的结果进行 了讨论与分析。同时，我们也讨论了文章还存在的一些不足，并作出了对未来工作 的展望。 关键词：关键词：激子-声子系统；声子压缩态；二维抛物量子点；磁场 ii abstract in the past decades, the study of low-dimensional material physics has received much attention. with the development of processing technology and nano-technology, it is possible to produce the quantum dot. because quantum dot could be extensively used in different areas, that is made the study of quantum dot becoming one of the most important issues in modern physics. in the first chapter of my dissertation, first of all, the conceptions and the physical properties of exciton have been summarized. then, we have introduced the research back ground and recent research achievements in quantum dot, especially concern on the research achievements of the model of quantum dot containing an exciton. there after, my work in this dissertation has been summarized. in the second chapter, firstly we have constructed the model of two-dimensional quantum dot in magnetic field which will be studied. secondly, we can obtain the hamiltonian of exciton-phonon system which is also expanded and simplified. thirdly, the hamiltonian of exciton-phonon system has been transformed by lee-low-pines (llp) unitary transformation. fourthly, hamiltonian including phonons has been squeezed by squeezing transformation and the ground-state energy of exciton-phonon system has been obtained by using averaging method. fifthly, numerical results are presented for typical polar semiconductor of gaas. its parameters have been adopted by numerical calculation. finally, the value data has been obtained. the results show that the ground-state energy of exciton-phonon system for parabolic quantum dots becomes larger with the characteristic frequency increases. it also becomes larger along with the increasing of the magnetic field. we also find that with the interaction strength of system increases, the ground-state energy and ground-state binding energy of exciton regularly reduce. sixthly, because of limited space, we can only give the mathematical expression of excited-state wave functions and energy. in the last chapter of my dissertation, this article presents a summary of the main contents of my research, and has discussed and analyzed research work. at the same time, deficiency of the method been adopted by us have been summarized and give a prospect to the future research. key words：exciton-phonon system； squeezed states transformation of phonon； two-dimensional parabolic quantum dot； magnetic field 独创性声明独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知，除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人 或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已 在文中以明确方式标明。本人完全意识到，本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 日期： 年 月 日 学位论文版权使用授权书学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密 ，在_ _年解密后适用本授权书。 不保密。 （请在以上方框内打“”） 学位论文作者签名： 指导教师签名： 日期： 年 月 日 日期： 年 月 日 本论文属于 1 1 绪绪 论论 在过去的几十年中，伴随着试验设施和实验条件的不断发展。人们在不断探索 的过程中发现了很多新的现象，在这些现象中有很多新的发现已经被总结成理论体 系并加以应用，激子是其中一个重要的发现。激子是极性半导体中的一种重要的元 激发，激子效应对半导体中的光吸收、发光、激射和光学非线性作用等物理过程具 有重要影响，并在半导体光电子器件的研究和开发中得到了重要的应用。与半导体 体材料相比， 在量子化的低维电子结构中， 激子的束缚能要大得多， 激子效应增强， 而且在较高温度或在电场作用下更稳定。现在人们已经可以制备出具有类原子特征 的“人造原子” 。 这会使激子的效应更加明显。 1.1 激子的基本理论与基本性质激子的基本理论与基本性质 1.1.1 之前的固体物理之前的固体物理 在固体物理的发展初期，在人类认识事物的早期对事物的本质存在着很多很多 的误解。由于当时的实验设施和人们思维模式没有形成正确的观念，人们总是通过 直接感觉来判断事物的内部结构。例如，过去人们提出金属内部电子应该是纯粹程 流体状的，这个判断仅仅是从金属具有良好的导电和导热性能而得出的。 直到上个世纪二十年代，人们才逐渐的认识到事物的本身是由无数大大小小不 同性质的原子组成的。并且通过实验对原子的内部结构有了初步的认识。这样我们 对固体物质的组成渐渐有了比较基础的正确概念。 但人们一就发现，用单一的原子理论来研究由众多原子以不同的形式所组成的 固体物质，是非常难以下手的。我们必须运用一些统计学的观点才能总结出其中的 规律来进行继续的研究。这样就确定了固体物理研究的方向。后来元激发、能带理 论等一些固体物理的基本理论得以建立1。 2 1.1.2 半导体晶体的理论简介半导体晶体的理论简介 在过去的五十多年中，人类对半导体方面的研究使得人类的发展的进程出现了 重大的改变。现在它已经影响到人类生活、生产、科学研究等各个方面。尤其是在 微电子领域的突出优势，使得它在极短的时间内全面的取代电子管等老式电子器 件，并且由于它可在微笑体积内实现其特定的功能和加工工艺的不断提升，使得大 规模集成电路得以实现。现在已经进入超大规模集成电路的时代，这为人类社会进 入数字化时代提供了有力的硬件支持，使得计算行业出现了本质的提高。在光电子 领域，它又是基本的光电转换材料。现如今，半导体材料既可以实现光子的能量转 化为电子的能量即光电效应，例如：太阳能电池材料、光电探测器等，也可以实现 电子的能量转化为光子的能量即电光效应，例如：半导体照明系统（led）等。在 光科学迅猛发展的今天，光通讯已经成为一个研究的热点，而半导体在光通讯器件 中又扮演着一个更为重要的角色。在下面的内容中我们重点介绍半导体研究的发 展、半导体的内部结构和半导体的元激发。 1） 半导体研究的发展 最早发现半导体的历史可以追溯到上上个世纪的三十年代。 一个英国科学家曾 经在一次研究 ags 导电性的实验中发现了一个奇怪的现象。 一般的金属物质都是随 着外界温度的升高而其自身的电阻降低，而 ags 的电阻却恰恰相反，该物质的电阻 呈现随着温度的增高而降低的趋势，虽然当时他并不知道那就是一种半导体材料。 一八三九年，由于光线的照射半导体与溶液之间形成的结出现了电压。这个现 象被一位法国科学家贝壳莱尔发现并命名为光生伏特现象。这样又揭示了一个半导 体的崭新的物理特质。在这之后，德国物理学家给一种半导体材料通以电场时，发 现它只能在某个特定方向导通。这就使得半导体中 pn 结的单项导电性被发现。这 便是后来半导体用途最广的一种物理性质，二极管整流器和三极管放大器等电子器 件都是基于此项物理性质。再加上后来人们发现的光电导通效应（当光照射材料的 pn 结时会实现光强度对电流的控制）以上的四种半导体的物理效应被称为半导体 的四大效应。由此，对半导体的系统研究才得以建立。 3 2）半导体的内部结构 没有掺杂质的半导体大多是第四、第五主族的元素构成的晶体即本证半导体。 本证半导体一般都由具有十分严整的结构，原子之间由共价键相互连接，它们在半 导体中都有比较有固定的位置。当由于温度升高而产生热运动时，电子会脱离共价 键而变成自由电子可以自由运动于半导体的晶格结构当中。由于电子本身是一种载 流子，这样原本不导电的材料就导电了。同时与金属中单纯电子导电不同的是，半 导体除了电子导电以外，还存在空穴导电。这里所提到的空穴就是电子离开半导体 共价键后在原位置会留下一个空位，这个空位上相当于有一个带一个电子正电量的 粒子填充。这样半导体就具有两种导电载流子。当外界通以电场的时候，电子和空 穴就会朝着相反的方向漂移，最终形成电流。如果我们从固体物理的能带理论的角 度来进行分析，电子原来处在材料的价带当中，由于热激发电子穿过禁带而到达空 带。这样空带就变成了导带。同时原本没有空穴的价带出现了空穴，当通以电场时 就会形成相反方向的异种载流子定向运动，从而形成电流。 当我们向半导体中掺入含有多余载流子的杂质（例如：磷、硼） ，杂质原子会和 原有原子形成共价键，多余原子就会形成多数载流子（例如：电子、空穴） ，这样 就形成了特定剩余载流子的半导体（例如：电子型半导体即 n 型半导体、空穴型半 导体即 p 型半导体） 。如果我们把掺有异种杂质的半导体相互对接时就会出现相互 的渗透的现象形成渗透区，又由于电子空穴之间的复合作用使得渗透区的宽度受 限。由于内部电场的作用，就会使得出现阻拦区。最终形成单向导电性。 3）半导体中的元激发 当我们在研究半导体晶体的时候会发现一些和我们过去由经典粒子结构模型 不相符的实验现象。这些现象大多是由于粒子所处的环境（周围的物质结构）对其 的作用与反作用所造成的。往往会伴随着新的能级和新的现象的产生，为了研究的 方便起见，我们把这些外界作用的总体抽象为一个粒子的作用，这样就会大大的简 化我们的模型。但我们又要区别于以前所研究的基本粒子的概念，于是我们定义为 不能脱离介质而存在的准粒子，也叫做元激发。声子就是我们平时最常见的一种元 激发，它是用来描述半导体晶体中晶格震动而提出的。它可以有效地反应晶格震动 4 的很多物理特征，例如：动量、能量、传播等，只要考虑了声子，就相当于有效地 研究了晶格结构对研究粒子的影响。给研究半导体中的粒子运动带来了极大的方 便。 1.1.3 激子基本理论的介绍激子基本理论的介绍 固体是由大量粒子构成的2。这些粒子是靠他们之间的力的作用来进行结合的。 从微观的角度来讲，实际物体中不存在独立运动的一个粒子不和外界发生相互之间 的作用。任何物体的运动都是有着千丝万缕的联系的。因此我们应该从宏观的角度 来研究它们的集体统计效应。 能量量子化的粒子叫做准粒子(一些研究人员把这种相当复杂的运动表现称为元 激发)。当我们使用外界刺激对晶体进行作用，这样也就可以对激发固体内的各种集 体运动有能量的，从另一个方面来讲使准粒子发生、消失和跃迁等。在这里引入了 元激发概念后，这样我们就可以很方便地描述晶体状态。在长期的实践中，这种对 复杂的物质问题进行元激发化可以对处理问题带来巨大的简化。 元激发的地位在近代研究半导体物质和材料中得到越来越高的重视，半导体材 料发光，半导体材料的能量吸收，半导体物质的非线性效应都是与之有很大关系的。 声子与激子是与半导体发光现象密切的联系在一起，其中激子，它在发光过程中起 着很重要的作用。在接下来的文章当中我们将描述一下激子的基本理论3-6。 激子是固体理论中的一个关键的理论，激子的概念是在研究绝缘晶体和半导体 的光吸收过程中时提出的。 当光子的能量略低于禁带宽度 g e时， 这类晶体的吸收 （或 反射）光谱中就会出现一些和过去不一样的变化。这一现象表明存在着e小于 g e的 能级，即在原来没有能级的禁带中发现了新的激发态。但是从这个理论我们可以看 出，在过去的固体理论中，晶体的基态是由满载的价带和无载流子的导带所组成的， 当激发态能量e大于等于 g e时才能激发粒子，这时在导带中将产生一个电子，价带 中将出现一个空穴，它们是独立运动的。很明显，从过去的能带理论来分析电子和 空穴这样的载流子是不可能在禁带中存在能量激发态的2。从这里我们可以看出，我 5 们发现了一些前人所没有发现的东西，过去的理论需要改进。 由于单电子近似是能带论的基础，在上面的图中不考虑准粒子间的作用关系， 独立电子空穴对的最低的激发能量为 g e。 不考虑单电子近似， 同时考虑电子与空 穴之间的相互作用使得他们之间的形成束缚对，系统的能量被降低。这说明，电子 和空穴不再是独立的粒子，而是电子空穴的束缚态，这样就出现了能级低于禁带 宽度 g e的情况。因此，禁带之中出现了心得准粒子的能态。在半导体中的相互作用 的电子空穴对被称为激子，由于电子空穴的束缚关系使得它们像一个氢原子一 样，具有自己的半径。半径的大小和它们的空间分布有着直接的关系。当其半径比 较他所在的半导体中的晶格常数大得多的时候，电子和空穴之间的相互作用显得非 常微弱。在这种情况下，我们把这种激子称为瓦尼尔莫特激子（wanniermott） 激子即大半径激子7-14。相反，有的电子空穴对它们之间的束缚相对于前者来讲是 非常紧凑的， 这样就产生了一种半径较小的激子， 我们称它们为夫伦克耳(ke )frenl 激子，即小半径激子。由于大半径激子同一个激子中的作用关系较弱，而不同激子 之间的作用关系较强，对应的半导体可以看成是一个连续的介电常数为的晶体， 电子与空穴之间的相互作用势能可以用 2 eh err，这样就形成了一个不复杂的二 体问题。 而对于夫伦克耳(ke )frenl激子 （即小半径激子） ， 由于夫伦克耳(ke )frenl 6 最早提出时便认为这个小半径激子是由原子内部激发而产生的，原子实对它的影响 是不可以忽略的，当它处在激发态时可以从一个原子转移到另一个原子当中去，因 此我们认为这是一种可以整体在晶格中漂移的激子2。 1.1.4 激子理论的研究进展激子理论的研究进展 在上个世纪的 30 年代初期，激子的研究工作已经在一部分科学家中展开。在 之后的三四十年中，由于大量的理论研究激子的理论体系被不断的完善。随着激光 技术的迅猛发展，和实验水平的不断提升，激子领域的大门不断向世人展开。在最 近的几年中飞秒激光相干技术的研究，使得人们对激子的认识大大的加深了。从上 个世纪八十年代开始，科学家对激子的认识不再只是在固体材料中研究。由于材料 技术与微观实验技术的发展， 从三十年前开始， 超晶格低维材料中激子物理性质的、 研究渐渐成为研究的重点。 迄今为止，据我们所知，还没有看到量子点中激子压缩态的相关报道，所以研 究在激化半导体中激子的压缩态对于我们是十分有意义的。这篇文章的目的是通过 介绍激子-声子系统的压缩态改进pollmann和buttner的方法。这种方法考虑了声 子亚系统的双线性项的作用。因此，在这篇文章中得出了更多更精确的结果。 在最近的几年中，由于通讯产业的迅猛发展，由光通讯逐步取代电通信已经成 为资讯产业的一个必然的发展趋势。激子发光主要应用于光电子有源器件中并显得 越来越重要，从这一点上来看，我们研究激子的物理效应显得尤为的重要。下面我 们介绍最近的几年中激子的主要应用领域以及其应用的特点。由于纳米技术的进一 步提高，微结构将朝着复杂化和微型化方向发展。微观系统中的激子的线性和非线 性发光特性的研究仍就是未来发展的热门方向。 由于半导体激光器的微型化，高效化，灵敏化和工业化的不断发展。在过去的 三十年中，各个领域对半导体微结构的研究在不断的深入和完善。在实践当中不断 的总结和完善理论而理论又在指导实践的方向。这也就要求我们在研究晶体的线性 效应的同时研究非线性效应就显得尤为的突出。越是微观非线性效应就越是明显。 作为经典通讯理论与量子力学相结合后的产物，信息的量子化已经成为信息发 7 展的一个重要的必然趋势。因为他将使得我们传输信息的效率得到根本性的提升， 因为如果实现把激子态作为量子信息的有效载体，再通过激子之间不同的纠缠态， 就可以实现对不同激子态携带的通讯信息进行传递，交换和储存。 跟进一步我们可以认为，距离相近的两个量子点可以形成“量子点分子” ， 有 很多人已经开始研究这个领域并且在纠缠特性已经有了理论成果。在独立量子点内 应用非线性光学方法，实现了对双激子进行了量子逻辑门操作。但有关激子的理论 还处在初期阶段，尤其是对激子在量子信息方面的应用还只能说是刚刚起步。 随着波色爱因斯坦凝聚的发现低维半导体材料中的研究逐渐成为研究的热点 之一，由于半导体材料中有关激子方面的波色爱因斯坦凝聚现象还有存在很多争 论这里不做详述，但笔者相信这方面的相关研究将成为未来的前沿课题。 1.1.5 声子、极化子、激子声子系统声子、极化子、激子声子系统 1）声子 由于半导体晶体是由大量周期性排布的原子、分子或离子组成的，这样每个周 期性单元就构成了一个晶格。由晶格动力学的知识我们可以知道，组成晶体的大量 原子或离子它们的位置并不固定，当完整的晶体中的原子或离子在它的平衡位置附 近作周期性运动时，我们称之为晶格振动。从另外一个角度来讲，由于其间的相互 作用力使得它们而连系在一起，因此这样的振动形式可以在晶体中传播开来，我们 可以认为它是简正振动叠加的结果。当震动较小可以作简谐近似的情况下可视为孤 立的简谐振动，而它的能量又是量子化的，这样我们就发现了一种用于表示晶体中 简谐振动的元激发声子2。 我们之所以叫声子为原激发或者准粒子是因为它并不是一种实际存在的真实 粒子，当晶体这个载体失去时声子也就无从谈起了。 2）极化子 当一个速度较慢电子在一个极性半导体中运动时，由于它的产生的电场会使得 在电子附近的晶格发生极化现象，带正电荷的粒子朝向电子方向运动，而带负电荷 的粒子朝向电子的反方向运动。异种电荷不同方向的位移就会使得产生一个以电子 8 为中心的极化场。这个场改变周围物质的同时也改变电子自身的能量与状态，这样 这类相互作用的总和就是另一种元激发极化子2。 3）激子声子系统 通过上面的描述，我们知道了极性半导体中极化子是电荷对周围晶格的极化而 产生的，而声子是周围晶格的震动产生的，很显然两者是有着密切的联系。在实际 问题中，极化子的运动大多伴随着声子的产生，所以越来越多的人不再单一考虑极 化子， 而是考虑实际问题中的极化子声子系统， 这样会得到更为精确的结果40-41。 在极性半导体中，两个独立运动的电子和空穴它们分别可以看做独立的带异种 电荷的两个极化子声子系统。当它们之间发生相互作用时就形成了激子，如果考 虑声子作用便成为激子声子体系，这便是本文中研究的中心激子声子系 统。它比孤立的考虑激子会得到更精确的结果57。 在 1956 年，haken 首先考虑了激子声子系统15，这是一个典型的模型对于 在波色子场中两相互作用费米子和基态能绑定束缚能对于一个光学光谱在半导体 的吸收边缘的解释是必须的。为了去得到更多激子声子系统的正确结果，人们在 理论和实践方面都做出了更多的努力16-20。现在已经有几种方法被用于解决这类问 题例如微扰理论21-22，变分法23-28和格林方程法29-31。尽管如此，变分法和格林函 数法等这些早期的方法由于他们局限性而限制了弱相互作用和弱绑定束缚能，并且 他们也不适用于一些更复杂的情况。在文献25中 pollmann 和 buttner 做出了一个 巨大的进展，它不像早期的变分法，他们有一种新的叫做 llp-like 变换用两个幺正 变换来处理激子-声子哈密顿量的同时获得了一个代换变量的一个很适合分析计 算的形式。这个方法可以适用于研究所有的不同的相互作用强度下激子-声子系统 的问题，同时这种方法比较起以前其它论文中的结果取得了很大的突破。但是我们 必须看到，在文献25中，由于作者在求解的过程中忽略了有关激子作用的二次项， 这这一点也就使得他无法得到更精确的结果。 另一方面，在压缩态中，它被最初介绍用于电磁场和定义作为本征态算符被获 得通过用 bogoliubov 变化的湮灭算符32-34，在过去的几十年中它吸引了很多人的 关注。 一般的说来，这种方法被用来对角化一些包含二次项的哈密顿算符。在 1988 9 年， 黄振根据量子光学35中声子的压缩态理论演绎出了凝聚态物理中声子的压缩态 理论。在这之后，声子的压缩态的问题吸引了越来越多人的注意，同时也得到了更 多有益的结果36-41。 1.2 量子点的基本理论与基本性质量子点的基本理论与基本性质 1.2.1 量子点的概念和物理性质量子点的概念和物理性质 低维物理中的量子点和量子线的理论模型首次被esaki和他的合作者们提出。 在这之后科研工作者开始从各个方面对量子点和它的相关领域进行研究，并在理论 研究和实验方法方面都取得了突破性进展。 量子点在不同的研究领域不同的科研工作者用不同的名称来对其进行命名。例 如，在有机化学和生物领域它被称之为有机微粒；在研究晶体有关的学科是它又被 称为微晶；当它应用于材料科学和其相关领域时被叫做超微粒；团簇是它在分子领 域的一种表述；纳米材料这个名称则是最广泛被人们所听说的，并成为一个新兴的 热门研究方向，其本质就是限度在纳米范围的微观结构，当其尺度足够的小的时候 会出现量子效应，即量子点；我们可以通过与它尺度相同但维数有变化的另外两种 低维材料量子阱、量子线很好地进行对照，使我们对尺寸效应有更深刻的认识42。 但由于量子点是在各个方向均受到一定程度的约束，所以它比另外的两种低维 物理材料具有更显著的量子效应。正如下面的几副图中所给出的例子 10 在过去的几年中，由于纳米材料生长和其它一些微观材料加工技术的长足发 展，到目前为止，科学家可以很好的控制制造量子点系统形状和三维的尺度，更重 要的是发现，量子点体系中包含的电子在其中表现出很接近于原子的能级分立现 象。这样我们就从它的身上发现了很多新的有用的光学，电学和磁学性质43-48。 1.2.2 量子点的应用介绍量子点的应用介绍 外形不同的量子点都已经被科研工作者生产，例如，圆盘体，圆柱体，方形， 长方形多边形和球体。它们的性质有很大的区别，有很多领域都有不同程度对量子 点的应用，下面我们介绍主要的几种应用的方面49。 1）在激光领域中的应用 激光领域是量子点应用的最成功的领域。自从一九九四年世界上第一台量子点 激光器问世以来，量子点的应用使得激光器的研制领域出现了巨大的进展。由于量 子点有很好的物理发光特性所以利用量子点作出的激光器具有能量消耗低、光束能 量强、单色性好、持续发光时间长等良好的光源性质。同时由于量子点激光器不同 11 于传统的固体激光器，当温度升高时它的漏电流很小，也就是阈值电流受温度的影 响较小，这说明激光器的热稳定性较高。 量子点激光器正在朝着短波方向发展，将来会在光存储，光通讯等领域发挥更 大的作用。 2）电子器件领域 电子器件领域是量子点应用的最广的领域。单电子器件已经可以达到控制微光 的量子隧道结来控制单个电子的能力。利用它制作的红外探测器可以实现高温探 测， 并且不需要冷却。 除此之外， 它也可以实现传统半导体电子器件中的很多功能， 例如光放大器、信息存储器等。 3）量子计算领域 量子计算机由于超大规模集成电路设计的发展，原有的电路理论逐渐走到了尽 头，即使再应用更先进的加工工艺也很难使运算和存储进一步提高。也就是说计算 机的研究领域出现了障碍。由于量子效应的出现，量子力学的基本原理不得不考虑 进行计算机的设计当中，这样量子计算就成为当今量子物理所要解决的一个热门问 题。 首先实现量子计算的关键是基本自信单元叫做量子比特()qubit是实现。 我们可 以确信以量子点理论为基础的量子计算机将一定会在未来的某一天得以实现。 4）生物、医学领域 初期， 没有人会想的到量子点也可以应用于生物、 医学领域。 直到上个世纪末， 伴随着微纳技术的迅猛发展，在有机科学、生物科学和医科研究领域的应用前景才 逐渐得到证实。这里我们可以大胆的假设，假如可以实现无障碍的进入细胞，并能 够实现量子点和生物高分子系统的胶合，这样就可以使得蛋白质和细胞质中各种各 样的细胞器，线粒体，大分子有机物和外层的轮廓系统结构交联结合，这对辨识不 同的细胞内部组织结构有着重要的意义，因为这就意味着我们可以为细胞质中各种 各样的细胞器，线粒体，大分子有机物和外层的轮廓系统粘贴一个由低维量子点制 成的“标签” 。 在制药的领域，我们常常需要一种透过率高，筛选率高的药物筛，低维物理材 12 料也可以满足这样的要求。同时，由量子点的物理特性可以用于医疗影像技术，并 在医学研究中得到推广并有很好的结果。在未来的医学领域，量子点还可以别用于 标记细胞或者细胞器，甚至于是生物体中的大分子结构。当我们把量子点作为“标 签”贴在所要跟踪的对象表面时，它就会跟随着目标一起运动，并发出可以令我们 探测得到的信号。这样我们就可以准确的探测出目标的运动路径，对医学上研究生 物变化，化学变化的机理有很直观的证据，对医学的发展起着很重要的作用。 除了在以上提到的那些反面外，量子点的低维物理纳米材料还被广泛地应用。 综上所述，低维物理材料，尤其是量子点埃米级材料的研究将会为我们物理学的进 步提供很好的帮助，同时也会对未来的加工工艺的进步和工业生产提供帮助，在产 业化的过程中一定可以带来帮助。 1.2.3 关于量子点的实验与理论进展关于量子点的实验与理论进展 1）量子点的研究历史 在实验方面，上个世纪80年代以来，随着纳米技术和微加工技术的不断发展， 尤其是过去的几年，作为一种独一无二的工具，很多人对零维半导体系统得到了广 泛的研究。 在研究的早期， 人们只能用一些尖端的工艺过程来制造低维半导体物质， 例如电子束平面印刷术和全息平面图形等。在研究这些人造微系统的同时，也为精 密设备的研究和基础物理学的研究展示了新的前景。例如，单一人造量子点会对电 荷的库伦势有一定的影响，原来的库伦能量会被量子点束缚能降低。作为相对应人 工制作三维量子点的方法，有人提出了一种称为自组装外延生长的方法，这种方法 更适应于侧向尺度较小量子点的形成。这种情况下，在它的侧面会有更明显的量子 化效应，同时边界的束缚能将会对原有的库伦势能产生更大的影响。自组装量子点 （sads）能够利用stranski-krastanow(sk)提出的晶体自身生长方法独立的产生。 当我们对包围在量子点周围的材料选择恰当的时候，我们就可以利用这种方法制造 出量子斑或者量子点。当我们用非常少的stranski-krastanow量子点作光至发光实 验时，可以观察到量子化能级变化的影响。之后，人们用很多种物质进行了一系列 的科学实验，我们借助远红外光谱对其进行光谱分析。但是空穴的能级一直没能够 13 明确的研究和证明过。尽管如此，在光致发光所产生的光谱分析中出现了一些尖细 的亮条纹，人们认为这也许就是由于在stranski-krastanow量子点电子和空穴之间 束缚态的影响而导致的能级变换引起的辐射出的光子频率发生了变化。后来利用， 控制分裂栅技术采用人工手段获得量子点。但是由于这种方法对产生量子点的沉底 的要求很严格，存在着很大的局限性。后来人们探索出来很多工艺和方法来制备量 子点。除了以上提到的方法外还有有：外延生长法、气相沉积法、激光沉积法等。 在理论方面，自从一九七五年，量子点的理论模型被第一次提出以来，对量子 点的研究已经经历了半个世纪的时间。人们从各个角的对其进行研究，包括不断变 化它的理论模型的形状，变化它束缚势的形式，考虑各种粒子或准粒子在其中的能 级状态，考虑不同的场对量子点中粒子的能级和运动的影响甚至还有很多科研工作 者考虑量子点的尺寸和材质。对它的各个方面的研究可谓是全方位的。这也使得我 们通过研究前人的理论成果，对量子点有了全面的了解。在研究的方法方面：变分 法求系统基态能量、有效质量近似法和赝势方法使用的最为广泛。并得出了和实验 接近的数据。 总的来说，纳米量子点如果想在固体表面上的自动生长是一个非常复杂的化学 和物理学过程。从微观的角度来说，是基于基底材料结构和性质来影响上次材料生 长的过程。由于基底的材质是不同的表面原子结构与价键结合状态就更是千差万别 了，所以低维物理材料的量子点的形成过程是存在着很大的区别的。 2）二维量子点的研究 由于纳米材料的外延技术与化学汽相沉积技术和一些过去所没有的科学工艺 的进一步提升 ,已经有科研工作者可以制备出仅仅只有分子层厚度的准二维量子点 19，这就意味着在垂直于盘面的方向的运动范围非常的有限。当我们粒子的横向运 动范围比较大时，纵向的坐标变化可以忽略不计，这时我们只需要考虑横向坐标即 可。 量子点的最终形状和很多因素息息相关， 不应只局限于正方体、 长方体等形状。 在这里我们研究的二维抛物量子点实际上类似与一个圆盘，激子只在盘质中运动， 所以有的文献中也称其为盘形量子点模型。 14 3）量子点中的激子的研究 大多数人造固体量子点都是由半导体物质所构成的例如将inas嵌入gaas中、 将alcaas嵌入gaas中、cds和也可以作为量子点材料。而当半导体选取为极性 半导体时（例如：gaas极性半导体）其内部由于电子的热运动，晶格中会产生电 子空穴对。这样研究极性半导体中激子的状态就显得尤为必要。 在理论和实验上有很多科研工作者对激子囚禁与量子点中的模型进行了研究， 使得量子点和激子的研究获得了长足的发展50。理论上，efros l和他的同伴的科 研小组是最早对极性半导体材料的量子点，并且提出一个理论模型对极性半导体量 子点的能级结构进行了理论计算。在 这之后越来越多的不同方法被应用于对量子 点问题的求解，从理论研究的角度来讲，其中包括以下的几种常用方法：赝势法、 等效质量近似、变分法等。实验的方法在这里不做详述。 1.3 本文的工作介绍本文的工作介绍 在第一章绪论的前两节中，我们花了很长的篇幅对半导体、量子点、激子、声 子等基本概念和研究进展做了多方面的介绍。并引出了本文研究的核心激子声子 系统和理论模型二维量子点。下面我们将要从以下几个部分来安排对极性半导体中 的激子声子系统压缩态现象进行研究： 第二部分构建含磁场的二维量子点理论模型得出对应的总体哈密顿量。对哈密 顿量进行展开，化简。运用压缩态的方法在lee-low-pines和huybrechts（llp-h）变 换的基础上引入声子压缩态算符，并对哈密顿量压缩变换。之后，通过对哈密顿量 进行一系列的幺正变换，再利用变分方法得出基态能量的表达式，并运用计算机得 出对期望值的数值解，绘制出g-s energy随相互作用强度量变化的图形，并对基态 能量值进行数值求解，并对结果进行对比，分析和讨论。 第三部分我们通过上一节的求解和讨论得出激子声子系统在二维量子点中 的一些有意义的物理性质并给出结论。最后对方法还存在的不足进行分析，同时对 该方法运用的前景进行展望。 15 2 外加磁场的二维抛物量子点中激子外加磁场的二维抛物量子点中激子-声子系统在声子声子系统在声子 压缩态下的研究压缩态下的研究 2.1 本文中激子声子系统所处的抛物量子点的理论模型本文中激子声子系统所处的抛物量子点的理论模型 我们在研究微观量子理论模型的时候，常常碰到一些现实中非常复杂的问题， 我们往往需要把这些实际问题处理为经典理论模型来进行解决。例如：当我们遇到 一个负电荷运动到一个正电荷附近时，受到以正电荷为中心的电场作用和限制，并 具有一定势能的问题，我们经常处理为类氢原子问题。对于这类问题，我们经常采 用氢原子的经典理论模型来进行近似处理，常常是非常有效的，并且在很多问题中 得到了相当精确的结果，例如24-26。同时我们除了考虑能带理论中所提到的基本束 缚以外，在实际半导体中还应具有为数众多的其它束缚条件。我们都知道一个自由 电子被比自身质量大很多倍带异性电量核所吸引而产生量子化的能级，同样的道理， 当一个电子落入一些系统自身所带有的固有缺陷或者一些材料中带有电荷的杂质所 产生的势场时，也同样会导致被束缚的电子产生一定的量子化的能级。往往这样的 杂质和缺陷所导致系统能级发生的变化会使得能带理论为基础的经典理论模型所得 出的标准能级陷发生位移，有的提高，有的降低，有的陷入带与带之间。材料中类 似的导致能级发生改变的因素，往往对于实际极性晶体材料的物理性质起着至关重 要的作用。 在实际问题中，半导体中的量子点常被视为是由极性晶体中一个周期内的所构 成的51，在我们研究问题的实际计算中，量子点可被处理为某种极性晶体中的一个 独立的单元来进行孤立研究。事实上，类似于我们把晶体中电子和它周围运动晶格 的总和看做极化子一样，量子点的孤立体系模型我们把周围晶格对粒子的影响考虑 成为粒子质量的变化而产生的对运动的影响，应该是一种合理的假设，并可以获得 预期的结果的。把能带结构中周期场所产生的影响被考虑在有效质量近似当中从而 产生有效质量的概念，这样无论那种载流子的有效质量研究就能容易地从外场的作 16 用来进行讨论 52-53。 在以前的研究中，为了简便往往把实际问题简化为比较标准的几何问题来进行 解答。在对低维物理进行理论研究的过程中，通常把实际量子点简化为方体或长方 体等简单几何结构，但实际极性晶体材料中的量子点往往是多边体，球体或椭圆体 的形状，也就是说球体更接近于实际的电子空穴束缚势能的在空间的分布情况。 kumar与一些科研工作者针对过去人们提出的量子点势场的无限深势阱的理论模型 首先提出抛物型势场应该更接近于实际 54。这一点后来也被著名的科研工作者. .rc ashoori与他的同伴在文献中提及55。 我们由量子力学中的经典模型可以轻易的得出在一个平面中，各向同性的抛物 量子点就相当于一个各向同性谐振子模型，其hamiltonian量可以用一下的极坐标形 式来表示： 22 22 ( ) 222 pp mr hv r mm =+=+ rr r r （2.1.1） 在上式中表示谐振子的频率，m表示谐振子的质量，r为以原点为中心的极坐标下 谐振子的位矢。 () () 22 ,1 22 l nl exp ilmmm rnrexprfnrl =+ rrrr hhh （2.1.2） 在上式中 () 2 ,1fn mrl+ r h表示的是合流超几何方程56，并且已经进行了归 一处理。下式为方程对应的本征值 () 21 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,; 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,1 nl enl n ln =+ + = = h l l （2.1.3） 在这里我们直观的给出二维量子点的理论模型如下： 以二维量子点的下底面中心为原点，以二维量子点的下底面为x轴和y轴所 确定的平面。 其中d代表量子点的厚度。 由于我们这里假设的量子点的厚度很薄很薄， d的厚度可以近似为0，可以视其只在x-y平面内运动z方向无运动。b表示磁场方向， 它是一个沿z轴方向的磁场均匀穿过二维抛物量子点。 这样就形成了一个在磁场中二 17 维的抛物量子点的理论模型。其空间结构如下： 图2.1.1 下图（图2.1.2）为量子点的俯视图，透过二维量子点的底面，我们可以清楚的 看出囚禁在二维抛物量子点的激子中空穴运动位矢 h r r ， 电子运动位矢 e r r 与相对运动位 矢r r 之间的关系 he rrr=+ rrr 图2.1.2 18 图2.1.3 上图（图2.1.3）是抛物势场的结构图，z轴方向表示抛物势的大小： 2.2 对激子声子系统哈密顿量得出和展开对激子声子系统哈密顿量得出和展开 在二维量子点中我们在x-y平面上采用抛物限制势来进行约束，同时在z方向我 们加了一个外加磁场。在这个理论模型中，介电常数边界间的复杂问题不在我们的 考虑范畴之内。我们只考虑一个可以线性谐振子模型来描述的纯粹抛物势场。除了 要考虑激子声子系统在含沿z轴方向二维量子点中所受到的束缚势能以外， 还要考 虑激子声子系统所处的各向同性的非简并双束缚模型。这个系统主要考虑的是一 个电子和一个空穴通过一个动力屏蔽库伦势和一个由于相互作用而产生的纵向光学 声子（lo）和它们之间的相互作用关系57。这就为我们在下面的工作中的写出质量 中心系统(),c m的hamiltonian量提供了方便； ehe hpeh p hhhhhh =+ （2.2.1） 其中 19 () 2 *22 * 1 22 hh hho h h pea hmr m =+ rr （2.2.2） h h表示和空穴有关的hamiltonian量: () 2 *22 * 1 22 ee eeo e e pea hmr m =+ rr （2.2.3） e h表示和电子有关的hamiltonian量: 2 4 eh o e h r = （2.2.4） eh h表示和电子空穴系统有关