毕业设计（论文）-一阶倒立摆系统的研究.doc

东北石油大学本科生毕业设计（论文）摘 要 滑模变结构控制由前苏联学者Emlnv在上世纪五十年代提出,后经Uktni和llkis等人的进一步发展研究。由于它所具有的独特的鲁棒性以及对匹配不确定性和外部干扰的完全自适应性等特点,到上世纪七十年代,逐渐引起了西方学者的重视。目前滑模变结构控制理论已经得到了充分的发展,成为非线性控制理论的一个重要分支,其所研究的对象涉及离散系统、分布参数系统、滞后系统等。然而滑模变结构控制带来的高频抖振是其应用到实际系统的障碍。因此许多其它的先进控制技术如自适应控制、模糊控制、神经网络控制等也被综合应用到滑模变结构控制系统设计中,以解决滑模变结构控制系统的抖振,同时还要尽量保持滑模变结构所具有的性能。倒立摆系统是一种非线性、高阶次、多变量、快速和自然不稳定的动态系统，是研究各种控制理论和方法的理想对象及典型试验装置。在控制过程中能有效地反映诸如可镇定性、鲁棒性、随动性以及跟踪等许多控制中的关键问题。因此，倒立摆机理的研究又具有重要的应用价值，成为控制理论中经久不衰的研究课题。本文以一阶倒立摆系统为研究对象，研究其自适应滑模控制策略。主要完成了以下工作：(1)利用动力学方程建立一阶倒立摆的数学模型，得出描述系统的微分方程。(2)基于滑模变结构控制设计一阶倒立摆的滑模控制器，并对其进行了李雅普诺夫稳定性分析。在MATLAB/SIMULINK环境下，针对控制器中符号函数和饱和函数两种情况进行仿真分析。仿真表明，在控制器中加入饱和函数控制效果较好。(3)在MATLAB/SIMULINK环境下，进行了该自适应滑模控制器仿真研究。关键词:滑动模态；变结构控制；倒立摆系统；李雅普诺夫函数AbstractInverted Pendulum, which is a dynamic system with nonlinearity, high equation orders, multivariable, fast reaction and instinct instability, has become an ideal object and typical experiment technique. Many key matters can be effectively reflected during the control process, such as steady, robustness, stochastic and track issues. Therefore, the research of inverted pendulum mechanism has lasted for many years due to its significant application value and has become an unfailing research task in the field of control theory.The paper uses the single inverted pendulum system as a research object to research its adaptive sliding mode fuzzy control strategy. The main research works are as follows:(1) We use dynamics equation to build the mathematical model of the single inverted pendulum and the differential equations describing the inverted pendulum are given.(2) Based on the principle of sliding mode variable control , a sliding mode controller for the single inverted pendulum is designed and its stability is analyzed by Lyapunov theorem of stability.(3) Aimed at the things of sine wave or square wave being position signal, we respectively simulated for the indirect adaptive controller under MATLAB/SIMULINK environment and good simulation results are obtained.Key words： Sliding Mode ;Variable Structure Control ;Inverted Pendulum System; Lyapunov theorem of stability ;Adaptive Sliding Mode .II目 录第1章 概述11.1 本文研究的背景及意义11.2 滑模变结构控制国内外发展现状21.3 倒立摆控制的发展及研究现状41.3.1 倒立摆控制的发展与研究现状41.3.2 倒立摆的控制方法51.4 本文主要工作5第2章 数学基础和理论知识72.1 倒立摆系统结构及工作原理72.2 倒立摆系统的平面分析82.3 倒立摆模型的数学建模10第3章 基于上界的滑模控制133.1 滑模变结构理论的起源和背景133.2 滑模变结构控制系统的基本原理153.2.1滑模变结构控制的基本概念153.2.2滑动模态到达条件163.2.3滑动滑模变结构控制系统的抖振问题163.2.4滑动模态的数学表达173.2.5 滑动模态的不变性183.3 滑模控制器设计193.3.1 系统描述193.3.2 滑模控制器设计203.3.3 稳定性分析203.3.4 控制器改进213.4 仿真研究223.4.1 S函数223.4.2 被控对象S函数程序设计223.4.3 控制器S函数程序设计233.4.4 仿真实例243.5 本章小结25第4章 无需物理参数的倒立摆自适应滑模控制274.1 系统描述274.2 控制律设计284.3 仿真实例294.4 本章小结30结论32致谢34参考文献35附录37第1章 概述1.1 本文研究的背景及意义 自动控制理论发展初期，是以反馈理论为基础的自动调节原理，主要用于工业控制。二战后，形成完整的自动控制理论体系，这就是以传递函数为基础的经典控制理论，它主要研究单输入单输出、线性定常系统的分析和设计问题。一般处理的系统为单变量系统，数学模型简单，基本分析和结合的方法是基于频率法、根轨迹法、相平面法等，描述系统的数学模型是微分方程或传递函数。然而经典控制理论对于非线性时变系统却难以奏效。研究倒立摆控制最早始于美国麻省理工学院,那是20世纪50年代,研究者根据火箭发射中的助推器工作原理设计出了一级倒立摆。50年代中期，由于空间技术的发展，现代控制理论应运而生。现代控制理论主要是基于系统内部描述的状态方程进行时域分析。其运用状态空间理论解决了多输入多输出问题，对象的模型采用内部模型以解析运算为主要手段，实现某个或某几个性能指标的最优。所研究的对象可以为线性定常系统，也可以为非线性时变系统。现代控制理论也要求建立系统的数学模型，但随着工业过程日趋复杂，过程严重的非线性和不确定性，使许多系统无法用数学模型精确描述，而且随着科学技术的突飞猛进，不仅要求控制精确，而且更注重控制的鲁棒性、实时性、容错性及对控制参数的自适应和自学习能力。这样建立在数学模型基础上的古典和现代控制方法将面临空前的挑战，同时也给智能控制方法的发展带来了良好的机遇。自动控制理论已经过八十余年的历程，具备了从经典到现代严谨的理论体系1-2。但如同其他理论一样，自动控制理论也有其局限性，即仅当所研究的被控对象数学模型存在解析解时，才能求得控制律。而目前的数学只能求出线性和一些典型非线性情况的解析解。对于简单的被控对象，即使存在非线性，若控制要求不高，也可通过相对平衡点的小偏离线性化将所讨论问题划归到线性范畴，或采用相平面等非线性理论加以解决。 目前，自动控制理论正向以控制论、信息论、仿生学为基础的智能控制理论深入3-4。智能控制利用人工智能实现控制目的，具有能够处理高度非线性和复杂性的被控对象并对系统和环境的不确定性变化具有动态适应能力的自主系统，其本质是对动态的感知、学习和自适应能力。现在最有潜力的控制方法主要有模糊控制系统5，神经网络控制系统以及基于知识的专家控制系统。滑模变结构控制对系统的不确定性因素具有强的稳定性、鲁棒性和抗干扰能力,利用这种方法控制的系统的动态品质良好,而且此方法控制简单,易于实现。3因此,越来越受到人们的重视.作者首先对文献1中的一级倒立摆模型进行分析和建立数学模型,然后利用滑模变结构控制对摆的镇定问题、台车位置调节问题和系统鲁棒性进行详细的研究.从仿真结果可以看出这种控制方法是非常可行的和有效的。1.2 滑模变结构控制国内外发展现状变结构控制本质上是一类特殊的非线性控制，其非线性表现为控制的不连续性。这种控制策略与其他控制的不同之处在于系统的“结构”并不固定，而是可以在动态过程中，根据系统当前的状态有目的地不断变化，迫使系统按照预定“滑动模态”的状态轨迹运动，所以又常称为变结构控制为滑动模态控制，即滑模变结构控制。由于滑动模态可以进行设计且与对象参数及扰动无关，这就使得变结构控制具有快速响应、对参数变化及扰动变化灵敏、无需系统在线辨识、物理实现简单等优点。该方法的缺点在于当状态轨迹到达滑模面后，难于严格地沿着滑模面向着平衡点运动，而是在滑模面两侧来回穿梭，从而产生颤动。变结构控制的发展经历了三个发展阶段7-9。早期的工作主要由苏联学者完成。在第一阶段，以误差及其导数为状态变量研究单输入、单输出线性对象的变结构控制。在1957年至1962年间，主要研究二阶线性系统。以误差信号或加上它的导数作为反馈。反馈系数可在两组数值之间切换，研究的方法是相平面分析法，以系统误差和其导数构成相平面坐标。从1962年起，开始对任意阶的单输入单输出线性(定常或时变)对象进行研究，仍然采用误差及其各阶导数构成状态空间，亦即规范空间。控制量是各个相坐标的线性组合，其系数按一定切换逻辑进行切换，所选的切换流形都为规范空间中的超平面。滑动模在规范空间中对系统参数变化的不变性无疑对人们有很大的吸引力，以至于认为它可以轻易地解决鲁棒性问题。在实际应用中，人们发现采用微分器获取误差的各阶导数信号这一做法并不可取，因为可实现的微分器传递函数总是有极点的，导致滑动模偏离理想状态，甚至使系统性能变坏到不可接受的程度。因此，这一阶段建立起来的变结构控制系统理论实际上很少被采用，这期间的文献也没有受到普遍重视。20世纪60年代末开始了变结构控制系统理论研究的第二阶段10-11，人们不再于规范空间中进行研究，并且研究的对象扩大到多输入多输出系统和非线性系统，切换流形也不只限于超平面。特别是Utkin的专著滑动模及其在变结构系统理论中的应用英文版发表以后，西方学者对滑模变结构控制系统理论产生了极大的兴趣，在此期间取得了相当多的研究成果，如关于滑模的唯一性、稳定性及切换面方程式的设计等。但是由于没有相应的硬件技术支持，这一时期的主要研究工作还仅局限于基本理论的研究。进入20世纪80年代以来，随着计算机、大功率电子切换器件、机器人及电机等技术的迅速发展，变结构控制理论和应用研究开始进入了一个新阶段。以微分几何为主要工具发展起来的非线性控制思想极大地推动了变结构控制理论的发展，如基于精确输入/状态和输入/输出线性化及高阶滑动模的变结构控制等，都是近10多年来取得的成果。各种重要的国际和国内学术会议都设有滑动变结构控制专题小组，许多有影响的学术刊物都陆续出版了专题特刊。当前的滑模变结构控制主要集中在以下几个方面11-13:（1） 滑模变结构控制系统抖振的抑制由于抖振是滑模变结构控制所固有的缺点，因此很多学者都在寻找能有效消除控制信号抖动的近似变结构控制算法。Slotine et al.提出了一种平滑控制算法，在切换函数的边界层内对控制的不连续性进行平滑。罗宁苏等提出了一种具有拟滑动特性的抖动消除方法。高为炳等利用趋近律概念，提出了一种变结构控制系统的抖动消除方法。Shtesse et al.利用滑动模的有限到达时间要求，提出了另一种连续的近似变结构控制算法。Nasab T. M.还提出了一种在被控对象中增加一个纯积分环节或低通滤波器的思想，通过对象增广并结合自适应等方法来抑制抖动。（2） 滑动模态面的研究除了传统的线性滑模面，许多学者也提出了各种不同的滑模面。如文献(Itkis U.1976)详细阐述了二次型滑模面。与连续滑模面相对应，不连续的滑模面也取得了许多研究成果。此外，为了实现滑模面的有限时间达到，许多学者对终态滑模面进行了广泛的研究。（3） 滑模变结构控制理论与其他控制理论的相结合将其他控制理论与滑模变结构控制理论相结合，相互取长补短，取得了相当大的研究成果。目前已有学者将自适应控制理论引入到滑模变结构的控制理论中来，一方面可以用变结构思想来设计自适应控制系统，同时也可以利用自适应思想进行在线估计变结构控制器中不连续项控制增益。此外模糊控制、神经网络及遗传算法等先进控制技术也被综合应用到变结构控制系统中.以解决变结构控制器所存在的不利抖动对实际应用所带来的困难。（4） 特定的被控对象的滑模变结构控制目前的滑模变结构控制所研究的控制对象也己涉及到离散系统、分布参数系统、广义系统、滞后系统、非线性大系统及非完整力学系统等众多复杂系统。文献(Choi H. H, 1997; flu, 1999)专门研究了不匹配不确定性系统的变结构控制系统设计问题。文献(Gouaisbaut F,1999)对于具有输入时滞的不确定性系统，通过状态变换等方法，得到了变结构控制系统。（5） 滑模变结构控制理论的应用由于机器人动力学一般是非线性动力学，同时存在多种不可预见的外部干扰，所以机器人控制是近年来变结构控制系统理论的主要应用环境之一。变结构控制理论的另一个典型应用环境是飞行器的运动控制。此外在一些工业控制方面也有利用滑模变结构成功控制的例子。虽然变结构控制理论在近40年来取得了一定的研究进展，但是仍然有许多理论问题尚待解决，在应用研究方面，目前还主要局限于机器人、电机及航天器等对象。1.3 倒立摆控制的发展及研究现状1.3.1 倒立摆控制的发展与研究现状由于对倒立摆系统的稳定控制有着重要的理论意义和实际意义，国内外的学者对此给予了广泛的关注和研究。 早在上世纪60年代，国外有学者对倒立摆系统进行了系统的研究，分析了倒立摆系统的的机械稳定性问题和可控性问题，讨论了多级倒立摆的稳定控制，提出了bang-bang的稳定控制。在60年代后期，作为一个典型的不稳定、严重非线性例证，控制理论界提出了倒立摆的概念，并用其检验控制方法对不稳定、非线性和快速性系统的控制能力，受到世界各国许多科学家的重视，从而用不同的控制方法控制不同类型的倒立摆，成为具有挑战性的课题之一14-15。 从上世纪70年代初期开始，用状态反馈理论对不同类型倒立摆的控制问题成了当时的一个研究热点，并且在很多方面取得了比较满意的效果。但是由于状态反馈控制依赖于线性化的数学模型，因此对于一般的工业过程尤其是数学模型变化的或不清晰的非线性控制对象无能为力。 这种状况从上世纪80年代后期开始有了很大的变化。随着模糊控制理论的发展，以及将模糊控制理论应用于倒立摆系统的控制，对非线性问题的处理有了很大的改进。将模糊理论应用于倒立摆的控制，其目的是为了检验模糊理论对快速、绝对不稳定系统的适应能力。在这一阶段，将模糊理论用于控制一级倒立摆取得了很大的成功。针对模糊控制器随着输入量的增多，控制规则数随之成指数增加，进而使模糊控制器的设计异常复杂，执行时间大大增长的问题，张乃尧等人对倒立摆采用双闭环模糊控制方案控制一级倒立摆，很好地解决了这个问题。程福雁等人研究了使用参变量模糊控制对二级倒立摆实行实时控制的问题，通过传统的控制理论得出倒立摆系统各状态变量间的综合关系，来处理系统的多变量问题;通过仿真寻优和重复实验相结合的方法，得到了控制倒立摆的最优参数；采用高精度清晰化方法，使输出控制等级更为细腻。模糊控制理论应用于倒立摆的最新研究成果是北京师范大学数学系李洪兴教授领导的科研队伍利用变论域自适应模糊控制理论实现了对四级倒立摆的稳定控制16。 神经网络控制倒立摆的研究17-19，从上世纪90年代开始有了快速的发展。早在1963年，Widrow和Smith就开始将神经网络用于倒立摆小车的控制。神经网络控制倒立摆是以自学习为基础，用一种全新的概念进行信息处理，显示出巨大的潜力。就本论文查阅到的参考文献而言，目前神经网络用强化学习方法来实现对倒立摆的稳定控制,利用神经网络与其他控制方法相结合的方法来控制倒立摆。另外，还有其他的控制方法用于倒立摆的控制20-21。例如，利用云模型实现倒立摆的智能控制倒立摆，利用云模型的方法主要的优点是，不用建立系统的数学模型，根据人的感觉、经验和逻辑判断，将人用语言值定性表达的控制经验，通过语言原子和云模型转换到语言控制规则器中，解决了倒立摆控制的非线性问题和不确定性问题22-24。1.3.2 倒立摆的控制方法 PID控制。通过对倒立摆物理模型的分析，建立倒立摆系统的动力学模型，设计出PID控制器实现控制； 状态反馈控制。在平衡点附近利用线性化方法求出状态方程，然后利用状态空间理论推导出状态方程和输出方程，利用状态反馈的各种设计方法实现对倒立摆的控制； 模糊控制。主要是确定模糊规则，利用所设计的模糊规则克服系统的非线性和不确定性从而实现对倒立摆的稳定控制； 自适应控制。它以模糊控制命题表示一组控制规律，将指标函数与控制量联系起来，经模糊推理决定控制量，而不管系统本身的内在方式或直接变化方式，通过设计自适应控制器对倒立摆进行控制； 神经网络控制。利用神经网络能够充分逼近复杂的非线性关系，学习与适应严重不确定系统的动态特性，与其他控制方法结合实现对倒立摆的稳定控制； 几种控制算法相结合的控制方式。充分利用各控制算法的优越性，来实现一种组合式的控制方法，如遗传算法与神经网络结合的方法，神经网络与模糊理论结合的方法，模糊控制与PID结合的方法等等。1.4 本文主要工作本文在掌握滑模变结构控制理论的国内外研究现状，结合实际应用对滑模变结构控制理论提出的要求基础上，将自适应系统应用到滑模变结构控制系统设计中。并将滑模变结构控制理论应用于倒立摆系统的仿真控制。论文的主要内容如下：第一章主要介绍了本文的写作目的，并阐述了倒立摆控制和滑模变结构控制的发展及研究现状，最后简要介绍了本论文的主要结构安排。第二章系统的介绍了倒立摆系统的组成及工作原理，并对倒立摆建模所需的条件进行分析，同时将建模中用到的各量予以说明，最后对倒立摆系统的动态方程进行详细推导。第三章主要介绍了滑模变结构控制的基本概念，并针对一类非线性系统提出了一种滑模变结构的控制方法。将滑模变结构理论应用到一级倒立摆的控制中，然后针对系统的抖振提出改进方法。最后用李雅普诺夫理论对其稳定性进行分析，并运用该控制器对一阶倒立摆进行仿真研究。第四章针对一阶倒立摆自适应滑模控制仿真研究中所做的主要工作进行总结并对论文中有待进一步研究的方面给予说明，对本研究课题未来的前景提出展望。第2章 数学基础和理论知识 2.1 倒立摆系统结构及工作原理 倒立摆系统是二阶非完整约束动力学系统，由于系统带有重力项，可以在平衡位置将系统线性化，进而在平衡位置实现指数收敛稳定。在倒立摆系统中，只有一个小车的控制输入，需要控制的输出则有摆杆角度以及小车位移，所以倒立摆系统属于欠驱动系统，一个输入控制多个输出量。 倒立摆系统具有如下特性11： (1) 欠冗余性。倒立摆采用单电机驱动，因而它有冗余机构。 (2) 典型的仿射非线性系统，可以应用微分几何方法进行分析。 (3) 不确定性。主要是指建立系统数学模型时的参数误差、量测噪声以及机械传动过程中的非线性因素所导致的难以量化的部分。(4) 耦合特性。摆杆和小车之间，以及多级倒立摆系统的上下摆杆之间都是强耦合的。这是可以采用单电机驱动倒立摆控制系统的原因，也使控制系统的设计、控制器参数调节变得复杂。 (5) 开环不稳定系统。倒立摆系统有两个平衡状态：垂直向下和垂直向上。垂直向下的状态是系统稳定的平衡点（考虑摩擦力的影响），而垂直向上的状态是系统不稳定的平衡点，开环时微小的扰动都会使系统离开垂直向上的状态而进入到垂直向下的状态中。 图2.1 倒立摆系统框图倒立摆实物系统如图2.1所示，包括PC机（装有PCI接口的高性能通用运动控制卡GT-400-SV），一个包含电机驱动器及各种I/O电路的电控箱，倒立摆本体和光电码盘反馈测量元件等几大部分，组成一个闭环系统。系统采用DSP 专用运动控制芯片的运动控制器；交流伺服电机作为驱动；检测元件采用光电编码器，从而系统的数据传输、处理全部采用数字处理，避免了模拟系统的零点漂移、噪声干扰等缺点。实际控制时，主要是控制系统的构建和控制器参数的调节。如图2.2所示，对于倒立摆本体而言，可以通过对光电码盘的反馈进行换算获得小车的位移，摆杆的角度由光电码盘检测并直接反馈到I/O设备，小车的速度信号、角速度信号通过差分法得到。计算机从I/O设备中实时读取数据，根据控制算法确定控制策略，实际上是电机的输出力矩，并发送给I/O设备产生相应的控制量，传送给伺服驱动器处理。驱动电机带动小车运动，保持摆杆不倒，达到动态平衡状态。稳定的具体表现是倒立摆系统不会震荡发散或突然倒下。倒立摆的偏角和电机的电压之间存在一定的关系，偏角大时，所施加的控制力就越大。 图2.2 倒立摆本体2.2 倒立摆系统的相平面分析 倒立摆成功稳定时，摆杆偏离其铅垂方向的角位移一般保持在2左右，采用线性化处理分析是可行的。1. 一级倒立摆系统的运动方程 (a) 小车受力图 (b) 一级摆受力图 图2.3 一级摆系统受力分析 如图2.3所示，将摆L1解除约束后，可得到一级倒立摆系统受力分析。在略去阻尼情况下，由图2.3(b)可得一级倒立摆的运动方程为（略去摆L1=2l重量在水平方向分量H）： (2-1)经过线性化后变为： (2-2)式(2-2)为一级倒立摆数学运动方程。显然，它是一个强迫运动方程。2. 一级倒立摆的自由运动 令式(2-2)中的f1=0，得到一级倒立摆自由运动方程： (2-3) 其中，它为典型的不稳定方程。 对式2-3)进行分离变量积分后得： (2-4) 式(2-4)为双曲线方程。其中是由初始条件和系统参数决定的常数。在不同的初始条件()，可在相平面()上得到相应的相轨迹。它在相平面上能表示出一级倒立摆在各种初始条件下的自由运动。图2.4中的奇点为鞍点，它所对应的平衡状态是不稳定的平衡状态。当A0时，在相平面上得到2条特殊的相迹PP和QQ(直线)；当A0 和A 0时，；而当时，。因此，是单变量系统实现滑动模的充分条件。对于多变量系统而言，滑动模的到达且存在的条件则不那么直观,它相当于在切换流形的领域内非线性系统状态轨线关于切换流形S = 0的稳定性。我国己故控制专家高为炳教授和合作者采用趋近律方法设计,他们提出了下列两种形式的到达规律:(1) ；(2) ； 对于这两种趋近律,显然保证了滑动模态的实现,而更重要的是利用到达律方法可以通过选取适当的参数,保证系统在趋近运动阶段的运动特性,进而实现滑动模运动。当然,当系统存在不确定因素干扰时,很难设计相应的变结构控制规律满足上述趋近律。不过从上面分析可以看出,我们只需将上述趋近律改为下列相应的不等式或相应的分量不等式形式,即可保证系统在有限时间内实现滑动模运动。(3) ；(4) 。3.2.3. 滑模变结构控制系统的抖振问题如上所述,变结构控制在理论上只要不确定扰动因素有界就可以通过适当的变结构控制作用,使系统在有限时间内到指定的切换面,从而实现滑动模态运动。因此,变结构控制从理论上讲,它是为不确定系统的鲁棒控制提供了一种非常有效的途径。但是,实际系统由于切换装置不可避免地存在惯性,变结构系统在不同的控制逻辑中来回切换,导致实际滑动模态运动不是准确地发生在切换面上,而是沿着切换面来回运动,这就引起系统的抖振,从而成为滑模变结构控制理论在实际应用中的一大障碍。为了克服变结构控制系统的抖动缺陷,许多国内外学者提出了比较有效的方法,除了上面高为炳先生提出的趋近律(2)及基于模糊逻辑、神经网络和遗传算法的变结构控制外,目前比较流行的是采用边界层内的正则化方法,即在适当的边界层内将原变结构控制连续化,从而达到减弱系统抖动的目的。但是这类方法实际上已不是传统意义上的变结构控制,不再具有变结构控制系统的良好鲁棒性。此外,边界层厚度的选取也是一个很困难的问题,因此变结构控制系统抖动的削弱一直是工程实际问题的适时控制中的一个关键的问题,尚需开展更多的实验研究。3.2.4滑动模态的数学表达从理论上讲，系统的状态轨迹一旦到达切换流形就沿着其运动，即此时系统轨迹保持在此切换流形上，称这种滑动模态为理想的滑动模态。但实际系统由于惯性、执行机构的切换滞后等非理想因素的存在，系统的轨线不可能保持在此切换流形上运动，而是在切换流形的附近来回切换，这种滑动模称为实际滑动模，而这种来回切换运动我们称之为抖振。因此理想的滑动模态与实际的滑动模态总是存在着一定的偏差。在理想情形，当系统进入滑动模运动后，由于系统的状态轨迹保持在其上面，也即满足是，从而有。于是系统在此切换流形上应满足下列方程 (3-6)如果从方程(3-6)可以确定或解出，则由此得到的形式解就可视为系统在切换流形上系统所施加控制的等效或平均作用量。我们把由式(3-6)求出的控制量称为等效或等价控制量，用记号表示。考虑下列仿射控制系统 (3-7)其中为适当维数的连续光滑函数。对于这类系统，由式(3-6)及(3-7)可以推出 (3-8) 因此，如果选取的切换函数满足 (3-9)可逆，则由式(3-9)可以得到唯一的等效控制量 (3-10)将此控制量代入式(3.9)，就得在理想情形下滑动模态应满足的微分方程 (3-11)对于上述系统，只需适当的光滑条件，就可保证解的唯一存在性。利用边界层内的正则化方法，可证明实际滑动模与理想滑动模是可以任意接近的。因此，我们在进行变结构控制系统的综合时，可以视方程(3-11)为系统的滑动模态方程。注意在上面的推导滑动模微分方程时，假定了矩阵是可逆的。一般来说，此条件可以通过选取适当的切换函数得到满足。 3.2.5 滑动模态的不变性滑模变结构控制最吸引人的特征之一是系统一旦进入滑动模态区运动，就会对系统干扰及参数变化具有完全的自适应性或不变性。本节将具体讨论滑动模的这一重要特性，并给出若干不变性条件。考虑下列不确定控制系统 (3-12)其中,为适当维数的不确定函数，为不确定参数向量。首先，讨论滑动模关于不确定扰动因素的不变性。选择切换函数为，则由式(3-13)可以推出 (3-13)因此由等效控制法及式(3-13)可得等效控制量满足 (3-14)其中假定可逆，将此等效控制量代入式(3-14)，就得其滑动模态满足方程 (3-15)因此当 (3-16)成立时，滑动模态方程(3-16)与干扰无关，也即滑动模态关于未知扰动或不确定性具有不变性。记为由的列向量生成的子空间，如果,满足条件：， (3-17)也即存在,使得， (3-18)则显然此时式(3-16)成立。因此条件式(3-17)或式(3-18)称为滑动不变性条件，它与模型跟踪问题中的所谓匹配条件是完全类似的。因此，有时我们也称之为匹配条件。上述条件可以通过下面的代数条件进行验证。 (3-19)其次，讨论滑动模关于切换函数和控制量非奇异变换的不变性。设为另一由切换函数通过非奇异变换而得到的切换函数