（应用数学专业论文）半线性椭圆型方程及hamiltonian系统解的存在性.pdf

刿j i l li j i p i i f f lf l l i i p i f l j j j i j l 1 l l i j i p i j 删 y 18 i 2 nm i l u l 9 9 i r i i l 4 9 l l i e l 9 i l l l i l 4 i i j i l l 本文首先简单介绍了非线性偏微分方程研究的内容、现状、意义，然后研究了一类 二阶半线性椭圆方程多重解的存在性；一类非线性双调和方程非平凡解的存在性；一类 四阶半线性椭圆方程( 多重) 解的存在性：一类非线性h a m i l t o n i a n 系统周期解的存在 性问题。具体可以分为以下几个部分来加以研究： ( 1 ) 本论文的第一章为绪论，我们先在第一节简单介绍了非线性偏微分方程的研究 内容、现状、意义，包括国内外目前的研究动态以及取得的相关成果，以及非线性偏微分 方程的定义。第二节简单介绍了极小极大理论在证明非线性偏微分方程的( 多重) 解的 存在性的重要作用，并给出了两个极小极大理论：山路引理，环绕定理。第三节给出了 本文主要用到的两个极小极大理论：变型环绕定理，环绕模型定理。 ( 2 ) 第二章利用变型环绕定理、环绕模型定理，研究一类二阶半线性椭圆方程的非 平凡解的存在性。本章分三节，第一节预备知识，介绍了一些性质、定义和定理。第 二节考虑多重解和文 2 5 】中二阶椭圆方程( 2 1 ) 非线性部分的关系。即，当九 。 1 2 2 环绕定理 设x 是实b a n a c h 空间，qcx 是其中的一个有边的闭b a n a c h 流形，具有边界a q 。 又设s 是x 中的一个闭子集。 定义1 3 嗍称弛与s 是环绕的，是指： ( 1 ) 勉ns = ( 2 ) 对任意连续的缈：q 哼x 满足= i d a q 都有伊( q ) ns 定理1 2 m 1 ( 1 9 7 8 ，r a b i n o w i t z ) 设x = 】，o z 是实b a n a c h 空间，】，是有限维的。 v 2p ， 0 ，z z 且= ，。定义 m ：= 材= y + 2 z , i l u l l - a 譬1 耳擎矽。 “ln 若伊满足( 胳) c 条件，其中 c ：= m a x 簟o ( r ( u ) ) ， ，c ju e a 4 f = 厂c ( m ，z ) ：7i m o = 耐) ， 则c 是矽的临界值。 1 3 主要数学定理 极小极大原理是研究非线性偏微分方程多重解的存在性的一个重要工具，而本文 主要用到的两个极小极大理论是：变型环绕定理、环绕模型定理。 1 3 1 变型环绕定理 定理1 3 吼1 设j 是肺舾p 玎空间，是子空间置，x 2 的拓扑直和。设厂c7 ( x ，r ) 。 此外，假设 3 江南大学硕士学位论文 ( 1 ) d i m 爿l o ，r o 和p 墨，p 0 使得p rr s u p s 。( 五) f i n f 。( 。，也) 厂， ( 3 ) 一0 0 a = i n f a r ( 。，x 2 ) f ， ( 4 ) 对于比陋，6 】有( 册) c 成立，其- q bb = s u p 口。( 蜀) 厂 则对于泛函至少存在两个临界水平c ，和c ：，使得 i n f a 。( 。，x df c l s u p ( 蜀) 厂 o 和p x 2 ，p o 使得p o 和p 7 五，e 0 使得p r 7 _ r s u p 髟( 而。而) f i n f 彬，如。玛) 厂 ( 3 ) 只r ( ja 只( p ，墨) c ：( 口，工2ox 3 ) ) ( 4 ) 一c o a = i i 吆m 以。局) f ( 5 ) 对于v c 口，b z i 旨( p s ) c 成立，嘉( - d pb = s u p 以( 。并。局) f 则对于泛函厂至少存在三个临界水平q ，c ：和气，使得 a 巳s l l p ( 乩。五) f ， 户( e ，d = o e + vi 盯o ，v 】，i i 倪+ v l l x = p ) u 1 ，y 川v i i x p ) 。 定理2 1 设e = vox 是实b a n a c h 空间，且y 是有限维的。设i c 。( e ，r ) ，且 满足( p s ) 条件，及 ( 石) 存在常数p ，口 0 使得，i 船。眦仿， ( e ) 存在g o b , a xn r p 使得：若a 兰( b rnv ) o r e0 ， 2 ，0 使得：当吲，时， 0 “p ( z ，孝) 勿( z ，孝) ( p ：) l 洲i m i n f 学_ 7 ( 碳于x 一致 ( p ：) l i m 掣：o 5 - 。 5 ( p ：) v 孝r ，p ( x ，f ) 孝1 0 。 利用洛必达法则，由条件( p ：) 可推出l 。i _ m 。p ( x ，孝) = o 成立。 2 2 主要结果 定理2 2 假设p 满足( p 。) ，( p ：) ，( p ：) ，( p 2 ) ，则对于任意的以 兄 以+ 。且 ap ( q ) 1 ，方程( 2 1 ) 至少有两个非平凡解。 证明 令x = x lox 2 ，其中x l 是有限维的。假设以 o ，p 0 ，存在盯 0 使得蚓万，从而对协五有 i 尸 孝) i 丽1 矽2 。由( p z ) 可知，存在一个常数彳= a ( o - ) o 使得吲仃，从而对垤孬 6 第二章一类二阶半线性椭圆方程多重解的存在性 有i p ( x ，孝) i 彳蚓抖1 。合并上面两个不等式得， 对于v 孝r ， x 2 有 l 尸 f ) | 南印2 + 彳 。最后，：和j , q e j p 。i n c a r e 、s 。b 。l e v 不等式和2 p ，得到如下式 子： i p ( 圳互1 印2 + 彳w i “ = 芎1 印2 + 么n i ”1 i 甜1 2 口，( 吾妒2 + a l v “r i v “1 2 ) 钒蜘圳2 + a i 扰h i ii1 1 2 ) 口，( i 1s + 彳) 2 ( 2 - 2 ) 选取陋i f - ( 占2 a ) 1 ( 使得i 尸( x ，甜) | o 。 ( 2 - 4 + l 选取p ：，显然( 和 ex ：) 上： p l ，一，p “ 。对于“ p ( 3x 2 ，令甜：妻q 巳，有 上( v u l 2 一九口= 喜识t 一等) = 讯一妻) + ，毫口；( 1 一务( 一砉川“1 2 。 因此，如“1 2 一榭) ( 1 一砉删1 2 。 ( 2 - 5 ) 由( p ：) 可知，当甜专o 。时，若p ) 专o o ，则! 现璺堕= 。l i mp ( 2 x “, u ) - = o ；若 p “) 。， 显然，存在r o e 得i n f x 。( 。也) l ( 甜) 0 。因此，存在p o ，r 0 和e 墨，e 0 使 得 p r 且s u p ( 蜀) i a ( u ) i f 畦。( 。，局) i a ( u ) ( 2 - 8 ) 下面证明l ( “) 满足( 朋) 条件，假设i i a ( ) i m 且当k 专o o 时e ( ) 岭0 。选取 夕( 0 , 2 - 1 ) ，则由充分大的k 有“= “。，再由( 露) 及( 2 6 ) 式可得： m + p l u l i l ( 甜) 一4 嘭( “) 甜 = ( 吉一) l v 甜1 2 一五( 毒一) 口甜2 + 励( x ，“) “一尸( x ，“) 】 ( 专一) 忙0 2 一兄( 吉一) 忪1 l p ( 。) 怯0 2 r ( q ) + 励( x ，“一尸 ，“) 一6 l 却一警+ 字一譬如川圳2 一巩 a ，1 ，由上式可知( ) 在x 上有界。再由条件( p ) ，( p ：) 和文 2 5 】中的性质 b 3 5 - - i 得i a u ) 满足( 船) 条件，显然满足( 朋) c 条件。最后，利用变型的环绕定理得：i x ( u ) 至少有两个非零临界值。因此，方程( 2 - 1 ) 至少有两个非平凡解。 注2 1 如果名 且p 满足( p ：) v 孝r ，p ( x ，善) 孝。1 0 ，则方程( 2 - - 1 ) 只有平 凡解u 三0 。因为p 满足( 众) ，所以对于任意的允来说甜兰。是方程( 2 - - 1 ) 的解。然后 在方程( 2 - - 1 ) 的两边乘上材，再利用分部积分和条件( ) 就能得出结论。 定理2 3 设五 以+ l = = a ， 名，+ 1 ，j k + l 2 ，是三个连续的特征值( 有重的) 。 假设p 满足( p ：) ，( p ：) ，若以 允 0 ，0 w + c r e 川x = r ， r j pj 、 s u p 怕以，工：ai a ( v ) p k ，r k r j o 证明由( p ：) 得：对于任意的占 0 ，存在乃 o 使得吲p j 时2 p ( x ，孝) ( ，( x ) 一占) 孝2 8 第二章一类二阶半线性椭圆方程多重解的存在性 因此若v h j ，, 贝l j i t ( 力= 上哇l v v l 2 一害伽2 一p ( x ，v ) ) = 扣1 2 一三( 砌2 + 2 p ( 圳 母1 1 2 ( 1 一华 由o ：) 可得：对于任意的占 0 ，存在r _ ， o 使得蚓r ji 对2 p ( x ，孝) 2 。因此， 若w 砖，则 l ( 叻= ( 圭 v 叫2 一害删2 一户o ，计) = 扪1 2 一三( 枷2 + 2 p ( 圳) ) 抑2 0 一等， 潮1 2 0 一等， 所以，显然存在乃 o 使得s u p 。乃批唧，名( v ) 一使得s u p ，。乃和i 膏：乃j 五o ) o 使得s u p 炬峨，i , l x 嘞l ) p k ，r 七 r j 使得 i r f f w 圩 扯吒i j 呻佃i t ( w 一倪1 ) - i n f w , 砖，五( w ) 证毕。 定理2 4 设p 满足( p - ) ，( p ：) ，( p ：) ，( p ：) ，则对于任意的以 以+ 。= = 乃 乃+ l 且 l l a l l o 、1 ，屯 名 以+ l ，方程( 2 1 ) 至少有三个非平凡解。 9 江南大学硕士学位论文 证明令彳= x iox 2o 置，其中x l 基s p a n e l ，一，级) 和x 2 兰s p a n e m ，e ，) 都是 有限维的。由( p ，) ，( p ：) 和性质2 1 易知，五 ) c 。( z ，r ) 。在证明定理2 1 的过程中已经证 明了l ) 满足( 粥) c 条件。所以，由定理2 2 和定理1 4 可知l a ( “) 至少存在三个临界水 平c l ，c 2 和c 3 ，使得 口c 3 s u p 墨( o h ) l ( 甜) i 1 1 f ；( ，z ：。局) l ( “) i n f 靠( 。，x 3 ) l ( “) c 2 s u p s p ( x o e x , e x 2 ) l ( “) i n f 月( 口，x 3 ) i a ( u ) c 1 b 因此方程( 2 1 ) 有三个非平凡解。 2 3 本章小结 本章讨论了多重解和文 2 5 中二阶半线性椭圆方程非线性部分的关系。即，当 以 见 五( 丑一c ) ，且qcr 表示一个区间。对于同一个问题，t a r a n t e l l o p 6 1 运用度理论证明 其至少有一个解“( x ) 0 ，其中f ( x ，”) = b ( u + 1 ) + 一b ，b ( 以一c ) ，c ；c h o i 和j u n g p 证明了其只有平凡解，其中以 c a 2 ； ( 9 5 ) l i m 韭塑 嚣；。，z ，h 使得在日上- - - u 。 引理3 2 若g 满足条件( 9 2 ) ，则熙，( 一m ) = 。 证明由i 的定义和条件( 9 2 ) 及人l o 雌( 日) 。 证明任取甜日，令u = u 1 + 砧2 ，“l h l ，u 2 日产。由条件( 9 3 ) ，对充分小的p 0 和某正的常数c l ，c 2 有： ，( 甜) 寻( ( 甜。) 2 _ c 毋v “。1 2 ) + 导( ，( “：) 2 - - c i v u 2 1 2 ) 一兰p ；一扣 一知“。睡+ 胁d ) 毒( 人。p ) 一6 _ d ( 坷) ) p ? + 告( 1 一c ：d ( 陋0 日) ) ( ( “：) 2 一cj v 甜：1 2 ) o 定理3 1 假设条件( 9 1 ) ( 9 2 ) ( 9 3 ) 成立。设五 c 如，b 人1 ，则方程( 3 1 ) 至少 有两个解。 证明因为丑 c 0 。 h y t 1 1 ， 由，的定义可知：0 ( 日) 时，( o ) = 0 。设彳= - - r e l ，o ) ，b = y p ( h ) ，na 环绕b 。由引理 3 2 可知：存在充分大的r 0 使得一r e lg ( h ) 且j ( 一r e l ) 0 ，0 = m i n ， ) 。故j 有两个临界值。 “e y 爿)e l 。- j 因此，方程( 3 - 1 ) 至少有两个解，其中一个是非平凡解。 引理3 4 假设6 o gg 满足条件( 9 4 ) ，则存在p o 使得s u pi ( u ) o 使得对于x q 时，璺苎丝口 o ，j ( 2 ，2 ) 。因此，对于充分 小的及某正的常数口 人：( c ) 有如下不等式成立： 地) 三( 灿) 2 - - c i v u | 2 ) 一j b 妒) 2 一虿1 扣2 + 口肘 吾( 灿) 2 - - c | v u2 ) 一三扣2 + a 肘 吉( 人：( 咖2 - a ) f u 2 + 口肘 因为日2 的维数是2 ，所以在h 2 上范数| | f | 日和i j i | f o 等价。由条件口 人2 ( c ) 可知： 人2 ( c 2 一口 0 使得 s u pi ( u ) 0 。 i “l = p ，u e h 2 引理3 5 设 o 使得对于x q 时，丛型 o ，当l 甜i m 时，g ( x ，“) j 1 伽2 6 且6 o 引理3 6 设g 满足条件( 9 5 ) 且6 芝箬，则存在r o 使得 ，i n f i ( “) i 材= 仍：+ v ，盯 o ，v 研，( “) 2 一c j l v “1 2 = r 2 ) o 证明由注3 1 易知有如下不等式成立： ，( v + 倪：) = 导( r 。+ 倪：) ) 2 一cj 1 v ( v + 仍：) p 一兰( ( v + 吲+ ) 2 一互1 g ( v 蝇) 互1 ( 灿) 2 一cj l v u l 2 ) 一互b 妒) 2 一片( 励2 6 1 4 5 ) 1 4 第三章一类非线性双调和方程非平凡解的存在性 三( 1 6 丁一) ( ( 材) 2 - - c j l v “1 2 ) + 6 i q i 因为6 丁1 - p ，所以存在r o 使得结论成立。 定理3 2 假设条件( 9 1 ) ( 9 4 ) ( 9 5 ) b - 越- 。设a m a x 0 ，与箬) ，g 满足条件( 9 4 ) ，( 9 5 ) 及引理3 4 ，引理3 5 可知：存在 r p 0 使得 m翼，(圳0 0 ，1 ，h 2 ，( “) 2 一cj 1 v “i 2 r 2 。 最后由定理1 3 可知：，( “) 至少有两个非零临界值c 。和c ：，例如 c1、l。ll裟：，(圳0 设h = h 2 ( f 2 ) n 日：( q ) 是h i l b e r t 牢n ，内积( “，) 圩= i a u a v + i v “v v 。 给出上述双调和方程对应泛函，：日专r i ( u ) ；吉( ( 甜) 2 一cj 1 v “1 2 ) 一詈p 2 + 等( + 1 ) 一) 2 c 1 ( 日，r ) 表示所有f r 6 c h e t 可微泛函的集合，其f r 6 c h e t 导数在h 上连续。易证堤一个 c 1 泛函，且其临界点都是方程( 4 - 1 ) 的弱解。 4 2 主要结果 引理4 1 设口人，则v c r ，泛函， ) 满足( p s ) 条件。 证明设 心 a l 是日上的序列，且所( 甜) 专0 ，i ( u i ) 哼c 。对于v “h ， w ( u ) = u + f ( 1 + c ) 、l u c t u + ( “+ 1 ) 一】( 4 - 2 ) 这里f 。：r ( q ) 专h 是紧算子。( i 是f ：h 专r ( q ) 嵌入的伴随) 。假设缸i ) 乙c 日是 ( 朋) 序列，即 i ( u 七) ) 是。有界且在h 上v i ( u 七) 专0 。这足够证明 u k ) 是。是有界的( 因为 f ：r ( g 寸日是紧算子。反之，假设! 嘶忆= 4 - 0 0 对于序列，假设t l i m u k 0 0 - - - ，0 0 l 2 “在 * ” #， 日上弱收敛，r ( q ) 上强收敛，q 上成点列。由式子( 4 2 ) 并利用! 骢参赫可推出： i n 一= o 。进一步得到在q 上几乎处处“o 且”不恒为o 。由于在日上w ( ) 一o ，- l d a 得孙嬲丽v i ( u k ) = 。在日上强收敛。因舭r ( 9 专h 是紧算子，所以有界序列 # k 。在日上强收敛。n n u - i + 【( 1 + c ) “一删】= 0 。这说明z f o 是 慨峙 2 “+ c a 扰= 规 ( 4 3 ) 1 7 江南大学硕士学位论文 的一个非平凡解。但是，方程( 4 3 ) 人，( c ) ，b o ) 只有平凡解。矛盾! 因此 急。 在h 上是有界的，从而存在一个子列 ) 嚣：。，材日使得在日上专甜。 这一章，我们证明了问题( 4 - 1 ) 的( 多重) 解的存在性。现在，先研究如下问题 的解的存在性： a z u + c a u = 口w + 一( “+ 1 ) 一，在q 内( 4 - 4 ) 甜= 0 ，a u = 0 ，在a q 上 定理4 1 设o ，0 人， 口，则有下列结论成立： ( f ) 若 0 。因此，( 4 6 ) 式等号左边的式子总是大于等于0 的。故，若 0 ，则方程( 4 4 ) 没有解；若= 0 ，则方 程( 4 4 ) 只有平凡解。 定理4 2 设 0 ，口 “+ 人l a u + 一人l 甜一= - f l ( u + 1 ) 一。( 4 - 7 ) 对( 4 7 ) 两边同乘e l ，并在q 上积分。由( 2 + 以一人。扣，e 1 ) = 0 可知： 上【 人l 一口 材+ 一人，甜一p - 2 一( 甜+ 1 ) 一p l 。( 4 - 8 ) 但是，对于所有的实值函数材， a 1 一a u + 一人1 甜一0 ；x c x q ，8 1 ) 0 。因此，( 4 - 8 ) 式等号左边的式子总是大于等于0 的。故，若 0 ，则方程( 4 4 ) 没有解；若= 0 ，则方 程( 4 - 4 ) 只有平凡解。 注4 1 由方程且 + 1 ) 一) 2 ：u u 日) 可知： m l i m 晔一o o 啼oj 。 一 引理4 2 假设人， 0 。 引理4 3 假设a ，口 0 ，存在户 o 使得：当p 时，( z ) c l u 2 砷n 其中c - i n f 。宰。 定理4 3 假设 c 如，口 0 ，问题( 4 一1 ) 至少有一个 非平凡解。 证明因为五 c o 使得 删l i m ：p f ( “) 暖一肛) p 2 。 再利用山路定理可知，存在一个临界点“。因此，问题( 4 1 ) 至少有两个解，其中一 个是非平凡解。 定理4 4 假设a c 如，人l 口 0 ，问题( 4 一1 ) 至少有 两个非平凡解。 证明若a c 0 使得 蕊) ，( 圳 0 翩s u p 儿) 地) 。 因此，匕式满足环绕定理的假设，既而存在临界点使得 1 9 江南大学硕士学位论文 o 蕊) ，“) 0 ，使得h ( t ，z ) 口l h 2 + 口2 成立； ( h 3 ) 存在厂 o ，使得对于v h ，时有2 h ( t ，z ) z h z o ，z ) 成立； ( h 。) h ( t ，z ) 是2 万周期的，对于r 一致成立 则系统( 5 1 ) 至少有两个非常数2 万一周期解。 证明 由文 7 】中的b 3 9 可知j c 1 。 令五= e o ，五= e + o e 一 由( h 。) 可知，存在口， o 使得日( f ，z ) 口j l z j l 2 一。 令z = z l 置，有j ( z ) = 吾r 石& l z d t f 石h ( t , z ) d t 2 1 江南大学硕士学位论文 ! ，l z , 1 1 2 一口f 石i i z 。1 2 刃+ 2 矽 = 排。1 2 一啪忆+ 2 , r p ( 5 - 4 ) 由于x 。是有限维的，因此怯8 与恢忆等价。即，存在o 乃 0 ，使得当z s r ( 墨) 时，( z ) 0 。& i i is u p s ( 而) ，( z ) 0 。 甚至，当z b ，( 置) 时，( z ) 2 矽 佃。 , x ns u p 毋( 五) ，( z ) ox 2 ，有 讹) = 百1r 石揪一f ”h ( t ，z ) a t 扣+ z 22 - a , f ”e , + z 2 1 1 2 衍一2 翮： = 去i l 口。+ z 2 1 1 2 一a i l l e 。+ z ：0 一2 n n ： 排。+ z ：1 1 2 一a i 口：恢+ z ：1 1 2 2 n n ： = ( 妻一口。口：) 0 q + z ：1 1 2 2 n n ： ( 5 - 6 ) 令z = z ：x 2 ，有，( z ) = 万1r ”彪劢一f ”日( f ，z ) d t 1z 2 1 1 2 飞翩z 2 i | 2 衍一2 嬲： = 斗：1 1 2 _ 口l i i z ：嘭- 2 a u ： 斗：1 1 2 一a , f 1 2 恢i2 2 n u ： = ( 去一口。厥) l l z 2 1 1 2 2 n u ： ( 5 - 7 ) 因此，由( 5 - 6 ) 式和( 5 - 7 ) 式可知，当。 ，使 得：如果z e r ( e 1 ，x 2 ) ，则，( z ) o ， 师i n f y k ( q ，局) ，( z ) o ；如果z r ( p l ，x 2 ) ，则 ，( z ) 2 嬲2 嘲，从而i n f a 。( q ，如) ，( z ) 嘲 下面证明( 胳) c 条件成立： 令z = z 。+ z + z 一= z n ， 由( h 。) 可知，存在口。，口。 o ，使得去擅：( z ) 一日( z ) a 3 | i z | 1 2 一以。( 5 - 8 ) 再由( 5 8 ) 式和性质1 1 可得： 第五章一类非线性h a m i l t o n i a n 系统周期解的存在性 则 肘+ i | z | | 1 ( 0 1 1i ，( z 弦 = f l z h ：( z ) 一日( z ) a t r 石喇2 - a 4 d t = 口，l i z 0 一口。 - a 7 i z 0 1 2 - - a 6 川口。( 1 + 例j 1 ) ( 5 - 9 ) 当甩充分大时，i ，7 ( z ) z + l _ a ( z 弦+ 一r 芹h ：( z ) z + 衍f 0 z + 0 由h o l d e r 不等式可得： 2 i i z + 0 2 = 彳( z ) z + lr 4 日：( z ) z + 衍+ l i z + 口，( 1 + o z o r ) i i z + 9 从而， h l a l o ( 1 + l | z l l r ) a l o ( 1 + i ) ( 5 - 1 0 ) 同理，对于z 一有 l z - 8 a l o ( 1 + i ) ( 5 - 11 ) 因此，由( 5 - 9 ) 、( 5 - 1 0 ) 、( 5 - 11 ) 可得i l z l l = 1 9 0 l + 怍+ l l + 4 z - i i - a l l ( 1 + i l z | i j ) ( 5 - 1 2 ) 由( 5 1 2 ) 式可知恢0 有界。不难得知满足( 朋) 条件，继而满足( 朋) c 条件。 最后，由定理1 3n - t 知，对于泛函i 至少存在两个临界水平c 。和c 2 ，使得 i r 氓r ( 唧，局) ，c 1 s u p & ( 置) ， i n 毛 ( c i ，j 2 ) ，c 2 s u p 易( 五) ， 即h a m i l t o n i a n 系统( 5 1 ) 至少有两个非常数2 x 周期解。证毕。 5 3 本章小结 r a b i n o w i t z 在文 2 5 中利用环绕理论和定理6 1 0 证明了h a m i l t o n i a n 系统( 5 1 ) 存 在一个非常数周期解。现在，这里对定理6 1 0 进行了一些改进，并利用变型环绕理论得 到h a m i l t o n i a n 系统( 5 1 ) 存在两个非常数周期解。 江南大学硕士学位论文 第六章总结与展望 第六章总结与展望 本文结构分为两大部分，第一部分着重介绍了非线性偏微分方程的研究内容、现状 以及研究意义、非线性偏微分方程的定义以及几种极小极大理论。 本文的第二大部分研究了一类二阶半线性椭圆方程多重解的存在性、一类非线性双 调和方程非平凡解的存在性、一类四阶半线性椭圆问题( 多重) 解的存在性及一类 h a m i l t o n i a l l 系统周期解的存在性问题。 显然，由第二、三、四、五章的小结部分易知：这4 章都是先用变分法构造椭圆型 方程及h a m i l t o n i a n 系统所对应的泛函，再假设方程中非线性项的一些条件，最后利用 山路定理、变型环绕定理、环绕模型定理等极小极大理论来研究方程和系统多重解的存 在性问题。不难看出，多重解的存在个数与非线性项条件和证明所用的极小极大理论有 关。如：利用变型环绕定理来证明的只能得到两个非平凡或非常数周期解；但是利用环 绕模型定理证明的话却能得到三个非平凡或非常数周期解。 因此，这也为多重解的存在性研究提供了一个思路。即，若想得到更多的解，则需 要找到更好的非线性项条件和极小极大理论。寻求更多解的个数的研究要少得多，还需 要进一步深入地研究与发掘。 还注意到，本文在应用极小极大理论来证明半线性椭圆型方程和h a m i l t o n i a n 系统 解的存在性的时候，p s 条件是必须要证明的，要不然无法利用文中的极小极大理论来 证明( 多重) 解的存在性。p s 条件主要用来说明紧性。于是，很容易让人想到：要是 p s 条件不成立，能否得到半线性椭圆型方程和h a m i l t o n i a n 系统解的存在性? 其实，已 有不少学者证明了：在p s 条件不成立的时候，给出一些条件也能得到半线性椭圆型方 程和h a m i l t o n i a n 系统解的存在性。 因此，这也为多重解的存在性研究提供了另一个思路。即，在p s 条件不成立的时候 考虑( 多重) 解的存在性。虽然有了一些好的研究结果【3 8 郴】，但是还需要进一步深入地 研究与发掘。 江南大学硕士学位论文 致谢 致谢 本文是在我的导师金英花老师悉心指导下完成的：从论文的写作到论文发表的过程 中；从学位论文的选题，开题到着手写作的过程中，科研过程中的每一个细节，金老师 都给予我细心的指导。在此向尊敬的金老师表示最诚挚的谢意。金老师对我的课程学习 和论文研究工作给予了许多指导和帮助。金老师渊博的专业知识、严谨的治学作风、一 丝不苟的工作态度，给我留下了深刻的印象，将永远激励着我努力学习、工作。 在撰写硕士论文期间，还得到了所有同学的大力协助，在此一并感谢! 感谢朋友的鼓励，感谢家人的支持! 江南大学硕士学位论文 参考文献 参考文献 1 徐登洲，马如云线性微分方程的非线性扰动( 第二版) 【明北京：科学出版社2 0 0 8 2 张恭庆临界点理论及其应用【m 】上海：上海科学技术出版社1 9 8 6 3 a d i l r o u s sarm o r a d iem o u s s a o u im e x i s t e n c eo fm u l t i p l en o n t r i v i a ls o l u t i o n sf o r s e m i l i n e a re l l i p t i cp r o b l e m s 阴c o m p u t e r sa n dm a t h e m a t i c sw i t ha p p l i c a t i o n s ，2 0 0 9 ， 5 7 ：1 1 1 5 n 1 1 2 6 4 b a izb ，g ewge x i s t e n c eo ft h r e ep o s i t i v es o l u t i o n sf o rs o m es e c o n d o r d e rb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m s 【j 】c o m p u t m a t h a p p l ，2 0 0 4 ，4 8 ：6 9 9 7 0 7 5 b a r l e t t ag p a p a g e o r g i o uns m u l t i p l en o n t r i v i a ls o l u t i o n sf o rs e m i l i n e a re l l i p t i cp r o b l e m s j 】n o n l i n e a ra n a l y s i s ，2 0 0 9 ，7 1 ：4 3 2 1 - - 4 3 4 5 6 b e n i cvr a b i n o w i t zph c r i t i c a lp o i n tt h e o r e m sf o ri n d e f i n i t ef u n c t i o n a l s 【j 】i n v e n t i o n e s m a t h e m a t i c a e ，1 9 7 9 ，5 2 ：2 4 1 ，2 7 3 7 c h o iqh a na p p l i c a t i o no fav a r i a t i o n a lr e d u c t i o nm e t h o dt oan o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n s j 】j o u r n a lo f d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，1 9 9 5 ，1 1 7 ( 2 ) ：3 9 0 - - 4 1 0 8 c h o iq h ，j i nyh n o n l i n e a r i t ya n dn o n t r i v i a ls o l u t i o n so ff o u r t ho r d e rs e m i l i n e a re l l i p t i c e q u a t i o n s 阴j m a t h a n a l a p p l ，2 0 0 4 ，2 9 0 ：2 2 4 n 2 3 4 9 c a s t r oa ，l a z e rac c r i t i c a lp o i n tt h e o r ya n dt h en u m b e ro fs o l u t i o n so fan o n l i n e a r d i r i c h l e tp r o b l e m j 】a n n m a t h ，1 9 7 7 ，1 8 ：1 1 3 - 1 3 7 10 c o m a i lcvm a r c u sm e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s sr e s u l t sf o rs e m i l i n e a rd i r i c h l e t p r o b l e m si na n n u l i 阴a r c h r a t i o n a lm e e h a n a l ，1 9 8 9 ，1 0 8 ：