（土木工程专业论文）混凝土三点弯曲梁断裂参数的新算法及尺寸效应的研究.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 本文采用线性渐进叠加的假设和虚拟裂缝模型来研究裂纹的扩展。通过对跨中含裂 纹截面上应力的分析，并应用平截面假定，得到了外荷载p 和有效裂纹长度a 、初始裂 纹尖端位置的裂缝张开位移、虚拟裂纹尖端至截面中性轴的距离h 。之间的涵数关系 式，并结合截面的应力平衡方程和有效裂纹长度与裂缝口张开位移之间的经验关系式， 建立了一个拉格朗日涵数。随后，应用拉格朗日乘数法计算得到了极限状态下有效裂纹 长度临界值6 1 ，和裂纹尖端张开位移临界值c t o d 。，进而得到了最大荷载矗。和梁的失 稳断裂韧度k 嚣。 根据所提出的模型，将试验中试件的基本物理力学参数代入进行计算，得到了 口。、c t o d 、，i 眦和k 嚣的大小，并将口，和只。与试验结果进行了比较比较结果表 明当虚拟裂纹尖端拉应力采用轴心抗拉强度z 时，计算得到的p 巾。明显小于试验结果。 因此需要采用弯曲抗拉强度f 。由于 缺乏试验数据，若通过表达式 f ：o 6 2 止瓦推导，的大小，则计算得到的匕。明显大于试验结果；如果，采用 表达式，= ，( 1 + 旦：兰竺) ，则计算得到的，k 和口。与试验值都非常吻合。此外，应 押 用本模型计算得到的断裂参数值对虚拟裂纹面上粘聚力分布曲线的形状不敏感。 最后，应用本模型研究了断裂参数的尺寸效应。结果发现，初始缝高比一定时，粱 的失稳断裂韧度值和裂纹的亚临界扩展量随着梁高的增加而不断增大；但梁的高度一定 时，随初始缝高比的增加，失稳断裂韧度值和亚临界扩展量都是先不断增加至最大值然 后再不断降低。随后对此种现象应用边界效应的理论作了解释。 关键词：拉格朗日乘数法；最大荷载；有效裂纹长度临界值；尺寸效应：边界效应 混凝土三点弯曲梁断裂参数的新算法及尺寸效应的研究 n e wm e t h o do n c a l c u l a t i n g t h ef r a c t u r ep a r a m e t e r so ft h r e e p o i n t b e n d i n g n o t c h e dc o n c r e t eb e a ma n d s t u d y o fs i z ee f f e c t a b s t r a c t i nt h i s p a p e r , t h ec r a c kp r o p a g a t i o ni s i n v e s t i g a t e d b a s e do nt h el i n e a r a s y m p t o t i c s u p e r p o s i t i o na s s u m p t i o na n df i c t i t i o u sc r a c km o d e l a c c o r d i n gt ot h ea n a l y s i so fs t r e s s e s d i s t r i b u t i o ni nt h em i d a p a nc r a c k e ds e c t i o na n d p l a i ns e c t i o na s s u m p t i o n , af o r m u l a o f a p p l i e d l o a dpi s d e r i v e d , w h i c hi saf u n c t i o no ft h ee f f e c t i v ec r a c kl e n g t ha ，c r a c ko p e n i n g d i s p l a c e m e n tw t a tt h ep o s i t i o no f i n i t i a lc r a c k t i pa n d t h ed i s t a n c eb e t w e e nf i c t i t i o u sc r a c k t i p a n dn e u t r a la x i so fc r o s ss e c t i o n m o r e o v e r , ai , a 群m g ef u n c t i o ni sd e n v e dc o m b i n i n gt h e e q u i l i b r i u me q u a t i o no f s l r e s s e si nt h es e c t i o na n dt h er e l a t i o n s h i po f e f f e c t i v ec r a c kl e n g t ha n d c r a c km o u t ho p e n i n gd i s p l a c e m e n t s u b s e q u e n t l y , l a g r a n g em u l t i p l i e rm e t h o di sa p p l i e ds o t h a tt h ec r i t i c a le f f e c t i v ec r a c kl e n g t h a 。，c r i t i c a lc r a c kt i po p e u l n gd i s p l a c e m e n tc t o d c ， m a x i l n u n a a p p l i e dl o a d a n d u l t i m a t ef r a c t u r et o u g h n e s s k 翟a r e a l lo b t a i n e d t h ef u n d a m e n t a lp h y s i c a la n dm e c h a n i c a lp a r a m e t e r si nt h ee x p e r i m e n t a la r ei n s e r t e di n t o t h ep r o p o s e dm o d e lt oc a l c u l a t et h ev a l u e so fa 。，c t o d 。，a n dk 翟m o r e o v e r , 口c a n dka r ec o m p a r e dw i t ht h ee x p e r i m e n t a lo n e s r e s u l t ss h o wt h a tt h em a g n i t u d eo f c a l c u l a t e d 只。i ss i g n i f i c a n t l yi n f e r i o rt ot h ee x p e r i m e n t a lo n e w h e nt h et e n s i l es t r e s s 融吐l e f i c t i t i o u s 卸i se q u a lt 0 u n i a x i a lt e n s i l es t r e n g t h z t h e r e f o r e ，z i sr e p l a c e db yf l e x u r a l s t r e n g t hl ? a l t h o u g ht h e r ei s1 1 0m e a s u r e dv a l u ef o r r i nt h ee x p e r i m e n t h o w e v e r , i ft h e f l e x u m ls 雠n g mi s e x p r e s s e db y 正= 0 6 2 0 7 9 f , 。，t h e c a l c u l a t e dv a l u e sf o r 尸m h a r e l a r g e r t h a nt h em e a s u r e do n e s a n d i ft h ef l e x u r a l s t r e n 啦i se x p r e s s e db y 工= z ( 1 + 业等马，m e c a l 叫a t c dv a l u e s f o r 姚 w i t ht h ee x p e r i m e n t a lo n e s i t nb ea l s oc o n c l u d e dt h a tt h ec o m p u t e df r a c t u r ep a r a m e t e r sb y t h ep r o p o s e dm o d e la n o ts e n s i t i v et ot h es h a p eo fc o h e s i v es t r e s sd i s t r i b u t i o nc u r v ei nt h e f i c t i t i o u sc r a c ks l r i 阻c e f i n a l l y ，t h es i z ee f f e c t o f f r a c t u r ep a r a m e t e r si si n v e s t i g a t e d i ts h o w st h a tb o t ht h eu l t i m a t e t i a c t u r et o u g h n e s sa n dt h em a g n i t u d eo fe f f e c t i v ec r a c ke x t e n s i o ni n c r e a s ea st h ei n c r e m e n to f b e a m d e p t hw h e n t h er a t i oo f i n i t i a lc r a c kl e n g t ht ob e a m d e p t h i sc o n s t a n t h o w e v e r ，w h e nt h e 大连理工大学硕士学位论文 b e a m d e p t h i sk e p tc o n s t a n t , b o t ht h eu l t i m a t ef r a c t u r et o u g h n e s sa n de f f e c t i v ec r a c ke x t e n s i o n i n c r e m e n tg ou pt om a x i m u mv a l u e sa st h ei n c r e a s eo f t h er a t i oo f i n i l i a lc r a c k l e n g t ht ob e a m d e p t h t h e nt h e yt e n dt od e c r e a s e 铲a d l 词l ya l t h o u g ht h er a t i oo fi n i t i a lc r a c kl e n g t ht ob e a m d e p t hs t i l li n c r e a s e s t h es p e c i a lp h e n o m e n o n i se x a m i n e d b y t h et h e o r i e so f b o u n d a r ye f f e c t k e yw o r d s ：l a g r a n g em u l t i p l i e rm e t h o d ；1 m a x i m u m a p p r i e dl o a d ；c r i t i c a l e f f e c t i v e c r a c k l e n g t h ；s i z ee f f e c t ；b o u n d a r y e f f e c t - 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究 工作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得 大连理工大学或其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢 意。 作者签名倦隙迎弛卵 大连理工大学硕士学位论文 1 绪论 1 1 断裂力学的产生及其在混凝土结构中的应用 断裂力学和其他学科一样，是在生产实践中产生和发展的，是近二、三十年才发展 起来的- - i 新兴学科。它应用力学成果，研究含缺陷材料和结构的破坏问题。由于它与 材料或结构的安全直接有关，因此尽管出现的时间较短，但实验技术和理论均得到了迅 速发展，其成果已开始为生产服务。 随着现代生产的发展，新材料、薪产品和新工艺不断出现，在产品安装、试验和运 行过程中，往往发生脆断事故，多数在低于材料的屈服极限时发生，造成了严重的损 失。例如第二次世界大战时，美国大量生产的全焊接战时标准船中有2 5 0 艘发生了致命 性的破坏或者损伤，其中大约1 0 艘是在海面上突然断为两截。这些破坏事故用传统的 强度理论和方法无法得到合理的解释。从大量的破坏事故的研究中，人们发现低应力脆 性破坏的主要原因是因为实际材料中存在各种缺陷和裂纹，由于裂纹的存在，与裂纹直 接相关的局部地区应力将重新分布，尽管整个截面上的平均应力小于材料的屈服强度， 但上述局部地区的应力都可能大大高于材料的实际强度。对于大多数的结构和零件来 说，宏观裂缝的存在是不可避免的。带裂纹的材料的强度，取决于材料对裂纹扩展的抗 力，这种抗力由材料内部属性决定。应用弹、塑性理论和新的实验技术，研究裂纹尖端 附近的应力、应变场和裂纹的扩展规律，就产生了新的力学分支断裂力学。断裂力 学的问世，给力学这一古老的学科注入了新的活力，得到了广泛的重视和应用。它不仅 令人满意地解释了工程结构中所发生的低应力脆断现象，而且与常规设计方法相结合迸 行工程结构的设计，有效地保证了结构的正常工作。在本世纪四十年代末和五十代初， 断裂力学在金属材料中得到了广泛的应用，发挥着越来越重要的作用。 断裂力学在金属材料中的广泛应用，启发并促使人们将断裂力学用于其他非金属材 料的断裂研究。 1 9 6 1 年k a p l a nn 1 首次把断裂力学概念应用于混凝土，进行了断裂韧度试验。这在 当时就引起了学术界的注意和重视。从此，有关混凝土断裂力学的研究逐渐增多。起初 只是模仿研究金属材料所采用的方法，但由于混凝土是由水泥、砂予、石子等经过化学 反应而生产的多相的复合材料，其内部结构很复杂，因而其破坏机理也很复杂，因此随 着研究工作的不断深入，舍弃了不符合混凝士特点的一些基本假定、理论及试验方法， 采用了能反映混凝本身特点的新假定、新理论及新的试验方法，从而逐渐形成了断裂 力学在非金属方面的又一分支叫昆凝土断裂力学。许多学者发表了他们在混凝土断裂 混凝土三点弯曲梁断裂参数的新算法及尺寸效应的研究 力学方面的研究成果旺- 3 3 。然而，众的研究成果大都是以线弹性断裂力学( l e f m ) 为基础的，即认为构件断裂以前基本处于弹性范围以内，把物体视为带有裂纹的弹性 体，研究的出发点主要有两种：一种是从裂纹的应力场出发，认为裂纹扩展的临界状态 可以用裂纹尖端的应力场强度达到材料的临界值来表示，并提出了应力强度因子k 的 概念；另一种是从能量平衡的观点出发，认为裂纹扩展的动力是构件在裂纹扩展过程中 所释放出的弹性应变能，它弥补了产生新裂缝表面所消耗的能量，提出了能量释放率g 的概念。许多学者都进行了k i c 和g i c 的试验研究，即采用尺寸相当于常规混凝土抗折 试验的三点弯曲梁试件，测得混凝土临界应力强度因子k k ( 断裂韧度) 约为0 2 9 4 0 9 8 1 m p a m 。一些试验表明，k i c 是一个与试件尺寸有关的参数，具有明显的尺寸效 应，而有的则提出与此相反的结论”1 。这些使人们对线弹性断裂力学( l e f m ) 在混凝 土中的适用性产生了怀疑。一般来说，应用线弹性断裂力学需要具备= 个条件：一个是 z i e g e l d o f f 阱2 等提出的切口敏感性，它是线弹性断裂力学应用于混凝士的必要条件。一 认为硬化水泥石具有切口敏感性，对于砂浆各混凝土，结果相当矛盾，一般认为只有当 构件尺寸相当大，切口敏感性才能体现出来。应用线弹性断裂力学的另一个条件是材料 为均匀、连续和各向同性的弹性体。众所周知，混凝土是非均质的各向异性材料。大量 试验的研究表明，当混凝土构件受荷载后，主裂纹附近及前端将出现分枝裂纹及微裂 区，使整个体系呈现出某种程度的非线性性能。直接将线弹性断裂力学应用于混凝土， 就忽略了主裂纹失稳断裂前的缓慢扩展( 又称裂纹的亚临界扩展) 和微裂区的影响，导 致所测得的k i c 具有尺寸效应。因此，从原则上讲，线弹性断裂力学不能直接用于混凝 土材料。只有试件尺寸非常大使微裂区( 塑性区) 与之相比很小时，才能对混凝土的断 裂性能加以真实描述。我国学者嘲用巨型紧凑拉伸试件成功地铡得与尺寸无关的k k 值，文献k 6 3 也证明了这一点。 基于此，人们把研究的重点转向了非线性断裂力学，相继提出了各种非线性模型 川，并结合一定的数值方法分析断裂机理，模拟实测结果，取得了一定的突破a 1 2 混凝土的非线性断裂模型 近二十年来，关于混凝土断裂力学模型的研究已经作了大量的工作【8 硼。专家学者 们在此问题上已经提出了各种各样不同非线性断裂模型，如h i l l e r b o r g 提出的虚拟裂缝 模型( f c m ) 嘲，b a z a n t 和o h 的裂缝带模型( c b m ) 嗍，j e n q 和s h a l l 的双参数模型 ( t p f m ) 【埘，尺寸效应模型【1 1 】，有效裂缝模型【1 2 。坷，以及近年来由徐世煨教授提出的 2 - 大连理工大学硕士学位论文 双足断裂模型 1 6 - 2 1 1 和基于粘聚力的磁阻力曲线阻矧。其中虚拟裂缝模型( f c m ) 、裂 缝带模型( c b m ) 和双参数模型( t p f m ) 是目前国际上最为常用的三种方法。文献 3 0 将这三种模型归纳为两种类型： 一类是以线弹性断裂力学为基础，通过引入某些用于分析混凝土非线性断裂的假设 模型，如r 阻力曲线的研究，等效裂缝扩展长度的概念，以及由s h a h 等人提出的两参 数断裂模型，这类模型均可被称作修正的线弹性断裂力学模型。这些模型中的断裂参 数，如等效断裂韧性，临界裂缝尖端的张开位移等，主要是通过从试件加载断裂过程中 的非线性关系，如p , - - c m o d 曲线，p - q j 曲线等，和利用线弹性断裂力学的某些计算公 式，并借助于等效裂纹长度的概念加以确定。在这些模型中，其最舆型的即是s h a h 双 参数模型。双参数模型是将真实裂纹与微裂区结合起来考虑化作一有效裂纹，然后用线 弹性断裂力学的理论求解，并与数值计算方法相结合。其实质在于利用有效裂纹尖端张 开位移达到临界有效裂纹尖端张开位移为开裂准则。但是闭合力的大小与应变软化曲线 无关，不能探讨应变软化曲线与材料性能的影响关系。模型中的主要参数是临界应力强 度因子k k 和临界裂纹尖端张开位移c t o d c 。 第二类断裂模型是以a h i l l e r b o r g 等人为代表提出的描述混凝土断裂过程区开裂过 程的缝面软化模型。这一类模型放弃了经典线弹性断裂力学中的某些基本概念，而采用 混凝土断裂过程区中材料的软化关系和引入该区域应变集中的某些假设来模拟混凝土裂 纹的断裂过程。其最典型的两个模型即是虚拟裂缝模型( f c m ) 和裂缝带模型 ( c b m ) 。 虚拟裂缝模型( f c m ) ：在分析混凝土i 型裂缝扩展时，人们不难发现，在混凝土 裂缝失稳扩展前其裂缝前缘已经出现了大量的微裂纹区。试验表明该微裂纹区是一条带 状区，混凝土裂缝的扩展总是以该微裂区为“先导”，因此如何描述微裂区中混凝土材 料的力学行为对研究混凝土裂缝的扩展规律将是十分重要的。微裂区的出现必将削弱混 凝土裂缝前缘部分材料传递应力的能力，这一现象被称为材料的软化。材料软化后其传 递应力的能力与微裂区的“宏观”变形之间存在着一种反比关系，即微裂区发展越充分 其所传递的应力越小，当微裂区扩展宽度达到材料的极限宽度w o 时，所传递的应力降 为零，并同时出现“宏观”裂缝。根据混凝土裂缝扩展过程的上述特点，虚拟裂缝模型 认为，可以将微裂区简化成一条“虚裂纹”，虚裂纹的张开宽度w 代表了微裂区的变 形量的大小，虚裂纹面上某一点所传递的软化应力。( x ) 与该点虚裂纹面的张开宽度w ( x ) 之间的关系称为材料软化曲线。f c m 常与有限元法联合使用。模型所需参数为断 裂能c v ，抗拉强度f t 及应交软化曲线( 6 - - o ) o 3 混凝土三点弯曲梁断裂参数的新算法及尺寸效应的研究 裂缝带模型( c b m ) 将断裂过程区看成是微裂缝均匀且平行分布在一个深度为l 】c 的裂缝带，通过改变弹性模量e 来描述裂缝带的性能，般采用有限元法来求解。模型 所需参数为f t 和1 1 c 。 上述两类模型，特别是f c m 模型一经问世，便引起了人们的高度重视，得到了广 泛的研究。文献f ( 2 9 3 qk 3 0 3 2 对三种模型的研究现状作了综述，并指出了上述模型在不 同程度上也有局限性。就虚拟裂缝模型而言，主要表现在不能处理多个微裂区与混合开 裂两种情况；带模型也有一定局限性，如没有直接的试验证明软化带具有等厚以及在整 个厚度里应变均匀分布；裂缝带模型不允许有一点开裂，而是以一个带为整体形式破 坏；从开裂准则上考虑，似乎用抗拉强度丘来判断裂缝尖端的开裂性能不如用临界应力 强度因子k i c 来判断更合适等等。 1 3 断裂力学的研究对象 断裂力学是研究带裂缝体的强度以及裂纹扩展规律的一门学科。由于研究的主要对 象是裂纹，因此，也称为“裂纹体力学”。它的主要任务是：研究裂纹尖端附近应力应 变情况，掌握裂纹在载荷作用下的扩展规律；了解带裂纹构件的承载能力，从而提出抗 断设计的方法，以保证构件的安全工作。由于断裂力学能把含裂纹构件的断裂应力和裂 纹大小以及材料抵抗裂纹扩展的能力( 即k i 。) 定量地联系在一起，所以它不仅能圆满 地解释常规设计不能解释的“低应力脆断”事故，而且也为避免这类事故找到了办法， 同时它也为发展新材料，创造新工艺指明了方向，为材料的强度设计打开了一个新的领 域。断裂力学应看作常规设计的发展和补充，它有自已的特定条件，这就是：第一，它 的对象是含裂纹或缺陷的物体；第二，要有一个容易促使断裂的应力，一般来讲，比较 容易发生断裂的是拉应力；第三，材料本身的微观结构对脆断敏感，即它的断裂韧性比 较低。这三个条件合在一起才有可能发生断裂。 我们知道，构件的断裂往往可以分成以下几个阶段： 1 ) 裂纹的产生由于环境的影响，在构件的圆角应力集中处，经过一段使用时 间产生宏观微小裂纹：或材料中原来就存在缺陷；或在加工过程中出现裂纹a 2 ) 裂纹的亚i 缶界扩展一由于环境的影响，在工作过程中宏观裂纹逐步缓慢地扩 展。 3 ) 断裂开始在工作应力下，裂纹逐渐扩展，达到临界长度r 构件突然失稳破 坏。 4 ) 断裂传播一失稳的裂纹高速传播，速度可达在材料中的声速的四分之一。 五 大连理工大学硕士学位论文 5 ) 断裂的停止裂纹失稳后，可以穿过整个结构，使构件破坏；或在一定的条 件下，裂纹停止。 以上是宏观裂纹发生和发展的几个阶段。断裂一词的含义很广，应包括宏观的断裂 现象和微观结构破坏机理。断裂力学从力学侧面研究宏观的断裂现象，包括宏观裂纹的 生成、扩展、失稳断裂、传播和止裂。 从工程应用角度看，断裂力学与材料力学类似，是材料力学的发展和补充。断裂力 学是在大量实验基础上研究带裂纹材料的断裂韧度( 属广义的材料强度范围) ，研究带 裂纹构件在各种工作条件下裂纹的扩展，失稳和止裂的规律，并应用这些规律进行设 计，以保证构件安全可靠。 裂纹扩展方式或类型共有三种，分别为张开型( i 型) ，滑开型( i i 型) 及撕开型 ( 型) 。其中张开型的扩展是产生低应力脆断的主要原因，是近千年来实验和理论研 究的主体。 1 4 本论文的主要工作 本论文基于徐世娘教授提出的双k 断裂模型【1 越”，应用线性渐近叠加的假设，对初 始裂纹前沿采用虚拟裂缝模型【8 】，分析裂纹的扩展。通过对跨中含裂纹截面应力的分 析，得到外荷载p 与有效裂纹长度a 、初始裂纹间断位置的裂缝张开位移w i 和虚拟裂纹 尖端至截面中性轴距离允之间的函数关系式，并利用截面的应力平衡方程和有效裂纹长 度与裂缝口张开位移之间的经验关系式，构造了一个拉格朗曰函数。随后应用拉格朗曰 乘数法得到了临界状态下有效裂纹长度4 和初始裂纹尖端位置裂缝张开位移c t o d 。， 进而可以求得最大荷载圪。和梁的失稳断裂韧度足嚣。 接下来的任务是将试验中实测试件的基本物理力学参数代入所提出的理论模型中进 行求解。对于虚拟裂纹尖端的拉应力，分别采用轴心抗拉强度z 、弯曲抗拉强度， 而对于没有试验实测数据的工，又分别通过立方体抗压强度厶并结合欧洲规范得到 ，：0 6 2 小巧石，以及采用b a z a n t 根据h i l l e r b o r g 的试验数据叫拟合出来的关于f 与z 之间的关系式正：z ( 1 + 1 9 _ 7 一x 2 5 ) 。应用上述三种方法分别求得断裂参数口。、 仃 c t o d 。、f k 和群，并将与，| 眦和试验结果进行了比较，发现虚拟裂纹尖端的拉 5 混凝士三点弯曲粱断裂参数的新算法及尺寸效应的研究 应力采用弯曲抗拉强度工= z ( 1 + 三! ! ：竽) 时，计算得到的口。与，l 衄和试验结果非常 吻合。 为了研究应用该模型计算得到的断裂参数受虚拟裂缝面上粘聚力分布曲线形状的影 响，通过改变决定粘聚力分布曲线形状的参数q 、c ：和w 0 的值，分别计算每一组q 、 c ：和w 0 对应的断裂参数，并进行比较。结果发现应用该模型计算得到的断裂参数对粘 聚力分布曲线的形状不敏感。 最后，应用本论文所提出的模型研究了断裂参数的尺寸效应。采用的方法是通过固 定初始缝高比h ，改变梁的截面高度，进而计算裂纹的亚临界扩展量和梁的失 稳断裂韧度k 嚣；或者保持梁的截面高度不变，而改变初始缝高比的大小，计算裂纹的 亚临界扩展量和梁的失稳断裂韧度。并将计算得到的结果以曲线的形式表示。随后，应 用边界效应的理论对曲线中所反映的尺寸效应作了解释。 本论文所推导的计算模型尽管复杂，但应用数学软件m a t l a b 可以比较方便的进行 求解。而且该模型所需要的混凝土的力学参数较少，仅仅需要知道所配混凝土弹性模量 e 以及梁的弯曲抗拉强度，便可以预测出梁的最大荷载，不需要试验测得。而且应 用该方法计算得到的最大荷载与试验实钡6 值非常接近。从实际应用盼角度来看，应用该 模型避免了复杂的试验过程，而且对试验工作有着重要的指导意义。 6 大连理工大学硕士学位论文 2 素混凝土标准三点弯曲梁断裂参数的理论推导 2 1 基本假设 本章在徐世煨教授提出的关于裂纹扩展双足断裂准则【l 1 】的基础之上，考虑裂纹的 起裂、稳定扩展和失稳扩展，利用虚拟裂缝面上粘聚力与裂纹张开位移之间的关系以及 有效裂纹长度口( 即初始缝长加上断裂过程区中裂纹扩展的有效长度a a ) 与裂缝口 张开位移c m o d 之间的关系，通过横截面应力的平衡条件，得到裂纹起裂后某一状态 下跨中裂缝截面的弯矩或外荷载与有效裂纹长度a 、裂纹面上初始裂纹尖端位置的裂缝 张开位移m 等变量之间的关系表达式。随后应用高等微积分中的拉格朗日乘数法得到了 外荷载的最大值，进而得到了相应极限状态下的a 。和c t o d 。，从而可以求得失稳断裂 韧度足器。在本章的理论推导过程中，所做的基本假设如下： a 假设梁在加载过程中横截面中非开裂面始终保持为平面，即非开裂面中各 点的应变沿截面的高度方向呈线性分布； b 假设裂纹张开面( 即初始裂纹面加上虚拟裂纹面) 为平面，即不同高度处 裂纹的张开位移沿截面的高度线性变化； c 假设横截面上受压区混凝土的压应力与虚拟裂纹尖端前沿受拉区混凝土的 拉应力沿截面高度呈线性分布，并假设混凝土受压弹性模量与受拉弹性模 量相等，大小均为e ； d 在整个理论推导过程中，不考虑混凝土梁自重以及泊松比的影响，且始终 将混凝土作为理想的均匀弹性体。 2 2 理论推导 如图2 1 所示的一标准三点弯曲梁，梁的跨长为l ，截面高度为h ，宽为b ，且满 , 足l h = 4 ，跨中截面初始缝长为，具体形式详见图2 1 a 7 混凝土三点弯曲粱断裂参数的新算法及尺寸效应的研究 l 下。 u ll 图2 1 标准三点弯曲梁及其截面形式 吕玉工 j 。j i b 1 在梁加载过程中，当外荷载达到梁的起裂荷载j 0 时，裂纹开始起裂，进入稳定扩 展阶段，随荷载的增加，裂纹不断扩展。在此过程中，某一状态下梁的跨中含裂纹截面 上的应力与应变分布分别见图2 2 和图2 3 ，并于图中相应的位置建立坐标原点和x 轴。 r 寻 7 o 丘 巨 口一鬼 图2 2 跨中裂纹截面的应力分布 图2 3 跨中裂纹截面的应变分布 这里，根据2 1 节中的假设c 可知，截面上受压区混凝土的压应力与虚拟裂缝尖端 前沿受拉区混凝土的拉应力沿截面高度呈线性分布。再由假设a 可知，上述区域的压应 力与压应变和拉应力与拉应变关系均为线性的。由于本研究针对的是三点弯曲梁，考虑 的是弯曲问题，故梁截面虚拟裂纹尖端的拉应力为弯曲抗拉强度 ，这与以往在三点弯 曲梁断裂的研究中认为虚拟裂纹尖端的拉应力为轴心抗披强度z 是不同的，其原因见于 8 - 工 t上士 大连理工大学硕士学位论文 第三章的数据分析。此外，对于虚拟裂纹面上粘聚力盯，与裂纹张开位移w 之间的关系 式采用1 9 8 6 年r e i n h a r d t 等人p 2 】提出的函数表达式，见( 1 ) 式： 盯。：z ( 1 + 乓u 1w ，) 。一卺”一坐堂兰州( 1 )盯。= z ( 1 + 1 w 3 ) 8 嘞一! 二兰l 州( 1 ) 其中c 。、c ：为材料常数，w 0 为虚拟裂缝面上粘聚力变为零时的最大裂缝张开位 移。本研究中需将( 1 ) 式中的工替换为，同时令口= 丢，= 旦， y ：旦坚匕：，则( 1 ) 式可变为 w o = z o + 彬矿加一朋 ( 2 再考虑2 1 节的假设b ，可以得到不同高度处裂纹张开位移w 沿截面高度的变化为 x h w 2 ：_ w ， ( h 。sx h 。+ 口一日o ) ( 3 ) 口一口。 。 其中，为裂纹面上初始裂纹尖端位置的裂缝张开位移。将( 3 ) 式代入( 2 ) 式 中，可以得到裂纹面上粘聚力盯。沿截面高度的分布表达式为： ：工 1 + 耐芦生) ，p 嘲哪x - t ) 一m ( 三生) ( 4 ) a 一“0“一“0 考虑图2 3 中截面上各点之间应变的比例关系，可以得到 o e 鲁= 半鹌= 竿 e 。 再由图2 2 中梁截面上水平方向的应力平衡，可以得到 l c r 。b ( h - a - 而。) = l f ，b h 。+ u 4 0 盯。6 出 ( 6 ) 将( 4 ) 式和( 5 ) 式代入( 6 ) 式中，得到 卅) + ( 仆口o ) 嚎( 1 + 一鹏一南( w + 彬谚+ 毗( 7 ) + 6 口+ k 帆】) 吃一q 一2 = 0 此状态下截面上作用弯矩m 的大小可以表示如下： m = 丢吒坳一口一绣) 2 + 去z 6 绣+ 如出 ( 8 ) 将( 4 ) 式和( 5 ) 式代入( 8 ) 式中，得到 - 9 m t o ( h 敞- a ) 邓耐廿蝴署魄+ 斧一m 训哇愿+ ；口 扣警+ 掣a 一- a 。h a 肌- a ，_ 风一百c 痈o ( a - a o ) 咿一+ 筇2 研+ 吮+ 啦哦一a ( a - 一w a 。) 2 ( , a 4 ”+ 咿坤+ l 矽：嵋+ 2 慨 + 2 铷嘞】 这旦拯芳，则有 肚警廿班一砒+ 署魄+ 署h ) 睦吃+ 筢) + 等+ 琴一署一+ a 触- a o 加嘶一百。日h , ( a - a o ) 妒3 谚+ 妒2 砰+ 卵”+ 船帆一塑蒡嚣妒4 订+ 4 卵+ 1 矽：订+ 2 即k + 2 4 归哦 而且当时取得最大值时，也取得最大值；又因为，：华，所以当时与f 取得 最大值时，外荷载p 也达到最大值，i 呲。因此下一步的刚示就是得到函数f 的最大值。 在此之前，还需考虑裂纹面上初始裂纹尖端位置的裂缝张开位移与等效裂纹长度口之 间的关系。 t a d a 等于1 9 8 5 年刚提出了关于裂缝口张开位移m b 与有效裂纹长度口之间的经 验关系表达式如( 1 0 ) 式： 2 器。 0 7 6 - 2 2 8 篇n s 诺h 。气丽a + h o ) 3 + 舒：， 其中风为夹式引伸仪的刀口厚度。 ( 1 0 ) 根据2 i 节中的假设b 可以得到裂缝张开位移m 与裂缝口张开位移h 。的关系为 2才wcmod(11)a + h 、 1 0 盔塑三盔塑主墅墼 将p 2 半耶) 式、( 1 1 ) 式代入( 1 0 ) 热并令= 鲁以及 舶屯zs篙晡a+-io，2_204罐，3+066h hh hhc 普，2+n、+ 鼠7、+ 7 、矗一d 7 进而得到 半伽2 ( a - a o ) + 2 帆t ( h - a ) ( a - a o ) 4 - 2 4 t ( a r - a o ) 2 ( 吃 + 署) _ 2 撕) 2 如尹1j 1 咖掣+ 可5 7 6 r a ( a - a o ) 3 2 4 t ( a - a o ) 2 ( 飞+ 百a - - 0 0 妒一掣( 删脚2 孵+ 饥 + o o e - 肿, 一掣泸4 砰+ 锣3 钟+ 1 筇2 砰+ 2 慨+ 2 铷咖一坝1 + 旦) ：o a ( 1 2 ) 胜用商，寺微枞分甲阳拉格朗甘乘数缓，构遗一个函数巾( 口，玩，w t ， ，如) ，使得 。m ) = ，+ 州7 ) 式+ 如( 1 2 ) 式= 掣硼耐坳叫玩 + 署( 九+ 嚣) 一m 训哼1 趣+ 尹1 弘1 ) + 百6 a h c ( a - a o ) + 掣 一莆( 吃扣一口o + 斧一一掣亭”+ 3 删“触哪巾 箐( f 1 4 + 4 卢3 谚+ 1 2 卢2 w ? + 2 4 肌+ 2 4 ) 已一以+ ( 2 ( 厅一+ 。一吼) 【寿( 1 + 一m 一南( 卵3 + 3 筇2 研+ 碱鼽“口+ 卢现吨】玩一 ( 一曲2 ) + 五【里! 蔓掣一2 4 r ( 一口) 2 ( 口一口o ) + 2 4 吃丁( 一口) ( 口一口。) + 等( 吃+ 署) _ 2 铆( a - a o ) 2 ( 1 h 。7 1 o ) + t 1 4 4 t o 醴t c ( a - a o ) 2 + 掣一等c 飞+ 百a - - a 0 矿肌一掣+ 3 p 2 砰+ 6 触+ 6 ) g 一舶一2 4 t a 矿( a r - a o ) 3 够4 矿+ 4 ”+ 1 2 卢2 订+ 2 唧m + 2 4 ) e 一眺 一h 2 ( 1 + n o ) 彬】 口 其中五、如为待求的未知参数。 1 3 )( 再由丝；票：票：导：婺地可以得到下列五个五元的方程：o 再甫一= 十= 十= 【) 可i ! i 桓羽l 下劢i 篙冬看寻的音羽 a 弧却，a 无a 无 。 1 门刈。7 。上。 7 。“。j 1 土 一( h - 吃a ) 2 + - 2 h - 2 a - 吃+ 鲁t a 删- a o m 睦吃+ 砖咿；朋。吲 喊4 8 a ( a 一) j p 4 w t j p 5 碡 ( h c + c - 嘞+ 署) e 帆( 口一a o ) o + 眺1 - - - - ) e 帆 ( 芦3 订+ 3 2 衍+ 6 卢峨+ 6 ) p ，鼽 鼬t卧t萨呐 2 t x ( a - a o ) ( f 1 4 霄+ 4 3 订+ 1 妒2 谚+ 2 4 f l w , + 2 4 ) 卢5 研 珂咿+ 譬一焉谚+ 舻砰+ 毗一内玩 秘捌脚半卜骊5 7 + 器嚣一篆等+ 塑筝2 4 ( a - a o ，) ( h - a ) 211957嗣a+ho+一387丽a+ho)2-一51丽a+h025(h 2 5 2 51 0 0h2 5h ) 3 + 一硝。k 、h + h n 、十h n 。、+ h n 。 嚣岛争2 】+ 2 眠伪一回萤一云5 7 氟a + h o ) + 3 。u 8 。7 ( 以a + + 爿h 。o - 1 2 一云5 1 丽a + h o ) 3 + 嚣岛净2 m 4 训嗍，卜蒜+ 署斋嚣一尝爱等+ 1 2 垫望王盔堂塑主塑堡皇 罢鬻卜跳妒铂2 秀1 9 西5 7 科a + h o 十3 川8 7 ( a + 风2 一西5 1 镱n 盖焉争2 】+ 8 ( h - a ) s 甾 1 9 一面5 7 丽a + h o ) + 而3 8 7 丽a + h r o 矾5 1 ( a + + 爿h = _ o 灿嚣呜等) 】 一2 4 ( a - - a o 肛们一面5 面7 + 丽3 8 7 两( a + h 订o ) 一西1 5 3 丽( a + h o 了) 2 + 罢号等】+ 4 8 ( a - - 0 0 砌一句哄一五5 7 a i + 霄h o + 而3 8 7 霄a + 五h 宁o2 一吾5 1 再a + 瓦h o ) 3 + 嚣学) 2 】一2 啦 妒啪一云5 7 ( a + h 。o ) + 耐3 8 7 耐a + h o2 一西5 i 丽a + h o ) 3 + 嚣呜等) 2 】川2 鬯5 7 ( a + h o + 一3 8 7 嘲a + h o2 5 1 嗣a + h 0 2 5 2 51 0 02 5h3 + 翌5 0 随h - a 2 】+ 等魄+ h + h 。、h + h h 。、+ h 、。 、 “a v c ? 百a - a o 肛1 9 5 7 嗣a + h o + 一3 8 7 嗣a + h o2 5 1 ( a + h 峭。挫) 2 】+ 2 4 ( a 矿- a o ) 2 2 5 2 51 0 0 2 55 0h - a鼬“ 、h + h h 。、h + h n 。h + h 。 、 “秘 地+ 署) 卜b + 可3 8 7 丽( a + h o ) 一 1 5 3 ( 口+ r o ) 2 。3 3 ( 厅+ 厶k ) 21 。2 4 ( a 一) 2 2 5 + 风) 3 。2 5 ( h - d ) 川。卢2 研 1 9 5 7 ( a + 爿h o3s7(a+hro一51赋a+tt025 2 5h - i - 1 0 02 53 + 翌5 0 二h 塑- a 肿龇。一点2 爿n 7 厅+ 爿n 、 + 风7 、11n 八 + j 1a ；1 嘞) 髑5 7 丽a + i - i o ) 十而3 8 7 丽a + h o 卜磊5 1 赋o + t o3 + 嚣钤2 h 呐 啦哇勉7 1 卞1 ) 卜西蔷b + 可3 8 7 丽( a + h o ) 一万1 5 3 丽( a + h o ) 2 + 磊3 3 等等】 + 丝攀掣 1 95 7 ( a + h o + 一3 8 7 嗣a + h o2 5 1 ( a + h 。o 7 4 2 5 2 51 0 02 5 _ ) 3 + 塑5 0 之h 骂- a 2 】+ w 。 “+ h n 。、h + h n 。耗+ h n 。 、 。 5 7 3 8 7 4 - h o ) 2 5 + 凰) 5 0q + 风) 2 一1 5 3 ( a + h o 一) 2 + 3 3 ( h + h o ) 2 + 2 5 ( + 月j ) 32 5 【 一。 坚铲【罢57(a厅+ho，+387(a疗+h。o25h o 1 0 0 h ，2 一卫2 5 唼熹h o ) 3 + 翌5 0 亡h 芒a 马2 】 口5 h ，? 2 5厅+ 疗+ n 7 、矗+ 7 、 一 7 5 7 6 a ( a 一嘞) 3 ， 5 7 。3 8 70 + h o ) 1 5 30 + h o ) 2 。3 3 + h o ) 2 1 卢5 w ?。2 5 ( h + h o )5 0 ( + h o ) 22 5 ( 厅+ h o ) 32 5 ( 厅一口) 3 。 华 。十胃a - a o t硒195 7 氟a + h o ) + 而3 8 7 丽a + h o ) 2 - 昙锚) 3 1 3 塑堡圭三盛童些墨堑燮笪堑茎鲎墨垦篁墼窒塑至塞 + 嚣学) 2 】一半叶硎1 畴1 9 _ _ 5 7 ( a + h o + 而3 8 7 丽a + h o ) 2 可5 1 ( a + h 。o - 3 + 嚣2 卜竿( 枷州铲a - a o x r 5 7 3 8 7 ( a + h o )1 5 3 ( 目+ 月j ) 2 。3 3 ( + 月j ) 2 14 8 a h , , ( a 一) 。2 5 ( h + h o )5 0 ( h + 月j ) 22 5 ( + h o ) 32 5 ( 而一口) 3 。4 e 一肌3 订+ 3 户2 霄+ 6 觚+ 6 ) 秀1 9 5 2 7 ，( ，l a + + 爿h 。o - l + 3 l u 8 u 7 ( a 甩+ +