（应用数学专业论文）几类泛函微分方程的振动和非振动性.pdf

摘要 本文共分口q 章 第一章主要介绍了泛函微分方程f d e 的振动理论的历史背景、研究 动态及其发展趋势和有关振动的基本概念另外，还简单地介绍了本文 的研究成果和创新点 第二章讨论具偏差变元的一阶线性时滞微分方程 x7 ( t ) + p ( t ) x ( t f ( t ) ) = 0 ， ( 0 1 ) 以及时超微分方程 x t ( t ) 一p ( t ) x ( t + f ( t ) ) = 0 ， ( 0 2 ) 其中，p ( f ) ，v ( t ) e c ( r + ，r + ) ，且对方程( 0 1 ) 假设l i m ( t f o ) ) ；+ 。分别建立 h 方程( 0 1 ) 及( o 2 ) 振动性的新的比较定理，并应用这些定理给出保证方程 的一切解振动的新的充分条件 第三章考虑n 阶中立型微分方程 【y o ) 一善c l q 抄。一_ 阱2 ( 一1 ) “荟p j ( t ) f j ( t ，y 魄 ( 0 3 ) 其中n 为正整数，并假设下列条件总成立 ( h ，) c ：e ) ，p a t ) e c ( p o ，唧皿+ ) ，t e ) ，g ，( f ) c ( 艮，嘞问，且满足；! 缈一t 0 ) ) = + o 。 l i m g ，q ) = + 。，i = 1 , 2 ，m ，= 1 , 2 ，一，r t ( h ：) ，( f ，y ) c ( p o ，o o ) r ，r ) ，( r ，y ) 与y 同号且关于y 满足局部l i p sc h i t z 条件，即存在常数l ，0 及6 ，0 ，使得 o ，y ，) 一f j ( t ，y ：) ie 工f y ，一y ：i ，一6 y ，y 2 6 ，= 1 ，2 ，r 讨论了该方程非振动解的存在性，建立了此类方程非振动解的存在准则 所得结果推广了庾建设【2 6 1 的相应定理 第四章研究如下形式高阶中立型微分方程 【y 一善g e 抄( f 一耳( f ) ) p = ( _ 驴善( f ，y ( g j o ) ) h _ y 魄，g ) ( 。4 ) 非振动解的渐近性和存在性，其中n 为f 整数，c f p ) c ( p o ，。) ，r + ) ， t p ) ，g j “( o e c ( t 。，o 。) ，r ) ，f j ( t ，y - ，y ，) c ( f 。，。) r 。，r ) ，且满足! i m ( t t o ) ) = 。2 坦黟且g ) ，i = 1 ，2 ，聊，= 1 , 2 ，厂，“= 1 ，2 ，z 给出了方程( o 4 ) 存 在趋于零的j 下解的充要条件及其应用，所得结果改进并推广了文 2 6 的 相应定理 本文获得的所有定理和推论均是新的 关键词：偏差变元：振动性；中立型；非振动解；渐近性；存在陛 i i a b s tr a c t t h ec o n t e n to ft h i sp a p e ri sc o m p o s e do ff o urc h a p er s i nt h ef i r s tp a r to ft h i sp a p er ，w em a i n l yi n t r o d u c et h eb a c k g r o u n d ，t h e s t a t uso fr e c e n tr e s e a r c h e sa n dt h et e n d e n c yo fd e v e l o p m e n to fo s c i l l a t i o n t h e o r yf o rf u n c t i o n a ld i f f e r e t i a le q u a t i o n s w ea l s o i n t r o d u c es o m eb as i c n o t i o n so no s c i l l a t i o n i na d d i t i o n ，w eb r i e f l yi n t r o d u c er e s e a r c h e sa n d i n n o v a t i o n so ft h isp a p e r i nt h es e c o n dp a r to ft h i sp a p e r ，w ed i s c u s st h ef i r s tor d e rl i n e a rd e l a y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ， x ( t ) + p ( t ) x ( t - r ( t ) ) = 0 ，( o 1 ) a n da d v a n c e dd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ， x 7 ( t ) - p ( t ) x ( t + f ( t ) ) = 0 ，( o 2 ) w h e r e p ( r ) ，f o ) e c ( r + ，r + ) a n dl i m ( t r o ) ) = + o 。f o re q ( 0 1 ) c o m p a r i s o n t h e or e m sf o ro s c i l l a t i o no fe q ( 0 1 ) a n de q ( 0 2 ) a r er e s p e c t i v e l ye s t a b l i s h e d b ya p p l y i n gt h e s ec o m p a r i s o nt h e o r e m sn e ws u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o ro s - c i l l a t i o no fa l ls o l u t i o n so fe q u a t i o n sa r eo b t a i n e d i nt h et h i r dp a r to ft h i sp a p e r ，w ec o n s i d e rt h ee x i s t e n c eo fn o n o s c i l l a - t o r ys o l u t i o n so fac l a s so fn t ho r d e rn e u t r a lf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i - o m s ， 【y p ) 一善e ( f 抄。一p ) ) p = ( 一1 ) “j 善p j ( t ) f j ( t , y 。， ( 。3 ) w h e r et h e ys a t i s f yt h a t ( h - ) g ( f ) ，弓o ) c ( p 。，嘞，r + ) ，t ( f ) ，g , ( t ) c - c ( t 。，嘲，固，里$ 一t ( f ) ) = + o 。 l i m g ，p ) = + ，i = 1 , 2 ，m ，j = 】，乏，r t 。 ( h2 ) ，j ( f ，y ) e c o ，呦足固，f i ( t ，y ) a r et h es a m es i g nw i t hya n d i i i a n d o ，y 。) 一p ，y ：) 卜l l y 。一y ：1 w h e n 一6 y - ，y z 6 ，= 1 2 ，n w h er ela n d6a r eb o t hp o s i t i v ec o n s t a n t ni s a l li n t e g e r t h ee x i s t e n c e c r i t e r i ao fn o n o s c i l l a t o r ys o l u t i o n so ft h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( 0 - 3 ) a r e o b t a i n e d a sc o r o l l a r i e st oo u rr e s u l t s ，y u i a l l s h e sc o r r e s p o n d i n gt h e o r e m s i n 【2 6 】a r ee x t e n d e d i nt h ef o u r t hp a r to ft h i sp a p e r ，w es t u d yt h eh i g h e r or d e rn e u t r a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o ns ， 一善c i 愀一删卜j 善f y ( t ，y ( g 删，y 国f o ) ) ) ( o 4 ) w h e r ec ：o ) “，呦，r + ) ，薯o ) ，g “( t ) e c ( t o ，嘞，固，f j ( t ，y l ，一，y ，) c ( p 。，o 。) x r ，r ) i i 雌一t ( f ) ) ；。= l i m g m ( f ) ，i = l 2 ，- - ，m ，= l 2 ，r ，“= 1 2 ，一，f ni s a ni n t e g e r t mt b ys t u d y i n g t h ea s y m p t o t i cp r o p e r t i e sa n de x i s t e n c e o fn o n o s c i l l a t o r y s o l u t i o n s ，s o m e s u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n so ft h ee q u a t i o n s p o s i t i v es o l u t i o n sw h i c hc o n v e r g et oz e r oa r eo b t a i n e da n dt h ec o r r e s p o n d i n gt h e o r e m si n 【2 6 】a r ei m p r o v e da n d e x t e n d e dt oo u rr e s u l t so ft h e a p p l y i n g a l lt h et h e o r e m e sa n dc o r o l l a r i e so b t a i n e di n t h i sp a p e ra r en e w k e yw o r d s ：d e v i a t i n ga r g u m e n t s ； o s c i l l a t i o n ；n o n o s c i l l a t o f y s o l u t i o n s n e u t r a lt y p e ；a s y m p t o t i cp r o p e r t i es ；e x i s t e n c e 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研 究所取得的研究成果。除了文巾特别加以标注引用的内容外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。 本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名：毛j 镪罩日期：2 。5 年4 月2 0 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权长沙理工大学可以将本学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位沦文属于 1 、保密口，在一一年解密后适用本授权书。 2 、不保密回。 ( 请在以上相应方框内打“4 ”) 作者签名：为1 晷平日期：2 口口s 年4 月2 d 日 导师签名：；长孑厶耄鸟 日期：0 3 - 年辱月z r 日 第一章绪论 1 1 泛函微分方程f d e 的振动理论的历史背景、研究动态及 其发展趋势 常微分方程是由人类生产实践的需要而产生的历史上，它的雏型 的出现甚至比微积分的发明还要早纳泊尔发明对数、伽利略研究自由 落体运动、笛卡尔在光学问题中由切线性质定出镜面的形状等，实际上 都需要建立和求解微分方程然而，实际上人们能够用初等函数的积分 表达解的微分方程是很少的，大量的微分方程是无法用初等积分法求解 在十九世纪早期，柯西给微积分注入了严格性的要素，同时也为微分方 程的理论奠定了一个基石解的存在性和唯一性定理s z u r m 的工作提 出了对解进行定性研究的最初思想p o if i c a r 6 的著名论文“微分方程所 定义的曲线”( 共四篇) 和l ia p u n o v 的博士论文“运动稳定性的一般问 题”共同奠定了定性理论的研究基础微分方程的过去和现在都对力学、 天文、物理、化学、生物、各种技术科学( 如核能、火箭、人造卫星、 自动控制、无线电子学等) 及若干社会科学( 如人口问题、经济预测、 商业销售问题、运输调度问题等) 提供了有利的工具 这些研究实际上都是假定事物的变化规律只与当时的状态有关，而 和过去的历史无关但是，事实告诉我们，许多事物的变化规律不仅依赖 于当时的状态，还依赖于过去的状态在这种情况下，微分方程就不能精 确地描述客观事物了，代之而起的就是微分差分方程特别是带时间滞后 的微分方程 j7 5 0 年，e u le r 提出了一个古典的几何学问题：是否存在一种曲线， 它经过平移，旋转运动以后能与其渐缩线重合? l 771 年，c o n d o r c e t 讨 论这个问题，导出了已知的、历史上第一个泛函微分方程此后在一个 世纪中，许多著名的数学家直b e t n o t i ，l a p la ce ，p o iss 0 n 以及b a b b e g e 等都提出过类似的方程鉴于这些方程的复杂性，一直未能对它们进行有 效地研究，而作为数学的一种历史悬案搁置下来了二十世纪以来，自 然科学与社会科学的许多学科中提出了大量时滞动力系统问题，如核物 理学、电路信号系统、生态系统、化工系统、遗传问题、流行病学、动 物与植物的循环系统社会科学方面主要是各种经济现象时滞的描述，如 财富分布理论、资本主义周期性危机、工业生产管理等，促使人们对这 种困难的课题开始认真地分析发现第一个泛函微分方程至今以过去两 个多世纪了，但是系统的研究工作只是在二十世纪血十年代才丌始的 自19 5 9 年以来，无论是一般的泛函微分方程还是较具体的微分差分方程， 其发展是非常迅速的，在解的基本理论、稳定性理论、周期解理论、振 动理论、解算子理论、分支理论等诸多方面都出现了重要的成果7 0 年代 以来，每年都有数以百计的论文问世，专著也陆续出现，其中j k h a le 在1 9 7 7 年出版的t h e o r y0 f f u n c t io n a ld i f f e r er l t i a l e q u a t io n s 是最新的总结自1 9 7 7 年以来，它们与有界滞量的泛函微分方程形成三 大方向，发展非常迅速 泛函微分方程的振动理论作为泛函微分方程定性理论的一部分，具 有f “泛的应用背景众所周知，生物模型中出现大量时滞微分方程 1 - 6 1 k l c o o k e 提出一个生物科学中的极为重要的方程t 7 1 ，它与遗传现象 密切相关 y o ) + 掣o h ( t ，y o ) ) ) = f ( t ) ，t t 。 ( 1 1 ) 在工业方面，电磁开关系统，其方程为1 8 y ”o ) + 2 u y ( f ) + v2 y ( r ) + t y ( t 一) = 0 ( 1 2 ) 其中“，n ，为常数，滞量= ( f ，_ y ( f ) ) 对t e r 连续在经济学中价值法则的作 用，也是由于生产与消费之间的时滞形成的，如果时滞过长，经济也会 出现振荡现象，这也为社会生活所证实 从s tu r m ( 18 3 6 ) 研究热传导方程时提出二阶线性常微分方程 y ”( f ) + a ( t ) y ( t ) = 0 ( 1 3 ) 的振动问题以来，常微分方程的振动理论已有很久的历史s w a n s o n l 9 1 总 结了线性常微分方程的振动理论的经典结果，文献 10 中介绍了某些非 线性常微分方程的振动性研究结果由于常微分方程对应于滞量r = 0 ，所 以它不会出现振动性依赖于时滞的情形，而泛函微分方程则不同，它的 偏差变元的出现能够引起解的振动性和非振动性例如一阶线形微分方 程 y ( f ) + p ( t ) y ( t ) = 0 ，p c 僻+ ) ( 1 4 ) 的一切解非零都是定号的，而一阶时滞微分方程 y ( f ) + _ ) o 一要) ；0 ( 1 5 ) 二 具有振动解y = s 证f ，这个振动性完全是由滞量要引起的事实上，在满足 初值问题解的存在和唯一性的条件下，一阶微分方程y f ( t ，y ) ( ，o ，0 ) 一0 ) 没 有振动解正因为其具有广泛的应用背景以及由滞量本身产生的振动， 泛函微分方程解的振动性质的研究构成泛函微分方程振动理论中最吸引 人的篇章之一 在泛函微分方程振动理论上第一篇有影响的论文是文献 13 ，研究 具偏差变元的微分方程 y “( f ) + p 0 ) ) ，p o ) ) = 0 ，一o 。 h ，0 ，则 ( i ) 当n 奇数时，式( 1 6 ) 的每个解变号无穷多次 ( i i ) 当，l 偶数时，式( 1 6 ) 的每个解变号或者奇数次，或者无穷多次 第一本系统地叙述泛函微分方程振动理论的著作是s h e v e lo 的【1 】，其 中包括参考文献3 9 2 篇，他总结了直到19 7 7 年这一理论的发展19 8 7 年 张炳根与l a d d e 和l a k s h m i k a n t h a m 合作出版了“具偏差变元微分方程的 振动理论” 2 1 ，它系统地总结了这一领域国际上直到1 9 8 4 年的成就，此 书特别强调偏差变元对微分方程解的振动性质的影响进入80 年代，丌 始出现大量的泛函微分方程振动理论的研究这是个比较新的领域，每 年的论文如雨后春笋般涌现，主要有以下几点： ( i 1 开创了中立型时滞微分方程解的振动性与非振动性的研究，并取 得大量的重要成果19 9 1 年初出版了两本专著，b a in o v 和m is k e v ，g y o r i 和i 。a d a s 总结了19 8 0 19 9 0 年中立型微分方程振动理论的成果 ( i i ) 开创了时滞差分方程振动理论的研究张炳根1 9 8 8 年在美国 o h i 0 国际会议上的报告 1 4 1 ，第一次提出了作为时滞微分方程的离散形式， 时滞微分方程解的振动性与非振动性的研究 ( i i i ) 有时滞变元的偏微分方程的振动理论的发展t r a m o v 【”】，k r e i t h 和l a d a s 【1 6 1 ，m is h e v 和b a in o v 1 7 1 分别开始对具时滞的椭圆形、抛物形 和双曲型偏微分方程解的振动性进行研究。 ( i v ) 开创了时滞脉冲微分方程解的振动性质的研究。张炳根与 g o p a ls a m y 首先研究了具有脉冲的时滞微分方程解的振动性 ( v ) 时滞微分方程振动理论在生态模型上的应用广泛，见文献 3 ，5 在今后的研究中，除完善与发展已有的成果外，下面的几个问题尚 未突破或尚待深入研究： ( i ) 1 i j t 究时滞引起的非振动性文献中往往强调时滞可以引起解的振 动性质，而时滞的出现也能引起解的非振动性。 ( i i ) 对振动解的零点分布、振幅变化和渐近性质的进一步研究，目前 只有零星工作 ( i i i ) 对具本质上非线性的中立项的中立型微分方程的进一步研究，揭 示中立项的非线性带来的对解的性质的影响 ( i v ) 时滞差分方程振动理论的进一步研究这一课题的研究只有十 年左右的历史，特别是研究应用广泛的时滞偏差微分方程的振动性仅有8 年的历史 ( v ) 时滞微分方程组解的解的振动性和非振动性的深入研究 ( v i ) 发展随机微分方程解的振动理论众所崩知，随机微分方程定 性研究已有很多的工作，特别是在随机系统的稳定性方面但对于随机 系统解的振动性质的研究只仃零星工作 4 ( v j ) 研究振动解的性质，即零点分布规律和振幅变化规律 ( v i i ) 讨论与解的振动性质有关的解的其它性质，特别是解的吸引性、 稳定性和有界性 ( v i i i ) 振动理论的各种应用，特别是在生物模型和经济模型上的应用 关于常微及泛函微分方程解的存在唯一性以及蓬续依赖性与可微 性，可参阅g y o r i 及l a d a s ，李森林及温立志，郑祖庥等人的专著文献 【3 ，1 1 ，1 2 】 通常，一个解称为是振动的，如果它有任意大的零点：称为是非振 动的，如果它最终为正或最终为负 一个方程称为是振动的是指它的所有解都是振动解 1 2 本文的研究内容与创新 本文研究的主要内容是几类微分方程解的振动性、非振动性以及渐 近性，同时也给出了所得结论的一些应用举例 在本文第二章中，首先，我们建立具偏差变元的一阶线性时滞微分 方程 x ( t ) + p ( t ) x ( t f ( t ) ) = 0 ， ( 1 7 ) 与下列方程 y ( f ) + q ( t ) y ( t 一( 7 ( f ) ) t0 ， ( 1 8 ) 之间的比较定理，其中p ( f ) ，r ( f ) ，口( f ) ，盯( f ) c ( r + ，r + ) ， 且l i m 。( t f ( f ) ) = + 。 = l i m o 一盯p ) ) 设t 。0 为一给定的实数，令 “+ 。= m i n z f 。i t x ( t ) z 气 ，k = 0 , 1 ，2 ， 易知t + 1 t t2 t o , k = 0 , 1 ，2 ， 假设t t o 时，p ( t ) 0 ，口p ) 0 定义 p o ( t ) t p ( t ) ，t t o ， p ( t ) 2e x p ( 。1 【t p l 。w l n p k ( 5 灿) ，t t k + 1 女= 毗 显然，函数p 女o ) 在【靠，+ 。) 上有定义、连续，且p i ( f ) 0 ，t t ，k ；0 , 1 ，2 ， 定理1 2 1 设存在某个实数t 。o 及正整数月，0 ，使得 ( i ) 盯( f ) 在i t o + | 。) 非增； ( i i ) 盯o ) s f o ) ，对t t o 成立： ( “i ) q ( t ) p 。( f ) ，对t t 。成立 那么，若方程( 1 8 ) 振动，则方程( 1 7 ) 也振动 然后，类似地我们给出了一阶线性时超微分方程 x ( t ) 一p ( t ) x ( t + f ( t ) ) = 0 ， ( 1 9 ) 与下列方程 y o ) 一q ( t ) y ( t + 盯p ) ) = 0 ，( 1 1 0 ) 之间的比较定理，其中p ( f ) ，f ( f ) ，g ( f ) ，盯( f ) c ( r + ，r + ) 仍假设t t 。0 时， p ( t ) 0 ，o ( t ) 0 令p 。o ) = p ( t ) ，l t 。对t t o ，定义 p k + 1 ( t ) 一“嘉f * 。( o l n p k ( s 胁t = o 1 ，2 ， 定理1 2 2 设存在某个实数t 。o 及正整数h ) 0 ，使得 ( i ) 盯( f ) 在p 。，+ 。) 非减； ( i i ) 盯( f ) r ( f ) ，对f t o 成立； ( i i i ) q ( t ) e p 。0 ) ，对f t 。成立 那么，若方程( 1 1 0 ) 振动，则方程( 1 9 ) 也振动 最后，我们应用这些比较定理分别给出保证方程( 1 7 ) 及( 1 8 ) 振动的 充分条件 我们总假设当t f 。0 时，p p ) 0 ，f ( f ) 0 记 气。= m i i i 芑q t r o ) z ，k ；0 , 1 ，2 ，一 令p o o ) = p ( t ) ，t 苫t 。定义 p k + l ( t ) 一“赤l l n p k ( o d s ) ，t t k , 1 , 女- o 堵- 定理1 2 3设f ( f ) 非增，且对某个正整数n ，0 ，方程 _ ) ，o ) + p 。p ) y ( r f o ) ) = 0 振动，则方程( 1 7 ) 也振动 类似地，对t t 。，定义 p k + 1 ( t ) _ c x 喃厂l n p 心黼，1 ，2 ， 其中，p 。p ) = p ( t ) ，t t 。 定理1 2 4设r ( f ) 非减，且对某个正整数n ，0 ，方程 y o ) 一p 。p ) y o + f o ) ) = 0 振动，则方程( 1 9 ) 也振动 定理1 2 5设z ( f ) 非增，且对某个正整数n ，0 ，使得 骢i n 咀( f ) p n ( s 灿，： 则方程( 1 7 ) 振动 定理1 2 6设f ( f ) 非减，且对某个正整数n ) 0 ，使得 l i m i n f r p 。( s ，三 小 “ e 则方程( 1 9 ) 振动 在本文第三章中，考虑n 阶中立型微分方程 ( 1 1 1 ) ( 1 1 2 ) 【y o ) 一z c o ) y ( f q 似= ( 一1 ) “( f ) ，力，y ( g ( f ) ) ) ， ( 1 13 ) _ 。 。 其中”为正整数，并假设下列条件总成立 ( h - ) g o ) ，弓g ) c ( p 。，唧，r + ) ，t g ) ，g g ) j 氓p 。，唧，固，且满足l i m ( t r 。( f ) ) = m ；觋g ，( f ) 一。，f = 1 ，2 ，m ，= 1 ，2 ，一，7 ( h ：) ，e ，y ) c - - c ( t o ，嘞x r 固，f s ( t ，y ) 与y 同号且关十y 满足局部l ip sc h its 条件，即存在常数l ，0 及6 ，0 ，使得 f j ( t ，y ，) 一 ( f ，y ：) 卜l l y 。一) ，：| ，一6c y l , y ：c6 ，；1 ，2 ，r 我们采用b ar l a c h 压缩映象原理获得了保证( 1 1 3 ) 存在非振动解的充 分条件，所得结果较大地推广了文 2 6 的工作 定理1 2 7 若( 日。) 、( 圩：) 成立，且存在常数c ，o 及a 皂0 ，使得 l ，i ms u p 【薹c 巾) e n ) + 丽l ea t 毫f ( s 一。1 p ，( s ) e - z g j ( s ) 出】c1 ，( 1 , 1 4 ) 则方程( 1 1 3 ) 存在最终正解y o ) ，且0 y ( t ) s c e “ 以及 推论1 2 8 如果( i i 。) 、( h ：) 成立，且 炒p 善c o ) ( 1 ， ( 1 1 5 ) r s - , p a s co 。，= 驼，r ， ( 1 1 6 ) 则方程( 1 1 3 ) 存在最终正解 推论1 2 9 假设存在正常数c iy l f f i ，0 ，p j 使得0sc i ( r ) sc i ，r ，( f ) s _ r i ， 0 s 只( t ) pj ，t g j ( t ) 0 ，i = 1 , 2 ，m ，；1 , 2 ，r 如果方程 ”( 1 一善c i e a r i m 著即加 ( 1 1 7 ) 有两个正实根，则方程( 1 1 3 ) 存在最终正解 顺便地，在( 1 13 ) 中取f i ( t ，y ( g ，0 ) ) ) = y ( g ，( f ) ) ，得下列方程 一弘g 抛一t 坩= ( - 1 ) ”擎e ) y ) ( 1 - 8 ) 推论1 2 1 0 若( 日。) 成立，且存在常数a 0 ，使得 ! 受s u p 菩c 以弦打巾) + 三a t 面善rr ( s 一咿一1 e ( s ) e “州s ) 出】 0 ，tz t k ，k = 0 , 1 ，2 ， 定理2 2 1设存在某个实数t 。0 及正整数n ，0 ，使得 ( i ) 盯( f ) 在【f 0 ，+ o 。) 非增； ( i i ) 盯o ) 墨r q ) ，对t t o 成立： ( i i i ) q ( t ) 以o ) ，对t t 。成立 那么，若方程( 2 5 ) 振动，则方程( 2 1 ) 也振动 证明采用反证法假设( 2 1 ) 有最终正解x ( t ) ，取充分大的瓦t 。， 使t2t o 时， x ( t ) 0 ，x ( t - 百( t ) ) 0 ， 则z ( f ) 0 ，t 瓦记 l + ，；m i n t k l t 一口( f ) = 瓦 ，k = o 上2 ，一 易知0s 靠c 五c c 正c 疋+ 。一。( 女一。) ，且瓦苫t 。，女= o ，1 ，2 ，令 啪卜等，i ( 2 | 8 ) “归e x p ( 熹“n w 巩- 0 船一 2 钟 显然，函数k o ) 在陬，+ 。) 上有定义、连续，且t ( 1 ) ，o ，f 2 孔，k = o ，1 ，2 利用定积分的定义及平均值不等式叮n 口 ) ：去砉“其札 o f = 纷+ 一卜 当t 瓦+ ，时，由( 2 9 ) 式得 k 一p 去姆羹( 峨( f ) + 华) 黝 ；! 熟血九( f 硼) + 华) ) ： s 溉( 言毫( 坶删+ 半) ) = 去l 州蛐， 1 0 对一切k ；0 ，1 ，2 ，成立 取互m i 趣瓦i 一砸) 之瓦 ，易见一z 瓦设f l ，则f f o ) 乏瓦将2 8 式 两边从t f o ) 到t 积分t 有 x o r 咿工p l 九( s ) a s 2 1 1 将( 2 8 ) 及( 2 1 1 ) 式代入( 2 1 ) 式，并加以整理，得 z o ( t ) 。p ( t ) e x p f , 。九o ) a s 注意到( 2 6 ) 式及条件( i i ) ，我们有 九o ) = p 。( t ) e x p f 。_ 。，九o ) d s 上式两边取对数，得 i nx 。( f ) z1 n p 。q ) 十丘呻) 九( s 灿 由( 2 1 0 1 式，有 郴) s 高k ，九。冲 + 旱 i n ) - o o ) 一l n p o o ) c r ( t ) x t ( t ) 记正一m i 聿z 五i f o q ) z 五j ，则疋+ z 瓦对f = 疋，上式两端从f 一口( f ) 到f 积分 并注意到条件( i ) ，有 删l n z o ( s ) a s 一正叫) 1 n p 。o ) a s ：丘州) 口o ) o ) 如= 盯。垣叫) o ) 出 从而 也就是 丽1 _ j ( ，l n a o ( s ) d s 一盯1 ( ，i n p 0 。灿；l ，如 e x p 岛正呻，l n 九。灿) e x p 赢正o ( , ) i n p o ( s ) d s ) - e x p 正叩， o 灿) 利用( 2 7 ) 及( 2 9 ) 式，上式可写成 _ o ) ：n o ) e x p f 叩， o ) d s 般，若令瓦+ 。一m i 斗芑+ i t 一叩) = 瓦+ ，；1 ，2 ，则o c l + c 疋t 一。 一。) ，且瓦疋，k ；1 ，2 ，用归纳法可证 九p ) z n o ) c x p f 。、 。( s x l s ，fz 瓦。 对一切k = 0 , 1 ，2 ，成立特别地 ( 2 1 2 ) 九p ) z 以( t ) e x p f _ 。、九o ) a s ，f = t + ， ( 2 1 3 ) 其中n 如条件f i i i ) 所示定义函数集 q = t h t ) e c ( r r o ，+ 唧，r + ) ：0 s w o ) s 1 ，f z l + ， 并在q 上定义映射： ( m 。) ( f ) 一 丽1 q ( f ) e x p ( 正叩) a 。( s ) w ( s ) 幽) ，f 芑_ ， ( m 。) ( l + 。+ ) ，t + stsl + 。， 则对任何w ( ) q 及t ! 瓦+ 。，由条件( i i i ) 及( 2 1 3 ) 式知 1 4 ( m 志啪) e x 吐州，拍) ) 虬 这意味着m 映q 入其自身 现在q 中作函数列k ( f ) 如下： w o ( t ) = 0 ，t l ， w k + 。o ) = ( m n ) o ) ，k = 0 , 1 ，2 ， 显然w ( f ) - 差 o = w o ( f ) q 用归纳法可证w 七( f ) q ， 及f 苫l + 时， o s m ( f ) s m “p ) s 1 ，对一切k ；0 , 1 ，2 ，成立于是存在极限 i m w , ( t ) 一w ( f ) 一 f l 由l e b es g u e 控制收敛定理知，w 是m 在q 中的一个不动点， ( m 。) p ) = w ( t ) ，即 w p ) 。芫茜q o ) e x p 啦呻，九o p o ) 出) ，t z 瓦o 或 九( f ) w o ) 2 口( ) e x p 咀巾1 九o ) w ( s ) 出) ，fz l + 。 令 ) ，o ) 2e x p ( 。九。沙( j ) 幽) ，f l + - ， 则 y o ) + q ( t ) y ( t 一，o ) ) = 0 ，t l + 2 ， 即y ( t ) 是方程( 2 5 ) 的一个正解，矛盾证毕 下面我们给出方程( 2 2 ) 与方程 y7 0 ) 一q ( t ) y ( t + 盯o ) ) = 0 ( 2 1 4 ) 之间的比较定理，其中q ( f ) ，口o ) c 俾+ ，r + ) 仍假设t t 。0 时，p ( f ) 0 ， 口( f ) 0 令p 。p ) 如( 2 6 ) 式所示对t t 。，定义 州t ) 一p ( 赤j + a ( t ) l n p k ( s 冲) ， = 唧， 那么，我们有下面的定珲22 2 定理2 2 2 设存在某个实数t 。o 及正整数n ，o ，使得 ( i ) 盯( f ) 在 r o ，+ o 。) 非减； ( i i ) 口( f ) s f ( ) ，对t f o 成立； ( i i i ) q ( t ) 5 p 。p ) ，对t t o 成立 那么，若方程f 2 1 4 ) 振动，则方程( 2 2 ) 也振动 定理2 2 2 与定理2 2 1 的证明类似，故从略 2 3 应用 在这一节，我们总假设当t f 。o 时，p ( f ) 0 ，f ( f ) 0 记 + 。= m i l l t kj t r p ) 气 ，t ；0 , 1 ，2 ，一 令p 。q ) 如( 2 6 ) 式所示定义 p k + 1 ( t ) 一e x p ( 知l n 幽灿) ，t t k + 1 , 七_ 0 ，堵一 ( 2 1 5 ) 那么，由定理2 2 1 我们立即得到下面的定理2 3 1 定理2 3 1 设r ( f ) 非增，且对某个f 整数n ，o ，方程 y o ) + p 。( t ) y ( t f ( f ) ) = 0 振动，则方程( 2 1 ) 也振动 类似地，对t t 。，定义 p 一( t ) - e x 烈i 1 _ j j 。+ r ( t ) 1 n p t ( s 冲) ，t = 。l ，2 ， 其中，p 。( t ) 如( 2 6 ) 式所示由定理2 2 2 我们有下面的定理2 3 2 定理2 3 2设r ( f ) 非减，且对某个正整数n ，o ，方程 y o ) 一p 。o ) y o + r o ) ) = 0 振动，则方程( 2 2 ) 也振动 由定理2 3 1 我们容易得到下面的定理2 3 3 定理2 3 3 设r ( f ) 非增，且对某个f 整数n ，0 ，使得 l i mi n 嗄砷) p n ( s 灿，： 则方程( 2 1 ) 振动 由定理2 3 2 我们容易得到下面的定理2 3 4 定理2 3 4设r o ) 非减，且对某个正整数n ，0 ，使得 ( 2 1 6 ) l i r ai n f 厂。p n ( s ) 如， ( 2 1 7 ) 刚方程f 2 2 ) 振动 注2 3 1 当p p ) = p ，f ( f ) = f ，都是正常数时，( 2 1 6 ) ( 或( 2 1 7 ) ) 式退化 为p f ，e ，这是熟知的使方程( 2 1 ) ( 或( 2 2 ) ) 振动的充要条件 其中 下列例2 3 1 说明定理2 3 3 不被定理2 1 a 所包含 例2 3 1 考虑方程 x 协+ 器e x p ( c 吲冲训= o ， p p ) = 丽1 1e x p ( c o s f ) ，r o ) ；口 在( 2 1 6 ) 式左端取1 = 1 ，因为 令 p 。( f ) = e x p 瓤。l n ) 凼) 万j 咄 一p e 止( 1 n 丽1 1 + c o 呐出 ：罢e x p 仁n t ) s i n t ) ， 2 面e x p ( i 妒p ) = 止p ，o ) e s = 蔷l 唧c 知s 则妒( f ) 是h 一周期函数，在每个周期有相同的最小值m 为 从而 m = 妒( o ) = 丽1 1 e x e s m 。旦2 1 3 9 1 6 3 6 0 0 3 9 2 1 8 0 一1 。0 3 6 7 8 7 9 e 岘1 n f 丘p ，( s ) d s ；l i m i n f 伊( f ) 1 ；，咒 一 e 政由足埋2 3 3 ，万栏( 2 1 8 ) 振动但此结论是小能由定埋2 1 a 所得出 这是因为 熙i n 。p ( s 灿= 杀旦恐m f f , _ = e x p ( c 。s s 垮 6 0 乒唧( c o ”灿 一 7 。1 1 1 7 5 0 2 8 1 4 丽“ 。0 3 2 0 8 8 5 一1 e 即定理2 1 a 的条件f 2 3 ) 不被满足 下列例2 3 2 说明定理2 3 4 不被定理2 1 b 所包含 例2 3 2 考虑方程 x 7 ( f ) 一面1 1e x p ( c o s f ) z p + 石) = o ， 可以验证此方程满足定理2 3 4 的条件( 2 1 7 ) ，故方程的一切解振动但 此结论不能由定理2 1 b 所得出，因为它不满足定理2 1 b 的条件( 2 4 ) 注2 3 2 本文的结果可以推广到f 列的具偏差变兀的一阶线性时 滞微分方程 x7 0 ) + 口( f ) x ( r ) + p ( t ) x ( t f o ) ) = 0 ( 2 1 8 ) 以及时超微分方程 x ( f ) + a ( t ) x ( t ) 一p ( t ) x ( t + f ( f ) ) ，