（计算数学专业论文）非线性刚性中立型延迟微分方程连续rungekutta法稳定性分析.pdf

摘要 本文研究了非线性刚性中立型延迟微分方程( n d d e s ) 初值问题 ， l y ( t ) = f ( t ，可( t ) ，y ( t 一下( t ) ) ，y 1 0 一r ( t ) ) ) ，t t o ， h 、 l 可( t ) = ( t ) ，t t o ， 的理论解及数值解的稳定性由于这项研究较延迟微分方程( d d e s ) 数值稳定性研究更为困难，至今国内外文献中仅研究过线性n d d e s ( 参见 1 2 5 】) 及一些特殊形式的非线性n d d e s ( 参见 2 5 2 9 】) ；研 究具有一般形式( 1 ) 的n d d e s 本文是首次本文主要结果如下： ( 1 ) 获得了问题( 1 ) 的理论解稳定和渐近稳定的若干充分条件。 ( 2 ) 引进了求解问题( 1 ) 的连续r u a g e - k u t t a 方法的g 工w 一稳定 性概念证明了g l w 一稳定的方法能够使数值解保持理论解所具有 的收缩性我们发现带有线性插值的隐式e u l e r 方法和2 一级l o b a t t o i i i c 方法都是g l w 一稳定的，因而其数值解均满足一个比稳定性更 强的收缩性不等式( 使用隐式e u l e r 法时也可用分段常数插值) 。 ( 3 ) 证明了当理论解满足本文给出的渐近稳定充分条件时，用上 述两类方法所得到的数值解也是渐近稳定的。 ( 4 ) 通过数值试验对线性日方法和2 一级l o b a t t oi i i c 方法的数值 稳定性进行了测试。测试结果进一步证实了本文所获理论结果的正 确性。 以上( 2 ) 和( 3 ) 中的结果可视为b e l l e n 、g u g l i e l m i 和z e n n a r o 2 6 、 v e r m i g l i o 和t o r e l l i 2 9 1 等人针对一些特殊形式的非线性n d d e s 所获 得的数值稳定性结果的推广。 关键词：中立型延迟微分方程，非线性刚性问题，数值稳定性，渐 近稳定性，r u n g e k u t t a 方法 3 a b s t r a c t s t a b i l i t yo ft h e o r e t i c a la n dn u m e r i c a ls o l u t i o n sf o rn o n l i n e a rs t i f fd e l a y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n so fn e u t r a lt y p e ( n d d e s ) j3 7 ( t ) = f ( t ，可( t ) ，y ( t 一7 _ ( t ) ) ，可7 ( t 一7 - ( t ) ) ) ，t t o ，( 1 ) l ( t ) = 咖( t ) ，t t o ， i sd i s c u s s e di nt h i sp a p e r b e c a u s et h er e s e a r c ho fn d d e si sm o r ed i f f i c u l t t h a nt h a to f d e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( d d e s ) ，s of a ro n l yl i n e a rn d d e s ( c f 1 2 5 ) a n dn o n l i n e a rn d d e s ( c f 2 5 - 2 9 w i t hs p e c i a lf o r mh a v eb e e nr e s e a r c h e d i nl i t e r a t u r ea th o m ea n da b r o a d ，a n di nt h ep r e s e n tp a p e ri ti st h ef i r s tt i m e t or e s e a r c hn d d e so ft h eg e n e r a lf o r m ( 1 ) o u rm a i nr e s u l t sa r ea sf o l l o w s ： ( 1 ) s e v e r a ls u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h et h e o r e t i c a ls o l u t i o no fp r o b l e m ( 1 ) t ob es t a b l eo ra s y m p t o t i c a l l ys t a b l ea r eo b t a i n e d ，r e s p e c t i v e l y ( 2 ) w ei n t r o d u c et h ec o n c e p to fg l w s t a b i l i t yo fc o n t i n u o u sr u n g e - k u t t am e t h o d sf o rt h es o l u t i o n so ft h ep r o b l e m ( 1 ) ，a n dp r o v et h a tn u m e r i c a l s o l u t i o n sp r e s e r v et h e c o n t r a c t i v i t yp r o p e r t i e so f t h e t h e o r e t i c a ls o l u t i o nw h e n e v e rg l w - s t a b l em e t h o di su s e d t h e nw ef i n dt h a tb a c k w a r de u l e rm e t h o d a n d2 - s t a g el o b a t t oi i i cr u n g e k u t t am e t h o dw i t hl i n e a ri n t e r p o l a t i o nb o t h a r eg l w - s t a b l e ，a n dt h e r e f o r et h en u m e r i c a ls o l u t i o n so b t a i n e db yt h e s e m e t h o d ss a t i s f yac o n t r a c t i v i t yi n e q u a l i t ya sw e l la st h et h e o r e t i c a ls o l u t i o n ， r e s p e c t i v e l y ( n o t et h a tp i e c e w i s ec o n s t a n ti n t e r p o l a t i o nc a l la l s ob eu s e df o r b a c k w a r de u l e rm e t h o d ) ( 3 ) i ti sp r o v e d t h a tt h en u m e r i c a ls o l u t i o n so b t a i n e db yb a c k w a r de u l e r m e t h o da n d 2 - s t a g el o b a t t o i i i cr u n g e k u t t am e t h o dw i t hl i n e a ri n t e r p o l a - t i o na r ea l s oa s y m p t o t i c a l l ys t a b l e ，a sw e l la st h et h e o r e t i c a ls o l u t i o nw h e n e v e r t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o ng i v e ni nt h i sp a p e rf o rt h ea s y m p t o t i c a l s t a b i l i t yo f t h e ( 4 ) n u m e r i c a le x p e r i m e n t sa r eg i v e nf o rc h e c k i n gt h es t a b i l i t yp r o p e r t i e s 4 o fl i n e a r 日m e t h o d sa n d2 - s t a g el o b a t t oi i i cr u n g e - k u t t am e t h o d ，w h i c h c o n f i r mt h et h e o r e t i c a lr e s u l t so b t a i n e di nt h i sp a p e r t h ea f o r e m e n t i o n e dr e s u l t s ( 2 ) a n d ( 3 ) c a nb er e g a r d e da se x t e n s i o no f t h er e l e v a n tr e s u l t sf o rn d d e sw i t hs p e c i a lf o r mo b t a i n e db yb e l l e n ，g u g l i e l m i a n dz e n n a r o 2 6 】a n dv e r m i g l i oa n dt o r e l l i 2 9 k e y w o r d s ： n e u t r a l d e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，n o n h n e a rs t 循p r o b l e m ，n u m - e r i c a ls t a b i l i t y , a s y m p t o t i cs t a b i l i t y , r u n g e - k u t t am e t h o d s 5 第一章引宫 中立型延迟微分方程( n e u t r a ld e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sn d d e s ) 在 生物学( 参见 3 0 - 3 2 1 ) 、通讯网络( 参见 3 3 3 8 ) 、控制系统( 参见【3 4 ，3 9 4 0 ) 、电磁学( 参见 2 6 ，4 1 - 4 2 ) 、空气动力学( 参见 4 3 ，4 4 ) 等领域( 参 见 3 3 - 3 6 ，3 8 ，4 5 - 4 7 ) 有着广泛的应用，而且c o o k e 和k r u m m e ( 4 8 ) 注 意到一类双曲问题可以转化成中立型方程；r e i d ，r u s s e l l 和t e g l a s ( 参 见 4 7 ，4 0 - 5 1 ) 发现中立型方程可看作是一大类线性边界控制系统的 标准形式。 白t s z v e r k i n a 5 2 ，5 3 分别在1 9 6 4 、1 9 6 5 年两次讨论了用线性多 步法求解中立型延迟微分方程后，数值求解n d d e s 的研究一直没有 间断，u h o r n u n g 5 4 在1 9 7 5 年研究了用一阶e u l e r 型方法求解方程 jg 俅) = ，( t ，g ( ) ，暑，( 。( t ) ) ) ，t 0 6 ， 【可( ) = ( t ) ，t o ，】 这里a a ( t ) t o i ( t ) = v ( e 。) ，t t o + m i n l n p ，l n q ，t o l ( 1 5 0 ) ( 1 5 6 ) 由此可见，问题( 1 4 ) 与( 1 5 ) 的研究有密切内在联系。 直接基于非线性刚性n d d e s 问题的数值稳定性研究始于2 0 0 0 年a b e l l e n 等人( 参见【2 6 】) 的工作，他们研究了具有特殊形式的非 线性n d d e s j ( t ) = ( t ，f ( t ) ，g o ，y 0 一r ( t ) ) ，o r ( t ) ) ) ) ，t t o iy(t)=咖(t)，tsto ( 1 6 口) ( 1 6 6 ) 的理论解和数值解的稳定性和渐近稳定性，这里 ，g ：i t o ，+ 。) c c “- c 是给定的连续映射，毋( t ) ：( 一。，t o 呻c 是连续可微 映射，而r ( t ) 是连续时滞函数满足 ( h 1 )r ( t ) t o 0 ，v t t o ( h 2 ) a ( f ) = t t ( t ) 是递增的 2 0 0 2 年，张诚坚 2 7 】讨论了形如 y ( t ) 一n y ( t r ) = ( t ，g ( t ) ，y ( t r ) ) 的n d d e s 的理论解和数值解的稳定性和渐近稳定性，之后，黄枝姣 和张诚坚 2 8 还讨论了求解此方程单支方法的稳定性。r r m i g f i o 8 和l t o r e l l i 2 9 研究了被y l i u ( 参见 1 0 ) 称为i m p l i c i t 中立型延迟微 分方程的理论解和数值解的稳定性和渐近稳定性其形式为： l 白( t ) 一g ( t ，y ( t r ( t ) ) ) ) = 厶( t ，f ( ，”( t 一 - ( t ) ) ) ，t t o ，( 1 7 a ) 【f ( 站= ( t ) ，t s t o ，( 1 7 b ) 其中，2 ： t o ，+ o o ) c c _ c ，g ： t o ，+ o o ) c _ c ，咖( t ) ： ( 一o o ，t o - c 。v 是给定的连续映射，而r ( t ) 是连续时滞函数满足旧1 ) 以上作者针对各自提出的不同特殊类型的n d d e s ，均分别获得了若 干关于理论解和数值解的稳定性结果。 设( ，) 为空间c 。中的内积，”| | 是由该内积导出的范数。本 文考虑的是具有如下一般形式的中立型延迟微分方程： ， jy 7 ( t ) = f ( t ，可( t ) ，y ( t 一丁( t ) ) ，可7 ( t 一丁0 ) ) ) ，t t o ，( 1 8 a ) i3 ，( t ) = ( t ) ，t t o ，( 1 8 b ) 这里，：i t o ，+ c o ) xc ”xc ”xc _ c ”是连续映射，且满足下列条 件： ， j 记9 1 一y 2 ，f ( t ，y l ，u ，口) 一f ( t ，9 2 ， ) ) r ( t ) l l y l 一2 1 1 2 ， v t t o ，y 1 ，y 2 ，u c ”，( 1 9 ) i i ，( t ，y ，u l ， ) 一f ( t ，y ，2 ， ) | | 卢( t ) l l u l 一u 2 l i ， v t t o ，y ，1 ，u 2 ，可c ，( 1 1 0 ) i i f ( t ，g ，“， ) 一f ( t ，y ，u ，v 2 ) i i 7 ( t ) l l u 一 2 m v t t o ，y ，u ，v l ，”2 c “( 1 1 1 ) l i h ( t ，y ，u 1 ， ，w ) 一h ( t ，y ，“2 ，v ， ) l | 口 ) | l u l u 2 i ， v t t o ，y ，u l ，札2 ，钉，彬c 。v ( 1 1 2 ) 其中r ( t ) ，卢( t ) ，7 ( t ) ，o ( t ) 是t 的连续函数， g ( t ：y ，u ，w ) ：= f ( t ，y ，u ，( 口( t ) ，“，v ，叫) ) 9 西( t ) ：( 一。o ，t o 】_ g 是给定的连续可微映射，而r ( t ) 是连续时滞函数 满足条件( h 1 ) ( n 2 ) a b e l l e n ，n g u g l i e l m i 和m z e n n a r o 2 6 所研究的( 1 6 ) 显然是( 1 8 ) 的特例若要求( 1 7 ) 中的( t ) 可导，g 和r ( t ) 也可导，则( 1 7 ) 可 写成( 1 8 ) 的形式，其中 匀 丹 f ( t ，g ，u ， ) = 厶o ，y ，u ) + - 杀o ( t ，“) + 云c ( t ，u ) ( 1 一r ( t ) ) u du u 当然，方程( 1 7 ) 与( 1 8 ) 并不等价，方程( 1 7 ) 的解可以不可导。如果 方程( 1 8 ) 中的，不依赖于矿0 一r ( t ) ) ，则( 1 8 ) 就变成了通常所说的 延迟微分方程( d d e s ) ，有关d d e s 的文献很多，例如可参见 8 1 1 0 1 】。 本文内容安排如下t 我们在第二章明确给出了初值问题( 1 8 ) 的 解的定义，并在此基础上简单讨论了理论解的存在唯一性和间断点 分布。在第三章我们对( 1 8 ) 的理论解的稳定性进行了分析，获得了 其理论解稳定和渐近稳定的若干充分条件，非线性延迟微分方程和 线性中立型延迟微分方程( 1 3 ) 作为非线性n d d e s ( 1 8 ) 的特例，我们 所获得的结果与t o r e l l i 8 1 】及a b e l l e n ，n g u g l i e l m i 和m z e n n a r o 2 6 2 3 】 中的结果相一致。在第四章，我们讨论了用r u n g e - k u t t a 方法求解方 程( 1 8 ) 时其数值解的稳定性为此，引入了连续r u n g e - k u t t a 方法的 g l w 一稳定性概念，并证明了g l w 一稳定的方法能够使数值解保 持理论解所具有的收缩性。为了得到g l w 一稳定的方法，我们引入 了b r 稳定性概念，并由此发现带有线性插值的隐式e u l e r 方法和 2 一级l o b a t t oi i i c 方法是g l w 一稳定的，从而其数值解是收缩的。同 时我们也证明了当理论解满足本文给出的渐近稳定充分条件，用上 述两类方法所得到的数值解也是渐近稳定的。在第五章，我们用线 性口方法，隐式e u l e r 方法，2 一级l o b a t t oi i i c 方法做了数值试验， 测试结果进一步证实了本文所获理论结果的正确性。以上研究为数 值求解一般形式的非线性刚性n d d e s 建立了一个初步的稳定性理 论基础，同时为该领域的进一步研究提供了一个可行的途径，对数 值求解非线性n d d e s 具有重要的指导意义。 1 0 第麓章理论辫豹存在、唯一梭及箕闻断豢分糍 求解( 1 8 ) 的方法是经典的逐步方法，即谯步将其化为常微分方 程进行求解( 参见f 2 5 ，3 3 - 3 6 ) 。由予条件( h 1 ) ( h 2 ) ，使得存在一个可 数豹患疑e ：= 豫 ，洪是岛= t o ，毒冲；一f 躲+ 1 ) = 轰或鑫+ l 一。 事实上，由于条件( h t ) ( h 2 ) ，可对矗= t o 分两种情况进行讨论； 情形i ：v t t o ，十。) 有t r ( t ) 墨t o ，则n 一+ o c 情形i i ：i 一个e 使褥一r ( ) 氮设e ：= 蚓 一r ( = 岛) ，令 鑫= s u p e ，鬟程壶予f 嚣1 ) ( 嚣2 ) l 岛。 再对f ，作回榉的讨论，从而产生点列e 。这样我们可以定义区 间如一：【t o r ，剐和厶= ：咄副，n 1 ，并通过区间厶来分析 f 1 8 ) 囊鹅戆性凌。铡热：在嚣麓轰土，方程霹亿势 l 矿( t ) = ，( ，g ( t ) ，毋( t r ( t ) ) ，0 f ( t ) ) ) ，t 仨 ， ly ( t o ) = ( t o ) ，t = t o ( 2 1 0 ) ( 2 1 6 ) 楚题1 8 ) 在五主懿薅霹臻逶过壤解f 2 1 ) 寒稼爨。在磊，嚣= 2 ，3 ， 上，( 1 8 ) 同样可化为常微分方缓，只不过这时不是用初始函数咖， 而是把准厶一。上求得的解作为初始函数，这一步骤可以一直进行下 去，直猁求出在整个嚣阊+ 。) 上的4 勰”，这就是所谓的逐步方 法。 从上面的求解过程可以看出，这样的“解”并不一定在整个区 间上满足方程( 1 8 a ) 的，事实上 矿( 苟= ，( ，( ) ，垂露一r ( t ) ) ，移p r ( t ) ) ) ， t 磊 之积分要求满足条件口( t o ) = 咖( t o ) ，但未必有( t o + 0 ) = ( t o 一0 ) ，因 此在勤处( 习的导数遗掌是闻断螅，班后每推进一步，农溃丞数， 孛有这种不连续酶y 存在，教携不靛保证“耦”# ( ) 在巍有连续导 数，依此类推，“解”口( t ) 在点剃e + 。 上都保持t o 处的光滑性 而不增加光滑性。黢于此分析，我们给出初饿问题的解的定义： 宠义2 1著定义在( 一o o ，+ o 。) 上的一个连续函数( 玲，满足 t ) v # 一o 。，亡o ，掣吉) = 垂f 亡) ， i i ) v t t o ，+ o 。) e ，( t ) ：f ( t ，( t ) ，y ( t r 0 ) ) ，g ( 一r ( t ) ) ) ， 旌砖v t 嚣、 + 。 ，扩# 0 ) = 歹( 如萄，y ( t r ( ) ，9 7 器一f 移+ o ) ) ， 妇) v t e t o ，+ 。) ，矿0 0 ) m f ( t ，( t ) ，y ( t r ( t ) ) ，y t 0 一r ( t ) 一o ) ) ， 则称g ( 妁是初值阍题( 1 j 8 ) 的解 这耪意义下懿髂实际上只燕足孚娃娃潇怼簸努方鑫( 1 8 a ) 。在 许多瑟随微分方程专著( 侈g 见 2 5 ，3 3 - 3 6 】) 中有下述关于解的存在唯一 性和光滑性结果： 宠瑷2 1对( 1 8 ) ，著，：，+ 。) x c c _ c 潢是 秘，关手t 连续， i i ) ，关于第：、兰、四变元l i p s c h i t z 连续， 则对任意的初始条件可( 一毋( t ) ，t t o ，西( t ) ：( 一。，t o 耐c 连续 酉徽，遂续嚣砉黪藩鼓r 国凑是滞1 ) 窘2 ) ，方程( 1 s a ) 在- - ( x ) ，+ 。) 上 有唯一解p ( 站。既外，若 ( o 一0 ) = f ( t o ，曲( t o ) ，( t o r ( 如) ) ，( t o r ( 如) ) )( 6 ) ， 粪l 解秽( 在( 一o 。，+ 。) 上连续霹徽麓娃娃漆惩徽分方程( 1 8 8 ) - 若( 2 2 ) 不成藏，则解在e + 。) 上有第一类间断点 证明简要诞髓如下：应用逐步方法，槎区间五，方程( = f ( t ，蓄 t ) ，u ( t r 翊，一，( 1 ) ) ) 恁势鬻微分方撩f 留) = j ( t ，( 砖，雄一 r ( ) ，0 一f ( t ) ) ) ，相应的视始蒸件为y ( t o ) 一庐( t o ) ，由跫知的常镦 分方稷解的存在唯一性定理( 倒见李【1 0 2 ) ，可以在 上得到问题 ( 1 8 a ) 媳唯一解f ，丽且在( 岛点) 上连续可微，再在区瀚矗+ l ，n = 1 ，2 ，上，方程1 8 8 ) 虿类藏讫努雾徽努方穰，裰应静饕始条律势 v ( 靠) 一口( 矗) ，n = 1 ，2 ，同样由常微分方程鹪的存在唯一性定理，可 得到问题( 1 8 ) 在上矗十1 ，n = 1 ，2 ，的唯一解，由此可知，问题( 1 8 ) 在( 一o 。，+ ) 上的勰存在、唯一，并且在送阉( 矗，& + ：) ，他一0 ，1 ，2 ， 主连续霹檄 对解的光滑性诞阮可用数学归纳法，农t = 矗，即n 一0 时，若 式( 2 2 ) 成立，则庐( 岛一0 ) = y l 嗡十0 ) ，所以( t ) 在t = 岛处连续； 若( 2 2 ) 不成立，烈涵一0 ) y t 涵+ 0 ) 鄂g ) 在扛岛处有第一类 阊断点，结论成立设n = j 时，绪论成立，即若式( 2 2 ) 成立，剥 矿( t ) 在t = 白处连续；若( 2 2 ) 不成立，则矿( t ) 在扛白处有第一类 闫断点，现考虑当n j + 1 对，江蠡+ 1 矿( ) 一，( t ，筝( t ) ，0 t c t ) ) ，f 0 一r ( t ) ) ) 若式( 2 2 ) 成立，即矿( d 在t = 白处连续，则瀚，连续，从丽( t ) 在t = 飘t 签也连续；若2 , 2 ) 不成立，鄹矿国在t = 楚毒第一类 间断点，则知矿( 茚程t = 白+ ，巯也有第一类间断点，缩论成立 1 3 第三章理论解稳定性分析 为了讨论问题( 1 8 ) 的稳定性，我们弓l 入与之相应的扰动问题 iz ( t ) = ，0 ，z ( t ) ，z 一r ( t ) ) ，名7 一r ( t ) ) ) ，t t o ，( 3 1 a ) lz ( t ) = 妒( t ) ， t t o ， ( 3 1 b ) 这里妒( t ) ：( 一o o ，t 0 1 _ + g 连续可微我们恒设( 1 8 ) 和( 3 1 ) 分别有唯 一真解g ( t ) 和z ( t ) 。首先引入稳定性的定义( 可参见 3 3 - 3 6 1 ) 定义3 1方程( 1 8 n ) 的解称为稳定的，如果对任意给定的如和 任意给定的两个初始函数( t ) ，妒( t ) ，庐，妒：( 一o o ，t o 】_ + g 连续可微， 存在常数6 0 ，e 0 ，当 i l ( t ) 一妒( t ) l i d ，i l 0 ) 一妒( t ) l l 0 ，当 i i 咖( t ) 一妒( t ) | | 0 ，b 1 ，使得由不等式 | | ) 一妒( t ) | | 6 ，l | 曲( t ) 一妒( t ) i l 亡幸 t = t + ( 3 2 ) ( 3 2 6 ) 其中n ( o ，r ( t ) 关于t 连续，则当r ( t ) o ，v t r 时，有 耶) s 即+ t ) y 舻) 4 - ( 1 一即+ 朋) 螂s u p 。端 ( 3 3 ) 这里e ( 圯f ) = e e 8 ( 。冲s1 证明类似的引理在许多书及文章里【倒2 4 ，1 0 3 ，1 0 4 可见到， 所以其证明也很类似，故只简要证明如下： 在y 也) 冗( t ) y ( t ) + r ( 站的两端同乘以e - a ( t ) ，这里a ( t ) = ，善r ( s ) d s 得 e - a ( 1 y 他) 一e - a ( 2 ) r ( t ) y ( t ) e - a ( o r ( t ) 从t + 到t 积分上式得 8 一 ( t ) y ( t ) 一e a ( p ) y ( 矿) ，e a ( s ) 1 1 ( s ) 如 坤) “哪) r e “( ) ( 叫3 ) ) 啬浠d ? “妒) y ( 即+ e ( e - a ( t ) _ e - a ( t * ) ) 。垛。兰 由此立得 y 踯。国耶) + ( 1 一球+ ，瑚。s u 。p 兰 定理3 1若( 1 8 ) 和( 3 1 ) 满足( 1 9 ) 一( 1 1 2 ) 及兄( t ) o ，v t 之t o ，则 当 盟趔罂型 1 ， ( 3 4 ) 一r f 一1 r l l g ( t ) 一z ( t ) | | m a x l l 咖( t o ) 一妒( t o ) l l ，c ，( 3 5 ) 这里一抓s u 。p ，剑继止幽驾掣幽巡 t o j s f i一p j ( 3 6 ) ( 3 5 ) 式表征着微分方程的收缩性和稳定性 证明由 1 0 2 ，引理4 6 3 ，命题4 7 ，4 】有 岳ily(t)，z-(tz)，(tg)(1al(t)r)，(t)(1。ly(t)-一z(t)ll+llf(t y lf ( t ，：( t ) ，2 ( a 。) ) ，( 。( t ) ) ) 沁( 3 7 ) ，z ( t ) ，g ( a ( t ) ) ，( o ) ) ) 一，z ( t ) ，名( a 0 ) ) ，( 。( t ) ) ) 沁 、。 令l i ，( t ，z ( t ) ，口( 0 ) ) ，矿( a ( t ) ) ) 一( t ，z ( t ) ，z ( 口( t ) ) ，z ( d ( t ) ) ) 1 1 = r ( t ) ，再由弓l 理1 ，就有 帅) 叫t ) 1 1 - 即，t ) 1 1 刊r ) 1 1 + ( 1 一即，啪噬s u p 。端( 3 8 ) 现在，我们在区间仉) 上一步一步地分析( 1 8 ) 和( 3 1 ) 的解。考虑 区间厶= ：“f 。】，n 1 ，令w ( t ) = g ( t ) 一z ( t ) ，垂( t ) = 且- r 生( t ) ，则v t 厶 有 i i w ( t ) 1 1 - e ( 铀，t ) l l w ( 5 。一- ) 1 1 十( 1 一e ( “，纠铀s u 弼p 。端( 3 9 ) 1 r 而f ( 矗- l ，亡) ：e 囊一。r ( 。1 ，立得 当n = 1 时 l i w ( t ) l ism 8 x l l w ( 矗一1 ) 1 1 ，s u p 忙( s ) 协( 3 1 0 ) 如一1 $ t f ( s ) = l i f ( 8 ，z ( s ) ，( n ( s ) ) ，矿( a ( s ) ) ) 一，( s ，o ( s ) ，。( o ( s ) ) ，一( o ( s ) ) ) = i i f ( 8 ，2 0 ) ，g ( a ( s ) ) ，( n 0 ) ) ) 一，( s ，= ( s ) ，z ( 0 0 ) ) ，矿( 0 0 ) ) ) + ，( s ，z ( s ) ，z ( 口( s ) ) ，掣( o ( s ) ) ) 一，( s ，。( s ) ，2 ( 血( 3 ) ) ，( n ( s ) ) ) | l s 卢( s ) l l ( 。( s ) ) 一z ( a ( s ) ) i + 7 ( s ) l i ( a ( s ) ) 一z ( a ( s ) ) m( 3 1 1 ) 由于t 1 1 时8 j 1 ，口( s ) o ，故有 一s u p ，( s ) = 嚣舅端 sup，。剑幽业业剑-梨“型鲤幽(3_12)ts) t o 。s e l 立得 1 1 w ( t ) l ism a x l i e ( t 0 ) 一妒( t o ) t l ，k ) ，v t ( 3 1 3 ) 当n 2 时 r ( s ) = i i f ( s ，z ( s ) ，f ( a ( s ) ) ，f ( o ( 5 ) ) ) 一f ( s ，z ( s ) ，z ( o ( s ) ) ，一( 。( s ) ) ) i i = i i f ( 8 ，z ( s ) ，g ( a ( s ) ) ，( a ( s ) ，”( 口( s ) ) ，( a ( s ) 一r ( a ( s ) ) ) ，( o ( s ) 一r ( a ( s ) ) ) ) ) - - f ( a ，z ( s ) ，z ( a ( s ) ) ，( a ( s ) ，石( 口( s ) ) ，z ( o ( s ) 一丁( 口( s ) ) ) ，7 i ( 口( s ) 一r ( 血( s ) ) ) ) ) | | = i l ，( s ，z ( s ) ，掣( 。( s ) ) ，( a ( s ) ，可( n ( 3 ) ) ，f ( n ( s ) 一下( o ( s ) ) ) ，矿( a ( s ) 一丁( n ( s ) ) ) ) ) - f ( s ，z ( s ) ，z ( a ( s ) ) ，( a ( s ) ，z ( a ( s ) ) ，( 口( s ) 一r ( o ( s ) ) ) ，g ( a 0 ) 一r ( o ( s ) ) ) ) ) + ，( 5 ，z ( s ) ，z ( a ( s ) ) ，( 口( s ) ，彳( a ( s ) ) ，( o ( s ) 一丁( o ( s ) ) ) ，可( a ( s ) 一r ( a ( s ) ) ) ) ) - f ( s ，z 扣) ，z ( a ( s ) ) ，( a ( s ) ，。( 盘( s ) ) ，名( 口( s ) 一下( o ( s ) ) ) ，( a ( s ) 一下( a ( s ) ) ) ) ) | | a ( s ) ( o ( s ) ) 一z ( 。( s ) ) l i + ，y ( 8 ) 0 ，( n 0 ) ，名( n ( 8 ) ) ，可( 0 0 ) 一丁( a ( s ) ) ) ，矿( 口( s ) 一r ( a ( s ) ) ) ) 一，( ( s ) ，名( d ( s ) ) ，名( a ( s ) r ( 口( s ) ) ) ，z ( 。( s ) 一下( 血( s ) ) ) ) 1 = 盯( s ) f 卜矿( ( 3 ) ) i f + 7 ( s ) r ( a ( s ) ) 1 7 从而 川= 嵩曼型型业等竽蜷 sm a x ( 1 1 w ( a ( s ) ) l t ，| i 西( n ( s ) ) 1 1 ) ， ( 3 1 4 ) 现对任意向量”( s ) 和任意整数f o ，令v = s u p m s ) 忆予是由 ( 3 1 4 ) 便有 i 1 1 垂1 1 1 。m a x l l l w i i i 。“1 1 1 圣1 一， ， n 2 ， ( 3 1 5 ) 对任意的n 1 ，定义“= m a x ( 1 l l w i i i 。，1 1 1 圣1 1 1 。 ，面式( 3 1 0 ) 意昧着 l l l w l l l 。m a x l l l w l l l 。1 ，i i 壬i i i 。- ) ， 他1 ( 3 1 6 ) 由( 3 1 5 ) 和( 3 1 6 ) 立得“ n 1 ， 及 i i i w i i i 。s 丌 对于n = 1 ，由( 3 1 2 ) 和( 3 1 3 ) 有l l l 西l l l t 冬一及l l l w l l l - sm 戕钏毋( t o ) 一 妒( t o ) 玑* ) ，从而易得 7 1 1sm a x | | 毋( t o ) 一妒( t o ) l l ，片) 这样得到t o ，有i l y ( t ) 一z ( t ) i i m a ) 【圳( t o ) 一妒( t 。) m 一) 注3 1 当f 不依赖于g 也一r ( t ) ) 时，即( 1 8 ) 为非线性延迟微分 方程( d d e s ) ，定理3 1 的条件减弱为蛊1 ，r ( t ) ， 注意到此时o ( t ) = 卢( t ) ，便有 帅) 一z ( t ) l l 磷) 一审( 。) 1 1 。 这与t o r e l l i 8 1 及匡蛟勋【8 4 中的结论相一致，说明我们的结果更具 有一般性。 注3 2 对于线性系统( 1 3 ) ，可以选择r c t ) = 卢陋( t ) 】，容易计算 7 ( 0 = f i i ( t ) l l ，盯( t ) = f i m ( t ) + n ( t ) l ( a ) 忆因此，得到了a b e l l e n ，n g u g l i e l m i 和m z e n n a r o 在 2 3 中的结果，即线性系统收缩的充分条件是p 陋( t ) l 0 且 避辨剑一镒群) 1 1 一p 【三( t ) _=1 p 【l ( t ) 1 “1 r 注3 3当f 不依赖于口0 一r ( t ) ) 时但满足条件( 1 9 ) 。( 1 1 2 ) ，若 型二掣 1 ，r ( t ) o ， 、 - - r ( t 1一7 、 剥 i l y ( t ) 训临酬小妒( t o ) l l ，t o 舞删掣铲) 注3 4 从信息网络中的无损传输线路方程【3 3 3 8 1 ：吐( t ) 一k 6 ( t 一 ；) = ，( u ( t ) ，u c t 一；) ) 抽象出一类方程 吐( t ) 一j r ( t ) 也0 一r ) = ，( u ( t ) ， ( t r ) ) ，( 3 1 7 ) 其中q ( t ) = t r 满足( h 1 ) ( h 2 ) ，因此当，满足以下条件： r e ( u l u 2 ，( “l ，口) 一f ( u 2 ，口) ) r ( t ) i n l 一2 1 1 2 ，v 0 ，u l ，u 2 ， c ， f f ，扣，口1 ) 一，m ，地) f s ( t ) h n 一地 f ，v t20 ，让，口1 ，吨g ， l i ，( 钍，训1 ) 一，( 钍，伽：) + k ( t ) 【，( 螂1 ，口) 一，( 2 ， ) 】l i 口( t ) i l l 一叫2 i i ， 0 ，“，甜1 ，f z , 2 ， e ， 且r ( t ) o ，韭圳罂垛i 墨妊擞1 ，则( 3 1 7 ) 稳定若还有s m u p 。k ( t ) e s u p 口( t ) 0 - ，s u p 矗( t ) s 且 0 则嚣s 1 一 耳j 时( 3 1 7 ) 稳定。 注3 5 从上面的证明可看出条件( 1 1 0 ) 实际上只要在区间。 上满足即可，并且容易得到以下定理： 1 9 定理3 2若( 1 8 ) 和( 3 1 ) 满足( 1 9 ) ( 1 1 1 ) ( i 1 2 ) 及r ( t ) 0 则当 堂) 二! 塑皇! ! 蚴 1 - r ( t ) 一 时，( 1 8 ) 和( 3 1 ) 的解满足 l l y c t ) 一z ( t ) l i m 觚 l l 毋( t o ) 一妒( t o ) l l ， 如戮监盟幽必掣蒜醴逊幽) 如s o 乱 一1 u o j 若要求，对第二个变元也满足l i p s c h i t z 条件，即 i i i ( t ，l ，u ，口) 一f ( t ，y 2 ，“， ) isq c t ) l l y l 一抛m v 亡t o ，y l ，耽，让，u c ，( 3 1 8 ) 则类似于定理3 1 的证明，我们可得到下述定理( 可参见【6 6 】) ： 定理3 3若( 1 8 ) 和( 3 1 ) 满足( 1 9 ) 一( l 1 1 ) 及( 3 i s ) ，则当r ( t ) o ， 业2 塑坐蚴二! 盟墨! 坐1 2 1 - r ( t ) 一 时，方程( 1 8 ) 和( 3 1 ) 的解满足( 3 5 ) ( 3 6 ) 。 定理3 4 若( 1 9 ) 一( 1 1 2 ) 成立，及v t t o 有型甓掣= r ( t ) s 1 ，r ( t ) 岛 0 ， 蒜纠1 _ 巾) ) 卧“， ( 3 1 9 ) 则对于任意的初始函数( t ) ，妒( t ) 以及满足( h 1 ) ( h 2 ) 和( h 3 ) 的任意 时滞函数r ( t ) ， ( 日3 ) 墨恐o ( t ) 2 + o 。， 有 。1 + i m 。i l y ( t ) 一z ( 酬= 0 ( 3 2 0 ) 上式表征着( 1 8 ) 的渐近稳定性。 2 0 其证明完全类似于a b e l l e n ，n g u g l m l m i 和m z e n n a r o 在 2 6 】中定 理5 的证明 注3 , 6若，不依赖于矿0 一r ( t ) ) ，则( 3 1 9 ) 成立的条件是 n ( t ) 风 o ，翁 1 注3 7若( 1 8 ) 和( 3 1 ) 满足