（概率论与数理统计专业论文）关于ewma反馈控制的几个问题.pdf

摘要 指数妻g 投移动乎均( e w m a ) 反缓控割是基于e w m a 统计器的控捌算法，窿将统计 过程控制( s p c ) 和工程过秘控制( e p e a p g ) 两种过程挠眺技术相结合，广泛应厢于半 导体生产道程。带有固定折扣因子的e w m a 控制规划在一定条件下可以保持= 擞产过程 最期的平稳住，毽遴常这一溺节过穰需要稿辩较多抵次使过程输出接近鍪标值，这襻在 最初批次中的过程输出的偏凝会较大，很多产品将不符合规格簧求对千小批爨生产， 吾麓姿生产溺赣绩袈跨过程祷窭还漫蠢狡簸刭銎栝毽，这会产慧严重静蓐栗。譬s e n ge a l ( 2 0 0 3 ) 掇出了引入变动折扣因子的想法，其结论对于实际生产具有十分重要的辩义为 了簿低可貔较裹懿题王事，挺高牧敛逮囊，弼辩藏爨洙知参数趣初始镁诗对过瑕攘出变 擞的影响，基于前人的想法及研究成荣，本文在无漂移的单输入单输出祭统( s 1 8 0 ) 中， b 入变动撕拓露子，并提出最优化的准则，对芎：各种拨动项模掇假定绘予充分讨论，绘 出扰动硬淹i m a f l ，1 ) 时最优折扣因子的表达式，以及箕它抗莉顷情况下数值最傀解。瓣 时，为了简化计算，讨论扰动项为m a ( 1 ) 时效值最优辫的近似公式 由于聪w m a 控髓方法包含三个帮分；道程虢入耱窭模蚕、覆灞穰麓释褪寝懿反谈 撩制规划，许多关予e w m a 控制舣划的平稳条伴、性能和最优折扣因子的研究都要以 鬏潮模蝥势基礁，农实嚣生产孛，建立囊爨摸鬻是攫撂一组亲鑫过程孛壤入耱毒变量总 体的随机榉率，因此在验诋e w m a 控制规划平稳性条件时，样本容量和输入输出变量 鲤耀关程发起到了熬要作难。对于s 撼0 系统，本文主舞解决以下两个翘趣：一魁在可以 陵定折扣闲子取值范匿时，给出最小样本骞薰的公式；二是当我们所能抽取的样本容量 目o 玛( n 为计算得到的最小样本容量) ，应该如何限定折扣因子的范围 关键谰：e w m a 反馈控制，s l s o 系统，变动折扣因子，平稳域。样本容薰 a 辩s t r a c t t h ee x p o n e m i a n yw e 追h t e dr n o v i h ga 僧r a g e ( e w m a ) f e e d b a c kc o n t r o i l e ri sap r o c e s s a l g o r i t h mb 8 s e do nt h ee w m as t a t i s t i cw h i c hi n t e g r a t 抟a n d m b i n e se 沁s t r 鼬菪王l so f s t a t i 8 t i c a lp r o c e s sc o n t r 。l ( s p e ) a n da u t o m a t i c e n 百n e e r i n gp r o c e s 8c o n t r 0 1 ( a p c e p c ) t h e s ec o 永r 蘸t e 盘n i q 毽e sh 揪b e e 珏鑫p p 嚣e dt o 瑙鑫藏ys e 毽i n d 硅e t 甜m 8 矗垃蠡档娃r i 珏gp o e e s s e s a 1 t h o u 曲t h ee w m ac o n t r o l l e r 州t h 扭s m a l lf b c e dd i s c o u n tf a c t o rc a ng r a n t e ea1 0 n 争 t e r 搬s 鑫巍珏锣( 珏艇档勉 每r e g 啦8 r n 文# i o n s ) ，拽u s u 8 珏y e q u i r e sa 越o d e r 8 # e l yl r g e 矬勰一 b e ro fm n st ob r i n gt h eo u t p u to fap r o c e s 8t oi t st a r g e t t h eo u t p u td e v i a t i o n sa r eu s u a l i y v e r yl a r g e 撖池e 盆r s tf e wr u n s 趣n dt h eo u t p 戚m a yb eo u to fp r o c e s ss p e c 嫩c 如i o n s ，t h i s i si m p r a c t i c 越f o rp r o c e 豁研t hs m & b 雠c h e s8 st h ep r o c e 裙o u t p u tp o 韶i b l yd o e sn o tc o n - 、嗽g et oi t st a r g e tw h e nt h ep r o d u c t i o ni s 矗i l i s h e d t s e n ge ta l ( 2 0 0 3 ) p r o p 0 8 e da 弛r i a b l e d 珏e o u 懿f 8 c t o rt ot 黼醚e 瞧【ep b k 礅磊盎d 诧s 黼醢琵s 毡姆p o 诧蕊l a 每疆s e 鲰lt 。p r 8 e t i e 薤 m 8 n u 王a c t u r e s 。i no r d e rt or e d t l c eap 0 8 s i b l yh i g hr e w o r kr a t ea n db r i gt h ep r o c e s so u t p 毽c l o s e ft o 主钰t 8 摹g e a s8 致。瞎p 曝s b l e ，嘴d 8 e 毽s s 强e 嘲a b 圭ed i 8 e 。繇f l c t o fi bs s 0 s w t e i 璐o nt h eb a s i so fp r e v i o u 8w o r k t h ep r e d e t e r m 嫩e dc m e r i o nw ee h o o s ei st o 最n d t h eo p 蜓h 越v a r i 8 璩ed 妇。强# 妇戚o rb ym 涵墨蹴i n gt h e 协眭m e 8 ns q u a r ee r r o r ( m s e ) w i t h i nt h e 船s t r u 描w bd e r i v ea ne x p h c i tf o r mf 。rt h eo p t i m 越w 嘶a b l ed i s c o u n tf a c t o ru n d e r 址| es i t u a t i o no fi m a ( 1 ，1 ) p r o c 铅8d j 8 t 眦b a n c e 趣d dm 埘艟矗c a lo p 衄m a ls 0 1 u t i o 璐 f o ro 乇h e rg 蝴e r 越p e e 龉d i 3 t w b 8 丑c e s m o f e o v e r ，h e 琳斌i e 至sp r o p o s e 畦t os 妇p l i 移磕e c o m p u t 砒i o no f 训如l ed i s c o u n tf a c t o rw h e nt h ep r o o e 8 8d 斌u r b 蛐c ef 0 1 l a w sm a ( 1 ) a st k 嚣w m 轰淑曲8 农n r 。l 嘲l e m ee o 鹣t 斌s t 疆p r 。c e s s ，t kp 嬲i e t e d 黻o d e l ， a n dt h ef e e d b a c kc o n t r o ls c h e m e ，a ut h e8 t u d yo ft h e1 0 n 分t e r ms t a b i l i t y n d i t i o n s ， p 巷r f o 瓢a 基e e sa 醴t 酶o p 妇越d 主s c 。珏眦f 辩t 越氍t h ee w ! 蛾a 是e d b a c ke o 砒r o l s c h e 擞ea r e o b n e do n l yw h 锄七h ep r e 出c t e dm o d e li sp r 酬hp r a c t i c e ，8 i n c et h ep r e d i c t e dm o d e l i 8e 8 t a b l 渤e db yar 聃d o m8 a m p l e 幻m h ep o p 曲抛o n i - 0 粼i a b l e s ，啦es t r e n 对ho f t h ei i n e a rr e l 8 t i o n 8 h 砸b e 乇w e e ni - ow i a b l 鹤p l 阿苫8 ni m p o r 七8 n tr o l ei nd e t e r m i n gt h e v 越i d a t i o no f 让e s es 她t y n d i o n s f 0 rs i s os y 8 t e 黼，b yc o n t l l i n gag u a r a n t e e d p r o b 8 b i l i 皂y t h es 抽d yd e r i v e s 如ef o r 礅8f 。r 麟斑娜鼬es 8 m p l e 茧z er e 唾u i r 蕊t oe o 昏 8 t r u c t 也ep r e d i c e dm o d e li ft h e d u eo fd i s c o u n tf a c t o r 8c a nb el i m i t e dw i 地s o m ep r i o r i n 如f m 啦i o 致强d 粥翻e ( 难艇幽噩b o wt oe 掰撼lt 氧ed 泌e 糖瑾蠡砖。碍搓魄es 搬p i e 舞2 e w ec a nc h 0 0 8 ei ss m “l e rt h a n 竹栅 x e yw 0 薹t d s ；e 、焉戮a 细醵淑砖r o i 薹娌，s 嚣o 露髓e 礅，v 蟹i 越b e 出s c o u 斌勤e t o r ，f e a s i b l er e 舀o n ，s a m p l es i z e 学位论文狻锲懂声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的攒肆下进行的研究工作及取得的研究成果搬 我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写过的研 究成果对本文的研究做出重要贡献的个人和熊体。均已在文中作了眠确说明并表示谢 崽。 撵者躲寺讶臌洳多。r ，万 学位论文授权使用声明 零入笼垒了绥华东师范大学有美豫舞、旋嬲学位论交的裁定，学校有权保留学位谂 文黪波嚣家圭管帮起或其摇定考毛梅送囊论文瓣藏擎凝穰纸凑数。毒投将学经论文曩予臻 豢嚣嚣戆戆步量复麓势竞诲论文送入学校舞辔镶被誊鬻。骞较将学镶论文懿麦褰缝入蠢 焚数据痒进行检索有毂将学位论文鳇耪 簌裙攘蘩汇编出叛。保密的学位论文在解密菇 遗掰举规定。 日期 学能论文作者签名 涧6 工蕊 寸硼 日期 导师签名 第一章绪论 l 。le w m a 反馈控制简介 遗程撩稳f 技术通常分为统计过程控铡( s p e ) 和工程过程控制( e p c a p q ，它# 穗! 甩于不蔺的工照过程，鲔：零部件童产年拜过纛生产。这两种控籍技术懿髫标帮燕通避控 制过稷使之戮最小瓣渡动这弱基标壤，傻是糖重点却烙弯不露。e p e 推费翦镄或者反 馈控制系统，基于测量壤褒溯过程掺入鲍变化，使过臻箍出接避爱摭蠖，薅s p c 主要使 恩统计过稷控割图控制过程辕出，检誊失控偿号，采用适擞持媳剔除异常因褰，但s p c 不涉及任何预测行为，接行s p c 的人常常会有这样的想法。由于生产过程的随机性，在 生产时实施控制行为可髓会增加更多的波动尽管如此，如果不考虑控锒f 行为，s p g 将 会失去减少过程输出波动的机会。 s p c 蹙对过程状态的一种期断，平稳或者不平稳实施s p e 通常包播绘制并解释 控嗣豳，如孰e 确彝 控制麓、e 冒s u m 控嬲疆等，这些控制瓣器簧攫定友浃产品特性 静麓溯亭嗣是来鑫一牵溪定概率分衣的骧抚榉本。舞荣过程呈现姥弹形态，也就是说过 程在统诗意义上是蹙控瓣，泼交过爨懿辏入交量会增热过程辕出的波动然藤，过程辕 出僮誉一定与假定巾的稳定；厅为翘一致，一照出现示繁信号，我们应该寻找并尽量剔除 引起波动的可釜明原因。通过合理的处理方法捌除引起波动的原因是一种理想的状态， 很多情况怒无法通过s p c 修正的如：过程带有较大的偶然波动，我们知道引起波动的 原因，但觅法剿除或者成本很高，就如原材料的波动灌很难降低的另一个俪予就楚过 穗本身带有微小的漂移，引起波动的原西可髓是梳器内舔孵组成，也可髓燕无法准确定 义的，在控制精施之前，过程茹定会出鬓某种程凌静漂移，导致示警嵇号懿出袭，嚣她 s p e 并不透震芎：带有缓怪漂移辫过纛摇果存在种戏本不熹鲍控趔爨为，郑么就苓必 等到避爨漂移程度粳大鞋采取。狳此之外，s 薹，e 劳不辘定应该聚取竹么撵的控制行 势。建逮转情援下，对过程深取反馈控熟可熊会显著降低过程的波动因此将反馈控制 与s p c 樱结合成为许多研究人员和实际工作人员的目标，在统计意义上进行控制，并用 予自动、可预测、蘸复的生产中解决复杂的、多元的问题这也是发展r 2 r ( r u n t or u n ) 控制系统的原因，它有效的使用反馈控制调控过程，同时利用广义s p e 莳诊断鞠髓检查 过程抗动顶的突然变动r 2 r 拄镪系统凳一维用于在线控制的算攘，像就慧在生产避程 申遘符控制，它通过谲整生产牵每一箍次酶避器浚入变量使过程输出变萋达爨残定戆基 栎穰，每次请楚是根据懿一撤次过程辏出篷每曩撵毽浆馕麓，苓暾筵薪模型王毪r 靛剡 技术鬻爱乎戳器( r e 勰i v ei 。ne 毛如i n g ) 、g m p d 撼m i c 氇| 越e c l a n i c 8 lp o 妇h i n g ) 等半黟俸 生产过程。 指数加投移动乎均( e x p o n e t i 8 l l yw e i g h t e dm o v i n ga 腮r a g e ：e w m a ) 反馈控制规划 第一章臻论华袁瘴楚犬学颈士论文 2 是一糖赏见的r 2 r 控制技术，主凄通过前面批次的数据调整下批次的输入变整，它的 控潮效聚主簧受到_ 拆招疆予的选撵，通常这秽技零碍以保持过程长期的乎稳性 l 。2 研究现状 考虑一除单鞲入单输出系统( s i s 0 ) ，i n g o l 船o n 和s 妣h s ( 1 9 9 3 ) 介绍了基予e w m a 统计爨黪控制箨法，9 单撵数鸯g 投移动平均发馈控剃规划( s e w m a ) ，研究了盼多输 入变麓筚输躐空童系统( 秃过程扰动璎) 惜援下静平稳性条件 。警去 2 ) ，势给 p p 蹬了璇数变量均蠢误差的表达掰：，掇据魄们的结论，8 e w m a 羧制系统可以邂步更新输 入交整德，扶嚣夔过程辖爨壅璧麴期望藩牧鼓刭星标傻。照是魏果生产遗稷簿在线性漂 移，过稷输出可能会偏离誉标穰辫了消除戴种偏蓑，b u t 融释s t e 妇i 疆9 瓣) 提出了 双指数加权移动平均( d 劂a ) 控锏系统， d e lc a s t i 珏0 ( 1 9 9 9 ) 主萋研究了遵程挠动须 为白噪声的s i s o 蔡统，其绪论袭明d 删a 反馈控髓规翔的效果取决于e w m a 等 式中鼹个撼翱双手的选拇，在讨论箕乎稳性条彳牛、系统偏差、系统波动后，弓f 入下列最 傻亿壤撬l ；在绘定投重7 l 条 睾下，求解m 挺b 【l i 越矿 ( 玢l + ( 1 ? 1 ) 襄 ，冀孛 ”i m m s = 谬( k ) 一明2 ，这个揍侧阉辩考虑到长期秘簸辫的效应，其最挽折扣嚣子燕通过 磊l 搜索方法鲶出的由于文申弓f 入袄态交阊来表示过程输躐变繁，鑫l l ：结论仅局限予过程 扰动顶为臼嗓声或者i m a ( 1 ，1 ) 的情况一般来说，选掇折扣西予应考虑进程扰动瑛髂 分枣。褰安上，r 2 r 过程控制通常应用予小批蟹生产，霞此在实施在缓反馈控制前，无 法精确知遂过程挽袭熬分拳。t 8 鳃g ，g h o u ，与l e e ( 2 0 0 2 a ) 在一般驹a r i m a ( p ，d ，q ) 下，攉餐毒避程辘簖盼分耨表遮袋，撩过程徐出变爨萼基耩壤翡缡嫠努薅为嚣隧槐部分 和随机部分，由j l ：襻萎断扣霹子的平稳佼区城( 萼f 瑗3 ，1 ) ，井在最，j 、他平均返工概率准 则下，月数蜮算法得到最优折扣瞄子t 8 e n ge ta l ( 2 0 0 2 ) 和d e lc a 8 t i l l o ( 2 0 0 2 ) 研究了在 多输入变爨多蟾堪变量情况时鬻用多茏攒数加权移动乎均( m e w m a ) 控制技沭的一系 剐阍怒对子小擞爨生产，a e n g 战趣( 2 3 ) 提出了g l 入变谚撼扣因子的想法，其研究 蔽暴对予实际生产裔卡分熏要秘潦义 我们瓤遘e w 酣a 控制规踅| 键盘兰个部分t 遗稷输入输高模毽、预溺橇蘩释褶应的反 馈控翘规划。诲多关于d e w m a 控翻l 规翘的平稳条棒、投麟和最优折扣姐予的研究都要以 臻测模灌为蒸础鲡；在s i s o 系统中$ e w m a 控刳溉鬟! | 辨乎爨性条伴是o 鼍 2 ， ” 口 其中声是j 的韧始估计饿而在实际生产中，建立瑟铡壤凄楚根据一缀来鑫进程率辖 入辘出蹩爨总俸豹骧矾撵本，因此平稳链条律并不是l o o 嚣够满足的。最然，程验证 嚣w 艇a 控制烧麓乎稳性条锌辩；撵攀褰爨秘牾入壤出凌爨瓣摆美程度起到了熏要 警曩。 对予革输入鼙输出系统与多赣入单输凄系统( 溯s o ) ，黔麟g 和融h 2 5 ) 绘毖了建立 第一章绪论 华末师范大学硕士论文 3 瓒测模型所需襻本容量的公式，恁祥本潋概率p 。保证了d e w x f a 控制篾嬲静渐远乎 稳性文中的结论说明了，s i s o 系统中样本替璧依赖于输入输出变量的栩荧系数，而 m i s 0 的样本容擞不仅依赖于输入输出变量的相关系数，还依赖于输入变擞之间的相关 缝槐 1 3 本文工作 尽譬带毒嚣定瓣籀嚣子魏嚣w 联a 控割魏黧在一定条停下辨缳持长期懿学穗性， 德潦常这一过稷德簧相对较多撤次才髓使过秣输出接近目标缎，这样在最裙批次中静过 程槠出的偏差会较大，很多产品将不符合规格凝求对于小拙量生产，可能当生产周期 绐柬时过程输出遥没有收敛到露标值，这会产舷严重的后果为了降低可熊较高的返工 搴，疆毒i 受敦逮发，舞跨减嚣泰建参数酶兹鲶馁诗黠建程辏鑫燮差蘸彩嚷，蕊于藏天数 想法及研究戚果我们考虑在s l s o 系统的s e w m a 控髓规戈! 中日f 入变动折扣飚子来解决 这个问题本文糖第二章主要论述了以下几音5 分内容t ( 1 ) 举倒说鼹发动折扣因予的优势， ( 2 j 在无漂移懿s i s 0 系统审，弓l 天变动辑糍嚣子，著疆逡簸甓佬豹穗粥。绘窭撬动 硕为i m a ( 1 ，1 ) 时疑优折扣因子的表达式，以及其它扰动项情爵下数值最优解 ( 3 ) 为了简化计算，讨论扰动项为m a ( 1 ) 时数值最优解的近似公式 对于s 玛0 系统中建立亵测模型静黪洋零缚量煎阍题，零文的第三章熏嚣考虑下面 嚣个方嚣内容； ( 1 ) 如果我们宥一定的先验倍患。可预先缩，j 、折扣因子的取值范围，为“r 以概率p 4 保诞d e 、m a 控制系统的渐近平穗性，至少成抽取多少样本建直预测模型，并将结论推 广戮i s 0 系统孛。 ( 2 ) 衢若实际燕产串，播襻过程赞焉禳裔，凌翁所麓接敢辩样零容薰粕 。f n 一 为计算得到的最小样本容量) ，为以概率p 像涟平稳牲条件，在实施过程控制时应该如 何限定折扣因子婀范固。 本文第器章漶遘个摸羧黪稠手滢骥扶建交羧溅模銎嚣蜜藏e w a f a 爱缓控裁熬过 程，潜时将前两翥静内容结合裁来，从模襁鳍聚可以看韪液艚数值算法蒸淡一些瓣疆具 有玎行性和实用悭最后，本文对相关研究进行展望，提出r 一些值得进一步研究的阿 题 第二章s e w m a 控制规划中变动折扣因子的研究 2 。王模型及阐题接述 在r 2 r 反馈控制中，设 k ) 为第t 批次生产的过程质量特性值( 输出值) ，甄一1 表 示第t 一1 撒产鼯童产结束后的过程输入变量，我们常带下面酶线性模型来擒述这种荦输 入单输出凌萤之阉的关系， k = a + p 茁c 一1 + 讯t 兰1 ，2 ， ( 2 i i ) 其中协 表示过裰扰动项，a 、p 是待估的朱知参数，d o 与声表示a 与芦的初始估计 值，这里常用a 、p 的最小二泉信计作为o o 、口在t = l 时，令$ o = ( r n o ) 口， 其中r 为过程输出的目标值 i n g o l 粥o n 和s a c h s ( 1 9 9 3 ) 挺商了下面的递推公式用于更 新未辩参数a 和输入变量龇，= l ，2 ， 啦掣u ( 龇一芦z t 1 ) + ( 1 一u ) 啦l 轳苄 ( 2 1 2 ) ( 2 1 ，3 ) 英孛0 。 li 舞为掇据瓣子。这曩我豹器要强调豹是：在麟m a 羧貔巍划中，确定 黟后，我# 】每次只更薪皋知参数理鞠辏入变豢，糖拙变量豹数学期望将收敛到熙标缀， 踺此我们仅考虑截距的调整月蹶，并进一步确定输入变量的取筐。 我们常常假设过程扰动项仇服从时阅序列模氆a m m a ( p ，d ，q ) ，其中最常见的种 是i m a ( 1 ，1 ) ，即嘞= 讯一1 + 屯一口l ， e 0 为自噪声序列，独立丽分布服从( o ，醒) 在o p 伊 2 条件下，可以诞明一联l 一以) 伊是使渐近坶方误蓑达耐最，、的激优 谣定折扣筒子( t s e n ge ta l ( 2 0 0 3 ) ) ，诧a 孛赣岗变鬣将渐遥收敛翅爵标馕然雨蒴采朱辩 参羲晦弼婚话讳篷不穗醣，胃嚣会导致较夫瓣德嫠口+ 筘p 一# o ) 馏一r ，辩量蘧常逐器 簧多次溺蘩方麓楚椽出篷嚣鳇到基椽毽。我靛可以逶过下藩这个模拟懿例子说明韧馕对 予磐霄鑫定揖扣因子鳇e w m a 控制搜划的影响。 捌2 + lt 设s e w m a 控捌规划中输入输出变慧横擞由( 2 1 1 ) 一( 2 1 3 ) 式定义，其中扰 动项撬一肼州l 1 ) ，回归参数的真值a = 2 ，口一2 5 ，( 挫，p ) 的l s e 为( 4 ，1 ) ，有 荧扰动项的参数为目，。0 6 ，= 0 5 ，过程输出的目标值r = 1 5 根据以上条件，我 们可以求出最优固定折扣因子蛐= p f l 一8 1 ) 卢= o 1 6 ，我们按照该折扣函子嚣新朱知 参数瘦和输入变蠢轨，模攒产生5 0 个撤次豹过程输瑶馕，典体过程输出静情况鲡逐l 中实缱所示我们可戮看瓯琛管薪率声静翻始倍讳不是程壤硫，遥效x | 截距懿蔓耩， 过程稚& 变量溉远牧敛爨基椽蕊，鬻对也发瑗在最初戆挞次孛瓠一r 锻太，攫枣霹糖使 掺出变萋怒出耀糖限。 4 第二掌妲；僦控翻髭划孛变动褥彝瓣子瓣疆囊 华衷簿莲大学硬圭论文 5 舞了捷嵩浚簸逮褒，终鬣莓藐较嵩憋邋王攀，弱簿壤弱寒螽参数静魂始德诗辩避程 麓浅变爨盼影嘲，我# 】考虑谂折扣麟子璇游闯淀动，在摄翘的批次孛使照较太约折扣园 予，此时采知参数。蠢下式嚣薪 哦= 岫( 觚一赫h 1 ) + ( 1 一地) 。h 1( 2 1 4 ) 其中 越一蛐+ 本例中我们假意蛐= o 1 6 ，d = 0 5 。凰l 中康线代表由变动折扣因子模拟产生的过程 输出的情况，荨采用阐定折翔舀子籀比，这种方法有效的降低了最初攒次中穑掇德与霹 糖 壤懿镳蓑，掇骞了牧载静速度。 这个简单的铡子说明了畿s e w m a 控制飙戈! f 中引入变动折扣因子可以降低蠛初批次 的避穰零蘸羞箧，簧鸯黧要懿懑宅爨然舞保褥遘缀懿妖赘乎稳经。筵蘸程多半导簿产菇辩 生产都燕复会鹃小擞爨生产，困她对予蜜鼯工撵者来说魏够瘴低娥韶批次德差魏控铡方 法十分羹要 零文旨在s 嚣w m a 茬铡规剜串g l 入交漤辑鞠藩予，在备释撬赣璎辩模型下，绘蠢簸 优变动折扣因子的理论解或数值解，为了简化计算，将进一步讨论最优解的近似情况 2 。2 最优变动折扣因予 鼹予经爨羧裁耀联，最蒸搴鹣一个要浆裁熬过纛黥够保持长期戆乎爨性，这里弱学 稳熟指一种渐嫒的性璇，即 墨跫e ( k ) 。t 熙矿8 r ( k ) 。 第二章硝u n f a 控制规划中变动折扣因子的研究华东师范大学硕士论文 6 它绦涯了过糕输出懿均值牧簸赘叠蠢镶，丽对方差是露隈熬。为了论述方蓰，我髓弓l 入 下列记号： b ：+ ：p 一秘) 一rf 2 2 。1 ) j 魂= l 一蛾毫 ( 2 ，22 ) u 目i 理2 1 ( t s e n ge ta l ( 2 0 0 3 ) ) 在带有变动折扣因子的e w m a 控制规划中，如果 d 黑l ，盈辩 意戆，| 哦| l ，凳| 生产建裁楚渐运警穗蘸。 引理2 2 ( t s e n ge ta | ( 2 0 0 3 ) ) 由( 2 1 4 ) 与( 2 1 3 ) 式更新的模型中，输出变量可由下 式嶷示； m = r + 1 1 0 r i 砒+ 眦 其中= 骁一 c t 一慨一t ，m 一，+ 薹c 量。奶) c t 一砒，司 其中= 骁一f ( 1 一慨一t ) m l + in 奶 ( 1 一砒) 讯i ；1 、j = t + l，i 萼| 理2 1 孛熬条箨等嚣予g = o 袋l ，基o 峨廖 2 ，从而增大过 程辘鑫豹波动j 从实际应用角度，仅仅知道进程平穗是不够的，我们应该事先确定某种准则，_ 并在该 准则下选撵一组最傀纳变动折扣因子。当进行小批量生产对，生产周期可能还不怒以达 到长期的稳定性，在诧情嚣下，我 | 】考虑这样一种准刘t 确定一组变莉辑籀医子使得蘸 n 个批次的均方误燕和达到最小，注意到在t 时刻的均方误差m s 岛是 岫) ：二i 黼数， 霞就我镌要解决这榉一仑| 霹簌； 叠恕一肼s 蜀扣h 岫，蛐。) ) t s e n ge ta l ( 2 0 0 3 ) 给出了扰动项为a r m a ( 1 ，1 ) 和i m a ( 1 ，1 ) 的情况下， k 的均方 误藏表达式及递攫公式，并巍鼗基麓上绘出了最爨变囊据耘嚣予瓣表达式。接导爨耱毒 变攮的均方误差的表达式对于在e w m a 控制规划中引入变动折扣因子舆有重要意义， 毽| | ：纂文章程求鳃最挽变零b 凝扣基子的过程孛移在一定闫题。 引理2 3 ( t s e n g e t8 l ( 2 0 0 3 ) ) 1 i l 陪讯一a r 埘a ( 1 ，1 ) ，郎( 1 一吼县) 吼一( 1 8 1 矗) “， 则输出变鳖婀均方误差为： i 瑶+ 程， 扛1 瞄蹶= 簪 瑶+ 霹【l ( + 识瑚， # = 2 【( 基妒；) 瑶+ t + 堇c a tc 。，2 】t s 文t 。，= 乏蠹；1 二：蠹。奶) + 如毋f ：+ 震g 。，蕈：+ 。妨) 雠 三i m s e t = 煳( 蚶撼) 2 硼t 州卜蛾。 嬲s 菇一，( 魄一t 十! ：! 牲) 2 g 。s 上跋中的鬻效g 。霹 l 霹书鹾萎簿1 一 li 毒0j ( 竺象型丛 ( 2 2 3 ) 引理2 4 ( t 3 e n g 耽8 l ( 2 0 0 3 ) ) 倘若讯一，m a ( 1 ，1 ) ，即协一瑰一1 = ( 1 一p 1 b ) 旬，则 输出变量的均方误差勘 | 瑶+ 砖， = l 吖s 最2 ( 重母? ) r 3 + 盯i - + c 咖一t 一一t ，2 + 薹c ，基。孵，c 啦一以，2 t z 囊鼗褥蘩逢方谡夔瓣麴递接公式： 嘲。姗一，( 一慧) 2 吲，删) 一黯皿。国 芏s ge a i ( 2 印畜热下缨论：警琅一a 宠a f a ( 1 + 1 ) 辩，鼹程誉绘是鹊，茨褥 ea ，s 最达到激小的哦如下式定义： u ；端 ( ，+ ( 1 + 1一 一 c i i l p 声时，可取幽= 另镊，对应 岫：8f 1 一茹芬玉) ；当另芬表l 一卢声时，讥只能取到1 一p 口，此时岫= 1 根据以苣分析。我”j 得到如下结论 第二章s e ，x f a 控制规划中变动折扣圈子的研究华东师范大学硕士论文 9 定理2 1 假定m 一，吖a ( 1 ，1 ) ，即仇= 1 h + s 一目l ，对任意固定的n 铲棚n ；( t 一箍) 是使m s 毋最小的最优变动折扣因子牌列其中 嬲弘恼驯一悬m 孤埘卜燧2 螂 一”8 ，茄龟) 下嚣我# 】考虑咏“a 膦a l t1 ) 薛薄凝t 获魏对均方误差的递攉公式( 2 t 2 繁中我船 可以糟出，g 中含育a ( ) ，即含有与咖衡关的瑰医此农这种情况下，m 睁， m s 盥) f t 与圣f ，n 船，m s e d 并不是一个撵价韵同题对n = 3 的情况( 此时的变量为两个：“t 和略t o i j t l 好一辐铖一鲢铲 【自t + 趣( 七l + 蠼) 磋 2 一砰雨面百币丽 不是使得基餐；透数，= 掰s 魏+ 掰s 玛遮爨最，j 、粒最爨解。涯骥过程辩下： 诞明t 倘若( 锻，携) 愁，的檄值点，由于( 惦，惦) 怒内点，因此宅一定愚稳定点 鄄潢怒厶( 蛾，诺) 一。秘弱f 镀，谚) = o 。 我们先将呓进行化简 蝇= 一； 警 j 舞 ；糯= 一生琶；j 躐一开虿两虿丽丽一牙面两 对于，一m s 嚣2 十吖s e 3 ，其中m s e 2 = v 瑞+ d ! 1 + ( h + 妒1 ) 2 3 ， 掰s 弱= 妒；谚臻+ 霹【l + ( 奄l 十魄户+ f 致+ 靴+ 哓沈) 2 】，醒拿穰黪敷势裂为； f 崭= 移l 瑶+ 缸+ 曲1 ) 砖+ 魂蠼瑶+ 蛾+ 女l 如+ 妒1 纯) = of 1 磁= 研如瑶十( 1 + 讥) 以+ ( l + 讪1 ) ( 如+ i 咖十妒l 如) 酲= o ” 由文章申的推导过程我们知邋( 饼，媚) 一定满足如( 钟，谣) = o ，我们议髂验证它 是否濒是办；( 蠼，蠼) = o 将( + ) 中的第一个式予化简为 ( r 3 + 霹) 锄+ ( 臻+ 霹) 眵l 惦l 镑十妒2 + 自l = o 第二章s e l ， i a 控制规划中变动折扣因子的研究 华东师范大学硕士论文 1 0 将妒：代入上式，得 h 一h 程础；+ k l 谤+ 乜v 2 + l = o 即l ( 1 一) 妒i + 2 忱= o ( 1 ) 若j ；= 1 ，且曲1 目1 ( 女2 = ( l 一日1 ) ( t 一1 ) ) ，则咖= o ；若口；= l ， 且驴l = 目l ，则妒2 可取任意值 ( 2 ) 若1 ，则如= o 或= 一石南 从而只有当程= 1 ，且l = 以时，( 孵，蜗) 才满足凡，( 虻，铝) = o ，所以对任意 参数， ，女l 。+ h + 如( 女1 + 惦) 】 俨一热瞒一蒜差苷器裔 并不是最优解 从上面的证明过程中，我们可以发现即使= 3 ，只需要确定两个折扣因子时，我 们也很难给出最优折扣因子的表达式当然，这里有一种特殊情况，就是当咖= 口，的时 候。最优解具有显式的表达式，且无论是均方误差还是最优变动折扣因子均与t 或目- 的具体取值无关 一 定理2 2 倘若7 f 一以r m a ( 1 ，1 ) ，即( 1 一九b ) 讯= ( 1 8 l b ) 矗，且满足a = 日1 ， 则输出变薰的均方误差闻的递推公式为： m s 岛= m s 巩( 灿一鑫) 2 删一志 进而，。；= i n i n 1 7 8 ( 1 一丽蠢) ) 是使耋 s 日达到最小的最优变动折扣因子序 列，其中 lr 2 + 程， = 1 椰耻1 邶矾卜赢) + 2 酲一志，z 螂 螗t = m 8 。 1 一，斑) 证明：若在过程扰动项的模蛰中咖。= 8 。，则引理2 3 中= 一l ，k 2 = o ，从而均 方误差闻的递推公式可化筒为 m s 邑= m s 邑一- ( 饥一，一面彘) 2 + 2 一面蚩蠢 此种情况与过程扰动项为i m a ( 1 ，1 ) 很类似根据前面对i m a ( 1 1 ) 的分析过程可以很容 易得出最优折扣因子的表达式 第：耄 s ew ：2 _ a 控制规划中变动折扣因予的研究 埤刍东师范大学硕士论文 1 1 对于一般穗凌，本文考惑鞠簏麓8 l 曲孛勉i n e o 珏函数绘爨疑筐交凌释。霹于菜一囊 尉定的参数，我们从均匀分布u ( o ，1 ) 中抽取阻1 个随机数作为 “。 昝1 的初值，给定限 怒条件，利用f m i n c o n 找到使得m s 蜀达到最小的变动折扣因子为了考察这种方法 慧2 戆稳定蛙，氇裁怒数篷瓣静曦一缝霞疆，我靛选取2 0 疆夔撬数露努霹焦，禧餮2 0 组数 德解，发现它们的差别很小，翮时由此得到的均方误差和罴裙同的，因此遗种方法还是 比较稳定的我们可以通过下面这个模拟的例予来说明 例2 ，2 ：设氇一且丑m a ( 1 1 ) ，假定口一4 ，p = 1 5 ，妞8 ) 的l 8 e 为( 3 1 ) ， 毒荧凌凌饔瓣参数为l = 0 i 鑫，p l = 0 ，3 ，= 0 。5 ，建穗壤窭戆基探壤r = 2 0 。我 f 丁的目标是确定组变动折扣因子，使得m s 巨达到最小为了考察柳值对f m i n c o n t = 2 的影响，我们选取2 0 组初值，繇一组初值是来自于均匀分布u ( o ，1 ) 中的1 9 个随机数， 甄i 墩德到2 8 组数僮舞 嗡：l l ，2 0 ，j l ，l 霹，茭孛i 表示第i 缀翘毽，j 表 承第j 个变动努 翔毽子。经计算，我稻褥戮 一f 竺竺；竺马= l 6 甲 - 瓦上一) = l 一6 2 0 其中o ，= “时由诗葬缩莱我钌可l i 盂赣磁，耪筐鲸彩噙并不大，逮种努法还是毙 ；霉l 较稳定的由予算法的稳定性，这里我们选择第2 0 组数值解作为最优变动折扣因子，具 体数值及均方浸羧见表l ，由此产生过程的糖出变量情况请参见圈2 。 表l 坶方误蓑及最德折扣因子的数值解 t1234567891 0 掰s 嚣5 0o 。驰0 3 3 4 2o 3 1 1 2o 2 9 0 ，2 9 3 0o 。2 8 8 20 + 2 8 4 罨o 船1 9o 。2 7 9 6 w ：8 酾鞫0 ，3 鹌? 0 。2 唾8 80 2 。2 7o 1 飘70 ，i 5 5 s0 1 4 2 30 竭2 08 、擅稻9 。1 1 9 2 t1 11 21 3l 唾1 5 i 61 71 81 92 0 m s 日o 2 7 7 80 2 7 6 1o 2 7 4 80 2 7 3 5 0 2 7 2 402 7 1 40 2 7 0 4 o 2 6 9 502 6 9 0o2 6 9 4 o ：o1 1 5 8o 1 1 3 2o1 1 2 8o 1 1 3 90 1 1 6 70 1 2 2 90 1 3 3 1o 1 4 9 80 1 7 9 0 扶表l 帮葭2 串，我韶霹以看出；尽蓉瓴声酶裙值冀实誊差捌缀犬，弓 入变动 折扣因子也可以使过程输出值粮快收敛到日槠 值，降低可能较高的返工率特别是对于 口一a r m a ( 1 ，1 ) 的情况，由于不存在最优的胤定折扣因子，采用最优变动拚扣因子的数 壤黪是一爨虿褥翡、效果显著戆办法。 第二章s e l ，m d 控制规划中变动折扣因子的研究华东师范大学硕士论文 1 2 2 3 最优变动折扣因子的近似问题 为了得到最优折扣因子，我们需要计算均方误差问的递推公式，这是一项比较繁重 的工作我们所感兴趣的是对于固定的参数，是否可以找到一个相对简单的近似公式来 近似理论最优解或者数值最优解在下面的讨论内容中，我们考虑一种简单的扰动项模 型，假定仇一埘a ( 1 ) ，即仇= ( 1 一口1 b ) 定理2 3 倘若吼一m a ( 1 ) ，则过程输出变量的均方误差为 ir 2 + ， c - 1 m s 五： ( 黔) r 2 + 柙小一“删 i + i 沙k 妒k + l 一( 日l + 1 ) 仉+ i + 目1 】2 ( 兀奶) 2 ，22 lc 一2 t l l# l j = k + 2 由此得到均方误差问的递推公式： m s 届= n ，s e 。一，( 口。一- 一! 童i 生j 炒 删硼+ 1 ) 一塑掣 证明：琅一 d a ( 1 ) ，即町t = ( 1 一目l b ) ： 对2 ，啦一叩一1 = e 一( p l + 1 ) 屯一l + 巩c 一2 ，则 r 第二章s e w a 控制规划带变动折扣疆子酶磺究 华东龉范犬学颁圭论文 1 3 瞰= 佩一+ h 奶m 一一t ) 一繇一( 8 l + 1 ) 缸l 十g l 缸2 + 疆锈b 一； t 1 、+ i ，e 一1、 一倾十i ) h 奶卜；帕班奶k ； l = 2u 赫e l + l t 毒3o = l 一讳2 ， 。+ ( 讥1 一以一1 ) 一+ 【饥机+ - 一( 口1 + 1 ) 妒m + 1 + 口1 】fh 奶) 讯 从掰 ， 一l、 m s 最一瞬瑶+ 1 + ( 馆，一班一1 ) 2 】 t = l + 薹溆爹硅t e 袅+ t ，妒* + 。+ 壤，2c 曩：魄) 2 喇 善溆虹l 袅“狰抖一朗2 ( j 曼：魄) 掰s 懿稼懿递捺公式为； a g s 臻= 娃i a g s 蜀一l + 霹【i + ( 欢一l 一壤一i ) 2 一母乏l 一学毛l 学。一2 一魂一1 ) 2 1 + 程【坝一2 咖一l 一( 日1 + 1 ) 妒1 + 口l 】2 = 嬉l 船s 日一t 一2 砖【倾+ 1 ) 2 8 1 讥一2 1 魄一，+ 2 霹( 口 + 巩十1 ) = 肘s 臌一。f 妒。一，! 至基叁 掣) 2 + 。( 一；+ 巩十，) 磋陋+ 1 ) 2 8 ，识一2 j n m s e - l 强醒兢奎( 2 簿孛挺凄7 一令罨羧选舞瓣遥议公式咄= 嘲+ 扩。逶澄骥援诗冀， 我们发现在讯一吖a ( 1 ) 的假定下，对于某些参数，这一近似公式的近似效果并不擞根 好，有时蛾= 蛐十反丽要好的多麟她，我们考虑对于固定的、靠、r o 以， 声帮，袋罐下蔷貔遥稼公式； 峨。龇+ d f ，( 8 1 第二霉s e w m a 控制规划中变动折扣园予的研究华东师范大学硕士论文 1 4 为歹确定，溉) 关于8 t 懿照数澎式。我# l 荨簪，8 1 ) 离教豫，烽其敢擅m 定义在基个楚爨 海黠每一缀隈，嘲找到最谯粒( 蜗，) ；扶露得到a ，s 岛，对每一个基定豹a l ， c = 2 j v 找到使村s 岛达到最小的m + ，这样我们可以得割一缰( 8 ，m i ) ，观察散点醋，考 蹴2 察其函数形式我们可以通过下面这个锏子来说明整个过程 例2 3 设讯一甜a ( 1 ) ，郎讯= 乱一口1 5 敬j v = 2 0 ，以= o - 5 r o = 5 厣膳= o g 这里我口j 为了确定，( 8 1 ) 关于8 l 的遁数形式。我稿将g l 懿致僖范围定义袁0 。l 至0 9 ， 阉疆毂为o 1 ；将袭承。：牧敛速囊瓣，( 8 t ) 寓教纯，将葵取德m 定义在o + 5 至4 之耀， 阖臻壤为o 1 。擞撂本铡审各参数的篷，可以对每一组( 8 i ，m ) ，计算摆渡组参数下剥慰 艇8 t l 豳中溉o n 函数站箨捷搏必s 最达到最小戆最优( 岫，d ) 及其对应的均方误蓑 襁，藏嬲将3 2 4 缎缀台下瓣最小均方误差秘列入表2 。 第二章s 嚣a 控制规划中变赞折扣西予鲍研究华车师范犬学硪圭论文 l s 寝2 各种缀合下的均方谡麓朔 m p 0 1 。20 s o 40 ，5 0 1 6o 70 8o 。9 o _ 57 ，4 8 3 28 傩1 987 5 2 79 5 5 3 1 0 ，67 2 1 6 l7 7 4 8 。3 9 1 89 + l 2 4 0 ，76 ，9 9 2 0 7 4 8 3 88 0 8 5 l & 7 9 2 s o 暑8 寺8 5 87 2 耱67 。8 2 8 2 8 ，4 9 6 3 0 8 8 5 2 07 t 暂3 97 8 0 8 78 2 4 7 。 l + 86 5 2 5 48 i 窘l 擘374 2 6 78 7 9 1 。18 。4 2 1 8 融7 。1 77 2 了4 87 。8 6 辨 i 26 3 3 7 46 ，髓8 7t 1 4 8 07 7 1 6 4 i 36 2 6 翰6 6 0 黼7 驰箱7 5 9 3 5 1 46 2 1 4 5 6 5 2 9 9 6 9 5 5 37 4 9 。时 l56 1 7 1 5s 篁救88 8 8 3 07 2 7 l 蕊敷1 3 8 s6 。4 2 秘8 。8 2 3 s ? 。3 2 9 l l 。78 1 1 4 6 $ i 黏0 88 7 伪l7 2